Tính chất nghiệm của phương trình trung tính với quá khứ không ôtônôm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN VIỆT HƯNG TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUNG TÍNH VỚI Q KHỨ KHƠNG ƠTƠNƠM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN VIỆT HƯNG TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUNG TÍNH VỚI Q KHỨ KHƠNG ƠTƠNƠM LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS TSKH NGUYỄN THIỆU HUY THÁI NGUYÊN - 2017 iii Mục lục Bảng ký hiệu Lời mở đầu Lý thuyết nửa nhóm tốn tử 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh tính chất cận tăng 1.2 Ổn định mũ nhị phân mũ nửa nhóm iv 4 13 Sự tồn ổn định nghiệm phương trình trung tính với q khứ khơng ơtơnơm 16 2.1 Phương trình trung tính với khứ không ôtônôm 16 2.2 Các nửa nhóm tiến hóa với tốn tử sai phân toán tử trễ 18 Nhị phân mũ 3.1 Phổ tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm 3.2 Ví dụ minh họa 24 24 31 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 iv Bảng ký hiệu N : tập số tự nhiên R : tập số thực R+ : tập số thực không âm L1,loc (R) := {u : R → R|u ∈ L1 (ω) với tập đo ω ⊂⊂ R}, X C với ω ⊂⊂ R nghĩa bao đóng ω tập compact R : không gian Banach := C([−r, 0], X) không gian hàm liên tục [−r, 0], r>0, nhận giá trị X với chuẩn u C = sup u(t) t∈[−r,0] C0 (R− , X) := {f : R− → X : f liên tục lim f (t) = 0} không gian t→−∞ hàm với chuẩn sup Lời mở đầu Vào đầu kỉ 20 phương trình trung tính xem trường hợp đặc biệt phương trình vi phân sai phân Ví dụ : u′′ (t) − u′ (t − 1) + u(t) = 0, √ u′ (t) − u(t − 1) − u(t − 2) = 0, u′ (t) − 2u(t) + u′ (t − 1) − 2u(t − 1) = 0, (xem [3, 4, 5, 23, 36]), dạng tổng quát phương trình vi phân cấp n sai phân cấp m : F t, u(t), u(t − r1 ), , u(t − rm ), u′ (t), u′ (t − r1 ), , u′ (t − rm ), ., u(n) (t), u(n) (t − r1 ), , u(n) (t − rm ) = với F hàm (m + 1)(n + 1) biến Để hiểu nguồn gốc thuật ngữ "trễ", "trung tính" ta xét phương trình vi phân cấp sai phân cấp a0 u′ (t) + a1 u′ (t − ω) + b0 u(t) + b1 u(t − ω) = f (t) với ω > cố định (1) Nếu a0 = a1 = 0, phương trình gọi phương trình sai phân Nó không chứa vi phân Nếu a0 = 0, a1 = 0, phương trình gọi phương trình vi phân sai phân "lùi" hay đơn giản phương trình vi phân có trễ, mơ tả phụ thuộc vào hệ trang thái khứ Nếu a0 = 0, a1 = 0, phương trình gọi phương trình vi phân sai phân "tiến" hay phương trình vi phân "tiến", mơ tả phụ thuộc vào hệ trạng thái tương lai Cuối a0 = 0, a1 = 0, loại phương trình vi phân sai phân gọi hỗn tạp, vừa "lùi" vừa "tiến" Vì trường hợp phương trình gọi phương trình vi phân trung tính Ta tham khảo Bellman and Cooke [3, Chương 2] cho lịch sử toán Gần Wu and Xia [41] hệ tương ứng phương trình có nhị phân mũ tương đương với hệ phương trình trung tính ∂ ∂2 F ut = a F ut + Φut ∂t ∂x (2) gọi phương trình đạo hàm riêng trung tính hay phương trình trung tính Ở hàm u thuộc C([−r, 0], X) với r ≥ không gian Banach X hàm đường tròn đơn vị S , tức : X = H (S ) X = C(S ), hàm lịch sử ut xác định ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] t ≥ Cuối F Φ gọi toán tử sai phân tốn tử trễ tuyến tính bị chặn từ C([−r, 0], X) → X Có phương pháp để giải toán Hale [21, 22], ông tồn và tính chất tốn tử nghiệm Trong luận văn đưa phương pháp tiếp cận nửa nhóm tuyến tính phương trình (NPDE) Sau chúng tơi phương trình (NPDE) đặt chỉnh nghiệm ổn định mũ phương pháp nửa nhóm Để thực điều xây dựng phương trình (NPDE) mà ta nghiên cứu luận văn ∂ F (u(t, ·)) = BF u(t, ·) + Φu(t, ·), t ≥ 0, ∂t ∂ ∂ u(t, s) = u(t, s) + a(s)Au(t, s), t ≥ ≥ s, ∂t ∂s (3) (4) hàm u(·, ·) lấy giá trị khơng gian Banach X, A tốn tử tuyến tính (khơng bị chặn) X sinh nửa nhóm (T (t))t≥0 , hàm a(·) ∈ L1,loc (R+ ) thỏa mãn điều kiện γ1 ≥ a(t) ≥ γ0 > hầu khắp t ≥ Đặt A(s) := −a(s)A Dựa điều kiện thích hợp tốn tử sai phân F tốn tử trễ Φ ta chứng minh nửa nhóm nghiệm phương trình có nhị phân mũ với điều kiện họ tiến hóa lùi s U = (U (t, s))t≤s≤0 = T ( t a(τ )dτ ) sinh A(s) ổn định mũ tốn tử B sinh nửa nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0 X Hơn nữa, với điều kiện tính dương (etB )t≥0 , U , F Φ ta chứng minh nửa nhóm nghiệm nói dương điều kiện đủ để nửa nhóm nghiệm ổn định mũ Luận văn chia làm chương với phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày kiến thức chuẩn bị nửa nhóm tốn tử, định nghĩa tính chất nửa nhóm Chương 2: Trình bày tồn nửa nhóm trung tính, với điều kiện ổn định mũ họ tiến hóa lùi ta xây dựng nửa nhóm liên tục mạnh E = C0 (R− , X) thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida Chương 3: Nghiên cứu tính nhị phân mũ nửa nhóm trung tính với q khứ khơng ơtơnơm, nửa nhóm (etB )t≥0 có nhị phân mũ Để chứng minh tính nhị phân mũ nửa nhóm có nhiễu ta phải tính nhị phân mũ nửa nhóm khơng có nhiễu (TB,0 (t))t≥0 , dựa vào nửa nhóm lũy linh, ổn định họ tiến hóa tính chất, kết phổ tốn tử Tác giả muốn gửi lời cảm ơn biết ơn chân thành tới tất người hỗ trợ, giúp đỡ tác giả chuyên môn, vật chất tinh thần trình thực luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TSKH Nguyễn Thiệu Huy trường Đại học Bách khoa Hà Nội, người hướng dẫn, nhận xét giúp đỡ tác giả nhiều suốt trình thực luận văn Tác giả xin cảm ơn thầy cô giáo trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, người tham gia trực tiếp trình giảng dạy lớp Cao học Tốn K9Y khóa 2015 – 2017, phịng ban chức năng, khoa Tốn Tin trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tác giả trình học tập trường Cuối tác giả xin gửi lời cám ơn đến tập thể lớp K9Y, gia đình bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tác giả suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Việt Hưng Chương Lý thuyết nửa nhóm tốn tử Chương trình bày kiến thức nửa nhóm số kết cần thiết cho chương chương 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh tính chất cận tăng Định nghĩa 1.1.1 Họ (T (t))t≥0 ⊂ L(X), X không gian Banach gọi nửa nhóm liên tục mạnh nếu: (i) T (t + s) = T (t).T (s), ∀t, s ≥ (ii) T (0) = I toán tử đồng (iii) lim+ T (t)x = T (t0 )x, ∀x ∈ X, ∀t0 ≥ t→t0 Chú ý 1.1.2 (i) Nếu (T (t))t≥0 ⊂ L(X) thỏa mãn điều kiện với t, s ∈ R ta có nhóm liên tục mạnh (ii) Trong trường hợp nửa nhóm t0 = xét giới hạn bên phải Ví dụ 1.1.3 X khơng gian Banach, A ∈ L(X) Khi T (t) = etA (t ≥ 0) nửa nhóm liên tục mạnh Chứng minh Ta có T (t) = etA := ∞ n=0 (tA)n n! , t ≥ 0, tn ||A||n tn+1 ||A||n+1 tn ||A||n t||A|| ||tA)n || ≤ lim : = lim = < n→∞ (n + 1)! n→∞ n + n! n! n! Suy chuỗi ∞ Nên n=0 ∞ n=0 (tA)n n! ||(tA)n || n! hội tụ theo Dalambert hội tụ L(X) (do hội tụ tuyệt đối −→ hội tụ L(X)) Ta có T (0) = I (quy ước 00 = I) Xét ∞ n n ∞ t A s n An T (t)T (s) = ( )( )= n! n! n=0 n=0 ∞ C n An n=0 Cn tn−1 s1 t sn t n s0 + + + = n! 0! (n − 1)! 1! 0! n! = n! = Do T (t)T (s) = Ta có: T (t) − I = ∞ n=0 ∞ n=1 n k=0 n! tk sn−k k!(n − k)! (t + s)n n! ((t+s)A)n n! (tA)n n! = T (t + s) nên T (t) = etA nửa nhóm ⇒ ||T (t) − I|| ≤ ∞ n=1 tn ||An || n! = et||A|| − −→ t → 0+ suy lim+ ||T (t) − I|| = nên (T (t))t≥0 liên tục nên liên tục mạnh t→0 Bổ đề 1.1.4 X không gian Banach, F : Kcompact ⊂ R → L(X) Các mệnh đề sau tương đương: (i) F liên tục tơ pơ tốn tử mạnh tức K ∋ t → F (t)x ∈ X liên tục ∀x ∈ X (ii) F bị chặn K tức là: ||F (t)|| ≤ M, ∀t ∈ K ánh xạ K ∋ t → F (t)x ∈ X liên tục ∀x ∈ X liên tục ∀x ∈ D, D trù mật X (iii) F liên tục với tô pô hội tụ tập com pact X, tức ánh xạ KxC ∋ (t, x) → F (t)x ∈ X liên tục với tập compact C ⊂ X Chứng minh (iii) ⇒ (ii) tầm thường (i) ⇒ (ii) Vì ánh xạ t → F (t)x liên tục K compact nên với x cố định, x ∈ X, bị chặn ∀x ∈ X {F (t)x : t ∈ K} bị chặn theo Banach - steihau ta có: ||F (t)||, t ∈ K bị chặn R : ||F (t)|| ≤ M, ∀t ∈ K (ii) ⇒ (iii) Giả sử ||F (t)|| ≤ M, ∀t ∈ K, ε > cố định, C compact suy ∃x1 , , xn ∈ D cho: C ⊂ ∪ni=1 (xi + Mε U ), với U = B(0, 1) ⊂ X hình cầu đơn vị X chọn δ > cho ||F (t)xi − F (s)xi || < ε, (i = 1, .n) ∀t, s ∈ K : |t − s| < δ x, y ∈ C; t, s ∈ K thỏa mãn ||x − y|| < Mε , |t − s| < δ chọn i ∈ {1, , n} cho ||x − xi || < Mε ta có: ||F (t)x−F (s)y|| ≤ ||F (t)(x−xi )||+||(F (t)−F (s))xi ||+||F (s)(xi −x)||+ + ||F (s)(x − y)|| < 4ε nên ánh xạ (t, x) → F (t)x liên tục t ∈ K, x ∈ C Mệnh đề 1.1.5 Cho nửa nhóm (T (t))t≥0 khơng gian Banach Khi mệnh đề sau tương đương: (a) (T (t))t≥0 liên tục mạnh (b) lim+ T (t)x = x, ∀x ∈ X t→0 (c)∃δ > 0, M ≥ D ⊂ X , D trù mật X cho (i) ||T (t)|| ≤ M, ∀t ∈ [0, δ], (ii) lim+ T (t)x = x, ∀x ∈ D t→0 Chứng minh (a) ⇒ (c.ii) tầm thường (a) ⇒ (c.i) với δ > x cố định x ∈ X ánh xạ t → T (t)x liên tục [0, δ] suy { T (t)x , t ∈ [0, δ]} bị chặn ∀x ∈ X theo nguyên lý bị chặn (Banach- Steihau), nên ||T (t)x|| ≤ M, ∀t ∈ [0, δ], M ≥ (do T (0) = I = 1) (c) ⇒ (b), giả sử {tn }n ⊂ [0, ∞), tn → n → ∞ Đặt K = {tn , n ∈ N } ∪ {0}, Kcompact ⊂ R T (.) K bị chặn (||T (t)|| ≤ M, ∀t ∈ K) T (.) K x liên tục ∀x ∈ D, D trù mật X Theo bổ đề ta có lim T (tn )x = x, ∀x ∈ X Vì {tn }n ⊂ [0, +∞), tn → n→∞ 23 công thức biến thiên số phương trình (2.3) Hơn nữa, với dãy (ϕn )n∈N ⊂ D(GB,F,Φ ) thỏa mãn limn→∞ ϕn = 0, ta có lim u(t, ·, ϕn ) = n→∞ đoạn compact 24 Chương Nhị phân mũ 3.1 Phổ tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm Sau thiết lập tính đặt chỉnh phương trình (2.3), ta xét tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ (t))t≥0 Trước hết ta tính tốn phổ nửa nhóm (TB,0 (t))t≥0 C0 tốn tử sinh Điều sử dụng để chứng minh tính nhị phân mũ nửa nhóm (TB,F,Φ (t))t≥0 với nhiễu nhỏ tốn tử trễ Φ Ta tính (TB,0 (t))t≥0 với hạn chế lên khơng gian C00 := {f ∈ C0 : f (0) = 0} Bổ đề 3.1.1 ([19, Bổ đề 4.1]) Cho nửa nhóm (TB,0 (t))t≥0 C0 xác định Định nghĩa 2.2.6 với toán tử sinh GB,0 Kí hiệu (T0 (t))t≥0 hạn chế (TB,0 (t))t≥0 lên không gian C00 G0 tốn tử sinh Khi đó, ta có: (i) σ(TB,0 (t)) ⊆ σ(T0 (t)) ∪ σ(etB ), t ≥ (3.1) σ(GB,0 ) ∪ σ(B) = σ(G0 ) ∪ σ(B) (3.2) (ii) Trong [30, Hệ 2.4] nửa nhóm (T0 (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh Xạ Phổ mà nữa, ta có σ(G0 ) = {λ ∈ C : Reλ ≤ ω(U )} σ(T0 (t))\{0} = etσ(G0 ) , ∀t > (3.3) 25 Theo Bổ đề 3.1.1, ta có định lý sau Định lí 3.1.2 [19, Định lý 4.2] Cho toán tử G0 xác định Bổ đề 3.1.1 Khi [σ(TB,0 )(t) ∪ σ(etB )]\{0} = [etσ(G0 ) ∪ σ(e{tB )]\{0}, t ≥ (3.4) Bổ đề 3.1.3 Nếu nửa nhóm (T (t))t≥0 có tốn tử sinh A ổn định mũ s tốn tử −A(t) = a(t)A sinh họ tiến hóa lùi T ( t a(τ )dτ ) ổn định mũ Chứng minh Do (T (t))t≥0 bị chặn mũ nên tồn H ≥ 1, γ > cho s T (t) ≤ He−γt Ta có T ( t a(τ )dτ ) ≤ He−γγ1 t với t ≤ s ≤ s Khi cận tăng T ( t a(τ )dτ ) ω = −γγ1 < nên họ tiến hóa lùi s T ( t a(τ )dτ ) ổn định mũ Sử dụng đặc tính phổ cho nửa nhóm có nhị phân mũ (xem [12, Định lý V.1.15]), ta có hệ sau Hệ 3.1.4 Nếu tốn tử (B, D(B)) sinh nửa nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0 nửa nhóm (T (t))t≥0 sinh A ổn định mũ, nửa nhóm (TB,0 (t))t≥0 có nhị phân mũ Chứng minh Do (T (t))t≥0 ổn định mũ nên theo Bổ đề 3.1.5 U ổn định mũ đều, ta có ω(U ) < 0, nên s(G0 ) < (3.3) Do đó, σ(G0 ) ∩ iR = ∅ Do tính nhị phân mũ (etB )t≥0 , ta có (etσ(G0 ) ∪ σ(etB )) ∩ eiR = ∅ Tính nhị phân mũ (TB,0 (t))t≥0 suy từ (3.4) Định lý V.1.15 [12] Mục đích phần tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ (t))t≥0 với điều kiện (etB )t≥0 có nhị phân mũ tốn tử trễ Φ có chuẩn đủ nhỏ Vì vậy, ta sử dụng đặc trưng nhị phân mũ nửa nhóm (xem [32, Định lý 2.6.2]) Bổ đề 3.1.5 Nếu toán tử A sinh nửa nhóm ổn định mũ tốn tử (B, D(B)) sinh nửa nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0 Khi đó, Ψ < 1/K1 với K1 xác định (3.6), Φ đủ nhỏ, tồn giải mở Σ chứa trục ảo hàm Hλ giải tích bị chặn Σ cho R(λ, GB,F,Φ ) = Hλ [R(λ, GB,0 ) − eλ R(λ, B)Ψ] với λ ∈ Σ (3.5) 26 Chứng minh Theo [29, Định lý 4.1] tính nhị phân mũ (etB )t≥0 ta có, tồn số dương P1 , ν cho R(λ, B) ≤ P1 , ∀|Reλ| < ν Do U ổn định mũ nên tồn số ω1 > K1 > cho U (t, s) < K1 e−ω1 (s−t) , ∀t ≤ s ≤ (3.6) Cho ω số thực thỏa mãn < ω < min{ω1 , ν} Đặt Σ := {λ ∈ C : |Reλ| < ν} (3.7) P := sup R(λ, B) λ∈Σ Ta kiểm tra với f ∈ E λ ∈ Σ phương trình u = eλ Ψu + R(λ, B)Φu − eλ R(λ, B)Ψf + R(λ, GB,0 )f có nghiệm u ∈ C0 Thật vậy, gọi Mλ : C0 → C0 tốn tử tuyến tính xác định Mλ := eλ (Ψ + R(λ, B)Φ) với eλ Định lý 2.2.9 Với λ ∈ Σ ta có − K1 Ψ Mλ ≤ K1 ( Ψ + P Φ ) < Φ < P K1 Do đó, tốn tử I − Mλ khả nghịch, phương trình u = eλ Ψu + R(λ, B)Φu − eλ R(λ, B)Ψf + R(λ, GB,0 )f có nghiệm u = (I −Mλ )−1 [R(λ, GB,0 )f −eλ R(λ, B)Ψf ] Đặt Hλ := (I −Mλ )−1 , ta thu R(λ, GB,F,Φ ) = Hλ [R(λ, GB,0 ) − eλ R(λ, B)Ψ] Từ Hλ = (I − Mλ ) suy Hλ ≤ ≤ = ∞ n=0 ∞ Mλ −1 = ∞ Mλn n=0 n [K1 ( Ψ + P Φ )]n n=0 1 − K1 Ψ ∀λ ∈ Σ, Φ < − K1 ( Ψ + P Φ ) P K1 (3.8) 27 Từ Mλn ≤ [K1 ( Ψ +P Φ )] , ∀λ ∈ Σ chuỗi n ∞ [K1 ( Ψ +P Φ )]n n=0 1−K1 Ψ P K1 hội tụ với Φ < , ta có Φ < chuỗi Neumann (3.8) hội tụ với λ ∈ Σ Do đó, với tính giải tích Mλ , suy tính giải tích Hλ Sử dụng hệ thức (3.5) biểu diễn giải thức thu tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ (t))t≥0 định lý sau 1−K1 Ψ P K1 Định lí 3.1.6 Giả sử giả thiết Định lý 2.2.9 thỏa mãn Nửa nhóm sinh A ổn định mũ (B, D(B)) tốn tử sinh C0 nửa nhóm có nhị phân mũ (etB )t≥0 , chuẩn toán tử Ψ thỏa mãn Ψ < K11 Khi đó, chuẩn toán tử trễ Φ đủ nhỏ nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ (t))t≥0 có nhị phân mũ Chứng minh Theo Hệ 3.1.4, nửa nhóm (TB,0 (t))t≥0 có nhị phân mũ Ta chứng minh rằng, Φ đủ nhỏ tổng N N −1 n [R(iω + n=0 k=−n ik, GB,F,Φ )] bị chặn L(C0 ) Thật vậy, theo Bổ đề 3.1.5, ta có N = N −1 n R(iω + ik, GB,F,Φ )f (s) n=0 k=−n N −1 n N + ) R(iω + ik, GB,0 ) (1 + Miω+ik + Miω+ik n=0 k=−n − eiω+ik R(iω + ik, B)Ψ f (s) N −1 = N + N n n=0 k=−n N −1 n R(iω + ik, GB,0 ) − eiω+ik R(iω + ik, B)Ψ f (s)+ e(iω+ik)s U (s, 0)(Ψ + R(iω + ik, B)Φ){ R(iω + ik, GB,0 ) n=0 k=−n − eiω+ik R(iω + ik, B)Ψ f }(s) + (3.9) với s ∈ R− Chú ý rằng, nửa nhóm(TB,0 )t≥0 có nhị phân mũ, nên e−2πiω ∈ ρ(TB,0 (2π)) với ω ∈ R Sử dụng công thức (xem [12, Bổ đề II.1.9]) R(λ, GB,0 )(1 − e −λt t TB,0 (t)) = e−λs TB,0 (s)ds, λ ∈ ρ(GB,0 ) 28 ta thu 2π R(iω + ik, GB,0 ) = 2π R(iω + ik, B) = e−(iω+ik)t TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 dt, e−(iω+ik)t etB (1 − e2πB )−1 dt Số hạng đầu (3.9) tính sau N N −1 n n=0 k=−n N −1 n = N R(iω + ik, GB,0 ) − eiω+ik R(iω + ik, B)Ψ f 2π n=0 k=−n e−(iω+ik)t TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 − e(iω+ik) etB (1 − e2πB )−1 Ψ f dt 2π N = N −1 n n=0 k=−n e−ikt e−iωt TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 − e(iω+ik) etB (1 − e2πB )−1 Ψ f dt 2π σN (t)e−iωt TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 = − e(iω+ik) etB (1 − e2πB )−1 Ψ f dt, đó, σN (t) = N N −1 n e−ikt n=0 k=−n − cos(N t) ≥ σN (t) = N (1 − cos t) Từ 2π σN (t)dt = 2π (3.10) (xem [17, Định lý 1.1]), chuẩn số hạng đầu (3.9) ước lượng N N −1 n n=0 k=−n R(iω + ik, GB,0 ) − eiω+ik R(iω + ik, B)Ψ f ≤ C1 f với C1 := 2π sup { (1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 + (1 − e2πB )−1 0≤ω≤1 × sup { TB,0 (t) + etB } 0≤t≤2π (3.11) Ψ } 29 Tiếp theo, ta tính tốn số hạng thứ hai (3.9) Với s ∈ R− , ta có N = N −1 n M(iω+ik) [(R(iω + ik, GB,0 ) − eiω+ik R(iω + ik, B)Ψ)f ](s) n=0 k=−n N −1 n N e(iω+ik)s U (s, 0)(Ψ + R(iω + ik, B)Φ) R(iω + ik, GB,0 ) n=0 k=−n − eiω+ik R(iω + ik, B)Ψ f (s) = N × N −1 n e (iω+ik)s n=0 k=−n 2π −(iω+ik)t e 2π U (s, 0) Ψ + e−(iω+ik)τ eτ B (1 − e2πB )−1 dτ Φ TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 − e(iω+ik) etB (1 − e2πB )−1 Ψ f (s)dt 2π = N N −1 n e−ik(t−s) e−iω(t−s) U (s, 0)Ψ n=0 k=−n × TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 − e(iω+ik)t etB (1 − e2πB )−1 Ψ f (s)dt 2π 2π + 0 N N −1 n e−ik(t+τ −s) f (s)e−iω(t+τ −s) U (s, 0)eτ B n=0 k=−n × (1 − e2πB )−1 Φ TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 − e(iω+ik)t etB (1 − e2πB )−1 Ψ f (s)dτ dt 2π = σN (t − s)e−iω(t−s) U (s, 0)Ψ TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 − e(iω+ik)t etB (1 − e2πB )−1 Ψ f (s)dt 2π 2π + 0 σN (t + τ − s)e−iω(t+τ −s) U (s, 0)eτ B (1 − e2πB )−1 Φ × TB,0 (t)(1 − e−2πiω TB,0 (2π))−1 − e(iω+ik)t etB (1 − e2πB )−1 Ψ f (s)dτ dt Do đó, sử dụng (3.10), chuẩn số hạng thứ hai (3.9) ước 30 lượng C Ψ + C K1 Φ f sup { etB } C1 (3.11) Bằng với C2 := 2π (1 − e2πB )−1 0≤t≤2π quy nạp chuẩn số hạng thứ n (3.9) ước lượng C ( Ψ + C K1 Φ ) n f Hơn nữa, chuỗi ∞ n=0 C1 ( Ψ + C2 K1 Φ )n hội tụ Φ < Do đó, Φ tổng N N −1 n 1− Ψ C K1 R(iω + ik, GB,F,Φ ) bị chặn n=0 k=−n L(C0 ) Tiếp theo, ta chứng minh tính hội tụ (C, 1) R(iω+ik, GB,F,Φ )f k∈Z với ω ∈ R, f ∈ C0 Điều thực cách sử dụng ý tưởng [17, Định lý 1.1] Theo [37, III.4.5], ta cần tính hội tụ khơng gian trù mật Thật vây, từ iR ⊂ ρ(GB,F,Φ ) áp dụng định lý ánh xạ phổ cho phổ dư (xem [12, Định lý IV.3.7]) ta có e−2πiω không thuộc phổ dư Rσ(TB,F,Φ ) Suy (1 − e−2πiω TB,F,Φ (2π))C0 tập trù mật C0 Xét f = (1 − e−2πiω TB,F,Φ (2π))g Khi N N −1 n n=0 k=−n R(iω + ik, GB,F,Φ )(1 − e−2πiω TB,F,Φ (2π))g) = N N −1 n n=0 k=−n 2π e−(iω+ik)s TB,F,Φ (s)gds (3.12) Nên e−iω TB,F,Φ (.)g hàm liên tục với hệ số Fourier Qk = 2π 2π e−(iω+ik)s TB,F,Φ (s)gds Do đó, theo Định lý Fejer (xem [26, Định lý I.3.1]), tổng (3.12) hội tụ N → ∞ Áp dụng Định lý 1.2.7 ta có điều cần chứng minh Lưu ý: Đối với hệ phương trình (2.2), (2.3) trường hợp F ut = u(t) Khi đó, hệ phương trình trở thành hệ phương trình vi phân có trễ với q khứ khơng ôtônôm Kết đạt tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm (TB,Φ (t))t≥0 N T Huy (xem [19]) 31 3.2 Ví dụ minh họa Ta minh họa kết ví dụ sau Ví dụ 3.2.1 Xét phương trình trung tính ∂w(x, t, 0) ∂w(x, t, −1) ∂ w(x, t, 0) ∂ w(x, t, −1) −k = −k + αw(x, t, 0) ∂t ∂t ∂x2 ∂x2 − kw(x, t, −1)) + w(0, t, s) = w(π, t, s) = 0, ψ(s)w(x, t, s)ds −∞ với ≤ x ≤ π, t ≥ 0, t ≥ ≥ s, ∂ w(x, t, s) ∂w(x, t, s) ∂w(x, t, s) = − a(s) , ∀x ∈ [0, π], t ≥ ≥ s ∂t ∂s ∂x2 (3.13) k α số thực thoả mãn |k| < 1, α > α = n2 ∀n ∈ N; cho hàm ψ ϕ cho ψ ∈ L1 (R− ) ϕ liên tục, hàm a(·) ∈ L1,loc (R− ) thỏa mãn a(·) ≥ γ > với số γ Ta chọn khơng gian Hilbert X := L2 [0, π] cho B : D(B) ⊂ X → X xác định B(f ) = f ′′ + αf với miền xác định D(B) = H02 [0, π] := {f ∈ W 2,2 [0, π] : f (0) = f (π) = 0} Và xác định toán tử sai phân F toán tử trễ Φ sau F : C0 (R− , X) → X, F (f ) := f (0) − kf (−1) Φ : C0 (R− , X) → X, Φ(f ) := ψ(s)f (s)ds −∞ Rõ ràng, F Φ tốn tử tuyến tính bị chặn Hơn nữa, Φ ≤ ψ L1 Đặt A(s) := −a(s)∆, s ≤ 0, ∆(f ) = f ′′ với miền xác định D(∆) = H02 [0, π] Tốn tử −A(s) sinh họ tiến hóa lùi (U (r, s))r≤s≤0 cho s U (r, s) = e( r a(τ )dτ )∆ , ∀r ≤ s ≤ Ta có U (r, s) ≤ e− s r a(τ )dτ ≤ e−γ(s−r) với r ≤ s ≤ 32 Do đó, ta chọn số H = ω1 = −γ < với ω1 , H Định nghĩa 2.2.1 Do đó, họ tiến hóa lùi (U (r, s))r≤s≤0 ổn định mũ Hệ (3.13) viết dạng ∂ F u(t, ·) = BF u(t, ·) + Φu(t, ·), t ≥ 0, ∂t ∂ ∂ (u(t, s)) = (u(t, s)) + A(s)u(t, s), t ≥ ≥ s ∂t ∂s (3.14) (3.15) với u(t, s) = w(·, t, s) Có thể thấy rằng, B toán tử sinh nửa nhóm giải tích (etB )t≥0 (xem [12]) Từ σ(B) = {−1+α, −4+α, , −n2 +α, } α = n2 với n ∈ N, suy σ(B) ∩ iR = ∅ Do đó, áp dụng Định lý Ánh Xạ Phổ cho nửa nhóm giải tích thu nửa nhóm (etB )t≥0 có nhị phân mũ − |k| Định lý 3.1.6 suy rằng, ψ L1 < 2π (1 − e2πB )−1 sup { etB } 0≤t≤2π nửa nhóm nghiệm (TB,F,Φ (t))t≥0 hệ phương trình (3.14)và (3.15) có nhị phân mũ 33 Kết luận Trong luận văn, nghiên cứu phương trình trung tính với q khứ khơng ơtơnơm Bằng phương pháp nửa nhóm ta xây dựng nửa nhóm nghiệm liên tục mạnh thỏa mãn tốn Cauchy cho phương trình Sau đó, nghiên cứu tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm phương trình Đóng góp tác giả luận văn: Chỉ ví dụ cụ thể thỏa mãn điều kiện định lý 3.1.6 34 Tài liệu tham khảo [1] M Adimy, K Ezzinbi (1998), “A class of linear partial neutral functional differential equations with non-dense domain", J Diff Equ 147, 285-332 [2] A Ben-Artzi, I Gohberg (1992), “ Dichotomies of systems and invertibility of linear ordinary differential operators" Oper Theory Adv Appl 56, 90-119 [3] R Bellman, K.L Cooke (1963), Differential-Difference Equations, Academic Press New York, London [4] R Bellman (1949), “On the existence and boundedness of solutions to nonlinear differential-difference equations", Ann Math 50, 347355 [5] R.E Borden (1920), “On the adjoint of a certain mixed equation", Bull Amer Math Soc 26, 408-412 [6] S Brendle and R Nagel (2002), “Partial functional differential equations with non-autonomous past", Discrete and Continuous Dynamical Systems, 8, - 24 [7] C Chicone and Y Latushkin (1999), Evolution Semigroups in Dynamical Systems and Differential Equations, American Mathematical Society [8] O Diekmann, S.A van Gils and S.M Verduyn Lunel and H.O Walther (1995), Delay Equations, Springer- Verlag, New YorkHeidelberg-Berlin [9] R Datko (1977), “Linear autonomous neutral differential equations in a Banach space", J Diff Eq 25, 258-274 35 [10] K.J Engel, R Nagel (200), One-parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Springer [11] K.-J Engel (1999), “Spectral theory and generator property of onesided coupled operator matrices", Semigroup Forum, 58, 267-295 [12] K.J Engel and R Nagel (2000), One-parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Graduate Texts in Mathematics 194, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg [13] G Fragnelli and D Mugnai (2008), “Nonlinear delay equations with nonautonomous past", Discrete and Continuous Dynamical Systems, 21, 1159 - 1183 [14] G Fragnelli and G Nickel (2003), “Partial functional differential equations with nonau- tonomous past in Lp -phase spaces", Differential Integral Equations,16, 327 - 348 [15] B.C Goodwin (1963), Temporal Organization in Cells, Academic Press, New York [16] B.C Goodwin (1965), “Oscillatory behavior of enzymatic control processes", Advances in Enzyme Regulation, 13, 425 - 439 [17] G Greiner, M Schwarz (1991), “Weak spectral mapping theorems for functional differential equations", J Diff Equ 94, 205-256 [18] N.T Huy (2003), Functional partial differential equations and evolution semigroups, PhD Dissertation, University of Tă ubingen, Tă ubingen, Germany [19] N.T Huy (2004), Resolvents of operators and partial functional differential equations with non-autonomous past", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 289, 301 - 316 [20] N.T Huy and R Nagel (2012), “Exponentially dichotomous generators of evolution bisemigroups on admissible function spaces", Houston Journal of Mathematics, 2, 549 - 569 [21] J Hale (1994), “Partial neutral-functional differential equations", Rev Roumaine Math Pures Appl 39, 339-344 36 [22] J Hale (1994), “Coupled oscillators on a circle Dynamical phase transitions", Resenhas 4, 441-457 [23] J Hale (1961), Asymptotic behavior of the solutions of differentialdifference equations, Tech Rep 61-10, Rias, Baltimore, M.d [24] J Hale and S.M Verduyn Lunel (1993), “Introduction to Functional Differential Equations", Springer [25] F Jacob and J Monod (1961), “On the regulation of gene activity", Cold Spring Harbor Symposia on Quantitative Biology, 26, 389 401 [26] Y Katznelson (1976), An Introduction to Hamonic Analysis, Dover Publications, Inc New York [27] F Kappel, K.P Zhang (1986), “Equivalence of functionaldifferential equations of neutral type and abstract Cauchy problems", Monatsh Math 101, 115-133 [28] F Kappel, K.P Zhang (1986), “On neutral functional-differential equations with nonatomic difference operator", J Math Anal Appl 113, 311-343 [29] M.A Kaashoek, S.M Verduyn Lunel (1994, “An integrability condition on the resolvent for hyperbolicity of the semigroup", J Diff Equ., 112, 374-406 [30] N.V Minh, F Răabiger and R Schnaubelt (1998), Exponential stability, exponential expansiveness and exponential dichotomy of evolution equations on the half-line", Integral Equations Operator Theory, 32, 332 - 353 [31] R Nagel (ed.) (1986), One-parameter Semigroups of Positive Operators, Lecture Notes in Mathematics, 1184, Springer-Verlag, Berlin [32] J van Neerven (1996), The Asymptotic Behaviour of Semigroups of Linear Operator Operator Theory, Advances and Applications 88, Birkhăauser-Verlag, Basel-Boston-Berlin 37 [33] R Nagel and Nguyen Thieu Huy (2003), “Linear neutral partial differential equations: a semigroup approach", International Journal of Mathematics and Mathematical Science, 23, 1433-1446 [34] A Pazy (1983), Semigroups of Linear Operators and Application to Partial Differential Equations , Springer [35] R Schnaubelt (2002), “Well-posedness and asymptotic behaviour of non-autonomous linear evolution equations", Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, 50 , 311 - 338 [36] E Schmidt (1911), “Uber eine Klasse linearer funktionaler Differentialgleichungen", Math Ann., 70, 499-524 [37] H H Schaefer (1981), Topological Vector Spaces, Springer [38] M Schwarz (1989), Lineare Funktionaldifferentialgleichungen und ihre Lă osunghalbgrupen, PhD Thesis, Tă ubingen [39] H.R Thieme (1998), Positive perturbations of operator semigroups: growth bounds, essential compactness, and asynchronous exponential growth", Discrete and Continuous Dynamical Systems, 4, 753 - 764 [40] J Wu (1996), Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations, Springer [41] J Wu, H Xia (1996), “Self-sustained oscillations in a ring array of lossless transmission lines", J Diff Equ., 124, 247-278 ... 16 Chương Sự tồn ổn định nghiệm phương trình trung tính với q khứ khơng ơtơnơm 2.1 Phương trình trung tính với q khứ khơng ơtơnơm Xét phương trình trung tính tuyến tính với tốn tử sai phân tốn... tục mạnh tính chất cận tăng 1.2 Ổn định mũ nhị phân mũ nửa nhóm iv 4 13 Sự tồn ổn định nghiệm phương trình trung tính với q khứ khơng ơtơnơm 16 2.1 Phương trình trung tính với q khứ khơng... ý: Đối với hệ phương trình (2.2), (2.3) trường hợp F ut = u(t) Khi đó, hệ phương trình trở thành hệ phương trình vi phân có trễ với khứ không ôtônôm Kết đạt tính nhị phân mũ nửa nhóm nghiệm (TB,Φ