THÔNG TIN TÀI LIỆU
®¹i häc quèc gia hμ néi tr−êng ®¹i häc khoa häc tù nhiªn - Nguyễn Thịnh Tích phân ngẫu nhiên Ito v toán tử ngẫu nhiên không gian Banach Luận án tiến sĩ Toán học Hà Nội-2006 đại học quốc gia h nội trờng đại học khoa học tự nhiên - Nguyễn Thịnh Tích phân ngẫu nhiên Ito v toán tử ngẫu nhiên không gian Banach Chuyên nghành: Lý thuyết Xác suất Thống kê Toán học Mà số: 62 46 15 01 Luận ¸n tiÕn sÜ To¸n häc Ng−êi h−íng dÉn khoa häc: PGS.TSKH Đặng Hùng Thắng Hà Nội-2006 Mục lục Lời cam ®oan Lời cảm ơn Môc lôc Mở đầu Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss v tích phân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều 11 1.1 Biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 12 1.2 Độ đo véc tơ v tích phân hm nhận giá trị toán tử ®èi víi ®é ®o vÐc t¬ 14 1.2.1 Độ đo véc tơ 14 1.2.2 TÝch ph©n Bochner 16 1.2.3 TÝch ph©n cđa mét hμm nhËn giá trị toán tử độ đo véc t¬ 1.3 16 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên v tích phân ngẫu nhiên hm tất định độ đo véc tơ ngẫu nhiên 18 1.4 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss 20 1.5 Tích phân ngẫu nhiên Wiener độ đo véc tơ ngẫu nhiên 1.6 Gauss ®èi xøng 24 Martingale nhËn gi¸ trị không gian Banach 25 Tích phân ngẫu nhiên Ito vô hạn chiều v công thức Ito 2.1 Tích phân ngẫu nhiên hm ngẫu nhiên nhận giá trị toán tử độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss 2.2 2.3 27 Biến phân bình phơng độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss đối xứng 41 Quá trình Ito vμ c«ng thøc Ito 46 Toán tử ngẫu nhiên không gian Banach 3.1 27 58 Kh¸i niƯm cđa to¸n tư ngÉu nhiên bị chặn, ví dụ v tính chất tổng qu¸t 58 3.2 Các điều kiện để toán tử ngẫu nhiên l bị chặn 65 3.3 Nguyên lý bị chặn hiệu lực cho toán tử ngẫu nhiên bị chặn 71 Th¸c triển toán tử ngẫu nhiên bị chặn 75 VÒ nghiên cứu 83 KÕt luËn 93 Tμi liƯu tham kh¶o 96 3.4 Phô lôc 100 Mở đầu Trong ba kỷ qua, với công lao đóng góp nhiều hệ nh toán học, giải tích toán học đà trở thnh lĩnh vực toán học lớn với chuyên ngnh nh: phép tính vi tích phân, phơng trình vi phân, phơng trình đạo hm riêng, lý thuyết toán tử tuyến tính, Nã cung cÊp cho nhiÒu ngμnh khoa häc vμ kü thuật công cụ đắc lực để xử lý v tính toán mô hình tất định Tuy nhiên, sống giới chịu nhiều tác động nhân tố ngẫu nhiên Phần lớn hệ động lực, trình tự nhiên l hệ động lực ngẫu nhiên v trình ngẫu nhiên Thnh thử để phản ánh thực tế đắn hơn, ngoi việc nghiên cứu mô hình tất định, việc nghiên cứu mô hình ngẫu nhiên l tất yếu v cần thiết Trong vi chục năm gần đây, mặt nhu cầu phát triển nội toán học, mặt khác nhằm cung cấp ngôn ngữ, công cụ cho phép mô tả, phân tích, dự báo v điều khiển mô hình ngẫu nhiên, giải tích ngẫu nhiên đà đời với lý thuyết độ đo ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên, phơng trình vi phân ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên, điểm bất động ngẫu nhiên, hệ động lực ngẫu nhiên Trong hớng nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên, việc nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên vô hạn chiều đợc nhiều tác giả quan tâm phát triển nội giải tích ngẫu nhiªn cịng nh− sù xt hiƯn cđa nhiỊu bμi toán thực tiễn đòi hỏi cách tiếp cận vô hạn chiều Cần ý để nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên không gian vô hạn chiều, ngời ta cần phải có phơng pháp v dụng cụ khác so với việc nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên hữu hạn chiều Bởi lẽ phơng pháp v dụng cụ xác suất không gian hữu hạn chiều mở rộng sang không gian vô hạn chiều không hiệu lực Về mặt lịch sử, tích phân ngẫu nhiên lý thuyết xác suất l tích phân hm tất định chuyển động Brown Wiener đa vo năm 1923 Tích phân ny đợc gọi l tích phân Wiener Tích phân Wiener nhìn nhận nh l tích phân hm tất định thực ®èi víi ®é ®o ngÉu nhiªn Wiener - mét độ đo ngẫu nhiên giá trị thực sinh chuyển động Brown T tởng độ đo ngẫu nhiên giá trị thực lần xuất công trình Bochner Các tác giả nh Urbanik-Woyczynski, Hoffman-Jorgensen, Okazaki, Rosinski, Đ.H.Thắng, lần lợt đa khái niệm độ đo ngẫu nhiên ngy cng tổng quát v xét tích phân hm tất định thực độ đo ngẫu nhiên Chơng có tiêu đề "Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss v tích phân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều" Chơng ny trình by cách tóm lợc để lm quen với định nghĩa, kết độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss đối xứng với giá trị không gian Banach vô số chiều Các kết ny đợc sử dụng thờng xuyên chơng Nhu cầu toán học nh thực tiễn đòi hỏi phải thực trình lấy tích phân không cho hm tất định m cho hm ngẫu nhiên Năm 1942 nh toán học Ito đà xây dựng trình tích phân cho hm ngẫu nhiên phù hợp chuyển động Brown Tích phân ny đợc gọi l tích phân ngẫu nhiên Ito Tích phân Ito v công thức Ito đóng vai trò đặc biệt quan trọng giải tích ngẫu nhiên tơng tự nh tích phân Riemann v công thức Newton-Leibniz giải tích cổ điển Giải tích cổ điển nghiên cứu vi tích phân không gian hữu hạn chiều, giải tích ngẫu nhiên nghiên cứu phép tính vi tích phân ngẫu nhiên Sự khác giải tích cổ điển v giải tích ngẫu nhiên thực chất nằm khác công thức đạo hm hm số hợp, môi trờng ngẫu nhiên công thức ny mang tên Ito Vi tích phân ngẫu nhiên Ito ngy cng đóng vai trò quan trọng, mô tả ngy cng v sát nhiều mô hình thùc tÕ vμ cã nhiỊu øng dơng thiÕt thùc Một ứng dụng đáng ý gần kể đến l trở thnh công cụ quan trọng nghiên cứu toán ti chính, nh việc định nghĩa v nghiên cứu mô hình Black-Scholes, Merton, Hull and White, Có nhiều hớng nghiên cứu mở rộng tích phân Ito Một số tác giả muốn xây dựng loại tích phân ngẫu nhiên m không cần giả thiết phù hợp, nh tích phân Ogawa, tÝch ph©n Stratonovich, tÝch ph©n Skorokhod Mét h−íng më réng khác l xây dựng tích phân hm ngẫu nhiên trình ngẫu nhiên tổng quát Chẳng hạn lý thuyết tích phân ngẫu nhiên hm ngẫu nhiên khả đoán semimartingale đà đợc nhiều tác giả Mỹ v Pháp quan tâm; lý thuyết tích phân ngẫu nhiên trình Brown phân thứ đợc số tác giả quan tâm dụng toán ti Chơng có tiêu đề "Tích phân ngẫu nhiên Ito vô số chiều v công thức Ito" Chơng ny dnh cho việc xây dựng tích phân Ito hm ngẫu nhiên giá trị toán tử độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss, xây dựng trình ngẫu nhiên vô hạn chiều Xt, kiểu Ito tổng quát v thiết lập công thức Ito tơng ứng Giả sử X, Y l không gian Banach Cho trớc Z l độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X-giá trị với độ đo covariance Q (đợc định nghĩa Đ.H.Thắng) Chúng định nghĩa trình ngẫu nhiên Xt Y -giá trị có dạng Xt = X0 + t a(s, ω) ds + t b(s, ω) · dQs + t c(s, ω) · dZs (0 ≤ t ≤ T ) vμ gäi ®ã lμ trình Ito Y -giá trị độ đo ngẫu nhiên Z Để định nghĩa đợc trình ny, đà phải xây dựng khái niệm tích phân ngẫu nhiên hm ngẫu nhiên L(X, Y )-giá trị độ đo Z Kết quan trọng chơng ny l việc chứng minh công thức Ito vô số chiều (Định lý 2.3.2) Để chuẩn bị cho việc thiết lập công thức ny, luận án đà sử dụng công cụ tích tensor để lm rõ tác động toán tử song tuyến tính lên toán tử hạch v nghiên cứu biến phân ton phơng độ đo Z Công thức biến phân ton phơng ny viết cách hình thức có dạng dZ dZ = dQ Trong trờng hợp Z l độ đo Wiener X-giá trị v không gian X, Y l hữu hạn chiều ta thu đợc công thức Ito hữu hạn chiều (Hệ 2.3.4) Chú ý công thức ny cịng lμ míi v× cho tíi ng−êi ta míi xét trờng hợp công thức Ito hữu hạn chiều với trình Wiener nhiều chiều với thnh phần ®éc lËp (tøc lμ víi ®é ®o ngÉu nhiªn Wiener với độ đo covariance Q dạng dQ = R dt, R l ma trận đơn vị) Trong giải tích cổ điển (không ngẫu nhiên) ta đà biết tích phân l loại toán tử tuyến tính đặc biệt vμ rÊt quan träng Lý thut to¸n tư tun tÝnh (tất định) đà đợc phát triển thnh lý thuyết đồ sộ giải tích hm v đà đợc áp dụng hiệu để nghiên cứu lý thuyết phơng trình vi phân v phơng trình đạo hm riêng Tơng tự nh vậy, tích phân ngẫu nhiên l loại toán tử ngẫu nhiên đặc biệt v quan trọng Một toán tử ngẫu nhiên A từ X vo Y l phép tơng ứng x X biến ngẫu nhiên Ax nhận giá trị Y Phép tơng ứng ny thoả mÃn điều kiện tuyến tính v liên tục theo nghĩa xác suất no Nh khái niệm toán tử ngẫu nhiên l mét sù më réng "ngÉu nhiªn" (hay sù ngÉu nhiªn hoá) cách tự nhiên khái niệm toán tử tuyến tính tất định Toán tử ngẫu nhiên không gian Hilbert đợc nghiên cứu hệ thống Skorokhod v đợc phát triển Đ.H.Thắng Theo hiểu biết lý thuyết toán tử ngẫu nhiên giai đoạn đầu phát triển v nhiều vấn đề bỏ ngá NÕu nh− lý thut to¸n tư tun tÝnh (tÊt định) đà trở thnh lâu đồ sộ, honh tráng giải tích, có nhiều ứng dụng toán học nh thực tiễn có sở ®Ĩ hy väng vμ tin t−ëng r»ng t−¬ng lai lý thuyết toán tử ngẫu nhiên có hình hi, vị trí xứng đáng v tầm quan trọng lớn lao giải tích ngẫu nhiên Chơng có tiêu đề "Toán tử ngẫu nhiên không gian Banach" Trong chơng ny dnh quan tâm cho lớp toán tử ngẫu nhiên bị chặn Đó lμ mét líp cđa líp c¸c to¸n tư ngÉu nhiên bị chặn nhng lại l mở rộng gần gũi toán tử tuyến tính tất định Chúng đà thiết lập điều kiện để toán tử ngẫu nhiên l bị chặn Một kết thú vị chơng ny l nguyên lý bị chặn (Định lý Banach-Steinhaus) cho họ toán tử tuyến tính tất định cho họ toán tử ngẫu nhiên (bị chặn theo nghĩa xác suất) nhng đà không cho họ toán tử ngẫu nhiên bị chặn (bị chặn theo nghÜa h.c.c.) (xem vÝ dơ 3.3.3 cđa ln án) Nếu nhìn tích phân Wiener nh toán tử ngẫu nhiên tích phân Ito, tích phân Ogawa, tích phân Stratonovich v tích phân Skorokhod xem nh l cố gắng để thác triển miền xác định tích phân Wiener từ tập hm tất định bình phơng khả tích lên lớp no hm ngẫu nhiên có quỹ đạo bình phơng khả tích Chúng đa kiểu thác triển v chứng minh đợc toán tử ngẫu nhiên bị chỈn tõ X sang Y (vμ chØ cã nã) míi thác triển miền xác định lên ton biến ngẫu nhiên nhận giá trị X đồng thời bảo ton tính chất tuyến tính v liên tục (Định lý 3.4.5) Một hệ thú vị định lý ny l: thác triển miền xác định tích phân Wiener từ tập hm tất định bình phơng khả tích lên tất hm ngẫu nhiên có quỹ đạo bình phơng khả tích Trong trình nghiên cứu hon thnh luận án, ngoi kết đà công bố, tìm số kết thú vị khác toán tử ngẫu nhiên tổng quát (không thiết bị chặn) Nhng kết cha thnh hệ thống hon chỉnh v mạch lạc nên trình by buổi seminar nhỏ Phần phụ lục nhỏ cuối luận án có tiêu đề "Về nghiên cứu tiếp theo" Trong chơng ny, đa số vấn đề m ch−a gi¶i qut hoμn chØnh vμ kÌm theo mét sè kết đà đạt đợc Chúng dnh vấn đề cho nghiên cứu sau luận án Các kết chủ yếu luận án đà đợc báo cáo hội nghị: Hội nghị Khoa học trờng Đông Xác suất-Thống kê, Vinh (2003), Hội nghị nghiên cứu Khoa học Trờng Đại học Khoa học Tự nhiên (2004), Hội nghị Ton quốc Xác suất Thống kê Ba Vì (2005) V đợc công bố công trình [1-5] đợc liệt kê "danh mục công trình đà công bố tác giả liên quan đến luận án" Chơng Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss tích phân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều Việc nghiên cứu tích phân ngẫu nhiên Ito cho hm ngẫu nhiên nhận giá trị toán tử độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss nhận giá trị không gian Banach m đề cập đến chơng xem nh− lμ sù më réng tÝch ph©n cđa hμm tÊt định độ đo ngẫu nhiên Gauss (tích phân Wiener vô số chiều) đợc định nghĩa Đ.H.Thắng cho tích phân hm ngẫu nhiên độ đo ngẫu nhiên Gauss Mặt khác l việc mở rộng vô hạn chiều cho tích phân Ito, cần hỗ trợ từ nhiều kết trừu tợng không gian Banach, nh l: toán tử hạch, tích tensor không gian Banach, hình học không gian Banach, độ đo véc tơ, tích phân độ đo véc tơ, độ đo véc tơ ngẫu nhiên v tích phân ngẫu nhiên hm tất định độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss Trong chơng ny trình by cách tóm lợc khái niệm v số tính chất độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss, khái niệm đợc sử dụng thờng xuyên sau ny Cho X lμ kh«ng gian Banach, (T, Σ) lμ mét kh«ng gian đo đợc v (, F, P) l không gian xác suất sở Định nghĩa 1.5.1 ã Mét hμm Z : Σ → LX (Ω, F, P) đợc gọi l độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X-giá trị Trớc tiên, quan sát giá trị vế công thức ta nhận thấy vế trái nhận giá trị không gian tích tensor X X vế phải lại nhận giá trị không gian Banach N (X , X) Tuy nhiên Định lý 2.2.2 Nếu X l không gian phản xạ không gian X X đẳng cấu với không gian N (X , X) qua ¸nh x¹ J : X ⊗X → N (X , X) đợc xác định (xn , a)yn J(u)(a) = (a ∈ X ) i=n nÕu u = ∞ n=1 xn yn Từ ta giả thiết X l không gian phản xạ Lúc với T N (X , X) X X vμ φ ∈ B(X, X; Y ) L(X ⊗X, Y ), ta định nghĩa tác động lên T l (J 1T ) v đợc ký hiệu l à T , giá trị nằm không gian Banach Y Gi¶ sư Δ: = t0 < t1 < · · · < tn = T l phân hoạch S = [0, T ] Ký hiÖu Zi := Zti − Zti−1 vμ fi := fti1 Định lý 2.2.5 (Biến phân bình phơng độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss) Giả sử X l không gian phản xạ, X, Y l không gian Banach loại v Z l độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X-giá trị [0, T ] với độ đo covariance Q thoả mÃn |Q| không cã nguyªn tư f (t, ω) lμ mét hμm ngÉu nhiên B(X, X; Y )-giá trị phù hợp với Z vμ tho¶ m·n T E f (t, ω) d|Q|(t) < ∞ Lóc ®ã ta cã, n fi(Zi⊗Zi) → i=1 T f (t) · dQ(t) theo x¸c suÊt |Δ| = max |Q|(Ai) → i Ta m« tả Định lý 2.2.5 công thức dZ(t) dZ(t) = dQ(t) 11 Nếu W l trình Wiener X-giá trị với tham số (, R) ta có dW (t) ⊗ dW (t) = R · dμ(t) 2.3 Qu¸ trình Ito công thức Ito Định nghĩa 2.3.1 Giả sử X, Y l không gian Banach loại 2, X l không gian phản xạ, Z l độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X-giá trị với độ đo covariance Q v |Q| l biến phân độ đo Q Quá trình ngẫu nhiên Y -giá trị Xt đợc gọi l trình Ito Y -giá trị Z nÕu nã cã d¹ng Xt = X0 + t a(s, ω) ds + t b(s, ω) · dQ(s) + t c(s, ω) · dZs , at l trình ngẫu nhiên Y -giá trị phù hợp với Z, bt l trình ngẫu nhiên B(X, X; Y )-giá trị phù hợp với Z, ct l trình ngẫu nhiên L(X, Y )-giá trị phù hợp với Z v thoả mÃn P{ : P{ ω : P{ ω : T T T a(t, ω) dt < ∞ } = 1, b(t, ω) d|Q|(t) < ∞ } = 1, c(t, ω) d|Q|(t) < ∞ } = Trong tr−êng hỵp nμy ta nãi Xt cã vi ph©n Ito dXt cho bëi dXt = a dt + b · dQt + c à dZt Định lý 2.3.2 (công thức Ito tổng quát vô hạn chiều) Giả sử X, Y, E l không gian Banach loại 2, X phản xạ, Z l độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X-giá trị [0, T ] với độ đo covariance Q v Xt l trình Ito Y -giá trị ®èi víi Z, dXt = a dt + b · dQt + c · dZt 12 Cho g : [0, ) ì Y E l hm khả vi liên tục biến thứ v khả vi liên tục cấp biến thứ hai (khả vi mạnh) Đặt Yt := g(t, Xt ) Lúc Yt l trình Ito E-giá trị ®èi víi Z vμ dYt = ∂ 2g ∂g ∂g ∂g + a dt + ◦b+ ◦ c2 · dQt ∂t ∂x ∂x ∂x ∂g ◦ c · dZt , + ∂x ®ã c ∈ L(X, Y ), c2 l kí hiệu ánh xạ từ X ì X vo Y ì Y đợc định nghĩa bëi c2 (x1 , x2 ) = (cx1 , cx2 ) (x1 , x2 ∈ X) vμ u ◦ v l phép tác động hợp thnh ánh xạ u v v Ta xét trờng hợp riêng Định lý 2.3.2 cách thay độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X-giá trị độ đo ngẫu nhiên Wiener X-giá trị W với tham số (, R) (λ lμ ®é ®o Lebesgue) Trong tr−êng nμy dQ = R dt Vì trình Ito Xt độ đo ngẫu nhiên Wiener X-giá trị W có d¹ng dXt = a dt + b · dWt , a(s, ) l hm ngẫu nhiên phù hợp Y -giá trị v b(s, ) l hm ngẫu nhiên phù hợp L(X, Y )-giá trị xác định [0, T ] Từ Định lý 2.3.2 ta nhận đợc Hệ 2.3.3 Giả sử X, Y, E l không gian Banach loại 2, X l không gian phản xạ, W l độ đo ngẫu nhiên Wiener X-giá trị xác định ([0, T ], B[0, T ]) với tham số (, R) v Xt l trình Ito Y -giá trị với vi phân dXt = a dt + b · dWt Cho g : [0, ) ì Y E l hm khả vi liên tục biến thứ v khả vi liên tục cấp biến thứ hai (khả vi mạnh) Đặt Yt := g(t, Xt ) Lúc Yt l trình Ito E-giá trị đối víi Z vμ dYt = ∂ 2g ∂g ∂g ∂g + a+ ◦ b · dWt · R dt + ◦ b ∂t ∂x ∂x2 ∂x 13 (2.4) Ta tiếp tục xét trờng hợp riêng Bổ đề 2.3.3 X, Y, E l không gian hữu hạn chiều Giả sử X = Rn , Y = Rd , E = Rk , R = (ri,j ) ma trận xác định không âm cấp n ì n Gọi W l độ đo ngẫu nhiên Wiener X-giá trị xác định ([0, T ], B[0, T ]) víi c¸c tham sè (λ, R) Lóc ®ã λ(A)R chÝnh lμ ma trËn covariance cđa vÐc tơ ngẫu nhiên n chiều W (A), với A B[0, T ] Giả sử Xt l trình Ito d-chiỊu víi dXt = a dt + b · dWt , a = (ai(t)) l hm ngẫu nhiên phï hỵp d-chiỊu, b = (bi,j (t)) lμ matrËn ngÉu nhiên phù hợp d ì n chiều thoả mÃn P{ : P{ω : T T |ai(t, ω)| dt < ∞} = 1, |bi,j (t, ω)|2 dt < ∞} = Lúc ta có hệ sau Hệ 2.3.4 (Công thức Ito nhiều chiều) Nếu g(t, x) : [0, ) ì Rd Rk l hm thoả m·n ®iỊu kiƯn cđa Bỉ ®Ị 2.3.3 vμ Yt = g(t, Xt ) Yt l trình Ito k-chiều vμ ∂g ∂g + ×a+ dYt = ∂t ∂x + d d i=1 j=1 ∂ 2g (b × R × b )i,j dt ∂xi ∂xj ∂g × b × dWt ∂x (2.5) ®ã (×) lμ ký hiƯu tÝch cđa c¸c ma trËn, b lμ ma trËn chun vị b v bi,j l phần tử dòng i cột j ma trận b Đặc biệt, W l trình Wiener với thnh phần độc lập ma trận covariance R trở thnh ma trận đơn vị v thay vo (2.5) ta thu đợc công thức Ito thông thờng m ta đà biết 14 Chơng Toán tử ngẫu nhiên không gian Banach Toán tử ngẫu nhiên l khái niệm ngẫu nhiên hoá tự nhiên khái niệm toán tử giải tích hm Một toán tử ngẫu nhiên từ X vo Y tác động lên phần tử miền xác định X ảnh (output) l phần tử cố định Y nh khái niệm toán tử m l phần tử ngẫu nhiên không gian Y Một câu hỏi tự nhiên đợc đặt l: tính chất lý thuyết toán tử (tất định) môi trờng ngẫu nhiên nh no, liệu áp dụng cho toán tử ngẫu nhiên hay không? Trong chơng ny nghiên cứu toán tử ngẫu nhiên, tập trung vo vấn đề nh: nghiên cứu tính bị chặn, nguyên lý bị chặn v mở rộng miền xác định 3.1 Khái niệm toán tử ngẫu nhiên bị chặn, ví dụ tính chất tổng quát Giả sử X, Y l không gian Banach khả ly Định nghĩa 3.1.1 Một ánh xạ từ X vo LY0 () đợc gọi l ánh xạ ngẫu nhiên tõ X vμo Y Mét to¸n tư ngÉu nhiên từ X vo Y l ánh xạ ngẫu nhiªn tõ X vμo Y cã tÝnh chÊt tuyÕn tÝnh v liên tục ngẫu nhiên Tức l: 15 Với x1 , x2 ∈ X, λ1 , λ2 ∈ R ta cã A(λ1x1 + λ2x2 ) = λ1 A(x1 ) + λ2 A(x2) h.c.c., vμ p-limx→x0 Ax = Ax0 Họ biến ngẫu nhiên (ui, i I) đợc gọi l bị chặn theo xác suất limt supiI P { ui > t} = 0, v đợc gọi l bị chặn h.c.c tồn biến ngÉu nhiªn thùc k(ω) cho víi mäi i ∈ I ui () k() h.c.c Mệnh đề 3.1.2 Một ánh xạ tuyến tính ngẫu nhiên A từ X vo Y l toán tử ngẫu nhiên v tập biến ngẫu nhiên {Ax, x B} bị chặn theo xác suất, B l hình cầu đơn vị X Định nghĩa 3.1.3 Toán tử ngẫu nhiên A đợc gọi l bị chặn họ {Ax, x B} bị chặn h.c.c., tức l tồn biến ngẫu nhiên thực k() cho với x B Ax() k() h.c.c Chúng ta xét số ví dụ toán tử ngẫu nhiên bị chặn v toán tử ngẫu nhiên không bị chặn VÝ dô 3.1.4 Cho T1 , , Tn ∈ L(X, Y ) vμ α1 , , αn lμ c¸c biÕn ngẫu nhiên thực Lúc ánh xạ ngẫu nhiên A từ X vo Y đợc định nghĩa n Ax() = k ()Tk x k=1 l toán tử ngẫu nhiên bị chặn Ví dụ 3.1.5 Giả sử K(s, t, ) l hm ngẫu nhiên với quỹ đạo l hm liên tục xác định hình vuông đơn vị [0, 1] ì [0, 1] Với hm x(t) C[0, 1] ta định nghĩa Ax(t, ) = K(t, s, )x(s)ds Lúc A l toán tử ngẫu nhiên bị chặn 16 Ví dụ 3.1.6 A l ánh xạ tuyến tính ngẫu nhiên từ L2 [0, 1] vo C[0, 1] đợc xác định Ax(t) = t x(s)dW (s) Lúc A l toán tử ngẫu nhiên nhng không bị chặn 3.2 Các điều kiện để toán tử ngẫu nhiên bị chặn Định lý 3.2.1 Một toán tử ngẫu nhiên A từ X vo Y l bị chặn v tồn ¸nh x¹ T : Ω → L(X, Y ) cho Ax() = T ()x h.c.c (3.1) ánh xạ T : Ω → L(X, Y ) tho¶ m·n T (ω) đo đợc v L(X, Y ) l không gian khả ly T l biến ngẫu nhiên L(X, Y )-giá trị, nhiên nói chung ánh xạ T không l biến ngẫu nhiên L(X, Y )-giá trị Nhận xét Nếu A l toán tử ngẫu nhiên bị chặn tõ X vμo Y th× k(ω) = T (ω) lμ biến ngẫu nhiên nhỏ (h.c.c.) thoả mÃn: Ax() k() x h.c.c ∀x ∈ X (3.2) Vμ tõ ta sÏ kÝ hiÖu A thay cho T (ω) HÖ 3.2.4 Cho X l không gian Banach với së Shauder (en ), (e∗n ) lμ c¬ së t−¬ng ứng X v A l toán tử ngẫu nhiên từ X vo Y Lúc A l bị chặn v tồn tập D víi x¸c st cho víi mäi ω D, x X, chuỗi k=1 (x, ek )Aek () Định lý 3.2.5 Giả sử X = lp (1 héi tô Y p < ∞) v A l toán tử ngẫu nhiên từ X vo Y Điều kiện cần cho tính bị chặn cña A lμ sup Aen < ∞ h.c.c n 17 (3.3) Với p > : A bị chặn nÕu ∞ Aen q
Ngày đăng: 15/09/2020, 15:42
Xem thêm: