Phương trình sai phân ẩn phi tuyến với kỹ thuật tuyến tính hóa : Luận án TS. Toán học: 62 46 30 01

Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu sử dụng luận án Mở đầu CHƯƠNG Lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính ẩn số 12 1.1 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân tuyến tính 12 1.2 Lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính 14 1.3 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại số tuyến tính số 15 1.3.1 Phương trình vi phân đại số tuyến tính số 15 1.3.2 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại số tuyến tính số 17 1.4 PTSP tuyến tính ẩn số 19 1.4.1 Khái niệm số 19 1.4.2 Các tính chất PTSP ẩn tuyến tính số 23 1.5 Lý thuyết Floquet 27 1.5.1 Định lý Kronecker 27 1.5.2 Định lý Floquet 33 1.5.3 Định lý Lyapunov 35 1.6 Áp dụng cho PTSP tuyến tính ẩn có chậm với hệ số tuần hồn 42 CHƯƠNG PTSP tựa tuyến tính ẩn 45 2.1 Một số định lý tồn nghiệm 45 2.1.1 Trường hợp phần tuyến tính có số 45 2.1.2 Trường hợp phần tuyến tính tựa số 53 2.2 Giải gần tốn Cauchy cho PTSP tựa tuyến tính ẩn 61 2.3 PTSP tựa tuyến tính ẩn tuần hồn 69 2.3.1 Phương trình vi phân đại số tựa tuyến tính tuần hồn 69 2.3.2 PTSP tựa tuyến tính ẩn tuần hồn 71 CHƯƠNG PTSP phi tuyến ẩn số 77 3.1 Phương trình vi phân đại số phi tuyến số 77 3.2 PTSP phi tuyến ẩn số 78 3.3 3.2.1 Khái niệm số 78 3.2.2 Một số tính chất PTSP phi tuyến ẩn số 80 Bài toán Cauchy cho PTSP phi tuyến ẩn số 82 3.3.1 Nguyên lý đồng phôi Hadamard 82 3.3.2 Tính giải tốn Cauchy cho PTSP phi tuyến ẩn số 82 3.4 Sự ổn định nghiệm PTSP phi tuyến ẩn tuần hoàn 88 Kết luận chung 96 Danh sách báo công bố 97 Tài liệu tham khảo 98 Danh mục ký hiệu sử dụng luận án R(C) : trường số thực (phức) Rm (Cm ) : Rm×n (Cm×n ) : khơng gian véctơ thực (phức) m chiều khơng gian ma trận thực (phức) kích thước m × n Ik (I) : Ok×s : ma trận đơn vị kích thước k × k (k = m) ma trận khơng kích thước k × s Ok (O) : ma trận khơng kích thước k × k xT : L(Rm ) : ma trận (véctơ) chuyển vị x khơng gian ánh xạ tuyến tính Rm C(X, Y ) : không gian hàm liên tục từ X vào Y ker A : imA : nhân A ảnh A rankA : hạng A det A : dim W , dim(W ) : định thức A số chiều không gian W span{u, , v} : không gian sinh véctơ u, , v x y i = k, s : Pcan (t) : (k = m) z , x, y, , z : ma trận cột tạo véctơ x, y, , z i nhận giá trị tự nhiên từ k đến s phép chiếu tắc từ Rm lên S(t) song song với ker A(t) 0: véc tơ không không gian tương ứng xét ind: số {A, B} : ⊕: cặp ma trận tổng trực tiếp Re(z): phần thực số phức z PTSP: diag( ): phương trình sai phân ma trận đường chéo khối Mở đầu Trong năm gần đây, phương trình sai phân (PTSP) ẩn đối tượng nhiều nhà nghiên cứu quan tâm xuất nhiều lĩnh vực khác toán học thực tế ứng dụng PTSP thường xuất lý thuyết xác suất, toán hàng, nghiên cứu mạch điện, toán thống kê, kinh tế, xã hội (chẳng hạn mơ hình kinh tế Leontief, mơ hình phát triển dân số Leslie), toán điều khiển tối ưu hệ suy biến rời rạc, v.v (xem [20, 21, 25]) Mặt khác, PTSP ẩn kết tự nhiên thu từ việc rời rạc hóa phương trình vi phân đại số, phương trình đạo hàm riêng đại số, đối tượng quan tâm nghiên cứu nhiều năm gần (xem [20, 21, 23, 33, 35-37, 40-42]) Cho đến nay, PTSP ẩn tuyến tính với hệ số dạng Axn+1 + Bxn = fn , A ∈ Cm×m suy biến, nghiên cứu tương đối đầy đủ tổng kết [20, 21, 25] Theo [20, 21], toán giá trị ban đầu cho PTSP tuyến tính (tức fn = 0) có nghiệm tồn λ ∈ C cho λA + B không suy biến ˆ = ν, dim(imAˆν ) = k Aˆ Theo đó, Aˆ := (λA + B)−1 A có ind(A) có biểu diễn Aˆ = T diag(C, N )T −1 , C ∈ Ck×k ma trận không suy biến N ma trận lũy linh ˆ PTSP ban đầu phức kích thước (m − k) × (m − k) với ind(N ) = ind(A) đưa dạng tương đương diag(C, N )yn+1 + diag(I − λC, I − λN )yn = Theo cách phân tích trên, tác giả đưa công thức tường minh cho nghiệm tổng quát tốn giá trị ban đầu phương trình nhất, điều kiện tồn nghiệm, công thức nghiệm tốn giá trị ban đầu cho phương trình không Các kết tồn nghiệm thiết lập cho toán điều khiển rời rạc xk+1 = Axk + Buk , k = 0, N − Đồng thời, kết thu từ PTSP suy biến hệ số áp dụng để khảo sát toán mơ hình kinh tế đa mục tiêu Leontief (xem [20, 21, 25]) Tuy nhiên, kết mở rộng trực tiếp cho PTSP ẩn tuyến tính với hệ số biến thiên Nhóm nghiên cứu M Benadbdallakh A G Rutkas quan tâm đến PTSP dạng Axn+1 + Bxn = fn không gian Bannach thu số kết định áp dụng khai triển tiệm cận để khảo sát phương trình, đưa lời giải cho toán giá trị ban đầu (xem [13, 14]), nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình từ đặc tính phổ cặp toán tử {A, B} A, B tốn tử tuyến tính đóng khơng gian Bannach Từ đưa định lý ổn định nghiệm phương trình tựa tuyến tính (xem [15]) Axn+1 + Bxn = ψn (xn ) Các toán điều khiển suy biến rời rạc với hệ số Exk+1 = Axk + Buk , yk = Cxk + Duk , tốn có nhiễu Exk+1 = (A + ∆A)xk + (B + ∆B)uk , yk = Cxk + Duk , tốn có trễ Exk+1 = Axk + F xk−d(k) + Buk , yk = Cxk + Duk , tốn vừa có nhiễu, vừa có trễ tương ứng nhiều tác giả quan tâm Q L Zhang, W Q Liu, David Hill, X Z Dong, X Ji, H Su, J.Chu, S Ma, Z Cheng, C Zhang, Liyi Dai, Shengyuan Xu, v.v (xem [24, 26, 43] tài liệu tham khảo đó) Nhiều kết PTSP suy biến với hệ số thiết lập, mở rộng cho PTSP có trễ [38] Những kết chưa mở rộng, phát triển cho PTSP suy biến với hệ số biến thiên Nói cách khác, PTSP tuyến tính ẩn với hệ số nghiên cứu kỹ lưỡng, kết nghiên cứu PTSP ẩn với hệ số biến thiên chưa nhiều Nhóm nghiên cứu Bondarenko A G Rutkas quan tâm tới lớp PTSP ẩn với hệ số biến thiên dạng đặc biệt Tn xn+1 + xn = fn , Tn ma trận suy biến với n Họ đưa số kết tính giải toán giá trị ban đầu toán biên tuần hồn cho dạng phương trình (xem [17, 18, 19]) Như đề cập đến trên, phương trình vi phân đại số đối tượng đặc biệt quan tâm năm gần PTSP ẩn kết tự nhiên thu rời rạc hóa phương trình vi phân đại số Vì thế, bắt đầu nghiên cứu đề tài chúng tơi hi vọng thu kết tương tự biết phương trình vi phân đại số Một kỹ thuật nghiên cứu phương trình vi phân đại số nói chung phương trình vi phân đại số số nói riêng kỹ thuật đưa phương trình vi phân đại số số dạng chuẩn tắc Kronecker Weierstrass Nói cách đơn giản đưa phương trình vi phân đại số số hệ kế thừa gồm phương trình vi phân thường phương trình đại số tuyến tính Đối với phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng, cho cặp ma trận {A, B}, dạng Kronecker - Weierstrass phương trình định nghĩa thông qua dạng Kronecker - Weierstrass cặp ma trận sau: Định nghĩa ([33], tr 197) Nếu tồn cặp ma trận khả nghịch P, Q thỏa mãn A = P diag(Ir , U )Q B = P diag(W, Im−r )Q U ma trận lũy linh {diag(Ir , U ),diag(W, Im−r )} gọi dạng Kronecker - Weierstrass cặp {A, B} Theo đó, dạng Kronecker - Weierstrass phương trình vi phân đại số tuyến tính số Ax (t) + Bx(t) = q(t) diag(Ir , Om−r )¯ x (t) + diag(W, Im−r )¯ x(t) = q¯(t) x(t) = Q¯ x(t), q¯(t) = P q(t) Dạng chuẩn tắc Kronecker -Weierstrass phương trình vi phân đại số tuyến tính số với hệ số mở rộng cho phương trình vi phân đại số với hệ số biến thiên (trình bày tóm tắt Chương 1) Trên sở đó, nhiều kết nghiên cứu phương trình vi phân đại số thiết lập [33, 36, 37, 41, 42] Từ cuối năm 90 kỷ 20 nay, nhóm nghiên cứu GS TSKH Phạm Kỳ Anh GS TS Nguyễn Hữu Dư dành nhiều thời gian nghiên cứu PTSP ẩn thu số kết định (xem [1-3, 5-12, 27-29, 39]) Khái niệm số PTSP tuyến tính ẩn với hệ số biến thiên dạng Anxn+1 + Bn xn = qn giới thiệu [11, 28, 39] tính giải toán giá trị ban đầu toán biên nhiều điểm nghiên cứu [2, 5-10, 39] Sau đó, [10], khái niệm số mở rộng cho PTSP phi tuyến ẩn dạng fn (xn+1 , xn ) = Hơn nữa, [1, 2, 12, 39], khái niệm tựa số số lạ cho PTSP ẩn thiết lập Theo [5, 8], áp dụng công thức Euler cho phương trình vi phân đại số tuyến tính số 1, ta thu PTSP tuyến tính ẩn số Hơn nữa, nghiệm toán giá trị ban đầu toán biên hai điểm hệ rời rạc hội tụ tới nghiệm tốn liên tục tương ứng Thêm vào đó, theo [11], PTSP tuyến tính ẩn số đưa dạng chuẩn tắc Kronecker - Weierstrass PTSP tuyến tính ẩn tuần hồn với Bn khơng suy biến tương đương với PTSP tuyến tính ẩn với hệ số Lý thuyết Floquet, lúc đầu thiết lập cho phương trình vi phân tuyến tính (xem [22, 32]), sau xây dựng cho PTSP tuyến tính (xem [4, 34]), phương trình vi phân đại số (xem [36]), mở rộng cho PTSP tuyến tính ẩn (trong [11]) Từ khảo sát tính ổn định nghiệm PTSP ẩn số 1, tuyến tính, tựa tuyến tính phi tuyến, đặc biệt cho lớp phương trình tuần hồn Phương pháp hàm Lyapunov áp dụng cho PTSP tựa tuyến tính ẩn [9] Cơng thức tính bán kính ổn định nghiệm hệ PTSP tuyến tính ẩn số với hệ số có nhiễu đưa [29] Ngồi ra, PTSP ẩn tuyến tính ngẫu nhiên A(ξn )X(n + 1) = B(ξn )X(n) + qn , n ∈ N, {ξn : n ∈ N} dãy độc lập phân phối với giá trị không gian Polish nghiên cứu [27] Luận án nghiên cứu PTSP ẩn phi tuyến dạng fn (xn+1 , xn ) = (0.1) đó, fn : (y, x) ∈ Rm × Rm −→ fn (y, x) ∈ Rm khả vi có đạo ∂fn suy biến Một cách tự nhiên, dùng công cụ, hàm riêng ∂y phương pháp sử dụng nghiên cứu phương trình vi phân đại số để khảo sát PTSP ẩn Cụ thể thiết lập số điều kiện cho tính giải nghiệm tốn giá trị ban đầu, tính ổn định nghiệm phương trình tuần hồn Hơn nữa, chúng tơi dùng kỹ thuật tuyến tính hóa viết lại phương trình phi tuyến (0.1) dạng ∂fn ∗ ∗ ∂fn ∗ ∗ (yn, xn )xn+1 + (y , x )xn + hn(xn+1 , xn ) = (0.2) ∂y ∂x n n Như vậy, với việc khai triển hàm fn lân cận (yn∗ , x∗n ) cố định đến hết cấp 1, hàm fn viết lại thành tổng phần tuyến tính phần dư phi tuyến Do đó, để nghiên cứu phương trình phi tuyến đưa ban đầu, trước hết khảo sát PTSP ẩn tuyến tính (trong Chương 1) Sau đó, PTSP ẩn tuyến tính có cộng thêm phần phi tuyến nhỏ (gọi PTSP ẩn tựa tuyến tính) nghiên cứu Chương Cuối cùng, Chương 3, sử dụng kết thu với PTSP ẩn tuyến tính để khảo sát PTSP ẩn phi tuyến tổng quát (0.1) Luận án viết dựa ba báo đăng [10, 11, 12] vài kết áp dụng từ báo Luận án gồm có mở đầu, kết luận chung chương phân bố sau: Chương Lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính ẩn: Trong chương này, đưa định nghĩa số 1, dạng chuẩn tắc Kronecker - Weierstrass xây dựng lý thuyết Floquet cho PTSP ẩn tuyến tính (trong [11]) Áp dụng kết thu cho toán Cauchy PTSP tuyến tính ẩn số PTSP tuyến tính ẩn có trễ tuần hồn số Điều kiện ổn định nghiệm PTSP ẩn tuyến tính tuần hồn số thiết lập Chương PTSP tựa tuyến tính ẩn: Đưa khái niệm số tựa số Chứng minh số định lý tồn nghiệm cho 10 toán giá trị ban đầu PTSP tựa tuyến tính số tựa số Đưa phương pháp giải gần tốn giá trị ban đầu cho PTSP tựa tuyến tính số (trong [12]) Đồng thời, áp dụng kết thu Chương để khảo sát tính ổn định nghiệm PTSP tựa tuyến tính ẩn số tuần hoàn Chương PTSP phi tuyến ẩn : Đề xuất khái niệm số cho PTSP phi tuyến ẩn Thiết lập tính giải nghiệm toán giá trị ban đầu (trong [10]) Phần cuối chương khảo sát tính ổn định nghiệm PTSP phi tuyến ẩn số tuần hoàn Trong việc khảo sát PTSP phi tuyến ẩn, kỹ thuật tuyến tính hóa sử dụng triệt để Khái niệm số phương trình, tính chất ổn định nghiệm, tồn nghiệm toán Cauchy cho PTSP ẩn phi tuyến thiết lập thơng qua khái niệm tính chất tương ứng cho PTSP ẩn tuyến tính thu phương pháp tuyến tính hóa Như vậy, kết PTSP ẩn tuyến tính thu Chương tảng cho việc nghiên cứu PTSP ẩn tựa tuyến tính phi tuyến chương Ngoài ra, phần kết PTSP tựa tuyến tính ẩn Chương mở rộng cho PTSP ẩn phi tuyến trình bày Chương Luận án hoàn thành Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Các kết luận án báo cáo Xêmina "Phương pháp giải phương trình vi phân" Khoa Tốn Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, chủ trì GS TSKH Phạm Kỳ Anh, Xêmina "Các phương pháp ngẫu nhiên giải tích số" Hội Ứng dụng tốn học, chủ trì GS TS Nguyễn Quý Hỷ Một phần kết luận án báo cáo Hội nghị Khoa học Khoa Toán - Cơ - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên năm 2006 Các kết luận án tổng kết báo tổng quan [6] báo cáo Hội nghị Toán học Toàn quốc 2008 Qui Nhơn 11 Chương Lý thuyết Floquet cho PTSP tuyến tính ẩn số Định lý Floquet dạng chuẩn ma trận nghiệm thiết lập cho phương trình vi phân, sau mở rộng cho PTSP, phương trình vi phân đại số, phương trình vi tích phân, Trong chương này, lý thuyết Floquet xây dựng cho PTSP tuyến tính ẩn Trước hết, nhắc lại nét lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân tuyến tính [22], PTSP tuyến tính [34] phương trình vi phân đại số tuyến tính [36] 1.1 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân tuyến tính Lý thuyết Floquet phận lý thuyết phương trình vi phân thường, nghiên cứu nghiệm phương trình vi phân tuyến tính dạng x (t) = A(t)x(t), (1.1.1) A : R −→ Rn×n hàm liên tục, tuần hoàn với chu kỳ T Định lý lý thuyết Định lý Floquet Nó cho ta dạng chuẩn ma trận nghiệm bản, đồng thời đưa phép đổi biến hàm tuần hồn, cho phép đưa hệ phương trình vi phân tuyến tính tuần hồn hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số Định lý phát biểu sau 12 H(z) = hn (Vn h1ω1 , un + Vn−1 h2 ω2 ) = hn(u, un + v), đó, u := Pn xn+1 , v := Qn−1 xn , un := Pn−1xn −1 ω1 := h−1 Vn u, z = ω1T , ω2T T = −1 ω2 := h−1 Vn−1 v, −1 h−1 Vn u T −1 , h−1 Vn−1 v T T Theo chứng minh Định lý 3.3.2, với αn = βn = ta có Qn = Pn = Vn = h1 = h2 = 1, √ [T (z)]−1 2γn Mặt khác, theo giả thiết iv/, ta có, H(z) liên tục Lipchitz với số √ Ln 2γn Ln < Do đó, theo Định lý đồng phôi Hadamard, F (z) = T (z)+H(z) đồng phôi từ Rm vào Rm Vậy tốn (3.2.1), (3.3.2) có nghiệm Hệ 3.3.4 Giả sử fn (y, x) = An y+Bn x+hn (y, x), An , Bn ∈ Rm×m hn : Rm × Rm −→ Rm thỏa mãn điều kiện sau: i/ rankAn ≡ r ma trận Gn = An + Bn Qn−1,n không suy biến với n 0, Qn−1,n tốn tử nối ker An−1 ker An , A−1 chọn thỏa mãn ker A−1 ∩ S0 = {0}; ii/ hn (y, x) hàm khả vi liên tục, với mọin 0, với y, x, y¯, x¯ ∈ Rm , ∂hn (y, x), ker An ⊂ ker ∂y hn(y, x) − hn (¯ y, x¯) Ln ( y − y¯ + x − x ¯ )1/2 √ Khi đó, Ln G−1 < 1/ tốn Cauchy (3.2.1), (3.3.2) có n nghiệm 3.4 Sự ổn định nghiệm PTSP phi tuyến ẩn tuần hoàn Trong phần này, xét ổn định nghiệm PTSP phi tuyến ẩn tuần hoàn số Xét phương trình (3.2.1), fn hàm khả vi liên tục thỏa mãn điều kiện sau: 88 • Phương trình (3.2.1) có số 1, nói cách khác (3.2.1) thỏa mãn: ∂fn ∂fn (y, x) phụ thuộc n Đặt Nn = ker (y, x), ∂y ∂y dimNn = m − r, r m − ∀n 0, ∀y, x ∈ Rm ; ∂fn ∂fn (y, x)ξ ∈ im (y, x) Khi – Đặt Sn (y, x) = ξ ∈ Rm : ∂x ∂y Sn ∩ Nn−1 = {0} – Khơng gian ker • Phương trình (3.2.1) tuần hồn theo nghĩa fn (y, x) = fn+N (y, x)∀y, x ∈ Rm , với N ∈ N cố định • Phương trình (3.2.1) có nghiệm khơng giảm tổng qt, ta giả sử nghiệm xn ≡ fn (0, 0) = • ∂fn (0, 0) khả nghịch ∂x Trong phần này, ta ký hiệu quy ước sau: ˜ n phép chiếu trực giao từ Rm lên Nn +Q ˜ n dạng chéo, tức + V˜n ma trận trực giao đưa Q ˜ V˜ −1 = V˜n Q ˜ V˜ T ˜ n = V˜n Q Q n n ∂fn ∂fn ˜ n = An V˜n + Bn V˜n−1 Q ˜ (0, 0), Bn = (0, 0), G ∂y ∂x Ta thấy, fn tuần hoàn chu kỳ N đảm bảo tính tuần hồn chu kỳ ˜ n, G ˜ −1 ˜ n , V˜n , V˜ T , An , Bn , G cho ma trận Q + An = n n Đặt hn(y, x) := fn (y, x) − An y − Bn x phương trình (3.2.1) viết lại dạng An xn+1 + Bn xn + hn (xn+1 , xn ) = 0, (3.4.1) với hn (y, x) khả vi liên tục thỏa mãn tính chất sau: • hn (0, 0) = 0, hn (y, x) = hn+N (y, x)∀y, x ∈ Rm ; • hn (P˜nxn+1 , xn ) = fn (P˜n xn+1 , xn )−An P˜nxn+1 −Bn xn = fn(xn+1 , xn )− An xn+1 − Bn xn = hn(xn+1 , xn ); 89 • ∂fn ∂hn (0, 0) = (0, 0) − An = O, ∂y ∂y ∂fn ∂hn (0, 0) = (0, 0) − Bn = O ∂x ∂x Xét PTSP tuyến tính ẩn tuần hoàn tương ứng An xn+1 + Bn xn = (3.4.2) Đây phương trình tuần hồn có số với Bn khả nghịch nên ta áp dụng Định lý 1.5.5 đưa phương trình (3.4.2) tương đương dạng Kronecker - Weierstrass với hệ số P˜ x˜n+1 + −R Or×(m−r) O(m−r)×r Im−r x ˜n = (3.4.3) Ta thấy, với giả thiết nêu trên, PTSP phi tuyến ẩn tuần hoàn số (3.2.1) tương đương với PTSP tựa tuyến tính ẩn tuần hồn số (3.4.1) Do đó, áp dụng Định lý 2.3.3, ta thu kết sau: Định lý 3.4 Giả sử tốn Cauchy cho phương trình (3.2.1) với điều kiện ban đầu tương ứng có nghiệm xn ≡ Khi đó, PTSP ∂fn (0, 0) khả nghịch phi tuyến ẩn (3.2.1) tuần hoàn số có ∂x ma trận R, dạng Kronecker - Weierstrass (3.4.3) PTSP tuyến tính ẩn tuần hồn tương ứng (3.4.2), có giá trị riêng có mơđun nhỏ nghiệm tầm thường xn ≡ (3.2.1) ổn định tiệm cận mũ Chứng minh Do phương trình (3.2.1) tuần hồn, có số nên theo phân tích ta viết lại dạng phương trình tựa tuyến tính ẩn tuần hồn (3.4.1) An xn+1 + Bn xn + hn (xn+1 , xn ) = ∂hn ∂hn (0, 0) = O = (0, 0) với n ∂y ∂x ε > tồn lân cận đủ nhỏ B(0, δn ) (0, 0) để Vì hn(0, 0) = 0, ∂hn (y, x) < ε, ∂x ∂hn (y, x) < ε, ∂y hn (y, x) P˜ny + x ε 90 nên với (3.4.4) (3.4.5) Hơn nữa, hn tuần hoàn theo n nên δn tuần hoàn theo n Do đó, với ε > tồn lân cận đủ nhỏ (không phụ thuộc n) (0, 0) để với n bất đẳng thức (3.4.4), (3.4.5) thỏa mãn Vậy phương trình (3.4.1) thỏa mãn điều kiện Định lý 2.3.3 nên nghiệm tầm thường ổn định tiệm cận mũ Nói cách khác, nghiệm xn ≡ phương trình (3.2.1) ổn định tiệm cận mũ Định lý chứng minh Ví dụ 3.4.1 Xét phương trình fn (xn+1 , xn ) = f1,n(xn+1 , xn ) = 0, f2,n(xn+1 , xn ) πn π(n − 1) πn − x1 cos cos2 3 π(n − x2 ) π (n + x1 + x2 ) − y2 cos + ex1+x2 y1 cos2 3 2πn , + x2 sin f1,n (y, x) = (−1)n x2 cos (−1)n f2,n (y, x) = x1 cos 2πn π(n − 1) − x2 sin 3 2π n − x21 π(n + x22 ) + y2 sin + − y1 sin 3 πn + x2 cos2 ex1−x2 Ta có An = Bn = cos2 πn − cos πn − 12 sin 2πn sin πn , (−1)n+1 cos2 πn cos π(n−1) (−1)n cos2 πn + 12 sin 2πn 3 3 (−1)n π(n−1) sin 2πn cos (−1)n+1 , πn sin 2πn + cos ker An = span cos πn T , Sn = span cos Ta chọn V˜n−1 = cos πn cos πn cos π(n−1) 3 91 cos π(n−1) πn T từ tính ˜n = G cos πn sin πn 3 πn πn − sin cos n n−1 Như Zn = (−1) k=0 R = 1 43 ¯n = B (−1)k cos πk , (−1)n cos πn Z0 = 1, Z6 = 16 < Do phương trình ban đầu đưa tương đương dạng 0 x¯n+1 + − 1 43 0 ¯ n (¯ xn+1 , x¯n ) = x ¯n + h Vì R < nên nghiệm xn ≡ ổn định tiệm cận mũ Ví dụ 3.4.2 Xét phương trình fn (xn+1 , xn ) = với   f1,n (y, x)   fn (y, x) = f2,n (y, x) , f3,n (y, x) 2π(n + 1) 2πn sin 5 2πn 2πn − 2y3ex1 +x2+x3 cos + 2y1 ex1+x2 +x3 cos 5 2πn + x2 x3 2πn 2π (n + x2 x3 ) + x1 cos2 − sin cos −2 5 2πn 2πn (4πn + x1 x3 ) − cos − sin + x2 sin 5 (2πn + x1 x3 ) + x3 − x2 − sin 2πn 2πn 2πn 2πn 2πn sin2 + sin cos − cos + x3 cos 5 5 f1,n(y, x) = (y3 − y2 ) ex1 +x2 +x3 cos 92 , 2π(n + 1) 2πn − sin 5 2πn 2πn + cos +1 + 2y1 ex1x2 x3 − (y2 + y3 )ex1x2x3 + x1 cos2 5 f2,n(y, x) = (y2 − y3)ex1x2 x3 sin 2π n + x1 x33 + x2 cos 2π n + x31 2π n − x1 − sin −1 sin 5 2π n + x21 + x22 2π (n + x1 + x3 ) − x2 sin − − x3 sin 5 2π (n + x1 x2 ) 2π (n + x1 ) 2π (n + x2 ) − cos2 − cos + x3 cos 5 2πn 2π (n + x1 ) − x3 cos sin 5 2π (n + 1) f3,n(y, x) = 2y1(1 + x21 + x22 + x23 ) − y2(1 + x21 + x22 + x23 ) sin 2π (n + 1) − 2y3 (1 + x21 + x22 + x23 ) + y3(1 + x21 + x22 + x23 ) sin 2πn + y12 + y22 + y32 2πn 2πn − sin − + x2 sin − + x1 cos 5 2π n − x21 − x23 (2πn − x1 − x3 ) (2πn − x1 − x3 ) cos − sin + x2 cos 5 2πn − x1 2πn 2πn 2πn − x3 cos + x3 + x3 cos sin − cos −2 2 5 Ta thấy f (0, 0) = nên ta viết lại phương trình dạng An xn+1 + Bn xn + hn (xn+1 , xn ) = 0, An , Bn ma trận   2π(n+1) 2π(n+1) 2πn 2πn cos 2πn − cos sin cos − sin 5 5   2π(n+1) 2π(n+1)  2πn 2πn sin − sin − sin sin − − 1  , sin 2π(n+1) −2 − sin 2π(n+1) 5 [C1 với C2 C3 ] ,   2πn cos − sin 2πn cos − 5   2πn 2πn C1 =  cos + cos +  , − sin 2πn −4 cos 2πn 5 93 1  C2 =  − cos 2πn − + sin 2πn cos 2πn sin 2πn − sin 2πn 5 5  sin 2πn cos 2πn − sin2 2πn − − 32 sin 2πn +1 5 5 2 2πn cos 2πn cos 2πn + sin 2πn 5 − sin 5 − sin2 2πn +1 cos 2πn + sin 2πn cos 2πn − cos 2πn 5 5   ,    C3 =  12 cos 2πn , − cos2 2πn − 12 sin 2πn − cos 2πn − sin 2πn 5 5  2πn cos 2πn sin 2πn 5 − cos − + hn(y, x) = fn (y, x) − An y − Bn x ker An = span (1 1)T Từ đây, ta tính T 2πn Sn = span (1 2) , sin T 1  Vậy ker An−1 ∩ Sn = {0} Chọn V˜n−1 =  cos 2πn cos 2πn 5 ˜n =  G  sin 2πn  1 2πn −1 1   1 Khi   −1 −1 cos 2πn −3 1 sin 2πn  ) 2(sin cos 2πn +1  2πn 2πn  ˜ −1 = gn  , G − cos 2πn 2 sin 2πn n + 1 − cos 5 − sin  sin 2πn − sin 2πn cos 2πn −1 5 với gn = − sin 2πn − cos 2πn ˜ −1 , V˜n−1 vào phương trình xét, ta phương Tác động cặp G n trình tương đương ¯n x¯n + ¯hn (¯ P˜ x ¯n+1 + B xn+1 , x¯n ) = 0, 1 cos 2πn − 12 sin 2πn 5 ¯n =  B  12 sin 2πn 94 cos 2πn   0 Như ta có 2πn cos sin 2πn Wn = − 12 sin 2πn 2πn cos 2π cos 2π − sin sin 2π cos 2π 5 = n Và đó, Zn = (−1)n+1 Wn Wn−1 W0 = (−1)n+1 n+1 cos 2π 2π sin − sin 2π 2π cos n(n+1) Vì phương trình tuần hồn với chu kỳ N = nên ta có  15 2π 2π 2π cos − sin cos 2π − sin  Z5 = = 2π sin 2π cos cos 2π sin 2π 5 5 5  , R= cos 2π − sin 2π 5 sin 2π 25 = cos 2π 25 cos 6π − sin 6π 5 sin 6π cos 6π Ta tính giá trị riêng R λ1,2 = cos 6π 6π ± i sin 5 với |λ1,2| = 2− < Vậy, theo Định lý 3.4 nghiệm xn ≡ phương trình ổn định tiệm cận mũ Kết luận Kết luận lại, chương này, định nghĩa lớp PTSP phi tuyến ẩn số Kết hợp với Nguyên lý đồng phôi Hadamard, khảo sát tính giải nghiệm toán Cauchy Trong báo [10], chứng minh định lý tính giải nghiệm tốn Cauchy, chúng tơi coi khơng gian k chiều Rm không gian Rk , bỏ qua đồng phơi hai khơng gian Trong chương 3, sửa đổi chứng minh Định lý 3.3.2 so với [10] để có chứng minh xác Bên cạnh đó, nhờ lý thuyết Floquet cho phương trình tuyến tính, tính ổn định nghiệm PTSP phi tuyến ẩn tuần hoàn số khảo sát 95 Kết luận chung Luận án thu kết sau: Mọi PTSP tuyến tính ẩn số đưa dạng chuẩn tắc Kronecker - Weierstrass Từ thiết lập cơng thức nghiệm tường minh cho toán giá trị ban đầu Chứng minh định lý Floquet Lyapunov cho PTSP tuyến tính ẩn số Đưa kết luận tính giải cho PTSP ẩn tuần hồn có trễ số khảo sát tính ổn định nghiệm PTSP tuyến tính ẩn, tựa tuyến tính ẩn tuần hồn số Đề xuất khái niệm số 1, tựa số cho PTSP tựa tuyến tính ẩn Sự tồn nghiệm tốn Cauchy cho PTSP tựa tuyến tính ẩn số tựa số thiết lập Đề xuất phương pháp lặp giải gần tốn Cauchy cho PTSP tựa tuyến tính ẩn số Định nghĩa số cho PTSP phi tuyến ẩn Chứng minh tồn nghiệm tốn Cauchy Nghiên cứu tính ổn định nghiệm toán Cauchy cho PTSP phi tuyến ẩn tuần hoàn Các kết nhận kết mới, có ý nghĩa khoa học, số nhà khoa học quan tâm Trong luận án, đưa số ví dụ minh họa Tuy nhiên, việc áp dụng kết đạt cho tốn điều khiển hệ rời rạc suy biến cịn vấn đề mở Đây hướng nghiên cứu mà quan tâm tương lai 96 Danh sách báo công bố P K Anh and H T N Yen, "On the solvability of initial-value problems for nonlinear implicit difference equations," Adv Difference Eqns (2004) 195-200 P K Anh and H T N Yen, "Floquet theorem for linear implicit nonautonomous difference equations," J Math Anal Appl 321 (2006) 921-929 P K Anh, H T N Yen, and T Q Binh, "On quasi-linear implicit difference equations," Vietnam J Math 32 (2004) 75-85 97 Tài liệu tham khảo [1] Đ D Hải (2006), "Phương trình sai phân ẩn tuyến tính với ma trận hệ số có hạng thay đổi," Luận văn Thạc sĩ, Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] L C Lợi (2004), ”Phương trình sai phân ẩn tuyến tính khơng dừng số 1”, Luận án Tiến sĩ, Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] L C Loi and H T N Yen (2001), "Phương trình sai phân ẩn tuyến tính cấp cao với hệ số biến thiên," Proceedings Hội nghị khoa học Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, 36-43 [4] R P Agarwall (2000), Difference Equations and Inequalities - Theory, Methods, and Applications, second ed., Dekker, NewYork [5] P K Anh, N H Du, and L C Loi (2004), "Connections between implicit difference equations and differential-algebraic equations,"Acta Math Vietnam 29 23-39 [6] P K Anh, N H Du and L C Loi (2007), "Singular Difference Equations: An Overview," Vietnam J Math 35 339-372 [7] P K Anh and L C Loi (2001), "On multipoint boundary-value problems for linear implicit nonautonomous system of difference equations," Vietnam J Math 29 281-286 [8] P K Anh and L C Loi (2006), "On discrete analogues of nonlinear implicit differential equations," Adv Difference Eqns 2006 1-19 [9] P K Anh and D S Hoang (2006), "Stability of a class of singular difference equations," Int J Difference Eqns 181-193 98 [10] P K Anh and H T N Yen (2004), "On the solvability of initialvalue problems for nonlinear implicit difference equations," Adv Difference Eqns 195-200 [11] P K Anh and H T N Yen (2006), "Floquet theorem for linear implicit nonautonomous difference equations," J Math Anal Appl 321 921-929 [12] P K Anh, H T N Yen, and T Q Binh (2004), "On quasi-linear implicit difference equations," Vietnam J Math 32 75-85 [13] M Benadbdallakh, A G Rutkas, and A A Solov’ev (1970), "Application of asymptotic expansions to studying the infinite system Axn+1 + Bxn = fn in a Banach space," (English summary) Teor Funkts Funkts Anal Prilozh (Khar’kov) 12 20-35 [14] M Benabdallakh and A G Rutkas (1984), "Normal solutions of the system Axn+1 + Bxn = fn in a Banach space," (English summary) Vestn Khar’kov Univ 254 62-65 [15] M Benabdallakh, A G Rutkas, and A A Solov’ev (1987), "On the stability of degenerate difference systems in Banach spaces," (English summary) Dinam Sistemy, Kiev, Simferopol’ 103-109 [16] M S Berger (1977), Nonlinearity and Functional Analysis, Lec on Nonlinear Problems in Math Analysis, Pure and Applied Mathematics, Academic Press, NewYork [17] M F Bondarenko and A G Rutkas (1998), "On a class of implicit difference equations," (English summary) Dopov Nats Akad Nauk Ukr Mat Prirodzn Tekh Nauki 11-15 [18] M F Bondarenko and A G Rutkas (2001), "Criteria for the determinancy of implicit discrete nonautonomous systems," Dopov Nats Akad Nauk Ukr Mat Prirodzn Tekh Nauki 7-11 Singular Difference Equations: An Overview 371 [19] M F Bondarenko, L A Vlasenko, and A.G Rutkas (1999), "Periodic solutions of a class of implicit difference equations," (English 99 summary) Dopov Nats Akad Nauk Ukr Mat Prirodzn Tekh Nauki 19-14 [20] S L Campbell (1980), Singular Systems of Differential Equations, Pitman, London [21] S L Campbell (1982), Singular Systems of Differential Equations II, Pitman, London [22] Chincone, Carmen (1999), Ordinary Differential Equations with Applications, Springer-Verlag, New York ˇ [23] V F Cistjakov (1996), Differential-Algebraic Operators with Finite Dimensional Kernels, Nauka, Moscow (Russian) [24] Liyi Dai (1988), "Observers for Discrete Singular Systems," IEEE Transactions on Automatic control, Vol 33, (2) 187-191 [25] L Dai (1989), Singular Control Systems, Lecture Notes in Control and Information Science, Vol 118, Springer, Berlin [26] X.-Z Dong (2007), "Robust strictly dissipative control for discrete singular systems" IET Control Theory Appl Vol 1, (4) 1060-1067 [27] N H Du (2003), "A Furstenberg-Kifer decomposition for implicit difference equations and its applications," Random Oper Stochastic Equations 11 151-166 [28] N H Du, T K Duy, and V T Viet (2007), "Degenerate cocycle with index-1 and Lyapunov exponents," Stoch Dyn 1-17 [29] N H Du, D T Lien, and V H Linh (2003), "On complex stability radii for implicit discrete time system," Vietnam J Math 31 475488 [30] C H Fang and F R Chang (1993), "Analysis of stability robustness for generalized statespace systems with structured pertubations," Syst Control Lett 21 109-114 100 [31] G Garcia, J Bernussou and D Arzelier (1994), "Robust stabilization of discrete-time linear systems with norm bounded timevarying uncertainty," Syst Control Lett 22 327-339 [32] C Gokcek (2004), "Stability analysis of periodically switched linear systems using Floquet theory," Math Prob Engineering 1-10 [33] E Griepentrog and R Măarz (1986), Differential-Algebraic Equations and Their Numerical Treatment, Teubner-Text Math., Vol 88, Teubner, Leipzig [34] Walter G Kelly and Allan C Peterson (1991), Difference equtions: An Introduction with Applications, Academic Press [35] P Kunkel and V Mehrmann (2006), Differential-Algebraic Equations, Analysis and Numerical Solution, European Math Soc Publ House [36] R Lamour, R Măarz and R Winkler (1998), "How Floquet theory applies to index-1 differential algebraic equations," J Math Anal Appl 217 371-394 [37] R Lamour, R Măarz and R Winkler (2003),"Stability of periodic solutions of index-2 differential algebraic systems ," (English summary) J Math Anal Appl 279, no 2, 475–494 [38] Y Li, X Zhang, Y Liu (2000), "Basic theory of linear singular discrete system with delay", Appl Math Comput 108 33-46 [39] L C Loi, N H Du, and P K Anh (2002), "On linear implicit nonautonomous systems of difference equations," J Difference Eqns Appl 1085-1105 [40] R Măarz (1995), "On linear differential algebraic equations and linearization," Appl Numer Math 18 267-292 [41] R Măarz (1998),"Criteria for the trivial solution of differential algebraic equations with small nonlinearities to be asymptotically stable," (English summary) J Math Anal Appl 225, no 2, 587607 101 [42] R Măarz and A R Rodrớguez-Santiesteban (2001), "Analyzing the stability behaviour of solutions and their approximations in case of index-2 differential-algebraic systems," Math of Computation Vol 71, No 238, 605-632 [43] S Xu and C Yang (2000) "H∞ State Feedback Control for Discrete Singular Systems," IEEE Transactions on Automatic control, Vol 45, (7) 1405-1409 [44] Tobias Bră ull (2008) "Linear Discrete-Time Discriptor Systems," Master thesis, Instituts fă ur Mathematik, Technische Universităat Berlin 102