3 Định tính của một vài mô hình dạng sai phân
3.3 Mô hình quần thể cạnh tranh một loài
Giả sử ta có một môi trường khép kín trong đó ta quan tâm đến một loàị Gọi u(k) là lượng cá thể của loài đó ở thời kỳ k (k∈Z).
Xét phương trình
u(k+1) = au(k)
1+bu(k), (3.21)
Trong đó: alà hằng số và được gọi là chỉ số tăng trưởng riêng của loài (a>0), b>0
được gọi là hệ số cạnh tranh trong loàị
Khib=0thì phương trình tăng trưởng là không có cạnh tranh. Đó chính là phương trình tăng trưởng Malthus
u(k+1) =au(k).
Vớib>0trong phương trình (3.21), khibu(k)là nhỏ (so với 1) thì mẫu số gần với 1, và khi đó phương trình tăng trưởng gần với phương trình Mathus (có hình tựa mũ). Khi bu(k)là khá gần so với 1thì thành phần này là đáng kể, làm cho đà tăng trưởng bị chậm lại (mẫu số lớn hơn 1). Bây giờ ta xét các tính chất của mô hình được cho bởi phương trình (3.21):
∗)Điểm cân bằng: Gọi u∗ là điểm cân bằng của (3.21), ta xác định đượcu∗ từ phương trình: u∗= au ∗ 1+bu∗ ⇔ " u∗=0 u∗= a−b1
Khia=1thì hai điểm cân bằng này đều bằng0, loài này đã diệt vong nên ta không xét tiếp trạng thái tầm thường nàỵ Ta chỉ quan tâm đến điểm cân bằng u∗ = a−b1 với a6=1,b>0.
Để điểm cân bằng u∗ = a−b1 >0, ta giả thiếta>1và sẽ chứng minh trong trường hợp này, nghiệmu∗ = a−b1 >0là ổn định tiệm cận.
∗)Tiếp theo, bằng cách đổi biến, ta sẽ đưa điểm cân bằngu∗về điểm cân bằng0: Đặtz=u−u∗, ta đưa được phương trình (3.21) về phương trình
z(k+1) = z(k)
a+bz(k). (3.22)
Khi đó, điểm cân bằngu∗= a−b1 tương ứng vớiz∗=0của phương trình (3.22). ∗)Để xét tính ổn định tiệm cận của nghiệm cân bằngz∗ =0của phương trình (3.22), ta chọn hàm Lyapunov (ở một lân cận đủ nhỏ củaz=0):
V(z) =ln2(1+z)
Đầu tiên, ta chỉ ra sự tồn tại các hàmặ)∈K,b(.)∈K, sao cho:
ăkzk)≤V(z)≤b(kzk), ∀z thuộc một lân cận đủ nhỏ của z = 0.
Ta thấy, khikzkđủ bé sao cho:
1
e <1+z<e Khi đó:
ln2(1+z)≤ kln(1+z)k ≤ kzk
Để chứng minh trường hợp còn lạikln(1+z)k<kzkta xét hai trường hợp: ∗)Vớiz>0, ta đặt f(z) =z−ln(1+z), khi đó ta có:
f(0) =0; f0(0) =0;f00(0) =1>0
Vậyz=0là điểm cực tiểu của hàm f(x)
Do đó tồn tại một lân cận đủ nhỏ của z=0 sao cho trên đó luôn có f(z)>0 (trừ điểmz=0), hay
ln(1+z)<z, ∀z6=0, đủ nhỏ.
∗)Vớiz<0(đủ gần0), đặtt =−z
Khi đó,kln(1+z)k<kzktrở thànhkln(1−t)k<t(t >0đủ nhỏ).
Do −t < 0 đủ gần 0 (sao cho kln(1−t) < 0k), bất phương trình này trở thành:
−ln(1−t)<t (t >0).
Xét f(t) =t+ln(1−t), ta có:
f(0) =0; f0(0) =0;f00(0) =1>0
Vậyt =0là điểm cực tiểu địa phương.
Tóm lại, ta có hàmb(kzk) =kzk.
Tiếp theo, ta tìm hàmặ)∈K sao choăkzk)≤V(z). Xét lân cậnU(0) ={1−1
1 <z<e−1}. Khi đó, nếuz∈U(0)thìkln(1+z)k<1. Do đó:ln4(1+z)<ln2(1+z) =V(z).
Nếu chọnăkzk) =kzk4 =z4, ta sẽ có: ăkzk)<V(z) Thật vậy,
Xét hàm f(z) =z4−ln2(1+z).Khi đó ta có :
f(0) =0;f0(0) =0; f00(0) =−2<0
Nênz=0là điểm cực đạị
Vậy tồn tại một lân cận củaz=0sao cho trên đó f(z)< f(0) =0hayz4−V(z)<0⇔ z4<V(z)
Vậy, có thể chọn hàmăkzk) =kzk4, ặ)∈K.
Cuối cùng, ta chỉ ra rằng tồn tại một lân cận củaz∗ =0sao cho trên đó ∆V(z)<0(tìm a,bđể ∆V(z)<0ở lân cận củaz∗=0) Nhắc lại phương trình: z(k+1) = z(k) a+bz(k). ∆V(z) =ln2(1+ z a+bz)−ln2(1+ z 1).
Lưu ý rằng ta đang xét choa>1. Khi đó, tồn tạikzkđủ nhỏ đểa+bz>1. Vì vâỵ, với z>0ta có:
a+bz>1⇒1<1+a+zbz <1+z1 ⇒ln2(1+a+zbz)<ln2(1+1z)hay ∆V <0. Còn vớiz<0(đủ gần0) ta có:
a>1⇒ ∃z|a+bz>1⇒1>1+a+zbz>1+1z ⇒ln2(1+a+zbz)<ln2(1+1z)hay∆V <0.
VậyV(z)là hàm Lyapunov thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.13. Nghiệm tầm thườngz∗=0là ổn định tiệm cận. Từ đó, đổi biến ngược lại, ta có:u(k)≡u∗ = a−b1 là ổn định tiệm cận.
Tóm tắt chương 3.Chương này trình bày ứng dụng lý thuyết định tính để khảo sát các tính chất của một vài mô hình sai phân trong thực tế. Các mô hình này được thầy hướng dẫn lập mô hình và tác giả thực hiện việc xét tính ổn định, tính dao động.
Luận văn cho một tổng quan ngắn gọn về khái niệm phương trình sai phân, cách giải một số lớp phương trình đơn giản trongR1 và trong Rk. Tiếp theo, luận văn trình bày vắn tắt các kiến thức cơ bản nhất về tính ổn định nghiệm của các phương trình sai phân và đi sâu vào phương pháp bất đẳng thức nghiên cứu tính ổn định. Cuối cùng, luận văn trình bày cách ứng dụng lý thuyết định tính (tính ổn định, tính dao động) vào việc phân tích một số mô hình thực tiễn.
[1] Nguyễn Thế Hoàn và Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục (2000).
[2] Vũ Ngọc Phát, Nhập môn Lý thuyết điều khiển Toán học, NXB Đại học Quốc gia Hà nội (2001).
[3] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu và Lê Đình Định, Phương trình sai phân và một số ứng dụngNXB ĐHQG Hà Nội (2001).
[4] Ẹ Liz and J.B. Ferreiro, A Note on the Global Stability of Generalized Differ- ence Equations,Applied Mathematics Letters15 (2002) 655-659.
[5] Eduardo Liz, Stability of non-autonomous difference equations: simple ideas lead- ing to useful results,Journal of Difference Equations and Applications, Vol. 17,2
(2011), 203–220.
[6] R.P. Agarwal,Diference Equations and Inequalities, Theory Methods and Appli- cations, Marcel Dekker New York (2000).
[7] S. Udpin and P. Niamsup, New discrete type inequalities and global stability of nonlinear difference equations, Appl. Math. Letters(2009),22, 856-859.
[8] M.Ị Gil, Diference Equations in Normed Spaces, Stability and Oscilations, North Holland (2006).
[9] N. S. Bay and V. N. Phat, Stability analysis of nonlinear retarded difference equa- tions in Banach spaces,J. Comp. and Math. with Appl., 45 (2003), 951-960.
[10] N. S. Bay, Stability and stabilization of nonlinear time-varying delay systems
with non-autonomous kernels, Adv. in Nonl. Var. Ineq., Volume 13, 2, (2010), 59-
69.
