tính ổn định của phương trình sai phân dạng tuyến tính, tựa tuyến tính và ứng dụng

Tập các thời điểm này có thể đượcquy về tập số nguyên: Z := {0, ±1, ±2, ...}, và ta gọi đơn giản là lưới các số nguyên.Tương tự như khái niệm đạo hàm trong quá trình thời gian liên tục t

————– * —————

NGUYỄN HOÀNG QUÂN

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

DẠNG TUYẾN TÍNH, TỰA TUYẾN TÍNH

VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2012

————— *

—————-NGUYỄN HOÀNG QUÂN

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

DẠNG TUYẾN TÍNH, TỰA TUYẾN TÍNH

VÀ ỨNG DỤNG

Mã số :60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN SINH BẢY

Hà Nội - Năm 2012

1 Mở đầu về phương trình sai phân 4

1.1 Các khái niệm cơ bản 4

1.2 Phương trình sai phân vô hướng 8

1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k hệ số hằng 8

1.2.2 Một số ví dụ 10

1.3 Phương trình sai phân tuyến tính trong Rk 12

1.3.1 Nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất 14

1.3.2 Nghiệm tổng quát của hệ không thuần nhất 15

1.3.3 Các véc tơ riêng và công thức nghiệm 17

2 Tính ổn định của các phương trình sai phân 19 2.1 Khái niệm ổn định nghiệm phương trình sai phân 19

2.2 Phương pháp bất đẳng thức trong nghiên cứu các định tính 22

2.2.1 Bất đẳng thức Halanay 22

2.2.2 Ứng dụng vào việc nghiên cứu tính ổn định 25

3 Định tính của một vài mô hình dạng sai phân 31 3.1 Mô hình Cobweb (về thị trường một mặt hàng) 32

3.2 Tăng trưởng GDP (Gross domestic product) 35

3.3 Mô hình quần thể cạnh tranh một loài 39

Chúng ta đã làm việc nhiều với quá trình thời gian liên tục Trên loại thời gian nàychúng ta đã có lý thuyết về các phương trình vi phân Trong luận văn này, các kiến thứcđược trình bày và nghiên cứu sẽ được thực hiện trên một loại thang thời gian khác, gọi

là thang thời gian rời rạc Thực tế cho thấy phần lớn các dữ liệu thường được lưu giữ và

xử lý với quá trình thời gian này Tập các thời điểm rời rạc đơn giản, phổ biến và tiện lợinhất khi sử dụng là tập các thời điểm cách đều nhau một độ dài h > 0, bắt đầu từ mộtthời điểm t0 nào đó I := {t0+ kh : k = 0, ±1, ±2, } Tập các thời điểm này có thể đượcquy về tập số nguyên: Z := {0, ±1, ±2, }, và ta gọi đơn giản là lưới các số nguyên.Tương tự như khái niệm đạo hàm trong quá trình thời gian liên tục ta sẽ có khái niệmsai phân các cấp và khái niệm phương trình sai phân Mục tiêu của luận văn là tìm cáchgiải đối với một số lớp phương trình đơn giản, nghiên cứu các định tính của các phươngtrình sai phân và cuối cùng là tìm một vài ứng dụng thông qua các mô hình cụ thể trongthực tiễn Luận văn được cấu trúc thành ba chương như sau:

Chương 1 trình bày kiến thức tổng quan về phương trình sai phân và một vài ứngdụng trực tiếp

Chương 2 trình bày tính ổn định của các phương trình sai phân, phương pháp nghiêncứu tính ổn định

Chương 3 Trình bày ứng dụng của lý thuyết định tính của phương trình sai phân đểnghiên cứu định tính của một vài mô hình dạng sai phân

Luận văn này được thực hiện tại khoa Toán - Tin - Cơ học, trường Đại học Khoa học

Tự nhiên Hà Nội dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Nguyễn Sinh Bảy Nhân dịpnày tác giả muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng nhất tới PGS về sự hướngdẫn tận tình cho tác giả trong suốt quá trình hoàn thành bản luận văn này, từ việc địnhhình bản luận văn, hướng dẫn đọc tài liệu, ra đầu bài các ví dụ, kiểm tra kiến thức vàkhuyến khích động viên tác giả khi gặp khó khăn trong nghiên cứu

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Sau Đại học, khoa Toán - Cơ

- Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiệnthuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường

Tác giả xin chân thành cảm ơn lãnh đạo và các thầy cô, các đồng nghiệp trường

THPT Mai Châu, Huyện Mai Châu, Tỉnh Hòa Bình - nơi tác giả đang công tác cũng nhưgia đình, người thân và bạn bè đã luôn tạo điều kiện, động viên, khuyến khích tác giảtrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn không tránh khỏi nhiều thiếusót Tác giả kính mong sự rộng lượng tha thứ và xin tiếp thu mọi ý kiến góp ý từ cácThầy, Cô và các Bạn

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 12 năm 2012

Nguyễn Hoàng Quân

ρ (A) - tập giải của toán tử tuyến tính A.

σ (A) - tập phổ của toán tử tuyến tính A.Φ(n, m) - ma trận cơ bản của hệ thuần nhất

Mở đầu về phương trình sai phân

1.1 Các khái niệm cơ bản

Lưới Z và sai phân Cho một điểm t0 ∈ R và một khoảng cách h : 0 < h < +∞ Tập

I = {t0+ nh : n = 0, ±1, ±2, }

được gọi là một lưới thời gian rời rạc cách đều với bước lưới h > 0, bắt đầu từ thời điểm

t0 ∈ R Trường hợp đặc biệt: Nếu lấy t0= 0 và coi h = 1 là một đơn vị thời gian thì tập Itrở thành tập các số nguyên Z

Giả sử f là một ánh xạ từ Z vào Rk (hoặc vào không gian tổng quát X ):

∆2f(n) := ∆(∆ f (n)) = f (n + 2) − 2 f (n + 1) + f (n) (1.2)Sai phân cấp k là

∆kf(n) := ∆(∆k−1f(n)) =

k

∑i=0

Định nghĩa 1.1.2 Giả sử x(n), n ∈ Z là hàm số chưa biết cần tìm từ một đẳng thức của

n, x(n) và sai phân các cấp đến cấp k của x(n), trong đó nhất thiết phải có mặt ∆kx(n),

khi đó đẳng thức này gọi là một phương trình sai phân cấp k.

Nói cách khác, phương trình sai phân cấp k với hàm cần tìm x(n) là một đẳng thức códạng sau:

F(n, ∆kx(n), ∆k−1x(n), , ∆x(n), x(n)) = 0 (1.4)

Từ Định nghĩa 1.1.1 về sai phân các cấp, ta thấy mọi phương trình sai phân cấp k cóthể đưa về dạng tương đương sau (không được khuyết x(n) và x(n + k)):

G(n, x(n + k), x(n + k − 1), , x(n + 1), x(n)) = 0 (1.5)Trường hợp riêng sau đây của (1.5) gọi là một phương trình sai phân cấp k dạngchính tắc

x(n + k) = f (n, x(n + k − 1), x(n + k − 2), , x(n + 1), x(n)) (1.6)Phương trình sai phân cấp k có dạng sau được gọi là phương trình tuyến tính cấp k

x(n + k) + ak−1(n)x(n + k − 1) + · · · + a1(n)x(n + 1) + a0(n)x(n) = f (n) (1.7)Nếu f (n) ≡ 0 thì ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

x(n + k) + ak−1(n)x(n + k − 1) + · · · + a1(n)x(n + 1) + a0(n)x(n) = 0 (1.8)Nếu các hệ số ai(n) đều không phụ thuộc vào n thì ta có phương trình sai phân tuyếntính thuần nhất hệ số hằng

x(n + k) + ak−1x(n + k − 1) + · · · + a1x(n + 1) + a0x(n) = 0

Trong trường hợp phương trình tuyến tính hệ số hằng và x ∈ R1, phương trình nghiệmphức sau gọi là phương trình đặc trưng của phương trình trên:

λk+ ak−1λk−1+ · · · + a1λ + a0= 0 (λ ∈ C)

Một vài tính chất của phương trình sai phân tuyến tính

Với các phương trình sai phân (các cấp) ta cũng có các khái niệm nghiệm tổng quát,nghiệm riêng tương tự như với các phương trình vi phân Nghiệm tổng quát của mộtphương trình sai phân cấp k chứa đúng k hằng số tuỳ ý C1,C2, ,Ck:

x(n0) = x01, x(n0− 1) = x02, , x(n0− k + 1) = x0k

Một vài tính chất của tập nghiệm:

i) Nếu x1(n) và x2(n) là nghiệm riêng của (1.8) thì với mọi hằng số α, β có x(n) =

α x1(n) + β x2(n) cũng là một nghiệm riêng của (1.8)

ii) Nếu x1(n), x2(n), , xk(n) là các nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (1.8) thì nghiệmtổng quát của (1.8) là

x(n) = C1x1(n) +C2x2(n) + · · · +Ckxk(n)với C1,C2, ,Ck là các hằng số tùy ý

iii) Nếu x(n) là nghiệm tổng quát của (1.8) và ˆx(n) là một nghiệm riêng của (1.7) thìx(n) = x(n) + ˆx(n) là nghiệm tổng quát của (1.7)

iv) Nguyên lý chồng chất nghiệm:

Giả sử x1(n), x2(n) tương ứng là các nghiệm riêng của hai phương trình:

x(n + k) + ak−1(n)x(n + k − 1) + · · · + a1(n)x(k + 1) + a0(n)x(k) = f1(n),x(n + k) + ak−1(n)x(n + k − 1) + · · · + a1(n)x(n + 1) + a0(n)x(n) = f2(n),thì x(n) = x1(n) + x2(n) là một nghiệm riêng của phương trình

x(n + k) + ak−1(n)x(n + k − 1) + · · · + a1(n)x(n + 1) + a0(n)x(n) = f1(n) + f2(n)

Phương trình sai phân phi tuyến dạng chính tắc

Một phương trình sai phân tuyến tính cấp k dạng tổng quát nếu không đưa về đượcdạng chính tắc hoặc dạng tuyến tính thì nói chung ta chưa có cách giải Mọi phươngtrình dạng chính tắc có thể giải bằng cách truy hồi Phương trình sai phân chính tắc cấp

k(1.5) (trong không gian X nào đó) cũng thường được viết theo cách sau

x(n + 1) = f (n, x(n), x(n − 1), , x(n − k + 1))

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình này không đòi hỏi tính liên tục,tính Lipschitz của hàm f Điều này là đơn giản hơn so với trường hợp phương trình viphân Với điều kiện ban đầu x(n0) = x10; x(n0− 1) = x02; ; x(n0− k + 1) = x0k, việc tìmcông thức nghiệm riêng, thỏa mãn điều kiện ban đầu có thể thực hiện bằng cách truy hồiliên tiếp bắt đầu từ n0 như sau:

Sau đây ta xét chi tiết một số lớp phương trình đơn giản.

1.2 Phương trình sai phân vô hướng.

Ta bắt đầu từ trường hợp đơn giản nhất: không gian trạng thái là R1còn dạng của phươngtrình chỉ là tuyến tính

Xét phương trình sai phân (xem [3,4])

x(n + k) + ak−1x(n + k − 1) + · · · + a1x(n + 1) + a0x(n) = f (n) (1.9)Phương trình thuần nhất tương ứng là:

x(n + k) + ak−1x(n + k − 1) + · · · + a1x(n + 1) + a0x(n) = 0 (1.10)Phương trình đặc trưng của hai phưong trình trên là

P(λ ) = λk+ ak−1λk−1+ · · · + a1λ + a0= 0, (λ ∈ C) (1.11)

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất

Định lý 1.2.1 Nếu phương trình đặc trưng (1.11) có k nghiệm thực phân biệt là λ1, λ2, , λk

thì nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất ( 1.10) là

x(n) = C1λ1n+C2λ2n+ · · · +Ckλkn, (C1,C2, ,Ck là các hằng số tuỳ ý).

Nếu có λj = αj± iβj = rj(cos φj± i sin φj)(βj 6= 0) là nghiệm phức liên hợp đơn thì số

hạng cjλnj được thay bởi

rnj[c0jcos nφj+ c1jsin nφj] (1.12)

Nếu λj là nghiệm thực bội s thì ở công thức nghiệm tổng quát, số hạng cjλnj được thay bởi Ps−1(n)λnj, trong đó

Ps−1(n) = A0j+ A1jn+ A2jn2+ · · · + As−1j ns−1 là đa thức tổng quát bậc s − 1 của n.

Nếu λjlà nghiệm phức bội s thì ở ( 1.12) thay c0j bởi Ps−1(n) và c1j bởi Qs−1(n), trong đó

Ps−1(n), Qs−1(n) là các đa thức tổng quát bậc s − 1 của n.

Dạng của một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất

Định lý 1.2.2 Giả sử f (n) = Pm(n)αn Khi đó nếu α là nghiệm bội s của phương trình đặc trưng thì có thể tìm một nghiệm riêng của phương trình ( 1.9) ở dạng

ˆx(n) = ns−1Qm(n)αn

Giả sử f (n) = [Pm(n) cos nβ + Ql(n) sin nβ ]αn, trong đó λ = α(cos β + i sin β ) là nghiệm phức bội s của phương trình đặc trưng ( 1.11) thì có thể tìm được một nghiệm

riêng của phương trình ( 1.9) ở dạng

ˆx(n) = αn[Rh(n) cos nβ + Sh(n) sin nβ ]ns−1

trong đó h = max{m, l} và Rh(n), Sh(n) là các đa thức bậc h, hệ số chưa xác định của n.

Phương trình sai phân tuyến tính cấp một Xét phương trình

Phương pháp biến thiên hằng số

Phương pháp này được tiến hành như sau Giả sử a(n) 6= 0, ∀n ≥ n0và a(n0− 1) =

0 Bằng cách truy hồi liên tiếp từ n0

∆C(i) =

n−1

∑i=0

C= x(0), ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:

x(n) = C3n(n−1).Tiếp theo, ở công thức nghiệm tổng quát này coi C = C(n), ta có:

x(n) = C(n)3n(n−1), x(n + 1) = C(n + 1)3n(n+1).Thay chúng vào phương trình không thuần nhất, ta có phương trình để tìm C(n) như sau:

cosiπ

2 = D +

2 +√22

sin(2n − 1)π

4 −√1

2



Thay lại vào nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, ta có nghiệm tổng quát củaphương trình không thần nhất là:

x(n) = [D +2 +

√22

sin(2n − 1)π

4 −√1

2

]3n(n−1)

Ví dụ 1.2.5 Giải phương trình

y(n + 2) + y(n + 1) − 6y(n) = 4.3n+1

Lời giải.

Phương trình thuần nhất tương ứng: y(n + 2) + y(n + 1) − 6y(n) = 0

Phương trình đặc trưng tương ứng λ2+ λ − 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt là:

λ = 2, λ = −3

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: ¯y(n) = C1.2n+C2.(−3)n

Do 3 không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng nên ta tìm một nghiệm riêng củaphương trình không thuần nhất ở dạng:

ˆy(n) = A.3nKhi đó: ˆy(n + 1) = 3A.3n; ˆy(n + 2) = 9A.3n

Thay ˆy(n); ˆy(n + 1); ˆy(n + 2) vào phương trình không thuần nhất, ta có:

9A.3n+ 3A.3n− 6A.3n= 4.3(n+1)

Từ đây, so sánh các hệ số của 3n, ta được: A = 2 ⇒ ˆy(n) = 2.3n

Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất đã cho là

y(n) = ¯y(n) + ˆy(n) = C1.2n+C2.(−3)n+ 2.3n

λ = ±i = 1

cosπ

2 +C2sin

nπ2

Ta tìm một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất ở dạng:

ˆx(n) = A.n cosnπ

2 + B.n sinnπ

2Khi đó:

ˆx(n + 2) = A.(n + 2) cos(nπ

1.3 Phương trình sai phân tuyến tính trong R k

Ở mục trên ta đã có cách giải phương trình sai phân vô hướng tuyến tính cấp kcho một số trường hợp cá biệt Cách giải này không thể áp dụng cho phương trình cấp knói chung Trong nhiều trường hợp, người ta thường tìm cách đưa về một phương trình

tuyến tính cấp một trong không gian mới có số chiều lớn hơn Dưới đây là cách đổi biến

để đưa một phương trình sai phân cấp k trong R1 về một phương trình sai phân cấp mộttrong Rk

Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp k dạng chính tắc:

.0

Phương trình thuần nhất tương ứng của nó là:

Đầu tiên, ta tìm công thức nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (1.16).Cho một cặp (n0, x0) ∈ Z × Rk tùy ý Nghiệm của (1.16) với điều kiện ban đầu (n0, x0)được xác định như sau (xem [6]):

x(n) = A(n − 1)A(n − 2) · · · A(n0)x0

Đặt Φ(n, n0) = A(n − 1)A(n − 2) · · · A(n0+ 1)A(n0) = n−1∏

= A(n − 1) · · · A(1)A(0)[A(m − 1)A(m − 2) · · · A(1)A(0)]−1

= A(n − 1)A(n − 2) · · · A(m + 1)A(m)

1.3.2 Nghiệm tổng quát của hệ không thuần nhất.

Từ nghiệm tổng quát (1.17) của (1.16)

x(n) = Φ(n, n0)Cbằng phương pháp biến thiên hằng số ta có thể tìm được công thức nghiệm tổng quát củaphương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất (1.15) Giả sử A(n) không suy biếnvới mọi n ∈ Z Ta làm như sau: Ở (1.17) coi C là một hàm của n, tức là C = C(n) Khiđó

Φ−1(n0+ i, n0) f (n0+ i − 1) (1.21)Thay (1.21) vào (1.17), ta có nghiệm tổng quát của (1.15) là

x(n) = Φ(n, n0)[C +

n−n0

∑i=1

Φ−1(n0+ i, n0) f (n0+ i − 1)]

⇔ x(n) = Φ(n, n0)C +

n−n 0

∑i=1

Φ(n, i) f (i − 1)

2) Nếu A là ma trận hằng và n0= 0 thì

x(n) = AnC+

n

∑i=1

An−i−1f(i)

Việc tìm nghiệm tổng quát thường gặp khó khăn do phải biết được biểu thức của

An Trong nhiều trường hợp đặc biệt khó khăn này có thể khắc phục Sau đây là một sốtrường hợp như vậy:

Ví dụ 1.3.1 Tìm nghiệm tổng quát của:

2 x1(n) +

√2

2 x3(n) (xi∈ R1)

x2(n + 1) = 9kx2(n)

x3(n + 1) = −

√2

2 x1(n) +

√2

√2

−

√2

√2

Công thức (1.24) còn chưa thật cụ thể, ta muốn tính toán cụ thể tới từng phần tử Ta

x2(n) = C23n2−n

x3(n) = −C1sinnπ

4 +C3cos

nπ4

Ta đã biết nghiệm của phương trình này với điều kiện ban đầu (0, X (0)) là X (n) =

AnX(0) Do việc tính lũy thừa An là khó nên ta thường tìm cách tránh việc tính toán nàybằng các cách khác Trong trường hợp nếu biết các giá trị riêng của ma trận hằng số A,

ta có thể giải như sau:

Định lý 1.3.2 Giả sử ma trận hằng số A có các giá trị riêng là λ1, λ2, , λp ứng với đúng p véc tơ riêng độc lập tuyến tính là v1, v2, , vp thì nghiệm tổng quát của phương trình trên là

X(n) = C1v1λ1n+C2v2λ2n+ · · · +Cpvpλpn

Ví dụ 1.3.3 Giải phương trình: X (n + 1) = AX (n), trong đó





Vậy nghiệm tổng quát của phương trình trên là

Tóm tắt chương 1 Chương này đã trình bày khái niệm sai phân, phương trình sai phân,

công thức nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính trong R1, Rp và mốiliên hệ qua lại giữa chúng

Tính ổn định của các phương trình sai phân.

2.1 Khái niệm ổn định nghiệm phương trình sai

phân.

Lý thuyết ổn định nghiệm các phương trình sai phân là bước mở rộng tự nhiên từ lýthuyết ổn định nghiệm của các phương trình vi phân Lý thuyết này được đặt nền móngbởi A Lyapunov, một nhà toán học người Nga vào cuối thế kỷ 19 Kể từ đó lý thuyết ổnđịnh phát triển mạnh và ngày càng được ứng dụng nhiều để phân tích các quá trình thựctiễn (xem [1,2,4,5,6]) Lý thuyết ổn định quan tâm đến dáng điệu của tập nghiệm trênnửa trục thời gian [0; +∞) Lyapunov cũng giới thiệu hai phương pháp chính để nghiêncứu tính ổn định Phương pháp thứ nhất dựa vào tập phổ của ma trận hay của toán tửtuyến tính Phương pháp thứ hai dựa vào một loại hàm bổ trợ, thường được gọi là hàmLyapunov ([1,2,6,10]) Ngoài hai phương pháp cơ bản này, gần đây nhiều nhà nghiêncứu đề cập đến các cách nghiên cứu khác Một trong các cách như vậy là dựa vào các bấtđẳng thức đặc thù như bất đẳng thức Gronwall ([6,8]), bất đẳng thức Halanay ([4,5,7]).Trong chương này chúng tôi chủ yếu tập trung cho phương pháp nghiên cứu tính ổn địnhthông qua các bất đẳng thức sai phân Halanay Bất đẳng thức này đã được Halanay đưa

ra cho trường hợp thời gian liên tục và gần đây được nhiều tác giả chuyển qua trườnghợp thời gian rời rạc

Nhắc lại rằng ta đang làm việc trên tập thời gian Z hoặc Z+

Như đã nói ở trên, mọi phương trình cấp cao đều có thể đưa về phương trình cấp một

trong không gian có số chiều lớn hơn Vậy, không mất tính tổng quát, ta chỉ phát biểucác khái niệm và mệnh đề cho phương trình cấp một Xét phương trình sai phân dạngchính tắc trong Rp:

f(n, 0) = 0 với mọi n ∈ Z(n0) := {n0, n0+ 1, n0+ 2, } (2.2)Điều kiện (2.2) đảm bảo để hệ (2.1) có nghiệm tầm thường x ≡ 0

Để đơn giản và không mất tính tổng quát, ta thường lấy n0= 0

Định nghĩa 2.1.1 [2] Nói nghiệm tầm thường x(n) ≡ 0 của phương trình sai phân (2.1)

là ổn định nếu với mọi n0∈ Z+và với mọi số ε > 0 cho trước luôn tồn tại số δ = δ (ε, n0),

sao cho mọi nghiệm x(n) của phương trình ( 2.1) thỏa mãn bất đẳng thức: kx(n0)k < δ

thì sẽ thỏa mãn kx(n)k < ε với mọi n ≥ n0.

Nếu nghiệm ổn định x(n) ≡ 0 là hút, nghĩa là có thêm tính chất: Tồn tại số δ1 =

δ1(n0, ε) sao cho từ kx(n0)k < δ1 kéo theo lim

n→∞kx(n)k = 0 thì nói nghiệm tầm thường

này là ổn định tiệm cận.

Với n0∈ Z+, nếu tồn tại các số dương N, α và tậpDn0⊆ Rk sao cho khi x(n0) ∈Dn0

sẽ kéo theo kx(n)k ≤ Ne−α(n−n0 )

với mọi n ≥ n0, thì ta nói nghiệm tầm thường là ổn định

mũ TậpDn0 rộng nhất có tính chất trên gọi là miền hút tại n0 của nghiệm tầm thường Nếu các số δ0, δ1 nói trên có thể chọn không phụ thuộc vào thời điểm ban đầu n0 thì các nghĩa ổn định trên đây gọi là "đều".

Phương pháp thứ nhất Lyapunov Xét hệ thuần nhất dừng trong Rp:

Tập phổ của ma trận A là σ (A) = {λ ∈ C : det (A − λ E) = 0} Đây chính là tập các giátrị riêng của ma trận A Dễ thấy hệ (2.3) có nghiệm cân bằng tầm thường X (n) ≡ 0 với