Tính chất bóng của phương trình sai phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THỊ THỦY TÍNH CHẤT BÓNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THỊ THỦY TÍNH CHẤT BÓNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Huy Tiễn Hà Nội - 2014 Mục lục Lời cảm ơn ii Lời mở đầu iii Điểm bất động hyperbolic, đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định vi phôi 1.1 Điểm bất động hyperbolic vi phôi 1.2 Đa tạp ổn định đa tạp không ổn định 1.3 Tính chất điểm yên ngựa 1.4 Tính trơn đa tạp ổn định địa phương 10 1.5 Vi phôi phụ thuộc tham số 16 Tập hyperbolic vi phôi 19 2.1 Định nghĩa tập hyperbolic 19 2.2 Tính bị chặn phép chiếu 20 2.3 Tính liên tục phép chiếu 22 2.4 Nhị phân mũ phương trình sai phân 26 2.5 Tính chất tập hyperbolic 30 2.6 Tính vững tập hyperbolic 32 Định lý bóng cho tập hyperbolic vi phôi 35 3.1 Định lý bóng 35 3.2 Nói thêm tính vững tập hyperbolic 41 3.3 Không gian tiệm cận tập hyperbolic 45 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 i LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành chương trình đào tạo hoàn thiện luận văn này, thời gian vừa qua nhận nhiều giúp đỡ quí báu gia đình, thầy cô bạn bè Vì vậy, này, muốn gửi lời cảm ơn tới người Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn, thầy nhiệt tình hướng dẫn bảo trình hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất thầy cô Khoa, người trực tiếp truyền thụ kiến thức, giảng dạy trình học cao học Tôi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học, phòng Sau Đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thiện thủ tục bảo vệ luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình tôi, người động viên ủng hộ ii LỜI MỞ ĐẦU Tính chất bóng có nguồn gốc từ việc giải số phương trình vi phân/sai phân Tính chất bóng có nghĩa tồn quỹ đạo gần giả quỹ đạo cho trước Tính bóng nghiên cứu Anosov, Bowen, Sinai - người nhận liên quan đến toán ổn định toàn cục hệ động lực Trước đây, Anosov, Bowen, Sinai dùng phương pháp hình học để nghiên cứu tính bóng Sau này, Palmer dùng cách tiếp cận giải tích cho tính bóng thông qua lý thuyết nhị phân mũ phương trình vi phân Trong luận văn này, nghiên cứu tính bóng hệ động lực lân cận tập hyperbolic từ sách "Shadowing in Dynamical Systems Theory and Applications" Ken Palmer năm 2000 Luận văn chia làm ba chương: Chương trình bày khái niệm điểm cố định hyperbolic vi phôi; đa tạp ổn định đa tạp không ổn định; tính chất điểm yên ngựa; tính nhẵn đa tạp ổn định địa phương vi phôi phụ thuộc tham số Chương trình bày định nghĩa tập hyperbolic; tính chất tập hyperbolic Ngoài ra, chương trình bày tính liên tục tính bị chặn phép chiếu; nhị phân mũ phương trình sai phân Tính co giãn tập bất biến vi phôi định nghĩa hệ tính hyperbolic Chương nội dung luận văn Trong chương nêu chứng minh định lý bóng Sau áp dụng định lý bóng để chứng minh kết tính vững tập hyperbolic không gian tiệm cận tập hyperbolic Do thời gian có hạn, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 03 tháng 12 năm 2014 Học viên Phạm Thị Thủy iii Chương Điểm bất động hyperbolic, đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định vi phôi 1.1 Điểm bất động hyperbolic vi phôi Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa vi phôi) Cho U tập mở Rn Ánh xạ f : U ⊂ Rn → Rn gọi C r vi phôi tồn f −1 ánh xạ f, f −1 thuộc lớp C r Định nghĩa 1.1.2 (Định nghĩa điểm bất động hyperbolic vi phôi, không gian ổn định không gian không ổn định) Cho U tập mở Rn , f : U → Rn C - vi phôi Điểm x0 ∈ U gọi điểm bất động hyperbolic f f (x0 ) = x0 giá trị riêng ma trận Df (x0 ) không nằm đường tròn đơn vị Khi tổng không gian riêng suy rộng ứng với giá trị riêng nằm (ngoài) đường tròn đơn vị tương ứng gọi không gian ổn định (không ổn định) ký hiệu E s (E u ) 1.2 Đa tạp ổn định đa tạp không ổn định Cho U tập mở Rn , f : U → Rn C - vi phôi Từ định nghĩa E s , E u mục 1.1.2, ta biết E s , E u bất biến Df (x0 ) Hơn nữa, kết đại số tuyến tính, ta gọi λ1 λ2 số dương cho |λ| < λ1 < với tất giá trị riêng λ Df (x0 ) mà |λ| < < λ−1 < |λ| với tất giá trị riêng λ Df (x0 ) mà |λ| > Khi tồn số dương k1 , k2 cho với ∀k ≥ 0, k ∈ Z [Df (x0 )]k ξ ≤ k1 λk1 ξ với ∀ξ ∈ E s [Df (x0 )]−k η ≤ k2 λk2 η với ∀η ∈ E u Như [Df (x0 )]k ξ → k → ∞ ξ ∈ E s [Df (x0 )]k ξ → k → −∞ ξ ∈ E u Định nghĩa 1.2.1 (Định nghĩa đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định) Cho x0 điểm bất động hyperbolic C - vi phôi f : U → Rn Khi đó, tập hợp W s (x0 ) = {x ∈ U : f k (x) → x0 , k → ∞} gọi đa tạp ổn định x0 Tập hợp W u (x0 ) = {x ∈ U : f k (x) → x0 , k → −∞} gọi đa tạp không ổn định x0 Chúng ta đa tạp ổn định, tên vậy, không đa tạp Rn Tuy nhiên mô tả hệ đa tạp ổn định địa phương mà chúng đa tạp Rn Định nghĩa 1.2.2 (Định nghĩa đa tạp ổn định địa phương) Cho U tập mở Rn , f : U → Rn C - vi phôi với x0 điểm bất động hyperbolic Với ε > cho trước, ta định nghĩa đa tạp ổn định địa phương x0 W s,ε (x0 ) = {x ∈ U : f k (x) → x0 k → ∞ f k (x) − x0 < ε, ∀k ≥ 0} Ta dễ dàng thấy với ε > W s (x0 ) = ∪ f −k (W s,ε (x0 )) k≥0 Ngoài ra, ta thấy tính chất bất biến f (W s (x0 )) = W s (x0 ), f (W s,ε (x0 )) ⊂ W s,ε (x0 ) Trong phần tiếp theo, với ε > đủ nhỏ tập W s,ε (x0 ) đa tạp trơn thực Rn chứa x0 cho không gian tiếp xúc với W s,ε (x0 ) x0 không gian ổn định, Tx0 W s,ε (x0 ) = E s 1.3 Tính chất điểm yên ngựa Định nghĩa 1.3.1 (Khái niệm tính chất điểm yên ngựa) Cho x0 điểm bất động hyperbolic vi phôi f , x0 gọi có tính chất điểm yên ngựa tồn số dương ∆ mà điểm x thỏa mãn f k (x) − x0 ≤ ∆ với k ≥ f k (x) → x0 k → ∞ Đặc biệt nữa, có mệnh đề sau Mệnh đề 1.3.2 Cho U ⊂ Rn tập mở f : U → Rn C - vi phôi với x0 điểm bất động hyperbolic tương ứng với không gian ổn định, không ổn định E s , E u cho bất đẳng thức sau thỏa mãn [Df (x0 )]k ξ ≤ k1 λk1 ξ với ξ ∈ E s , (1.1) [Df (x0 )]−k η ≤ k2 λk2 η với η ∈ E u (1.2) Gọi P ánh xạ chiếu Rn lên E s dọc theo E u đặt M s = P , M u = I − P Giả sử ∆ số dương đủ nhỏ (ta tìm được) thỏa mãn σ = [k1 M s (1 − λ1 )−1 + k2 M u λ2 (1 − λ2 )−1 ]w(∆) < 1, (1.3) ω(∆) = sup{ Df (x) − Df (x0 ) : x − x0 ≤ ∆} Khi x ∈ U f k (x) − x0 ≤ ∆ với ∀k ≥ bất đẳng thức f k (x) − x0 ≤ k1 M s (1 − σ)−1 [λ1 + k1 M s (1 − σ)−1 ω(∆)]k x − x0 thỏa mãn với ∀k ≥ Như có thêm điều kiện k1 M s ω(∆) < (1 − σ)(1 − λ1 ) suy f k (x) → x0 k → ∞, tức x0 có tính chất điểm yên ngựa Chứng minh Đặt yk = f k (x) − x0 Khi f k (x) = yk + x0 Với k ≥ 0: yk+1 = f k+1 (x) − x0 , yk+1 = f (x0 + yk ) − x0 Như vậy, yk+1 = Ayk + g(yk ), A = Df (x0 ), g(yk ) = f (x0 + yk ) − f (x0 ) − Df (x0 )yk Đặt g(y) = f (x0 + y) − f (x0 ) − Df (x0 )y Ta biết f (x0 + y) − f (x0 ) = Df (ξ)y (với ξ mà ξ = λx0 + (1 − λ)(x0 + y), λ ∈ (0, 1)) g(y) = Df (ξ)y − Df (x0 )y Với giả thiết ω(∆) = sup{ Df (x) − Df (x0 ) , với x − x0 ≤ ∆} g(y) ≤ ω(∆) · y y < ∆ Tiếp theo, đặt uk = P yk , vk = (I − P )yk Rõ ràng uk + vk = yk (1.4) Từ A giao hoán với P , tức AP = P A, nhân (1.4) với P , ta P yk+1 = uk+1 = P (Ayk + g(yk )) uk+1 = AP (yk ) + P g(yk ) uk+1 = Auk + P g(yk ) Theo tính chất dãy truy hồi, với k ≥ 0, ta có kết k−1 k Ak−m−1 P g(ym ) uk = A u0 + (1.5) m=0 Tương tự, nhân (1.4) với (I − P ) ta (I − P )yk+1 = vk+1 = (I − P )(Ayk + g(yk )) vk+1 = A(I − P )(yk ) + (I − P )g(yk ) vk+1 = A(vk ) + (I − P )g(yk ) Nhân hai vế với A−1 , biến đổi, ta thu vk = A−1 vk+1 − A−1 (I − P )g(yk ) Truy hồi vk theo vm , với ≤ k ≤ m ta thu m−1 vk = A −(m−k) A−(l−k+1) (I − P )g(yl ) vm − (1.6) l=k Ta xét vk m → ∞ Ta có A−(m−k) vm = A−(m−k) (I − P )(ym ) ≤ k2 λm−k M u ym ≤ k2 λm−k M u ∆ 2 (Theo giả thiết f k (x) − x0 ≤ ∆ với k ≥ mà yk = f k (x) − x0 ⇒ yk ≤ ∆ với ∀k ≥ 0) ⇒ A−(m−k) vm → m → ∞ Ngoài ra, ∞ ∞ A −(l−k+1) k2 λl−k+1 M u ω(∆)∆ (I − P )g(yl ) ≤ l=k l=k Áp dụng Mệnh đề 2.5.2 cho g SO , σ ∆ đủ nhỏ phụ thuộc vào K1 , K2 , λ1 , λ2 , M s , M u ω(·) (như xác định (??)), tồn số L1 , L2 phụ thuộc vào K1 , K2 , λ1 , λ2 , M s , M u cho zk − z k ≤ ∆ với |k| ≤ N, zk − z k ≤ [L1 β1k+N + L2 β2N −k ]∆ với |k| ≤ N (Chú ý chứng minh Mệnh đề 2.5.2 áp dụng cho g, ω(·) thay ω(∆) + 2σ, Dg(x) − Dg(y) ≤ Dg(x) − Df (x) + Df (x) − Df (y) + Df (y) − Dg(y) ) Cho trước ε > 0, chọn N > cho [L1 β1N + L2 β2N ]∆ < ε (3.18) Tiếp theo ý với |k| ≤ N zk − z k ≤ zk − xk + xk − xk + xk − z k ≤ 2M σ + xk − xk ≤ ∆, với điều kiện 4M σ ≤ ∆ x − x đủ nhỏ cho xk − xk ≤ ∆/2 với |k| ≤ N Khi từ Mệnh đề 2.5.2 suy h(x) − h(x) = z0 − z ≤ [L1 β1N + L2 β2N ]∆ < ε Vì h liên tục Cuối cùng, ta chứng minh h−1 liên tục (Thực điều suy từ tính liên tục h tính compact S Chứng minh có ưu điểm sử dụng trường hợp tập S không compact) 44 Giả sử z, z thuộc SO đặt zk = g k (z), z k = g k (z) với k ∈ Z Các quỹ đạo ∞ tương ứng {xk }∞ k=−∞ {xk }k=−∞ f S thỏa mãn zk − xk ≤ M σ, z k − xk ≤ M σ với k ∈ Z Ở z = h(x0 ), z = h(x0 ) Chọn β1 , β2 (3.17) Khi áp dụng Mệnh đề 2.5.2 cho f S, tồn số dương ∆ phụ thuộc vào K1 , K2 , λ1 , λ2 , M s , M u ω(·) số L1 , L2 phụ thuộc vào K1 , K2 , λ1 , λ2 , M s , M u cho xk − xk ≤ ∆ với |k| ≤ N, xk − xk ≤ [L1 β1k+N + L2 β2N −k ]∆ với |k| ≤ N Cho trước ε > 0, ta chọn N (3.18) Chú ý với |k| ≤ N xk − xk ≤ xk − zk + zk − z k + z k − xk ≤ 2M σ + zk − z k ≤ ∆, với điều kiện 4M σ ≤ ∆ z − z đủ nhỏ cho zk − z k ≤ ∆/2 với |k| ≤ N Khi suy h−1 (z) − h−1 (z) = x0 − x0 ≤ [L1 β1N + L2 β2N ]∆ < ε Vậy ta chứng minh h h−1 liên tục Định lý 3.2.2 chứng minh xong 3.3 Không gian tiệm cận tập hyperbolic Cho f : U → Rn C - vi phôi S tập compact hyperbolic f Chúng ta xác định đa tạp ổn định S : W s (S) = {x ∈ U : dist (f k (x), S) → k → ∞} 45 [...]... ta chứng minh rằng h−1 cũng liên tục (Thực ra điều này suy được ngay từ tính liên tục của h và tính compact của S Chứng minh dưới đây có một ưu điểm là có thể sử dụng được trong trường hợp tập S không compact) 44 Giả sử z, z thuộc SO và đặt zk = g k (z), z k = g k (z) với k ∈ Z Các quỹ đạo ∞ tương ứng {xk }∞ k=−∞ và {xk }k=−∞ của f trong S thỏa mãn zk − xk ≤ M σ, z k − xk ≤ M σ với k ∈ Z Ở đây z =... − x0 ≤ [L1 β1N + L2 β2N ]∆ < ε Vậy ta đã chứng minh rằng h và h−1 liên tục và Định lý 3.2.2 được chứng minh xong 3.3 Không gian tiệm cận của tập hyperbolic Cho f : U → Rn là C 1 - vi phôi và S là tập compact hyperbolic của f Chúng ta có thể xác định đa tạp ổn định của S : W s (S) = {x ∈ U : dist (f k (x), S) → 0 khi k → ∞} 45 ... (??)), tồn tại các hằng số L1 , L2 chỉ phụ thuộc vào K1 , K2 , λ1 , λ2 , M s , M u sao cho nếu zk − z k ≤ ∆ với |k| ≤ N, thì zk − z k ≤ [L1 β1k+N + L2 β2N −k ]∆ với |k| ≤ N (Chú ý rằng trong chứng minh của Mệnh đề 2.5.2 được áp dụng cho g, ω(·) được thay thế bởi ω(∆) + 2σ, do Dg(x) − Dg(y) ≤ Dg(x) − Df (x) + Df (x) − Df (y) + Df (y) − Dg(y) ) Cho trước ε > 0, chọn N > 0 sao cho [L1 β1N + L2 β2N ]∆