Thông tin tài liệu
Mơc lơc Lêi cam ®oan Lời cảm ơn Môc lôc Mở đầu Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss v tích phân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều 11 1.1 Biến ngẫu nhiên nhận giá trị kh«ng gian Banach 12 1.2 Độ đo véc tơ v tích phân hm nhận giá trị toán tử độ đo véc tơ 14 1.2.1 Độ đo vÐc t¬ 14 1.2.2 TÝch ph©n Bochner 16 1.2.3 TÝch ph©n hm nhận giá trị toán tử độ đo véc tơ 1.3 16 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên v tích phân ngẫu nhiên hm tất định độ đo véc tơ ngẫu nhiên 18 1.4 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss 20 1.5 TÝch phân ngẫu nhiên Wiener độ đo véc tơ ngẫu nhiên 1.6 Gauss đối xứng 24 Martingale nhận giá trị không gian Banach 25 TÝch ph©n ngẫu nhiên Ito vô hạn chiều v công thức Ito 2.1 Tích phân ngẫu nhiên hm ngẫu nhiên nhận giá trị toán tử độ đo véc tơ ngÉu nhiªn Gauss 2.2 2.3 27 BiÕn ph©n bình phơng độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss ®èi xøng 41 Quá trình Ito v công thức Ito 46 Toán tử ngẫu nhiên không gian Banach 3.1 27 58 Khái niệm toán tử ngẫu nhiên bị chặn, ví dụ v c¸c tÝnh chÊt tỉng qu¸t 58 3.2 Các điều kiện để toán tử ngẫu nhiên l bị chặn 65 3.3 Nguyên lý bị chặn hiệu lực cho toán tử ngẫu nhiên bị chặn 71 Thác triển toán tử ngẫu nhiên bị chặn 75 Về nghiên cứu 83 KÕt luËn 93 Tμi liƯu tham kh¶o 96 3.4 Phô lôc 100 Mở đầu Trong ba kỷ qua, với công lao đóng góp nhiều hệ nh toán học, giải tích toán học đà trở thnh lĩnh vực toán học lớn với chuyên ngnh nh: phép tính vi tích phân, phơng trình vi phân, phơng trình đạo hm riêng, lý thuyết toán tử tuyÕn tÝnh, Nã cung cÊp cho nhiÒu ngμnh khoa häc vμ kü tht mét c«ng hÕt søc đắc lực để xử lý v tính toán mô hình tất định Tuy nhiên, sống giới chịu nhiều tác động nhân tố ngẫu nhiên Phần lớn hệ động lực, trình tự nhiên l hệ động lực ngẫu nhiên v trình ngẫu nhiên Thnh thử để phản ánh thực tế đắn hơn, ngoi việc nghiên cứu mô hình tất định, việc nghiên cứu mô hình ngẫu nhiên l tất yếu v cần thiết Trong vi chục năm gần đây, mặt nhu cầu phát triển nội toán học, mặt khác nhằm cung cấp ngôn ngữ, công cụ cho phép mô tả, phân tích, dự báo v điều khiển mô hình ngẫu nhiên, giải tích ngẫu nhiên (giải tích môi trờng ngẫu nhiên) đà đời với lý thuyết độ đo ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên, phơng trình vi phân ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên, điểm bất động ngẫu nhiên, hệ động lực ngẫu nhiên Trong hớng nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên, việc nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên vô hạn chiều đợc nhiều tác giả quan tâm phát triển nội giải tích ngÉu nhiªn cịng nh− sù xt hiƯn cđa nhiỊu bi toán thực tiễn đòi hỏi cách tiếp cận vô hạn chiều Cần ý để nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên không gian vô hạn chiều, ngời ta cần phải có phơng pháp v dụng cụ khác so với việc nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên hữu hạn chiều Bởi lẽ phơng pháp v dụng cụ xác suất không gian hữu hạn chiều mở rộng sang không gian vô hạn chiều không hiệu lực (xem [21, 22, 43] v th mục đó) Về mặt lịch sử, tích phân ngẫu nhiên lý thuyết xác suất l tích phân hm tất định chuyển động Brown Wiener đa [44] vo năm 1923 Tích phân ny đợc gọi l tích phân Wiener Tích phân Wiener nhìn nhận nh l tích phân hm tất định thực độ đo ngẫu nhiên Wiener - độ đo ngẫu nhiên giá trị thực sinh bëi chun ®éng Brown T− t−ëng vỊ ®é ®o ngÉu nhiên giá trị thực lần xuất công trình Bochner [6] Tích phân ngẫu nhiên hm tất định độ đo ngẫu nhiên giá trị thực đợc nghiên cứu Urbanik v Woyczynski [42] Sự mở rộng cho trờng hợp vô hạn chiều đợc thùc hiÖn bëi Hoffman-Jorgensen [16], Okazaki [25], Rosinski [27] Mét hớng mở rộng khác tích phân Wiener đợc Đ.H.Thắng đề cập [36, 41]: Đó l xét tích phân hm tất định thực độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss v độ đo véc tơ ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều Chơng luận án có tiêu đề "Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss v tích phân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều" Chơng ny trình by cách tóm lợc để lm quen với định nghĩa, kết độ đo véc tơ ngẫu nhiên, độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss đối xứng với giá trị không gian Banach vô hạn chiều v tích phân hm tất định thực chúng, ®ã tËp trung vμo c¸c tÝnh chÊt c¸c ®é ®o véc tơ ngẫu nhiên Gauss đối xứng Các kết ny đợc sử dụng đến chơng Nhu cầu toán học nh thực tiễn đòi hỏi phải thực trình lấy tích phân không cho hm tất định m cho hm ngẫu nhiên Năm 1942 nh toán học Ito [18] đà xây dựng trình tích phân cho hm ngẫu nhiên phù hợp chuyển động Brown Tích phân ny đợc gọi l tích phân ngẫu nhiên Ito Tích phân Ito v công thức Ito đóng vai trò đặc biệt quan trọng giải tích ngẫu nhiên tơng tự nh tích phân Riemann v công thức Newton-Leibniz giải tích cổ điển Giải tích cổ điển nghiên cứu vi tích phân không gian hữu hạn chiều, giải tÝch ngÉu nhiªn nghiªn cøu phÐp tÝnh vi tÝch phân ngẫu nhiên Sự khác giải tích cổ điển v giải tích ngẫu nhiên thực chất nằm khác công thức đạo hm hm số hợp, môi trờng ngẫu nhiên công thức ny mang tên Ito Vi tích phân ngẫu nhiên Ito ngy cng đóng vai trò quan trọng, mô tả ngy cng v sát nhiều mô hình thực tế vμ cã nhiỊu øng dơng thiÕt thùc Mét nh÷ng ứng dụng đáng ý gần kể đến l trở thnh công cụ quan trọng nghiên cứu toán ti (xem [15, 31] v th mục đó), ví dụ nh việc định nghĩa v nghiên cứu mô hình Black-Scholes, Merton, Hull and White, Cã nhiỊu h−íng nghiªn cøu më rộng tích phân Ito Một số tác giả muốn xây dựng loại tích phân ngẫu nhiên m không cần giả thiết phù hợp, nh tích phân Ogawa, tích phân Stratonovich, tích phân Skorokhod (xem [3, 24, 29] v th mục đó) Một hớng mở rộng khác l xây dựng tích phân hm ngẫu nhiên trình ngẫu nhiên tổng quát Chẳng hạn lý thuyết tích phân ngẫu nhiên hm ngẫu nhiên khả đoán semimartingale đà đợc nhiều tác giả Mỹ v Pháp quan tâm (xem [5, 20] v th mục đó); lý thuyết tích phân ngẫu nhiên trình Brown phân thứ đợc số tác giả quan tâm dụng toán ti (xem [31]) Chơng có tiêu đề "Tích phân ngẫu nhiên Ito vô hạn chiều v công thức Ito" Chơng ny dμnh cho viƯc x©y dùng tÝch ph©n Ito cđa hμm ngẫu nhiên giá trị toán tử độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss, xây dựng trình ngẫu nhiên vô hạn chiều Xt, kiểu Ito tổng quát v thiết lập công thức Ito tơng ứng Giả sử X, Y l không gian Banach Cho trớc Z l độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X-giá trị với độ đo covariance Q (đợc định nghĩa Đ.H.Thắng [41]) Chúng định nghĩa trình ngẫu nhiên Xt Y -giá trị có dạng Xt = X0 + t t a(s, ω) ds+ 0 b(s, ω)·dQs + t c(s, ω)·dZs, (0 ≤ t ≤ T ) v gọi l trình Ito Y -giá trị độ đo ngẫu nhiên Z Để định nghĩa đợc trình ny đà phải xây dựng khái niệm tích phân ngẫu nhiên hm ngẫu nhiên L(X, Y )-giá trị độ đo Z Kết quan trọng chơng ny l việc chứng minh công thức Ito vô hạn chiều (Định lý 2.3.2) Để chuẩn bị cho việc thiết lập công thức ny, luận án đà sử dụng công cụ tích tensor để lm rõ tác động toán tử song tuyến tính lên toán tử hạch v nghiên cứu biến phân ton phơng độ đo Z Công thức biến phân ton phơng ny viết cách hình thøc cã d¹ng dZ ⊗ dZ = dQ Trong tr−êng hợp Z l độ đo Wiener X-giá trị v không gian X, Y l hữu hạn chiều ta thu đợc công thức Ito hữu hạn chiều (Hệ 2.3.4) Chú ý công thức ny l ngời ta xét trờng hợp công thức Ito hữu hạn chiều với trình Wiener nhiều chiều với thnh phần độc lập (tức l với ®é ®o ngÉu nhiªn Wiener víi ®é ®o covariance Q dạng dQ = R dt, R l ma trận đơn vị) Trong giải tích cổ điển (không ngẫu nhiên) ta đà biết tích phân l loại toán tử tuyến tính đặc biệt v quan trọng Lý thuyết toán tử tuyến tính (tất định) đà đợc phát triển thnh lý thuyết đồ sộ giải tích hm v đà đợc áp dụng hiệu để nghiên cứu lý thuyết phơng trình vi phân v phơng trình đạo hm riêng Tơng tự nh vậy, tích phân ngẫu nhiên l loại toán tử ngẫu nhiên đặc biệt v quan trọng Một toán tử ngẫu nhiên A từ X vo Y l phép tơng ứng x X biến ngẫu nhiên Ax nhận giá trị Y Phép tơng ứng ny thoả mÃn điều kiện tuyến tính v liên tục theo nghĩa xác suất no Nh khái niệm toán tử ngẫu nhiên l mở rộng "ngẫu nhiên" (hay ngẫu nhiên hoá) cách tự nhiên khái niệm toán tử tuyến tính tất định Toán tử ngẫu nhiên không gian Hilbert đợc nghiên cứu hệ thống Skorokhod [30] v đợc phát triển Đ.H.Thắng [33, 34, 35, 37, 39] Theo hiểu biết lý thuyết toán tử ngẫu nhiên giai đoạn đầu phát triển v nhiều vấn ®Ị bá ngá NÕu nh− lý thut to¸n tư tun tính (tất định) đà trở thnh lâu đồ sộ, honh tráng giải tích, có nhiều ứng dụng toán học nh thực tiễn có sở để hy vọng v tin tởng tơng lai lý thuyết toán tử ngẫu nhiên có hình hi, vị trí xứng đáng v tầm quan trọng lớn lao giải tích ngẫu nhiên Chơng có tiêu đề "Toán tử ngẫu nhiên không gian Banach" Trong chơng ny dnh quan tâm cho lớp toán tử ngẫu nhiên bị chặn Đó l lớp lớp toán tử ngẫu nhiên bị chặn nhng lại l mở rộng gần gũi toán tử tuyến tính tất định Chúng đà thiết lập điều kiện để toán tử ngẫu nhiên l bị chặn Một kết thú vị chơng ny l nguyên lý bị chặn (Định lý Banach-Steinhaus) cho hä c¸c to¸n tư tun tÝnh tÊt định cho họ toán tử ngẫu nhiên (bị chặn theo xác suất) nhng đà không cho họ toán tử ngẫu nhiên bị chặn (bị chặn h.c.c.) (xem ví dụ 3.3.3 luận án) Nếu nhìn tích phân Wiener nh toán tử ngẫu nhiên tích phân Ito, tích phân Ogawa, tích phân Stratonovich v tích phân Skorokhod xem nh l cố gắng để thác triển miền xác định tích phân Wiener từ tập hm tất định bình phơng khả tích lên lớp no hm ngẫu nhiên có quỹ đạo bình phơng khả tích Chúng đa kiểu thác triển v chứng minh đợc toán tử ngẫu nhiên bị chặn từ X sang Y (vμ chØ cã nã) míi cã thĨ thác triển miền xác định lên ton biến ngẫu nhiên nhận giá trị X đồng thời bảo ton tính chất tuyến tính v liên tục (Định lý 3.4.5) Một hệ thú vị định lý ny l: thác triển miền xác định tích phân Wiener từ tập hm tất định bình phơng khả tích lên tất hm ngẫu nhiên có quỹ đạo bình phơng khả tích Lớp toán tử ngẫu nhiên bị chặn l lớp đặc biệt lớp toán tử ngẫu nhiên, đợc nghiên cứu Chơng hệ thống Một vấn đề đợc đặt cách tự nhiên l nghiên cứu loại toán tử ngẫu nhiên tổng quát Trong trình nghiên cứu hon thnh luận án, ngoi kết đà công bố, tìm số kết thú vị khác toán tử ngẫu nhiên tổng quát (không thiết bị chặn) Nhng kết nói chung rời rạc, cha thnh hệ thống hon chỉnh v mạch lạc nên trình by buổi seminar nhỏ Phần phụ lục nhỏ cuối luận án có tiêu đề "Về nghiên cứu tiếp theo" Trong phần ny, nêu số vấn đề m cha giải hon chỉnh v kèm theo số kết đà đạt đợc Chúng dnh vấn đề cho nghiên cứu sau luận án Các kết chủ yếu luận án đà đợc báo cáo hội nghị: Hội nghị Khoa học trờng Đông Xác suất-Thống kê, Vinh (2003), Hội nghị nghiên cứu Khoa học Trờng Đại học Khoa học Tự nhiên (2004), Hội nghị Ton quốc Xác suất Thống kê Ba Vì (2005) V đà đợc công bố t¹p chÝ Proceedings of the International Conference Abstract and Applied Analysis World Scientific (2004), Kyushu J.Math (2004), Vietnam J Math 38:2(2005) 10 Chơng Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss v tích phân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều Việc nghiên cứu tích phân ngẫu nhiên Ito cho hm ngẫu nhiên nhận giá trị toán tử độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss nhận giá trị không gian Banach m đề cập đến chơng xem nh l mở rộng vô hạn chiều cho tích phân Ito, cần hỗ trợ từ nhiều kết trừu tợng không gian Banach Mặt khác l việc mở rộng việc lấy tích phân hm tất định độ đo ngẫu nhiên Gauss (tích phân Wiener vô hạn chiều) đợc xét [41, Đ.H.Thắng] cho lấy tích phân cho hm ngẫu nhiên độ đo ngẫu nhiên Gauss Nh l chuẩn bị, chơng ny nhằm mục đích tóm tắt sơ lợc kiến thức v kết liên quan m chúng đợc sử dụng sau ny, nh l: độ đo véc tơ, tích phân độ đo véc tơ, độ đo véc tơ ngẫu nhiên v tích phân ngẫu nhiên hm tất định độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss Đặc biệt trình by kỹ độ đo ngẫu nhiên Gauss v tích phân Wiener vô hạn chiều (tích phân hm tất định độ đo ngẫu nhiên Gauss) Các kiến thức toán tử hạch, tích tensor không gian Banach, hình học không gian Banach, độ đo véc tơ Gauss không gian Banach đợc giới thiệu 11 phần phụ lục sau luận án 1.1 Biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Các kiến thức phần ny ngời đọc tìm đọc kỹ [43] Giả sử T l không gian khác rỗng Họ tập T đợc gọi l trờng (hay đại số) tập T chứa tập rỗng, đóng phép lấy hợp v giao hữu hạn v đóng phép lấy phần bù đợc gọi l -trờng (hay -đại số) tập T l trờng v đóng phép lấy hợp v giao đếm đợc v phép lấy phần bù Trong trờng hợp ny cặp (T, ) đợc gọi l không gian đo đợc Cho (T, ) v (X, B) l không gian đo đợc Một ánh xạ : T X đợc gọi l (, B)-đo đợc hay đơn giản l đo đợc nghịch ảnh 1(B) với B B Nếu X l không gian tôpô -trờng nhỏ chứa tất tập mở X đợc gọi l -trờng Borel v đợc ký hiệu l B(X) Các tập B B(X) đợc gọi l tập Borel Nếu ánh xạ : T X l (, B(X))-đo đợc ta gọi l l đo đợc Borel hay đơn giản l đo đợc Cho (T, ) l không gian đo đợc, X l không gian metric Một hm : T X đợc gọi l đơn giản (tơng ứng bậc thang) (T ) l hữu hạn (tơng ứng đếm đợc) v 1(x) với x X Rõ rng hm đơn giản v hm bậc thang đo đợc : T X đợc gọi l đo đợc mạnh l giới hạn điểm dÃy hm đơn giản v đợc gọi l đo đợc yếu víi mäi x∗ ∈ X th× x∗ (ξ) : T R l hm đo đợc mạnh Mệnh đề sau cho ta mối liên hệ đo đợc, đo đợc mạnh, đo đợc yếu Mệnh đề 1.1.1 Với ánh xạ : T X, phát biểu sau tơng đơng 12 Mệnh đề Nếu A l toán tử ngẫu nhiên tuyến tính tính liên tục theo xác suất v liên tục h.c.c l tơng đơng Nhận xét Việc định nghĩa toán tử ngẫu nhiên theo nghĩa cũ v l tơng đơng theo nghĩa sau đây: Nếu A l toán tử ngẫu nhiên bị chặn (theo định nghĩa mới) hạn chế A X: A |X l toán tử ngẫu nhiên bị chặn theo định nghĩa cũ v ngợc lại A l toán tử ngẫu nhiên bị chặn theo định nghĩa cũ thác triển A: A l toán tử ngẫu nhiên bị chặn theo định nghĩa Nếu A l toán tử ngẫu nhiên bị chặn tồn biến ngẫu nhiên nhỏ ta ký hiệu lμ A cho Au n÷a A = A |X A u , ∀u ∈ LX (Ω), h¬n (A |X đợc xem nh l toán tử ngẫu nhiên bị chặn theo định nghĩa cũ) Các nguyên lý bị chặn toán tử ngẫu nhiên l Cụ thĨ MƯnh ®Ị Cho {Ai, i ∈ I} lμ hä toán tử ngẫu nhiên bị chặn từ LX vo LY0 Nếu với u LX , họ {Ai u, i I} bị chặn theo xác suất họ {Ai u, i I, u ∈ LX , u h.c.c } cịng bÞ chặn theo xác suất Mệnh đề Cho {Ai, i I} l họ toán tử ngẫu nhiên bị chặn từ LX vo LY0 Nếu với u ∈ LX , hä {Ai u, i ∈ I} bị chặn h.c.c họ {Ai u, i I, u ∈ LX , u h.c.c } còng bị chặn h.c.c Mệnh đề Cho {An, n N} l dÃy toán tử ngẫu nhiên bị chặn từ LX vo LY0 Nếu với u LX , tån t¹i p-limn An u = Au A l toán tử ngẫu nhiên bị chặn 90 Định nghĩa Một ánh xạ T từ [0, ) vo toán tử ngẫu nhiên bị chặn đợc gọi l nưa nhãm ngÉu nhiªn nÕu T (0) = I vμ T (t + s)u = T (t)T (s)u h.c.c víi mäi t, s ≥ vμ u ∈ LX Toán tử ngẫu nhiên có nhiều kiểu hội tụ, ứng với loại hội tụ ta định nghĩa loại C0 toán tử ngẫu nhiên bị chặn ã T (t) đợc gọi l nửa nhóm C0 toán tử ngẫu nhiên loại lim T (t) − I = h.c.c t↓0 • T (t) đợc gọi l nửa nhóm C0 toán tử ngẫu nhiên loại p- lim T (t) I = t0 ã T (t) đợc gọi l nửa nhóm C0 toán tử ngẫu nhiên loại nÕu lim(T (t) − I)u = h.c.c ∀u ∈ LX t0 ã T (t) đợc gọi l nửa nhóm C0 toán tử ngẫu nhiên loại nÕu p- lim(T (t) − I)u = 0, t↓0 ∀u LX Tơng ứng với loại nửa nhóm ngẫu nhiên ta định nghĩa toán tử sinh cách tơng tự nh trờng hợp tất định Ví dụ A đợc gọi l toán tử sinh nửa nhóm toán tử ngẫu nhiên loại T (t) nếu: D(A) = {u ∈ LX : p- lim t↓0 Au = p- lim t↓0 T (t)u − u t T (t)u − u ,} t (3.27) u ∈ D(A) (3.28) Chúng đà chứng minh đợc nửa nhóm toán tử ngẫu nhiên loại v loại l tơng đơng Một bi toán quan trọng nghiên cứu nửa nhóm 91 l: tìm điều kiện cần v đủ ®Ĩ mét to¸n tư lμ to¸n tư sinh cđa mét nửa nhóm no Một câu hỏi tự nhiên đợc đặt l no toán tử ngẫu nhiên l toán tử sinh nửa nhóm ngẫu nhiên Hiện đà tìm đợc điều kiện cần v đủ để toán tử ngẫu nhiên A l toán tử sinh nửa nhóm ngẫu nhiên loại v loại 92 Kết luận Luận án nghiên cứu số vấn đề giải tích ngẫu nhiên không gian vô hạn chiều Đối tợng tập trung nghiên cứu l tích phân ngẫu nhiên Ito v toán tử ngẫu nhiên bị chặn Các kết luận án l: Tích phân ngẫu nhiên ã Xây dựng tích phân ngẫu nhiên hm ngẫu nhiên phù hợp nhận giá trị toán tử độ đo ngẫu nhiên Gauss vô hạn chiều ã Nghiên cứu số tính chất tích phân ngẫu nhiên loại ny v tìm biến phân ton phơng độ đo ngẫu nhiên véc tơ ngẫu nhiên Gauss ã Chứng minh công thức Ito vô hạn chiều tổng quát (Định lý 2.3.2) v rút công thức Ito hữu hạn chiều (Hệ 2.3.4) nh l trờng hợp riêng Toán tử ngẫu nhiên bị chặn ã Chỉ nguyên lý bị chặn cho toán tử ngẫu nhiên nhng không cho toán tử ngẫu nhiên bị chặn ã Cho điều kiện đủ để nguyên lý bị chặn cho toán tử ngẫu nhiên bị chặn ã Cho số điều kiện cần v đủ để toán tử ngẫu nhiên l bị chặn ã Chứng minh toán tử ngẫu nhiên thác triển đợc v bị chặn Vì toán tử tích phân Wiener không bị chặn mở rộng miền tác động tích phân Wiener lên ton hm ngẫu nhiên có quỹ đạo bình phơng khả tích 93 Ngoi luận án nêu số vấn đề tiếp tục nghiên cứu v hon thiện sau luận án, đồng thời kèm theo số kết đạt đợc vấn đề ny 94 Danh mục công trình đà công bố tác giả liên quan đến luận án Đ.H.Thắng and Ngun ThÞnh (2004), "On the extension of random operators", Proceedings of the International Conference on Abstract and Applied Analysis, World Scientific, pp.547-562 Ngun ThÞnh (2004), "The infinite-dimensional Ito Processes the general Ito formula", Tuyển tập công trình Khoa học trờng Đông Xác suất-Thống kê, Vinh, pp.152-170 Đ.H.Thắng and Nguyễn Thịnh (2004), "Random bounded operators and their extension", Kyushu J.Math., 58, pp.257-276 Đ.H.Thắng and Ngun ThÞnh (2005), "Infinite-dimensional Ito Processes with respect to Gaussian Random measures and the Ito formula", Vietnam J Math, 38(2), pp.223-240 Đ.H.Thắng, Nguyễn Thịnh (2005), "Biểu diễn phổ toán tử ngẫu nhiên", Tuyển tập báo cáo ton văn hội nghị ton quốc lần thứ Xác suất-Thống kê 95 Ti liệu tham khảo [1] Nguyễn Duy Tiến (2000), Giải tích ngẫu nhiên- Các mô hình x¸c st vμ øng dơng, [2] Ventxel (1975), Gi¸o trình lý thuyết Quá trình ngẫu nhiên, N.V.Phú, N.D.Tiến dịch tiÕng Nga sang tiÕng ViƯt, Nhμ xt b¶n Mir, Nga TiÕng Ph¸p [3] Ogawa (1979), "Sur le produit direct du bruit blanc par luimeme", C.R.Acad.Sci.Paris Ser.A, 288, pp.359-362 TiÕng Anh [4] L.Arnold (1974), Stochastic diffirential equations: Theory and Application, Wiley, New York [5] K.Bichteler (1981), "Stochastic integration and Lp -theory of semimartingales", Ann.Prob., 9, pp 49-89 [6] S.Bochner (1947), "Stochastic process", Ann.Math., 48, pp 1014-1061 [7] R.Carmona, J.Lacroix (1990), Spectral theory of random Schrodinger operators, Boston, MA, Birkhauser 96 [8] S.Chevet (1983), "Compactness in spaces of Gaussian Radon probabilities on a Banach spaces", C.R Acad Sci Paris Ser.A, 296, pp 275-278 [9] J.Diestel and J.J.Uhl (1977), Vector measures, Mathematical survey, No.15, American Mathematical Society [10] Nicolae Dinculeanu (1999), Vector integration anh Stochastic integration in Banach spaces, A Wiley-Interscience Publication [11] Dunford-Schwartz (1963), Linear operators I,II, Interscience, New York [12] I.I.Gikman and A.V.Skorokhod (1972), Stochastic diffirential equations, Berlin, Springer-Verlag [13] T.L.Gill, S.Basu, W.W.Zachary and V Steadman (2004), "Adjoint for operators in Banach spaces", http://www.ams.org/proc/2004-13205/S0002-9939-03-07204-6/S0002-9939-03-07204-6.pdf [14] E.Gine, M.B.Marcus (1983), "The central limit theorem for stochastic integrals with respect to Levy process", Ann.Prob., 11, pp 54-77 [15] I Grubisic (2002), Interest rate theory - the BGM model, Leiden University [16] J Hoffmann-Jorgencen (1977), "Probability in Banach spaces", Lecture Notes Mathematic, 598, pp 2-186 [17] N.Ikeda, S.Watanabe (1981), Stochastic diffirential equation and diffusion process, North Holland 97 [18] K.Ito (1944), "Stochastic integrals", Proc.Imp.Acad.Tokyo, 20, pp.519524 [19] K.Ito (1961), Lectures on Stochastic Processes, Tate Institute, Bombay [20] H.Kunita (1970), "Stochastic integral bases on Martingales taking values in Hilbert space", Nogoya Math, 38, pp.41-52 [21] M.Ledoux, M.Talagrand (1991), Probability in Banach spaces, Springer-Verlag [22] W.Linde (1983), Infinitely divisible and stable measures on Banach spaces, Teubner-Texte zur Mathematik-Band, 58, Teubner, Leipzig [23] Krzysztop Maurin (1972), Methods of Hilbert spaces, Warszawa [24] D.Nualart, E.Pardoux (1988), "Stochastic calculus with anticipating integrands", Prob.Theory and Related Fields, 78, pp.535-581 [25] Y.Okazaki (1979), "Wiener integral by stable random measure", Mem.Fac.Sci.Kyushu Uni.Ser.A, 33, pp.1-70 [26] A.Pazy (1983), Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations, New York Inc [27] J.Rosinski (1984), "Random integral of Banach spaces valued functions", Studia Math., 78, pp.15-38 [28] J.Rosinski (1987), "Bilinear random integrals", Dissertationes mathematicae, Warswana [29] A.V.Skorokhod (1975), "On a generalization of a stochastic integral", Theory Probab.Appl., 20, pp.219-233 98 [30] A.V Skorokhod (1984), Random Linear Operators, Reidel Publishing Company, Dordrecht [31] M.Rockenerb (2006), Fractional Brownian motion in Finance and Queueing, Dissertation, Department of Math., University of Helsinky, 2003 [32] G Taraldsen (1997), "Random set and spectra of unbounded linear linear operators", preprint, http://mpcj.unige.ch/mp-arc/html/p/93-228 [33] §.H.Th¾ng (1987), "Random Operators in Banach spaces", Probab Math Statist., 8, pp.155-157 [34] Đ.H.Thắng (1988), "Gaussian random operators in Banach spaces", Acta Math.Vietnam, 13, pp.79-85 [35] Đ.H.Thắng (1992), "Sample paths of random linear operators in Banach spaces", Mem.Fac.Kyushu Uni.Ser.A, 45, pp.287-306 [36] Đ.H.Thắng (1992), "Vector symmetric random measures and random integrals", Theor Proba Appl., 37 , pp.526-533 [37] Đ.H.Thắng (1995), "The adjoint and the composition of random operators on a Hilbert space", Stochastic and Stochastic Reports, 54, pp.53-73 [38] Đ.H.Thắng (1996), "On Ito stochastic integral with respect to vector stable random measures", Acta Math Vietnamica, 21, pp.171-181 [39] Đ.H.Thắng (1996), "On the adjoint of a random operator", Southeast Asia Bulletin of Math., 20, pp.95-100 99 [40] Đ.H.Thắng (1997), "Random mapping on infinite dimensional spaces", Stochastics and stochastics Report, 88, pp.51-73 [41] Đ.H.Thắng (2001), "Vector random stable measures and random integrals", Acta Mathematic Vietnamica, 26(2), pp.205-218 [42] K.Urbanik, W.A.Woyczynski (1967), "Random integral and Orlicz spaces", Bull Sca Polon Sciences, 15, pp.161-169 [43] N.N Vakhania, V.I Tarieladze and S.A Chobayan (1987), Probability distribution on Banach spaces, Reidel Publishing Company [44] N.Wiener (1923), "Differential space", J.Math.Phys., 2, pp.134-174 100 Phô lôc Phô lôc ny giới thiệu số khái niệm, định lý lý thuyết không gian Banach v lý thuyết xác suất không gian Banach đợc sử dụng luận án Các chứng minh nh thông tin liên quan ngời đọc tìm đọc [8, 9, 10, 16, 21, 28] Toán tử hạch Định nghĩa Một toán tử tuyến tính T : X Y đợc gọi l toán tử hạch tồn dÃy (xn ) X vμ (yn) Y cho vμ víi mäi x ∈ X th× ∞ n=1 xn yn < ∞ ∞ xn (x)yn T (x) = n=1 Nếu T l toán tử hạch chuẩn hạch T đợc định nghĩa T nuc = inf xn yn , n=1 infimum đợc lấy tất dÃy (xn ) v (yn) cho xn ∈ X , yn ∈ Y vμ T (x) = ∞ n=1 xn (x)yn víi mäi x ∈ X KÝ hiƯu N (X, Y ) lμ tËp c¸c toán tử hạch từ X Y N (X, Y ) đợc trang bị chuẩn hạch à nuc l không gian Banach Lớp toán tử tuyến tính hạch liên quan mật thiết với lý thuyết tích tensor không gian Banach Luận án có đề cập phần mối liên hệ ny phần 1.4 chơng v phần 2.2 chơng 101 Tích tensor không gian Banach Giả sử X v Y l kh«ng gian Banach Ký hiƯu X ⊗ Y lμ tích tensor đại số không gian Banach X v Y Trên không gian tuyến tính X Y có loại chuẩn đợc quan tâm nghiên cứu nhiÒu nhÊt lμ chuÈn bÐ nhÊt (least crossnorm) vμ chuÈn lớn (greatest crossnorm) Trong luận án, sư dơng kh¸i niƯm chn lín nhÊt (greatest crossnorm) Ký hiệu B(X, Y ; Z) l không gian hm song tuyến tính liên tục từ X ì Y Z Chó ý r»ng B(X, Y ; Z) lμ kh«ng gian Banach víi chn cđa φ ∈ B(X, Y ; Z) đợc xác định nh sau: = sup{ (x, y) : x ∈ X, y ∈ Y, x 1, y 1} Trên không gian tuyến tính X Y ta xác định hm (u) = sup{(u) : ∈ B(X, Y ; R), φ ®ã φ(u) = n i=1 φ(xi , yi ) nÕu u = n i=1 1}, xi ⊗ yi Lóc ®ã φ lμ mét chuẩn X Y Lm đủ không gian ®Þnh chn X ⊗ Y d−íi chn φ ta thu đợc không gian Banach, ký hiệu l X Y vμ gäi lμ tÝch tensor cña X vμ Y , chuẩn đợc lm đủ X Y ta tiếp tục ký hiệu l Mệnh đề ã Nếu u ∈ X ⊗Y th× n γ(u) = inf n xi yi : xi ∈ X, yi ∈ Y, u = i=1 xi ⊗ yi i=1 • NÕu u ∈ X Y , với > 0, tồn c¸c d·y (xn ) X vμ (yn) Y cho limn xn = 0, limn yn = 0, u = 102 ∞ n=1 xn ⊗ yn theo chuÈn γ vμ ∞ γ(u) xn γ(u) + yn n=1 Hình học không gian Banach Ký hiệu ( i) l dÃy Rademacher Không gian Banach X đợc gọi l lo¹i p (1 < p 2) nÕu tån t¹i mét h»ng sè C > cho víi mäi d·y hữu hạn (xi) X i xi p C i xi p 1/p i Kh«ng gian Banach X đợc gọi l đối loại q (q 2) tån t¹i mét h»ng sè C > cho với dÃy hữu hạn (xi) X xi q 1/q C i i xi q i Trong luận án quan tâm đến không gian Banach loại 2, đặc biệt l tính chất không gian loại đợc phát biểu Định lý 1.4.2 v 1.4.3 Không gian Banach loại l không gian rÊt phỉ biÕn lý thut vμ thùc tiƠn Ví dụ không gian hữu hạn chiều, không gian Hilbert, không gian lp , Lp (p 2) l không gian Banach loại Độ đo véc tơ Gauss không gian Banach Giả sử R l toán tử L(X , X) R đợc gọi lμ ®èi xøng nÕu (x1 , Rx2 ) = (Rx1 , x2 ) víi mäi x1 , x2 ∈ X R đợc gọi l dơng (Rx, x) với x X Độ đo xác suất Radon X-giá trị đợc gọi l Gauss đối xứng tồn toán tử dơng v đối xứng R ∈ L(X , X) cho ρˆ(a) = exp{−(Ra, a)/2} 103 ∀a ∈ X , ®ã ρˆ lμ ký hiệu hm đặc trng độ đo , (a) ˆ = exp{i(x, a)} ρ(dx) X Lóc ®ã ta cã Ra = (x, a)x (dx) X R đợc xác định v đợc gọi l toán tử covariance cña ρ 104
Ngày đăng: 15/09/2020, 15:03
Xem thêm:
