Luận văn tập hút toàn cục của 1 lớp phương trình parabolic suy biến nửa tuyến tính trong miền bị chặn (tt)

1 Mở đầu Lý chọn đề tài Trong lí thuyết phương trình đạo hàm riêng đại, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận phương trình parabolic phi tuyến toán quan trọng Để nghiên cứu dáng điệu nghiệm, người ta sử dụng lí thuyết ổn định cơng cụ từ lí thuyết hệ động lực vơ hạn chiều Sự tồn tập hút tồn cục cho phương trình parabolic suy biến kiểu Grushin thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học ngồi nước Trong [2, 8], tác giả chứng minh tồn tập hút toàn cục lớp phương trình parabolic suy biến tương ứng với tốn tử Grushin Gần đây, kết mở rộng cho lớp toán tử ∆λ X−elliptic miền bị chặn [5, 6] toán tử suy biến mạnh tồn khơng gian RN [3] Đến nay, dáng điệu tiệm cận phương trình parabolic suy biến vấn đề thời tiếp tục nghiên cứu Vì vậy, chọn đề tài luận văn thạc sĩ là: "Tập hút toàn cục lớp phương trình parabolic suy biến nửa tuyến tính miền bị chặn" Trong luận văn, nghiên cứu tồn nghiệm toàn cục dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian tăng vơ tốn biên ban đầu:   x ∈ Ω,t >   ∂t u(t, x) = ∆λ u(t, x) + f (x, u(t, x)) = 0, u(t, x) = 0,    u(0, x) = u (x), x ∈ ∂ Ω,t > 0, (1) x ∈ Ω miền bị chặn Ω ⊂ RN ∆λ toán tử elliptic suy biến kiểu: N ∆λ u = ∑ ∂xi (λi2 ∂x j u), λ = (λ1 , , λN ) : RN → RN (2) i, j=1 Với điều kiện tăng trưởng thích hợp số hạng phi tuyến f , toán biên ban đầu có nghiệm tồn cục Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm, với giả thiết tính tiêu hao số hạng phi tuyến, chúng tơi chứng minh nửa nhóm tương ứng tốn có tập hút tồn cục Nội dung dự kiến luận văn dựa tài liệu báo [5, 6] tác giả Kogoj Sonner 2 Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian tiến vô cách chứng minh tồn tập hút toàn cục ước lượng số chiều fractal tập hút Nhiệm vụ nghiên cứu tìm hiểu lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều ứng dụng chứng minh tồn tập hút toàn cục trình bày ước lượng số chiều fractal tập hút Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Một lớp phương trình parabolic suy biến nửa tuyến tính miền bị chặn • Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tồn nghiệm toàn cục, điều kiện đủ để nửa nhóm tương ứng tốn có tập hút tồn cục, đánh giá số chiều fractal tập hút Định hướng phương pháp nghiên cứu Trong luận văn này, để chứng minh tồn nghiệm địa phương toán biên ban đầu, chúng tơi sử dụng phương pháp giải tích hàm lí thuyết nửa nhóm, sử dụng bất đẳng thức Poincare để chứng minh ∆λ sinh nửa nhóm giải tích Sự tồn nghiệm tồn cục thu vài điều kiện tiêu hao số hạng phi tuyến Để nhận dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian tiến vô chúng tơi sử dụng cơng cụ từ lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều 5.Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương: Chương hệ thống lại kiến thức sở cần thiết cho chương sau Cụ thể, chúng tơi nhắc lại lí thuyết nửa nhóm; lớp tốn tử elliptic suy biến khơng gian hàm tương ứng; số kết từ lí thuyết hệ động lực vơ hạn chiều Chương trình bày kết luận văn, gồm tồn nghiệm địa phương nghiệm toàn cục; tồn tập hút toàn cục đánh giá số chiều fractal tập hút tồn cục Thanh Hóa, tháng năm 2016 Tác Giả Chương Kiến thức sở Trong chương này, chúng tơi nhắc lại lí thuyết nửa nhóm; lớp tốn tử elliptic suy biến khơng gian hàm tương ứng; số kết từ lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều Kiến thức chương chủ yếu tham khảo từ tài liệu [1, 2, 5] 1.1 Sơ lược toán tử tuyến tính khơng bị chặn nửa nhóm giải tích 1.1.1 Tốn tử tuyến tính khơng bị chặn Định nghĩa 1.1.1 ([1]) Tốn tử tuyến tính A từ khơng gian định chuẩn X, k · kX vào không gian định chuẩn Y, k · kY gọi tốn tử khơng bị chặn với M ∈ R tồn x ∈ X kAxkY ≥ MkxkX Hầu hết toán tử tuyến tính sinh phương trình vi phân đạo hàm d (trong trường hợp riêng toán tử khơng bị chặn Điều tốn tử dx d tổng qt) tốn tử khơng bị chặn Thật vậy, xét toán tử dx miền C1 ([0; 1]) tập L1 ([0; 1]), với k ∈ R hàm e−kx ∈ C1 ([0; 1]) d −kx e = −ke−kx dx suy k d −kx e kL2 = kke−kx kL2 dx d k 2 ≥k dx L (L ,L ) d tốn tử khơng bị chặn với k, chứng tỏ toán tử dx k 1.1.2 Điều kiện đủ để tốn tử sinh nửa nhóm giải tích Giả sử X không gian Banach phức Khi ta có số định nghĩa Định nghĩa 1.1.2 ([1]) Họ ánh xạ {S(t)} , t ≥ gọi nửa nhóm tuyến tính liên tục mạnh ( đơn giản C0 - nửa nhóm ) S(t) ∈ L (X) a) S(0) = I; b) S(t + s) = S(t)S(s), ∀t, s ∈ [0, ∞); c) ∀x ∈ X, t 7→ S(t)x ∈ C0 ([0, ∞), X) (có thể thay c) lim S(t)x = x) t→0+ S(t) gọi C0 - nhóm định nghĩa [0, ∞) thay R Khi S(t)−1 = S(−t) ∈ L (X) Định nghĩa 1.1.3 ([1]) Ta gọi toán tử sinh nửa nhóm {S(t)}t≥0 tốn tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X định nghĩa   S(t) − x tồn X D(A) = x ∈ X | lim t t→0+ S(t) − x , x ∈ D(A) t t→0+ Ax = lim Ví dụ 1.1.4 Giả sử A ∈ L (X) Chuỗi (Az)n ∑ n=0 n! ∞ S(z) = exp(Az) = hội tụ X định nghĩa đắn Nó xác định hàm nguyên z với giá trị X cho S(0) = I, S(z1 + z2 ) = S(z1 )S(z2 ), ∀z1 , z2 ∈ C, S0 (z) = AS(z) = S(z)A S(t) xác định C0 - nhóm với tốn tử sinh A Hơn nữa, với z0 ∈ X, ánh xạ z(t) = S(t)z0 nghiệm toán d z(t) = Az(t), t ∈ R, z(0) = z0 dt Định lý 1.1.5 ([1]) Giả sử {S(t)} , t ≥ C0 - nửa nhóm với tốn tử sinh A Khi đó: ∃ω ∈ R, M ≥ cho kS(t)kL (X) ≤ Meωt , ∀t ≥ 0; ∀x0 ∈ X, t ≥ 0, ta có Rt S(s)x0 ∈ D(A)  Zt A  S(s)x0  = S(t)x0 − x0 Nếu x0 ∈ D(A), S(t)x0 ∈ D(A), ∀t ≥ t 7→ S(t)x0 ∈ C1 ([0, +∞), X) d (S(t)x0 ) = AS(t)x0 = S(t)Ax0 , ∀t ≥ dt {S1 (t)} , t ≥ {S2 (t)} , t ≥ hai C0 - nửa nhóm với tốn tử sinh A, S1 (t) = S2 (t), t ≥ A toán tử đóng D(A) trù mật X Nếu kS(t)kL (X) ≤ 1, ∀t ≥ 0; (tức a) thỏa mãn với M = ω = 0) ta nói {S(t)} , t ≥ nửa nhóm co Giả sử A tốn tử tuyến tính đóng Ta gọi giải thức A tập hợp  ρ(A) = λ ∈ C| (λ I − A)−1 ∈ L (X) R(λ , A) = (λ I − A)−1 , λ ∈ ρ(A), gọi toán tử giải A Tập hợp σ (A) = C \ ρ(A), gọi phổ A 6 Định nghĩa 1.1.6 ([1]) Giả sử ϕ ∈ (0, π) ký hiệu ∆ϕ = {z ∈ C \ (−∞, 0] | | arg(z)| < ϕ} ∆ϕ = ∆ϕ ∪ {0} Ánh xạ S : ∆ϕ → L (X) gọi nửa nhóm giải tích nếu: a) S(0) = Id; b) S(z1 + z2 ) = S(z1 )S(z2 ), ∀z1 , z2 ∈ ∆ϕ ; c) z 7→ S(z) hàm giải tích ∆ϕ (với giá trị L (X)); d) ∀u ∈ X, lim S(z)u = u z→0 z∈∆ϕ 1.2 Về lớp toán tử suy biến ∆λ 1.2.1 Định nghĩa tính chất quan trọng Cho Ω tập mở, bị chặn RN , N ≥ 2, xét toán tử elliptic suy biến dạng N ∆λ := ∑ ∂xi (λi2 ∂xi ), i=1 ∂xi = ∂ ∂xi , i = 1, , N Các hàm λi : RN → R liên tục, dương thuộc lớp C1 mặt phẳng tọa độ thỏa mãn tính chất sau: (A1 ) λ1 (x) ≡ 1, λi (x) = λi (x1 , , xi−1 ), i = 1, , N (A2 ) Với x ∈ RN hàm λi (x) = λi (x∗ ), i = 1, , N, x∗ = (|x1 |, , |xN |) với x = (x1 , , xN ) (A3 ) Tồn số ρ ≥ cho ≤ xk ∂xk λi (x) ≤ ρλi (x), ∀k ∈ {1, , i − 1} , i = 2, , N  với x ∈ RN+ := (x1 , , xN ) ∈ RN : xi ≥ 0, i = 1, , N (A4 ) Tồn nhóm giãn (δr )r>0 δr : RN → RN , δr (x) = δr (x1 , , xN ) = (rε1 x1 , , rεN xN ) (1.1) ≤ ε1 ≤ ε2 ≤ ≤ εN , cho λi δr - bậc εi − nghĩa λi (δr (x)) = rεi −1 λi (x) ∀x ∈ RN , r > 0, i = 1, , N (1.2) Điều kéo theo ∆λ δr - bậc bậc hai, nhĩa ∆λ (u(δr (x))) = r2 (∆λ u)(δr (x)), ∀u ∈ C∞ (RN ) Gọi Q số chiều RN theo nhóm giãn (δr )r>0 , nghĩa Q := ε1 + + εN Q đóng vai trị quan trọng cấu trúc hình học cấu trúc hàm toán tử ∆λ Chú ý với giả thiết (A1 ) tốn tử ∆λ viết thành N ∆λ = ∑ (λi ∂xi )2 i=1 Với hàm u ∈ C1 ký hiệu N ∇λ u = (λ1 ∂x1 u, , λN ∂xN u), |∇λ u| = ∑ |λi ∂xi u|2 i=1 ký hiệu W˚ λ1,2 (Ω) bao đóng C01 (Ω) với chuẩn kukW˚ 1,2 (Ω) := λ Z |∇λ u(x)|2 dx 1 Ω Từ Mệnh dề 3.2 Định lý 3.3 [14] thu tính chất nhúng sau: Mệnh đề 1.2.1 ([5]) Phép nhúng W˚ λ1,2 (Ω) ,→ L p (Ω) liên tục với p ∈ [1, 2∗λ ] compact với p ∈ [1, 2∗λ ), 2∗λ := 2Q Q−2 Chú ý 1.2.2 Từ giả thiết λi ≡ (i), thu bất đẳng thức kiểu Poincaré với toán tử ∆λ dựa BĐT Poincaré cổ điển: Tồn số C > 0, cho kukL2 (Ω) ≤ CkukW˚ 1,2 (Ω) ∀u ∈ C01 (Ω), (1.3) λ √1 , µ1 số tối ưu bất đẳng thức µ1 > giá trị riêng toán tử −∆λ Ω với điều kiện biên Dirichlet BĐT trường hợp riêng phép nhúng Mệnh đề 1.2.1 1.2.2 Một số ví dụ toán tử suy biến Trong tiểu mục này, chúng tơi giới thiệu số ví dụ tốn tử ∆λ Chúng ta chia RN thành RN = RN1 × × RNk viết x = (x(1) , , x(k) ), (i) (i) x(i) = (x1 , , xNi ) ∈ RNi , i = 1, , k Chúng ta định nghĩa lớp toán tử Laplace cổ điển RNi Ni ∆x(i) = ∑ ∂x2(i)j , j=1 viết toán tử RN dạng ∆λ = (λ (1) )2 ∆x(1) + + (λ (k) )2 ∆x(k) RN = RN1 × × RNk , λ = (λ (1) , , λ (k) ), (i) (i) λ (i) = (λ1 , , λNi ) hàm λ (i) liên tục RNi , i = 1, , k Ví dụ 1.2.3 Cho α số dương k = Xét toán tử ∆λ = ∆x(1) + |x(1) |2α ∆x(2) (1) (2) λ = (λ (1) , λ (2) ), với λ j (x) = 1, j = 1, , N1 λ j (x) = |x(1) |α , j = 1, , N2 Sử dụng hệ thức (1.2) tìm nhóm giãn (A4) δr (x(1) , x(2) ) = (rx(1) , rα+1 x(2) ) số chiều theo (δr )r>0 Q = N1 + N2 (α + 1) Toán tử gọi toán tử kiểu Grushin Tổng quát nữa, với đa số α = (α1 , , αk−1 ) với số thực α j ≥ 0, j = 1, , k − 1, định nghĩa ∆λ = ∆x(1) + |x(1) |2α ∆x(2) + + |x(k−1) |2α2k−1 ∆x(k) Khi đó, ta ký hiệu λ = (λ (1) , , λ (k) ) với (1) λ j (x) ≡ 1, , N1 (i) λ j (x) = |x(i−1) |αi−1 i = 2, , k, j = 1, , Ni nhóm giãn cho λ thỏa mãn (1.2) cho δr (x(1) , , x(k) ) = (rε1 x(1) , , rεk x(k) ) với ε1 = εi = αi−1 εi−1 + 1, ∀i = 2, , k Trong trường hợp đặc biệt α1 = = αk−1 = α, nhóm giãn trở thành δr (x(1) , , x(k) ) = (rx(1) , rα+1 x(2) , , rα k−1 + +α+1 x(k) ) Ví dụ 1.2.4 cho α, β γ số thực khơng âm Với tốn tử ∆λ = ∆x(1) + |x(1) |2α ∆x(2) + |x(1) |2β |x(2) |2γ ∆x(3) λ = (λ (1) , λ (2) , λ (3) ) với (1) λ j (x) ≡ 1, (2) λ j (x) = |x(1) |α , (3) j = 1, , N1 j = 1, , N2 λ j (x) = |x(1) |β |x(2) |γ , j = 1, , N3 10 tìm nhóm giãn dạng δr (x(1) , x(2) , x(3) ) = (rx(1) , rα+1 x(2) , rβ +(α+1)γ+1 x(3) ) Tương tự, tốn tử có dạng ∆λ = ∆x(1) + |x(1) |2α1,1 ∆x(2) + |x(1) |2α2,1 |x(2) |2α2,2 ∆x(3) ! k−1 ∏ +|x(i)|2αk−1,i + + ∆x(k) , i=1 αi, j ≥ 0, i = 1, , k − 1, j = 1, , i số thực, nhóm giãn cho δr (x(1) , , x(k) ) = (rε1 x(1) , , rεk x(k) ) j−1 với ε1 = εi = + ∑ α j−1,i εi , với i = 2, , k i=1 Trong trường hợp đặc biệt, α1,1 = = αk−1 = α nhóm giãn trở thành k−1 δr (x(1) , , x(k) ) = (rx(1) , rα+1 x(2) , , r(α+1) x(k) ) Ví dụ 1.2.5 Giả sử p1 , p2 : RN1 → R đa thức với hệ số (1) (1) biến |x1 |, , |xN1 | dương p3 : RN2 → R đa thức (2) (2) với hệ số biến |x1 |, , |xN2 | dương Với toán tử 2  2  2 (1) (2) ∆λ = ∆x(1) + p1 (x ) ∆x(2) + p2 (x ) p3 (x ) ∆x(3)  (1) tìm nhóm giãn δr (x(1) , x(2) , x(3) ) = (rx(1) , rm1 +1 x(2) , rm2 +(m1 +1)m3 +1 x(3) ), mi bậc đa thức pi , i = 1, 2, Tổng quát hơn, cho µ1 , µ2 : RN1 → R µ3 : RN2 → R hàm liên tục, dương thuộc lớp C1 mặt phẳng tọa độ, thỏa mãn điều kiện (A2), (A3) µ1 (sx(1) ) = sα µ1 (x(1) ), µ2 (sx(1) ) = sβ µ2 (x(1) ), µ3 (sx(2) ) = sγ µ3 (x(2) ), ∀s > 0, 11 α, β γ số thực khơng âm Nhóm giãn toán tử  2  2  2 (1) (2) (1) µ3 (x ) ∆x(3) ∆λ = ∆x(1) + µ1 (x ) ∆x(2) + µ2 (x ) cho δr (x(1) , x(2) , x(3) ) = (rx(1) , rα+1 x(2) , rβ +(α+1)γ+1 x(3) ) 1.3 Sơ lược tập hút toàn cục hệ động lực vô hạn chiều 1.3.1 Khái niệm tập hút toàn cục Trước hết khái niệm hệ động lực Định nghĩa 1.3.1 ([5]) Hệ động lực cặp (V, S(t)) gồm không gian Banach V họ ánh xạ S(t), t ≥ 0, từ V vào V thỏa mãn a) S(0) = Id; b) S(t + s) = S(t)S(s) với t, s ≥ 0; c) Với t ≥ 0, S(t) ∈ C0 (V,V ); d) Với u ∈ V, t 7→ S(t)u ∈ C0 ((0, +∞),V ) Họ ánh xạ S(t), t ≥ 0, nửa nhóm liên tục V Khi V gọi khơng gian pha (hay không gian trạng thái) Với tập B ⊂ V định nghĩa quỹ đạo dương B γ + (B) := [ S(t)B, t≥0 tổng quát hơn, với t ≥ định nghĩa quỹ đạo B sau thời điểm τ γτ+ (B) := γ + (S(τ)B) 12 Nửa nhóm S(t), t ≥ compact tiệm cận với tập bị chặn B ⊂ V cho γτ+ (B) bị chặn với τ ≥ 0, tập {S(tn + τ)vn , n ∈ N} compact tương dãy dãy B tn ≥ cho tn → ∞ t → ∞ Chúng ta gọi tập khác rỗng A ⊂ V tập hút tồn cục nửa nhóm S(t), t ≥ A bất biến, nghĩa S(t)A = A ∀t ≥ 0, A hút tập bị chặn B ⊂ V , nghĩa lim distH (S(t)B, A ) = t→+∞ distH (E, F) = sup inf ka − bkV với E, F ⊂ V nửa khoảng cách a∈E b∈F Hausdorff hai tập E F V Một hàm Lyapunov với nửa nhóm S(t), t ≥ 0, hàm Φ : V → R cho Φ(S(t)v) ≤ Φ(v) ∀t ≥ 0, ∀v ∈ V Φ(S(t)v) = Φ(v) ∀t ≥ suy v điểm cân Nếu S(t), t ≥ có hàm Lyapunov gọi nửa nhóm gradient Hơn nữa, ký hiệu tập điểm cân nửa nhóm S(t), t ≥ E := {v ∈ V : S(t)v = v ∀t ≥ 0} tập không ổn định E W u (E ) = {v ∈ v : S(t)x định nghĩa với t ∈ R, distH (S(−t)v, E ) → t → ∞} 1.3.2 Sự tồn tập hút toàn cục hệ gradient Định lý 1.3.2 ([5]) Cho S(t), t ≥ nửa nhóm gradient compact tiệm cận cho với tập bị chặn B ⊂ V tồn τ ≥ cho quỹ đạo γτ+ (B) bị chặn Nếu tập điểm cân E bị chặn tập hút tồn cục tồn tại, liên thơng A = W u (E ) Tập ω- giới hạn phần tử v ∈ V  ω(v) = y ∈ V : tồn dãy tn ≥ 0, n ∈ N, tn → ∞, cho , S(tn )v → y 13 n → ∞} Nguyên lý bất biến Lasalle (xem Mệnh đề 4.2 [8]) đặc trưng cho dáng điệu tiệm cận quỹ đạo Mệnh đề 1.3.3 Cho S(t), t ≥ nửa nhóm gradient V với hàm Lyapunov Φ : V → R cho u ∈ V Nếu quỹ đạo γτ+ (u) compact tương đối V với τ ≥ 0, giới hạn lim Φ(S(t)u) = a tồn Φ(v) = a với t→∞ v ∈ ω(u) Hơn nữa, ω(u) ⊂ E , E 6= 0/ distH (S(t)u, E ) → t → ∞ 1.3.3 Số chiều fractal tập compact bất biến Định nghĩa 1.3.4 ([1]) Giả sử M tập compact khơng gian metric X Khi số chiều fractal M định nghĩa log2 n(M, ε) ln n(M, ε) = lim ε→0 log ( ) ε→0 ln( ) ε ε dimF M = lim n(M, ε) số tối thiểu hình cầu đóng bán kính ε cần dùng để phủ M Hơn nữa, số Hε (M) := log2 n(M, ε) gọi Kolmogorov ε - entropy M Định lý 1.3.5 ([1]) Giả sử M tập compact không gian Hilbert H Giả sử V ánh xạ liên tục H cho V (M) ⊃ M tồn phép chiếu hữu hạn chiều P không gian H cho k(V v1 −V v2 )k ≤ lkv1 − v2 k, v1 , v2 ∈ M, k(1 − P)(V v1 −V v2 )k ≤ δ kv1 − v2 k, v1 , v2 ∈ M, δ < l ≥ − δ Khi tập M có số chiều fractal hữu hạn 9l dimF M ≤ dim P ln 1−δ  −1 ln 1+δ 14 Chương Sự tồn đánh giá số chiều fractal tập hút toàn cục 2.1 Đặt vấn đề Trong chương ta xét tốn parabolic trừu tượng nửa tuyến tính sau:   x ∈ Ω,t >   ∂t u(t, x) = ∆λ u(t, x) + f (x, u(t, x)) = 0, (2.1) u(t, x) = 0, x ∈ ∂ Ω,t > 0,    u(0, x) = u (x), x ∈ Ω, Ω ∈ RN miền bị chặn kiện ban đầu u0 ∈ W˚ λ1,2 (Ω) Hàm phi tuyến f : R → R liên tục Lipschitz địa phương thỏa mãn cho điều kiện tăng trưởng sau Tồn số c ≥ ≤ γ < Q−2 | f (u) − f (v)| ≤ c|u − v|(1 + |u|γ + |v|γ ) ∀u, v ∈ R (2.2) Hơn nữa, để chứng tỏ tồn tập hút toàn cục nghiệm giả sử điều kiện dấu sau f (u) lim sup < µ1 (2.3) u |u|→∞ µ1 > ký hiệu giá trị riêng toán tử −∆λ Ω với điều kiện biên Dirichlet Điều kéo theo tồn số ≤ c0 < µ1 c1 ∈ R cho u f (u) ≤ c1 |u| + c0 u2 , u ∈ R 15 2.2 Sự tồn nghiệm 2.2.1 Sự tồn nghiệm địa phương Định nghĩa 2.2.1 ([5]) u gọi nghiệm yếu địa phương (2.1) tồn T > cho     1,2 1,2 ˚ ˚ u ∈ C [0, T ); Wλ (Ω) , u(0) = u0 , u ∈ C (0, T ); (Wλ (Ω)) ( Y không gian đối ngẫu không gian Banach Y ) u thỏa mãn phương trình d hu(t), viL2 (Ω) = −aλ (u(t), v) + h f (u), viL2 (Ω) ∀v ∈ W˚ λ1,2 (Ω), t ∈ (0, T ) dt Dạng song tuyến tính aλ W˚ λ1,2 (Ω) xác định Z aλ (u, v) := ∇λ u(x) · ∇λ v(x)dx u, v ∈ W˚ λ1,2 (Ω), Ω với · ký hiệu tích trong RN Chúng ta xét toán tử ∆λ L2 (Ω) với miền n o 1,2 ˚ D(∆λ ) := u ∈ Wλ (Ω) : ∃c ≥ cho |aλ (u, v)| ≤ ckvkL2 (Ω) ∀ ∈ W˚ λ1,2 (Ω), − h∆λ u, viL2 (Ω) = aλ (u, v) D(∆λ ), v ∈ W˚ λ1,2 (Ω) Vì Ω bị chặn hàm λi , i = 1, , N liên tục RN nên D(∆D ) = H01 (Ω) ∩ H (Ω) ⊂ D(∆λ ), ∆D ký hiệu tốn tử Laplace Ω với điều kiện biên Dirichlet Mệnh đề 2.2.2 ([5]) Toán tử −∆λ sinh nửa nhóm giải tích e∆λ t , t ≥ 0, L2 (Ω) 16 Toán tử A := −∆λ dương tự liên hợp L2 (Ω) có nghịch đảo compact Mệnh đề 1.2.1 Do đó, tồn sở trực giao L2 (Ω) hàm riêng ψ j ∈ W˚ λ1,2 (Ω), j ∈ N A với giá trị riêng < µ1 ≤ µ2 ≤ µ j → ∞ j → ∞ Chúng ta ký hiệu không gian bậc phân số liên đới với A X α = (D(Aα ), h·, ·iX α ) α ∈ R Tích trong X α cho hu, viX α = hAα u, Aα viX , u, v ∈ D(Aα ), ( ) D(Aα ) = ψ = ∑ c j ψ j , c j ∈ R ∑ µ 2α j cj < ∞ , j∈N j∈N Aα ψ = Aα ∑ c j ψ j = ∑ µ αj c j ψ j j∈N j∈N Với ký hiệu ta có X = D(−∆λ ), X = W˚ λ1,2 (Ω), X = L2 (Ω), X − = (W˚ λ1,2 (Ω))0 Toán tử A X mở rộng hạn chế tương ứng thành toán tử quạt dương X α với miền X α+1 , α ∈ R nửa nhóm e−At , t ≥ X thu tương ứng với phép mở rộng hạn chế Hơn nữa, β ≤ α có e−At (X β ) ⊂ X α ke−At kL (X β ;X α ) ≤ Cα,β α−β , t >0 (2.4) với số Cα,β ≥ 0, k · kL (X β ;X α ) ký hiệu chuẩn toán tử tuyến tính hai khơng khơng gian V W (Xem [17] [2] ) Chúng ta viết (2.1) dạng ngắn gọn ut = −Au + f (u), (2.5) u|t=0 = u0 1 với kiện ban đầu u0 ∈ X Ở đó, xét toán tử A X − với miền X Cái mà xác định dạng song tuyến tính dạng aλ (Au, v) X − 12 == aλ (u, v) ∀u, v ∈ X 17 f (u) ∈ X − cho ( f (u), v) X−2 (·, ·) X := h f (u), viL2 (Ω) , u, v ∈ X − 12 ký hiệu cặp đối ngẫu X X − Nếu u nghiệm yếu địa phương Định nghĩa 2.2.1 thỏa mãn công thức biến thiên số sau Z t u(t) = Tλ (t)u0 + Tλ (t − s) f (u(s))ds ∀t ∈ [0, T ), Tλ (t), t ≥ ký hiệu nửa nhóm ggiải tích X − sinh toán tử A (xem [6]) Để chứng minh tồn nghiệm với điều kiện tăng trưởng (2.2) cần bổ đề sau Bổ đề 2.2.3 ([5]) Giả sử hàm f thỏa mãn điều kiện tăng trưởng hạn chế với Q−2 đủ nhỏ số Cε ≥ 0, sử dụng bất đẳng thức Poincaré bước cuối Vì c0 < µ1 Lγ+2 (Ω) ,→ X nên từ đánh giá kéo theo nghiệm u bị chặn với t ∈ [0, T ) X tồn nghiệm toàn cục T = ∞ 19 2.3 Sự tồn tập hút toàn cục Theo tiểu mục 2.2.1 ta thấy Bài tốn (2.1) sinh nửa nhóm Sλ , t ≥ X , Sλ (t)u0 = u(t; u0 ), t ≥ 0,     1 2 u(·; u0 ) ∈ C [0, T ); X ∩C (0, T ); X ký hiệu nghiệm toàn cục (2.1) ứng với điều kiện đầu u0 ∈ X Hơn nữa, nửa nhóm Sλ (t), t ≥ Để chứng minh tồn gradient với hàm Lyapunov Φ : X → R tập hút toàn cục cần bổ đề kỹ thuật sau Bổ đề 2.3.1 ([5]) Cho B ⊂ X tập bị chặn Khi đó, với T ∗ > tồn số K > cho kSλ (T ∗ )u − Sλ (T ∗ )vk X2 ≤ Kku − vkX ∀u, v ∈ B Định lý sau nói lên tồn tập hút tồn cục nghiệm Bài toán (2.1) Định lý 2.3.2 ([5]) Nửa nhóm Sλ (t), t ≥ có tập hút toàn cục A W˚ 1,2 (Ω) Hơn nữa, A liên thông λ A = W u (E ), với điều kiện ban đầu u0 ∈ X có ω(u0 ) ⊂ E Đặc biệt lim sup distH (Sλ (t)u0 , E ) = 0, t→∞ n o E = u ∈ X : ∆λ u + f (u) = 2.4 Đánh giá số chiều fractal tập hút toàn cục Để đánh giá số chiều tập hút toàn cục cần hai bổ đề sau 20 Bổ đề 2.4.1 ([5]) Cho V W hai không gian Banach cho phép nhúng V ,→ W trù mật compact Sλ (t), t ≥ nửa nhóm V Giả sử A ⊂ V tập compact bất biến nửa nhóm Sλ (t), t ≥ thỏa mãn tính trơn sau: Tồn T ∗ > số K ≥ cho kSλ (T ∗ )u − Sλ (T ∗ )vkV ≤ Kku − vkW ∀u, v ∈ A Khi số chiều fractal A V hữu hạn Định lý 2.4.2 ([5]) Số chiều tập hút toàn cục A hữu hạn 21 Tài liệu tham khảo A Tiếng Việt [1] Cung Thế Anh (2012), Cơ sở lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều, NXB ĐHSP A Tiếng Anh [2] Anh, C.T., Hung, P.Q., Ke, T.D., Phong, T.T.: Global attractor for a semilinear parabolic equation involving the Grushin operator Electron J Differential Equations 2008, 1–11 (2008) [3] Anh C.T.,Global attractor for a semilinear strongly degenerate parabolic equation on RN , Nonlinear Differential Equations and Appl 21(2014), 663–678 [4] J Bergh and J Lăofstrăom, Interpolation Spaces Springer, Berlin - Heidelberg - New York (1976) [5] A.E Kogoj, S Sonner, Attractors for a class of semi-linear degenerate parabolic equations, J Evol Equ 13 (2013) 675–691 [6] A.E Kogoj, S Sonner, Attractors met X-elliptic operators, J Math Anal Appl 420 (2014) 407–434 [7] D Henry, Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Lecture Notes in Math., Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1981 [8] P.T Thuy, N.M Tri, Longtime behavior of solutions to semilinear parabolic equations involving strongly degenerate elliptic differential operators, Nonlinear Differential Equations Appl 20 (2013) 1213–1224 [9] G Raugel, Global Attractors in Partial Differential Equations Handbook of Dynamical Systems, Vol 2, Elsevier (2002) 22 [10] R Temam, Infinite–Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Springer Verlag, Berlin (1997)