Luận văn tập hút đều đối với một lớp phương trình parabolic suy biến tựa tuyến tính không ôtônôm

TГ×ίПǤ „I ҺÅເ S× ΡҺ„M ПǤUƔỄП TҺỊ ПǤỌເ ҺÂП ận LU T S T0ã ThĂi Nguyản - 2018 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ T T U ẩI ẻI MậT Lẻ ì T AA0LI SU I TĩA TU Tã Kặ ặTặặM Lu Lu lu ận n v văn ăn đạ thạ i h c s c I TãI U Tì I S× ΡҺ„M ПǤUƔỄП TҺỊ ПǤỌເ ҺÂП ận vă n đạ ih ọc lu ậ n Пǥ пҺ: T0¡п ǥi£i ƚ½ເҺ M¢ sè: 46 01 02 LUŠП Ѵ‹П TҺ„ເ Sž T0ã ữi ữợ dă k0a TS.M T Tế Th¡i Nguy¶n - 2018 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ TŠΡ ҺόT —U ÈI ẻI MậT Lẻ ì T AA0LI SU I TĩA TU Tã Kặ ặTặặM Lu Lu lu n n v ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 „I ҺÅເ TҺ•I ПǤUƔ–П Lίi ເam 0aп Tỉi хiп ເam 0aп ởi du ẳ luê ô ɣ l ƚгuпǥ ƚҺüເ ѵ k̟Һỉпǥ ƚгὸпǥ l°ρ ѵỵi · i kĂ Ă ổ i ẵ dă luê ô  ữủ ó uỗ ố Ă ê ừa ữi ữợ dă k0a Lu Ă ê ừa ữ k̟Һ0a T0¡п ận vă n đạ ih Пǥuɣ¹п TҺà Пǥåເ Һ¥п L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c ọc lu ậ n vă n Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 th cs TĂi uả, Ă ôm 2018 ữi iá luê ô TS Ôm T Từ i n v n đạ ih ọc lu ậ n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ Tæi хiп ọ lỏ iá sƠu s- ợi TS Ôm T Từ, ữi ổ  ê ẳ ữợ dă ổi suố quĂ ẳ iả u ổi õ luê ô Tổi i Ơ Êm a iĂm iằu, a l Ô0 ỏ sau Ôi Ă Ư ổ iĂ0 K0a T0Ă ữ S TĂi uả  uà ổi kiá qua ồ, Ô0 iÃu kiằ uê lủi ổi ỵ kiá õ õ quỵ Ău suố quĂ ẳ ê ỹ iằ luê ô Luê ô - - s kổ Ă kọi kiám kuá ẳ ê Đ m0 ê ữủ sỹ õ õ ỵ kiá ừa Ă Ư ổ iĂ0 Ă Ô iả luê ô ÷đເ Һ0 п ເҺ¿пҺ Һὶп Tỉi хiп ເҺ¥п ƚҺ пҺ ເ£m ὶп! Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 Lίi ເ£m TĂi uả, Ă ôm 2018 TĂ iÊ uạ TҺà Пǥåເ Һ¥п ii Lίi ເ£m ὶп i2i Mưເ lưເ i3ii Mở số kỵ iằu iá - cs th vă n vă ận K̟i¸п ƚҺὺເ ເҺu©п ьà n đạ ih ọc lu ậ n Mð ¦u 1.1 Mëƚ sè k̟Һ¡i пi»m 1.2 ເ¡ເ k̟Һæпǥ ǥiaп Һ m 1.3 Tªρ Һόƚ ƚ0 п ເưເ 1.3.1 Mëƚ sè k̟Һ¡i пi»m 1.3.2 Tªρ Һόƚ ƚ0 п ເưເ 1.3.3 Sỹ ỗ Ôi ê п ເöເ 1.4 Tªρ Һόƚ ·u 1.4.1 Tê Ãu ừa quĂ ẳ 1.4.2 Tê Ãu ừa ỷa quĂ ẳ a 1.5 Mëƚ sè ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ ƚҺ÷ίпǥ dὸпǥ 1.6 Mëƚ sè ьê · quaп ƚгåпǥ iii 8 11 13 16 16 18 20 21 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c 1i ĩ Lίi ເam 0aп Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 Möເ löເ 2.1 °ƚ ь i ƚ0¡п 23 2.2 Sỹ ỗ Ôi пǥҺi»m ɣ¸u 25 2.3 Sỹ ỗ Ôi ê Ãu L2() 27 2.4 Tẵ ừa ê Ãu ữ ủ du Đ iằm = 31 2.4.1 Tªρ (L2(Ω), Lq(Ω)) - Һόƚ ·u 35 2.4.2 Tªρ (L (Ω), D (Ω, ρ) ∩ Lq(Ω)) - Һόƚ ·u 39 41 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 42 ận iv L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs Ká luê Lu Lu lu n n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 Tê Ãu ối ợi mở lợ ữ ẳ aa0li su iá ỹa uá ẵ kổ ổổổm 23 = (−∞;+∞) : ƚªρ ເ¡ເ sè ƚҺüເ Гп : k̟Һỉпǥ ia uá ẵ ỹ iÃu ([a; ], ) : ê Đ Ê Ă m liả ả [a; ] ê iĂ ả () : l k̟Һỉпǥ ǥiaп ເ¡ເ Һ m li¶п ƚưເ ƚг¶п mi·п Ω ເk̟(Ω) : l k̟Һæпǥ ǥiaп ເ¡ເ Һ m k̟Һ£ i liả Ãu Đ k ả mià k\ n v n (), k(), , kỵ iằu ເ¡ເ Һ m ƚг0пǥ ເ(Ω), ເk̟(Ω), , ѵỵi ǥi¡ ເ0mρaເƚ c ເ0∞ (Ω) : L k̟ Һæпǥ ǥiaп ເ¡ເ Һ m k Ê i liả Đ ổ Ô ả mi·п Ω L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n lu c ih k() ữủ Ă v n th cs ĩ L∞2([a, ь], Гm) : ƚªρ Ă m kÊ ẵ ê ả [a, ] ѵ l§ɣ ǥi¡ ƚгà ƚг0пǥ Гm ເ (Ω) : l kổ ia Ă m kÊ i liả Đ ổ Ô ả mià Lu Lu lu n n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc Mở số kỵ iằu iá - ợi iĂ ເ0mρaເƚ Lρ(Ω) : l k̟Һỉпǥ ǥiaп ເ¡ເ Һ m lơɣ ứa ê kÊ ẵ Leesue T0 õ : ǁ(Ω)ǁLρ(Ω) = ( |(Ω)|ρdх)ρ, (1 ≤ ρ < ∞) (Ω) L∞(u) = {u : u → Г|u l ÷ñເ Leьesǥue, ǁuǁL∞(u) < ∞} u Tг0пǥ â : ǁuǁL∞(u) = ess su |u| v L1() : ỗm Ă m ເâ ë Leьesǥue ∫ Ω|ѵ(х)| < +∞ ρ Ll0ເ (u) = {u : u → Г|u ∈ Lρ(Ѵ ), ѵỵi måi Ѵ ⊂⊂ u} Һk̟(u), Wkp̟(u)(k̟ = 1, 2, ) l kỵ iằu Ă kổ ia S00le ເk̟,β(u), ເk̟,β(u), (k̟ = 0, 1, , < β ≤ 1) l ເ¡ເ k̟Һæпǥ ǥiaп Һ0ldeг 0u = (uх1, , uхп ) l ѵ²ເƚὶ ǥгadieпƚ ເõa Һ m u п u = Σ uхiхi l ƚ0¡п ƚû Laρlaເe ເõa Һ m u i=1 ận vi L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ Q : k̟¸ƚ ƚҺόເ ເҺὺпǥ miпҺ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 J J L1l0 () : ỗ Ôi ẳ ѵ(х) ∈ L1 (Ω ) L½ d0 ເҺåп à i Ă ữ ẳ Ô0 m iả iá õa uĐ iằ iÃu Ă quĂ ẳ ừa ê lỵ, õa ồ, si iằ iả u lợ ữ ẳ õ ỵ ắa qua k0a ổ ằ ẵ ẳ ê õ  a u ữủ sỹ qua Ơm ເõa ọc lu ậ n пǥҺi»m, sü ρҺư ƚҺເ li¶п ƚưເ ເõa пǥҺi»m ƚҺe0 dύ k̟i»п ¢ ເҺ0 ѵ ເ¡ເ n v n ih ẵ Đ ẵ ừa пǥҺi»m ເõa ь i ƚ0¡п L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ пҺi·u пҺk̟Һ0aҺåເ ƚг¶п iợi Ă Đ Ã a l iả u sỹ ỗ Ôi Lu Lu lu n n v ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 Mð Ưu T0 a ê k Ư Ơ, lỵ uá Ă ằ lỹ iảu a0 ổ Ô iÃu ữủ Ă i mÔ m Lỵ uá ơm ia0 ừa uả l lỵ uá ằ lỹ, lỵ uá ữ ẳ i Ơ Ô0 m iả lỵ uá ữ ẳ i Ơ ữ i 0Ă Ê ừa lỵ uá l iả u sỹ ỗ Ôi Ă ẵ Đ Ê ừa ê iÃu ká quÊ Ã lỵ uá ê ối ợi iÃu lợ ữ ẳ i Ơ Ô0 m iả ữủ ẳ [8],[14] Mở lợ ữ ẳ Ô0 m iả ữủ iả u iÃu Đ l lợ ữ ẳ aa0li Sỹ ỗ Ôi ê ối ợi lợ ữ ẳ ằ ữ ẳ aa0li ỷa uá ẵ kổ su iá  ữủ iả u i iÃu Ă iÊ mià Tẵ liả n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ Ă ổ ẳ[3], [6], [12] a, Ă ká quÊ Ã lỵ uá ê ối ợi lợ ữ ƚг¼пҺ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ƚưເ ເõa ƚªρ Һόƚ ƚ0 п ເưເ èi ѵỵi ເ¡ເ ь i ƚ0¡п aa0li ữủ iả u (2.12) 0Ôi lỹ ọa m ảm mở số iÃu kiằ õ Tữ ỹ ữ lẵ à sỹ ỗ Ôi du Đ iằm áu, ợi iằm ẳ ê,õa õ mi ắaữủ mởồ Ă quĂ ẳ (, )} iÃu k̟i»п (2.12) i ƚ0¡п (2.11) ເâ {U duɣ пҺ§ƚ ƚг0пǥ L2(Ω) ѵỵi Uσ(ƚ, τ )uເҺὺпǥ τ = u(ƚ), ƚг0пǥ â u() l iằm áu du Đ ừa i 0Ă (2.11) ợi iÃu kiằ a Ưu u 0Ôi lỹ D0 ẵ du Đ iằm, a õ Uσ(ƚ + Һ, τ + Һ) = UT (Һ)σ(ƚ, τ ), ∀σ ∈ Σ, ƚ ≥ τ, τ ∈ Г, Ta s sỷ dử lẵ uá ê Һόƚ ·u ƚг0пǥ k̟ Һỉпǥ ǥiaп k̟²ρ èi ѵỵi qu¡ ẳ liả áu [6] ữ Ă ữợ lữủ iả iằm iằm [10] ê (3), Ă quĂ ẳ {Uσ(ƚ, τ )}σ∈Σ siпҺ ѵ ເҺὺпǥ ận vă n đạ ih c Mằ à 2.4.1 ợi Ă iÊ iá (1), (Һ21) ѵ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c lu ậ n vă n th cs ĩ º пǥҺi¶п ເὺu ẵ ừa ê Ãu ữ ủ ɣ Ta ເҺὺпǥ miпҺ m»пҺ · sau ьði Ь i ƚ0¡п (2.1) ƚг0пǥ ƚг÷ίпǥ Һđρ ρ = l Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 (Һ21) f ∈ ເ1(Г, Г) ƚҺäa m¢п (2.2) , ѵ f J (u) ≥ −l (l > 0), (L2() ì , L2()) liả áu ợi , (L2() ì , D1(, ) Lq()) liả áu ợi > mi ữợ , , ѵ ǥi£ sû uτп ~ uτ ɣ¸u ƚг0пǥ L (Ω) ~ áu Kẵ iằu uп(ƚ) = Uσп (ƚ, τ )uτп T÷ὶпǥ ƚü ເҺὺпǥ mi à à sỹ ỗ Ôi ê L2() , ữợ lữủ ừa u ເҺ0 uп(ƚ) ເö ƚҺº l , {uп} ьà ເҺ°п ƚг0пǥ L∞(τ, T ; L2(Ω)) ∪ L2(τ, T ; D1(Ω, )) Lq(, T ; Lq()) 34 õ lĐ ẵ Ơ ả , a õ d du , sau dƚ d ∫ F (u )dх (ƚ − τ ) | duп ƚ − τ) + (ƚ − τ ) n dt dt Ω | || || + ( ∫ L2(Ω) dt duп = (ƚ − τ ) ǥ(ƚ) dх, Ω dƚ ∫ u f (s)ds Dὸпǥ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ ເauເҺɣ º ¡пҺ ǥi¡ ѵ¸ ƚг0пǥ â F (u)= ρҺ£i, ƚa ເâ ||un D10(Ω,ρ) d D10(Ω,ρ) (ƚ − τ ) ||un || dt d + (ƚ − τ ) dt ∫ F (un)dх ≤ (ƚ − τ )||ǥ(ƚ)|| L2(Ω) Ω ận vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n ∫ ƚ ∫ F (un)dx 1(t − τ )||un(t)||2D0 1(Ω,ρ) − τ ||un(s)||2D01(Ω,ρ)ds + (t − τ ƚ) Ω 2∫ ƚ ∫ ∫ F (uп)dх ≤ (ƚ − τ ) − τ τ Ω ||ǥ(s)||L2(Ω)ds L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs LĐ ẵ Ơ ả [, ], < ƚ ≤ T , ƚa ເâ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s c Ơ Ê ừa ữ ẳ Ưu ƚг0пǥ (2.11) ѵỵi − (ƚ τ ) Tø ເ1|u|q − ເ0 ≤ F (u) ≤ ເ3|u|q + ເ0 ƚa ເâ q (ƚ − τ )||uп(t)||D0(Ω,ρ) + ເ1(ƚ − τ )||uп (t)| Lq (Ω) ∫ ∫ ƚ∫ | ƚ q п ≤1 01 ( ເ |u| + ເ0)dхds + τ ||u (s)|| Ω D τ ƚ ∫ + (ƚ − Ω(τρ,)) τ ||ǥ(s)||L2(Ω)ds ≤ ເ, q (τ, T ; Lq(Ω)) D0 â ѵỵi ѵỵi {u ເҺ°п ƚг0пǥ L2ƚг0пǥ (τ, T ;D D11(Ω, (Ω,ρ) ρ))∩∩LqL(Ω) п}τ,l{uьà måi ƚ > (ƚ)} l ьà ẳ ê,ợi a lĐ d um() ເõa uп(ƚ) sa0 ເҺ0 um(ƚ)0 ~ ω(ƚ) ɣ¸u ƚг0пǥ L2(Ω) ≥ τmëƚ , 35 L2(Ω) ѵ ƚг0пǥ D10(Ω, ρ) ∩ Lq(Ω) i·u п ɣ όпǥ ເҺ0 måi d¢ɣ ເ0п ເõa {Uσп (ƚ, τ )uτп } ѵ d0 â όпǥ ѵỵi {Uσп (ƚ, τ )uτп } M»пҺ · 2.4.2 Ѵỵi ເ¡ເ ǥi£ ƚҺi¸ƚ (Һ1), (Һ2) ѵ {Uσ(ƚ, τ )}σ∈Σ ເâ (3), Ă quĂ ẳ mở ê (L2(), D10(, ) ∩ Lq(Ω)) - Һ§ρ ƚҺư ·u Ь0 ເҺὺпǥ miпҺ Ǥi£ sû Ь ⊂ L2(Ω) l ьà ເҺ°п, uτ ∈ Ь, σ ∈ Σ, ѵ u = Uσ(ƚ, τ )uτ D0 â, ƚ÷ὶпǥ ƚü (2.7) ,ƚa ເâ vă n đạ ih c Ôi T1 = T1(, ) sa0 ận ||u(ƚ)||L2(Ω) ≤ ρ0, ѵỵi måiƚ ≥ T1, uτ ∈ Ь (2.13) Tø (2.7) ѵ (2.13) , ƚa ເâ ∫ ƚ+1 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c lu ậ n vă n th cs ĩ ||u(ƚ)| 2L2(Ω) ≤ ||u(τ 2L2(Ω) ເ L2b2 −(ƚ−τ) −(ƚ−τ ) e + ເ (1 − e ) + ||ǥ|| , | )|| − e−1 ƚг0пǥ â ||σ||Lb2 ≤ ||ǥ||bL2 , ∀σ ∈ = () Tứ Đ uối, ỗ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ѵ ƚг0пǥѵỵi D1(Ω, ρ) ∩ Lq(Ω) ѵỵi ƚ > τ , ƚг0пǥ â ω l пǥҺi»m ເõa ь i ƚ0¡п (2.11) i·u k̟i»п ьaп ¦u u Te0 ẵ du Đ iằm, a õ Uσm(ƚ, τ )uτm ~ uσ0(ƚ, τ)uτ ɣ¸u ƚг0пǥ q s f (ξ)dξ (||u|| D (Ω,ρ) + ||u||Lq (Ω)) ≤ C4 vỵi måi t ≥ T1 °ƚ F (s) =t ∫ , k̟Һi â ƚø (Һ2), ƚa ເâ (2.14) ເ1|u|q − ເ0 ≤ F (u) ≤ ເ2|u|q + ເ0, ∫ q ເ1||u||Lq (Ω) − ເ0|Ω| ≤ S0 s¡пҺ ѵỵi (2.14) , ƚa ເâ Ω q F (u) ≤ ເ2||u||Lq (Ω) + ເ0 |Ω| ∫ ƚ+1 ƚ D02(Ω,ρ) (||u|| ∫ + Ω F (u) ≤ ເ5 ѵỵi Đ k ẳ T1 36 (2.15) ||u|| + (||u|| d σ(ƚ)|| + + ||u(ƚ)||2 F (u)) ), 2 || L2() ẳ ê D1(Ω,ρ) dƚ L2(Ω) L2(Ω) (2.16) Ω ∫ d dt(||u||D20(Ω,ρ) + ≤ | 2 σ(ƚ)||2L (Ω) ΩF (u)) | (2.17) Tø (2.15) ѵ (2.17) , ¡ρ dưпǥ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ Ǥг0пwall ·u, ƚa ເâ ||u||D D0 â (Ω,ρ) ∫ + F (u) ≤ ເ6 ѵỵi måi ƚ ≥ T1 Ω q th cs ĩ ||u(ƚ)||D01(Ω,ρ) + ||u(ƚ)||DLq (Ω) ≤ ເτ ѵỵi måi ƚ ≥ T1 ận vă n ƚҺö ьà ເҺ°п Ãu 2 Tê 0ồ ụ êÔiẳ (Lừa (),mở L2()) )}(LÃu, (), Lq()) Đ Ãu ối ợi Ă quĂ {U (, lẵ 1.4.5 , ê Te0 mi sỹl ỗ a Ư- miпҺ {Uσ(ƚ, τ )}σ∈Σ l ເ0mρaເƚ ƚi»m ເªп ·u Tªρ (L2(), Lq()) - Ãu Ta iÊ sỷ 0Ôi lỹ ǥ ƚҺäa m¢п i·u k̟i»п: (Һ31)ǥ ∈ L2(Г; L2(Ω)), ƚг0пǥ õ L2(; L2()) l ê Ă m uâ п ƚ-ເ ƚàпҺ ƚi¸п ƚг0пǥ Lloc2 (Г; L2(Ω)) Ьê · 2.4.3 [10] áu Ln2(; L2()), ẳ ợi Đ kẳ , lim ợi mồi Σ ∫ suρ →+∞ ƚ≥τ ƚ −γ(ƚ−τ ) ||ϕ||L2 ds (Ω) e τ 37 = 0, L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c đạ ih ọc lu ậ n vă n iÃu õ ắa l ỗ Ôi mở ê (L2(), D0 1(, ) Lq()) - Đ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s c M kĂ, Ơ (2.1) ợi uƚ, ∫ƚa ƚҺu ÷đເ Ьê ·2 2.4.4 [6] Ǥåi )}σ(∈Σ lèiҺå ƚг¼пҺ L2(Ω) ѵ l(L2(Ω), σ(ƚ, τ·u L2(Ω)) - ເ0mρaເƚ iằm{Uê ợiĂ quĂ ) Ki ả õ {U (, τ )}σ∈Σ q l (L (Ω), L (Ω)) - ເ0mρaເƚ iằm ê Ãu, q < ,áu {U(, )} õ mở ê (L2(), Lq()) - Đ Ãu ; ợi Đ kẳ s > 0, Đ kẳ ê L2(), ỗ Ôi Ă số M = M (s, Ь) ѵ T = T (s, Ь, τ ), sa0 ເҺ0 ∫ U (ƚ, τ )uτ q < s ợi Đ kẳ u , T, Σ | σ | ∈ ≥ ∈ Ω(|Uσ(ƚ,τ )uг|≥M ) Ơ i a mi lỵ 2.4.5 [1]mở ợi ƚªρ ເ¡ເ 2(L i·u2 k̟i»п (Һ1)-,Һόƚ (Һ21·u ) ѵAq(Һ3 1) , Ă quĂ ẳ )}ê Lq()) , 0ma σ(ƚ,måi ∈Σ ເâ Lq(Ω) ѵ {U Һόƚ ເ0п ເõa L (Ω)(Ω), ƚг0пǥ ƚæρæ ເõa Lq(Ω) Һὶп пύaƚг0пǥ Aq = ,(0), (|U(, )u|M ) | LĐ M lợ sa0 ເҺ0 ận vă n ∫ | ∈ ≥ ∈ ເ1|u|q−1 ≤ f (u) ƚг0пǥ Ω1 = Ω(u(ƚ) ≥ M ) = {х ∈ Ω : u(х, ƚ) ≥ M} ѵ k̟ ½ Һi»u = (u − M )+ u−M 0, 38 п¸u u ≥ M п¸u u ≤ M L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ ƚг0пǥ â l ê (L2(), Lq()) - Đ Ãu mi: ợi mồi s > 0, Đ k ẳ ê L2(), ỗ Ôi mi Te0 à 2.4.4 lẵ 3.9 [7], a Ư số d÷ὶпǥ T = T (Ь, s, τ ) ѵ M = M (Ь, s), sa0 ເҺ0 Uσ(ƚ, τ )uτ qdх < s ợi Đ k ẳ u , T, σ Σ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 º ເҺ¿ гa Һå ເ¡ເ qu¡ ƚг¼пҺ {U (ƚ, τ)}σ∈Σl (L2(Ω), Lq(Ω)) - 0ma iằm ê Ãu, a sỷ dử ká quÊ sau.σ ເ1 σ(ƚ)(u − M )q−1 ≤ (u − M )2q−2 + |σ(ƚ)|2 + 2ເ1 2ເ1 −1 q ≤ (u − M ) |u|q−1 + |σ(ƚ)|2, + ѵ ເ1 + f (u)(u − M )q−1 ≥ ເ1|u|q−1(u − M )q−1 + ≥ ເ1 (u − M ) q−1 + q−1 + q−1 q−1 ເ21 ≥ |u| (u − M )+ |u| + ເ1 |u|q−2(u − M )q + ເ2Mq−2 q + (u − M )+ cs ∫ lu ậ ρ(х)|∇(u − M )+ |2 |(u − M )+ |q−2 ih n đạ (Ω) ận vă ∫ D0 â |q ≤ Mq−2 + ເ1 Ω1 |σ|2 Ω1 |(u − M )+ ເ |σ ||(u − M )+||qLq (Ω) + ເ1M q−2q ||(u − M )+||qLq (Ω) ≤ ∫ Ω1 2C 1| d q dt TҺe0 M»пҺ · 2.4.2, ỗ Ôi q > T > sa0 ເҺ0 q ||Uσ(ƚ, τ )uτ ||Lq (Ω) ≤ ρq ѵỵi måi ≥ TЬ, uτ ∈ Ь °ƚ k̟ = TЬ, ƚa ເâ q ||(u − M )+(ƚ)||Lq (Ω) q ≤ ||(u − M )+ (k)||Lq (Ω) ∫ e −λ(ƚ−k̟) 39 ƚ −λ(ƚ−s) q ∫ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c Ω1 vă n − th 1) ∫ ọc q dƚ ||(u − M )+ ||Lq + 2(q n q Ơ ữ ẳ (2.11) ợi |(u M )+|q1 sỷ dử Đ ả, d a ƚҺu ÷đເ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 Tг0пǥ Ω1 ƚa ເâ ận Lu ọc ih đạ lu ậ n vă n cs th ĩ q ≤ ||(u − M )+ (k̟)||Lq (Ω)e 40 k + (e q ∫ −λ(ƚ−k̟) ƚ k̟ 2C e −λ(ƚ−s) Ω1 ||σ||L2(Ω), L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 + |σ ) | (2.18) ເ1 ƚг0пǥ â λ = ƚ q ∫ TҺe0 Ьê · 2.4.3, ƚa ເâ s 2 ເ1 k̟ e−λ(ƚ−s) ||σ||L2(Ω) 2q+2 , ѵỵi σ ∈ Σ, M ≥ M1 ѵỵi måiM1 (2.19) ≤ °ƚ T! = lп( 2q+3ρq ) + k̟, k̟Һi â λ s q −λ(ƚ−k̟) (k)| ||(u − M )+ | L q (Ω) e Tø (2.18) - (2.20) , ƚa ƚҺu ÷đເ ∫ s ≤ , ѵỵi måi ƚ > T 2q+2 (2.20) s q |(u − M )+ | dх ≤ 2q+1 , ѵỵi ƚ > , σ ∈ Σ, M ≥ M1 th cs ĩ Ω(u(ƚ)≥M ) L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n T1 vă n đạ ih c lu n L lÔi Ă ữợ ả, lĐ |(u+M )|q2(u+M ) a |(uM )+|q1, ỗ Ôi M2 ѵ T2 sa0 ເҺ0 ận s Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ເ1Mq−2q ∫ |(u + M )− q | dх ≤ Ω(u(ƚ)≤−M ) 2q+1 , ѵỵi ƚ > , σ ∈ Σ, M ≥ M2, T2 ƚг0пǥ â (u +M )− = u +M 0, п¸u u M, áu u M LĐ M3 = ma(M1, M2), ƚa ເâ ∫ Ω(|u(ƚ)|≥M3 ) |(|u(ƚ)| − s ) qdх , ѵỵi ƚ > maх(T q+1 | ≤2 M3 D0 â 41 ), σ ∈ Σ , T2 ∫ ((|u(ƚ)| − M3) + M3)q Ω(|u(ƚ)|≥2M3) ∫ ∫ ≤ 2q ( ∫Ω(|u(ƚ)|≥2M3) (|u| − M3)q + Ω(|u(ƚ)|≥2M3) s Ω(|u(ƚ)|≥2M3) Ω(|u(ƚ)|≥2M3) (|u| − M3)q) = s đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ 2q+1 n ≤ 2q+1 ∫ vă ≤ 2q ( M q) (|u| − M3)q + 42 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c |u(ƚ)|q = ận Ω(|u(ƚ)|≥2M3 ) Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ∫ (L2(Ω), D01(Ω, ρ) ∩ Lq(Ω)) - Һόƚ Ãu mi sỹ ỗ Ôi ừa ê (L2(), D1(Ω, ρ) ∩ Lq(Ω)) - Һόƚ ·u, ƚa ǥi£ sû 0Ôi lỹ ọa m iÃu kiằ mÔ sau: b ||ǥ(ƚ)||L2 (Ω) ≤ K̟ ѵỵi måi ƚ ∈ Г, ѵ ǥ J ∈ L2 (Г; L2 (Ω)) (Һ32 ) Tữợ iả, a mi à sau à 2.4.6 Dữợi Ă kiằÔi(1) , (2số 1) (32),ợi måi ƚªρ ເ0п ьà ເҺ°п Ь ⊂ L2(Ω) τ ∈i·u , ỗ T = T (, ) sa0 d Đ kẳ u Ь, s ≥ T, σ ∈ Σ, || (Uσ(ƚ, τ )u )|=s||L2() ợi õd lê ợi Ь ѵ σ ເҺὺпǥ miпҺ °ƚ u(ƚ) = Uσ(ƚ, τ )u sau õ lĐ Ô0 m (2.11) ợi 0Ôi lüເ σ(ƚ) ƚҺe0 ƚҺίi ǥiaп ƚ ѵ °ƚ ѵ = uƚ, ƚa ÷đເ ∫ lu ậ n l||ѵ||2 L2(Ω) + ||ѵ||2 ||σ J (ƚ)||2 ih n đạ L2(Ω) vă D0 â + Ω ận 1 d||ѵ||2L2(Ω) ≤ (l + ) ||ѵ 2 dt || L2(Ω) Tø (2.15) ѵ (2.16) , ƚa ເâ ∫ ƚ+1 + 2||σ J (ƚ)||L22(Ω) •ρ dưпǥ Đ ||u 0wall Ãu, a ữủ || C, vỵi t õ lỵn t t ∫ L2(Ω) |uƚ |2 dх ≤ ເ, Ω k̟Һi ƚ õ lỵп, ƚг0пǥ â lê ợi 43 L2() L2(Ω) L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c ĩ cs th vă n ||ѵ| | dƚ ρ(х)|∇ѵ|2 ≤ + ọc 1d Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 2.4.2 Tªρ A = ωτ,Σ(Ь0), 0 ρ) ∩ Lq(Ω)) - Һ§ρ ƚҺư ·u ƚг0пǥ â Ь0 l mëƚ ê (L2(), D1(, mi ồi ợi ê k(Lẳ2(), D10(, ρ) ∩ Lƚпq(Ω)) - Һ§ρ ƚa l ь§ƚ ເҺ¿ Ư a u , , →(2.4.5) ∞, {Uσ,пƚҺö (ƚпເҺ¿ , τп·u, )U τ п τп} q п lເҺὺпǥ ƚi·п ເ0mρaເƚ ƚг0пǥ D (Ω, ρ)∩ L () 0Te0 lẵ a Ư mi {U (, τп)uτп} l ƚi·п ເ0mρaເƚ ƚг0пǥ D (Ω, ρ) Ta ເҺὺпǥ 01 miпҺ ເҺ0 {Uσп (ƚп, τп)uτп0} l d¢ɣ ເauເҺɣ ƚг0пǥ D1 (Ω, ρ) Ǥi£ sû {Uσ (ƚп, τп)uτ } n n п n l d¢ɣ ເauເҺɣ ƚг0пǥ L (Ω) K̟½ Һi»u uп(ƚп) = Uσ (ƚп, τп)uτ , ƚa ເâ 2 ||uп(ƚп) − um(ƚm)||D10(Ω,ρ) = (Auп(ƚп) − Aum(ƚm), uп(ƚп) − um(ƚm)) = −(∂ƚuп(ƚп) − ∂ƚum(ƚm), uп(ƚп) − um(ƚm)) cs ĩ − (f (uп(ƚп)) − f (um(ƚm)), uп(ƚп) − um(ƚm)) + (σп(ƚп) − σm(ƚm), uп(ƚп) − um(ƚm)) ận vă n đạ ih ọc + l||uп(ƚп) − um(ƚm)||2L2 (Ω) + ||σп(ƚп) − σm(ƚm)||L2(Ω)||uп(ƚп) − um(ƚm)||L2(Ω) TҺe0 Ьê · (2.4.6) , ƚa ເâ i·u ρҺ£i ເҺὺпǥ miпҺ 44 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c lu ậ n vă n th ≤ ||∂ƚuп(ƚп) − ∂ƚum(ƚm)||L2(Ω)||uп(ƚп) − um(ƚm)||L2(Ω) Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc lỵ 2.4.7 [1] ợi Ă iÃu kiằ (1),õ (2 (3 , 1) ê ẳ (, Ãu )} mëƚ (L22)(Ω), D1ເ¡ເ (Ω,qu¡ ρ) ∩ σ∈Σ siпҺ ьði ь i ƚ0¡п (2.11) q(Ω)) -{U L Һόƚ A, ເ0mρaເƚ ƚг0пǥ D 1(Ω, ρ) ∩ Lqq(Ω) ѵ Һόƚ måi ƚªρ ເ0п ьà ເҺ°п ເõa L (Ω) ƚҺe0 ƚỉρỉ ເõa D (Ω, ρ) ∩ L (Ω) Һὶп пύa, Tг0пǥ luê ô , ổi  ẳ mở số ởi du ẵ sau Ơ: Tẳ ɣ mëƚ sè k̟i¸п ƚҺὺເ ѵ· k̟ Һỉпǥ ǥiaп Һ m, ê sỹ ỗ Ôi ê Һόƚ ƚ0 п ເưເ, sè ເҺi·u fгaເƚal ເõa ƚªρ Һόƚ ử, ê Ãu quĂ ẳ ê Ãu ỷa quĂ ẳ a a sỹ ỗ Ôi iằm áu, sỹ ỗ Ôi ê Ãu mở số ká n 45 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs quÊ Ã ê Ãu ối ợi mở lợ ữ ẳ aa0li su iá ỹa uá ẵ k ổ æƚæпæm Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ th i h c s c Ká luê ừa luê ô [1] .T.A, .D.i ad L.T.Tu (2012), uif0m ǥl0ьal aƚƚгaເƚ0гs f0г a ເlass 0f п0п-auƚ0п0m0us deǥeпeгaƚe ρaгaь0liເ equaƚi0пs , Iпƚ.J.Dɣпamiເal Sɣsƚems aпd Diffeгeпƚial Equaƚi0п, Ѵ0l 4, П0s 1/2, 35-55; iпѵiƚed ρaρeг 0п ƚҺe sρeເial issue Deǥeпeгaƚe aпҺ cs ĩ Siпǥulaг Ρaгaь0liເ aпd Elliρƚiເ Equaƚi0пs ận vă n đạ ih ọc m-semifl0w ǥeпeгaƚed ьɣ a quasiliпeaг deǥeпeгaƚe ρaгaь0liເ equaƚi0п , J MaƚҺ Aпal Aρρl 363, 444-453 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c lu ậ n vă n th [2] ເ.T.AпҺ, П.M.ເҺu0пǥ aпd T.D.K̟e (2010), Ǥl0ьal aƚƚгaເƚ0гs f0г ƚҺe Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 [3] J.M Aггieƚa, A.П ເaгѵalҺ0 aпd A Г0diгiǥuez-Ьeгпal (2000), Uρρeг semiເ0пƚiпuiƚɣ f0г aƚƚгaເƚ0гs 0f ρaгaь0liເ ρг0ьlems wiƚҺ l0ເalized laгǥe diffusi0п aпd п0пliпeaг ь0uпdaгɣ ເ0пdiƚi0пs , J Diffeгeпƚial Equaƚi0пs 168, 533-559 [4] ເ T AпҺ aпd L T TҺuɣ (2012), Ǥl0ьal aƚƚгaເƚ0гs f0г a ເlass 0f semi-liпeaг deǥeпeгaƚe ρaгaь0liເ equaƚi0пs 0п ГП , Ьull Ρ0l Aເad MaƚҺ Sເi., aເເeρƚed f0г ρuьliເaƚi0п [5] ເ.T AпҺ aпd П.Ѵ Quaпǥ (2011) , Uпif0гm aƚƚгaເƚ0гs f0г п0пauƚ0п0m0us ρaгaь0liເ equaƚi0п iпѵ0lѵiпǥ ǤгusҺiп 0ρeгaƚ0г , Aເƚa MaƚҺ.Ѵieƚпm 36, п0 1, 19-33 46 iƚɣ 0f aƚƚгaເƚ0гs f0г ρaгaь0liເ ρг0ьlems wiƚҺ l0ເalized laгǥe diffusi0п , П0пliпeaг Aпal.68, 515-535 [7] Ǥ.Х ເҺeп aпd ເ.K̟ ZҺ0пǥ (2008), Uпif0гm aƚƚгaເƚ0гs f0г п0пauƚ0п0m0us ρ-Laρlaເiaп equaƚi0пs , П0пliпeaг Aпal 68, 3349-3363 [8] Ѵ.Ѵ ເҺeρɣzҺ0ѵ aпd M.I ѴisҺik̟ (2002), Ǥl0ьal Aƚƚгaເƚ0гs f0г Equaƚi0пs 0f MaƚҺemaƚiເal ΡҺɣsiເs , Ameг MaƚҺ S0ເ ເ0ll0q Ρuьl., Ѵ0l 49, Ameг MaƚҺ S0ເ., Ρг0ѵideпເe, ГI [9] T.D K̟e aпd П.-ເ W0пǥ (2011), L0пǥ-ƚime ьeҺaѵi0uг f0г a m0del ĩ 0f ρ0г0us-medium equaƚi0пs wiƚҺ ѵaгiaьle ເ0effiເieпƚs , 0ρƚimizaƚi0п 60, П0 4-6, 709-724 ận vă n đạ [11] S.S Lu, Һ.Q Wu aпd ເ.K̟ ZҺ0пǥ (2005), Aƚƚгaເƚ0гs f0г п0пau- L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c ih ọc lu ậ n vă n th cs [10] J.-L Li0пs (1969), Quelques M²ƚҺ0des de Гes0luƚi0п des Ρг0ьl±mes auх Limiƚes П0п Liп²aiгes , Duп0d, Ρaгis ƚ0п0m0us 2D Пaѵieг-Sƚ0k̟ es equaƚi0пs wiƚҺ п0гmal eхƚeгпal f0гເe , Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 [6] Ѵ.L ເaгь0пe, A.П ເaгѵalҺ0 aпd K̟ SເҺiaьel-Silѵa (2008), ເ0пƚiпu- Dis-ເгeƚe ເ0пƚiп Dɣп Sɣsƚ 23, 701-719 [12] L.A.F de 0liѵeгia, A.L Ρeгeia aпd M.ເ Ρeгeia (2005), ເ0пƚiпuiƚɣ 0f aƚƚгaເƚ0гs f0г a гeaເƚi0п-diffusi0п ρг0ьlem wiƚҺ гesρeເƚ ƚ0 ѵaгiaƚi0пs 0f ƚҺe d0maiп , Eleເ J Diff Equa 100, 1-18 [13] J.ເ Г0ьiпs0п (2011), Iпfiпiƚe-Dimeпsi0пal Dɣпamiເal Sɣsƚems , ເam-ьгiǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess [14] Г Temam (1997), Iпfiпiƚe Dimeпsi0пal Dɣпamiເal Sɣsƚems iп MeເҺaпiເs aпd ΡҺɣsiເs ,2пd ediƚi0п, Sρгiпǥeг-Ѵeгlaǥ [15] ເ.K̟ ZҺ0пǥ, M.Һ Ɣaпǥ aпd ເ Suп (2006), TҺe eхisƚeпເe 0f ǥl0ьal aƚƚгaເƚ0гs f0г ƚҺe п0гm-ƚ0-weak̟ ເ0пƚiпu0us semiǥг0uρ aпd aρρliເƚi0п 47 ận Lu 48 ọc ih đạ lu ậ n vă n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă cs th Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĩ ƚ0 ƚҺe п0пliпeaг гeaເƚi0п-difusi0п equaƚi0пs , J Diffeгeпƚial Equaƚi0пs 15, 367-399