Tính chất bóng của phương trình sai phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THỊ THỦY TÍNH CHẤT BĨNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THỊ THỦY TÍNH CHẤT BĨNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Huy Tiễn Hà Nội - 2014 Mục lục Lời cảm ơn ii Lời mở đầu iii Điểm bất động hyperbolic, đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định vi phôi 1.1 Điểm bất động hyperbolic vi phôi 1.2 Đa tạp ổn định đa tạp không ổn định 1.3 Tính chất điểm yên ngựa 1.4 Tính trơn đa tạp ổn định địa phương 10 1.5 Vi phôi phụ thuộc tham số 16 Tập hyperbolic vi phôi 19 2.1 Định nghĩa tập hyperbolic 19 2.2 Tính bị chặn phép chiếu 20 2.3 Tính liên tục phép chiếu 22 2.4 Nhị phân mũ phương trình sai phân 26 2.5 Tính chất tập hyperbolic 30 2.6 Tính vững tập hyperbolic 32 Định lý bóng cho tập hyperbolic vi phơi 35 3.1 Định lý bóng 35 3.2 Nói thêm tính vững tập hyperbolic 41 3.3 Không gian tiệm cận tập hyperbolic 45 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 i LỜI CẢM ƠN Để hồn thành chương trình đào tạo hoàn thiện luận văn này, thời gian vừa qua tơi nhận nhiều giúp đỡ q báu gia đình, thầy bạn bè Vì vậy, này, muốn gửi lời cảm ơn tới người Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn, thầy nhiệt tình hướng dẫn bảo tơi q trình hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất thầy cô Khoa, người trực tiếp truyền thụ kiến thức, giảng dạy trình học cao học Tơi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Tốn-Cơ-Tin học, phịng Sau Đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thiện thủ tục bảo vệ luận văn Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình tôi, người động viên ủng hộ ii LỜI MỞ ĐẦU Tính chất bóng có nguồn gốc từ việc giải số phương trình vi phân/sai phân Tính chất bóng có nghĩa tồn quỹ đạo gần giả quỹ đạo cho trước Tính bóng nghiên cứu Anosov, Bowen, Sinai - người nhận liên quan đến tốn ổn định toàn cục hệ động lực Trước đây, Anosov, Bowen, Sinai dùng phương pháp hình học để nghiên cứu tính bóng Sau này, Palmer dùng cách tiếp cận giải tích cho tính bóng thơng qua lý thuyết nhị phân mũ phương trình vi phân Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu tính bóng hệ động lực lân cận tập hyperbolic từ sách "Shadowing in Dynamical Systems Theory and Applications" Ken Palmer năm 2000 Luận văn chia làm ba chương: Chương trình bày khái niệm điểm cố định hyperbolic vi phôi; đa tạp ổn định đa tạp khơng ổn định; tính chất điểm n ngựa; tính nhẵn đa tạp ổn định địa phương vi phơi phụ thuộc tham số Chương trình bày định nghĩa tập hyperbolic; tính chất tập hyperbolic Ngồi ra, chương trình bày tính liên tục tính bị chặn phép chiếu; nhị phân mũ phương trình sai phân Tính co giãn tập bất biến vi phôi định nghĩa hệ tính hyperbolic Chương nội dung luận văn Trong chương nêu chứng minh định lý bóng Sau áp dụng định lý bóng để chứng minh kết tính vững tập hyperbolic không gian tiệm cận tập hyperbolic Do thời gian có hạn, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp để luận văn hồn thiện Hà Nội, ngày 03 tháng 12 năm 2014 Học viên Phạm Thị Thủy iii Chương Điểm bất động hyperbolic, đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định vi phôi 1.1 Điểm bất động hyperbolic vi phôi Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa vi phôi) Cho U tập mở Rn Ánh xạ f : U ⊂ Rn → Rn gọi C r vi phôi tồn f −1 ánh xạ f, f −1 thuộc lớp C r Định nghĩa 1.1.2 (Định nghĩa điểm bất động hyperbolic vi phôi, không gian ổn định không gian không ổn định) Cho U tập mở Rn , f : U → Rn C - vi phôi Điểm x0 ∈ U gọi điểm bất động hyperbolic f f (x0 ) = x0 giá trị riêng ma trận Df (x0 ) khơng nằm đường trịn đơn vị Khi tổng khơng gian riêng suy rộng ứng với giá trị riêng nằm (ngoài) đường trịn đơn vị tương ứng gọi khơng gian ổn định (không ổn định) ký hiệu E s (E u ) 1.2 Đa tạp ổn định đa tạp không ổn định Cho U tập mở Rn , f : U → Rn C - vi phôi Từ định nghĩa E s , E u mục 1.1.2, ta biết E s , E u bất biến Df (x0 ) Hơn nữa, kết đại số tuyến tính, ta gọi λ1 λ2 số dương cho |λ| < λ1 < với tất giá trị riêng λ Df (x0 ) mà |λ| < < λ−1 < |λ| với tất giá trị riêng λ Df (x0 ) mà |λ| > Khi tồn số dương k1 , k2 cho với ∀k ≥ 0, k ∈ Z [Df (x0 )]k ξ ≤ k1 λk1 ξ với ∀ξ ∈ E s [Df (x0 )]−k η ≤ k2 λk2 η với ∀η ∈ E u Như [Df (x0 )]k ξ → k → ∞ ξ ∈ E s [Df (x0 )]k ξ → k → −∞ ξ ∈ E u Định nghĩa 1.2.1 (Định nghĩa đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định) Cho x0 điểm bất động hyperbolic C - vi phôi f : U → Rn Khi đó, tập hợp W s (x0 ) = {x ∈ U : f k (x) → x0 , k → ∞} gọi đa tạp ổn định x0 Tập hợp W u (x0 ) = {x ∈ U : f k (x) → x0 , k → −∞} gọi đa tạp không ổn định x0 Chúng ta đa tạp ổn định, tên vậy, khơng đa tạp Rn Tuy nhiên mơ tả hệ đa tạp ổn định địa phương mà chúng đa tạp Rn Định nghĩa 1.2.2 (Định nghĩa đa tạp ổn định địa phương) Cho U tập mở Rn , f : U → Rn C - vi phôi với x0 điểm bất động hyperbolic Với ε > cho trước, ta định nghĩa đa tạp ổn định địa phương x0 W s,ε (x0 ) = {x ∈ U : f k (x) → x0 k → ∞ f k (x) − x0 < ε, ∀k ≥ 0} Ta dễ dàng thấy với ε > W s (x0 ) = ∪ f −k (W s,ε (x0 )) k≥0 Ngồi ra, ta cịn thấy tính chất bất biến f (W s (x0 )) = W s (x0 ), f (W s,ε (x0 )) ⊂ W s,ε (x0 ) Trong phần tiếp theo, với ε > đủ nhỏ tập W s,ε (x0 ) đa tạp trơn thực Rn chứa x0 cho không gian tiếp xúc với W s,ε (x0 ) x0 không gian ổn định, Tx0 W s,ε (x0 ) = E s 1.3 Tính chất điểm yên ngựa Định nghĩa 1.3.1 (Khái niệm tính chất điểm yên ngựa) Cho x0 điểm bất động hyperbolic vi phôi f , x0 gọi có tính chất điểm n ngựa tồn số dương ∆ mà điểm x thỏa mãn f k (x) − x0 ≤ ∆ với k ≥ f k (x) → x0 k → ∞ Đặc biệt nữa, có mệnh đề sau Mệnh đề 1.3.2 Cho U ⊂ Rn tập mở f : U → Rn C - vi phôi với x0 điểm bất động hyperbolic tương ứng với không gian ổn định, không ổn định E s , E u cho bất đẳng thức sau thỏa mãn [Df (x0 )]k ξ ≤ k1 λk1 ξ với ξ ∈ E s , (1.1) [Df (x0 )]−k η ≤ k2 λk2 η với η ∈ E u (1.2) Gọi P ánh xạ chiếu Rn lên E s dọc theo E u đặt M s = P , M u = I − P Giả sử ∆ số dương đủ nhỏ (ta ln tìm được) thỏa mãn σ = [k1 M s (1 − λ1 )−1 + k2 M u λ2 (1 − λ2 )−1 ]w(∆) < 1, (1.3) ω(∆) = sup{ Df (x) − Df (x0 ) : x − x0 ≤ ∆} Khi x ∈ U f k (x) − x0 ≤ ∆ với ∀k ≥ bất đẳng thức f k (x) − x0 ≤ k1 M s (1 − σ)−1 [λ1 + k1 M s (1 − σ)−1 ω(∆)]k x − x0 thỏa mãn với ∀k ≥ Như có thêm điều kiện k1 M s ω(∆) < (1 − σ)(1 − λ1 ) suy f k (x) → x0 k → ∞, tức x0 có tính chất điểm n ngựa Chứng minh Đặt yk = f k (x) − x0 Khi f k (x) = yk + x0 Với k ≥ 0: yk+1 = f k+1 (x) − x0 , yk+1 = f (x0 + yk ) − x0 Như vậy, yk+1 = Ayk + g(yk ), A = Df (x0 ), g(yk ) = f (x0 + yk ) − f (x0 ) − Df (x0 )yk Đặt g(y) = f (x0 + y) − f (x0 ) − Df (x0 )y Ta biết f (x0 + y) − f (x0 ) = Df (ξ)y (với ξ mà ξ = λx0 + (1 − λ)(x0 + y), λ ∈ (0, 1)) g(y) = Df (ξ)y − Df (x0 )y Với giả thiết ω(∆) = sup{ Df (x) − Df (x0 ) , với x − x0 ≤ ∆} g(y) ≤ ω(∆) · y y < ∆ Tiếp theo, đặt uk = P yk , vk = (I − P )yk Rõ ràng uk + vk = yk (1.4) Từ A giao hoán với P , tức AP = P A, nhân (1.4) với P , ta P yk+1 = uk+1 = P (Ayk + g(yk )) uk+1 = AP (yk ) + P g(yk ) uk+1 = Auk + P g(yk ) Theo tính chất dãy truy hồi, với k ≥ 0, ta có kết k−1 k Ak−m−1 P g(ym ) uk = A u0 + (1.5) m=0 Tương tự, nhân (1.4) với (I − P ) ta (I − P )yk+1 = vk+1 = (I − P )(Ayk + g(yk )) vk+1 = A(I − P )(yk ) + (I − P )g(yk ) vk+1 = A(vk ) + (I − P )g(yk ) Nhân hai vế với A−1 , biến đổi, ta thu vk = A−1 vk+1 − A−1 (I − P )g(yk ) Truy hồi vk theo vm , với ≤ k ≤ m ta thu m−1 vk = A −(m−k) A−(l−k+1) (I − P )g(yl ) vm − (1.6) l=k Ta xét vk m → ∞ Ta có A−(m−k) vm = A−(m−k) (I − P )(ym ) ≤ k2 λm−k M u ym ≤ k2 λm−k M u ∆ 2 (Theo giả thiết f k (x) − x0 ≤ ∆ với k ≥ mà yk = f k (x) − x0 ⇒ yk ≤ ∆ với ∀k ≥ 0) ⇒ A−(m−k) vm → m → ∞ Ngoài ra, ∞ ∞ A −(l−k+1) k2 λl−k+1 M u ω(∆)∆ (I − P )g(yl ) ≤ l=k l=k δ - giả quỹ đạo f S với δ ≤ δ0 ε - bóng quỹ đạo thật g với ε = M (δ + σ) Chứng minh Gọi {yk }∞ k=−∞ δ - giả quỹ đạo f tập compact hyperbolic S Ta tìm nghiệm {xk }∞ k=−∞ phương trình sai phân xk+1 = g(xk ), ∀k ∈ Z xk − yk ≤ ε, ∀k ∈ Z cho Ta xét X không gian Banach l∞ (Z, Rn ) gồm dãy phần tử bị chặn n Rn , x = {xk }∞ k=−∞ (mà xk bị chặn R ) với chuẩn x = sup xk k∈Z Gọi O tập mở X chứa tất dãy x = {xk }∞ k=−∞ cho x − y < dist (S, ∂U ), n y = {yk }∞ k=−∞ dist (S, ∂U ) = ∞ U = R Ta định nghĩa C - ánh xạ G : O → X sau: x = {xk }∞ k=−∞ ∈ O [G(x)]k = xk+1 − g(xk ) với k ∈ Z (3.2) Định lý chứng minh có nghiệm x phương trình G(x) = thỏa mãn x − y ≤ ε Để làm điều này, ta sử dụng Bổ đề sau Bổ đề 3.1.3 Cho X, Y không gian Banach, O tập mở X G : O → Y hàm thuộc lớp C Giả sử y phần tử O thỏa mãn G(y) ≤ ∆, ∆ số dương Đạo hàm L = DG(y) khả nghịch L−1 ≤ M/2 với M số dương Khi hình cầu đóng tâm y, bán kính M ∆ nằm O bất đẳng thức DG(x) − DG(y) ≤ M thỏa mãn với x−y ≤ M ∆ phương trình G(x) = có nghiệm thỏa mãn x − y ≤ M ∆ 36 Chứng minh Định nghĩa toán tử F : O → X F (x) = y − L−1 [G(x) − DG(y)(x − y)], F (x) = x + L−1 (G(x)) Rõ ràng G(x) = ⇔ F (x) = Hơn x − y ≤ ε = M ∆ F (x) − y ≤ L−1 ≤ G(x) − G(y) − DG(y)(x − y) + G(y) M (M −1 ε + ∆) = ε Ngoài x − y ≤ ε z − y ≤ ε F (x) − F (z) = L−1 [G(x) − G(z) − DG(y)(x − z)] ≤ M −1 M x−z = x−z 2 Như F ánh xạ co hình cầu đóng tâm y, bán kính ε = M ∆ có x thuộc hình cầu B(y, ε) mà F (x) = x, hay có nghiệm x phương trình G(x) = mà x − y ≤ M ∆ Bổ đề chứng minh Trở lại chứng minh Định lý 3.1.2 với C - ánh xạ G : O → X định nghĩa (3.2) với y = {yk }∞ k=−∞ δ - giả quỹ đạo f S Ta dễ dàng thấy L = DG(y) ánh xạ tuyến tính mà L : l∞ (Z, Rn ) → l∞ (Z, Rn ) xác định sau: Nếu u = {uk }∞ k=−∞ (Lu)k = uk+1 − Dg(yk )uk với ∀k ∈ Z Để áp dụng Bổ đề 3.1.3 cho ánh xạ G, ta cần phải δ σ đủ nhỏ tốn tử L có nghịch đảo L−1 bị chặn Ở S tập compact hyperbolic định nghĩa 2.1.1, P (x) phép chiếu Rn lên E s (x) dọc theo E u (x) Ta biết Df (x)P (x) = P (f (x))Df (x), ∀x ∈ S (3.3) P (x) bị chặn, tồn M s , M u số dương cho P (x) ≤ M s , I − P (x) ≤ M u , ∀x ∈ S Bây ta điều kiện đủ để tốn tử L có nghịch đảo L−1 bị chặn 37 Bổ đề 3.1.4 Cho {Ak }∞ k=−∞ dãy bị chặn ma trận khả nghịch cấp n × n cho T : l∞ (Z, Rn ) → l∞ (Z, Rn ) toán tử xác định T (uk ) = uk+1 − Ak uk , ∀k ∈ Z Khi phương trình sai phân uk+1 = Ak uk (3.4) có nhị phân mũ (−∞, ∞) với số mũ λ1 , λ2 số k1 , k2 tốn tử T có nghịch đảo T −1 ≤ k1 (1 − λ1 )−1 + k2 λ2 (1 − λ2 )−1 Chứng minh Cho θ ∈ X = l∞ (Z, Rn ) Để chứng minh T −1 tồn ta chứng minh phương trình sai phân T u = θ có nghiệm u ∈ X Thật ∞ u = {uk }∞ k=−∞ θ = {θk }k=−∞ Xét phương trình sai phân uk+1 = Ak uk + θk , k ∈ Z (3.5) Giả sử uk nghiệm bị chặn (3.5) Ta có k−1 φ(k, m + 1)θm với k ≥ a, uk = φ(k, a)ua + m=a φ(k, m) ma trận (3.4) Nhân hai vế với Pk sử dụng tính chất bất biến ta có k−1 Pk uk = φ(k, a)Pa ua + φ(k, m + 1)Pm+1 θm (3.6) m=a Đánh giá φ(k, a)Pa ua ≤ k1 λ1k−a a với k ≥ a, k−1 k−1 k1 λk−m−1 θ = k1 (1 − λ1 )−1 θ φ(k, m + 1)Pm+1 θm ≤ m=−∞ m=−∞ Từ uk bị chặn, ta cho a → −∞ (3.6) để thu k−1 Pk uk = φ(k, m + 1)Pm+1 θm m=a 38 (3.7) Tiếp theo với k ≤ b, b−1 uk = φ(k, b)ub − φ(k, m + 1)θm m=k Nhân hai vế với (I − Pk ) sử dụng tính chất bất biến ta có b−1 (I − Pk )uk = φ(k, b)(I − Pb )ub − φ(k, m + 1)(I − Pm+1 )θm (3.8) m=k Đánh giá φ(k, b)(I − Pb )ub ≤ k2 λb−k ub với k ≤ b, ∞ ∞ k2 λ2m+1−k θ ≤ k2 λ2 (1 − λ2 )−1 θ φ(k, m + 1)(I − Pm+1 )θm ≤ m=k m=k Như cho b → ∞ (3.8) ta ∞ (I − Pk )uk = − φ(k, m + 1)(I − Pm+1 )θm (3.9) m=k Cộng (3.7) với (3.9) ta có ∞ k−1 φ(k, m + 1)Pm+1 θm − uk = m=−∞ φ(k, m + 1)(I − Pm+1 )θm (3.10) m=k Ngược lại với uk xác định (3.10) ta dễ dàng kiểm tra uk thỏa mãn (3.5) Ngoài uk ≤ [k1 (1 − λ1 )−1 + k2 (1 − λ2 )−1 ] θ , ∞ n tức u = {uk }∞ k=−∞ ∈ X = l (Z, R ) Như ta chứng minh với θ ∈ X phương trình T u = θ có nghiệm u xác định (3.10) Suy tồn T −1 T −1 ≤ k1 (1 − λ1 )−1 + k2 λ2 (1 − λ2 )−1 Bổ đề 3.1.4 chứng minh xong 39 Trở lại chứng minh Định lý 3.1.2 Để chứng minh tồn L−1 giới hạn L−1 ta cần phương trình uk+1 = Dg(yk )uk (3.11) có nhị phân mũ (−∞, ∞) Ta có giả thiết Dg(yk ) − Df (yk ) ≤ σ (3.12) Bây áp dụng Bổ đề 2.6.4, δ đủ nhỏ phụ thuộc vào f, S phương + λ1 + λ2 , trình (3.11) có nhị phân mũ (−∞, ∞) với số mũ 2 số phụ thuộc vào f S Sử dụng (3.12) áp dụng Bổ đề 2.4.3 σ đủ nhỏ phụ thuộc vào f, S phương trình (3.11) có nhị phân mũ (−∞, ∞) với số mũ α1 = + λ1 + λ2 , α2 = số l1 , l2 phụ thuộc vào f S 4 Như theo Bổ đề 3.1.4 L có L−1 L−1 ≤ l1 (1 − α1 )−1 + l2 α2 (1 − α2 )−1 n Cho {yk }∞ k=−∞ δ - giả quỹ đạo f S g : U → R C - vi phôi thỏa mãn (3.1) Giả sử δ σ thỏa mãn điều kiện để có nghịch đảo L Ta xem xét C - ánh xạ G : O → X định nghĩa (3.2) Từ định nghĩa δ - giả quỹ đạo bất đẳng thức G(y) ≤ δ + σ thỏa mãn với y = {yk }∞ k=−∞ Ta L = DG(y) có nghịch đảo L−1 ≤ M/2 với M = 2l1 (1 − α1 )−1 + 2l2 (1 − α2 )−1 (3.13) Tiếp theo x − y ≤ M (δ + σ) với x = {xk }∞ k=−∞ , ta có ước lượng DG(x) − DG(y) ≤ sup Df (xk ) − Df (yk ) + 2σ k∈Z ≤ ω(M (δ + σ)) + 2σ, ω(ε) = sup{ Df (x) − Df (y) : y ∈ S, x − y ≤ ε} 40 Vì M (σ + δ) < dist (S, ∂U ), M [ω(σ + δ) + 2σ] < định lý chứng minh xong với M cho (3.13) σ0 , δ0 số dương thỏa mãn M (σ0 + δ0 ) < dist (S, ∂U ), M [ω(M (σ0 + δ0 )) + 2σ0 ] < 1, điều kiện σ, δ đủ đảm bảo có nghịch đảo L 3.2 Nói thêm tính vững tập hyperbolic Cho S tập compact hyperbolic C - vi phôi f : U → Rn Như biết mục 2.6 O lân cận đủ nhỏ S g : U → Rn C - vi phôi đủ đóng C - tơpơ f tập bất biến lớn S0 g O hyperbolic Trong mục ta sử dụng tính chất bóng để chứng minh S tập lập bất biến f S0 cô lập đồng phôi f : S → S g : S0 → S0 liên hợp tôpô Định nghĩa 3.2.1 Cho X, Y không gian metric f : X → X, g : Y → Y ánh xạ Ta nói f g liên hợp tơpơ có đồng phơi h : X → Y cho h ◦ f = g ◦ h Định lý 3.2.2 Cho U tập lồi mở Rn , f : U → Rn C - vi phôi với S tập compact hyperbolic lập Khi O lân cận mở đủ bé S g : U → Rn C - vi phôi thỏa mãn f (x) − g(x) + Df (x) − Dg(x) ≤ σ, x ∈ U, (3.14) với σ đủ nhỏ, tập bất biến lớn SO g O tập hyperbolic lập Ngồi ra, đồng phôi f : S → S, g : SO → SO liên hợp tôpô với ánh xạ liên hợp h : S → SO thỏa mãn h(x) − x ≤ M σ, M số Định lý 3.1.2 41 Chứng minh Áp dụng Định lý 2.6.2 có số d0 > 0, σ0 > cho dist (x, S) ≤ d0 với ∀x ∈ O σ ≤ σ0 tập bất biến lớn S0 g O hyperbolic số k1 , k2 chặn M s , M u phép chiếu chọn không phụ thuộc vào O g Giả sử δ0 , M, σ0 thỏa mãn điều kiện định lý 3.1.2 cho f S Cho x ∈ S k ∞ {xk }∞ k=−∞ = {f (x)}k=0 δ - giả quỹ đạo f S với J = Theo Định lý 3.1.2 σ ≤ σ0 , tồn quỹ đạo thật {zk }∞ k=−∞ f cho zk − xk ≤ M σ, ∀k ∈ Z (3.15) Hơn nữa, quỹ đạo g thỏa mãn zk − xk ≤ M σ0 với k ∈ Z Khi ta đặt h(x) = z0 Nếu σ đủ nhỏ cho {x : dist (x, S) ≤ M σ} ⊂ O, suy h ánh xạ từ S vào tập bất biến lớn SO g O Cũng từ (3.15) suy h(x) − x ≤ M σ với x ∈ S Hơn nữa, {xk+1 }∞ k=−∞ quỹ đạo f tương ứng với f (x) = x1 zk+1 − xk+1 ≤ M σ với k ∈ Z, suy (theo tính nhất) h(f (x)) = h(x1 ) = z1 = g(z0 ) = g(h(x)) Tức h ◦ f = g ◦ h Vì ta phải h đồng phôi từ S lên SO SO cô lập Rõ ràng với điều kiện 2M σ không vượt số co giãn f S h ánh xạ - 42 Để chứng minh h toàn ánh, giả sử z ∈ SO đặt zk = g k (z) với k ∈ Z Chọn yk ∈ S cho yk − zk ≤ d0 Khi yk+1 − f (yk ) ≤ yk+1 − zk+1 + g(zk ) − f (zk ) + f (zk ) − f (yk ) ≤ d0 + σ + M1 d0 , M1 = sup Df (x) (3.16) x∈U Nếu (1 + M1 )d0 + σ ≤ δ0 , tồn quỹ đạo {xk }∞ k=−∞ f cho xk − yk ≤ M [(1 + M1 )d0 + σ] Khi d0 σ đủ nhỏ để S tập bất biến lớn f {x ∈ Rn : dist (x, S) ≤ M [(1 + M1 )d0 + σ]}, suy xk thuộc S với k Hơn nữa, ta nhận thấy zk − xk ≤ zk − yk + yk − xk ≤ d0 + M [(1 + M1 )d0 + σ] = [1 + M (1 + M1 )]d0 + M σ Vì d0 σ đủ nhỏ cho [1 + M (1 + M1 )]d0 + M σ ≤ M σ0 , từ tính phần đầu chứng minh suy z = h(x0 ) Do h toàn ánh Do h ánh xạ S vào O, suy SO ⊂ O lập Tiếp theo, ta chứng minh h liên tục Giả sử x, x ∈ S đặt xk = f k (x), ∞ xk = f k (x) với k ∈ Z Các quỹ đạo tương ứng {zk }∞ k=−∞ , {z k }k=−∞ g thỏa mãn zk − xk ≤ M σ, z k − xk ≤ M σ ∞ với k ∈ Z Ở z0 = h(x), z = h(x) {zk }∞ k=−∞ , {z k }k=−∞ quỹ đạo g tập hyperbolic SO Lấy β1 = + λ1 , β2 = 43 + λ2 (3.17) Áp dụng Mệnh đề 2.5.2 cho g SO , σ ∆ đủ nhỏ phụ thuộc vào K1 , K2 , λ1 , λ2 , M s , M u ω(·) (như xác định (??)), tồn số L1 , L2 phụ thuộc vào K1 , K2 , λ1 , λ2 , M s , M u cho zk − z k ≤ ∆ với |k| ≤ N, zk − z k ≤ [L1 β1k+N + L2 β2N −k ]∆ với |k| ≤ N (Chú ý chứng minh Mệnh đề 2.5.2 áp dụng cho g, ω(·) thay ω(∆) + 2σ, Dg(x) − Dg(y) ≤ Dg(x) − Df (x) + Df (x) − Df (y) + Df (y) − Dg(y) ) Cho trước ε > 0, chọn N > cho [L1 β1N + L2 β2N ]∆ < ε (3.18) Tiếp theo ý với |k| ≤ N zk − z k ≤ zk − xk + xk − xk + xk − z k ≤ 2M σ + xk − xk ≤ ∆, với điều kiện 4M σ ≤ ∆ x − x đủ nhỏ cho xk − xk ≤ ∆/2 với |k| ≤ N Khi từ Mệnh đề 2.5.2 suy h(x) − h(x) = z0 − z ≤ [L1 β1N + L2 β2N ]∆ < ε Vì h liên tục Cuối cùng, ta chứng minh h−1 liên tục (Thực điều suy từ tính liên tục h tính compact S Chứng minh có ưu điểm sử dụng trường hợp tập S không compact) 44 Giả sử z, z thuộc SO đặt zk = g k (z), z k = g k (z) với k ∈ Z Các quỹ đạo ∞ tương ứng {xk }∞ k=−∞ {xk }k=−∞ f S thỏa mãn zk − xk ≤ M σ, z k − xk ≤ M σ với k ∈ Z Ở z = h(x0 ), z = h(x0 ) Chọn β1 , β2 (3.17) Khi áp dụng Mệnh đề 2.5.2 cho f S, tồn số dương ∆ phụ thuộc vào K1 , K2 , λ1 , λ2 , M s , M u ω(·) số L1 , L2 phụ thuộc vào K1 , K2 , λ1 , λ2 , M s , M u cho xk − xk ≤ ∆ với |k| ≤ N, xk − xk ≤ [L1 β1k+N + L2 β2N −k ]∆ với |k| ≤ N Cho trước ε > 0, ta chọn N (3.18) Chú ý với |k| ≤ N xk − xk ≤ xk − zk + zk − z k + z k − xk ≤ 2M σ + zk − z k ≤ ∆, với điều kiện 4M σ ≤ ∆ z − z đủ nhỏ cho zk − z k ≤ ∆/2 với |k| ≤ N Khi suy h−1 (z) − h−1 (z) = x0 − x0 ≤ [L1 β1N + L2 β2N ]∆ < ε Vậy ta chứng minh h h−1 liên tục Định lý 3.2.2 chứng minh xong 3.3 Không gian tiệm cận tập hyperbolic Cho f : U → Rn C - vi phôi S tập compact hyperbolic f Chúng ta xác định đa tạp ổn định S : W s (S) = {x ∈ U : dist (f k (x), S) → k → ∞} 45 đa tạp không ổn định S W u (S) = {x ∈ U : dist (f k (x), S) → k → −∞} Chúng ta xác định đa tạp ổn định khơng ổn định điểm S sau W s (x) = {y ∈ U : f k (y) − f k (x) → k → ∞}, W u (x) = {y ∈ U : f k (y) − f k (x) → k → −∞} Rõ ràng ∪ W s (x) ⊂ W s (S), ∪ W u (x) ⊂ W u (S) x∈S x∈S Khi S tập bất biến cô lập, sử dụng tính chất bóng để chứng minh quỹ đạo thật tiệm cận tập S phải tiệm cận quỹ đạo S Định lý 3.3.1 Cho S tập compact hyperbolic cô lập C - vi phôi f : U → Rn Khi ∪ W s (x) = W s (S), ∪ W u (x) = W u (S) x∈S x∈S Chứng minh Ta cần chứng minh đẳng thức việc chứng minh đẳng thức thứ hai tiến hành tương tự Ta cần W s (S) ⊂ ∪ W s (x) chiều ngược lại hiển nhiên Giả sử z ∈ W s (S) đặt x∈S zk = f k (z) Khi dist (zk , S) → k → ∞ Tiếp theo cho β1 = + λ1 , β2 = + λ2 , λ1 λ2 số mũ S, giả sử ∆ số co giãn S (chính xác hơn, ∆ có tính chất d Mệnh đề 2.5.2 với β1 , β2 chọn) giả sử ∆ có tính chất cho S tập bất biến lớn f {x ∈ U : dist (x, S) ≤ ∆/2} Chọn số dương δ cho δ ≤ δ0 46 2M δ ≤ ∆, δ0 , M số Định lý 3.1.2 Tiếp theo chọn số dương d cho (1 + M1 )d ≤ δ, 2d ≤ ∆, M1 xác định (3.16) (thông thường, để đơn giản ta giả sử U lồi) Tiếp theo tồn k0 cho với k ≥ k0 dist (zk , S) ≤ d với k ≥ k0 tồn yk ∈ S cho zk − yk ≤ d Chú ý k ≥ k0 yk+1 − f (yk ) ≤ yk+1 − zk+1 + f (zk ) − f (yk ) ≤ d + M1 d ≤ δ Vì ta đặt yk = f k−k0 (yk0 ) với k < k0 , ta thấy {yk }∞ k=−∞ δ - giả quỹ đạo f S Vì vậy, theo Định lý 3.1.2, tồn quỹ đạo thật {xk }∞ k=−∞ f cho với k xk − yk ≤ M δ Do M δ ≤ ∆/2 nên suy xk ∈ S với k Nếu k ≥ k0 , f k (z) − f k (x0 ) ≤ zk − yk + yk − xk ≤ d + M δ ≤ ∆ Khi theo Mệnh đề 2.5.2 suy f k (z) − f k (x0 ) → k → ∞ Vì z ∈ W s (x0 ) định lý chứng minh xong 47 KẾT LUẬN Chúng ta chứng minh không gian Rn , tập bất biến hyperbolic C vi phơi có tính bóng tính co giãn Định lý bóng áp dụng để chứng minh hai kết tính vững tập hyperbolic khơng gian tiệm cận tập hyperbolic Trong luận văn giả thiết toán hàm f xác định tập lồi, mở U giả thiết chặt mở rộng Chúng tơi nghiên cứu phần mở rộng thời gian tới 48 Tài liệu tham khảo [1] Aoki, N (1983), On homeomorphisms with pseudo-orbit tracing property Tokyo Math 6, 329-334 [2] Aoki, N (1989), Topological dynamics, in Topics in General Topology, K.Morita and J.Nagata ed., North Holland, Amsterdam, 625-740 [3] Aoki, N and Hiraide, N (1994), Topological Theory of Dynamical Systems Recent Advances, North-Holland, Amsterdam [4] Chen, L and Li, S (1992), Shadowing property for inverse limit spaces, Proc.Amer.Math.Soc 115, 573-580 [5] Coomes, B.A (1997), Shadowing orbits of ordinary differential equations in invariant submanifolds Trans.Amer.Math.Soc 349, 203-216 [6] Coomes, B.A., Kocak, H and Palmer, K.J (1994), Shadowing orbits of ordinary differential equations J Comp Appl Math 52, 35-43 [7] Coomes, B.A., Koc;ak, H and Palmer, K.J (1995), A shadowing theorem for ordinary differential equations, Z Angew Math Phys 46, 85-106 [8] Coomes, B.A., Koc;ak, H and Palmer, K.J (1996), Shadowing in discrete dynamical systems, in Six Lectures on Dynamical Systems, B.Aulbach and F.Colonius ed., World Scientific, Singapore, 163-211 [9] Coppel, W A (1965), Stability and Asymptotic behavior of differential equations, D C Heath, Boston 49 [10] Coppel, W A (1978), Dichotomies in stability theory, Lecture note in mathematics 629, Springer - Verlag, Berlin [11] Feckan, M (1991), A remark on the shadowing lemma, Funk Ekvac 34, 391-402 [12] Fenichel, N (1996), Hyperbolicity and exponential dichotomy, Dynamics Reported 5, 1-25 [13] Henry, D (1981), Geometric theory of similinear parabolic equation, Lecture notes in mathemmatics 840, Springer - Verlag, New York [14] Henry, D (1994), Exponential dichotomies, the shadowing lemma, and homo clinic orbits in Banach spaces, Resenhas IME-USP 1, 381-40l [15] Hisch, M W and Smale, S (1974), Differential equation, Dynamical systems and Linear algebra, Academic Press, New York [16] Landford, O E (1985), Introduction to hyperbolic sets, in Regular and Chaotic motion in dynamic systems, Vol 118, Plenum Press, New York, 73 - 102 [17] Li, S (1992), Shadowing property for inverse limit spaces, Proc Amer.Math.Soc 115, 573-580 [18] Ombach, J (1986), Equivalent conditions for hyperbolic coordinates, Topology and applications, 23, 87 - 90 [19] Palmer, K (2000), Shadowing in dynamic systems theory and applications, Kluer Academic Publishers [20] Sawada, K (1980), Extended f -orbits are approximated by orbits, Nagoya Math J 79, 33-45 50 ... viên ủng hộ ii LỜI MỞ ĐẦU Tính chất bóng có nguồn gốc từ việc giải số phương trình vi phân /sai phân Tính chất bóng có nghĩa tồn quỹ đạo gần giả quỹ đạo cho trước Tính bóng nghiên cứu Anosov, Bowen,... liên tục S 2.4 Nhị phân mũ phương trình sai phân Định nghĩa 2.4.1 Cho J khoảng Z, k ∈ J, Ak ma trận khả nghịch cấp n × n Phương trình sai phân uk+1 = Ak uk (2.17) gọi có nhị phân mũ J có ánh xạ... Như phương trình sai phân (2.18) có nhị phân mũ (−∞; +∞) với số k1 M s , k2 M u , số λ1 , λ2 số chiều E s (x) hạng ánh xạ chiếu tương ứng (⇐) Giả sử ∀x ∈ S, phương trình sai phân (2.18) có nhị phân