Một số phương pháp song song dạng Runge-Kutta giải bài toán không cương: Luận án TS. Toán học: 62 46 30 01

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  NGUYỄN THU THỦY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SONG SONG DẠNG RUNGE - KUTTA GIẢI BÀI TỐN KHƠNG CƯƠNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  NGUYỄN THU THỦY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SONG SONG DẠNG RUNGE - KUTTA GIẢI BÀI TỐN KHƠNG CƯƠNG Chun ngành: Tốn học tính tốn Mã số: 62 46 30 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Hữu Công HÀ NỘI - 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các kết nêu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Thu Thủy LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Hữu Công Thầy dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học từ tác giả học viên cao học Ngoài dẫn mặt khoa học, động viên lòng tin tưởng thầy dành cho tác giả động lực lớn giúp tác giả tự tin say mê nghiên cứu Qua tác giả xin bày tỏ biết ơn sâu sắc lòng quý mến thầy Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn đến thày bạn đồng nghiệp xemina Bộ mơn Tốn học tính tốn, trường Đại học Khoa học Tự nhiên-Đại học Quốc Gia Hà Nội tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoành thành luận án Tại tác giả nhận nhiều dẫn, góp ý mơi trường nghiên cứu sôi thân thiện, điều thiếu q trình nghiên cứu, hồn thành luận án tác giả Tác giả xin gửi lời cám ơn tới thày khoa Tốn-Cơ-Tin học, Phịng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên- Đại học Quốc Gia Hà Nội, nơi tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán-Tin Bộ mơn Tốn ứng dụng trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi q trình tác giả học tập, cơng tác hồn thành luận án Trong q trình học tập hoàn thành luận án, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ góp ý GS.TSKH Phạm Kỳ Anh, PGS.TSKH Vũ Hoàng Linh, Tác giả xin chân thành cảm ơn Giáo sư giúp đỡ quý báu Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn đến ơng bà, bố mẹ, anh chị em hai bên nội ngoại, chồng bạn bè góp ý động viên tác giả q trình học tập hồn thành luận án Tác giả MỤC LỤC MỤC LỤC DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT MỘT SỐ KÍ HIỆU CHUNG MỞ ĐẦU Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 11 Phương pháp Runge-Kutta 12 1.1.1 Cấp xác phương pháp Runge-Kutta 14 1.1.2 Tính ổn định phương pháp Runge-Kutta 15 1.2 Các phương pháp Runge-Kutta hiển 16 1.3 Các phương pháp Runge-Kutta ẩn 18 1.4 Phương pháp Runge-Kutta lặp song song (PIRK) 21 1.4.1 Nội dung phương pháp PIRK 23 1.4.2 Cấp xác phương pháp PIRK 24 1.5 1.4.3 Sự ổn định phương pháp PIRK 24 1.4.4 Sự hội tụ trình lặp 26 Một số mã tính tốn 26 1.5.1 Phương pháp kẹp thêm có cấp xác - mã DOPRI5 1.5.2 Phương pháp kẹp thêm có cấp xác 8- mã DOPRI853 28 Phương pháp ngoại suy- mã ODEX 31 Ba toán thử 37 1.5.3 1.6 27 Chương PHƯƠNG PHÁP LẶP SONG SONG DẠNG RUNGEKUTTA HAI BƯỚC MỘT DỰA TRÊN CÁC ĐIỂM TRÙNG KHỚP GAUSS-LEGENDRE 2.1 2.2 40 Phương pháp dạng Runge-Kutta hai bước dựa điểm trùng khớp Gauss-Legendre 41 2.1.1 Ổn định tuyến tính 44 2.1.2 Thử nghiệm số 49 Phương pháp lặp song song dạng Runge-Kutta hai bước dựa điểm trùng khớp Gauss-Legendre 50 2.2.1 Điều kiện bậc 52 2.2.2 Sự hội tụ trình lặp 54 2.2.3 Miền ổn định 55 2.2.4 Thử nghiệm số 57 2.2.5 So sánh với phương pháp song song 59 2.2.6 So sánh với mã 62 Chương PHƯƠNG PHÁP LẶP SONG SONG GIẢ RUNGE-KUTTA HAI BƯỚC VỚI CHIẾN LƯỢC ĐIỀU KHIỂN BƯỚC LƯỚI 3.1 3.2 3.3 65 Phương pháp giả Runge-Kutta hai bước kẹp thêm với bước lưới thay đổi 66 3.1.1 Điều kiện bậc 68 3.1.2 Công thức kẹp thêm 72 Phương pháp PIPTRK với chiến lược điều khiển bước lưới 73 3.2.1 Điều kiện bậc cho công thức dự báo 75 3.2.2 Sự hội tụ trình lặp 77 3.2.3 Điều khiển bước lưới 77 Thử nghiệm số 79 3.3.1 Xác lập phương pháp PIPTRKSC 79 3.3.2 So sánh với mã song song 81 3.3.3 So sánh với mã 83 3.3.4 Tính hiệu chiến lược điều khiển bước lưới 85 Chương PHƯƠNG PHÁP GIẢ RUNGE-KUTTA BA BƯỚC 4.1 4.2 89 Phương pháp giả Runge-Kutta ba bước (EPThRK) 90 4.1.1 Điều kiện bậc 92 4.1.2 Tính ổn định 97 Các thử nghiệm số 98 4.2.1 Chọn phương pháp EPThRK 98 4.2.2 So sánh với mã song song 100 4.2.3 So sánh với mã 102 4.2.4 So sánh phương pháp EPThRK với phương pháp TBTPIRKG PIPTRKSC 104 KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 108 109 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 110 TÀI LIỆU THAM KHẢO 111 MỘT SỐ KÍ HIỆU CHUNG Một số kí hiệu thơng thường • Rd − khơng gian véc tơ thực d− chiều • C− tập số phức • C− − tập số phức với phần thực khơng dương • Với số phức z ∈ C, Re(z), Im(z) phần thực phần ảo số phức z • σ(A) phổ ma trận A • ρ(A) bán kính phổ ma trận A Lũy thừa véc tơ Giả sử c = (c1 , c2 , , cs )T , ck = (ck1 , ck2 , , cks )T Toán tử exp( d ) dx d d d2 dn exp( ) = + + + ··· + + dx dx 2!dx n!dxn Kí hiệu véc tơ e Véc tơ e ln hiểu véc tơ có tất thành phần Véc tơ hàm Giả sử f (x, y) hàm thực hai biến x, y Nếu thay x y tương ứng hai véc tơ v = (v1 , v2 , , vs )T w = (w1 , w2 , , ws )T ta véc tơ hàm với s thành phần: f (v, w) = [f (v1 , w1 ), f (v2 , w2 ), , f (vs , ws )]T Nếu x ∈ R, y thay w = (w1 , w2 , , ws )T ta có: f (x, w) = [f (x, w1 ), f (x, w2 ), , f (x, ws )]T DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT EPThRK Explicit pseudo three-step Runge-Kutta method Phương pháp giả Runge-Kutta ba bước ERK Explicit Runge-Kutta Runge-Kutta hiển IRK Implicit Runge-Kutta Rungge-Kutta ẩn PC Predictor-Corrector Dự báo-Hiệu chỉnh PIPTRK parallel-iterated pseudo two-step Runge- Kutta methods Phương pháp lặp song song giả Runge-Kutta hai bước PIPTRKSC Parallel-iterated pseudo two-step Runge-Kutta method with step size control Phương pháp lặp song song giả Runge-Kutta hai bước với chiến lược điều khiển bước lưới PTRK Pseudo two-step RK methods Phương pháp giả Runge-Kutta hai bước TBTIRKG Two-step-by-two-step IRK methods based on Gauss-Legendre collocations points Phương pháp dạng Runge-Kutta ẩn hai bước dựa điểm trùng khớp Gauss-Legendre TBTRKG Two-step-by-two-step Runge-Kutta-type corrector methods based on Gauss-Legendre collocation points Phương pháp hiệu chỉnh dạng Runge-Kutta hai bước dựa điểm trùng khớp Gauss-Legendre TBTPIRKG two-step-by-two-step parallel-iterated Runge-Kutta-type PC methods based on Gauss-Legendre collocation points Phương pháp lặp song song dạng Runge-Kutta hai bước dựa điểm trùng khớp Gauss-Legendre 103 Hình 4.4: So sánh với mã cho tốn JACB Hình 4.5: So sánh với mã cho tốn FEHL 104 Hình 4.6: So sánh với mã cho toán TWOB với ε = 0, 4.2.4 So sánh phương pháp EPThRK với phương pháp TBTPIRKG PIPTRKSC Trong mục này, chúng tơi so sánh tính hiệu phương pháp EPThRK với phương pháp mà đề xuất nghiên cứu chương trước TBTPIRKG PIPTRKSC Chúng hạn chế so sánh ba phương pháp TBTPIRKG, PIPTRKSC EPThRK có cấp xác (ký hiệu phương pháp TBTPIRKG6, PIPTRKSC6 EPThRK6, tương ứng) Chúng áp dụng phương pháp EPThRK6, TBTPIRKG6 PIPTRKSC6 vào ba toán thử Mục 1.6 Các giá trị N CD N F U N thu được biểu diễn Hình 4.7, Hình 4.8 Hình 4.9 Nhìn vào Hình 4.7, Hình 4.8 Hình 4.9, chúng tơi thấy phương pháp EPThRK6 hiệu so với phương pháp TBTPIRKG6 PIPTRKSC6 trường hợp so sánh phương pháp EPThRK 105 với mã song song (xem Mục 4.2.2) trường hợp so sánh với mã (xem Mục 4.2.3) Hình 4.7: So sánh ba phương pháp EPThRK6, TBTPIRKG6 PIPTRKSC6 cho tốn JACB 106 Hình 4.8: So sánh ba phương pháp EPThRK6, TBTPIRKG6 PIPTRKSC6 cho tốn FEHL Hình 4.9: So sánh ba phương pháp EPThRK6, TBTPIRKG6 PIPTRKSC6 cho toán TWOB với ε = 0, 107 Kết luận Chương Trong chương này, xây dựng phương pháp giả RK ba bước hiển (phương pháp EPThRK) phù hợp với việc sử dụng máy tính song song Các phương pháp EPThRK rẻ giải số hệ phương trình vi phân Sau hai bước tính tốn đầu tiên, phương pháp EPThRK u cầu lần tính tốn hàm vế phải f bước Chúng so sánh phương pháp EPThRK với mã song song vào loại tốt có cách áp dụng chúng vào việc giải số tốn thử thơng dụng Mặc dù kết mã song song nhận nhờ sử dụng lưới biến bước, phương pháp EPThRK4 EPThRK6 áp dụng với bước lưới cố định, phương pháp EPThRK4 EPThRK6 hiệu Ngồi ra, chúng tơi cịn so sánh phương pháp EPThRK6 với phương pháp TBTPIRKG6 PIPTRKSC6, kết cho thấy phương pháp EPThRK6 hiệu 108 KẾT LUẬN Trong luận án đề xuất nghiên cứu số phương pháp song song giải số toán giá trị ban đầu khơng cương cho hệ phương trình vi phân cấp Các kết luận án: • Đề xuất nghiên cứu phương pháp lặp song song hiệu chỉnh hai bước dạng Runge-Kutta dựa điểm trùng khớp GaussLegendre • Đề xuất nghiên cứu phương pháp lặp song song giả Runge-Kutta hai bước với chiến lược điều khiển bước lưới • Đề xuất nghiên cứu phương pháp giả Runge-Kutta ba bước Các phương pháp đề xuất thử nghiệm số để chứng minh tính hiệu chúng so với phương pháp vào loại hiệu có Các kết luận án mới, có tính chất thời sự, góp phần làm phong phú thêm phương pháp song song dạng Runge-Kutta giải số phương trình vi phân 109 KIẾN NGHỊ MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Tiếp theo kết luận án, tác giả thấy có số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu là: • Nghiên cứu thêm phương pháp khác hiệu để giải toán giá trị ban đầu hệ phương trình vi phân • Nghiên cứu mở rộng phương pháp cho tốn giá trị ban đầu hệ phương trình vi phân có trễ • Nghiên cứu mở rộng phương pháp cho hệ phương trình vi phân cấp hai • Nghiên cứu viết chương trình thuật tốn luận án thành code chạy máy song song 110 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN N.H Cong and N.T Thuy (2011), "Two-step-by-two-step PIRKtype PC methods based on Gauss-Legendre collocation points", Journal of Computational and Applied Mathematics, 236, pp.225233 (SCI) N.H Cong and N.T Thuy (2012), "Stability of Two-Step-by-TwoStep IRK methods based on Gauss-Legendre collocation points and an application", Vietnam Journal of Mathematics, 40, no.1, pp.115-126 N.H Cong and N.T Thuy (2014), "Parallel iterated pseudo twostep RK methods with stepsize control", Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, 31, no 2, pp 441-460 (SCI) N.H Cong and N.T Thuy (2014), "A class of explicit pseudo threestep Runge-Kutta methods", Journal of Engineering Mathematics (submitted) 111 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kỳ Anh (2008), Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Hữu Công (2002), Các phương pháp song song dng RungeKutta- Nystrăom, Nh xut bn i hc Quc Gia Hà Nội [3] Lê Ngọc Xuân (2007), Một số phương pháp song song giải hệ phương trình vi phân, Luận án Tiến sĩ Toán học, Đại học Khoa học Tự nhiên- Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [4] Bellen, A., Vermiglio, R., Zennaro, M (1990), "Parallel ODE-solvers with stepsize control", J Comput Appl Math 31, pp.277-293 [5] K Burrage (1993), "Efficient block predictor-corrector methods with a small number of corrections", J Comput Appl Math 45, pp.139-150 [6] K Burrage (1993), "Parallel methods for initial value problems", Appl Numer Math 11, pp.5-25 [7] K Burrage (1995), Parallel and Sequential Methods for Ordinary Differential Equations, Clarendon Press, Oxford [8] K Burrage and H Suhartanto (1997), "Parallel iterated methods based on multistep Runge-Kutta mehods of Radau type", Advances in Computational Mathematics 7, pp.37-57 [9] K Burrage (1978), "A special family of Runge-Kutta methods for solving stiff differential equations", BIT 18, pp.22-41 112 [10] J.C Butcher (1963), "Coefficients for the study of Runge-Kutta Integration Processes", J of the Australian Math Soc., 3, pp.185201 [11] J.C Butcher (1964), "Implicit Runge-Kutta processes", Math Comp 18, pp.50-64 [12] J.C Butcher (1964), "Integration processes based on Radau quadrature formulas", Math Comp 18, pp.233-244 [13] J.C Butcher (1964), "On Runge-Kutta processes of high order", J of the Australian Math Soc 4, pp.179-194 [14] J.C Butcher (1964), "On the attainable order of Runge-Kutta methods", Math Comp 19, pp.408-417 [15] J.C Butcher (1985), "The non-existence of ten stage eighth order explicit Runge-Kutta methods", BIT 27, pp.521-540 [16] J.C Butcher (1977), "A-stable implicit Runge-Kutta methods", BIT 17, pp.375-378 [17] J.C Butcher (1987), The Numerial Analysys of Ordinary Differential Equations, Runge-Kutta and General Linear Methods, Wiley, New York [18] N.H Cong (1994), "Parallel iteration of symmetric Runge-Kutta methods for nonstiff initial-value problems", J Comput Appl Math 51, pp.117-125 [19] N.H Cong (1999), "Explicit pseudo two-step Runge-Kutta methods for parallel computers", Int J Comput Math 73, pp.77-91 [20] N.H Cong (1999), "Continuous variable stepsize explicit pseudo two-step RK methods", J Comput Appl Math 101, pp.105-116 113 [21] N.H Cong and T Mitsui (1996), "Collocation-based two-step Runge-Kutta methods", Japan J Indust Appl Math 13, pp.171183 [22] N.H Cong and T Mitsui (1997), "A class of explicit parallel twostep Runge-Kutta methods", Japan J Indust Appl Math 14, pp.303-313 [23] N.H Cong and T Mitsui (2003), "Parallel PC iteration of pseudo two-step RK methods for nonstiff IVPs", Japan J Indust Appl Math 20, pp.51-64 [24] N.H Cong, H Podhaisky and R Weiner (1998), "Numerical experiments with some explicit pseudo two-step RK methods on a shared memory computer", Comput Math Appl 36, pp.107-116 [25] N.H Cong and H.T Vi (1995), "An improvement for explicit parallel Runge-Kutta methods", Vietnam J Math 23, pp.241-252 [26] N.H Cong and L.N Xuan (2003), "Parallel-iterated RK-type PC methods with continuous output formulas", Int J Comput Math 80, pp.1027-1037 [27] N.H Cong and L.N Xuan (2003), "Parallel-iterated RK-type PC methods with continuous output formulas", Int J Comput Math 23, pp.241-252 [28] N.H Cong and L.N Xuan (2008), "Improved parallel-iterated pseudo two-step RK methods for nonstiff IVPs", Appl Numer Math 58, pp.160-170 [29] N.H Cong and L.N Xuan (2008), "twostep-by-twostep PIRK-type PC methods with continous output formulas", J Comput Appl Math 221, pp.165-173 114 [30] N.H Cong and N.T Thuy (2011), "Two-step-by-two-step PIRKtype PC methods based on Gauss-Legendre collocation points", J Comput Appl Math 236, pp.225-233 [31] N.H Cong and N.T Thuy (2012), Stability of Two-Step-by-TwoStep IRK methods based on Gauss-Legendre collocation points and an application, Vietnam Journal of Mathematics, 40, no.1, pp.115126 [32] N.H Cong and N.T Thuy (2014), "A class of explicit pseudo threestep Runge-Kutta methods", (submitted) [33] N.H Cong and N.T Thuy (2014), "Parallel iterated pseudo twostep RK methods with stepsize control", Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, 31, no 2, pp 441-460 [34] N.H Cong (2001), "A general family of pseudo two-step RungeKutta methods", SEA Bull Math 25, pp.61-73 [35] N.H Cong, "Explicit pseudo three-step Runge-Kutta-Nystrăom methods", in preparation [36] A.R Curtis (1975)," High-order explicit Runge-Kutta formulae , their uses and limitations", J Inst Math Appl 16, pp.35-55 [37] A.R Curtis (1964), Tables of Jacobian Elliptic Functions Whose Arguments are Rational Fractions of the Quater Period, H.M.S.O., London [38] Gear, C.W (1988), "Parallel methods for ordinary differential equations", Calcolo 25, pp 1-20 [39] E Hairer (1978), "A Runge-Kutta method of order 10", J Inst Math Appl 21, pp.47-59 115 [40] E Hairer, S.P Nørsett and G Wanner (1987), Solving Ordinary Differential Equations I Nonstiff Problems, 1st edition, SpringerVerlag, Berlin [41] E Hairer, S.P Nørsett and G Wanner (1993), Solving Ordinary Differential Equations I Nonstiff Problems, 2nd edition, SpringerVerlag, Berlin [42] E Hairer and G Wanner (1991), Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff and Differential-Algebraic Problems, Springer-Verlag, Berlin [43] P.J van der Houwen and N.H Cong (1993), "Parallel block predictor-corrector methods of Runge-Kutta type", Appl Numer Math 13, pp.109-123 [44] P.J van der Houwen and B.P Sommeijer (1990), "Parallel iteration of high-order Runge-Kutta methods with stepsize control", J Comput Appl Math 29, pp.111-127 [45] P.J van der Houwen and B.P Sommeijer (1992), "Block RungeKutta methods on parallel computers", Z Angew Math Mech 68, pp.3-10 [46] P.J van der Houwen, and B.P Sommeijer (1991), "Iterated RungeKutta methods on parallel computers", SIAM J Sci Stat Comput 12, pp.1000-1028 [47] P.J van der Houwen, B.P Sommeijer and W Couzy (1992), "Embedded diagonally implicit Runge-Kutta algorithms on parallel computers", Math Comput 58, pp.135-159 [48] T.E Hull, W.H Enright, B.M Fellen and A.E Sedgwick (1972), "Comparing numerical methods for ordinary differential equations", SIAM J Numer Anal 9, pp.603-637 116 [49] G.Yu Kulikov and R Weiner (2010), "Variable-stepsize interpolating explicit parallel peer methods with inherent global error control", SIAM J Sci Comput 32, pp.1695-1723 [50] G.Yu Kulikov and R Weiner (2010), "Doubly quasi-consistent parallel explicit peer methods with built-in global error estimation", J Comput Appl Math 233, pp.2351-2364 [51] S.P Nørsett and H.H Simonsen (1989), "Aspects of parallel RungeKutta methods, in Numerical Methods for Ordinary Differential Equations", Proceedings L’Aquilla 1987, Lecture Notes in Mathematics, 1386, (Edited by A Bellen, C.W Gear and E Russo), Springer-Verlag, Berlin [52] B.A Schmitt, R Weiner and S Jebens (2009), "Parameter optimization for explicit parallel peer two-step methods", Appl Numer Math 59, pp.769-782 [53] B.A Schmitt and R Weiner (2010), "Parallel start for explicit parallel two-step peer methods", Numer Algorithms 53, pp.363-381 [54] L.F Shampine and M.K Gordon (1975), Computer Solution of Ordinary Differential Equations, The Initial Value Problems, W.H Freeman and Company, San Francisco [55] O Axelsson (1969), "A class of A-stable methods", BIT 9, pp.185199 [56] K Dekker and J.G Verwer (1984), Stability of Runge-Kutta Mehtods for Stiff Nonlinear Differential Equations, North-Holland, Amsterdam [57] P Kaps (1981), Rosenbrock-type methods, in: Numerical Methods for Stiff Initial Value Problems, G Dahlquist and R Jeltsch (eds.), 117 Bericht Nr 9, Inst fă ur Geometrie und Praktische Mathematik der RWTH Aachen [58] J.D Lambert (1991), Numerical Methods for Ordinary Differential Systems, The Initial Value Problems, John Wiley & Sons [59] B.P Sommeijer, W Couzy and P.J van der Houwen (1992), "Astable parallel block methods for ordinary and integro-differential equations", Appl Numer Math 9, pp.267-281 [60] O Widlund (1967), "A note on unconditionally stable linear multistep methods", BIT 7, pp.65-70 [61] M.T Chu and H Hamilton (1987), "Parallel solution of ODEs by multi-block methods", SIAM J Sci Statist Comput 3, pp.342-353 [62] R Weiner, G.Yu Kulikov and H Podhaisky (2012), "Variablestepsize doubly quasi-consistent parallel explicit peer methods with global error control", Appl Numer Math 62, pp.1591-1603