Dáng điệu nghiệm của các phương trình vi phân và phương trình sai phân trong không gian Banach trên một khoảng vô hạn và một số mô hình ứng dụng : Đề tài NCKH. QT.03.03

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRUỒNG ĐẠI HỘC KHOA HỌC TựNHIÊN ******* Tén đề tài: DÁNG Đ IỆ U C Ủ A N G H IỆ M CỦA CÁC PH Ư Ơ N G T R ÌN H VI PH Â N VÀ PH Ư Ơ N G TRÌNH SA I PH Á N T R O N G K H Ô N G G IA N B A N A C H T R Ê N M Ộ T K H O Ả N G VÔ H Ạ N VÀ M Ộ T SỐ M Ơ H ÌNH Ú N G D Ụ N G M Ã SỐ : Q T 3 Chủ trì đề t i : T s ĐẶNG ĐÌNH CHÂU OAI H Ọ C Q U Ố C ^ 1'■ t r u n g t â m t h ò n g tin ỉ m pr/363 H nội 0 REPORT ON PRỌJECT QT-03-03 I T itle o f P jo je c t :B eh avior of s o lu t io n s of s y s te m s of d iffe r e n tia l Equations and difference equations in the Banach space on the inffinite interval and som e application models II Pjoject ‘s code: QT 03-03 III Head o f Research Group: Dr Dang Dinh Chau IV Participants: Dr Hoang Quoc Toan, Dr Nguyen Thi Hong Minh, MSc Nguyen Minh Man, MSc Du Duc Thang, MSc Pham Thi To N g a B S c M a i N g o e D ieu V T a rg et and co n te n ts: In recen t y e a r s, th an k s to the d e v e lo p m e n t o f in ío r m a tio n t e c h n o lo g y , th e stu d y o f op erator an d the a p p lica tio n in p r a c tic e is im p r o v e d an d g e t s m u c h a c h ie v e m e n t A m o n g th o se stu d ie s, the th e o r y o f op erator e q u a tio n s h a s b e e n re sea rc h e d bv m a n v s c ie n tis ts B e s id e s th e q u a lita tiv e stu d v , s o m e q u a n tita tiv e stu d y as the su p p le m e n ta r y a lso p la y an im p o rta n t role in m e e tin g th e d em a n d o f s o lv in g the p ctic a ỉ m a th em a tic is s u e s s u c h as: -S tu d y in g N eu ro n netvvork and e le c tr o n ic s netvvork -A p p ly to stu d y an d s o lv e E c o n o m ic p r o p le m s -A p p ly m a th e m a tic s in E n v iro n m en t p r o b le m s T h e r e fo r e , in th is rep ort, so m e m a in c o n te n ts is b e in g re fer red th ro u g h fo llo w in g : -O n the asym ptotic e q uivalence o f d iffe re n t e q u a tio n s vvith tim e d e la y in R n s p a c e and in B a n a c h sp a c e -S o m e p rop erties o f d is c u r s iv e n e s s d y n a m ic s s y s te m -S o m e a p p lica tio n s V I S o m e m ain re su lts: a R e se a rch a c tiv itie s: papers h a v e b e e n p u b lis h e d p u b lic a tio n in in tern a tio n a l Joumal o f Mathematicas m a th e m a tic a l 01' jo u r n a ls a c c e p te d fo r an d V ie tn a m ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN ******* Tên đề tài: DÁNG ĐIỆU CÙA NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHẢN VÀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHẢN TRONG KHƠNG GIAN BANACH TRÊN MỘT KHOẢNG VƠ HẠN VÀ MỘT SỐ MƠ HÌNH ỨNG DỤNG M Ã SỐ: Q T 3 CHỦ TRÌ ĐỂ TÀI :T.S ĐẶNG ĐÌNH CHÁU Tên cán phối hợp : T s Hoàng Quốc Toàn Thạc sỹ Nguyễn Minh Mẫn T.s Nguyễn Thị Hổng Minh Thạc sỹ D Đức Thắng C ủ nhãn M Ngọc Diệu Thạc sỹ Phạm Tô' 'Nga Hà N ội 0 BÁO CÁO TÓM TẮT a T ê n đ ề tà i : D điệu nghiệm phương trình vi phán phương trình sai phán khơng gian Banach khoảng vó han mội s ố mơ hình ứng dụng Mã số: QT 03.03 b.Chủ trì đề tài : T.s Đặng Đình Cháu c.Các cán phối hợp: T.s Hoàng Quốc Toàn Thạc sỹ Nguyễn M inh Mẫn T.s Nguyễn Thị Hồng Minh Thạc sỹ D Đức Thắng cửnhán Mai Ngọc Diệu Thạc sỹ Phạm Thị T ố Nga d Mục tiêu nội dung nghiên cứu: Trong năm gần đáy, nhờ phát triển n hảy vọt c ỏ n g n ghệ thông tin ,nhiều lĩnh vục lý thuyết toán h ọc đặc biệt c ó nghành lý thuvết phương trình vi phán, phương trình sai phán nhiều nhà tốn h ọc quan tám n gh iên cứu áp dụng kết nhận vào thực tế chẳng hạn như: N g h iên cứu M ạng N euron thần kinh trí tụé nhân tạo, ứng dụng toán h ọc vào v iệc nghiên cứu giải toán kinh tế, ứng dụng toán h ọc vào tốn m sinh Trong báo cáo chúng tơi trình bàv m ột sơ' kết m ới nhận v iệc nghiên cứu toán sau đãv: -Sự tương đươne tiệm cân phương trình vi phân với biến sỏ' châm khỏng gian hữu hạn chiều khôn g gian Banach -M ột số tính chất H ệ đ ộng lực tổn g quát n hóm đặc biệt -ứ n g dụng phương pháp sai phán toán : X lý tín hiệu số, n ghiên cứu hoạt đ ộng m n s N euron thần kinh, n ghiên cứu m hình Trí t nhàn tạo ứng dụng phương trình sai phán trone việc n ghiên cứu m ột số toán kinh tế tốn sinh hoc m trường e C c k ét q u ả đ ạt đ ợ c : - V iết hai báo khoa học - Hoàn thành m ột luận vãn thạc sỹ (đã bảo vệ), hoàn thành tiếp luận vãn thạc SỸ luân vãn tốt n sh iệp m ột luận vãn tiến sỹ (sắp bảo v ệ) f.T ìn h h ìn h k in h p h í củ a đ ề tài: Đã toán sử dụng theo dự định X ác n h ả n củ a B a n C h ủ n h iệ m K h o a ƠS.TSKH C h ủ trì đ ề tài BÁO CÁO TÓM TÁT a T ê n đ ề t i : Dáng điệu nghiệm phương trình vi phân phương trình sai phản khơng gian Banach trén mộl khoảng vó hạn mộĩ s ố mơ hình ứng dụng M ã số: Q T 3 b.Chủ trì đề t i : T.s Đặng Đình Châu c.Các cán phối hợp: T.s Hoàng Quốc Toàn Thạc sỹ Nguyễn M inh Mẫn T.S Nguyễn Thị Hồng Minh Thạc sỹ D Đức Thắng Cử nhăn M Ngọc Diệu Thạc sỹ Phạm Thị Tó'Nga d Mục tiêu nội dung nghiên cứu: Trong nãm gần đây, nhờ phát triển n hảy vọt c ỏ n g n g h ệ thống tin ,n hiều lĩnh vực lý thuyết tốn h ọc dặc biệt có nghành lý th u yết phương trình vi phân, phương trình sai phán nhiều nhà toán học quan tâm n gh iên cứu áp dụng kết nhận vào thực tế chẳng hạn như: N gh iên cứu M ạng N euron thần kinh trí tụê nhân tạo, ứng dụng toán h ọc vào v iệc n gh iên cứu giải toán kinh tế, ứng dụng toán h ọc vào toán m ôi sinh Trong báo cáo n ày trình bàv m ột s ố k ết m ới nhận v iệc nghiên cứu toán sau đãv: -Sự tương đương tiệm cận phương trình vi phán với biến số chậm khơng gian hữu hạn chiều k hôn g gian Banach -M ột số tính chất Hộ đ ộng lực tổng quát nhóm đặc biệt -Úng dụng phương pháp sai phân toán : X lý tín hiệu số, n gh iên cứu hoạt đ ộng m ạn e N euron thần kinh, nghiên cứu m hĩnh Trí tuệ nhân tạo, ứng dụng phương trình sai phán tron s việc n gh iên cứu m ột s ố toán kinh tế toán sinh học m ôi trường e.C c k ết q u ả đ ạt đ ợ c : - V iết hai báo khoa học - Hoàn thành m ột luận vãn thạc sỹ (đã bảo vệ), sấp hoàn thành tiếp luận vãn thạc sv luận vãn tốt n ghiệp, m ột luận văn tiến sỹ (sắp bảo v ệ) f.T ìn h h ìn h k in h p h í củ a đ ề tài: Đ ã toán sử dụng theo dự định X ác n h n củ a B a n C h ủ n h iệm K h o a GS.TSKH C h ủ trì đ é tài REPORT ON PRỌJECT QT-03-03 I T itle o f P jo je c t :B eh avior of s o lu t io n s of s y s te m s of d iffe r e n tia l E q u ation s an d d iffe r e n c e e q u a tio n s in th e B a n a ch sp a c e o n th e in ffin ite interval and s o m e a p p lica tio n m o d e ls II Pjoject ‘s code: QT 03-03 III Head o f Research Group: Dr Dang Dinh Chau I V Participants: D r H o a n g Q u o c T o a n , D r N g u y e n T h i H o n g M in h , M S c N g u y e n M in h M a n , M S c D u D u c T h a n g , M S c P h am T h i T o N g a B S c M a i N g o e D ie u V T a rg et and co n te n ts: In recen t y e a r s, tharxks to the d e v e lo p m e n t o f in fo r m a tio n t e c h n o lo g y , th e stu d y o f op erator an d the ap p lication in p r a c tic e is im p r o v e d an d g e t s m u ch a c h ie v e m e n t A m o n g th o se stu d ie s, th e th e o r y o f op erator e q u a tio n s h as b e e n re sea rc h e d by m a n y s c ie n tis ts B e s id e s th e q u a lita tiv e stu d y , s o m e q u a n tita tiv e s tu d y as the su p p le m e n ta r y a lso p la y an im p o rta n t ro le in m e e t in s th e d em a n d o f s o lv in g the p ctic a l m a th em a tic is s u e s su c h as: -S tu d y in g N eu ro n n e tw o r k and e le c tr o n ic s n etw o r k -A p p ly to stu d y and s o lv e E c o n o m ic p r o p le m s -A p p ly m a th e m a tic s in E n v iro n m en t p r o b le m s T h e r e ío r e , in th is rep ort, s o m e m a in c o n te n ts is b e in g r e íe r r e d th ro u g h fo llo w in g : -O n th e a sy m p to tic e q u iv a le n c e o f d iffe r e n t e q u a tio n s w ith tim e d e la y in R n s p a c e and in B a n a c h sp a c e -S o m e p rop erties o f d is c u r s iv e n e s s d y n a m ic s s y s te m -S o m e a p p lica tio n s V I S o m e m ain re su lts: a R e se a rch a c tiv itie s: papers h a v e b e e n p u b lis h e d OI' a c c e p te d fo r p u b lic a tio n in in tern a tio n a l Jou m al o f M a th e m a tic a s m a th e m a tic a l jo u r n a ls an d V ie tn a m MỤC LỤC Lời mở đầu Chương Các kiến thức chuẩn bị 1 P h ổ củ a tốn tử tu y ế n tín h lý th u y ế t nửa n h ó m Chương Sự tương đương tiệm cận hệ phương trinh vi phán với đ ố i s ố ch ậ m Sự g iớ i nội n g h iệ m phương trình vi p h ân tu y ế n tín h với b iế n s ố c h ậ m 13 2 Đ ịn h lý L e v in s o n v ề sư tư n g đ n g tiệ m cận c ủ a c c p h n g trình v i phán với b iế n s ố c h ậ m .16 Sư tư n g đ n g tiệ m c ậ n tro n g k h ỏ n g g ia n B a n a c h 2 C hưoìig Hệ động lực sáp đặc biệt M ộ t s ố k h i n iệ m tro n g n h ó m đ ợ c sấ p đặc b iê t Đ in h n g h ĩa hộ đ ộ n g lự c đ ợ c sấ p đ ặc b iệt m ó t vài k h i n iệ m mỏ' đ ầ u .2 ? ? L p c h u v é n đ õ n s tuần h o n lớ p c h u y ể n động p o a tx o n g tr o n đ ó n s lư c đ c sắ p đ ãc b iê t Đ iể m du đ ô n s k h ô n g du đ ổ n g t m T ậ p cự c đ iể m 5 Ó n đ ịn h th eo L y a p u n o v 61 C h o n g P h n ứng d ung ] M n g N e u r o n 64 • D an g D in h Chau and K ie u T h u L inh , O n the a sym p to tic equivalence o f solutions o f the linear evo lu tio n e q u a tio n s , In tern ation al jo u m a l o f e v o lu tio n eq u a tio n s • Nguyen Van Minh and Nguyen Minh Man, O n the a sym p to tic behavior o f solutions o f ne li trai de lay differen ce VNƯ eq ua tio ns, J o u m a l o f S c ien ce M a th e m a tic s - P h y s ic s T X I X , N „3 - 2003 b T rain in g a c tiv itie s: We in stru cted s u c c e s s f u lly m a th e m a tic l d o cto r and m a sters o f m a th e m a tic are g o in g in str u c te d V II F in a n ce T h e P rjoect w as ĩm a n c ia lly su pp orted b y V N U H w ith a total gran t o f 0 0 0 V N D fo r years m a s te r of MỤC LỤC Lời m đáu C hương Các kiến thức chuẩn bị 1 P h ổ c ủ a to n tử tu v ế n tín h lý th u y ết nửa n h ó m Chương Sự tương đương tiệm cận phương trình vi phán với đối s ố chậm Sự g iớ i nội n g h iệ m củ a phương trìn h vi p h án tu y ế n tín h với b iế n s ố c h ậ m 13 2 Đ ịn h lv L e v in s o n v ề sư tư n g đ n g tiệm cận c ủ a c c p h n g trình v i p h ân với b iế n s ố c h ậ m 16 2.3 Sự tương đương tiệm cận tro n g k h ố n g gian B a n a c h 22 C hưong Hệ động lưc sáp đặc biệt M ộ t s ố k h i n iệ m tro n g n h ó m đ ợ c sãp đ ãc b iệ t Đ ịn h n g h ĩa hệ đ ộ n g lự c đ ợ c sắ p đ ăc b iệ t m ô t vài k h i n iệ m mỏ' đ ầ u 28 3 Lớp ch u vên đ ô n s tu ần h o n lớp c h u y ể n đón£ p o a tx o n g tr o n h é đ ộ n s lưc đư ơc đ ăc b iẻ t ' ' Đ iể m du đ ô n s k h ỏ n g du đ ô n g t m T áp cự c đ iể m 5 ó n đ ịn h th e o L y a p u n o v 61 C h u o ĩis P h n ứng dung 3.1 M n N e u r o n 64 MỞ Đ Ầ U N h c ó cá c thành tựu m ới k hoa h ọ c k ĩ thuật ch ú n g ta cà n g n g y cà n g có th ể k hám phá đư ợc n h iều sâu v o n hữ n g b í m ật củ a th ế g iớ i tự n h iên T ron g thời g ia n gần đáy n h iều nhà k h oa h ọ c nhận đư ợc n h iều thành tựu m ới lý th u yết toán h ọ c h iện đại , c ô n g n g h ệ th ô n g tin áp d ụ n e m ộ t cách c ó h iệu v o v iệ c n g h iên cứu n h iều vấn đ ề củ a thực tiễn N h đ ó th ú c đẩy m ộ t cách m ạnh m ẽ phát triển củ a n h iều n gh àn h c ó n g n gh ệ m ới c ó n g n g h ệ tin h ọ c c ô n g n g h ệ sin h h ọ c M ụ c đ íc h ch ín h củ a đề tài c ố g ắ n g tiếp cận nhanh với xu h ớn g phát triển đ y củ a k h o a h ọ c tự n h iên Trên c sở đ ó ch ú n g tói tiến hành g iả i q u y ết m ột sổ' toán m an g tính chất định tính lĩn h vực phư ơng trình vi phân thư ờng h ệ đ ộ n g lực rời rạc Cụ th ể n hữ ng toán n g h iên cứu đ ề tài *Sựtươrig đưcmg tiệm cận phư ơng trình vi p h n với biến s ố chậm *M ột s ố tính chấĩ hệ động lực tvén nhóm N h ữ n g k êì n g h iên cứu củ a toán n ày c ó khả n ãng áp d ụ n g v o m ộ t s ố rình vực k hoa h ọ c kĩ thuật đ ang n h iều nhà k h oa h ọ c quan tâm v í dụ n hư M ạn g neuron thần k in h m ỏ hình m ạn g trí tuệ nhán tạo N ộ i dun g ch ính củ a b áo cá o g m c ó phần : 1.T ron g ch n g ch n g trình bày cá c kết n g h iên cứu v ề tính tương đương tiệm cận củ a phương trình vi phân tu yến tính với b iến s ố ch ậm k h ô n g cian R n tron g k hón í: B anach Đ â y n hữ ng k ết m ới c ó ý n g h ĩa k h oa h ọc rình vực lí th u v ếi định tính củ a phư ơng trình vi phân Ch ươn dành c h o v iệ c n g h iến cứu hệ đ ộ n s lực rời rạc( hệ đ ộ n g lực đặc b iệt) Nhò' phát triển m ạnh m ẽ củ a c ó n g n g h ệ th ôn g tin k ĩ thuật đ iện tử nhữ nc nãm £ần đảv m ột số nghành khoa học giải tích số xử lý tín hiệu số số n s h n h khoa học liên quan nhãn sư quan tám đặc biệt nhà khoa học N hữ ng ván để m ch ú n c quan tám nghiên cứu chươ nc tập bất biến cùa hệ động lưc phân lớp chuyển động tuần hoàn, sư ổn định hệ đ ộ n s lưc rời rạc vấn đế m a n c tính thời cao có nhiéu khả nãnc áp d une vào thực tiễn Thông qua việc sáu ù m hiểu nghiên cún vấn đề c h ú n s tỏi dần dán đến m ục đích cuối ứng du n e kết nchiên cứu trone lí thuvết ph n s trình vi phân hệ động lực tổng quái vào lĩnh vực khác cua khoa học kĩ thuật đời sống h n c nsàv Ch ươn £ dành c h o tìm h iểu đẩu tiên c h ế hoạt đ ộ n g củ a m ạn a thán kinh m ó hình hố thành m ỏ hình tốn học.Đ ổnE thòi c hư ns c ũ n c c ó trình bàv m ột s ố kết q ứng d u n g củ a lí thuyết ổn định củ a phương trình vi phán với b iến s ố ch ậm th eo xu h ótts nói trén T uy n h iên n h ũ ìis n c h iê n cứu củ a phán n y cịn ó m ức khời th ao m an g tính m in h h oạ c ó đ iều k iện ch p hép xa th eo xu h n c n ày c h ú n s tỏi hy v ọ n g đạt đư ợc n h ữ n g kết m ĩ m ãn m c h ú n s tỏi đ an e kv v ọ n e DANG DINH CHAU AND KIEƯ THƯ LINH By Corollary 2.5, in particular, we obtain Levinson’s theorem (see [5]) If X = Rn and ( T ( t ) ) t >0 is a bounded Co semigroup on R n , then (T (t )) t > and (Y (t ,s )t > s CLre asymptotically equivalent T h e a sy m p to tic equ ivalen ce o f lin ear d iffere n tia l eq u atio n s in H ilb ert s p a c e We now consider the asym ptotic equivalence of solutions of diíĩerential equations in case X = H, where H is a H ilbert space We will establish another sufficient conditions for the asym ptotic equivalence of a class of triangle differential equations (see [2], p.9), for which the assum ptions (2.6), (2.7) can be replaced by weaker conditions oo L et { e ị} be a norm alized orthogonal basis of H ilbert space H and X = ^2 xĩel 1=1 elem ent of H T hen, we defỉne projections Pn : H H, n > 1, as follows: n pnx = Ỵ ' x lel 1=1 be a family of projections on H We denote Hn = lmPn.Suppose th a t { n i ,n 2, , r i j , } isa strictly increasing sequence ofn atu ral num bers (rij as j -> +oo) We now consider the following linear differential equations J = —¥ oc ^ p - = Ax(t), (3.1) dt = [A + B(t)\y(t), ^ where A C(H) , B(t) G (3.2) t [0, oo) and oo Ị \\B(T)\\dT < 00 (3.3) In th e following theorem we assume th a t, the right hands of Eq.(3.1) and Eq.(3.2) h a v e a tr ia n g le fo rm ; t h a t is, (A — PmA)Pmx = 0, (3-4) ( B(t) - PmB(t))Pmx = 0, (3.5) Vra G J, Vx H Recall, th a t ( T(t))teR is a Co group generated by A (in Eq (3.1)), (Y(t,s))t>s is strongly continuous evolutionary process generated by A + B(t )(in E q (3.2)) we have following is a uniỊormỉy boundedCo semigroup, then (T(t))t > a.nd ị Y(t s)t>s are asymptotically equivalent T h e o r e m 3.1 ProoỊ For each m e J we denote by (Xm{t))t > a Cosemigroup generated by APm ,and by (Ym{t,s))t>s a strongly continous evolutionary process generated by (A + B(t))Pm By the assum ption, (T(t))t > is uniform ly bounded, we se th a t (Xm(t))t > is a im m ediately com pact,bounded Co semigroup in Hm By the C orollary 2.6, we show th a t, there exist a projection n m : Hm -> Hm and possitive constants a m ,ò m,c m such th at ||nmx m(t)|| < ame_ t’"‘ ,Ví > (3.6) ON T H E A S Y M P T O T I C EQ Ư IVALEN CE O F SO LUTIO N S O F T H E LIN EA R EV O L Ư T IO N EQƯATIONS vteR , ||( /m - n m) x m(í)|| < c m, (3.7) for all m J Let oo J ( I m - n m)X m( í)B (r ) y m(í, r)dr (3.8) Using Lem m a 2.3 we show th a t there exists a positive num ber A = A (a ) (independent of ra) such th a t ■ m II _< a < 1, Vs > A Vra J We now prove th a t {Fm} is converging sequence of operators as m —> oc.Indead, by (3.4) and (3.5) we obtain th a t for all m ,p G J : x m+p(t - s)Pmt = Xm{t - s)Pm£, v00 Q = lim Qrn m —>00 then, Q = I + F Since ||F m|| < Oí < 1, Vra J Vs > A, we have ||F|| < a < 1, Vs > A By the invertibility of Q \ H -ỳ H and uniqueness of solutions of Eq.(3.1) and Eq.(3.2) we deduce th a t the m ap Q is also a bijection between two sets of solutions {x(t)} oĩ Eq.(3.1) and {y(t)} of Eq.(3.2) P u t y0 = Q~ìx0 and consider xịt) = T(t - s)x and y(t) = Y(t,s)y0 T hen we have lim PmVo = yo, m — KX> lim Qmy0 = Qyo = x0 m —* o c D enot x(t;s,x0) = T(t - s)x 0, y(t;s,y0) = Y ( t s ) y We can deduce th a t for any £ > a rb itra ry given there exists 777] J sufficiently large such th a t for all m > m l we ve ||y(í: s, t/o) - y ( t s , p my0)\\ < ||x(í;s,yo) - z(í;s,Ọm!/o)ll < 3' for allf - 5' DANG DINH CHAƯ AND KIEU THƯ LINH O n the other hand, Theorem 2.4 implies ( Xm( t ) ) t > and s))t>s are asymp- to tic a lly e q u iv a le n t.T h e re íị re , th e re e x is ts To € (s, oo) s u c h t h a t for all t > T0 we have \\x(u 5,QimVo) y(t;stPmiyQ)\\ ^ ’ thus, ||y(í; s, y0) - x{t\ s, x0)|| < IIy(t; s y0) - y(f; s, P m, Ị/o)|| + + ||y (í,s,P miyo) + IIx(t;s.Qmiyo) - A-(í;s,j:0)|| -3 + + =£’ V í ^ T° ^ s ’ for each suíĩiciently large > This implies th a t lim ||z(t;s,x0) - y(í;s, yo)|| = t — *O G It m eans (T(£))t >0 and Y(t,s)t >9 are asym ptotically equivalent and the theorem is proved □ By the sam e m ethods as used in proof of Theorem 3.1, we obtain the following corollary Assume that A G L(H) is a compact self-adjoint operator and (T(t))t > is a bounded u n iỊo rm ly Co Semigroup then ( T (t )) t >0 and Y (t ,s )t > s are asymptotically equivalent REFERENCES [1] W A r e n d t, R N a g e l, S p in g e r V erlag, O n c -p a m e tte r S e m iy r o o p s o f p o sitiv e O perators 2001 [2] D a n g D in h C h a u , O n th e a sy m p o tic equivelence o f lin e a r d iffir e n tia l e q u a tio n s in H ilbert spaces, V ie tn a m n a tio n a l U n iv ersty, H anoi, J o u rn a l o f Science M a th -P h y s.(2 0 ),.V o , 8-17 [3] J K at.o , T h e a syrrip to tic eq uivalence o f Ịu n c tio n a l o f d iffe r e n tia l e q u a tio n s, Diff Eq (1 9 ), 306-332 [4] X G K re in ,L in e a r eq u a tio n d iffe r e n tia l in B a n a c h space, "N a y k a " Mosscovv, 1967 [5] N L e v in so n , T h e a s y m p to tic b ehavior o f s y s te m s o f lin e a r d iffe r e n ta l equ a tio n s A m e r J M a th , ( 1946),1-6 [6] J M ik lo , A s y m p to tic rela tio n sh ip betiveen s o lu tio n o f tw o lin e a r d iffir e n tia l sy ste m s B tis la v a M a th e m a tic a B o h em ica (1 9 ), 163-175 [7] T N a ito ,N g u v e n V an M in h a n d J s S hin, N ew S e ctra l C n t e n a Ị o r A lm o s t p e n o d ic S o u tio n s o f E v o lu tio n E q u a tio n s S tu d ia M a th e m a tic a (2001),97-111 [8] N g u y e n T h e H o a n , S o m e a s y m p to tic behaviors o f s o lu tio n s to Tion-linear s y s te m o f d iffe re n ttia l e q u a tio n s J D iff.E q (1 ), N o 4, 385-360 (R u s sia n ) [9] A P az y , S e m ig ro u p s o f L in e a r O p erators a nd A p p lic a tio n s to P a r tia l D iffir e n tia l EquatiO ĩis, S p rin g e r-V e rla g , B erlin - N ew Y ork 1983 [10] E v V o sk o rese n sk i, A s y m p to tic equivaỉcnce o f s y s te m s o f d iffe r e n tia l e q u a tio n s ,P ro g re ss of M a th e m a tic S c ie n c e s,5 (1 ),C ,N o (1 ),(Y M H 1985,T B C 249-250) (R u ss ia n ) D epartment of M ath em a tic s, H a n o i ƯN1VERSITY OF S c i e n c e 3 N g y e n T rai H a n o i, VlETNAM E -m ciil a d d r e s s : chauddQ vnu e d u C en t r e for E du ca tio n T echnology - C G D , L ie u G i a i B a D i n h H a n o i \ ie tn a m V Ể s ự T Ư Ơ N G Đ Ư Ơ N G T I Ệ M CẬN C Ủ A C Á C P H Ư Ơ N G T R ÌN H VI P H Â N T U Y Ế N T Í N H V Ớ I B IẾ N s ố C H Ậ M P h m T hị T ỏ N ga, Đ ặ n g Đình C h áu Trường Đ H K H T N - Đ H O G Hà N ội Tóm tát Trong bùi báo chúng tơi trình bàv sô mở rộng cùa dịuli li Lưvinson cho trường hợp phương trình VI phán với biến sổ chậm kliôiiỊỊ ỳ u n Banucli I Giới thiêu Trong khống gian Banach X xét phươna trình vi phàn dana (0.1) (0 ) dâv: / : R~ X X — X;c/ : R _ X X — X thoa mãn điéu kiện đè phươns tinh vi phàn (0.1) (0.2) có nghiệm duv tồn cực Chúng ta nhắc lại ràng cịng trình [8] đưa khái niệm vé sư tươna đưưna tiệm cận phương trình vi phàn sau: Hai phương trình (0.1) (0.2) 2ỌÍ tương đương tiệm cận với nshiệm x(t) (0.1) đéư tổn nshièm vít) cua (0.2) cho lim \\y(t) — r(í )ịI = nsược lại Việc nshiẽn cứu tính tươnợ đươns tiệm cận t—►+3C cùa phuơns trình vi phàn tốn có V năhĩa quan trọna trons lí thuyết đinh tính phương trình vi phàn ứng dụng rộng rãi tron2 thưc tiễn Kết qua đáu tiên vé tương đương tiệm cặn phưcns trình vi phân N.Levinson cịns bố trons [8] vào nãm 1946 Sau nhiều nhà tốn học khác mớ rơns phát triển theo nhiều hướng khác (xem [1] [3], [4] [5], [6] [7] [9] [10] [11]) Tronơ báo chúng tơi trình bày số kết mớ rộn2 đinh lí Levinson (xem [8]) cho phương trình vi phàn tuyến tính với biến số chàm khỏns aian Banach Đàv vấn đé mang tính thời sự, nhiều người quan tâm Những kết n ơhièn cứu lĩnh vực áp duns irons lí thuyẽt mang nevvron thần kinh mỏ hình trí tuệ nhàn tao (xem [2]) II K ế t q u c h in h Tronơ khònơ ơian Banach X xét hai phươn2 trinh vi phàn tuyên tính dx{t) —— = Ax(t ), dt L ( ) dy(t) Trong x , y e X; - h < Tk = Ay(t ) + ụ < 0, (k = 1,2, Bk{t)y{t + rk) t (0.4) > 0; s Z(X) £;.(.) : ' : - o c ) -+ L(X),(k=l,2, ,q); liên tục, thoả mãn điều kiện (0.5) Kí hiệu: X ( t ) toán tứ Caưchy cùa (0.3) N ( t , r ) toán tử giải G iả sứ ọ(t) h m li ê n tục trê n [—/i;0Ị (0.4) dự a th e o p h n p h p c h ứ n e minh [IX ,] dẻ dàng chứng minh kết sau: Định lý 0.1 V ới hàm liên tục ậ(t.) cho trước, phưcmg trình (0.4) tơn rụi nlt nghiệm xác địnli trẽn [—/?.; -fccj, rliod mãn xịt) = ọ ( t ) Ạt € —h: 0j) Định lý 0.2 Giá sứ diếu kiện (0.5) tho mãn kiìi dó i|.Y(í)| < M thi X i t r ) lừ toán tử giới nội Sư tương đương tièm cận cùa phương trình vi phàn với bien số chàm không gian R rỉ Trong phần chúna ta giả thiết X = R n Bổ đé 0.3 Giả sứ ị|A'(í)ị| < +OC X ( t ) ln có tliẻ viết dạng X í t ) = Ư(t) + V( t ) i|L'(í)ị| < M e~ ut với t > 0,- ||V'(í):| < rn với Ví G R đáy M m.'jj lủ sô dương Chừng minh VI theo giả thiết X ( t ) € B C { Í0: —3c); M n[R)) nèn ta có ’A'(í)ịị < +OC áp dụni7 hệ 2.11 trang 13 [15] ta suy tất 2Ìá trị riẽns cùa thoả mãn R e \ j ( A ) < ơiá trị riêng Aj có phán thưc khịng đểu giá trị riêng đơn ( tức ỏ Jordan tương ứng với A có cỡ bầna 1), Hơn X ị t ) nứa nhóm liên tục áp dung định lí ánh xạ phổ ta suy ra: ơ{eA) c {A £ c :| A < 1} Già sử ơ( e A) = i { J -2 Ác=l ^ /‘-ỉ-oc Xo = yo + ụ V{to - à) ^ Jtữ B k(s).\ (.5 - Tjt t[j)y,jì k=l Khi có y(t) = X ( t —ío)xo+/.t / (t — s) ^ ío r+oc q ' £>;-(.s)/y(.5 — 7; fc=i í/.i / ^ ( t — £ ) ^ " -ổ A: ( ) y (-5 — T; ' ^ fc= l lúc nàv nghiệm x(í) phươno trình (0.3) với điéu kiện x! Vi •V c ó X (í — ío)xoXét hlêu ỉ/ơ) x{t) =ịi ( t - s) / ^ q B k(.ỉ)ìj{s - Tk )ds fc=i r—oc V - u / V ị t — s) £ B : X lừ toán tử khả ngược với to đủ lớn Nhờ bổ đề 0.6, hệ 0.10 sử dụng phươna pháp chứna minh hoàn toàn tươns tự chúng minh định lí 0.4 nhận kết sau: Định lý 0.8 Nêu X ị t ) tlioú mãn điêu kiện cùa bó dè 0.6 diêu kiện (0.5) dược thỏa mãn cúc phươngtrình (0.3) (0.4) rương dương tiệm cận Sau đâv chúng tòi xin trinh bàv số áp dụng cùa kết trẽn mỏt sò trườn2 hợp cụ thế: Hệ 0.9 Giá sử diéit kiện (0.5) dược thỏa mãn (X ■ '•>!, lừ nửa nhỏm c c t o n tử c u m p a c t , g iớ i n ộ i h a i p h n g t rìn h (0 ) v iO A ) lù n a n VỊ d n g tiệ m c ậ n Chứng minh Do (X(t.))t>0 nửa nhóm tốn tưcompact 2ÍỚÍ nội nén tập phổ cr(X' < - ' tập dèm dược, đồns thời ta có n,Q, trono À’ r - t()) - X * f,, ,1 < 2.1/,) 4-V/o với Ví i?- ( N( t , to) lù toán từ giải (0.4)), A0 = ịj(t) = N { t t o ) l nahiẽm cùa (0.4) thoả mãn điều kièn Aj A } = rl- rl - H Hơn Ao < nên ta ln tồn số T > t.j cho vớimọi ỉ > T ta có \ \ [ X ( t - t o ) - N ( t t o ) } P n ưẸ \ \ < ị Như với Ví > T ta có \\y{t.) - •c(í)il = \\X{t - t0)Z - Vụ, í0)^j| - IIX ( t - t o ) - Pn0)Ẹ - -V t ty,ì ỉ - p , í < - l + 2'V/o— 4.1/0 = e Tức lun ||x(í) - y(í)|| = t—fCc Hay(0.3) (0.4) _ , tươns đươngtiệm cận - V í du Tronơkhòns 2ian 1-2 xét sựtươna đươna tiệm cặn hai phương trinh vi phân dạng: ị dt = Ax ^ = Ay(t ) dt Trong - h < r < 0: t > to > 0: X, y € ụ Ma tràn A có dạng: = di agi Ai , ) , 4,, .) (0.11) (0.12) Với An ma trận cấp có dạng: ^- 10 l o o\ ^ l V Khi tốn tử Cauchy X( t ) cúa (0.11) có dạng X ị t ) = diag{AV A'j Với (e x n= 00\ 0c o s - V0 -sin - n Tì Slĩln CO*n I Nhận thấy X ( t ) = di ag( L\ ( t ), 2{ t ) , n(t ) , ) + diag(\ \{t) VẠt) (e~l ưn = v; = o\ 0 0 /o \ n[t) ) đâv: 0 c o sị ũ °/ \ — sm ■ - C04 y Dễ dàng nhận thấy IIí/(í) II < e_t với Ví R ~ ỊVr(í)!ị < m < với Ví R Vậv phương trinh (0.11) thoả mãn điều kiện định lí 0.8 Nếu Bí t ; thoa mãn điêu kiện / 0+o° \\B[t)\\dt < +OC (0.11) (0.12) tươns đươna tiệm cận Lời kết Trên số mờ rộng cụ thể định lí Levinson cho trườns hợp phươn2 trình vi phân tuyến tính vơí biến số chậm, kết cịn mờ rộna cho trườns hơp phương trinh vi phàn với biến số chàm có nhiễu phi tuyến trườns hơp phương trình vi phàn (0.3) có ma trận hệ số A=A(t) (A hàm t) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Cooke K.L.1967, Asymptotic theory fo r tlie delay- differenihiỉ ecỊimhons J.Math.Analysis and Appl 19,1,160-173 [2] C.M Macrcus, F.R Waugh, and R.M, VVestevelt, Nonhiiear clvnamics íincl Sỉabilưx o f analog neural networks, Physica D 51 (1991 ).pp 234-247 [3] Dang Dinh Chau On the asymponc equivelence o f linear diffiren!ial ecỊiuitìons in Hilbert spaces Vietnam national umversty, Hanoi Joumal of Science MathematicsPhysics N q2 —2002.pp 8-17 [4] G.Eleutheriadis, M.Boudourides, On the problem o f cisxmptotic ec/uivalence o f orclinary diffirential equation, Ital, J Pure Appl Math 4(1998) p 61-72 [5] E.V.Voskoresenski Asymptotic eqitivalence o f sxstems o f dijfereiuii.il equơtions Res o f m a t h e m a t ic S c ie n c e N ( ) [6 ] K a t o J , 9 T h e a s y m p t o t i c e q u i v a l e n c e o f / u n c t i o n a l d i f f e r e i i t t ú i l e í Ị i u i t i o n s J d ií'- ferenttial Equat.1,3, 306-332 [7] Nguven The Hoan, 1975, Asymptotic equivaỉence o f sxstems o f differenĩial ec/naiions IZV.Acad Nauk ASSR N02, 35-40 (Russian) [8] N.Levinson (1946), The asymptotic behavior o f systems o f ỉinear differentul equcitions Amer.J.Math, 63 p.1-6 [9] Nauyen Van Minh, ỉntroduction to the Asymptotic Behavìor o f Differential Equations in Banach Spaces (2002) [10] M.Svec, Itegral and asymptotic eqưivelence o f two systems o f diffrenỉial equarions Equađiff Proceedings of the fifth Czechoslovak conữece on diffirencial equations and Theư Application held in Bratislava 1981, Teubner Leipzig, 1982 p 329-338 [11] Choi kvu Sun" Hoe Goo Yoon Jip Koo Nam Asymptoĩic equivalence benveen to linear cliffirentiơl svstems, Ann Differ Equation, 13(1997), 44-52 [12] K.G Va Leep O.A Raoutukov, Inỳĩnỉte sxstem o f diffirential equations Scienús publishing house Anma-Ata 1974 10 PHIẾU ĐÁNG KÝ KẾT QỦA NGHIÊN cứu KHOA HỌC CỒNG NGHỆ Tên đề tài: Dáng điệu nghiệm phương trinh vi phân phươns trình sai phàn khổng gian Banach Ithoảna vô hạn sô mỏ hình ứns duns Mã số: QT03.03 Cơ quan chủ trì để tài: Trường Đại học Khoa học Tư nhiên, ĐHQG Hà Nội Địa chỉ: 334 Nguyễn Trãi - Thanh Xuản - Hà Nội - Tel: 8585277 Cơ quan quản lý đé tài: Đại học Quốc gia Hà Nội Địa chỉ: 144 Xuân Thuỷ - Cầu Giấy - Hà Nội - Tel: 8.340564 i Tổng kinh phí thực chi từ ngần sách Nhà nước: 15.000.000đ Thời gian nghiên cứu: năm Thời gian bất đầu: 2003 Thời gian kết thúc: 2004 Tên cán phối hợp nghiên cứu: T.s Hoàng Quốc Toàn Thạc sỹ Nguyễn Minh Mẫn T.s Nguyễn Thị Hổng Minh Thạc sỹ Dư Đức Thắng Cử nhân Mai Ngọc Diệu Thạc sỹ Phạm Tố Nga Sô' đăng ký đề tài Ngày: SỐ chứng nh ận đán g ký Bảo mật: a Phổ biến rộng rãi: X kết nghiên cứu t b Phổ biến hạn chế: c Bảo mật Tóm tắt kết nghiên cứu: Đã hoàn thành nghiên cứu vể lý thuyết theo đề án dự định: - Sự tương đương tiêm cận phương trình vi phân khỏns gian Banach với biến số chậm - Nghiên cứu tính chất cùa hệ động lực nhóm đặc biệt - Áp dụng kết nghiên cứu cho số mỏ hình thực tế như: mạng Nevvron thần kinh trí tuệ nhân tạo, sơ' tốn kinh tế sản xuất nơna nshiệp v.v - Hoàn thành luận văn thạc sĩ (đã bảo vệ), chuẩn bị hoàn chành tiếp hai luận vãn thạc sĩ luận văn tiến sĩ - Viết gửi đáng hai báo khoa học Kiến nghị quy mô đối tượng áp dụng nghiên cứu: Các kết nghiên cứu sử dụng việc giảng dạy chuvèn đé cho sinh viên, cho cao học, đồng thời tiếp tục nghiẻn cứu để triển khai theo hướns ứng dụng Họ tên: Học hàm, học vị Chú nhiệm đé tài Thù trường quan chủ trì đề tài Chủ tịch Hội đổns đánh giá thức Đặng Đinh Châu ĩr a lĩ /VỹỂ/ P ỉvụ n t c ũ / h j >