0

Sự tồn tại, tính chất nghiệm của phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng Fredholm và dạng Volterra

6 24 0
  • Sự tồn tại, tính chất nghiệm của phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng Fredholm và dạng Volterra

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 19/01/2021, 09:38

Trong bài viết này tiến hành xét bài toán phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng Fredholm và dạng Volterra. Chứng minh sự được tồn tại nghiệm của phương trình ứng với các điều kiện của hạch K (x,y) chỉ ra được dạng nghiệm tương ứng. Xét được tính chất bình phương liên tục của nghiệm, thiết lập sự tồn tại của hàm hiệp phương sai Rf (x1 ,x2 ) của nghiệm. NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Sự tồn tại, tính chất nghiệm phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng Fredholm dạng Volterra Existence, solution properties of the linear random integral equation Fredholm and Volterra forms Nguyễn Thị Huệ Email: minhhuesaodo@gmail.com Trường Đại học Sao Đỏ Ngày nhận bài: 02/7/2020 Ngày nhận sửa sau phản biện: 28/9/2020 Ngày chấp nhận đăng: 30/9/2020 Tóm tắt Trong báo này, chúng tơi xét tốn phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng Fredholm dạng Volterra Chứng minh tồn nghiệm phương trình ứng với điều kiện hạch K (x,y) dạng nghiệm tương ứng Xét tính chất bình phương liên tục nghiệm, thiết lập tồn hàm hiệp phương sai Rf (x1,x2) nghiệm Từ khóa: Phương trình tích phân; phương trình tích phân Fredholm; phương trình tích phân Volterra; hạch; hàm giải thức; hàm hiệp phương sai Abstract In this paper, we consider the following linear random integral equation Fredholm and Volterra forms To prove the existence of the solution of the equation to the conditions of kernel K (x,y) indicating the corresponding solution Considering the average square of the solution, establish the existence of the covariance function Rf (x1,x2) of the solution Keywords: Integral equation; the integral equation Fredholm form; the integral equation Volterra form; kernel; solver function; covariance function GIỚI THIỆU Nhiều vấn đề toán học toán thực tế học, vật lý, kỹ thuật dẫn đến phương trình mà hàm chưa biết nằm dấu tích phân, dạng phương trình tích phân Lý thuyết tổng quát loại phương trình tích phân tuyến tính xây dựng từ cuối kỉ XIX đầu kỉ XX, chủ yếu cơng trình Volterra, Fredholm Hilbert Trong tài liệu [4, 5, 6, 7], tác giả trình bày tổng qt phương trình tích phân tuyến tính dạng tất định Tuy nhiên, hàm cần tìm yếu tố cho phương trình tích phân chứa biến ngẫu nhiên lớp phương trình tích phân ngẫu nhiên Nghiên cứu tốn phương trình tích phân ngẫu nhiên ta thường quan tâm đến vấn đề: Sự tồn tại, tính nhất, dạng biểu diễn tính chất nghiệm dạng phương trình tích phân Trong viết này, chúng tơi tập trung vào phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng Fredholm dạng Volterra tương ứng là: b ò f ( x,w ) - K ( x, y ) f ( y ,w ) dy = g ( x,w ) (1) a x ò f ( x,w ) - K ( x, y ) f ( y ,w ) dy = g ( x,w ) (2) a Trong đó: x ≥ 0, w điểm Ω; g (t, w) hàm ngẫu nhiên xác định với x ≥ 0, w ∈ Ω; f (t, w) hàm ngẫu nhiên chưa biết với x ≥ 0; hạch ngẫu nhiên K (x,y) xác định với ≤ x ≤ y g (x,w) hàm ngẫu nhiên bậc hai [0,∞] × Ω, liên tục hình vng [0,r] × [0,r] mà thỏa mãn phương trình ngẫu nhiên Volterra hàm ngẫu nhiên f (x,w) xác định (11) [0,∞] × Ω thỏa mãn phương trình (2) [0,∞] × Ω Vấn đề dạng nghiệm phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính Fredholm - Volterra giải KẾT QUẢ CHÍNH Trong phần chúng tơi trình bày kết nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính Fredholm Volterra 3.1 Hàm hiệp phương sai nghiệm Định lí 4: (12) Rf ( x1, x2 ) = E {f ( x1,w ) f ( x2 ,w )}, x1, x2 Î [a, b ] Chứng minh: Để thiết lập tồn hàm Rf (x1,x2), ta chứng { tỏ E f ( x,w ) } £ ¥,"x Î [a,b] , nghĩa f (x,w) hàm ngẫu nhiên bậc hai Từ bất đẳng thức bất đẳng thức Holders: ổb ỗ G ( x, y ) g ( y ,w ) dy ữ < ỗ ữ èa ø ò b ò G ( x, y ) a V ỡổ b ỹù ùỗ E G ( x, y ) g ( y ,w ) dy ữ ý ữ ù ùỗố a ứ ỵ ợ ò b ò a b ò dy g ( y ,w ) dy a ò Với "x, y Î [a, b] , từ g (x,w) liên tục ü hình vng.ìỉ Như vậy,b theo sau từ (3) ù ù ỗ ữ G g x , w x , y g y , w dy 1 ùỹ ti E f ( x,w ) ùỡùốỗổÊ Ơ, "x ẻ [aab, b] , thit lp s ữửứtn ù Rf x1, x2 E ùớỗ g x1,w - G x1, y g y ,w dy ÷ ïý bb R (x ,x ) Phép tính ÷ưư ïü của hàm hip ùùỡổỗ phng sai f a ùố ứù ù ỗ ữữ ùýùta cú: Rfhm x1, xR2 (x E G g tính x12,,w x , y g y , dy wtrực w G x , y g y , w dy í) ï ,x tiếp Từ (12) v (3) b b f 2ùỗ ỡ ổ ữữử ùùử ỹ ùợùốốổ aa ứứữ ỵùữ ù G x , y g y , w dy x , y g y , dy w Rf x1, x2 E ùớỗùỡgỗ gx2x,1w,w- - G ù 21 b ỗ ổ ù b ỗ ữửùýữửứ ùỹù ùợốổxùố E g x , w g , w a a G x , y g y ,w dyứ ỵữ ù ù ỗ g x , w ( ) ( ) ( ) Rf x1, x2 E ùỗớùgỗ x2 ,1w - Gb x2 ,1y g y ,w dy ÷ ï÷ ýï ỉ ỗ ữ b ù a ùợốxùố2 ,w E (gxỡù,xx1,w) =gE ỹ ứ ùỵứữ ùùý R ớỗ g x2 ,w -a b G x2 , yï g y ,w dy f ù - E ớg x1,w ỗổG x2 , y g y ,w dy ý ữử E g ỡợù x1,w g xùợùab ốỗ2 ,gw( x ,w ) - a G ( x , yỹỵù) g ( y ,w ) dy ứữ ùỵù - E ớg x1,w ùỗG x22, y g y ,w dy ữù ý a ứỵ E ỡùg x1,w gợbbốx2 ,w ỹùùỵ a ợ ù - E íg x12,,w G x , y g y , dy w 21 ýü b ,x = E {ìg ì( x1,ww) g b( xG w )} ù ù ùỹỵ ù a a ỵ -E G x , y g y ,w dy ý -E b x1,2y g y ,w dy ý ü ígìígx2x,1w,w b G bï b ï ì ü ì üï a ỵ ï ï ỵï g x ,wa G x2 , y ) g ( y ,w ) dy ỵù ýỵ -E -EEùớớgớG x(x21,1,wy )gGb yx,(w , y g y , dy w G dy x , y g y , dy w ý ý bï b ù a ùợa ợỡù ùỵ ỵỹù ùỡợE ùỹ a G x , y ag y ,w dy g x , w E í ìíG x1,2y g b y ,w 1dy G x2 , y gỹý y ,w dy ỵý b b ùỵỹù Rf x-1ùợỡù,Exa2ùớợg ( xRg,w x) 1a,G x2 x , y ag y ,w dy ùỵ E í Gb x1,2y g y ,(w 1dy) Gb( x2 ,)y gý y ,w dy ý ỵù Rf xb1ùợ, xaỡù2ợù Rg x1a, x2 ùỵ ỹù a y g y ,w dy ý - EGìí bxG2 , yx1,Ey gg xy1,,ww dy g byG,w x2 ,dy üï b ï Rf +xa1E, xỵ2a G (R a g x1, x2 y ) g ( y ,w ) dy ýỵ - Gớ x2 , yx1,Ey ) gg ( xy1,,ww) dy g yG,w( x2 ,dy b Rfb a x1ợù, xa2 Rg x1, x2 a ỵù - GbG x1x,2y, yEEg gy ,xw1,wg gx2y,w ,w dy dy Rfb ( x1, x2 ) = Rg ( x1, x2 ) a - a- Gb xG1, xy2 ,Ey gE yg,wx1g,w xg2 ,wy ,w dy dy b a G ( x2 , y ) E {g ( x1,w ) g ( y ,w )} dy ady b-b bG x1, y E g y ,w g x2 , w a w - a-G xG1, yx1 ,Gy xE , y E g x , g x , 2g y ,w g x , w2 w dydy1dy { ò ò ò òò òò ò ò } ò ò ò òò òò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò òò òò ( ) òò òò ò - òò -G (xG,(yx ,Gy x) E, y{g (Ey ,gw )xg,w ( xg,wx )},w) dydy dy ò bb aa - Nếu hàm ngẫu nhiên f (x,w) nghiệm (1), (2) theo Định lí hàm hiệp phương sai f (x,w) xác định bởi: HỌC b a bb aa 1 11 2 2 2 òò G x , y G x ,by E g x ,w g x ,w dy dy R(gG (xx1,, yx2) G-( xò G x2 ,{yg (R w )}) dy dy - òò x g,w x ) g1,(yx ,dy b ,y )E a RgG xx1,, yx2 G-xò G w dy dy - òò , y xE x g,w xg1, yx ,dy , yg R b a bb aa bb aa a 1 2 2 1 2 2 1 2 2 ò aa =bRg ( x1, x2 ) - Gb ( x2 , y ) Rg ( x1, y ) dy ò ò ò ò - ò G x , y R y,x dy -x , y dy ) R ( y , y ) ) dy dy òòò G( Gx( x, y, y R) G (y,x -x , y dyR y , y dy dy òòò GGxx, y, y R G y,x Đặt - òò G x , y G x , y R y , y dy dy H ( x , x ) = R ( x , x ) - ò G ( x , y ) R ( x , y ) dy - òò G x , y G x , y R y , y dy dy Phép - ịịtính G đơn x , y giản G xdưới , y R biểu y , ydiễndycho dyR (x ,x ) hàm hiệp phương sai R (x ,x ) đặt hàm - GRgx1,xy1, xR2g -ay,xG2 xdy , y Rg x1, y dy b b a - a GR( gx1,xy1,) xR2g (-y,x G2 )xdy , y Rg x1, y dy b a b bb a b bb a aa g 11 a g 11 g bb a aa 1 bb g a a1 1 bb aa 1 2 2 2 2 2 b 2 g 2 2 g 2 a2 g 2 g g g aa ngẫu nhiên g (x,w): g 1 2 f 2 b ò Rf ( x1, x2 ) = H ( x1, x2 ) - G ( x2 , y ) Rg ( x1, y ) dy a ìb üï 2 ï G x, y dy E í g y ,w dy ý ¥ Tạp chí Nghiên Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số (70) 2020 ïỵ a cu khoa hc, ùỵ ũ 73 NGHIấN CU KHOA HỌC Với hàm g (x,w) liên tục hình vng, hàm hiệp phương sai Rg (x1,x2) hàm đối xứng khơng âm liên tục [a,b] × [a,b] Do đó, từ định lý Mercer: Rg ( x1, x2 ) = ¥ ål f n =1 n n ( x1 ) fn ( x2 ) (13) Trong (13), φn(x) dãy hàm số đặc trưng Rg (x1,x2) λn dãy giá trị riêng liên kết b ò lnfn ( x ) = Rg ( r , x ) fn ( r ) dr , x Î [a, b ] b ò Rg r , x fn r dr , a a x Ỵ ba, b = fm ( x ) fn ( x ) dx = d xm´n ò b ò a = fm x fn xỞdx đó,= d xm´n delta Kronecker a b ò xn (w ) = g ( x,w ) fn ( x ) dx, n = 1,2,3 a Biến ngẫu nhiên xn (w ) xác định từ b ò g ( x, w ) dx < ¥ (h.c.c) hàm đặc trưng liên tục a ¥ [a,b] Trình tự xn (w )n =1 trực giao Ω "x Ỵ [a, b] : å n =1 Bây ta chứng tỏ nghiệm ngẫu nhiên f (x,w) bình phương liên tục hạch K (x,y) tốn tử tích phân liên tục Định lý Cho K (x,y) hạch Fredholm [a,b] × [a,b] G ( x, y ) biểu thị cho liên kết giải thức Nếu K (x,y) liên tục [a,b] × [a,b] nghiệm f (x,w) phương trình tích phân (1) bình phương liên tục [a,b] Chứng minh: Đặt x0 Ỵ [a, b] Từ (3) ứng dụng bất đẳng thức Minkowski: Đặt ¥ 3.2 Sự bình phương liên tục nghiệm ln2xn æ E f x,w - f x ,w ( ) ( ) ÷ ç è ø { } ư2 ỉ g ( x, w ) - g ( x , w ) ỗ ữ b ỗ ữ = E ç + g ( y ,w ) ´ ( G ( x, y ) - G ( x0 , y ) ) dy ữ ỗỗ ữữ a ố ứ ũ( 2 < ổỗ E g ( x,w ) - g ( x0 ,w ) ư÷ è ø { ỹử2 ổ ỡb ùữ ỗ ù + ỗ E í g ( y ,w ) ( G ( x, y ) - G ( x0 , y ) ) dy ý ữ ùữ ỗ ùa ỵứ ố ợ ò Là đại diện cho g (x,w) với nghĩa sau: 2ü ì N ï ï lim E í g ( x,w ) ln2 xn (w ) fn ( x ) ý = n đƠ ù ù n =1 ợ ỵ t y n ( x ), n = 1,2,3 nghiệm phương trình tích phân (xác định): Từ g (x,w) bình phương liên tục ò y n ( x ) - K ( x, y )y n ( y ) dy = fn ( x )y n ( x ) a b ò = fn ( x ) - G ( x, y )y n ( y ) dy a Như trước G ( x, y ) , giải thức hạch K (x,y) Fredholm (hoặc Volterra) Nó chứng tỏ f (x,w) nghiệm (1), nhận y n ( x ) làm đại diện trực giao f ( x,w ) = å n =1 (w )y n ( x ), x Ỵ [a, b ] Mà theo sau hàm hiệp phương sai Rf (x1,x2) nhận y n ( x ) làm đại diện trực giao Vậy Rf ( x1, x2 ) = ¥ ål y n =1 n n ( x1 )y n ( x2 ) { lim E g ( x,w ) - g ( x0 ,w ) x ® x0 } = Từ đây, biểu diễn là: b b ln2xn } (w )fn ( x ) ¥ ) lim x ® x0 ị g ( y,w ) ( G ( x, y ) - G ( x , y )) dy = a Ứng dụng bất đẳng thức Holder: b ò ( g ( y,w ) ´ ( G ( x, y ) - G ( x , y ))) dy a b < ò g ( y ,w ) a b ò dy G ( x, y ) - G ( x0 , y ) dy a Từ g (x,w) bình phương liên tục, ìï b üï E í g ( y ,w ) dy ý = M < Ơ ùợ a ùỵ Do ú: 2ỹ ỡb ï ï E í g ( y ,w ) ´ ( G ( x, y ) - G ( x0 , y ) ) dy ý ùa ù ợ ỵ ò ò( ) b ò M G x, y - G x0 , y dy 74 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số (70) 2020 a (14) ìb ï E í g y , w ´ G x, y - G x , y ïa ỵ ị b 2ü ù dy ý ù ỵ ũ < M G ( x, y ) - G ( x0 , y ) dy a Bởi vậy, cịn biểu diễn là: b lim x ® x0 ị G ( x, y ) - G ( x0 , y ) dy = a Với ε > 0, giả thiết K (x,y) liên tục [a,b] × [a,b] giải thức G ( x, y ) liên tục [a,b] × [a,b] Từ G ( x, y ) liên tục [a,b] × [a,b], ta chọn d > mà: b ò G ( x, y ) - G ( x , y ) dy < e a NGÀNH TOÁN HỌC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Hùng Thắng, (2013), Xác suất nâng cao, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Duy Tiến, (2005), Các mơ hình xác suất ứng dụng – Phần II – Quá trình dừng ứng dụng, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] Cấn Văn Tuất (2005), Phương trình vi phân phương trình tích phân, Nhà xuất Đại học sư phạm [4] Bharucha-Reid A.T, (1972), Random Integral Equations, Academic Press NewYork Với x - x0 < d Điều thiết lập (14) [5] T.A.Burton (1983), Volterra Intergral and Diferential Equations, Academic Press, New York KẾT LUẬN [6] Ram.P.Kanwal (1971), Linear Intergral equations: theory and technique, Academic Press, New York Bài báo trình bày điều kiện tồn nghiệm, xác định dạng nghiệm phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng Fredholm dạng Volterra Sử dụng tính chất bình phương liên tục hàm g (x,w) tính liên liên tục hạch K (x,y) xét tính bình phương liên tục nghiệm, hàm hiệp phương sai nghiệm Hướng mở rộng kết báo xét phương trình tích phân ngẫu nhiên khơng tuyến tính Tìm điều kiện tồn nghiệm, tính nghiệm ngẫu nhiên hội tụ ổn định nghiệm phương trình tích phân ngẫu nhiên khơng tuyến tính [7] William Vernon Lovitt (1950), Linear Intergral equations, Dover Pub Publications Inc, New York [8] F.G.Tricomi (1957), Intergral equations, Interscience Publishers, Inc, New York [9] P.A Cojuhari, (2013), Random Integral Equations On Time Scales, AGH University of Science and Technology Press THƠNG TIN TÁC GIẢ Nguyễn Thị Huệ - Tóm tắt trình đào tạo, nghiên cứu (thời điểm tốt nghiệp chương trình đào tạo, nghiên cứu): + Năm 2008: Tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Sư phạm Toán học - Đại học Vinh + Năm 2014: Tốt nghiệp Thạc sĩ chuyên ngành Lý thuyết xác suất thống kê - Trường Đại học khoa học tự nhiên - ĐHQGHN - Tóm tắt cơng việc tại: Giảng viên, khoa Khoa học bản, Trường Đại học Sao Đỏ - Lĩnh vực quan tâm: Nghiên cứu toán lý thuyết ứng dụng toán ngành kỹ thuật - Điện thoại: 0977944536 - Email: minhhuesaodo@gmail.com Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số (70) 2020 75 ... Nghim phương (1); (2) hàm ngẫu nhiên f (x,w), mà tính chất ngẫu nhiên phụ thuộc vào tính chất ngẫu nhiên hàm g (x,w) { } { } bb Ta có định lý nghiệm phương trình tích phân tuyến tính ngẫu nhiên. .. trình bày điều kiện tồn nghiệm, xác định dạng nghiệm phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng Fredholm dạng Volterra Sử dụng tính chất bình phương liên tục hàm g (x,w) tính liên liên tục... (x,y) xét tính bình phương liên tục nghiệm, hàm hiệp phương sai nghiệm Hướng mở rộng kết báo xét phương trình tích phân ngẫu nhiên khơng tuyến tính Tìm điều kiện tồn nghiệm, tính nghiệm ngẫu nhiên
- Xem thêm -

Xem thêm: Sự tồn tại, tính chất nghiệm của phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng Fredholm và dạng Volterra, Sự tồn tại, tính chất nghiệm của phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng Fredholm và dạng Volterra

Hình ảnh liên quan

Với hàm g (x,w) là liên tục trong hình vuông, hàm hiệp phương sai của nó R g (x1,x2)  là hàm đối xứng  không âm liên tục trên [a,b] × [a,b] - Sự tồn tại, tính chất nghiệm của phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng Fredholm và dạng Volterra

i.

hàm g (x,w) là liên tục trong hình vuông, hàm hiệp phương sai của nó R g (x1,x2) là hàm đối xứng không âm liên tục trên [a,b] × [a,b] Xem tại trang 5 của tài liệu.
[2] Nguyễn Duy Tiến, (2005), Các mô hình xác suất và ứng dụng – Phần II – Quá trình dừng  và ứng dụng, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia  - Sự tồn tại, tính chất nghiệm của phương trình tích phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng Fredholm và dạng Volterra

2.

] Nguyễn Duy Tiến, (2005), Các mô hình xác suất và ứng dụng – Phần II – Quá trình dừng và ứng dụng, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Xem tại trang 6 của tài liệu.

Từ khóa liên quan