Tập hút toàn cục đối với phương trinhg parabolic với điều kiện biên phi tuyến

Mở đầu Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân thường (chủ yếu tính ổn định nghiệm) phát triển từ cuối kỉ 19 từ cơng trình có tính chất tảng Lyapunov sau phát triển cho phương trình vi phân thường có trễ năm 1970 Có thể nói năm 1980 năm khởi đầu cho việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cách hệ thống dựa vào lí thuyết hệ động lực Một cách tiếp cận toán hệ động lực tất định tán xạ nghiên cứu tập hút Câu hỏi đặt nghiên cứu tồn tập hút tồn cục Sau nghiên cứu tính chất quan trọng nó, số chiều, phụ thuộc vào tham số, tính trơn, Trong thập kỉ gần đây, nhiều nhà toán học nghiên cứu vấn đề thu kết lớn lí thuyết phương trình đạo hàm riêng phi tuyến xem ([1], [3], [4], [7], [8], [11]) phần tài liệu tham khảo Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình parabolic khơng ơtơnơm với điều kiện biên phi tuyến:   Ω, ut − ∆u + f (u) = h(x) ∂u + g(u) = Γ, ∂v   u(x, τ ) = uτ (x) Ω, (0.1) Ω miền bị chặn Rn với biên trơn Γ, h ∈ L2loc (R, L2 (Ω)) Các hàm f g ∈ C (R, R) thỏa mãn điều kiện sau: f (s)s lim = Cf , |s|→∞ |s|p+1 g(s)s = Cg , |s|→∞ |s|q+1 lim với p > 1, q > Mục đích luận văn trình bày cách hệ thống tồn tập hút lớp phương trình parabolic với điều kiện biên phi tuyến không gian L2 (Ω) Lp (Ω) Bản luận văn gồm hai chương: • Chương 1: Tác giả trình bày kiến thức sở khái niệm kết không gian L2 (Ω) không gian Sobolev, tập hút hệ động lực • Chương 2: Tác giả nghiên cứu tồn tồn tập hút phương trình parabolic khơng gian L2 (Ω) Lp (Ω) Kết luận văn trình bày dựa theo báo [12] phần tài liệu tham khảo Mặc dù có nhiều cố gắng, chắn luận văn khó tránh khỏi khiếm khuyết định Rất mong nhận góp ý, phê bình thầy bạn bè đồng nghiệp Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian L2(Ω) Trong phần xem xét lại số kiến thức không gian L2 (Ω) Định nghĩa 1.1.1 i) Cho p ∈ R ≤ p < ∞ Tập Lp (Ω) = {f : Ω → R, f đo gọi không gian hàm lũy thừa p khả tích với chuẩn Z 1/p |f (x)|p dx ||f ||Lp = ||f ||p = R Ω |f |p dx < ∞} Ω ii) Tập L2 (Ω) = {f : Ω → R, f đo bình phương khả tích với chuẩn R ||f ||L2 = ||f ||2 = Ω |f |2dx < ∞ } gọi không gian hàm Z Ω 1/2 |f (x)|2 dx Định nghĩa 1.1.2 (Hàm lồi) Một hàm f : Rn → R gọi hàm lồi f (τ x + (1 − τ )y) ≤ τ f (x) + (1 − τ )f (y), với ∀x, y ∈ R với ≤ τ ≤ Bổ đề 1.1.3 (Gronwall) (Dạng vi phân) Giả sử η(t) hàm liên tục tuyệt đối không âm [0; T ] thỏa mãn: η(t) ≤ φ(t)η(t) + ψ(t), hầu khắp t, φ(t) ψ(t) hàm khả tổng không âm [0; T ] Khi Z t Rt φ(s)ds [η(0) + η(t) ≤ e ψ(s)ds], với ≤ t ≤ T Bổ đề 1.1.4 (Bất đẳng thức Young) Cho < p, q < ∞ ab ≤ 1 + = 1, p q ap bq + , (a, b > 0) p q Bổ đề 1.1.5 (Bất đẳng thức Holder) Giả thiết ≤ p, q ≤ ∞ f ∈ Lp (Ω) g ∈ Lq (Ω) ta có ||f g||L1 ≤ ||f ||Lp ||g||Lq 1 + = 1, p q Bổ đề 1.1.6 (Bất đẳng thức Minkowski) Nếu f, g ∈ Lp (Ω) ≤ p < ∞ f + g ∈ Lp (Ω) ||f + g||Lp ≤ ||f ||Lp + ||g||Lp Bổ đề 1.1.7 (Fatou) Nếu {fn } dãy hàm khơng âm đo Z Z lim inf fn (x)d) ≤ lim inf fn (x)dx Ω n→∞ n→∞ Ω Định lí 1.1.8 L2 (Ω) khơng gian Banach Chứng minh Chúng ta dễ dàng kiểm tra ||.||L2(Ω) thỏa mãn hai tiên đề chuẩn; tiên đề thứ (Bất đẳng thức tam giác) thỏa mãn kết suy từ bất đẳng thức Minkowski Vậy L2 (Ω) không gian định chuẩn Vấn đề lại ta cần chứng minh dãy Cauchy L2 (Ω) hội tụ Cho {fn } dãy Cauchy L2 (Ω) Ta dùng dãy fnj thỏa mãn ||fnj+1 − k k P P fnj || < 2−j , || (fnj+1 − fnj )||L2 (Ω) ≤ 2−j < j=1 Đặt g(x) = lim (h.k.n), k P k→∞ j=1 j=1 |fnj+1 (x) −fnj (x)|, sử dụng bổ đề Fatou ta có ||g||L2(Ω) ≤ suy g(x) < ∞ fn (x) = fn1 (x)+ k P (fnj+1 (x)−fnj (x)) nên xác định f (x) = lim fnj (x) j→∞ j=1 Cuối ta cần chứng minh f ∈ L (Ω) ||fn − f ||L2 (Ω) → Chọn N thỏa mãn ||fn − ε fm ||L2 (Ω) ≤ với m, n ≥ N, sử dụng bổ đề Fatou ta có: ε ||f − fnj ||L2 (Ω) ≤ lim inf ||fnk − fnj ||Lp (Ω) ≤ , k→∞ 2 giả sử nj ≥ N ta có f − fnj ∈ L2 (Ω), ||fn − f ||L2 (Ω) ≤ ||fn − fnj ||L2 (Ω) + ||fnj − f ||L2 (Ω) ≤ fn → f ∈ L2 (Ω), ta điều phải chứng minh ε ε + = ε, 2 ♦ Hơn L2 (Ω) không gian tách phản xạ L2 (Ω) không gian Hilbert với tích vơ hướng: Z (f, g) = f (x)g(x)dx Ω 1.2 Không gian Sobolev Định nghĩa 1.2.1 Tập Lploc (Ω) = {f : f ∈ Lp (K)} với tập compact K ⊂ Ω; ≤ p < ∞ gọi không gian hàm lũy thừa p khả tích địa phương Ω Ta nói fn hội tụ đến f Lploc (Ω) fn → f Lp (Ω′ ) với tập compact Ω′ ⊂ Ω Định nghĩa 1.2.2 Cho g ∈ L1loc (Ω) Ta nói f đạo hàm yếu g theo biến xj ký hiệu f = Dj g f ∈ L1loc (Ω) Z Z dφ gφdx = − f dx, Ω Ω dxj với φ ∈ Cc∞ (Ω) - không gian hàm khả vi vô hạn với giá compact Ta định nghĩa đạo hàm yếu cấp cao theo phương pháp quy nạp: Nếu f, g ∈ f gọi đạo hàm yếu cấp α g, f = D α u Z Z |α| D α φdx gφdx = (−1) L1loc (Ω) Ω Ω Định nghĩa 1.2.3 Tập W k,p (Ω) = {f : D α ∈ Lp (Ω)}, với ≤ |α| ≤ k gọi không gian Soblev với chuẩn n X o1/p ||f ||W k,p(Ω) = ||D αf ||pLp (Ω) 0≤|α|≤k Định lí 1.2.4 W k,p (Ω) khơng gian Banach tách Hệ 1.2.5 Nếu fn → f D ′ (Ω), D α fn → D α f D ′ (Ω) với số α, D ′ (Ω) tập hợp tất ánh xạ tuyến tính f : Cc∞ → C thỏa mãn nếu: un → u Cc∞ (Ω) f (un ) → f (u) Một không gian quan trọng thường xuyên sử sử dụng không gian W (Ω), mà ta sử dụng nhiều kiến thức phần Vì vậy, trình bày số nội dung quan trọng không gian W k,2(Ω) Ta ký hiệu W k,2(Ω) = H k (Ω) Trên H k (Ω), ta trang bị tích vơ hướng k,2 ((f, g))H k (Ω) =  X 0≤|α|≤k α |Df | 1/2 Định nghĩa 1.2.6 Tập H k (Ω) không gian Soblev xác định H k (Ω) = {f : D α f ∈ L2 (Ω) với ≤ |α| ≤ k}, Định nghĩa 1.2.7 Không gian H0k (Ω) bổ sung đầy đủ không gian Cc∞ (Ω) H k (Ω) Mệnh đề 1.2.8 (Bất đẳng thức Pointcaré) Cho Ω tập bị chặn chiều, chẳng hạn: |x1 | < d < ∞, tồn số C thỏa mãn |f | ≤ C|Df | với f ∈ H01 (Ω), m P Df = (D1 f, D2 f, , Dm f ), |Df |2 = |∇f |2 = |Dj f |2 j=1 Chứng minh Chúng ta cần chứng minh bất đẳng thức với phần tử Cc∞ (Ω) Sử dụng tích phân phần bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: Z Z ∂ ∂f 2 |f | = |f (x)| dx = − x1 |f (x)|2 dx ≤ 2d|f || |, ∂x1 ∂x1 Ω Ω hay |f | ≤ 2d| ∂f | ≤ 2d|Du| ∂x1 ♦ Nhờ bất đẳng thức Pointcaré, ta xác định chuẩn khác tương đương với chuẩn tiêu chuẩn H01 (Ω); ký hiệu ||.||H01(Ω) , ||f ||2H 1(Ω) = X |D α f |2 = |Df |2, |α|=1 ||f ||2H 1(Ω) ≤ ||f ||2H 1(Ω) = |f |2 + ||f ||2H 1(Ω) ≤ (1 + c)||f ||2H 1(Ω) , 0 nên tích vô hướng ứng với chuẩn X = (D α f, D α g) H01 (Ω) ((f, g))H01(Ω) |α|=1 Một cách tương tự ta trang bị H0k (Ω) tích vơ hướng X ((f, g))H0k (Ω) = (D α f, D α g), |α|=k chuẩn ||f ||2H k (Ω) = X |D αf |2 |α|=k k Định nghĩa 1.2.9 Hloc (Ω) = {f : f ∈ H k (Ω′ ) với tập compact Ω′ ∈ Ω} k Chúng ta nói fn → f Hloc (Ω) fn → f H k (Ω′ ) với tập compact Ω′ ∈ Ω Định nghĩa 1.2.10 Với ≤ p < ∞ E không gian Banach, ta có Lp (τ, T ; E) khơng gian bao gồm tất hàm u(t), t ∈ [τ, T ] nhận giá trị E với chuẩn: Z T 1 p p ||u||Lp(τ,T ;E) = ||u(t)||E τ Bổ đề 1.2.11 ([9]) Với ≤ p < ∞ tồn số co (Ω, 1) thỏa mãn với ϕ ∈ W 1.p (Ω) Z ≤ co (Ω, p)||∇ϕ||Lp (Ω) ϕ ϕ − Lp (Ω) |Γ| Γ R Chứng minh Với ϕ ∈ W 1.p (Ω) tồn số c thỏa mãn Γ ϕ = ||ϕ||Lp (Ω) , ta có ≤ c||∇ϕ||Lp (Ω) Ta chứng minh phương pháp phản chứng Giả sử tồn dãy ϕn ⊂ W 1.p (Ω) thỏa mãn: Z ϕn = 0, ||∇ϕn ||Lp (Ω) = 1, ||∇ϕn ||Lp (Ω) ≤ n Γ Nếu < p < ∞, lấy dãy cần thiết, ta có ϕn −→ ϕ yếu W 1.p (Ω) yếu Lp (Ω) Lp (Γ) Từ nửa nhóm có bậc thấp ta có ||∇ϕ||Lp (Ω) ≤ lim inf ||∇ϕn ||Lp (Ω) = 0, R ϕ số, điều mâu thuẫn với ||∇ϕ|| = 1, Γ ϕ = Đối với trường hợp p = từ W 1.1 (Ω) ֒→ L1 (Ω) compact, lấy dãy cần thiết, ta giả thiết ϕn −→ ϕ mạnh L1 (Ω) với φ ∈ D(Ω) i = 1, , N ta nhận được: Z Z Z ∂φ ∂ϕn ∂φ = lim ϕn = lim − φ = 0, ϕ n→∞ Ω ∂xi n→∞ Ω ∂xi Ω ∂xi R Ω ϕ(∂φ/∂xi ) = với φ ∈ D(Ω) i = 1, , N, điều kéo theo ∇ϕ = ϕ = |Ω|−1 Do ϕn → |Ω|−1 mạnh W 1.1 (Ω) Như kéo theo toán tử γ : W 1.1 (Ω) → L1 (Γ) liên tục, từ ϕn → |Ω|−1 mạnh L1 (Γ) Trong trường hợp đặc biệt Z Z |Γ| = ϕn → ϕ = 6= |Ω| Γ Γ Điều mâu thuẫn với giả thuyết ta có điều phải chứng minh ♦ 1.3 Tập hút Trước nghiên cứu tồn tập hút đều, ta nhắc lại số kiến thức cần thiết tập hút (xem chi tiết [2]) Giả sử X không gian Banach Σ tập hợp tham số Toán tử {Uσ (t, τ )}, σ ∈ Σ gọi họ trình X với không gian biểu trưng Σ với σ ∈ Σ ta có: Uσ (t, s) ◦ Uσ (s, t) = Uσ (t, τ ), ∀t ≥ s ≥ τ, τ ∈ R, Uσ (τ, τ ) = Id, ∀t ∈ R Giả sử {T (s)}s≥0 nửa nhóm dịch chuyển Σ, ta nói họ q trình {Uσ (t, τ )}, σ ∈ Σ thỏa mãn đồng dịch chuyển nếu: Uσ (t + s, τ + s) = Uσ (t, τ ), ∀σ ∈ Σ, t ≥ τ, s ≥ 0, T (s)Σ = Σ, ∀s ≥ Ta ký hiệu B(X) tập hợp tập bị chặn X Rτ = {t ∈ R, t ≥ τ } Định nghĩa 1.3.1 ([2]) Một tập bị chặn B0 ∈ B(X) gọi tập hấp thụ bị chặn (đối với σ ∈ Σ) họ {Uσ (t, τ )}, σ ∈ Σ với τ ∈ R B ∈ B(X), tồn T0 = T0 (B, τ ) S thỏa mãn σ∈Σ Uσ (t, τ )B ∈ B0 với ∀t ≥ T0 Định nghĩa 1.3.2 ([2]) Một tập A ⊂ X gọi hút họ trình {Uσ (t, τ )}, σ ∈ Σ t ∈ R cố định B ∈ B(X) ta có:   lim sup dist(t, τ )B; A = 0, t→+∞ σ∈Σ dist(., ) nửa khoảng cách Hausdorff thông thường hai tập hợp X Định nghĩa 1.3.3 ([2]) Một tập đóng AΣ ∈ X gọi tập hút (đối với σ ∈ Σ) họ trình {Uσ (t, τ )}, σ ∈ Σ hút chứa tất tập đóng hút A′ họ trình {Uσ (t, τ )}, σ ∈ Σ : AΣ ⊆ A′ Chương Sự tồn tập hút Trong chương xem xét dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình parabolic khơng ơtơnơm với điều kiện biên phi tuyến 2.1 Đặt toán xây dựng q trình liên kết với tốn Giả sử Ω miền bị chặn Rn với biên trơn Γ, h(x) ∈ L2loc (R, L2 (Ω)) Hàm f , g ∈ C (R, R) thỏa mãn điều kiện sau: f (s)s lim = Cf , (2.1) |s|→∞ |s|p+1 g(s)s = Cg , |s|→∞ |s|q+1 lim với p > 1, q > Xét tốn: uτ ∈ L2 (Ω)   Ω, ut − ∆u + f (u) = h(x) ∂u + g(u) = Γ, ∂ν   u(x, τ ) = uτ (x) Ω, (2.2) (2.3) Định lí 2.1.1 [9] Giả sử Ω miền bị chặn Rn với biên trơn Γ f , g hai hàm thỏa mãn điều kiện (2.1) (2.2), hai điều kiện sau thỏa mãn: (i) p + > 2q, (ii) p + = 2q, Cf > Cg2 q với giá trị ban đầu uτ ∈ H (Ω) τ, T ∈ R, T > τ , nghiệm u(t) toán (2.3) tồn toàn cục thỏa mãn: u(t) ∈ C([τ, T ]; L2 (Ω)) ∩ L2 (τ, T ; H 1(Ω)) ∩ Lp+1 (τ, T ; Lp+1 (Ω)) Từ định lí ta xây dựng q trình U(t, τ ) : L2 (Ω) → L2 (Ω) uτ 7−→ U(t, τ )uτ Kí hiệu L2b (R, X) tập bao gồm tất hàm bị chặn tịnh tiến L2loc (R, X) Bây ta định nghĩa khơng gian biểu trưng cho tốn (2.3) Đặt ký hiệu cố định 2 σ0 (s) = h0 (s), h0 (s) ∈ L2b (R; L2 (Ω)) ta ký hiệu L2,w loc (R; L (Ω)) không gian Lloc (R; L (Ω)) với tôpô yếu Đặt Σo = {ho (s + h)|h ∈ R} giả sử Σ tập đóng Σo L2,w loc (R; L (Ω)) Bài tốn (2.3) viết lại sau: ∂t y = Aσ(t) (y), y|t=τ = yτ , σ(t) = h(t) Như vậy, từ định lí ta biết tốn (2.3) đặt với ∀σ(s) ∈ Σ sinh họ trình {Uσ (t, τ )}, σ ∈ Σ cho công thức Uσ (t, τ )yτ = y(t), y(t) nghiệm toán (2.3) {Uσ (t, τ )}, σ ∈ Σ thỏa mãn toán: Uσ (t, s) ◦ Uσ (s, t) = Uσ (t, τ ), ∀t ≥ s ≥ τ, τ ∈ R, Uσ (τ, τ ) = Id, ∀t ∈ R 2.2 Sự tồn tập hút L2(Ω) Trong phần tồn tập hút L2 (Ω) Định nghĩa 2.2.1 Một hàm ϕ ∈ L2loc (R, X) gọi bị chặn tịnh tiến L2loc (R; X) ||ϕ||2b = sup t∈R Z t+1 ||ϕ||2X ds < +∞ t Định lí 2.2.2 Giả sử h bị chặn tịnh tiến L2loc (R, X) f g hai hàm thỏa mãn (2.1) (2.2) với (i) p + > 2q, (ii) p + = 2q |Γ| c0 (Ω, 1) c0 (Ω, 1) cho bổ đề (1.2.11) họ Cf > R2 Cg2 q, R = |Ω| T trình {Uσ(t,τ ) }, σ ∈ Σ tương ứng với toán (2.3) có tập hấp thụ B0 H (Ω) Lp+1 (Ω) Chứng minh Ta chứng minh định lý qua hai bước Bước : Đầu tiên ta tồn số To > ρo > thỏa mãn ||u(t)||2 ≥ ρ2o với t ≥ To Nhân hai vế phương trình (2.3) với u tích phân hai vế ta được: Z Z Z Z 1d 2 ||u|| + |∇u| dx + f (u)udx + g(u)udx = ho (t)udx (2.4) dt Ω Ω Γ Ω Đẳng thức viết lại sau Z   |Γ| 1d 2 ||u|| + ||∇u|| + f (u)u + g(u)u dx dt |Ω| Ω Z  Z Z  |Γ| g(u)u − g(u)u dx = ho (t)udx, − |Ω| Ω |Γ| Γ Ω sử dụng bổ đề (1.2.11) lý luận tương tự [9, Định lý 3.1] ta có: Z  Z  |Γ| R2 ′ g(u)u − g(u)u dx ≤ ε||∇u||2L2 + ||g (u)u + g(u)||2L2 , Ω Ω |Ω| Ω |Γ| Γ 4ε với R = Đặt |Γ| c (Ω, 1), |Ω| o ta có Z 1d ||u|| + (1 − ε) |∇u|2dx dt Ω Z Z   R2 ′ |Γ| ho (t)udx g(u)u − (g (u)u + g(u)) dx ≤ + f (u)u + |Ω| 4ε Ω Ω H(u) = f (u)u + 2 |Γ| R2  ′ g (u)u + g(u) , g(u)u − |Ω| 4ε tương tự [9, Định lý 3.2], ta biết p + > 2q p + = 2q Cf > R2 Cg2 q, hệ động lực tán xạ ta có H(u) ≥ C1 |u|p+1 − C2 , C1 , C2 > 0, số Như ta có Z Z 1d 2 ||u|| + (1 − ε) |∇u| dx + C3 |u|2 dx ≤ C4 + C5 ||ho (t)||2 dt Ω Ω Áp dụng bổ đề Gronwall ta tìm To > ρo > thỏa mãn ||u(t)||2 ≤ ρ2o với t ≥ To Bước : Rs Rs Giả sử F (s) = f (τ )dτ , G(s) = g(τ )dτ từ (2.4) ta có: Z Z Z d 2 ||u|| + |∇u| dx + C6 F (u)dx + C7 G(u)dx ≤ M1 + C8 ||ho (t)||2 , dt Ω Ω Γ với số M1 phụ thuộc |Ω| lấy tích phân hai vế bất đẳng thức cận từ t đến t + ||u(t)||2 ≤ ρ2o với t ≥ To ta có: Z t+1  Z Z Z  |∇u| dx + C6 F (u)dx + C7 G(u)dx ds ≤ M1 + ||u||2 t Ω Ω Γ (2.5) Z t+1 + C8 ||ho (s)|| ds ≤ M2 , t với M2 phụ thuộc |Ω|, ρ2o , ||h(t)||2b Trường hợp khác nhân hai vế (2.1) với ut ta Z Z  1d d 2 ||ut|| + F (u)dx + G(u)dx = (ho (t), ut ) ||∇u|| + dt dt Ω Γ Như ta có: d ||∇u||2 + dt Z F (u)dx + Ω Z Γ 10  G(u)dx ≤ ||ho(t)||2 (2.6) từ (2.5) (2.6) sử dụng bổ đề Gronwall ta có: Z Z ||∇u|| + F (u)dx + G(u)dx ≤ M3 , t ≥ To + 1, Ω M3 phụ thuộc vào |Ω|, ρ2o , ||h(t)||2b Bất đẳng thức (2.7) viết lại Z  Z Z    |Γ| |Γ| G(u) − G(u) dx ≤ M3 , ||∇u|| + F (u) + G(u) dx − |Ω| |Ω| Ω |Γ| Γ Ω sử dụng bổ đề (1.2.11)và lý luận tương tự [9, Định lý 3.1] ta có: Z  Z  |Γ| R2 G(u) − G(u) dx ≤ ε||∇u||2L2(Ω) + ||g(u)||2L2(Ω) , |Ω| Ω |Γ| Γ 4ε với R = (2.7) Γ (2.8) (2.9) |Γ| co (Ω, 1) kết hợp (2.8) (2.9) ta có: |Ω| Z Z   |Γ| R2 2 (1 − 2ε) |∇u| dx + F (u) + G(u) − |g(u)| dx ≤ M3 |Ω| 4ε Ω Ω Sử dụng phương pháp chứng minh tương tự [9, Định lý 3.2], ta biết trường hợp (i) (ii) thỏa mãn hệ động lực định nghĩa (2.3) tán xạ, ta có Z Z (1 − 2ε) |∇u| dx + C9 |u|p+1dx ≤ M4 , Ω Ω với M4 phụ thuộc vào |Ω|, ρ2o , ||h(t)||2b Từ (2.4) ta có: với t ≥ To + 1, σ ∈ Σ tồn số dương R phụ thuộc |Ω|, ρ2o , ||h(t)||2b thỏa mãn: ||u(t)||Lp+1(Ω) ≤ M với t ≥ To + 1, σ ∈ Σ ||∇u(t)|| ≤ M với t ≥ To + 1, σ ∈ Σ Điều phải chứng minh ♦ Dựa vào kết định lí (2.2.2) ta có tồn tập hút L2 (Ω): Hệ 2.2.3 Với giả thiết định lí (2.2.2), họ q trình Uσ (t, τ ), σ ∈ Σ tương ứng với (2.3) có tốn tử compact L2 (Ω) Chứng minh Do Định lí 2.2.2 phép nhúng H (Ω) ֒→ L2 (Ω) compact kéo theo tồn tập hút L2 (Ω) ♦ 2.3 Sự tồn tập hút Lp(Ω) Định nghĩa 2.3.1 ([5]) Một hàm ϕ ∈ L2loc (R; X) gọi hàm chuẩn tắc tịnh tiến với ε > 0, tồn η > thỏa mãn Z t+η ||ϕ||2X ds ≤ ε sup t∈R t Ký hiệu L2n (R; X) tập bao gồm tất hàm chuẩn tắc tịnh tiến L2loc (R; X), rõ ràng L2n (R; X) ⊂ L2b (R; X) Ký hiệu L2c (R; X) họ hàm compact tịnh tiến φ(s), s ∈ R Theo chứng minh [5] ta có L2n (R; X), L2c (R; X) khơng gian đóng L2b (R; X) 11 Bổ đề 2.3.2 Nếu ϕo ∈ L2n (R; X) với τ ∈ R, Z t lim sup e−γ(t−s) ||ϕ(s)||2X ds = 0, γ→∞ t≥τ τ (tương ứng với ϕ ∈ H(ϕo)) với H(ϕo ) = {ϕo (t + h)|h ∈ R} Trong phần sau giả thiết Ω1 = Ω(u(t) ≥ M), Γ1 = Γ(u(t) ≥ M) Định lí 2.3.3 Giả sử h chuẩn tắc tịnh tiến L2loc (R, L2 (X)) f g hai hàm thỏa mãn điều kiện (2.1), (2.2) nếu: i) p+1 > 2q, ii) p+1 = 2q |Γ1 | co (Ω, 1) co (Ω, 1) cho bổ đề |Ω1 | (1.2.11) với ε > 0, τ ∈ R tập bị chặn B ⊂ Lp+1 (Ω) tồn hai số dương M = M(ε) T = T (B, ε, τ ) thỏa mãn: Z |Uσ (t, τ )uτ |p+1 ≤ ε, ∀t ≥ T, uτ ∈ B, σ ∈ Σ với (p + 1)2 Cf > R21 Cg2 (q + p)2 , R1 = Ω(|Uσ (t,τ )uτ |≥M ) Chứng minh Sử dụng ý tưởng chứng minh [13, 9] Ta nhân hai vế (2.1) với (u − M)p+ tích phân hai vế Ω ta có: Z Z d p+1 |u − M| dx + p (u − M)p−1 |∇u|2dx p + dt Ω(u≥M ) Ω(u≥M ) Z Z + f (u)(u − M)p dx + g(u)(u − M)p dx (2.10) Ω(u≥M ) Γ(u≥M ) Z = ho (t)(u − M)p dx, Ω(u≥M ) với (u − M)+ ký hiệu phần dương (u − M) nghĩa là: ( (u − M), u ≥ M, (u − M)+ = 0, u ≤ M, Giả sử M = M(ε) T = T (B, ε, τ ) phương trình (2.10) ta viết lại Z Z p+1 d 4p p+1 |u − M| dx + |∇(|u − M| )|2 dx p + dt Ω1 (p + 1) Ω1 Z   |Γ1 | f (u)(u − M)p + + g(u)(u − M)p dx− |Ω1 | Ω1 Z Z  Z  |Γ1 | p p ho (t)(u − M)p dx g(u)(u − M) − g(u)(u − M) dx = |Ω1 | Γ1 |Γ1 | Γ1 Ω1 12 (2.11) (2.12) Sử dụng bổ đề (1.2.11) ta có: Z |Γ | Z   p p g(u)(u − M) − g(u)(u − M) dx |Ω1 | Ω1 |Γ1 | Γ1
p ≤ R1 ||∇ g(u)(u − M) ||L1 (Ω1 )   p−1 p+1 2p g ′ (u)(u − M) + g(u) |u − M| ∇(|u − M| ) = R1 p+1 p+1 L1 (Ω1 ) p + ≤ ε ∇(|u − M| ) L2 (Ω1 )   p−1 R ′ 2p , + g (u)(u − M) + g(u) |u − M| 4ε p+1 p+1 L2 (Ω1 ) với R1 = |Γ1 | kết hợp (2.12) (2.13) ta |Ω1 | Z Z  4p p+1 d p+1 −ε |u − M| dx + |∇(|u − M| )|2 dx+ p + dt (p + 1) Ω1 Ω1 Z  R21 |Γ1 | g(u)(u − M) − (g ′ (u)(u − M)+ f (u)(u − M) + |Ω1 | ε(p + 1) Ω1 Z  p−1 pg(u)) |u − M| dx ≤ ho (t)(u − M)p dx (2.13) (2.14) Ω1 Ta có tập H ′′ (u) = f (u)u(u − M) + 2 |Γ| R21  ′ g (u)(u − M) + pg(u) g(u)(u − M) − |Ω| ε(p + 1)2 Từ giả thiết ta thấy số hạng ứng với |u| ≫ f (u) ∼ Cf |u|p−1u g(u) ∼ Cg |u|q−1u Như số hạng H ′′ (u) Cf |u|p+1 + |Γ1 | R21 Cg |u|q+1 − (q + p)2 Cg2 |u|2q Ω1 ε(p + 1)2 Sử dụng điều ta có: i) p + > 2q hệ số số hạng có bậc cao H ′′ (u) Cf ; ii) p + = 2q p, q > hệ số số hạng có bậc cao H ′′ (u) Cf − R2 Cg2 (p + q)2 ǫ(p + 1) Chúng ta chọn ε thỏa mãn hệ số số hạng có bậc cao H ′′ (u) dương (p + 1)2 Cf > R21 Cg2 (p + q)2 Trong trường hợp hệ động lực định nghĩa (2.3) tán xạ ta có H ′′ (u) ≥ k1 |u|p+1 − k2 13 (2.15) với k1 , k2 hai số dương tùy ý Kết hợp (2.14) (2.15) tồn số k3 thỏa mãn Z  4p Z p+1 d p+1 2 )| dx |u − M| dx + |∇(|u − M| − ε p + dt Ω1 (p + 1) Ω1 Z Z Z (2.16) k3 2p p−1 p+1 |u − M| dx + |ho (t)| dx, |u − M| |u| dx ≤ + k3 Ω1 2k3 Ω1 Ω1 điều kéo theo Z Z k3 M p−1 d p+1 |u − M| dx + |u − M|p+1 dx p + dt Ω1 Ω1 Z ≤ |ho (t)|2 dx 2k3 Ω1 Sử dụng bổ đề Gronwall với bổ đề (2.3.2) chọn M t − τ đủ lớn (phụ thuộc ε) thỏa mãn Z |u(t) − M|p+1 dx ≤ ε (2.17) Ω1 Chú ý 2p+1 Z |u| p+1 dx ≤ Ω(u≥2M ) |u − M|p+1 dx (2.18) Ω(u≥2M ) kết hợp (2.17) (2.18) ta có Z Z |u(t)|p+1dx ≤ 2p+1 ε (2.19) Ω(u≥2M ) Chứng minh thay (u + M)− (u + M)p− (u − M)− (u − M)p− ta có: Z |u(t)|p+1dx ≤ 2p+1 ε (2.20) Ω(u≤−2M ) Kết hợp (2.19) (2.20) ta có Z |u(t)|p+1dx ≤ 2p+1ε Ω(|u(t)|≤2M ) Đó điều phải chứng minh ♦ Định lí 2.3.4 Giả sử h chuẩn tắc tịnh tiến L2loc (R, L2 (Ω)) f g hai hàm thỏa mãn điều kiện (2.1), (2.2) nếu: i) p+1 > 2q, ii) p+1 = 2q |Γ1 | co (Ω, 1) co (Ω, 1) cho bổ đề |Ω1 | (1.2.11) họ trình Uσ (t, τ ), σ ∈ Σ tương ứng với (2.3) có tập hút compact AΣ Lp (Ω) AΣ thỏa mãn AΣ = ω0,Σ (Bo ) với (p + 1)2 Cf > R2 Cg2 (q + p)2 , R1 = Chứng minh Từ Bổ đề 1.2.11 Định lí 2.3.3 sử dụng Định lí 2.3 [10] (hoặc [13, Định lí 5.5]) ta dễ dàng chứng minh Uσ (t, τ ), σ ∈ Σ tiệm cận compact Lp (Ω); kết hợp với Định lí 2.2.2 ta có tồn tập hút compact AΣ Lp (Ω) ♦ 14 Kết luận Những kết mà tác giả đạt q trình nghiên cứu tốn (0.1) là: Sự tồn tập hút L2 (Ω) Sự tồn tập hút Lp (Ω) Sau kết trình bày luận văn, số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu: • Nghiên cứu tính trơn tập hút nhận • Đánh giá số chiều farctal tập hút 15 Tài liệu tham khảo [1] A.V Babin, M.I Vishik, Attractors of Evolution Equations, North-Holland, Amsterdam (1992) [2] V.V Chepyzhov, M.I Vishik, Attractors of Evolution Equations of Mathematical Physics, Amer Math Soc, Providence,RI (2002) [3] O.A Ladyzhenskaya,Attractors for Semigroups and Evolution Equations, Leizioni Lincei, Cambridge University Press, Cambridge, New York (1991) [4] S.S Lu, Attractors for nonautonomous reaction-diffusion systems with symbols without strong translation compactness, Asymptot Anal 54 (2007) 197-210 [5] S.S Lu, H.Q Wu, C.K Zong, Attractors for nonautonomous 2D Navier-Stokes equations with normal external forces, Discrete Contin Dyn Syst 13 (2005) 701 - 719 [6] M Marion, Attractors for reactions-diffusion equation: existence and estimate, Appl Anal 25 (1987) 101-147 [7] J.C Robinson, Infinite-Dimensional Dynamical Systems, Cambridge University Press (2001) [8] J.C Robinson, A Rodríguez-Bernal, A Vidal-Lopez, Pullback attractors and extremal completetrajectories for non-autonomous reaction-diffusion problems, J Differential Equations 238 (2007) 289-337 [9] A Rodríguez-Bernal, A Tajdine, Nonlinear balance for reaction diffusion equation under nonlinear boundary condition: dissipativity and blow-up, J Differential Equations 169(2001) 332 - 372 [10] H.T Song, C.K Zhong, Attractors of non-autonomous reaction-diffusion equation in Lp , Nonlinear Anal 68 (2008) 1890-1897 [11] L Yang, Uniform attractors for the closed process and applications to the reactiondiffusion equation with dynamical boundary condition, Nonlinear Anal 71 (2009) 40124025 [12] L Yang, M.H Yang Attractors of the non-autonomous reaction-diffusion equation with nonlinear boundary condition, Nonlinear Analysis, Real World Applications 11 (2010), 3946-3954 16 [13] C.K Zong, M.H Yang, C.Y Sun, The existence of global attractors for the norm - to weak continuous semigroup and applications to the nonlinear reaction-diffusion equations, J Differential Equations 223 (2006) 367 - 399 17