Luận văn tập hút toàn cục đối với một số lớp phương trình parabolic suy biến trên toàn không gian (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– NGUYỄN THỊ HƯƠNG TẬP HÚT TỒN CỤC ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN TRÊN TỒN KHƠNG GIAN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ THANH HĨA, 2016 Luận văn hồn thành Trường Đại học Hồng Đức Người hướng dẫn: TS Lê Thị Thúy Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học Tại: Vào hồi: ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận văn Thư viện trường Đại học Hồng Đức, Bộ môn: Giải tích, Trường Đại học Hồng Đức BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— NGUYỄN THỊ HƯƠNG TẬP HÚT TỒN CỤC ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN TRÊN TỒN KHƠNG GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ THỊ THÚY THANH HÓA, 2016 Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số ngày tháng năm Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Học hàm, học vị Họ tên Cơ quan công tác Chức danh hội đồng Chủ tịch Phản biện Phản biện Ủy viên Thư ký Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến hội đồng Ngày tháng năm 2016 (ký ghi rõ họ tên) ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Khoa khoa học Tự Nhiên, Trường Đại học Hồng Đức - Thanh Hóa hướng dẫn cô TS Lê Thị Thúy, Trường Đại học Điện lực Cơ hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo giúp tơi hồn thành luận văn Qua tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc lịng u q tới Tơi xin gửi lời cảm ơn tới tất thầy cô giảng dạy cảm ơn tất bạn bè giúp đỡ chân tình người Tơi xin gửi lời cảm ơn tới phòng Sau đại học, Trường Đại học Hồng Đức - Thanh Hóa giúp đỡ mặt thủ tục để tơi hồn thiện luận văn Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình, quan nơi tơi công tác động viên, tạo điều kiện cho yên tâm học tập nghiên cứu Mặc dù cố gắng song luận văn khó tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến góp ý nhà khoa học, thầy giáo, cô giáo, anh chị đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Thanh Hóa, tháng 10 năm 2016 Nguyễn Thị Hương iii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các không gian hàm 1.2 Các không gian hàm phụ thuộc thời gian 1.3 Tập hút toàn cục 1.4 Một số bất đẳng thức thường dùng Chương 2: SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU 10 2.1 Đặt toán 11 2.2 Sự tồn nghiệm yếu 10 Chương 3: SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT TỒN CỤC 13 3.1 Sự tồn tập hấp thụ H01 (RN , σ ) ∩ LP (RN ) 13 3.2 Sự tồn tập hút toàn cục L2 (RN ) 14 3.3 Sự tồn tập hút toàn cục LP (RN ) 14 3.4 Sự tồn tập hút toàn cục H01 (RN , σ ) ∩ LP (RN ) 15 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 16 Tài liệu tham khảo 17 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến xuất nhiều lĩnh vực vật lí, hóa học sinh học Một số ví dụ điển hình q trình truyền nhiệt khuếch tán, q trình truyền sóng học chất lỏng, phản ứng hóa học, mơ hình quần thể sinh học, Do việc nghiên cứu lớp phương trình có ý nghĩa quan trọng khoa học cơng nghệ Chính thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học giới Vấn đề nghiên cứu dáng điệu tiệm cận toán phương trình đạo hàm riêng nội dung quan trọng Hiện có số phương pháp định tính định lượng sử dụng nghiên cứu vấn đề Đối với phương trình đạo hàm riêng có tính tiêu hao, phương pháp quan tâm nhiều nghiên cứu tập hút tồn cục nửa nhóm liên tục sinh từ toán giá trị ban đầu Việc nghiên cứu tập hút tồn cục tốn để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm tốn phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Tập hút toàn cục cổ điển tập compact, bất biến, hút tất quĩ đạo hệ chứa đựng nhiều thông tin dáng điệu tiệm cận hệ Cụ thể với quĩ đạo cho trước hệ khoảng thời gian T tùy ý, ta tìm quĩ đạo nằm tập hút toàn cục mà dáng điệu thời gian đủ lớn hai quĩ đạo sai khác đủ nhỏ khoảng thời gian có độ dài T Sự tồn tập hút toàn cục phương trình hệ phương trình parabolic nửa tuyến tính khơng suy biến nghiên cứu nhiều tác giả, miền bị chặn không bị chặn (xem [3, 4, 6, 7, 8, 9, 12]) Cho đến nay, kết lí thuyết tập hút lớp phương trình parabolic khơng suy biến phong phú hoàn thiện Tuy nhiên, kết tương ứng trường hợp phương trình suy biến cịn Các phương trình parabolic suy biến xuất cách tự nhiên nhiều toán sinh từ vấn đề vật lí, hóa học, sinh học thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học ngồi nước Trong [1, 2], tác giả Cung Thế Anh, Nguyễn Đình Bình Lê Thị Thúy nghiên cứu tốn parabolic suy biến nửa tuyến tính sau miền bị chặn Ω ⊂ RN , N ≥ 2,  ∂u    − div(σ (x)∇u) + f (u) + g(x) = 0, x ∈ Ω,t > 0,   ∂t u(t, x) = 0, x ∈ ∂ Ω,t >      u(0, x) = u0 (x), x ∈ Ω, (1) u0 ∈ L2 (Ω), ngoại lực g ∈ L2 (Ω) số hạng phi tuyến f thỏa mãn điều kiện tiêu hao tăng trưởng kiểu đa thức Các tác giả chứng minh tồn nghiệm yếu tốn, tồn tập hút tồn cục L2 (Ω), phụ thuộc nửa liên tục tập hút toàn cục vào số hạng phi tuyến, tính trơn tập hút tồn cục Việc nghiên cứu tốn suy biến cịn toán suy biến kiểu (1) nghiên cứu tập hút tồn cục miền bị chặn, luận văn tiếp tục nghiên cứu tốn parabolic suy biến nửa tuyến tính sau tồn khơng gian RN , N ≥ 2,     ∂ u − div(σ (x)∇u) + λ u + f (x, u) = g(x), x ∈ RN ,t > 0, ∂t   u(0, x) = u (x), x ∈ RN , (2) λ > 0, u0 ∈ L2 (RN ) cho trước, ngoại lực g ∈ L2 (Ω) số hạng phi tuyến f thỏa mãn điều kiện tiêu hao tăng trưởng kiểu đa thức Trong [1, 2], nửa nhóm S(t),t > 0, sinh tốn nửa nhóm (phi tuyến) compact, tức S(t) toán tử compact với t > (điều suy từ tính compact phép nhúng D01 (Ω, σ ) ,→ L2 (Ω)) Trong luận văn này, tiếp tục nghiên cứu tốn tồn khơng gian RN , N ≥ Khi phép nhúng cần thiết khơng cịn compact, S(t) khơng cịn nửa nhóm compact điều gây khó khăn lớn nghiên cứu Tuy nhiên, chứng minh tồn tập hút toàn cục nửa nhóm sinh tốn (2.1) L2 (RN ), L p (RN ), H01 (RN , σ ) ∩ L p (RN ) Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày cách hệ thống lí thuyết tập hút tồn cục sử dụng kết để nghiên cứu tồn tập hút toàn cục lớp phương trình Parabolic suy biến nửa tuyến tính tồn khơng gian Phương pháp nghiên cứu Để nghiên cứu tồn nghiệm yếu tốn, chúng tơi sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin Khi nghiên cứu tốn tồn khơng gian phép nhúng cần thiết khơng cịn compact, S(t) khơng cịn nửa nhóm compact nữa, để nghiên cứu tồn tập hút tồn cục chúng tơi sử dụng phương pháp đánh giá phần đuôi nghiệm kết hợp với phương pháp đánh giá tiên nghiệm tiệm cận Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận văn nghiên cứu tập hút toàn cục lớp phương trình parabolic suy biến nửa tuyến tính kiểu Caldiroli - Musina (2.1) tồn khơng gian RN , N ≥ Chúng nghiên cứu tồn tập hút tồn cục nửa nhóm sinh tốn (2.1) khơng gian L2 (RN ), L p (RN ), H01 (RN , σ ) ∩ L p (RN ) Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết đạt luận văn góp phần hồn thiện thêm cho lý thuyết tập hút toàn cục lý thuyết hệ động lực vơ hạn chiều Bài tốn luận văn nghiên cứu xuất phát từ tồn thực tế q trình khuếch tán nơtron, có ứng dụng thực tiễn vật lý Bố cục Ngoài phần Mở đầu Kết luận, luận văn gồm ba chương sau: – Chương 1, Kiến thức chuẩn bị: Trong chương này, nhắc lại khái niệm kết tổng quát tập hút toàn cục, kết khơng gian hàm tốn tử sử dụng luận văn số kiến thức bổ trợ khác – Chương 2, Sự tồn nghiệm yếu: Trong chương này, chúng tơi trình bày kết tồn nghiệm yếu tốn parabolic suy biến nửa tuyến tính tồn khơng gian RN – Chương 3, Sự tồn tính trơn tập hút tồn cục: Trong chương này, chúng tơi trình bày kết tồn tập hút toàn cục không gian L2 (RN ), L p (RN ), H01 (RN , σ ) ∩ L p (RN ) Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày tóm tắt số kiến thức không gian hàm, không gian hàm phụ thuộc thời gian, tập hút toàn cục số bất đẳng thức thường dùng nhằm phục vụ cho chương 1.1 Các không gian hàm Trong mục tác giả nêu lại định nghĩa không gian L p (Ω), D01 (Ω, σ ), D −1 (Ω, σ ) phép nhúng liên quan đến không gian để phục vụ cho chứng minh chương sau (xem [10]) 1.2 Các không gian hàm phụ thuộc thời gian Trong mục tác giả nêu lại định nghĩa không gian hàm phụ thuộc thời gian C([a, b]; X), L p (a, b; X) (xem [10]) 1.3 1.3.1 Tập hút toàn cục Một số khái niệm Giả sử X khơng gian Banach, ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.3.1 [10] Một nửa nhóm (liên tục) X họ ánh xạ S(t) : X → X, t ≥ 0, thỏa mãn (i) S(0) = I, I phép đồng nhất, (ii) S(t)S(s) = S(s)S(t) = S(t + s), (iii) S(t)u0 liên tục (t, u0 ) ∈ [0; +∞) × X Định nghĩa 1.3.2 [10] Tập Y ⊂ X gọi bất biến dương S(t)Y ⊂ Y, ∀t ≥ Tập Y ⊂ X gọi bất biến âm S(t)Y ⊃ Y, ∀t ≥ Tập Y ⊂ X gọi bất biến S(t)Y = Y, ∀t ≥ Bổ đề 1.3.5 [10] Nửa nhóm S(t) compact tiệm cận tồn tập compact K cho lim dist(S(t)B, K) = 0, t→+∞ với tập B bị chặn X Chứng minh Vì K tập compact nên với t > u ∈ X, tồn phần tử v := S(2) (t)u ∈ K cho dist(S(t)u, K) = ||S(t)u − S(2) (t)u|| Do đặt S(1) (t)u = S(t)u − S(2) (t)u, dễ thấy phân tích (1.1) thỏa mãn tất yêu cầu định nghĩa tính compact tiệm cận Chú ý [14] Nếu X không gian Banach lồi nửa nhóm S(t) có tập hấp thụ bị chặn B, ba điều kiện sau tương đương: i) Nửa nhóm S(t) compact tiệm cận; ii) Nửa nhóm S(t) thuộc lớp AK, tức với dãy bị chặn {xk } X dãy tk → ∞, {S(tk )xk }∞ k=1 compact tương đối X; iii) Tồn tập compact K ⊂ X cho dist(S(t)B, K) → t → ∞ 1.3.2 Tập hút toàn cục Tập hút tồn cục đối tượng trung tâm lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều Định nghĩa 1.3.6 [10] Một tập khác rỗng A X gọi tập hút toàn cục nửa nhóm S(t) nếu: A tập đóng bị chặn; A bất biến, tức S(t)A = A với t > 0; A hút tập bị chặn B X, tức lim dist(S(t)B, A ) = 0, t→∞ dist(E, F) = sup inf d(a, b) nửa khoảng cách Hausdorff hai tập a∈E b∈F E F X Các tính chất sau tập hút toàn cục hệ trực tiếp định nghĩa Mệnh đề 1.3.7 [10] Giả sử S(t) có tập hút tồn cục A Khi đó: Nếu B tập bị chặn bất biến X B ⊂ A (tính cực đại); Nếu B tập đóng hút tập bị chặn X A ⊂ B (tính cực tiểu); A Kết sau nói cấu trúc tập hút tồn cục Định lý 1.3.8 [10] Giả sử nửa nhóm S(t) có tập hút tồn cục A Khi quĩ đạo đầy đủ bị chặn (nói riêng điểm dừng quĩ đạo tuần hồn, có) nằm A Hơn nữa, S(t) đơn ánh A A hợp tất quĩ đạo đầy đủ bị chặn Các kết hệ động lực "trên tập hút toàn cục" định dáng điệu tiệm cận có quĩ đạo riêng lẻ, nghĩa sau khoảng thời gian đủ lớn, quĩ đạo phương trình gốc trơng giống quĩ đạo tập hút khoảng thời gian đủ dài Định lý 1.3.9 [10] Giả sử hệ động lực (X, S(t)) có tập hút toàn cục A Cho trước quĩ đạo u(t) = S(t)u0 , sai số ε > khoảng thời gian T > Khi tồn thời điểm τ = τ(ε, T ) điểm v0 ∈ A cho ku(τ + t) − S(t)v0 k ≤ ε với ≤ t ≤ T Để xấp xỉ quĩ đạo chọn u(t) khoảng thời gian dài hơn, ta phải dùng nhiều quĩ đạo tập hút toàn cục A Mệnh đề sau hệ trực tiếp Định lí 1.3.9 Hệ 1.3.10 [10] Cho trước quĩ đạo u(t), tồn dãy sai số {εn }∞ n=1 với εn → 0, dãy tăng thời điểm {tn }∞ n=1 với tn+1 − tn → ∞ n → ∞, dãy điểm {vn }∞ n=1 với ∈ A cho ku(t) − S(t − tn )vn k ≤ εn với tn ≤ t ≤ tn+1 Hơn nữa, bước nhảy kvn+1 − S(tn+1 − tn )vn k dần tới n → ∞ 1.3.3 Sự tồn tập hút toàn cục Kết sau định lí tồn tập hút toàn cục Định lý 1.3.11 [14, Chương 1] Giả sử S(t) nửa nhóm liên tục khơng gian Banach X Giả sử S(t) tiêu hao compact tiệm cận Nếu B tập hấp thụ bị chặn S(t) A = ω(B) tập compact khác rỗng tập hút toàn cục S(t) Hơn nữa, tập hút toàn cục A liên thông X Hệ sau thường dùng để chứng minh tồn tập hút tồn cục phương trình parabolic miền bị chặn chương sau Hệ 1.3.12 [10] Nếu nửa nhóm S(t) tiêu hao B tập hấp thụ compact S(t) có tập hút tồn cục compact liên thông A = ω(B) Bây ta nhắc lại vài khái niệm kết [15] sử dụng chương sau để chứng minh tính trơn tập hút tồn cục phương pháp đánh giá tiên nghiệm tiệm cận Mệnh đề 1.3.13 [15] Giả sử {S(t)}t≥0 nửa nhóm Lr (Ω) giả sử {S(t)}t≥0 có tập hấp thụ bị chặn Lr (Ω) Khi với ε > tập bị chặn B ⊂ Lr (Ω), tồn hai số dương T = T (B) M = M(ε) cho mes(Ω(|S(t)u0 | ≥ M)) ≤ ε, với u0 ∈ B t ≥ T , mes(e) kí hiệu độ đo Lebesgue e ⊂ Ω Ω(|S(t)u0 | ≥ M)) := {x ∈ Ω | |(S(t)u0 )(x)| ≥ M} Định nghĩa 1.3.14 [15] Giả sử X khơng gian Banach Nửa nhóm {S(t)}t≥0 X gọi liên tục mạnh - yếu X với {xn }∞ n=1 ⊂ X, xn → x, tn ≥ 0,tn → t, ta có S(tn )xn * S(t)x X Kết sau thường dùng để chứng minh nửa nhóm liên tục mạnh yếu Bổ đề 1.3.15 [15] Giả sử X,Y hai không gian Banach X ∗ ,Y ∗ không gian đối ngẫu tương ứng Ta giả sử X không gian trù mật Y , phép chiếu i : X → Y liên tục liên hợp i∗ : Y ∗ → X ∗ phép chiếu trù mật Giả sử {S(t)}t≥0 nửa nhóm X Y tương ứng, giả thiết thêm S(t) liên tục liên tục yếu Y Khi {S(t)}t≥0 liên tục mạnh - yếu X {S(t)}t≥0 biến tập compact X × R+ thành tập bị chặn X Các định lí sau thường dùng để chứng minh tính trơn tập hút tồn cục, tức chứng minh tồn tập hút tồn cục khơng gian "trơn hơn" khơng gian chứa điều kiện ban đầu Định lý 1.3.16 [15] Giả sử {S(t)}t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh - yếu Lq (Ω), liên tục liên tục yếu Lr (Ω) với r ≤ q, có tập hút tồn cục Lr (Ω) Khi {S(t)}t≥0 có tập hút tồn cục Lq (Ω) (i) {S(t)}t≥0 có tập hấp thụ bị chặn Lq (Ω); (ii) với ε > tập bị chặn B Lq (Ω), tồn số dương M = M(ε, B) T = T (ε, B) cho Z Ω(|S(t)u0 |≥M) |S(t)u0 |q < ε, (1.3) với u0 ∈ B t ≥ T 1.4 Một số bất đẳng thức thường dùng Trong mục tác giả nhắc lại số bất đẳng thức thng dựng nh Bt ng thc Holder, ă Bt ng thức Young, Bất đẳng thức Gronwall, Bất đẳng thức Gronwall (xem [10, 14]) 10 Chương 2: SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU Nội dung chương nhằm xây dựng toán đưa điều kiện ràng buộc toán Dựa giả thiết đó, chúng tơi chứng minh tồn nghiệm yếu phương pháp xấp xỉ Galerkin 2.1 Đặt toán Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu tốn parabolic suy biến nửa tuyến tính sau tồn khơng gian RN , N ≥ 2,     ∂ u − div(σ (x)∇u) + λ u + f (x, u) = g(x), x ∈ RN ,t > 0, ∂t    u(0, x) = u (x), x ∈ RN , (2.1) λ > 0, u0 ∈ L2 (RN ), hàm phi tuyến f ngoại lực g thỏa mãn điều kiện sau: (F ) f : RN × R → R hàm liên tục thỏa mãn f (x, u)u ≥ α1 |u| p −C1 (x), p ≥ 2, (2.2) | f (x, u)| ≤ α2 |u| p−1 +C2 (x), (2.3) ∂f (x, u) ≥ −α3 , (2.4) ∂u α1 , α2 , α3 số dương, C1 (·) ∈ L1 (RN ) ∩ L2 (RN ) 1 C2 (·) ∈ L p (RN ) với + = hàm khơng âm Kí hiệu F(x, s) = p p Rs f (x, τ)dτ Khi ta giả sử F thỏa mãn −C4 (x) + α4 |u| p ≤ F(x, u) ≤ α5 |u| p +C3 (x), (2.5) α4 , α5 số dương, C3 (·),C4 (·) ∈ L1 (RN ) hàm không âm; (RN ) với α ∈ (0, 2) (H ∞ ) σ hàm đo không âm thỏa mãn σ ∈ Lloc lim inf |x − z|−α σ (x) > với z ∈ RN , x→z σ thỏa mãn hai điều kiện sau: 11 i) tồn K0 > cho sup sup ii) tồn K0 > cho sup R √ k≥K0 k≤|x|≤ 2k σ (x) < ∞; √ k≥K0 k≤|x|≤ 2k p−1 |σ (x)| p−2 dx < ∞, p > cho điều kiện (F); (G ) g ∈ L2 (RN ) Bây ta định nghĩa không gian Sobolev có trọng liên quan đến tốn Giả sử Ω ⊂ RN , ta định nghĩa không gian H01 (Ω, σ ) bổ sung đủ C0∞ (Ω) chuẩn kuk2H (Ω,σ ) Z := |u| dx + Z σ (x)|∇u|2 dx, Ω Ω ∞ ) thỏa mãn, Chú ý trường hợp compact, tức (Hα ) (Hα,β H01 (Ω, σ ) ≡ D01 (Ω, σ ) D01 (Ω, σ ) ,→ L2 (Ω) (xem [5]) Từ không gian lượng tự nhiên tốn (2.1) khơng gian H01 (RN , σ ) đối ngẫu H −1 (RN , σ ) Mục đích chương chứng minh tồn nghiệm yếu toán (2.1) 2.2 Sự tồn nghiệm yếu Trước hết ta đưa định nghĩa nghiệm yếu toán (2.1) Định nghĩa 2.2.1 Hàm u(t, x), t ∈ (0, T ), x ∈ RN , gọi nghiệm yếu toán (2.1) (0, T ) u ∈ L2 (0, T ; H01 (RN , σ )) ∩ L p (0, T ; L p (RN )) ∩ L∞ (0, T ; L2 (RN )), u(0) = u0 thỏa mãn Z T Z TZ (ut , v)L2 (RN ) dt + RN Z T σ ∇u∇vdxdt + λ Z T + (u, v)L2 (RN ) dxdt (2.6) Z T ( f (x, u), v)L2 (RN ) dxdt = (g, v)L2 (RN ) dxdt, với hàm thử v ∈ L2 (0, T ; H01 (RN , σ )) ∩ L p (0, T ; L p (RN )) Ta chứng minh định lí tồn nghiệm yếu sau 12 Định lý 2.2.2 Giả sử điều kiện (H ∞ ) − (F ) − (G ) thỏa mãn Khi đó, tốn (2.1) có nghiệm yếu u (0, T ) với u0 ∈ L2 (RN ) T > Hơn nữa, ánh xạ u0 7→ u(t) liên tục L2 (RN ) 13 Chương 3: SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT TỒN CỤC Trong chương này, chứng minh tồn tập hút toàn cục L2 (RN ), L p (RN ), H01 (RN , σ ) ∩ L p (RN ) nửa nhóm sinh từ tốn (2.1) cách khai thác kết hợp phương pháp đánh giá phần đuôi phương pháp tiên nghiệm tiệm cận để vượt qua khó khăn tính khơng compact phép nhúng gây 3.1 Sự tồn tập hấp thụ H01 (RN , σ ) ∩ L p (RN ) Từ Định lí 2.2.2, ta định nghĩa nửa nhóm S(t) : L2 (RN ) → H01 (RN , σ ) ∩ L p (RN ), S(t)u0 := u(t) nghiệm yếu toán (2.1) với điều kiện ban đầu u0 Ta chứng minh tồn tập hấp thụ S(t) H01 (RN , σ ) ∩ L p (RN ) Bổ đề 3.1.1 Giả sử điều kiện (H ∞ ) − (F ) − (G ) thỏa mãn Khi nửa nhóm S(t) sinh tốn (2.1) có tập hấp thụ bị chặn H01 (RN , σ ) ∩ L p (RN ), nghĩa là, tồn số dương ρ, cho với tập bị chặn B L2 (RN ), tồn số T = T (B) > 0, cho với t ≥ T , u0 ∈ B, ta có ku(t)k2H (RN ,σ ) + ku(t)kLp p (RN ) ≤ ρ Ta chứng minh ước lượng đạo hàm nghiệm Bổ đề 3.1.2 Giả sử điều kiện (H ∞ ) − (F ) − (G ) thỏa mãn Khi với tập bị chặn B L2 (RN ), tồn số T = T (B) > cho, kut (s)k2L2 (RN ) ≤ ρ1 với u0 ∈ B, s ≥ T, ut (s) = d dt (S(t)u0 )|t=s ρ1 số dương không phụ thuộc vào B Sau ta chứng minh tồn tập hấp thụ L2p−2 (RN ) để phục vụ cho chứng minh tính compact tiệm cận mục sau nửa nhóm S(t) 14 Bổ đề 3.1.3 Giả sử điều kiện (H ∞ ) − (F ) − (G ) thỏa mãn Khi nửa nhóm {S(t)}t≥0 có tập hấp thụ bị chặn L2p−2 (RN ), nghĩa là, tồn số ρ2p−2 , cho với tập bị chặn B ⊂ L2 (RN ), tồn T = T (B) > cho ku(t)kL2p−2 (RN ) ≤ ρ2p−2 , với t ≥ T, u0 ∈ B 3.2 Sự tồn tập hút toàn cục L2 (RN ) Bổ đề 3.2.1 Giả sử điều kiện (H ∞ ) − (F ) − (G ) thỏa mãn Khi với η > tập bị chặn B ⊂ L2 (RN ), tồn T = T (η, B) > K = K(η, B) > cho với t ≥ T k ≥ K, Z |x|≥k |u(x,t)|2 dx ≤ η, u nghiệm yếu toán (2.1) với điều kiện ban đầu u(0) = u0 ∈ B Bây ta chứng minh tính compact tiệm cận S(t) L2 (RN ) Bổ đề 3.2.2 Giả sử điều kiện (H ∞ ) − (F ) − (G ) thỏa mãn Khi S(t) compact tiệm cận L2 (RN ), nghĩa là, với dãy bị chặn {xn }∞ n=1 ⊂ L2 (RN ) dãy tn ≥ 0,tn → ∞, {S(tn )xn }∞ n=1 có dãy hội tụ L2 (RN ) Ta chứng minh tồn tập hút toàn cục nửa nhóm S(t) L2 (RN ) Định lý 3.2.3 Giả sử điều kiện (H ∞ ) − (F ) − (G ) thỏa mãn Khi nửa nhóm S(t) sinh tốn (2.1) có tập hút toàn cục AL2 L2 (RN ) 3.3 Sự tồn tập hút toàn cục L p (RN ) Trước tiên, từ Bổ đề 3.1.1, ta có S(t) biến tập compact H01 (RN , σ )∩ L p (RN ) thành tập bị chặn H01 (RN , σ ) ∩ L p (RN ) Do đó, từ Bổ đề 1.3.15, ta có S(t) liên tục mạnh - yếu H01 (RN , σ ) ∩ L p (RN ) Để chứng minh tồn tập hút toàn cục L p (RN ), ta sử dụng bổ đề sau mà việc chứng minh hồn tồn tương tự Định lí 5.5 [15] nên bỏ qua 15 Bổ đề 3.3.1 Giả sử {S(t)}t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh - yếu L p (RN ), liên tục liên tục yếu L2 (RN ), có tập hút tồn cục L2 (RN ) Khi {S(t)}t≥0 có tập hút tồn cục L p (RN ) (i) {S(t)}t≥0 có tập hấp thụ bị chặn L p (RN ); (ii) với ε > tập bị chặn B L p (RN ), tồn số dương M = M(ε, B) T = T (ε, B) cho Z RN (|S(t)u0 |≥M) |S(t)u0 | p dx < ε, (3.1) với u0 ∈ B t ≥ T Định lý 3.3.2 Giả sử điều kiện (H ∞ ) − (F ) − (G ) thỏa mãn Khi nửa nhóm S(t) sinh tốn (2.1) có tập hút tồn cục AL p L p (RN ) 3.4 Sự tồn tập hút toàn cục H01 (RN , σ ) ∩ L p (RN ) Bổ đề 3.4.1 Giả sử điều kiện (H ∞ ) − (F ) − (G ) thỏa mãn Khi nửa nhóm S(t) compact tiệm cận H01 (RN , σ ) ∩ L p (RN ) Định lý 3.4.2 Giả sử (H ∞ ) − (F ) − (G ) thỏa mãn Khi nửa nhóm S(t) sinh tốn (2.1) có tập hút toàn cục AH ∩L p H01 (RN , σ ) ∩ L p (RN ) 16 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Những kết mà tác giả đạt trình nghiên cứu toán (2.1) là: Sự tồn nghiệm yếu toán Sự tồn tập hút toàn cục L2 (RN ) Sự tồn tập hút toàn cục L p (RN ) Sự tồn tập hút toàn cục H01 (RN , σ ) ∩ L p (RN ) Kiến nghị số hướng phát triển tiếp theo: Có thể nghiên cứu tồn tập hút tồn cục hệ phương trình parabolic suy biến tốn Parabolic nửa tuyến tính với tốn tử −div(σ (x)|∇u| p−2 ∇u), −div(σ (x)|u| p−2 ∇u) Phát triển kết nghiên cứu sang hệ không ôtônôm 17 Tài liệu tham khảo C.T Anh, N.D Binh and L.T Thuy (2010), "On the global attractors for a class of semilinear degenerate parabolic equations", Ann Pol Math 98, No.1, 71-89 C.T Anh and L.T Thuy (2012), "Notes on global attractors for a class of semilinear degenerate parabolic equations", J Nonlinear Evol Equ Appl 4, 41-56 C.T Anh and T.T Phong (2009), "Global attractor for a semilinear parabolic system", Vietnam J Math 37, 47-64 A.V Babin and M.I Vishik (1990), "Attractors of partial differential evolution equations in an unbounded domain", Proc R Soc Edinburgh Sect A 116, 221-243 P Caldiroli and R Musina (2000), "On a variational degenerate elliptic problem", Nonlinear Diff Equ Appl 7, 187-199 A.N Carvalho, J.W Cholewa and T Dlotko (1998), "Examples of global attractors in parabolic problems", Hokkaido Math J 27, 77-103 M.A Efendiev and S.V Zelik (2001), "The attractor of a nonlinear reactiondiffusion system in an unbounded domain", Commun Pure Appl Math 54, 625-688 M Marion (1987), "Attractors for reaction-diffusion equations: Existence and estimate of their dimension", Appl Anal 25, 101-147 M Prizzi (2003), "A remark on reaction-diffusion equations on unbounded domains", Disc Cont Dyna Syst 9, 281-286 18 10 J C Robinson, Infinite dimensional dynamical systems, an introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractor, Cambridge texts in applied mathematics 11 R Rosa (1998), "The global attractor for the 2D Navier-Stokes flow on some unbounded domains", Nonlinear Anal 32, 71-85 12 C.Y Sun and C.K Zhong (2005), "Attractors for the semilinear reactiondiffusion equation with distribution derivatives in unbounded domains", Nonlinear Anal 63, 49-65 13 R Temam (1995), Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis, 2nd edition, Philadelphia 14 R Temam (1997), Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, 2nd edition, Springer-Verlag 15 C.K Zhong, M.H Yang and C Sun (2006), "The existence of global attractors for the norm-to-weak continuous semigroup and application to the nonlinear reaction-diffusion equations", J Differential Equations 15, 367399 19 Tài liệu tham khảo [1] C.T Anh, N.D Binh and L.T Thuy (2010), "On the global attractors for a class of semilinear degenerate parabolic equations", Ann Pol Math 98, No.1, 71-89 [2] C.T Anh and L.T Thuy (2012), "Notes on global attractors for a class of semilinear degenerate parabolic equations", J Nonlinear Evol Equ Appl 4, 41-56 [3] C.T Anh and T.T Phong (2009), "Global attractor for a semilinear parabolic system", Vietnam J Math 37, 47-64 [4] A.V Babin and M.I Vishik (1990), "Attractors of partial differential evolution equations in an unbounded domain", Proc R Soc Edinburgh Sect A 116, 221-243 [5] P Caldiroli and R Musina (2000), "On a variational degenerate elliptic problem", Nonlinear Diff Equ Appl 7, 187-199 [6] A.N Carvalho, J.W Cholewa and T Dlotko (1998), "Examples of global attractors in parabolic problems", Hokkaido Math J 27, 77-103 [7] M.A Efendiev and S.V Zelik (2001), "The attractor of a nonlinear reaction-diffusion system in an unbounded domain", Commun Pure Appl Math 54, 625-688 [8] M Marion (1987), "Attractors for reaction-diffusion equations: Existence and estimate of their dimension", Appl Anal 25, 101-147 [9] M Prizzi (2003), "A remark on reaction-diffusion equations on unbounded domains", Disc Cont Dyna Syst 9, 281-286 20 [10] J C Robinson, Infinite dimensional dynamical systems, an introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractor, Cambridge texts in applied mathematics [11] R Rosa (1998), "The global attractor for the 2D Navier-Stokes flow on some unbounded domains", Nonlinear Anal 32, 71-85 [12] C.Y Sun and C.K Zhong (2005), "Attractors for the semilinear reactiondiffusion equation with distribution derivatives in unbounded domains", Nonlinear Anal 63, 49-65 [13] R Temam (1995), Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis, 2nd edition, Philadelphia [14] R Temam (1997), Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, 2nd edition, Springer-Verlag [15] C.K Zhong, M.H Yang and C Sun (2006), "The existence of global attractors for the norm-to-weak continuous semigroup and application to the nonlinear reaction-diffusion equations", J Differential Equations 15, 367399