tính ổn định của hệ động lực và ứng dụng trong kinh tế

Mục lục Mở đầu 2 Bảng các ký hiệu 4 1 Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân 5 1.1 Tổng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Công thức nghiệm Cauchy của hệ phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Khái niệm ổn định của hệ phương trình vi phân . 7 1.2 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định . . . . . . . . 8 1.2.1 Phương pháp thứ nhất Lyapunov . . . . . . . . . 8 1.2.2 Phương pháp thứ hai Lyapunov . . . . . . . . . . 18 2 Một vài ứng dụng trong kinh tế 31 2.1 Mô hình Solow cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Mô hình Solow với luật dân số Schoener . . . . . . . . . 35 2.2.1 Lập mô hình và nghiên cứu tính chất điểm cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.2 Hàm dân số Schoener và vai trò của tiến bộ công nghệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 1 MỞ ĐẦU Lý thuyết ổn định nghiệm các phương trình vi phân do A.Lyapunow, một nhà toán học người Nga đặt nền móng vào cuối thế kỉ 19 ngày càng có nhiều ứng dụng trong các nghiên cứu lý thuyết và triển khai ứng dụng [4,5,6,7,10,11,12]. Lý thuyết ổn định quan tâm đến dáng điệu nghiệm khi thời gian dần về vô cùng. Các hệ phương trình như vậy thường được gọi một cách đơn giản là các hệ động lực [1,2,4,5]. Việc nghiên cứu tính ổn định thường được thực hiện bằng nhiều phương pháp, trong đó cơ bản nhất là hai phương pháp được chính Lyapunov giới thiệu. Phương pháp thứ nhất dựa vào tập phổ của hệ [1,2]. Phương pháp thứ hai dựa vào một loại hàm bổ trợ, thường được gọi là hàm Lyapunov[9,10,11]. Sau phần tổng quan về lý thuyết ổn định, luận văn sẽ trình bày cách vận dụng các kiến thức cơ bản của lý thuyết này để phân tích tính chất của một loại mô hình Kinh tế rất nổi tiếng là mô hình Solow (giải thưởng Nobel về Kinh tế năm 1987) [7,8]. Việc phân tích định tính mô hình Solow về tăng trưởng kinh tế sẽ giải thích được nhiều câu hỏi về các hiện tượng tăng trưởng của các nền kinh tế đóng. Sự tăng trưởng của nền kinh tế chỉ tập trung vào một số yếu tố chính như tỷ số vốn trên lao động, tỷ số đầu ra trên lao động và lượng lao động [6,9]. Luận văn gồm 2 chương: - Chương 1 trình bày kiến thức tổng quan về phương trình vi phân và lý thuyết ổn định. - Chương 2 trình bày kết quả nghiên cứu của chúng tôi về định tính mô hình Solow. Chương 1 bao gồm các kiến thức đã có, chúng tôi chỉ là người hệ thống lại. Chương 2 là phần cải tiến mô hình theo cách của chúng tôi với hy vọng nhận được mô hình mới có những đặc điểm tốt hơn so với mô hình nguyên thuỷ. Việc cải tiến được thực hiện bằng cách thay thế luật tăng trưởng dân số dạng mũ của Malthus trong mô hình nguyên thủy bằng luật tăng 2 trưởng dân số Schoener. Chúng tôi chọn hàm biến động dân số này là vì các lý do sau: Chưa có công trình nào trước đây đã làm công việc này. Hàm tăng trưởng Schoener có một vài ưu thế so với các hàm dân số khác, dễ thấy nhất là khi thời gian dần về vô cùng lượng dân số tiến tới giá trị L 2 , trong đó L 2 = L(r, b, c), nghĩa là giá trị tới hạn này có thể điều chỉnh tuỳ theo tình thế bằng cách thay đổi độ lớn các tham số r, b, c (đặc trưng độ tăng tuyến tính, độ tự tiêu hao, độ cạnh tranh của quần thể). Điều này là khác so với các giá trị bất biến L ∞ trong tăng trưởng dân số Bentalanffy hay L ∗ trong tăng trưởng dân số Richards. Với hàm dân số mới chúng tôi nhận được kết quả về tính ổn định, ổn định tiệm cận, tính hút toàn cục của mô hình Solow tương ứng. Chúng tôi có so sánh những điểm giống nhau và khác nhau giữa mô hình nguyên thủy với mô hình được cải tiến. Đây là lần đầu tiên em làm quen với việc đọc các bài báo mới rồi thay đổi các dự kiện để tự thực hiện các tính toán mới, rút ra kết luận, trình bày và chứng minh theo cách của mình. Vì thế, bản luận văn chắc chắn không tránh khỏi nhiều thiếu sót. Kính mong các thầy và các bạn đồng nghiệp chỉ bảo và lượng thứ. Bản khoá luận được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Sinh Bảy. Nhân dịp này em xin cảm ơn thầy đã dành nhiều thời gian để hướng dẫn và giúp đỡ em trong học tâp các kiến thức chuyên ngành và trong việc hoàn thiện bản luận văn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến lãnh đạo và các thầy cô trong Khoa Toán-Cơ-Tin học, phòng Sau Đại Học, trường ĐHKHTN, ĐHQGHN về kiến thức quý giá mang lại cho em trong thời gian học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn các thầy và các bạn trong Xemina của tổ Giải tích, ĐHKHTN. Cảm ơn các bạn trong tập thể lớp Cao học, cảm ơn gia đình, người thân về những lời động viên, khích lệ. Hà Nội, 12/2011 Nguyễn Thùy Linh 3 Bảng các ký hiệu R - tập số thực. R + := [0; ∞) R n - không gian vec tơ n chiều. X - không gian Banach U(t, s) - ma trận nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất E - tập các nghiệm của một phương trình vi phân χ[φ], φ ∈ E - số mũ đặc trưng của nghiệm x = φ(t) χ [f] - số mũ cả của phương trình ˙x = f(t, x) K - lớp hàm . H - ma trận Hurwitz K := K(t) - lượng vốn của quốc gia được xem xét tại thời điểm t L := L(t) - lượng lao động tại thời điểm t I := I(t) - lượng đầu tư tại thời điểm t G := G(t) - đại lượng đặc trưng cho sự tiến bộ về năng lực sản xuất của mỗi lao động Y := Y (t) - sản lượng của quá trình sản xuất tại thời điểm t δ - chỉ số sụt giảm vốn n - tốc độ tăng trưởng dân số g - tốc độ tiến bộ của công nghệ k - tỷ số vốn trên lao động s - chỉ số tích lũy t - biến thời gian y - tỷ số đầu ra trên lao động. 4 Chương 1 Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân 1.1 Tổng quan Xét phương trình vi phân: ˙x = f(t, x) (1.1) trong đó f : R + × D −→ X : (t; x) −→ f(t; x); R + = [0; +∞); D ⊆ X là một miền đơn liên của không gian Banach X. Trong luận văn ta chỉ xét với X = R n . Với một điểm cho trước (t o ; x o ) ∈ G := R + × D, ký hiệu x(t) := x(t; t o ; x o ) dùng để chỉ nghiệm của phương trình (1.1), thỏa mãn điều kiện ban đầu (t o ; x o ) theo nghĩa x(t o ) = x(t o ; t o ; x o ) = x o . Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm: 5 Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân Định lý 1.1.[1] Giả sử với hệ (1.1): (i) Hàm f liên tục theo (t, x) trên miền G = R + × D, D mở trong X; (ii) Hàm f lipschitz theo biến x (x ∈ D). Khi đó, với mỗi điểm ban đầu cho trước (t o ; x o ) ∈ G đều tồn tại duy nhất một nghiệm của phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu đã cho. Trong trường hợp đó, có thể kéo dài nghiệm theo trục t đến vô cùng. 1.1.1 Công thức nghiệm Cauchy của hệ phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính: [1,2] ˙x = A(t)x + f(t) (1.2) thỏa mãn x(t o ) = x o . Khi đó, hệ (1.2) có nghiệm tổng quát là: x(t) = U(t, t o )x o +  t t o U(t, τ)f(τ)dτ. trong đó U(t, τ) là ma trận cơ bản của hệ (1.2). Ma trận này có các tính chất: U(t, t) = I ∀t ≥ 0; U(t, s)U(s, τ) = U(t, τ) ∀t ≥ s ≥ τ ≥ 0; dU(t, s) dt = A(t)U(t, s) ∀t ≥ s ≥ 0. Nếu A(t) là ma trận hằng thì U(t, τ ) = e A(t−τ) . Khi đó, hệ phương trình vi phân tuyến tính với ma trận hằng có nghiệm: x(t) = e A(t−t o ) x o +  t t o e A(t−τ) f(τ)dτ. 6 Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân 1.1.2 Khái niệm ổn định của hệ phương trình vi phân Ta luôn giả thiết hàm f trong phương trình: ˙x = f(t, x) (1.3) là đủ tốt để điều kiện tồn tại, duy nhất và kéo dài nghiệm được thỏa mãn. Định nghĩa 1.1.[1,2] Giả sử x = x ∗ (t) là một nghiệm của hệ (1.1). • Nói nghiệm này ổn định nếu: ∀t o ≥ 0, ∀ > 0, ∃δ = δ(, t o ) sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1) xuất phát từ (t o ; x(t o )) thỏa mãn x(t o ) − x ∗ (t o ) < δ thì cũng thỏa mãn x(t) − x ∗ (t) <  ∀t ≥ t o . • Nếu x = x ∗ (t) ổn định và có thêm tính hút, nghĩa là tồn tại δ 1 > 0 sao cho: x(t o ) − x ∗ (t o ) < δ 1 ⇒ x(t) − x ∗ (t) → 0 khi t → ∞ thì nghiệm nói trên (và bản thân hệ) được gọi là ổn định tiệm cận. • Nếu δ, δ 1 có thể chọn không phụ thuộc vào t o thì các nghĩa ổn định trên được gọi là ổn định đều. • Tại t = t o nếu tồn tại N > 0, δ > 0 sao cho: x(t) − x ∗ (t) ≤ Ne −δ(t−t o ) ∀t ≥ t o . thì ta nói hệ là ổn định mũ. 7 Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân Trong trường hợp nghiệm x = x ∗ (t) có tính hút tại t = t o thì tập Ω t o := {x o ∈ D : x ∗ (t) − x(t) → 0 khi t → +∞} được gọi là miền hút của nghiệm này tại thời điểm t o . Khi miền hút không phụ thuộc vào t o , nếu Ω = R n thì nói nghiệm trên là hút toàn cục, Ω = D thì nói nghiệm trên là hút toàn cục trên tập D. Để bài toán được đơn giản, ta thường cho thêm giả thiết: f(t, 0) = 0 ∀t ≥ 0. Khi đó, nghiệm x = x ∗ (t) thường lấy là nghiệm tầm thường x = x ∗ (t) ≡ 0 ∀t ≥ 0. Trong trường hợp x ∗ (t) không tầm thường thì dùng phép đổi biến z(t) = x(t) −x ∗ (t) đưa hệ (1.1) về hệ của biến z : ˙z = g(t; z) với tính chất: g(t; 0) = 0 ∀t ≥ 0. 1.2 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định Ta có thể khảo sát tính ổn định bằng phương pháp thứ nhất Lya- punov, phương pháp thứ hai của Lyapunov, các bất đẳng thức chuyên dụng hoặc khảo sát trực tiếp theo định nghĩa. 1.2.1 Phương pháp thứ nhất Lyapunov Phương pháp này nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân được thực hiện thông qua việc tìm tập phổ của hệ phương trình. Một khái niệm ta sẽ nói tới ngay sau đây. 8 Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân Xét phương trình vi phân: ˙x = f(t, x), (1.4) t ∈ R + , x ∈ X (X = R n ). Ký hiệu E là tập nghiệm của phương trình này. Ta sẽ xây dựng phiếm hàm χ : E −→ R như sau: Nếu ϕ ≡ 0 ta lấy χ[0] = 0. Nếu ϕ(t) = 0, ta đặt: χ[ϕ] = lim t→+∞ ln ||ϕ(t)|| t và gọi giới hạn này là số mũ đặc trưng của nghiệm x = ϕ(t). Nếu lim t→+∞ ln ||ϕ(t)|| t = lim t→+∞ ln ||ϕ(t)|| t là hữu hạn thì χ[ϕ] gọi nó là số mũ đặc trưng ngặt của hàm x = ϕ(t). Định nghĩa 1.2.[1] Tập hợp các số mũ đặc trưng riêng (khác ±∞) của các nghiệm đặc trưng của hệ (1.4) được gọi là tập phổ Lyapunov của hệ phương trình vi phân đó: σ [f] = {χ[ϕ] : ϕ ∈ E}. Tính chất của số mũ đặc trưng.[1] Với ϕ, ψ không tầm thường, ta có: 1. χ[||ϕ||] = χ[ϕ]; 2. χ[kϕ] = χ[ϕ]; 9 Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân 3. ||ϕ(t)|| ≤ ||ψ(t)|| ⇒ χ[ϕ] ≤ χ[ψ]; 4. χ[ϕ + ψ] ≤ max{χ[ϕ], χ[ψ]}; 5. χ[||ϕ.ψ||] ≤ χ[ϕ] + χ[ψ]; 6. χ[ 1 ϕ ] = −χ[ϕ] nếu ∃T > 0 : ϕ(t) = 0 ∀t ≥ T và χ[ϕ] là ngặt. Số mũ Lyapunov nhỏ nhất và lớn nhất: χ max [f] = max{χ[ϕ] : ϕ ∈ E}; χ min [f] = min{χ[ϕ] : ϕ ∈ E}. Khái niệm số mũ đặc trưng cũng được mở rộng cho các ma trận hàm như sau: Định nghĩa1.3. Số mũ đặc trưng của ma trận hàm trên [0, ∞) A(t) = (a ij (t)) n×n là: χ[A] = max i,j χ[a ij ]. Số mũ đặc trưng này có thể hữu hạn hoặc bằng ±∞. Tính chất. Giả sử A(t), B(t) là các ma trận hàm cỡ n×n trên [0, ∞) thì ta cũng có các hệ thức: 1. χ[A] = χ[A]; 2. χ[A + B] ≤ max {χ[A], χ[B]}; 3. χ[AB] ≤ χ[A] + χ[B]. 10 [...]... sk = n Tính ổn định của hệ tựa tuyến tính hệ số hằng Xét hệ phương trình trong Rn : x = Ax + f (t, x) ˙ (1.7) f (t,x) x t→0 Định lý 1.6 Nếu A là ma trận ổn định và lim thì hệ (1.7) là ổn định tiệm cận 16 = 0 ∀t ∈ R+ Chương 1 Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân Chứng minh Nghiệm Cauchy của (1.7) là: t x(t) = eA(t−to ) + eA(t−s) f (s, x(s))ds 0 Vì A là ma trận ổn định nên cũng là ổn định mũ... ổn định Xét hệ (1.8): x = f (t, x); f (t, 0) = 0 ∀t ≥ 0, ˙ f : R+ × Ω → Rn (Ω ⊆ Rn ) Đối lập với khái niệm nghiệm ổn định, ta có thể định nghĩa nghiệm không ổn định như sau: Nghiệm x(t) ≡ 0 của hệ (1.8) gọi là không ổn định nếu ∃ ∃to ≥ 0 sao cho ∀δ > 0, ∃xo ∈ Bδ (0) và ∃t1 > to sao cho x(t1 ; to ; xo ) > 25 o o > 0, Chương 1 Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân Định lý 1.10 (Định lý Chetaev... chứng minh tương tự Tóm tắt chương 1 Chương này trình bày tổng quan về lý thuyết ổn định các phương trình vi phân Một vài định lý quan trọng trong nghiên cứu tính ổn định bằng phương pháp thứ nhất, phương pháp thứ hai được chúng tôi tự thực hiện việc chứng minh theo hiểu biết của mình Các ví dụ (trừ ví dụ 1.4) do chúng tôi tự tìm để minh hoạ cho các nội dung 30 Chương 2 Một vài ứng dụng trong kinh tế. .. x(t) ≤ X(t) x(to ) < M M < Vậy x(t) ≡ 0 ổn định Lyapunov hay hệ (1.5) ổn định theo Lyapunov Khi Reλj < 0 ∀λj ∈ σ(A) như ở phần chứng minh trên ta thấy x(t) → 0 13 Chương 1 Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân khi t → +∞ Nghiệm tầm thường lại là ổn định Vậy nó ổn định tiệm cận Tiêu chuẩn Hurwitz Giả sử phương trình đặc trưng det(A − λI) = 0 của hệ (1.5) là: f (λ) = a0 + a1 λ + a2 λ2 + ... mới các đặc tính quan trọng của mô hình sẽ tốt hơn không chỉ trong các thời kỳ ngắn hạn mà còn trong cả một quá trình dài hạn 31 Chương 2 Một vài ứng dụng trong kinh tế 2.1 Mô hình Solow cổ điển Các phương trình vi phân hoặc sai phân ngày càng được sử dụng nhiều để mô tả các quá trình thực tiễn Mô hình Solow rất nổi tiếng trong lí thuyết tăng trưởng Kinh tế, nó được nhiều nhà Chính trị, Kinh tế, Toán... Chương 2 Một vài ứng dụng trong kinh tế ∂y ∗ ∂k ∗ . s k = n. Tính ổn định của hệ tựa tuyến tính hệ số hằng. Xét hệ phương trình trong R n : ˙x = Ax + f(t, x) (1.7) Định lý 1.6. Nếu A là ma trận ổn định và lim t→0 f(t,x) x = 0 ∀t ∈ R + thì hệ (1.7). cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân được thực hiện thông qua việc tìm tập phổ của hệ phương trình. Một khái niệm ta sẽ nói tới ngay sau đây. 8 Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương. . Vậy x(t) ≡ 0 ổn định Lyapunov hay hệ (1.5) ổn định theo Lyapunov. Khi Reλ j < 0 ∀λ j ∈ σ(A) như ở phần chứng minh trên ta thấy x(t) → 0 13 Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình