tính ổn định của hệ động lực tuyến tính trên thang thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ BÍCH HẢO TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ BÍCH HẢO TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH TRÊN THANG THỜI GIAN Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. NGUYỄN HỮU DƯ HÀ NỘI - 2011 Mục lục LỜI NÓI ĐẦU 5 1 Kiến thức chuẩn bị 8 1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tính khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Mặt phẳng phức Hilger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Hàm mũ thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Bất đẳng thức Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Sự ổn định của hệ phương trình động lực tuyến tính trên thang thời gian 22 2.1 Khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.1 Các định nghĩa về ổn định của hệ phương trình động lực tuyến tính trên thang thời gian . . . . . . . . . . 22 2.1.2 Các định lý về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Phương pháp hàm Lyapunov xét tính ổn định của hệ phương trình động lực tuyến tính trên thang thời gian . . . . . . . . 29 2.2.1 Khái niệm hàm Lyapunov toàn phương trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2 Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov xét tính ổn định đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.3 Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov xét tính ổn định mũ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3 2.2.4 Việc tìm ma trận Q(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.5 Tiêu chuẩn không ổn định . . . . . . . . . . . . . . 41 3 Áp dụng phương pháp hàm Lyapunov cho một số hệ tuyến tính đặc biệt 43 3.1 Hệ biến thiên chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.1 Tích Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1.2 Tính ổn định mũ của hệ biến thiên chậm . . . . . . 45 3.2 Hệ phương trình có nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 Lời nói đầu Lý thuyết về thang thời gian (time sacle), lần đầu tiên được trình bày bởi Stefan Hilger trong luận án tiến sỹ của ông vào năm 1988 [9] (với sự hướng dẫn của Bernd Aulbach) nhằm thống nhất việc trình bày giải tích liên tục và rời rạc. Cho đến nay đã có hàng chục quyển sách và hàng ngàn bài báo viết về thang thời gian. Các yếu tố giải tích trên thang thời gian đã được các tác giả nghiên cứu một cách sâu rộng và tương đối đầy đủ. Và từ đó nhiều kết quả quen thuộc trong trường hợp liên tục và rời rạc đã được "chuyển dịch" sang thang thời gian. Chẳng hạn về phương trình động lực trên thang thời gian, đã có những kết quả rất sâu sắc về sự ổn định, tính dao động, bài toán giá trị biên, Việc phát triển lý thuyết về phương trình động lực trên thang thời gian, dẫn đến các kết quả tổng quát và khi đó có thể áp dụng cho các thang thời gian hỗn hợp của các trường hợp liên tục và rời rạc. Ta biết rằng, có nhiều kết quả của phương trình vi phân được thực hiện khá dễ dàng và tự nhiên cho phương trình sai phân. Tuy nhiên có những kết quả dễ dàng trình bày cho phương trình vi phân lại không hề đơn giản cho sai phân và ngược lại. Việc nghiên cứu phương trình động lực trên thang thời gian cho ta một cái nhìn sáng sủa để khắc phục tính không nhất quán này giữa phương trình vi phân liệc tục và phương trình sai phân rời rạc. Ngoài ra, điều đó cũng tránh được một kết quả được chứng minh hai lần, một lần cho phương trình vi phân và một lần khác cho phương trình sai phân. Ta có thể lấy thang thời gian là tập các số thực, kết quả tổng quát thu 5 được sẽ tương tự với kết quả trong phương trình vi phân. Nếu lấy thang thời gian là tập các số nguyên, kết quả tổng quát thu được sẽ tương tự với kết quả trong phương trình sai phân. Tuy nhiên, các thang thời gian có cấu trúc phong phú nên kết quả thu được là tổng quát và hay hơn nhiều kết quả trên tập các số thực và trên tập các số nguyên. Do vậy, đặc trưng cơ bản của thang thời gian đó là thống nhất và mở rộng. Trong luận án của mình vào năm 1892, Lyapunov đã đưa ra hai phương pháp để phân tích tính ổn định của các phương trình vi phân. Từ đó, phương pháp trực tiếp của Lyapunov đã trở thành một công cụ được sử dụng rộng rãi nhất để xem xét tính ổn định của các phương trình vi phân cũng như các phương trình sai phân tuyến tính và phi tuyến. Sự tinh tế của phương pháp trực tiếp Lyapunov nằm ở chỗ ta không cần tìm được nghiệm đúng của hệ mà vẫn có thể xem xét được dáng điệu nghiệm (ổn định hay không ổn định) của hệ. Trong luận văn này sẽ sử dụng phương pháp thứ hai của Lyapunov - phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của phương trình động lực tuyến tính trên thang thời gian, đây chính là nội dung của một bài báo của Jeffrey J. DaCunha [11]. Nội dung của luận văn được chia làm 3 chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi chỉ liệt kê mà không chứng minh các tính chất cơ bản nhất về ∆-đạo hàm, tích phân, trên thang thời gian. Việc chứng minh chi tiết có thể tìm thấy trong [1, 2, 5]. Chương 2: Sự ổn định của hệ phương trình động lực tuyến tính trên thang thời gian. Trong chưong này, chúng tôi sẽ đưa ra các định nghĩa và tính chất về tính ổn định đều, ổn định mũ đều, ổn định tiệm cận đều của hệ phương trình động lực tuyến tính trên thang thời gian. Đặc biệt, trong chương này có nêu ra phương pháp hàm Lyapunov trên thang thời gian và dùng nó để xét tính ổn định và không ổn định của phương trình động lực tuyến tính. Chương 3: Áp dụng phương pháp hàm Lyapunov cho một số hệ phương trình tuyến tính đặc biệt. 6 Trong chương này, chúng tôi sẽ đưa ra hai hệ phương trình tuyến tính đặc biệt là hệ biến thiên chậm và hệ có nhiễu và dùng phương pháp hàm Lyapunov để xét tính ổn định của chúng. Vì khả năng còn nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót và tính chưa hoàn thiện của vấn đề đặt ra, mặc dù bản thân tôi đã cố gắng rất nhiều trong quá trình thực hiện luận văn. Tôi xin tiếp thu mọi ý kiến nhận xét của các thầy cô, các nhà toán học, các học viên cao học và NCS. Nhân đây, tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn GS. TS Nguyễn Hữu Dư về sự nghiêm túc và nhiệt tình của thầy, tôi cũng gửi lời cảm ơn nhóm seminar Toán Giải tích, trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội về những gợi mở và đóng góp quý báu cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Hà Nội 12-2011 Vũ Thị Bích Hảo 7 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Những định nghĩa và định lý dưới đây có thể xem như một giới thiệu tổng quan về thang thời gian, ta có thể tham khảo trong [1]. 1.1 Một số khái niệm cơ bản Thang thời gian (time scale) là một tập con đóng tuỳ ý khác rỗng của tập các số thực R, ký hiệu là T. Ta giả sử xuyên suốt rằng thang thời gian T có một tôpô mà nó được cảm sinh từ tôpô trên tập các số thực R với tôpô tiêu chuẩn. Thí dụ: (a) R; Z; [0; 1] ∪ [2; 3] là những thang thời gian. (b) Q, R\Q không là thang thời gian vì không đóng. Định nghĩa 1.1. Cho T là một thang thời gian, với mỗi t ∈ T, ta có các định nghĩa sau: (i) Toán tử nhảy tiến (forward jump): σ : T → T σ(t) := inf{s ∈ T, s > t}. (ii) Toán tử nhảy lùi (backward jump): ρ : T → T ρ(t) := sup{s ∈ T, s < t}. Ngoài ra, 8 • Một điểm t ∈ T được gọi là điểm cô lập phải (right-scattered) nếu σ(t) > t; điểm cô lập trái (left-scattered) nếu ρ(t) < t; điểm cô lập (isolated) nếu t vừa là điểm cô lập trái, vừa là điểm cô lập phải; điểm trù mật phải (right-dense) nếu t < sup T và σ(t) = t; điểm trù mật trái (left-dense) nếu t > inf T và ρ(t) = t; điểm trù mật (dense) nếu t vừa là điểm trù mật phải vừa là điểm trù mật trái. • Hàm hạt (graininess): µ : T → [0; +∞), µ(t) := σ(t) − t. • Tập T k được xác định như sau: Nếu T có phần tử lớn nhất M là điểm cô lập trái thì ta đặt T k := T\{M}, và T k := T trong các trường hợp còn lại. Để cho đơn giản, ngoại trừ những trường hợp cần nhấn mạnh, từ đây trở đi ta viết (a; b]; [a; b); [a; b] thay cho (a; b] T ; [a; b) T ; [a; b] T . Quy ước: inf ∅ = sup T (nghĩa là, nếu t = max T thì σ(t) = t), sup ∅ = inf T (nghĩa là, nếu t = min T thì ρ(t) = t). Định lý 1.1. (Nguyên lý quy nạp trên thang thời gian) Với mọi t 0 ∈ T, xét một họ các phát biểu {S(t) : t ∈ [t 0 ; +∞)} thoả mãn: 1. Phát biểu S(t 0 ) là đúng, 2. Nếu t ∈ [t 0 ; ∞) là điểm cô lập phải và S(t) đúng thì S(σ(t)) cũng đúng, 3. Nếu t ∈ [t 0 ; ∞) là điểm trù mật phải và S(t) là đúng thì tồn tại một lân cận U của t sao cho S(s) là đúng với mọi s ∈ U ∩ (t; ∞), 4. Nếu t ∈ (t 0 ; ∞) là điểm trù mật trái và S(s) là đúng với mọi s ∈ [t 0 ; t) thì S(t) là đúng. Khi đó, S(t) là đúng với mọi t ∈ [t 0 ; ∞). 9 1.2 Tính khả vi Định nghĩa 1.2. Xét hàm số f : T → R. ∆- đạo hàm (còn gọi là đạo hàm Hilger) của f tại t ∈ T k là một số (nếu nó tồn tại), ký hiệu f ∆ (t), nếu với mọi ε > 0 cho trước tồn tại lân cận U của t sao cho |[f(σ(t)) − f(s)] − f ∆ (t)[σ(t) − s]|  ε|σ(t) − s| với mọi s ∈ U. Hàm f được gọi là ∆- khả vi (nói ngắn gọn là khả vi) trên T k nếu f ∆ (t) tồn tại với mọi t ∈ T k . Định lý 1.2. Xét hàm số : T → R và t ∈ T k . Khi đó ta có: 1. Nếu f khả vi tại t thì f liên tục tại t. 2. Nếu f liên tục tại t và t là điểm cô lập phải thì f là khả vi tại t và f ∆ (t) = f(σ(t)) − f(t) µ(t) . 3. Nếu t là điểm trù mật phải thì f là khả vi tại t khi và chỉ khi giới hạn lim s→t f(t) − f(s) t − s tồn tại và nhận giá trị hữu hạn, khi đó f ∆ (t) = lim s→t f(t) − f(s) t − s . 4. Nếu f là khả vi tại t thì f(σ(t)) = f(t) + µ(t)f ∆ (t). Nhận xét 1.1. Ta xét hai trường hợp T = R và T = Z. 1. Nếu T = R thì hàm f : R → R là ∆-khả vi tại t khi và chỉ khi f khả vi theo nghĩa thông thường tại t và f ∆ (t) = f  (t) = lim s→t f(t) − f(s) t − s . 2. Nếu T = Z thì mọi hàm f : Z → R đều là ∆-khả vi tại t ∈ Z và ta có f ∆ (t) = f(t + 1) − f(t) = ∆f(t), ở đây ∆ là toán tử sai phân tiến thông thường. 10 [...]... ) + t0 21 t0 Chương 2 Sự ổn định của hệ phương trình động lực tuyến tính trên thang thời gian 2.1 Khái niệm về ổn định 2.1.1 Các định nghĩa về ổn định của hệ phương trình động lực tuyến tính trên thang thời gian Đầu tiên, ta nhắc lại các khái niệm sau • Chuẩn Euclid của n × 1-véc tơ x(t) được xác định bởi: x(t) = xT (t)x(t) • Chuẩn cảm sinh của một m × n-ma trận A được xác định bởi: 1 2 A = max Ax... như trên Do đó, với t0 bất kỳ ta luôn có (2.1.9) Bằng cách sử dụng (2.1.8) và (2.1.9), chứng minh hoàn toàn tương tự như trong Định lý 2.3 ta suy ra (2.1.1) ổn định mũ đều ΦA (t0 + T, t0 ) 2.2 Phương pháp hàm Lyapunov xét tính ổn định của hệ phương trình động lực tuyến tính trên thang thời gian Trong mục này ta sẽ nghiên cứu tính ổn định của hệ động lực tuyến tính hồi quy có hệ số biến thiên theo thời. .. ổn định đều của hệ (2.2.1) Định lý sau đây đưa ra một tiêu chuẩn tổng quát của tiêu chuẩn Lyapunov cho tính ổn định đều của hệ phương trình tuyến tính liên tục và rời rạc (có thể được tìm thấy trong bài báo nổi tiếng [12, 13]) Tính ổn định đều liên quan đến tính bị chặn của tất cả các nghiệm của hệ (2.2.1) Vấn đề là tìm ma trận Q(t) để dạng toàn phương tương ứng thoả mãn các điều kiện của định lý Định. .. trận trên thang thời gian đã hợp nhất hai trường hợp thời gian liên tục và thời gian rời rạc một cách dễ dàng nhờ hàm hạt µ(t) Phương trình ma trận trên thang thời gian không chỉ hợp nhất hai trường hợp đặc biệt này mà còn mở rộng những khái niệm này cho thang thời gian T bất kỳ, nó có vai trò quan trọng trong phân tích tính ổn định của chúng ta 2.2.2 Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov xét tính ổn định. .. xứng, xác định dương, bị chặn trên và dưới bởi các ma trận xác định dương, đồng thời ∆- đạo hàm âm chặt, tức là [xT (t)Q(t)x(t)]∆ 34 −εxT (t)x(t), với ε > 0 nào đó, ta sẽ chỉ ra rằng mọi nghiệm của (2.2.1) là bị chặn mũ và dần tới 0 khi t → ∞ Đồng thời, sự ổn định mũ đều suy ra sự ổn định đều nhưng điều ngược lại không đúng Định lý 2.6 Hệ động lực tuyến tính thang trên thời gian (2.2.1) ổn định 1 đều... R, để hệ trên là ổn định đều ta cần a(t) t ∈ T Nếu µ(t) = 2.2.3 0 với mọi Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov xét tính ổn định mũ đều Bây giờ, ta đưa ra điều kiện đủ cho tính ổn định mũ đều của hệ (2.2.1) Định lý dưới đây cũng đưa ra một tiêu chuẩn thống nhất cho tính ổn định mũ đều của hệ tuyến tính liên tục và rời rạc, các tiêu chuẩn này có thể được tìm thấy trong các bài báo [12, 13] và bài viết của. .. niệm ổn định đều và ổn định mũ đều Hai khái niệm này liên quan đến tính bị chặn của nghiệm của hệ phương tuyến tính hồi quy với ma trận hệ số biến thiên theo thời gian x∆ (t) = A(t)x(t), x(t0 ) = x0 , t0 ∈ T (2.1.1) Giả sử với mỗi t0 ∈ T, bài toán giá trị ban đầu (2.1.1) có nghiệm duy nhất x(t) = x(t, t0 , x0 ) với t t0 Khi đó, ta có các định nghĩa: Định nghĩa 2.1 Hệ phương trình động lực tuyến tính. .. đều nếu nó ổn định đều và với δ > 0 bất kỳ, tồn tại số T > 0 sao cho với t0 với x(t0 ) bất kỳ, nghiệm tương ứng thoả mãn x(t) δ x(t0 ) , t 23 t0 + T (2.1.4) 2.1.2 Các định lý về ổn định Bây giờ ta sẽ nghiên cứu các đặc trưng của tính ổn định đều và ổn định mũ đều của hệ (2.1.1) thông qua ma trận chuyển Đặc biệt, Định lý 2.4 cho ta mối quan hệ giữa sự ổn định tiệm cận đều và ổn định mũ đều Định lý 2.1... ∞ Định nghĩa 2.2 Phương trình động lực tuyến tính (2.1.1) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại hằng số γ = γ(t0 ), λ > 0 với −λ ∈ R+ sao cho với t0 và x(t0 ) bất kỳ, nghiệm tương ứng x(t) thoả mãn x(t) x(t0 ) γe−λ (t, t0 ), t t0 (2.1.3) Nếu γ không phụ thuộc vào t0 thì (2.1.1) được gọi là ổn định mũ đều Định nghĩa 2.3 Phương trình động lực tuyến tính (2.1.1) được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu nó ổn. .. ta định nghĩa dạng toàn phương phụ thuộc thời gian và dùng nó để phân tích tính ổn định Ta sẽ xét các dạng toàn phương này như là các hàm Lyapunov toàn phương trên thang thời gian với mọi t thì x(t) 1 Định nghĩa 2.4 Cho Q(t) là ma trận đối xứng sao cho Q(t) ∈ Crd (T, Rn×n ) Một hàm Lyapunov toàn phương trên thang thời gian được cho bởi: V (t, x) = xT (t)Q(t)x(t), t t0 (2.2.3) Ta tính ∆- đạo hàm của . tính trên thang thời gian. Trong chưong này, chúng tôi sẽ đưa ra các định nghĩa và tính chất về tính ổn định đều, ổn định mũ đều, ổn định tiệm cận đều của hệ phương trình động lực tuyến tính trên thang. trên thang thời gian 22 2.1 Khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.1 Các định nghĩa về ổn định của hệ phương trình động lực tuyến tính trên thang thời gian . . HẢO TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ BÍCH HẢO TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA