(Luận văn) tính chất nghiệm của phương trình trung tính với quá khứ không ôtônôm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN VIỆT HƯNG lu an n va p ie gh tn to d oa nl w TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUNG TÍNH VỚI Q KHỨ KHƠNG ƠTƠNƠM nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2017 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN VIỆT HƯNG lu an n va TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUNG TÍNH VỚI QUÁ KHỨ KHÔNG ÔTÔNÔM p ie gh tn to d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC an lu nf va Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 z at nh oi lm ul GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS TSKH NGUYỄN THIỆU HUY z m co l gm @ THÁI NGUYÊN - 2017 an Lu n va ac th si iii Mục lục Bảng ký hiệu iv Lời mở đầu lu an Lý thuyết nửa nhóm tốn tử 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh tính chất cận tăng 1.2 Ổn định mũ nhị phân mũ nửa nhóm n va 4 13 p ie gh tn to Sự tồn ổn định nghiệm phương trình trung tính với q khứ khơng ơtơnơm 16 2.1 Phương trình trung tính với q khứ khơng ơtơnơm 16 2.2 Các nửa nhóm tiến hóa với toán tử sai phân toán tử trễ 18 oa nl w d Nhị phân mũ 3.1 Phổ tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm 3.2 Ví dụ minh họa nf va an lu 33 z at nh oi Tài liệu tham khảo lm ul Kết luận 24 24 31 34 z m co l gm @ an Lu n va ac th si iv Bảng ký hiệu lu an N : tập số tự nhiên R : tập số thực R+ : tập số thực không âm L1,loc (R) := {u : R → R|u ∈ L1 (ω) với tập đo ω ⊂⊂ R}, n va với ω ⊂⊂ R nghĩa bao đóng ω tập compact R : không gian Banach C := C([−r, 0], X) không gian hàm liên tục [−r, 0], gh tn to X ie r>0, nhận giá trị X với chuẩn kukC = sup ku(t)k p t∈[−r,0] w C0 (R− , X) := {f : R− → X : f liên tục lim f (t) = 0} không gian t→−∞ d oa nl hàm với chuẩn sup nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời mở đầu lu Vào đầu kỉ 20 phương trình trung tính xem trường hợp đặc biệt phương trình vi phân sai phân Ví dụ : u00 (t) − u0 (t − 1) + u(t) = 0, √ u0 (t) − u(t − 1) − u(t − 2) = 0, an va n u0 (t) − 2u(t) + u0 (t − 1) − 2u(t − 1) = 0, p ie gh tn to (xem [3, 4, 5, 23, 36]), dạng tổng quát phương trình vi phân cấp n sai phân cấp m :  F t, u(t), u(t − r1 ), , u(t − rm ), u0 (t), u0 (t − r1 ), , u0 (t − rm ),  , u(n) (t), u(n) (t − r1 ), , u(n) (t − rm ) = oa nl w d với F hàm (m + 1)(n + 1) biến Để hiểu nguồn gốc thuật ngữ "trễ", "trung tính" ta xét phương trình vi phân cấp sai phân cấp nf va an lu z at nh oi lm ul a0 u0 (t) + a1 u0 (t − ω) + b0 u(t) + b1 u(t − ω) = f (t) với ω > cố định (1) Nếu a0 = a1 = 0, phương trình gọi phương trình sai phân Nó khơng chứa vi phân Nếu a0 6= 0, a1 = 0, phương trình gọi phương trình vi phân sai phân "lùi" hay đơn giản phương trình vi phân có trễ, mơ tả phụ thuộc vào hệ trang thái khứ Nếu a0 = 0, a1 6= 0, phương trình gọi phương trình vi phân sai phân "tiến" hay phương trình vi phân "tiến", mơ tả phụ thuộc vào hệ trạng thái tương lai z m co l gm @ an Lu n va ac th si Cuối a0 6= 0, a1 6= 0, loại phương trình vi phân sai phân gọi hỗn tạp, vừa "lùi" vừa "tiến" Vì trường hợp phương trình gọi phương trình vi phân trung tính Ta tham khảo Bellman and Cooke [3, Chương 2] cho lịch sử toán Gần Wu and Xia [41] hệ tương ứng phương trình có nhị phân mũ tương đương với hệ phương trình trung tính ∂2 ∂ F ut = a F ut + Φut ∂t ∂x (2) lu an n va p ie gh tn to gọi phương trình đạo hàm riêng trung tính hay phương trình trung tính Ở hàm u thuộc C([−r, 0], X) với r ≥ không gian Banach X hàm đường tròn đơn vị S , tức : X = H (S ) X = C(S ), hàm lịch sử ut xác định ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] t ≥ Cuối F Φ gọi toán tử sai phân tốn tử trễ tuyến tính bị chặn từ C([−r, 0], X) → X Có phương pháp để giải tốn Hale [21, 22], ơng tồn và tính chất tốn tử nghiệm Trong luận văn đưa phương pháp tiếp cận nửa nhóm tuyến tính phương trình (NPDE) Sau chúng tơi phương trình (NPDE) đặt chỉnh nghiệm ổn định mũ phương pháp nửa nhóm Để thực điều xây dựng phương trình (NPDE) mà ta nghiên cứu luận văn d oa nl w an lu ∂ F (u(t, ·)) = BF u(t, ·) + Φu(t, ·), t ≥ 0, ∂t ∂ ∂ u(t, s) = u(t, s) + a(s)Au(t, s), t ≥ ≥ s, ∂t ∂s nf va (3) lm ul (4) z at nh oi z hàm u(·, ·) lấy giá trị không gian Banach X, A tốn tử tuyến tính (khơng bị chặn) X sinh nửa nhóm (T (t))t≥0 , hàm a(·) ∈ L1,loc (R+ ) thỏa mãn điều kiện γ1 ≥ a(t) ≥ γ0 > hầu khắp t ≥ Đặt A(s) := −a(s)A Dựa điều kiện thích hợp toán tử sai phân F toán tử trễ Φ ta chứng minh nửa nhóm nghiệm phương trình có nhị phân mũ với điều kiện họ tiến hóa lùi Rs U = (U (t, s))t≤s≤0 = T ( t a(τ )dτ ) sinh A(s) ổn định mũ toán tử B sinh nửa nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0 X Hơn nữa, với điều kiện tính dương (etB )t≥0 , U, F Φ ta chứng minh m co l gm @ an Lu n va ac th si lu an n va p ie gh tn to nửa nhóm nghiệm nói dương điều kiện đủ để nửa nhóm nghiệm ổn định mũ Luận văn chia làm chương với phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày kiến thức chuẩn bị nửa nhóm tốn tử, định nghĩa tính chất nửa nhóm Chương 2: Trình bày tồn nửa nhóm trung tính, với điều kiện ổn định mũ họ tiến hóa lùi ta xây dựng nửa nhóm liên tục mạnh E = C0 (R− , X) thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida Chương 3: Nghiên cứu tính nhị phân mũ nửa nhóm trung tính với q khứ khơng ơtơnơm, nửa nhóm (etB )t≥0 có nhị phân mũ Để chứng minh tính nhị phân mũ nửa nhóm có nhiễu ta phải tính nhị phân mũ nửa nhóm khơng có nhiễu (TB,0 (t))t≥0 , dựa vào nửa nhóm lũy linh, ổn định họ tiến hóa tính chất, kết phổ toán tử Tác giả muốn gửi lời cảm ơn biết ơn chân thành tới tất người hỗ trợ, giúp đỡ tác giả chuyên mơn, vật chất tinh thần q trình thực luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TSKH Nguyễn Thiệu Huy trường Đại học Bách khoa Hà Nội, người hướng dẫn, nhận xét giúp đỡ tác giả nhiều suốt trình thực luận văn Tác giả xin cảm ơn thầy cô giáo trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, người tham gia trực tiếp q trình giảng dạy lớp Cao học Tốn K9Y khóa 2015 – 2017, phịng ban chức năng, khoa Toán Tin trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tác giả trình học tập trường Cuối tác giả xin gửi lời cám ơn đến tập thể lớp K9Y, gia đình bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tác giả suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017 Tác giả luận văn d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Nguyễn Việt Hưng n va ac th si Chương Lý thuyết nửa nhóm tốn tử lu Chương trình bày kiến thức nửa nhóm số kết cần thiết cho chương chương an va n 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh tính chất cận tăng gh tn to p ie Định nghĩa 1.1.1 Họ (T (t))t≥0 ⊂ L(X), X không gian Banach gọi nửa nhóm liên tục mạnh nếu: oa nl w (i) T (t + s) = T (t).T (s), ∀t, s ≥ (ii) T (0) = I toán tử đồng d lu t→t0 nf va lm ul Chú ý 1.1.2 an (iii) lim+ T (t)x = T (t0 )x, ∀x ∈ X, ∀t0 ≥ z at nh oi (i) Nếu (T (t))t≥0 ⊂ L(X) thỏa mãn điều kiện với t, s ∈ R ta có nhóm liên tục mạnh (ii) Trong trường hợp nửa nhóm t0 = xét giới hạn bên phải z m n=0 co l gm @ Ví dụ 1.1.3 X khơng gian Banach, A ∈ L(X) Khi T (t) = etA (t ≥ 0) nửa nhóm liên tục mạnh ∞ P (tA)n Chứng minh Ta có T (t) = etA := n! , t ≥ 0, an Lu ||tA)n || tn ||A||n tn+1 ||A||n+1 tn ||A||n t||A|| ≤ lim : = lim = < n→∞ (n + 1)! n→∞ n + n! n! n! n va ac th si ∞ P Suy chuỗi Nên ∞ P n=0 ||(tA)n || n! n=0 (tA)n n! hội tụ theo Dalambert hội tụ L(X) (do hội tụ tuyệt đối −→ hội tụ L(X)) Ta có T (0) = I (quy ước 00 = I) Xét ∞ ∞ ∞ n n X X X sn An t A )( )= C n An T (t)T (s) = ( n! n=0 n! n=0 n=0 Cn lu an va tn s0 tn−1 s1 t0 s n = + + + n! 0! (n − 1)! 1! 0! n! n X n! = tk sn−k n! k!(n − k)! n k=0 to gh tn = p ie Do T (t)T (s) = ∞ P n=0 w Ta có: T (t) − I = ∞ P nl n=1 (t + s)n n! ((t+s)A)n n! (tA)n n! = T (t + s) nên T (t) = etA nửa nhóm ∞ P ⇒ ||T (t) − I|| ≤ n=1 tn ||An || n! = et||A|| − −→ d oa t → 0+ suy lim+ ||T (t) − I|| = nên (T (t))t≥0 liên tục nên liên tục nf va an lu t→0 mạnh z at nh oi lm ul Bổ đề 1.1.4 X không gian Banach, F : Kcompact ⊂ R → L(X) Các mệnh đề sau tương đương: (i) F liên tục tơ pơ tốn tử mạnh tức K t → F (t)x ∈ X liên tục ∀x ∈ X z (ii) F bị chặn K tức là: ||F (t)|| ≤ M, ∀t ∈ K ánh xạ K t → F (t)x ∈ X liên tục ∀x ∈ X liên tục ∀x ∈ D, D trù mật X co l gm @ m (iii) F liên tục với tô pô hội tụ tập com pact X, tức ánh xạ KxC (t, x) → F (t)x ∈ X liên tục với tập compact C ⊂ X an Lu n va ac th si Chứng minh (iii) ⇒ (ii) tầm thường (i) ⇒ (ii) Vì ánh xạ t → F (t)x liên tục K compact nên với x cố định, x ∈ X, bị chặn ∀x ∈ X {F (t)x : t ∈ K} bị chặn theo Banach - steihau ta có: ||F (t)||, t ∈ K bị chặn R : ||F (t)|| ≤ M, ∀t ∈ K (ii) ⇒ (iii) Giả sử ||F (t)|| ≤ M, ∀t ∈ K, ε > cố định, C compact suy ∃x1 , , xn ∈ D cho: C ⊂ ∪ni=1 (xi + Mε U ), với U = B(0, 1) ⊂ X hình cầu đơn vị X chọn δ > cho ||F (t)xi − F (s)xi || < ε, (i = 1, .n) ∀t, s ∈ K : |t − s| < δ x, y ∈ C; t, s ∈ K thỏa mãn ||x − y|| < Mε , |t − s| < δ chọn i ∈ {1, , n} cho ||x − xi || < Mε ta có: lu an ||F (t)x−F (s)y|| ≤ ||F (t)(x−xi )||+||(F (t)−F (s))xi ||+||F (s)(xi −x)||+ n va + ||F (s)(x − y)|| < 4ε gh tn to nên ánh xạ (t, x) → F (t)x liên tục t ∈ K, x ∈ C p ie Mệnh đề 1.1.5 Cho nửa nhóm (T (t))t≥0 khơng gian Banach Khi mệnh đề sau tương đương: (a) (T (t))t≥0 liên tục mạnh (b) lim+ T (t)x = x, ∀x ∈ X d oa nl w t→0 t→0 nf va an lu (c)∃δ > 0, M ≥ D ⊂ X , D trù mật X cho (i) ||T (t)|| ≤ M, ∀t ∈ [0, δ], (ii) lim+ T (t)x = x, ∀x ∈ D lm ul z at nh oi Chứng minh (a) ⇒ (c.ii) tầm thường (a) ⇒ (c.i) với δ > x cố định x ∈ X ánh xạ t → T (t)x liên tục [0, δ] suy {kT (t)xk, t ∈ [0, δ]} bị chặn ∀x ∈ X theo nguyên lý bị chặn (Banach- Steihau), nên ||T (t)x|| ≤ M, ∀t ∈ [0, δ], M ≥ (do kT (0)k = kIk = 1) (c) ⇒ (b), giả sử {tn }n ⊂ [0, ∞), tn → n → ∞ Đặt K = {tn , n ∈ 19 (iii) Tồn số H ≥ ω1 ∈ R cho kU (t, s)k ≤ Heω1 (s−t) , ∀t ≤ s ≤ Hằng số ω(U) := inf{α ∈ R : ∃H ≥ cho kU (t, s)k ≤ Heα(s−t) ∀t ≤ s ≤ 0} gọi cận tăng U Trong trường hợp ω(U) < 0, ta nói họ tiến hóa U ổn định mũ lu Khái niệm họ tiến hóa lùi nảy sinh ta xét phương trình tiến hóa đặt chỉnh nửa đường thẳng âm R− có dạng   du(t) = −A(t)u(t), t ≤ s ≤ 0, dt (2.5) u(s) = us ∈ X an n va p ie gh tn to Hơn nữa, ta nói tốn Cauchy lùi (2.5) đặt chỉnh với cận mũ tồn họ tiến hóa lùi bị chặn mũ U = (U (t, s))t≤s≤0 , nghiệm (2.5) cho x(t) = U (t, s)x(s) với t ≤ s ≤ Rõ ràng, họ tiến hóa lùi R− , ta có kết tương tự trường hợp họ tiến hóa R+ Ta tham khảo [14, 13, 35, 6]) tính đặt chỉnh phương trình (2.5) Nói cách khác, họ tốn tử (−A(t))t≤0 sinh họ tiến hóa lùi U Để sử dụng sau này, ta tóm tắt việc xây dựng nửa nhóm tiến hóa dịch chuyển trái vài kết sau Trước hết, họ tiến hóa (U (t, s))t≤s≤0 mở rộng cho họ tiến hóa lùi R    U (t, s) với t ≤ s ≤ 0,   U˜ (t, s) := U (t, 0) với t ≤ ≤ s,    U (0, 0) = Id với ≤ t ≤ s d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul nửa nhóm dịch z Định nghĩa 2.2.2 Trên C˜0 := C0 (R, X), ta xác định chuyển trái (T˜(t))t≥0 ứng với (U˜ (t, s))t≤s    U (s, s + t)f˜(s + t)   (T˜(t)f˜)(s) := U˜ (s, s+t)f˜(s+t) = U (s, 0)f˜(s + t)    f˜(s + t) m co l gm @ s≤s+t≤0 với s≤0≤s+t với 0≤s≤s+t an Lu ˜ D(G)) ˜ Ta kí hiệu tốn tử sinh (G; với n va ac th si 20 ˜ D(G)) ˜ tốn Có thể thấy (xem [19, Bổ đề 2.5]) toán tử (G; ˜ u˜(s) = với a < s < b, tử địa phương theo nghĩa, u˜ ∈ D(G) ˜ u](s) = với a < s < b Khi đó, tính địa phương G ˜ cho [G˜ phép xác định toán tử G C0 := C0 (R− , X) sau Định nghĩa 2.2.3 Lấy  ˜ D(G) := f˜|R− : f˜ ∈ D(G) xác định ˜ f˜](t) với t ≤ f = f˜|R [Gf ](t) := [G − Ta có mơ tả G sau lấy từ Bổ đề 2.5 [19] lu Bổ đề 2.2.4 Cho u, f ∈ C0 = C0 (R− , X) λ ∈ C Khi u ∈ D(G) (λ − G)u = f u f thỏa mãn Z s λ(t−s) u(t) = e U (t, s)u(s)+ eλ(t−ξ) U (t, ξ)f (ξ)dξ với t ≤ s ≤ (2.6) an n va Ta lưu ý toán tử G dùng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận họ tiến hóa nửa đường thẳng (xem [19, 20, 30]) Toán tử G trở thành toán tử sinh nửa nhóm ta hạn chế để miền xác định nhỏ hơn, chẳng hạn D := {u ∈ D(G) : [Gu](0) = 0} (xem [20]) Tuy nhiên, với ứng dụng sau ta xét trường hợp tổng quát đưa giả thiết sau p ie gh tn to t d oa nl w nf va an lu lm ul Giả thiết 2.2.5 Trên không gian Banach X C0 := C0 (R− , X) ta xét toán tử sau đây: z at nh oi (i) (B, D(B)) toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (etB )t≥0 X thỏa mãn ketB k ≤ M eω2 t với số M ≥ ω2 ∈ R z (ii) Toán tử sai phân F : C0 → X toán tử trễ Φ : C0 → X tuyến tính bị chặn gm @ m co l Định nghĩa 2.2.6 Trên không gian C0 ta xác định nửa nhóm tiến hóa dịch chuyển trái (TB,0 (t))t≥0 cho  U (s, s + t)f (s + t), s + t ≤ 0, [TB,0 (t)f ](s) = U (s, 0)e(t+s)B f (0), s + t ≥ 0, an Lu n va ac th si 21 với f ∈ C0 Dễ dàng thấy (TB,0 (t))t≥0 liên tục mạnh Ta kí hiệu tốn tử sinh GB,0 Ta có tính chất GB,0 (TB,0 (t))t≥0 lấy từ [19, Mệnh đề 2.8] Mệnh đề 2.2.7 Các khẳng định sau thỏa mãn (i) Toán tử sinh (TB,0 (t))t≥0 cho D(GB,0 ) := {f ∈ D(G) : f (0) ∈ D(B) (G(f ))(0) = Bf (0)}, GB,0 f := Gf với f ∈ D(GB,0 ) lu (ii) Tập {λ ∈ ρ(B) : Reλ > ω(U)} ⊂ ρ(GB,0 ) Hơn nữa, với λ thuộc tập này, giải thức R(λ, GB,0 ) cho Z λt [R(λ, GB,0 )f ](t) = e U (t, 0)R(λ, B)f (0) + eλ(t−ξ) U (t, ξ)f (ξ)dξ an n va tn to t gh với f ∈ C0 , t ≤ p ie (2.7) nl w (iii) Nửa nhóm (TB,0 (t))t≥0 thỏa mãn (2.8) d oa kTB,0 (t)k ≤ Keωt , t ≥ 0, nf va an lu với số K = M H ω := max{ω1 , ω2 }, số M, H, ω1 , ω2 xuất Định nghĩa 2.2.1 Giả thiết 2.2.5 z at nh oi lm ul Sau đây, ta sử dụng toán tử sai phân toán tử trễ tương ứng F, Φ ∈ L(C0 , X) để xác định hạn chế toán tử G từ Định nghĩa 2.2.2 Định nghĩa 2.2.8 Toán tử GB,F,Φ xác định z GB,F,Φ f := Gf miền xác định D(GB,F,Φ ) := {f ∈ D(G) : F f ∈ D(B) F (Gf ) = BF f + Φf(2.9) } gm @ ϕ ∈ C0 , (2.10) m F ϕ := ϕ(0) − Ψϕ, co l Ta viết F dạng an Lu n va ac th si 22 với tốn tử tuyến tính bị chặn Ψ : C0 → X Miền xác định GB,F,Φ viết D(GB,F,Φ ) = {f ∈ D(G) : f (0) − Ψf ∈ D(B) [Gf ](0) = B(f (0) − Ψf ) + Φf + ΨGf } Nếu toán tử Ψ "nhỏ", ta chứng minh R(λ, GB,F,Φ ) thỏa mãn ước lượng Hille-Yosida, suy GB,F,Φ sinh nửa nhóm liên tục mạnh (xem [18, Chương 4]) Tiếp theo, ta nhắc lại kết tính đặt chỉnh hệ phương trình (2.2) (2.3) định lý sau lu Định lí 2.2.9 [18, Định lý 4.2 Hệ 4.3, Hệ 4.6] Cho toán tử Ψ thỏa mãn kΨk < H1 (với số H Định nghĩa 2.2.1), toán tử eλ : X → C0 xác định an va n [eλ x](t) := eλt U (t, 0)x với t ≤ 0, x ∈ X Reλ > ω(U) gh tn to Khi đó, ta có khẳng định sau: p ie KkΦk (với số ω1 K (i) λ ∈ ρ(GB,F,Φ ), ∀λ > ω1 + 1−HkΨk Mệnh đề 2.2.7), ta có w d oa nl R(λ, GB,F,Φ )f = eλ [ΨR(λ, GB,F,Φ ) + R(λ, B)(ΦR(λ, GB,F,Φ ) − Ψ)]f +R(λ, GB,0 )f với f ∈ C0 (2.11) an lu nf va (ii) Tốn tử GB,F,Φ sinh nửa nhóm liên tục mạnh (TB,F,Φ (t))t≥0 C0 lm ul z at nh oi (iii) Hệ phương trình (2.2) (2.3) đặt chỉnh Một cách xác, với ϕ ∈ D(GB,F,Φ ) tồn nghiệm cổ điển u(t, ·, ϕ) (2.2) cho u(t, ·, ϕ) = TB,F,Φ (t)ϕ z m ∀t ≥ ≥ τ ≥ s an Lu u(t, s, ϕ) = U (s, τ )u(t, τ, ϕ) Z τ ∂ + U (s, ξ) u(t, ξ, ϕ)dξ ∂t s co l gm @ thỏa mãn phương trình (2.3) theo nghĩa đủ tốt, tức nghiệm thỏa mãn n va ac th si 23 công thức biến thiên số phương trình (2.3) Hơn nữa, với dãy (ϕn )n∈N ⊂ D(GB,F,Φ ) thỏa mãn limn→∞ ϕn = 0, ta có lim u(t, ·, ϕn ) = n→∞ đoạn compact lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 24 Chương Nhị phân mũ 3.1 Phổ tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm lu an n va p ie gh tn to Sau thiết lập tính đặt chỉnh phương trình (2.3), ta xét tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ (t))t≥0 Trước hết ta tính tốn phổ nửa nhóm (TB,0 (t))t≥0 C0 tốn tử sinh Điều sử dụng để chứng minh tính nhị phân mũ nửa nhóm (TB,F,Φ (t))t≥0 với nhiễu nhỏ tốn tử trễ Φ Ta tính (TB,0 (t))t≥0 với hạn chế lên khơng gian C00 := {f ∈ C0 : f (0) = 0} w d oa nl Bổ đề 3.1.1 ([19, Bổ đề 4.1]) Cho nửa nhóm (TB,0 (t))t≥0 C0 xác định Định nghĩa 2.2.6 với toán tử sinh GB,0 Kí hiệu (T0 (t))t≥0 hạn chế (TB,0 (t))t≥0 lên không gian C00 G0 tốn tử sinh Khi đó, ta có: lm ul σ(TB,0 (t)) ⊆ σ(T0 (t)) ∪ σ(etB ), t ≥ (3.1) σ(GB,0 ) ∪ σ(B) = σ(G0 ) ∪ σ(B) (3.2) z at nh oi (ii) nf va an lu (i) z l gm @ Trong [30, Hệ 2.4] nửa nhóm (T0 (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh Xạ Phổ mà nữa, ta có m co σ(G0 ) = {λ ∈ C : Reλ ≤ ω(U)} σ(T0 (t))\{0} = etσ(G0 ) , ∀t > an Lu (3.3) n va ac th si 25 Theo Bổ đề 3.1.1, ta có định lý sau Định lí 3.1.2 [19, Định lý 4.2] Cho toán tử G0 xác định Bổ đề 3.1.1 Khi [σ(TB,0 )(t) ∪ σ(etB )]\{0} = [etσ(G0 ) ∪ σ(e{tB )]\{0}, t ≥ (3.4) Bổ đề 3.1.3 Nếu nửa nhóm (T (t))t≥0 có tốn tử sinh A ổn định mũ Rs tốn tử −A(t) = a(t)A sinh họ tiến hóa lùi T ( t a(τ )dτ ) ổn định mũ lu Chứng minh Do (T (t))t≥0 bị chặn mũ nên tồn H ≥ 1, γ > cho Rs kT (t)k ≤ He−γt Ta có kT ( t a(τ )dτ )k ≤ He−γγ1 t với t ≤ s ≤ Rs Khi cận tăng T ( t a(τ )dτ ) ω = −γγ1 < nên họ tiến hóa lùi Rs T ( t a(τ )dτ ) ổn định mũ Sử dụng đặc tính phổ cho nửa nhóm có nhị phân mũ (xem [12, Định lý V.1.15]), ta có hệ sau an n va p ie gh tn to Hệ 3.1.4 Nếu tốn tử (B, D(B)) sinh nửa nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0 nửa nhóm (T (t))t≥0 sinh A ổn định mũ, nửa nhóm (TB,0 (t))t≥0 có nhị phân mũ d oa nl w Chứng minh Do (T (t))t≥0 ổn định mũ nên theo Bổ đề 3.1.5 U ổn định mũ đều, ta có ω(U) < 0, nên s(G0 ) < (3.3) Do đó, σ(G0 ) ∩ iR = ∅ Do tính nhị phân mũ (etB )t≥0 , ta có nf va an lu (etσ(G0 ) ∪ σ(etB )) ∩ eiR = ∅ z at nh oi lm ul Tính nhị phân mũ (TB,0 (t))t≥0 suy từ (3.4) Định lý V.1.15 [12] Mục đích phần tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ (t))t≥0 với điều kiện (etB )t≥0 có nhị phân mũ tốn tử trễ Φ có chuẩn đủ nhỏ Vì vậy, ta sử dụng đặc trưng nhị phân mũ nửa nhóm (xem [32, Định lý 2.6.2]) z m co l gm @ Bổ đề 3.1.5 Nếu toán tử A sinh nửa nhóm ổn định mũ tốn tử (B, D(B)) sinh nửa nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0 Khi đó, kΨk < 1/K1 với K1 xác định (3.6), kΦk đủ nhỏ, tồn giải mở Σ chứa trục ảo hàm Hλ giải tích bị chặn Σ cho an Lu R(λ, GB,F,Φ ) = Hλ [R(λ, GB,0 ) − eλ R(λ, B)Ψ] với λ ∈ Σ (3.5) n va ac th si 26 Chứng minh Theo [29, Định lý 4.1] tính nhị phân mũ (etB )t≥0 ta có, tồn số dương P1 , ν cho kR(λ, B)k ≤ P1 , ∀|Reλ| < ν Do U ổn định mũ nên tồn số ω1 > K1 > cho kU (t, s)k < K1 e−ω1 (s−t) , ∀t ≤ s ≤ (3.6) Cho ω số thực thỏa mãn < ω < min{ω1 , ν} Đặt Σ := {λ ∈ C : |Reλ| < ν} P := sup kR(λ, B)k (3.7) λ∈Σ lu Ta kiểm tra với f ∈ E λ ∈ Σ phương trình   u = eλ Ψu + R(λ, B)Φu − eλ R(λ, B)Ψf + R(λ, GB,0 )f an n va p ie gh tn to có nghiệm u ∈ C0 Thật vậy, gọi Mλ : C0 → C0 tốn tử tuyến tính xác định Mλ := eλ (Ψ + R(λ, B)Φ) với eλ Định lý 2.2.9 Với λ ∈ Σ ta có − K1 kΨk kMλ k ≤ K1 (kΨk + P kΦk) < kΦk < P K1 w d oa nl Do đó, tốn tử I − Mλ khả nghịch, phương trình   u = eλ Ψu + R(λ, B)Φu − eλ R(λ, B)Ψf + R(λ, GB,0 )f có nghiệm u = (I −Mλ )−1 [R(λ, GB,0 )f −eλ R(λ, B)Ψf ] Đặt Hλ := (I −Mλ )−1 , ta thu nf va an lu lm ul R(λ, GB,F,Φ ) = Hλ [R(λ, GB,0 ) − eλ R(λ, B)Ψ] z at nh oi Từ −1 Hλ = (I − Mλ ) suy m co 1 − K1 kΨk ∀λ ∈ Σ, kΦk < − K1 (kΨk + P kΦk) P K1 an Lu = [K1 (kΨk + P kΦk)]n l n=0 n=0 gm ≤ (3.8) @ kMλ kn n=0 ∞ X Mλn z kHλ k ≤ ∞ X = ∞ X n va ac th si 27 Từ kMλn k n ≤ [K1 (kΨk+P kΦk)] , ∀λ ∈ Σ chuỗi ∞ P [K1 (kΨk+P kΦk)]n n=0 1−K1 kΨk P K1 1−K1 kΨk P K1 , hội tụ với kΦk < ta có kΦk < chuỗi Neumann (3.8) hội tụ với λ ∈ Σ Do đó, với tính giải tích Mλ , suy tính giải tích Hλ Sử dụng hệ thức (3.5) biểu diễn giải thức thu tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ (t))t≥0 định lý sau lu Định lí 3.1.6 Giả sử giả thiết Định lý 2.2.9 thỏa mãn Nửa nhóm sinh A ổn định mũ (B, D(B)) toán tử sinh C0 nửa nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0 , chuẩn toán tử Ψ thỏa mãn kΨk < K11 Khi đó, chuẩn tốn tử trễ Φ đủ nhỏ nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ (t))t≥0 có nhị phân mũ an n va n=0 k=−n ik, GB,F,Φ )] bị chặn L(C0 ) Thật vậy, theo Bổ đề 3.1.5, ta có ie gh tn to Chứng minh Theo Hệ 3.1.4, nửa nhóm (TB,0 (t))t≥0 có nhị phân NP −1 P n [R(iω + mũ Ta chứng minh rằng, kΦk đủ nhỏ tổng N1 p N −1 n  X X R(iω + ik, GB,F,Φ )f (s) N n=0 w nl N  d oa = k=−n N −1 X n X an lu n=0 k=−n  (1 + Miω+ik + Miω+ik + ) R(iω + ik, GB,0 ) nf va  − eiω+ik R(iω + ik, B)Ψ f (s) N n=0 k=−n z at nh oi + k=−n N −1 X n X lm ul N −1 n  X X  = R(iω + ik, GB,0 ) − eiω+ik R(iω + ik, B)Ψ f (s)+ N n=0  e(iω+ik)s U (s, 0)(Ψ + R(iω + ik, B)Φ){ R(iω + ik, GB,0 ) (3.9) z  − eiω+ik R(iω + ik, B)Ψ f }(s) + gm @ m co l với s ∈ R− Chú ý rằng, nửa nhóm(TB,0 )t≥0 có nhị phân mũ, nên e−2πiω ∈ ρ(TB,0 (2π)) với ω ∈ R Sử dụng công thức (xem [12, Bổ đề II.1.9]) Z t R(λ, GB,0 )(1 − e−λt TB,0 (t)) = e−λs TB,0 (s)ds, λ ∈ ρ(GB,0 ) an Lu n va ac th si 28 ta thu Z 2π e−(iω+ik)t TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 dt, R(iω + ik, GB,0 ) = Z0 2π R(iω + ik, B) = e−(iω+ik)t etB (1 − e2πB )−1 dt Số hạng đầu (3.9) tính sau lu an n va p ie gh tn to N −1 n  X X R(iω + ik, GB,0 ) − eiω+ik R(iω + ik, B)Ψ f N n=0 k=−n N −1 n Z X X 2π −(iω+ik)t  = e TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 N n=0 k=−n  − e(iω+ik) etB (1 − e2πB )−1 Ψ f dt  Z 2π  N −1 n X X −ikt −iωt  e TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 e = N n=0 k=−n  − e(iω+ik) etB (1 − e2πB )−1 Ψ f dt Z 2π  σN (t)e−iωt TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 =  − e(iω+ik) etB (1 − e2πB )−1 Ψ f dt, oa nl w d đó, σN (t) = NP −1 an lu N e−ikt n=0 k=−n − cos(N t) ≥ σN (t) = N (1 − cos t) nf va Từ n P Z 2π σN (t)dt = 2π (3.10) lm ul z at nh oi (xem [17, Định lý 1.1]), chuẩn số hạng đầu (3.9) ước lượng −1 X n N X   R(iω + ik, GB,0 ) − eiω+ik R(iω + ik, B)Ψ f ≤ C1 kf k N n=0 k=−n (3.11) với C1 := 2π sup {k(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 k + k(1 − e2πB )−1 kkΨk} z m an Lu 0≤t≤2π co × sup {kTB,0 (t)k + ketB k} l gm @ 0≤ω≤1 n va ac th si 29 Tiếp theo, ta tính tốn số hạng thứ hai (3.9) Với s ∈ R− , ta có N −1 n X X M(iω+ik) [(R(iω + ik, GB,0 ) − eiω+ik R(iω + ik, B)Ψ)f ](s) N n=0 k=−n  N −1 n X X (iω+ik)s = e U (s, 0)(Ψ + R(iω + ik, B)Φ) R(iω + ik, GB,0 ) N n=0 k=−n  − eiω+ik R(iω + ik, B)Ψ f (s) lu   Z 2π N −1 n X X (iω+ik)s −(iω+ik)τ τ B 2πB −1 e U (s, 0) Ψ + e e (1 − e ) dτ Φ = N n=0 k=−n  Z 2π −(iω+ik)t × e TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1  − e(iω+ik) etB (1 − e2πB )−1 Ψ f (s)dt an n va to 2π Z = k=−n   −2πiω −1 tB 2πB −1 × TB,0 (t)(1 − e TB,0 (2π)) − e(iω+ik)t e (1 − e ) Ψ f (s)dt p ie gh tn  N −1 n X X −ik(t−s) −iω(t−s) e U (s, 0)Ψ e N n=0  w  N −1 n X X −ik(t+τ −s) + e f (s)e−iω(t+τ −s) U (s, 0)eτ B N n=0 0 k=−n × (1 − e2πB )−1 Φ TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1  tB 2πB −1 − e(iω+ik)t e (1 − e ) Ψ f (s)dτ dt  Z 2π = σN (t − s)e−iω(t−s) U (s, 0)Ψ TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1  tB 2πB −1 − e(iω+ik)t e (1 − e ) Ψ f (s)dt Z 2π Z 2π + σN (t + τ − s)e−iω(t+τ −s) U (s, 0)eτ B (1 − e2πB )−1 Φ 0  × TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 − e(iω+ik)t etB (1 − e2πB )−1 Ψ f (s)dτ dt 2π Z 2π  d oa nl Z nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Do đó, sử dụng (3.10), chuẩn số hạng thứ hai (3.9) ước n va ac th si 30 lượng
C1 kΨk + C2 K1 kΦk kf k với C2 := 2π (1 − e2πB )−1 sup {ketB k} C1 (3.11) Bằng 0≤t≤2π quy nạp chuẩn số hạng thứ n (3.9) ước lượng C1 (kΨk + C2 K1 kΦk)n kf k P 1−kΨk n Hơn nữa, chuỗi ∞ n=0 C1 (kΨk + C2 K1 kΦk) hội tụ kΦk < C2 K1 NP −1 P n R(iω + ik, GB,F,Φ ) bị chặn Do đó, kΦk tổng N1 n=0 k=−n L(C0 ) P Tiếp theo, ta chứng minh tính hội tụ (C, 1) R(iω+ik, GB,F,Φ )f lu k∈Z an n va p ie gh tn to với ω ∈ R, f ∈ C0 Điều thực cách sử dụng ý tưởng [17, Định lý 1.1] Theo [37, III.4.5], ta cần tính hội tụ khơng gian trù mật Thật vây, từ iR ⊂ ρ(GB,F,Φ ) áp dụng định lý ánh xạ phổ cho phổ dư (xem [12, Định lý IV.3.7]) ta có e−2πiω khơng thuộc phổ dư Rσ(TB,F,Φ ) Suy (1 − e−2πiω TB,F,Φ (2π))C0 tập trù mật C0 Xét f = (1 − e−2πiω TB,F,Φ (2π))g Khi w d oa nl N −1 n X X R(iω + ik, GB,F,Φ )(1 − e−2πiω TB,F,Φ (2π))g) N n=0 k=−n N −1 n Z X X 2π −(iω+ik)s = e TB,F,Φ (s)gds (3.12) N n=0 nf va an lu k=−n lm ul z at nh oi Nên e−iω TB,F,Φ (.)g hàm liên tục với hệ số Fourier Z 2π Qk = e−(iω+ik)s TB,F,Φ (s)gds 2π z Do đó, theo Định lý Fejer (xem [26, Định lý I.3.1]), tổng (3.12) hội tụ N → ∞ Áp dụng Định lý 1.2.7 ta có điều cần chứng minh Lưu ý: Đối với hệ phương trình (2.2), (2.3) trường hợp F ut = u(t) Khi đó, hệ phương trình trở thành hệ phương trình vi phân có trễ với q khứ khơng ơtơnơm Kết đạt tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm (TB,Φ (t))t≥0 N T Huy (xem [19]) m co l gm @ an Lu n va ac th si 31 3.2 Ví dụ minh họa Ta minh họa kết ví dụ sau Ví dụ 3.2.1 Xét phương trình trung tính ∂w(x, t, −1) ∂ w(x, t, 0) ∂ w(x, t, −1) ∂w(x, t, 0) −k = −k + αw(x, t, 0) 2 ∂t ∂t ∂x ∂x Z − kw(x, t, −1)) + ψ(s)w(x, t, s)ds với ≤ x ≤ π, t ≥ 0, −∞ w(0, t, s) = w(π, t, s) = 0, t ≥ ≥ s, ∂w(x, t, s) ∂w(x, t, s) ∂ w(x, t, s) = − a(s) , ∀x ∈ [0, π], t ≥ ≥ s ∂t ∂s ∂x2 lu (3.13) an n va gh tn to k α số thực thoả mãn |k| < 1, α > α 6= n2 ∀n ∈ N; cho hàm ψ ϕ cho ψ ∈ L1 (R− ) ϕ liên tục, hàm a(·) ∈ L1,loc (R− ) thỏa mãn a(·) ≥ γ > với số γ p ie Ta chọn không gian Hilbert X := L2 [0, π] cho B : D(B) ⊂ X → X xác định B(f ) = f 00 + αf với miền xác định w oa nl D(B) = H02 [0, π] := {f ∈ W 2,2 [0, π] : f (0) = f (π) = 0} d Và xác định toán tử sai phân F toán tử trễ Φ sau an lu nf va F : C0 (R− , X) → X, F (f ) := f (0) − kf (−1) Z Φ : C0 (R− , X) → X, Φ(f ) := ψ(s)f (s)ds lm ul −∞ z at nh oi Rõ ràng, F Φ tốn tử tuyến tính bị chặn Hơn nữa, kΦk ≤ kψkL1 Đặt A(s) := −a(s)∆, s ≤ 0, ∆(f ) = f 00 với miền xác định D(∆) = H02 [0, π] Tốn tử −A(s) sinh họ tiến hóa lùi (U (r, s))r≤s≤0 cho Rs ( r a(τ )dτ )∆ U (r, s) = e , ∀r ≤ s ≤ z co l gm @ m Ta có Rs r a(τ )dτ an Lu kU (r, s)k ≤ e− ≤ e−γ(s−r) với r ≤ s ≤ n va ac th si 32 Do đó, ta chọn số H = ω1 = −γ < với ω1 , H Định nghĩa 2.2.1 Do đó, họ tiến hóa lùi (U (r, s))r≤s≤0 ổn định mũ Hệ (3.13) viết dạng ∂ F u(t, ·) = BF u(t, ·) + Φu(t, ·), t ≥ 0, ∂t ∂ ∂ (u(t, s)) = (u(t, s)) + A(s)u(t, s), t ≥ ≥ s ∂t ∂s (3.14) (3.15) lu an n va 0≤t≤2π gh tn to với u(t, s) = w(·, t, s) Có thể thấy rằng, B tốn tử sinh nửa nhóm giải tích (etB )t≥0 (xem [12]) Từ σ(B) = {−1+α, −4+α, , −n2 +α, } α 6= n2 với n ∈ N, suy σ(B) ∩ iR = ∅ Do đó, áp dụng Định lý Ánh Xạ Phổ cho nửa nhóm giải tích thu nửa nhóm (etB )t≥0 có nhị phân mũ − |k| Định lý 3.1.6 suy rằng, kψkL1 < 2πk(1 − e2πB )−1 k sup {ketB k} p ie nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ (t))t≥0 hệ phương trình (3.14)và (3.15) có nhị phân mũ d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 33 Kết luận Trong luận văn, nghiên cứu phương trình trung tính với q khứ khơng ơtơnơm Bằng phương pháp nửa nhóm ta xây dựng nửa nhóm nghiệm liên tục mạnh thỏa mãn tốn Cauchy cho phương trình Sau đó, nghiên cứu tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm phương trình Đóng góp tác giả luận văn: Chỉ ví dụ cụ thể thỏa mãn điều kiện định lý 3.1.6 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si