(Luận văn) tập hút đều đối với một lớp phương trình parabolic suy biến tựa tuyến tính không ôtônôm

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M NGUYỄN THỊ NGỌC HÂN lu an n va p ie gh tn to TP HểT U ẩI VẻI MậT LẻP PHìèNG TRœNH PARABOLIC SUY BI˜N TÜA TUY˜N TNH KHỈNG ỈTỈNỈM d oa nl w nf va an lu lm ul z at nh oi LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC z m co l gm @ an Lu n va Th¡i Nguy¶n - 2018 ac th si „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M NGUYỄN THỊ NGỌC HN lu TP HểT U ẩI VẻI MậT LẻP PHìèNG TRœNH PARABOLIC SUY BI˜N TÜA TUY˜N TNH KHỈNG ỈTỈNỈM an n va gh tn to p ie Ng nh: To¡n gi£i tẵch M số: 46 01 02 d oa nl w lu nf va an LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC z at nh oi lm ul z Ng÷íi hữợng dăn khoa hồc TS.PHM TH THếY m co l gm @ an Lu Th¡i Nguy¶n - 2018 n va ac th si Líi cam oan Tỉi xin cam oan rơng nởi dung trẳnh by luên vôn ny l  trung thüc v  khỉng trịng l°p vỵi · t i khĂc CĂc thổng tin trẵch dăn lu luên vôn  ữủc ch ró nguỗn gốc an va ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2018 n Ngữới viát luên vôn ie gh tn to p Nguyạn Th Ngồc HƠn w XĂc nhên oa nl XĂc nhên cừa ngữới hữợng dăn khoa håc d cõa tr÷ðng khoa To¡n nf va an lu z at nh oi lm ul TS PhÔm Th Thõy z m co l gm @ an Lu n va i ac th si Líi c£m ìn Tỉi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi TS PhÔm Th Thừy , ngữới cổ  tên tẳnh hữợng dăn tổi suốt quĂ trẳnh nghiản cựu  tổi cõ lu th hon thnh luên vôn an Tổi xin trƠn trồng cÊm ỡn Ban GiĂm hiằu, ban lÂnh Ôo sau va Ôi hồc ton th cĂc thƯy cổ giĂo Khoa ToĂn trữớng HSP ThĂi n thuên lủi v cho tổi nhỳng ỵ kián õng gõp quỵ bĂu suốt quĂ trẳnh gh tn to Nguyản  truyÃn thử cho tổi nhỳng kián thực quan trồng, tÔo iÃu kiằn hồc têp v thỹc hiằn luên vôn ie p Luên vôn chưc chưn s khổng trĂnh khọi nhỳng khiám khuyát vẳ vêy rĐt mong nhên ữủc sỹ õng gõp ỵ kián cừa cĂc thƯy cổ giĂo v cĂc bÔn nl w hồc viản  luên vôn ny ữủc ho n ch¿nh hìn d oa Tỉi xin ch¥n th nh c£m ỡn! lu an ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2018 nf va T¡c gi£ z at nh oi lm ul Nguy¹n Thà Ngåc H¥n z m co l gm @ an Lu n va ii ac th si Möc löc lu an n va 1i ii2 iii v5 p ie gh tn to Líi cam oan Líi cÊm ỡn Mửc lửc Mởt số kỵ hiằu v viát tưt M Ưu Kián thực chuân b oa nl w Mët sè kh¡i ni»m d 1.1 lu C¡c khỉng gian h m 1.3 Tªp hót to n cöc 1.3.1 Mët sè kh¡i ni»m 1.3.2 Têp hút ton cửc 1.3.3 Sỹ tỗn tÔi tªp hót to n cưc nf va z at nh oi lm ul 1.4 an 1.2 11 13 Tªp hót ·u 16 1.4.1 Tªp hót ·u cõa qu¡ tr¼nh ìn trà 16 1.4.2 Tªp hót ·u cõa nûa qu¡ tr¼nh a trà z gm @ Mởt số bĐt ng thực thữớng dũng 1.6 Mët sè bê · quan trång m co l 1.5 18 20 21 an Lu n va iii ac th si Têp hút Ãu ối vợi mởt lợp phữỡng trẳnh parabolic suy bián tỹa tuyán tẵnh khæng ætænæm 23 2.1 °t b i to¡n 23 2.2 Sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu 25 2.3 Sỹ tỗn tÔi têp hút Ãu 2.4 Tẵnh trỡn cừa têp hút Ãu trữớng hủp nh§t nghi»m v  p=2 L2 (Ω) 2.4.1 Tªp (L2 (Ω), Lq (Ω)) 2.4.2 Tªp (L2 (Ω), D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω)) - hót ·u 27 31 35 - hót ·u 39 lu an n va 41 42 p ie gh tn to Kát luên T i li»u tham kh£o d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va iv ac th si Mởt số kỵ hiằu v viát t­t R = (−∞; +∞) : tªp Rn : khỉng gian vctỡ tuyán tẵnh thỹc n chiÃu lu an C([a; b], Rn ) : tªp va n C(Ω) : l  tn to C k (Ω) : c¡c sè thüc t§t cÊ cĂc hm liản tửc trản [a; b] v nhên gi¡ trà tr¶n khỉng gian c¡c h m li¶n tưc tr¶n mi·n Ω l  khỉng gian c¡c h m kh£ vi li¶n tửc Ãu cĐp k trản miÃn ie gh L2 ([a, b], Rm ) : p C ∞ (Ω) : l  têp cĂc hm khÊ tẵch bêc hai trản [a, b] v lĐy giĂ tr w \ nl ữủc x¡c ành b¬ng d oa an lu Ω nf va lm ul z at nh oi : k(Ω)kLp (Ω) |(Ω)|p dx) p , (1 ≤ p < ∞) Z =( o ÷đc Lebesgue, kukL∞ (u) z < ∞} @ L (u) = {u : u → R|u l  : kukL∞ (u) = ess sup |u| gm Trong â vỵi gi¡ compact khỉng gian c¡c h m lơy thøa bªc p kh£ t½ch Lebesgue (Ω) ∞ C(Ω), C k (Ω), , khổng gian cĂc hm khÊ vi liản tửc cĐp vổ hÔn trản miÃn Vợi giĂ compact Trong õ C k () kN k Cc (), Cc (), , kỵ hi»u c¡c h m Lp (Ω) : l  Ω khæng gian cĂc hm khÊ vi liản tửc cĐp vổ hÔn tr¶n mi·n C0∞ (Ω) : L  Rn m co l u an Lu n va v Rm ac th si Ω0 ⊂⊂ Ω th¼ v(x) ∈ L1 (0 ) Z L1loc () : tỗn tÔi L1 () : gỗm cĂc hm cõ ở o Lebesgue Lploc (u) = {u : u → R|u ∈ Lp (V ), H k (u), Wpk (u)(k = 1, 2, ) l vợi mồi |v(x)| < + V u} kỵ hi»u c¡c khæng gian Sobolev C k,β (u), C k,β (u), (k = 0, 1, , < β ≤ 1) l  c¡c khæng gian Holder Ou = (ux1 , , uxn ) l  v²ctì gradient cõa h m u n X Mu= uxi xi l  to¡n tû Laplace cõa h m u i=1 lu : k¸t thóc chùng minh an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va vi ac th si Mð ¦u Lẵ chồn à ti CĂc phữỡng trẳnh Ôo hm riảng tián hõa xuĐt hiằn nhiÃu lu cĂc quĂ trẳnh cừa vêt lỵ, hõa hồc, sinh hồc Viằc nghiản cựu nhỳng lợp an phữỡng trẳnh ny cõ þ ngh¾a quan trång khoa håc v  cỉng ngh» va n Chẵnh vẳ vêy nõ  v ang thu hút ữủc sỹ quan tƠm cừa nhiÃu nh tn to khoa hồc trản thá giợi CĂc vĐn à t l nghiản cựu sỹ tỗn tÔi nghiằm, ie gh sỹ phử thuởc liản tửc cừa nghiằm theo dỳ kiằn  cho v cĂc tẵnh chĐt p nh tẵnh cừa nghiằm cõa b i to¡n nl w Trong ba thªp k gƯn Ơy, lỵ thuyát cĂc hằ ởng lỹc tiảu hao vổ hÔn oa chiÃu ữủc phĂt trin mÔnh m Lỵ thuyát ny nơm giao cừa chuyản d ngnh l lỵ thuyát hằ ởng lỹc, lỵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn Ôo hm lu nf va an riảng v lỵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn thữớng Bi toĂn cỡ bÊn cừa lỵ thuyát ny l nghiản cựu sỹ tỗn tÔi v cĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa têp hút lm ul NhiÃu kát quÊ và lỵ thuyát têp hút ối vợi nhiÃu lợp phữỡng trẳnh vi z at nh oi phƠn Ôo hm riảng ữủc trẳnh by [8],[14] Mởt nhỳng lợp phữỡng trẳnh Ôo hm riảng ữủc nghiản cựu nhiÃu nhĐt l lợp phữỡng trẳnh parabolic Sỹ tỗn tÔi têp hút ton cửc ối vợi lợp phữỡng trẳnh v z gm @ hằ phữỡng trẳnh parabolic nỷa tuyán tẵnh khổng suy bián  ữủc nghiản cựu bi nhiÃu tĂc giÊ miÃn b chn Tẵnh liản tửc cừa têp hút ton l cửc ối vợi cĂc bi toĂn parabolic ữủc nghiản cựu cĂc cổng trẳnh[3], co m [6], [12] an Lu Cho ¸n nay, c¡c kát quÊ và lỵ thuyát têp hút ối vợi lợp phữỡng trẳnh n va ac th si parabolic khổng suy bián rĐt phong phú v  khĂ hon thiằn Lỵ thuyát và têp hút ton cửc ối vợi phữỡng trẳnh parabolic suy bián  ữủc nghiản cựu cho bi toĂn chựa phữỡng trẳnh parabolic suy bián cõ phƯn chẵnh dÔng 4(u) hoc div((u)O(u)) õ (0) = 0; phữỡng trẳnh parabolic suy bián chựa toĂn tỷ Grashin; phữỡng trẳnh parabolic suy bi¸n kiºu Caldiroli - Mussina C¡c k¸t qu£ và sỹ tỗn tÔi têp hút Ãu ữủc nghiản cựu [2], [7], [11], [9], Vi»c nghi¶n cùu sü tỗn tÔi v tẵnh chĐt cừa têp hút ối vợi lợp phữỡng trẳnh parabolic suy bián l vĐn à thới sỹ, cõ ỵ nghắa khoa hồc v hựa lu hàn câ nhi·u ùng dưng c¡c b i to¡n thüc t¸ Vợi nhỳng lẵ trản, an chúng tổi lỹa chồn vĐn à trản lm nởi dung  nghiản cựu luên vôn vợi va n tản gồi  Têp hút Ãu ối vợi mởt lợp phữỡng trẳnh parabolic suy bián tỹa Mửc ẵch v nhiằm vử nghiản cựu gh tn to tuyán tẵnh khổng ổtổnổm  p ie 2.1 Mửc ẵch nghiản cựu nl w Mửc ẵch cừa luên vôn l nghiản cựu sỹ tỗn tÔi v mởt số tẵnh chĐt oa cừa têp hút ton cửc (bao gỗm tẵnh trỡn,Ănh giĂ số chiÃu fractal, ) ối d vợi mởt lợp phữỡng trẳnh suy bián kiu Caldiroli - Mussina mi·n bà an lu ch°n nf va 2.2 Nhiằm vử nghiản cựu lm ul Trẳnh by mởt sè kh¡i ni»m c¡c khỉng gian h m, tªp hót to n cửc, sỹ z at nh oi tỗn tÔi têp hút ton cửc, số chiÃu fractal Trẳnh by kát quÊ và sỹ tỗn tÔi têp hút Ãu ối vợi mởt lợp phữỡng trẳnh parabolic suy bián tỹa tuyán tẵnh khổng ổtổnổm trản miÃn b chn z Phữỡng phĂp nghiản cựu Ω ⊂ RN gm @ º chùng minh sü tỗn tÔi v nhĐt nghiằm yáu, chúng tổi sỷ dửng l phữỡng phĂp xĐp x Galerkin kát hủp vỵi c¡c bê · compact co m º chùng minh sỹ tỗn tÔi têp hút v tẵnh trỡn cừa têp hót chóng tỉi an Lu sû sưng ph÷ìng ph¡p cõa lẵ thuyát hằ ởng lỹc vổ hÔn chiÃu, nõi riảng l  n va ac th si v  ta câ c¡c ¡nh gi¡ sau | T Z Z T Z | a(un , v)dt| = dt |u|p−2 udiv(ρ∇v)|dxdt, p−1 τ Ω p p Z T p0 p0 ≤C ||un ||Lp (Ω) ||v||V dt ≤ C||un ||Lp (Qτ,T ) ||v||Lp (τ,T ;V ) , τ τ |hf (un ), vi| ≤ ||f (un )||Lq0 Qτ,T ) ||v||Lq (Qτ,T ) , ( |hg, vi| ≤ ||g||Lq0 (Qτ,T ) ||v||Lq (Qτ,T ) , vỵi måi v ∈ Lp (τ, T ; V )∩Lq (Qτ,T ), â { 0 lu Lp (τ, T ; V ∗ ) + Lq (Qτ,T ) Kát hủp iÃu ny vợi (2.10) v sỷ dửng Mằnh an · 2.4 [2] ta thu ÷đc Lp (Qτ,T ), n va un → u {un } vỵi Lp (Qτ,T ) l  ti·n compact Do â, u ∈ L2 (τ, T ; L2 (Ω)) â tn → t0 , tn to B¥y gií ta x²t dun } bà ch°n khæng gian dt tn , t0 ∈ (τ, T ] Ta s³ chùng minh p ie gh un (tn ) → u(t0 ) L2 (Ω) un (tn ) * u(t0 ) w V¼ L2 (Ω), nl lim inf ||un (tn )||L2 (Ω) ≥ ||u(t0 )||L2 (Ω) d oa n→∞ Ta câ ||un (s)||2L2 (Ω) σ = gσ v  h¬ng sè K>0 Do â, h m ||un (t)||2L2 (Ω) t l Z khỉng phư gm n â s @ t ≤ s, t, s ∈ [τ, T ], thuëc v o t + K(t − s) + (gσn (v), un (v))dv, Z ts ≤ ||u(s)||2L2 (Ω) + K(t − s) + (gσ (v), un (v))dv, z vỵi måi Z z at nh oi ||u(t)||2L2 (Ω) ≤ L2 (Ω) lm ul ||un (t)||2L2 (Ω) lim supn→∞ ||un (tn )||L2 (Ω) ≤ lim inf n→∞ ||u(t0 )||L2 (Ω) nf va un (tn ) → u(t0 ) an lu N¸u ta chùng minh ữủc thẳ nản m co Kt (gn (v), un (v))dv, Z tτ J(t) = ||u(t)||2L2 (Ω) − Kt − (gσ (v), un (v))dv, Jn (t) = n va 29 an Lu τ ac th si [τ, T ] l liản tửc v khổng tông trản L2 (Ω) h¦u kh­p t ∈ (τ, T ), un → u L2 (τ, T ; L2 (Ω)), ta câ τ < tm < t0 cho Jn (t) → J(t) Ti¸p theo ta chùng minh un (t) → u(t) Hìn núa, v¼ L2 (τ, T ; L2 (Ω)) h¦u kh­p n → ∞ gσn * gσ t ∈ (τ, T ) lim supn→∞ Jn (tn ) ≤ J(t0 ) Jn (tm ) → J(tm ) v  Gi£ sû Thªt vªy, °t tm < t n Vẳ Jn khổng tông, ta cõ Jn (tm ) J(t0 ) ≤ |Jn (tm ) − J(tm )| + |J(tm ) J(t0 )| Vợi bĐt kẳ  > tỗn tÔi tm v n0 (tm ) cho Jn (tn ) ≤ , vỵi måi lu n ≥ n0 an Vẳ vêy, n va Z t Kt − (gσ (v), u(v))dv τ Z t ≤ ||u(t0 )||2L2 (Ω) − Kt − (gσ (v), u(v))dv lim sup Jn (tn ) = n→∞ ie gh tn to lim sup ||un (t)||2L2 (Ω) n→∞ p τ limn→∞ sup ||un (tn )||L2 (Ω) ≤ ||u(t0 )||L2 (Ω) w Do õ, oa nl nh lỵ 2.3.3 [1] Gi£ sû c¡c i·u ki»n (H1) - (H3) ÷đc thäa mÂn Khi d cõ mởt têp hút ton cửc ·u compact L2 (Ω) nf va A {Uσ }σ∈Σ an lu â hå nûa qu¡ tr¼nh a trà lm ul Chùng minh Tø (2.7), ta câ = B0 = {u ∈ L2 (Ω) : ||u|| ≤ (t, u) 7→ UΣ (t, 0, u), vỵi måi K = UΣ (1, 0, B0 ) ta cõ K t T (B) tỗn tÔi Tứ Bờ à và sỹ tỗn tÔi têp hút l  compact n va 30 B ∈ B(L2 (Ω)) an Lu L2 (), nghắa l vợi bĐt kẳ l têp h§p thư m to n cưc R2 + } co UΣ (t, 0, B) ⊂ B0 , Ta ành ngh¾a tªp √ l cho +R gm T (B) @ cừa Ănh xÔ b ||u(0)||2L2 () e(t ) z Do õ hẳnh cƯu z at nh oi ||un (t)||2L2 (Ω) ≤ ||u(0)||2L2 (Ω) e−(t−τ ) + K1 + K2 ||g||2L2 ac th si Hìn núa, v¼ B0 l têp hĐp thử, ta cõ U (t, , B) = UΣ (t, t − 1, UΣ (t − 1, τ, B)) = UT (t−1)σ (1, 0, UT (τ )σ (t − − τ, 0, B)) ⊂ UΣ (1, 0, B0 ) ⊂ K vỵi måi σ ∈ Σ, B ∈ B(L2 (Σ)), v  t ≥ T (B, τ ) {ξn } ∈ Uσn (tn , τ, B0 ), σn ∈ Σ, tn → +∞, B ∈ B(L2 (Σ)), Khi â måi d¢y l  ti·n compact Do â, ¡nh xÔ U cõ giĂ tr compact vợi bĐt kẳ Cuối cũng, ta chựng minh Ănh xÔ lu an trản vợi méi t≥τ ≥0 (σ, x) 7→ Uσ (t, τ, x) σ ∈ Σ l  nûa li¶n tưc cè ành Gi£ sỷ iÃu ny khổng úng, tực l, tỗn u0 L2 (Ω), t ≥ τ ≥ 0, σ0 ∈ Σ,  > 0, δn → 0, un ∈ Bδn (u0 ) , n , n va tÔi cho {ξn } ∈ / B (Uσ0 (t, τ, u0 )) sỹ tỗn tÔi têp hút ton cửc L2 (Ω) , ta câ Nh÷ng theo Bê · v· ξn → ξ ∈ Uσ0 (t, τ, u0 ) (sai gh tn to ξn ∈ Uσn (t, τ, un ) v  p ie khĂc mởt dÂy con), iÃu ny dăn án mƠu thuăn Sỹ tỗn tÔi cừa têp hút ton cửc Ãu compact kát hủp vợi nh lẵ và têp hót ·u cõa nûa qu¡ oa nl w tr¼nh a tr d 2.4 Tẵnh trỡn cừa têp hút Ãu trữớng hủp nhĐt nghiằm v p = nf va an lu lm ul p = 2: z at nh oi Ta x²t B i to¡n (2.1) cho tr÷íng hđp ∂u − div(ρ(x)∇u) + f (u) = g(t, x), x ∈ Ω, t > τ, ∂t u|t=τ = uτ (x), x , z (2.11) , số hÔng phi tuyán f v ngoÔi thọa mÂn cĂc iÃu kiằn (H1) - (H3) Chúng tổi nghiản cựu Bi m g cho trữợc, h» sè co lüc uτ ∈ L2 (Ω) l â gm @ u|∂Ω = 0, thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: n va 31 f an Lu to¡n (2.11) õ số hÔng phi tuyán ac th si (H21 ) f ∈ C (R, R) thäa m¢n (2.2) , v  f (u) ≥ −l (l > 0), v ngoÔi lỹc g (2.12) thọa mÂn thảm mởt sè i·u ki»n n o â T÷ìng tü nh÷ ành lẵ và sỹ tỗn tÔi nhĐt nghiằm yáu, vợi i·u ki»n (2.12) câ thº chùng minh ÷đc B i to¡n (2.11) cõ nhĐt nghiằm Vẳ vêy, ta cõ th nh nghắa mởt hồ cĂc quĂ trẳnh L2 () vỵi Uσ (t, τ )uτ = u(t), â cõa Bi toĂn (2.11) vợi iÃu kiằn ban Ưu u(t) u {U (t, )} l nghiằm yáu nhĐt v ngoÔi lỹc Do tẵnh lu nhĐt nghi»m, ta câ an n va Uσ (t + h, τ + h) = UT (h)σ (t, τ ), ∀σ ∈ Σ, t ≥ τ, τ ∈ R, h ∈ R gh tn to Ta s sỷ dửng lẵ thuyát têp hút Ãu khổng gian kp ối vợi quĂ trẳnh liản tửc yáu [6] v phữỡng phĂp ữợc lữủng tiản nghiằm tiằm [10] cên ie p  nghiản cựu tẵnh trỡn cừa têp hút Ãu trữớng hủp ny nl w Ta chùng minh m»nh · sau d oa Mằnh à 2.4.1 Vợi cĂc giÊ thiát (H1), (H21) v  (H3), hå c¡c qu¡ tr¼nh sinh bði B i to¡n (2.1) tr÷íng hđp nf va lm ul (L2 (Ω) × Σ, L2 (Ω)) − (L2 (Ω) × Σ, D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω)) − y¸u Σ t ≥ τ, τ ∈ R, v  gi£ sû uτn * u Kẵ hiằu t > yáu L2 () un (t) = Uσn (t, τ )uτn gm @ n * liản tửc yáu vợi z Chựng minh Cho trữợc l t , liản tửc yáu vợi z at nh oi v  v  p=2 an lu {Uσ (t, )} , ữợc lữủng cừa un úng cho un (t) Cö thº l , {un } co L2 (Ω) l T÷ìng tü chùng minh Bê · v· sü tỗn tÔi têp hút ton cửc b chn m L∞ (τ, T ; L2 (Ω)) ∪ L2 (τ, T ; D01 (Ω, ρ)) ∩ Lq (τ, T ; Lq (Ω)) an Lu n va 32 ac th si NhƠn cÊ hai vá cừa phữỡng trẳnh Ưu (2.11) vợi , õ lĐy tẵch phƠn trản (t ) dun , dt sau ta câ d d dun ||L2 (Ω) + (t − τ ) ||un ||2D01 (Ω,ρ) + (t − τ ) (t − τ )|| dtZ dt dt dun = (t − τ ) g(t) dx, dt Ω Z u â F (u) = f (s)ds Dịng b§t ¯ng thùc Cauchy Z F (un )dx Ω º ¡nh gi¡ v¸ ph£i, ta câ lu d d (t − τ ) ||un ||2D01 (Ω,ρ) + (t − τ ) dt dt an F (un )dx ≤ (t − τ )||g(t)||2L2 (Ω) Ω Z va [τ, t], τ < t ≤ T , ta câ Z Z 1 t 2 (t − τ )||un (t)||D01 (Ω,ρ) − ||un (s)||D01 (Ω,ρ) ds + (t − τ ) F (un )dx 2 τ Z tZ Z t Ω − F (un )dx ≤ (t − τ ) ||g(s)||2L2 () ds LĐy tẵch phƠn trản n p ie gh tn to d oa nl w Tø nf va an lu C1 |u|q − C0 ≤ F (u) ≤ C3 |u|q + C0 ta câ lm ul z at nh oi (t − τ )||un (t)||2D01 (Ω,ρ) + C1 (t − τ )||un (t)||qLq (Ω) Z Z tZ t ≤ ||un (s)||D01 (Ω,ρ) + (C2 |u|q + C0 )dxds τ τ Ω Z t + (t − τ ) ||g(s)||2L2 (Ω) ds τ ≤ C, z l  bà ch°n um (t) cõa un (t) cho D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω) um (t) * (t) yáu L2 () vợi t , n va 33 Vẳ vêy, ta lĐy mởt an Lu dÂy l  bà ch°n Do â vỵi m t > τ, {un (t)} L2 (τ, T ; D01 (Ω, ρ)) ∩ Lq (τ, T ; Lq (Ω)) co måi {un } l gm @ vỵi ac th si D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω) v  vỵi t > , Theo tẵnh nhĐt nghiằm, ta cõ v {Uσn (t, τ )uτn } ω l  nghi»m cõa bi toĂn u (2.11) vợi iÃu kiằn ban Ưu L2 (Ω) â D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω) v  â óng vỵi Uσm (t, τ )uτm * uσ0 (t, τ )uτ y¸u i·u n y óng cho måi d¢y cõa {Uσn (t, τ )uτn } M»nh à 2.4.2 Vợi cĂc giÊ thiát (H1), (H2) v (H3), hå c¡c qu¡ tr¼nh {Uσ (t, τ )}σ∈Σ câ mët tªp Chùng minh Gi£ sû (L2 (Ω), D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω)) B ⊂ L2 (Ω) l  bà ch°n, - h§p thư ·u lu uτ ∈ B, σ ∈ Σ, B0 v  an n va u = Uσ (t, τ )uτ ||u(t)||2L2 (Ω) ≤ ||u(τ )||2L2 (Ω) e−(t−τ ) + C(1 − e−(t−τ ) ) + C ||g||2L2 , −1 b 1−e p ie gh tn to Do â, t÷ìng tü (2.7) ,ta câ ||σ||L2b ≤ ||g||L2b , ∀σ ∈ Σ = Hω (g) T1 = T1 (B, ) Tứ bĐt ng thực cuối, tỗn cho oa nl tÔi w õ d ||u(t)||2L2 (Ω) ≤ ρ0 , vỵi ≥ T1 , uτ ∈ B (2.13) an lu måit t (||u||2D01 (Ω,ρ) + ||u||qLq (Ω) ) ≤ C4 F (s) = s f (ξ)dξ , vỵi måi t ≥ T1 (2.14) z at nh oi Z °t lm ul t+1 Z nf va Tø (2.7) v  (2.13) , ta câ â tø (H2), ta câ z C1 |u|q − C0 ≤ F (u) ≤ C2 |u|q + C0 , Z q C1 ||u||Lq (Ω) − C0 |Ω| ≤ F (u) ≤ C2 ||u||qLq (Ω) + C0 |Ω| gm @ l Ω (||u||2D01 (Ω,ρ) + Z F (u) ≤ C5 Ω t T1 (2.15) n va 34 vợi bĐt k¼ an Lu t t+1 m Z co So s¡nh vỵi (2.14) , ta câ ac th si ut , ta thu ÷đc Z d 1 2 ||u||L2 (Ω) + (||u||D01 (Ω,ρ) + F (u)) ≤ ||σ(t)||2L2 (Ω) + ||u(t)||2L2 (Ω) ), dt 2 Ω M°t kh¡c, nhƠn (2.1) vợi (2.16) vẳ vêy d (||u||2D01 (,) + dt F (u)) ≤ ||σ(t)||2L2 (Ω) Ω Z (2.17) Tø (2.15) v  (2.17) , ¡p dưng b§t ¯ng thùc Gronwall ·u, ta câ ||u||2D01 (Ω,ρ) Z F (u) ≤ C6 + vỵi måi t ≥ T1 Ω lu Do â an va ||u(t)||2D01 (Ω,ρ) + ||u(t)||qDq (Ω) ≤ Cτ L n tn to i·u n y câ nghắa l tỗn tÔi mởt têp t T1 (L2 (Ω), D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω)) - h§p B0 p ie gh thư bà ch°n ·u vỵi måi B0 cơng l  tªp (L2 (Ω), L2 (Ω)) nl w Têp oa chn Ãu ối vợi hồ cĂc qu¡ tr¼nh v  (L2 (Ω), Lq (Ω)) {Uσ (t, τ )} - hĐp thử b Theo nh lẵ 1.4.5 ,  d chựng minh sỹ tỗn tÔi cừa mởt têp hút Ãu, ta ch cƯn chựng minh rơng lu l  compact ti»m cªn ·u nf va an {Uσ (t, τ )}σ∈Σ g thäa m¢n i·u ki»n: (H31 )g ∈ L2n (R; L2 ()), tưc tnh tián l têp c¡c h m chu©n L2loc (R; L2 (Ω)) [10] τ e−γ(t−τ ) ||ϕ||2L2 (Ω) ds = 0, m γ→+∞ t≥τ co lim sup t R, l thẳ vợi bĐt kẳ gm g L2n (R; L2 ()), Z an Lu vợi mồi L2n (R; L2 ()) @ Náu â z Bê · 2.4.3 z at nh oi Ta giÊ sỷ ngoÔi lỹc lm ul 2.4.1 Têp (L2(), Lq (Ω)) - hót ·u ϕ ∈ Σ n va 35 ac th si {Uσ (t, τ )}σ∈Σ º ch¿ hå c¡c qu¡ tr¼nh l  (L2 (Ω), Lq (Ω)) - compact tiằm cên Ãu, ta sỷ dửng kát quÊ sau Bê · 2.4.4 [6] Gåi {Uσ (t, τ )}σ∈Σ l hồ cĂc quĂ trẳnh trản L2 () v l (L2 (Ω), L2 (Ω)) - compact ti»m cªn ·u (èi vỵi σ ∈ Σ) Khi â {Uσ (t, τ )}σ∈Σ l  (L2 (Ω), Lq (Ω)) - compact ti»m cªn ·u, {U (t, )} Vợi bĐt kẳ (L2 (Ω), Lq (Ω)) câ mët tªp  > 0, τ ∈ R Z - h§p thư ·u v  T = T (, B, τ ), lu |Uσ (t, τ )uτ |q <  vợi bĐt kẳ B0 ; B L2 (), v bĐt kẳ têp b chn M = M (, B) cĂc hơng số dữỡng q < ,náu tỗn tÔi cho u B, t ≥ T, σ ∈ Σ an Ω(|Uσ (t,τ )ur |≥M ) n va B¥y gií ta chùng minh tn to nh lỵ 2.4.5 {U (t, )} ie gh trẳnh [1] Vợi cĂc iÃu kiằn Lq () cõ mởt tªp (H1), (H21 ) v  (H31 ), hå c¡c qu¡ (L2 (Ω), Lq (Ω)) - hót ·u Aq , compact p v  hót måi tªp cõa L2 (Ω) tỉpỉ cõa Lq (Ω) Hìn núa w l  têp (L2 (), Lq ()) - hĐp thử Ãu an lu B0 d â oa nl Aq = ωτ,Σ (B0 ),  > 0, τ ∈ R hai h¬ng sè d÷ìng T = T (B, , τ ) M = M (B, ), |Uσ (t, τ )uτ |q dx <  vỵi Ω(|Uσ (t,τ )ur |≥M ) M õ lợn cho bĐt kẳ B L2 (), tỗn tÔi cho u B, t T, ∈ Σ z L§y v  z at nh oi Z v bĐt kẳ têp b chn lm ul minh: vỵi måi nf va Chùng minh Theo Bê · 2.4.4 v nh lẵ 3.9 [7], ta ch cƯn chựng gm @ v kẵ hiằu 0, náu náu n va 36 u≥M u ≤ M an Lu (u − M )+ = ( u−M m co l C1 |u|q−1 ≤ f (u) Ω1 = Ω(u(t) ≥ M ) = {x ∈ Ω : u(x, t) ≥ M } ac th si Ω1 Trong ta câ C1 (u − M )2q−2 + |σ(t)|2 + 2C1 C1 q−1 ≤ (u − M )q−1 + |σ(t)|2 , + |u| 2C1 σ(t)(u − M )q−1 + ≤ v  lu q−1 f (u)(u − M )q−1 (u − M )q−1 + ≥ C1 |u| + C1 C1 q−1 ≥ (u − M )q−1 + |u|q−2 (u − M )q+ + |u| 2 C1 C1 M q−2 q−1 q−1 ≥ (u − M )+ |u| + (u − M )q+ 2 an va n NhƠn phữỡng trẳnh (2.11) vỵi |(u − M )+ |q−1 v  sû dưng b§t ¯ng thùc 2d ||(u − M )+ ||qLq (Ω) + 2(q − 1) q dt gh tn to tr¶n, ta thu ÷đc ρ(x)|∇(u − M )+ |2 |(u − M )+ |q−2 Z Ω1 Z + C1 M q−2 |(u − M )+ |q ≤ |σ|2 Ω1 Ω1 C p ie d oa nl w Do â Z Z nf va an lu d C1 M q−2 q ||(u − M )+ ||qLq (Ω) + ||(u − M )+ ||qLq (Ω) ≤ dt ρq > lm ul Theo Mằnh à 2.4.2, tỗn tÔi °t k = TB , ta câ vỵi måi TB > τ ≥ TB , uτ ∈ B z ||(u − M )+ (t)||qLq (Ω) Z + (e Z Z |σ|2 ) Ω1 e−λ(t−s) ||σ||2L2 (Ω) , k (2.18) an Lu q 2C1 t q 2C1 m n va 37 −λ(t−s) co ≤ ||(u − M )+ (k)||qLq (Ω) e−λ(t−k) + k t l (k)||qLq (Ω) e−λ(t−k) gm @ ≤ ||(u − M )+ cho z at nh oi ||Uσ (t, τ )uτ ||qLq (Ω) ≤ ρq v  Ω1 q |σ|2 2C1 ac th si â q 2C1 t Z k C1 M q−2 q λ= Theo Bê · 2.4.3, ta câ  e−λ(t−s) ||σ||2L2 (Ω) ≤ 2q+2 2q+3 ρq T! = ln( ) + k, λ  °t , σ ∈ Σ, M ≥ M1 vỵi vỵi måiM1 (2.19) â  ||(u − M )+ (k)||qLq (Ω) e−λ(t−k) ≤ 2q+2 , vỵi måi t > T1 (2.20) Tø (2.18) - (2.20) , ta thu ÷đc Z lu |(u − M )+ |q dx ≤ Ω(u(t)≥M ) an n va Lp lÔi cĂc bữợc trản, lĐy tn to tỗn tÔi M2 v  T2 Z  2q+1 , vỵi t > T1 , σ ∈ Σ, M ≥ M1 |(u+M )− |q−2 (u+M )− thay cho |(u−M )+ |q−1 , cho Ω(u(t)≤−M )  2q+1 , vỵi t > T2 , σ ∈ Σ, M ≥ M2 , p ie gh |(u + M )− |q dx ≤ (u + M )− = ( u+M n¸u 0, n¸u u ≤ −M, u ≥ −M d oa nl w â M3 = max(M1 , M2 ), ta câ Z |(|u(t)| − M3 )|q dx ≤ nf va an lu LĐy Do õ (|u(t)|2M3 ) vợi t > max(T1 , T2 ), σ ∈ Σ q z at nh oi Z , lm ul Ω(|u(t)|≥M3 )  2q+1 Z ((|u(t)| − M3 ) + M3 )q Ω(|u(t)|≥2M3 ) Z Z q q ≤2 ( (|u| − M3 ) + M3q ) ZΩ(|u(t)|≥2M3 ) ZΩ(|u(t)|≥2M3 ) ≤ 2q ( (|u| − M3 )q + (|u| − M3 )q ) |u(t)| = z =  m an Lu 2q+1 Ω(|u(t)|≥2M3 ) co ≤ 2q+1  l gm @ Ω(|u(t)|≥2M3 ) n va 38 ac th si 2.4.2 Tªp (L2(Ω), D01(Ω, ρ) ∩ Lq (Ω)) - hót ·u º chùng minh sỹ tỗn tÔi cừa têp giÊ sỷ ngoÔi lỹc g (L2 (Ω), D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω)) - hót Ãu, ta thọa mÂn iÃu kiằn mÔnh hỡn sau: (H32 ) ||g(t)||L2 (Ω) ≤ K vỵi måi t ∈ R, v g L2b (R; L2 ()) Trữợc tiản, ta chựng minh bờ à sau Bờ à 2.4.6 Dữợi cĂc iÃu kiằn (H1), (H21) v (H32),vợi mồi têp B ⊂ L2 (Ω) bà ch°n τ ∈ R, v  tỗn tÔi hơng số dữỡng T = T (B, ) ≥ τ lu cho an n va || d (Uσ (t, τ )uτ )|t=s ||2L2 (Ω) ≤ C dt C p ie t theo thíi gian w σ(t) uτ ∈ B, s ≥ T, σ ∈ Σ, sau õ lĐy Ôo hm (2.11) vợi ngoÔi v = ut , v  °t ta ÷đc 1 ρ(x)|∇v|2 ≤ l||v||2L2 (Ω) + ||σ (t)||2L2 (Ω) + ||v||2L2 (Ω) 2 Ω Z d oa nl 1d ||v||2L2 (Ω) + dt v  u(t) = Uσ (t, )u Chựng minh t lỹc B ởc lêp vợi gh tn to õ vợi bĐt kẳ an lu Do â nf va 1d 1 ||v||2L2 (Ω) ≤ (l + )||v||2L2 (Ω) + ||σ (t)||2L2 (Ω) dt 2 lm ul Tø (2.15) v  (2.16) , ta câ t+1 z at nh oi Z ||ut ||2L2 (Ω) ≤ C, t vỵi t õ lỵn z p dửng bĐt ng thực Gronwall Ãu, ta ữủc |ut |2 dx ≤ C, t õ lỵn, â C ởc lêp vợi B v m co l Ω gm @ Z an Lu n va 39 ac th si nh lỵ 2.4.7 trẳnh [1] Vợi cĂc i·u ki»n {Uσ (t, τ )}σ∈Σ Lq (Ω)) bà ch°n cõa L2 (Ω) compact theo tæpæ cõa D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω) D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω) (H32 ), v  sinh bði b i to¡n (2.11) câ mët tªp A, - hót ·u (H1), (H21 ) hå c¡c qu¡ (L2 (Ω), D01 (Ω, ρ) ∩ v  hót måi tªp Hìn núa, A = ωτ,Σ (B0 ), â B0 l  mët tªp Chùng minh Gåi B0 (L2 (Ω), D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω)) (L2 (Ω), D01 (, ) Lq ()) l têp ch cƯn ch rơng vợi bĐt kẳ lu an l tiÃn compact n va chùng minh - h§p thư ·u, ta uτn ∈ B0 , σn ∈ Σ, tn → ∞, {Uσn (tn , τn )Uτn } D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω) {Uσn (tn , τn )uτn } Theo ành lẵ (2.4.5) , ta ch cƯn l tiÃn compact D01 (Ω, ρ) Ta chùng {Uσn (tn , τn )uτn } l  d¢y Cauchy D01 (Ω, ρ) Gi£ sû {Uσn (tn , τn )uτn } tn to minh cho - hĐp thử Ãu l dÂy Cauchy L2 () K½ hi»u ta câ ie gh un (tn ) = Uσn (tn , τn )uτn , p ||un (tn ) − um (tm )||2D01 (Ω,ρ) = hAun (tn ) − Aum (tm ), un (tn ) − um (tm )i nl w = −h∂t un (tn ) − ∂t um (tm ), un (tn ) − um (tm )i d oa − hf (un (tn )) − f (um (tm )), un (tn ) − um (tm )i ≤ ||∂t un (tn ) − ∂t um (tm )||L2 (Ω) ||un (tn ) − um (tm )||L2 (Ω) nf va an lu + hσn (tn ) − σm (tm ), un (tn ) − um (tm )i lm ul + l||un (tn ) − um (tm )||2L2 (Ω) z at nh oi + ||σn (tn ) − σm (tm )||L2 (Ω) ||un (tn ) − um (tm )||L2 (Ω) Theo Bê · (2.4.6) , ta câ i·u ph£i chùng minh z m co l gm @ an Lu n va 40 ac th si Kát luên cừa luên vôn Trong luên vôn ny, chúng tổi  trẳnh by mởt số nởi dung chẵnh sau Ơy: Trẳnh by mởt số kián thực và khổng gian hm, têp hút ton cửc v sỹ tỗn tÔi têp hút ton cửc, sè chi·u fractal cõa tªp hót to n cưc, tªp hót Ãu quĂ trẳnh ỡn tr v têp hút Ãu nûa qu¡ tr¼nh a trà Ch¿ sü tỗn tÔi nghiằm yáu, sỹ tỗn tÔi têp hút Ãu v mởt số kát lu an quÊ và têp hút Ãu ối vợi mởt lợp phữỡng trẳnh parabolic suy bián n va tỹa tuyán tẵnh khổng ổtổnổm p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va 41 ac th si T i li»u tham kh£o [1] C.T.Anh, N.D.Binh and L.T.Thuy (2012),  On uniform global attractors for a class of non-autonomous degenerate parabolic equa- lu tions, Int.J.Dynamical Systems and Differential Equation, Vol 4, an Nos 1/2, 35-55; invited paper on the special issue Degenerate anh va n Singular Parabolic and Elliptic Equations tn to [2] C.T.Anh, N.M.Chuong and T.D.Ke (2010),Global attractors for the gh p ie m-semiflow generated by a quasilinear degenerate parabolic equa- nl w tion, J Math Anal Appl 363, 444-453 oa [3] J.M Arrieta, A.N Carvalho and A Rodiriguez-Bernal (2000),  Up- d per semicontinuity for attractors of parabolic problems with localized lu nf va an large diffusion and nonlinear boundary conditions, J Differential Equations 168, 533-559 lm ul [4] C T Anh and L T Thuy (2012), Global attractors for a class of z at nh oi semi-linear degenerate parabolic equations on RN  , Bull Pol Acad Math Sci., accepted for publication z gm @ [5] C.T Anh and N.V Quang (2011) , Uniform attractors for non- l autonomous parabolic equation involving Grushin operator, Acta m co Math.Vietnm 36, no 1, 19-33 an Lu n va 42 ac th si [6] V.L Carbone, A.N Carvalho and K Schiabel-Silva (2008), Continuity of attractors for parabolic problems with localized large diffusion, Nonlinear Anal.68, 515-535 [7] G.X Chen and C.K Zhong (2008), Uniform attractors for nonautonomous p-Laplacian equations, Nonlinear Anal 68, 3349-3363 [8] V.V Chepyzhov and M.I Vishik (2002),  Global Attractors for Equations of Mathematical Physics, Amer Math Soc Colloq Publ., Vol 49, Amer Math Soc., Providence, RI [9] T.D Ke and N.-C Wong (2011),  Long-time behaviour for a model lu an of porous-medium equations with variable coefficients, Optimization n va 60, No 4-6, 709-724 aux Limites Non Lin²aires, Dunod, Paris ie gh tn to [10] J.-L Lions (1969),  Quelques M²thodes de Resolution des Probl±mes p [11] S.S Lu, H.Q Wu and C.K Zhong (2005),  Attractors for nonau- nl w tonomous 2D Navier-Stokes equations with normal external force, d oa Dis-crete Contin Dyn Syst 23, 701-719 an lu [12] L.A.F de Oliveria, A.L Pereia and M.C Pereia (2005),  Continuity nf va of attractors for a reaction-diffusion problem with respect to variations of the domain, Elec J Diff Equa 100, 1-18 lm ul [13] J.C Robinson (2011),  Infinite-Dimensional Dynamical Systems, z at nh oi Cam-brige University Press [14] R Temam (1997),  Infinite Dimensional Dynamical Systems in Me- z chanics and Physics,2nd edition, Springer-Verlag gm @ [15] C.K Zhong, M.H Yang and C Sun (2006), The existence of global l co attractors for the norm-to-weak continuous semigroup and appliction m to the nonlinear reaction-difusion equations, J Differential Equa- an Lu tions 15, 367-399 n va 43 ac th si