Một số tính chất nghiệm của phương trình sai phân

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh ---- ---- Lê trờng giang Một số tính chất nghiệm của phơng trình sai phân Chuyên ngành: Toán - Giải tích Mã số: 60.46.01 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: TS. Phan lê na Vinh 2008 Mục lục Lời nói đầu 2 Chơng 1 Một số kiến thức cơ bản về nhị phân mũ và nhị phân phổ 1.1 Toán tử tuyến tính .6 1.2 Phổ của toán tử tuyến tính 9 1.3 Nhị phân mũ và nhị phân phổ trên không gian Banach tách thành tổng trực tiếp 14 1.4 Nhị phân mũ và nhị phân phổ trên không gian Banach .25 Chơng 2 Một số tính chất nghiệm của phơng trình sai phân phi tuyến 2.1 Nghiệm của phơng trình sai phân phi tuyến 29 2.2 Nghiệm của phơng trình sai phân phi tuyến trong không gian p L 33 Kết luận.36 Tài liệu tham khảo.37 2 1 Lời nói đầu Nh chúng ta đã biết có nhiều công trình viết về nhị phân phổ, nhị phân mũ với thời gian liên tục, chẳng hạn nh các công trình của W. A. Coppel hoặc của M. G. Krein và nhiều tác giả khác. Xét phơng trình vi phân ( ) ( ) , 0 0 , x A t x t X I = = & với ( ) X t là ma trận cơ bản. (1) Giả sử M là không gian Banach của tất cả các hàm vectơ khả tích địa phơng f sao cho với mọi t ( ) 1t t f s ds + < với chuẩn ( ) 1 0 sup . t m t t f f s ds + = Khi đó, phơng trình ( ) ( ) y A t y f t= + & có nghiệm bị chặn duy nhất với f M khi và chỉ khi phơng trình (1) có nhị phân mũ. Trong trờng hợp rời rạc, B. Aulbach ([1]) đã giả thiết phơng trình 1n n n x A x + = (2) có nghiệm thác triển bị chặn, tức là tồn tại hằng số 0,0 > sao cho ( ) , n m n m với 0 .m n (3) ở đây ( ) ,n m là ma trận cơ bản của (2). Nếu điều kiện (3) đợc thỏa mãn thì nghiệm ( ) n x của hệ sai phân [ ] 1n n n n x A B x + = + thoả mãn đánh giá sau đây ( ) , n m n m x x + với 0 ,m n 3 trong đó n B , 0 n . Tuy vậy, trong rất nhiều hệ, ớc lợng trên chỉ thu đợc ( ) 1 + > mà không biết gì thêm về dáng điệu của nghiệm. Ngời ta đã chứng minh đợc phơng trình (2) có nhị phân mũ nếu và chỉ nếu với mỗi dãy bị chặn { } , n f n phơng trình 1n n n n x A x f + = + (4) có nghiệm ( ) { } , n n x f n duy nhất bị chặn. Hơn nữa, nếu ta xây dựng toán tử T xác định trên các dãy bị chặn: ( ) 1 , n n n Tx A x + = ( ) , n x x= và đặt ( ) , n f f= ,n  thì (4) tơng ứng với ( ) .I T x f = (5) Điều đó có nghĩa chuyển việc nghiên cứu (4) về nghiên cứu (5). Chúng ta đã biết (5) có nghiệm với mọi f khi và chỉ khi tồn tại ( ) 1 .I T Vì vậy đã có nhiều kết quả về mối quan hệ giữa nhị phân mũ và nhị phân phổ đợc thiết lập. Bài toán đặt ra trong luận văn này là xem xét các kết quả đã có đối với phơng trình tuyến tính lên trờng hợp phi tuyến, nghĩa là tìm điều kiện phù hợp để phơng trình sai phân phi tuyến dạng ( ) 1n n n n x F x q + = + , (6) trong đó ( ) ( ) n n n n n n F x A x f x= + , với giả thiết sup , n n A < luôn có nghiệm bị chặn duy nhất. Bằng cách áp dụng lý thuyết nhị phân mũ, nhị phân phổ, thì chúng ta cũng nhận đợc kết quả tơng tự nh với bài toán ban đầu nếu hàm ( ) n n f x thỏa mãn điều kiện Lipschitz đủ bé đối với phơng trình (6). Xuất phát từ những ý tởng đó chúng tôi đã chọn tên đề tài là một số tính chất nghiệm của phơng trình sai phân. 4 Ngoài lời mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn đợc chia làm 2 chơng: Chơng I. Một số kiến thức cơ bản về nhị phân mũ và nhị phân phổ Trong chơng này chúng tôi giới thiệu khái niệm nhị phân mũ, nhị phân phổ, sự tơng đơng của nhị phân mũ và nhị phân phổ, đề cập đến sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phơng trình sai phân phi tuyến. 1.1 . Toán tử tuyến tính 1.2 . Phổ của toán tử tuyến tính 1.3 . Nhị phân mũ và nhị phân phổ trên không gian Banach tách thành tổng trực tiếp 1.4 . Nhị phân mũ và nhị phân phổ trên không gian Banach. Chơng II. Một số tính chất nghiệm của phơng trình sai phân phi tuyến ở chơng này, chúng tôi đa ra một số kết quả về nghiệm của phơng trình sai phân phi tuyến, với giả thiết 1n n n x A x + = là nhị phân mũ. Tập trung nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm bị chặn của phơng trình sai phân phi tuyến trong không gian . p L 2.1. Nghiệm của phơng trình sai phân phi tuyến 2.2. Nghiệm của phơng trình sai phân phi tuyến trong không gian . p L Luận văn đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình của cô giáo, TS. Phan Lê Na. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo hớng dẫn đã dành cho tác giả sự giúp đỡ tận tình trong quá trình hoàn thành luận văn. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, ban chủ nhiệm khoa Sau Đại Học, các thầy giáo, cô giáo trong khoa đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình công tác và học tập tại trờng. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giải Tích, khoa Toán, Trờng Đại học Vinh đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Tác giả xin cảm ơn tới phòng Giáo dục huyện Nông Cống, 5 tới các thầy cô giáo Trờng THCS Tợng Sơn đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và ngời thân của tác giả đã luôn động viên ủng hộ trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để luận văn đợc hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 12 năm 2008. Tác giả Lê trờng giang 6 Chơng 1 Một số kiến thức cơ bản về nhị phân mũ và nhị phân phổ Trong chơng này, đa vào các khái niệm nhị phân mũ, nhị phân phổ, sự tơng đơng của nhị phân mũ và nhị phân phổ. Các vấn đề này đã đợc trình bầy chi tiết trong các công trình [1], [2] và [5]. 1.1. Toán tử tuyến tính ở mục này chúng tôi đa ra một số khái niệm của giải tích hàm sẽ đợc sử dụng trong các phần tới (xem [1]). Giả sử E và F là các không gian định chuẩn trên cùng một trờng .Ê Kí hiệu ( ) ,L E F là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E và .F ( ) ,L E F là không gian vectơ con của .Ê Với mỗi ( ) , ,f L E F đặt ( ) { } inf : ,f k f x k x x E= . 1.1.1. Định lý ([1]). Với mọi ( ) ,f L E F ta có ( ) ( ) ( ) 0 1 1 sup sup sup . x x x f x f f x f x x = = = = Chứng minh. Ta có ( ) .f x f x Từ đó ( ) f x f x với mọi 0x . Vì vậy ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 sup sup sup sup . x x x x f x f x f f x f x x x < = 7 Ta còn phải chứng minh ( ) 1 sup , x k f x f = = hay ( ) f x k x với mọi .x E Điều này hiển nhiên nếu 0,x = nếu 0x thì ( ) x f x x f k x x ữ ữ . Định lý đợc chứng minh. 1.1.2. Bổ đề ([1]). Hàm f f là một chuẩn trong ( ) , .L E F Chứng minh. Hiển nhiên 0f và 0f = nếu và chỉ nếu 0f = . Với mọi ( ) , ,f g L E F ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 sup sup x x f g f x g x f x g x = = + = + + ( ) ( ) 1 1 sup sup x x f x g x f g = = + = + . Cuối cùng, với mọi Ê ta có ( ) ( ) 1 1 sup sup . x x f f x f x f = = = = = Định lý đợc chứng minh. 1.1.3. Định lý ([1]). Nếu F là không gian Banach thì không gian ( ) ,L E F là Banach. Chứng minh. Giả sử { } n f là một dãy Cauchy trong ( ) , .L E F Khi đó với mọi 0 > tồn tại 0 n sao cho mọi 0 ,m n n ta có . n m f f < Từ đó, với mọi x mà 1x ta có ( ) ( ) . n m f x f x < Điều này chứng tỏ ( ) { } n f x là dãy Cauchy trong .F Do F đầy đủ nên ( ) ( ) n f x g x F với mọi x E mà 8 1.x Với x E mà 1.x > Đặt ( ) , x g x x g x = ữ ữ ta đợc hàm g từ E và .F Bởi vì ( ) ( ) lim lim , n n n n x g x x f f x x = = ữ ữ với mọi x E và ( ) ( ) ( ) , n n n f x y f x f y à à + = + với mọi ,n N , , à Ê ,x y E nên ta có ( ) ( ) ( ) ,g x y g x g y à à + = + tức g là ánh xạ tuyến tính. Với mọi ,x E 1x = ta có ( ) ( ) 0 n n f x f x < với mọi 0 .n n Do đó cho n ta đợc ( ) ( ) 0 n g x f x < hay ( ) ( ) 0 0 . n n g x f x f + + Suy ra g liên tục, tức là ( ) , .g L E F Với mọi 0 n n ta có . n f g Do đó n f g trong ( ) ,L E F . Định lý đợc chứng minh. 1.1.4. Định lý ([1]). Nếu :f E F và :g F G là các ánh xạ tuyến tính liên tục thì g fo là ánh xạ tuyến tính liên tục và g f g fo . Chứng minh. Tính tuyến tính và liên tục của g fo là hiển nhiên. Nếu 1x = thì ( ) ( ) . .g f x g f x g f Do đó ( ) ( ) 1 1 . sup . sup . x x g f g f x g f x g f = = = = Định lý đợc chứng minh. Giả sử 1p ta kí hiệu p L là tập tất cả các dãy ( ) n x x= các phần tử trong Ê sao cho 1 . p n n x = < Với mọi dãy ( ) , n x x= ( ) , n y y= . Ê Ta đặt 9 ( ) ( ) n n n x y x y x x + = + = , ta có các phép toán để biến p L thành một không gian vectơ trên trờng .Ê 1.1.5. Định lý ([1]). Với mọi 1,p p L là không gian Banach với chuẩn 1 1 . p p n p n x x = = ữ ữ Chứng minh. Xét tập ( ) 0,x = + Ă . Với mỗi dãy n p x x L= đặt tơng ứng với hàm :f X Ê xác đinh bởi ( ) n f x x= nếu ( ] 1,x n n . Rõ ràng p p x f= và p x L nếu và chỉ nếu ( ) . p f L X Do đó, p L có thể coi nh một không gian con của ( ) . p f L X Điều này cho ta kết luận p L là một không gian định chuẩn với chuẩn chỉ ra. Giả sử { } k f là một dãy Cauchy trong . p L Khi đó, { } k f cũng là một dãy Cauchy trong ( ) , p L x vì vậy ( ) k p f f L X . Bởi vì ( ) consf x t= trên mỗi đoạn ( ] 1,x n n . Điều này có nghĩa là p f L và p L là đầy đủ. Định lý đợc chứng minh. 1.2. Phổ của toán tử tuyến tính Trong phần này chúng tôi điểm lại một số kết quả của lý thuyết phổ sẽ đ- ợc sử dụng đến trong luận văn. Giả sử B là một không gian Banach trên trờng số phức và T là một toán tử tuyến tính liên tục từ B vào B , tức là ( ) T L B . Gọi I là toán tử đồng nhất trên B. Số đợc gọi là giá trị chính quy của toán tử T nếu T I là một song ánh. Khi đó chúng ta có thể áp dụng Định lý Banach về ánh xạ mở để kết luận T I là một phép đồng phôi tuyến tính. 10