tính ổn định của hệ động lực và ứng dụng trong kinh tế

Sau phần tổngquan về lý thuyết ổn định, luận văn sẽ trình bày cách vận dụng các kiếnthức cơ bản của lý thuyết này để phân tích tính chất của một loại mô hìnhKinh tế rất nổi tiếng là mô h

Mở đầu 2

1 Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân 51.1 Tổng quan 51.1.1 Công thức nghiệm Cauchy của hệ phương trình vi

phân tuyến tính 61.1.2 Khái niệm ổn định của hệ phương trình vi phân 71.2 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định 81.2.1 Phương pháp thứ nhất Lyapunov 81.2.2 Phương pháp thứ hai Lyapunov 18

2.1 Mô hình Solow cổ điển 322.2 Mô hình Solow với luật dân số Schoener 352.2.1 Lập mô hình và nghiên cứu tính chất điểm cân

bằng 352.2.2 Hàm dân số Schoener và vai trò của tiến bộ công

nghệ 43

Lý thuyết ổn định nghiệm các phương trình vi phân do A.Lyapunow, mộtnhà toán học người Nga đặt nền móng vào cuối thế kỉ 19 ngày càng cónhiều ứng dụng trong các nghiên cứu lý thuyết và triển khai ứng dụng[4,5,6,7,10,11,12] Lý thuyết ổn định quan tâm đến dáng điệu nghiệm khithời gian dần về vô cùng Các hệ phương trình như vậy thường được gọimột cách đơn giản là các hệ động lực [1,2,4,5] Việc nghiên cứu tính ổnđịnh thường được thực hiện bằng nhiều phương pháp, trong đó cơ bảnnhất là hai phương pháp được chính Lyapunov giới thiệu Phương phápthứ nhất dựa vào tập phổ của hệ [1,2] Phương pháp thứ hai dựa vào mộtloại hàm bổ trợ, thường được gọi là hàm Lyapunov[9,10,11] Sau phần tổngquan về lý thuyết ổn định, luận văn sẽ trình bày cách vận dụng các kiếnthức cơ bản của lý thuyết này để phân tích tính chất của một loại mô hìnhKinh tế rất nổi tiếng là mô hình Solow (giải thưởng Nobel về Kinh tế năm1987) [7,8] Việc phân tích định tính mô hình Solow về tăng trưởng kinh

tế sẽ giải thích được nhiều câu hỏi về các hiện tượng tăng trưởng của cácnền kinh tế đóng Sự tăng trưởng của nền kinh tế chỉ tập trung vào một

số yếu tố chính như tỷ số vốn trên lao động, tỷ số đầu ra trên lao động vàlượng lao động [6,9] Luận văn gồm 2 chương:

- Chương 1 trình bày kiến thức tổng quan về phương trình vi phân và lýthuyết ổn định

- Chương 2 trình bày kết quả nghiên cứu của chúng tôi về định tính môhình Solow

Chương 1 bao gồm các kiến thức đã có, chúng tôi chỉ là người hệ thống lại.Chương 2 là phần cải tiến mô hình theo cách của chúng tôi với hy vọngnhận được mô hình mới có những đặc điểm tốt hơn so với mô hình nguyênthuỷ Việc cải tiến được thực hiện bằng cách thay thế luật tăng trưởngdân số dạng mũ của Malthus trong mô hình nguyên thủy bằng luật tăng

Hàm tăng trưởng Schoener có một vài ưu thế so với các hàm dân số khác,

dễ thấy nhất là khi thời gian dần về vô cùng lượng dân số tiến tới giá trị

L2, trong đó L2 = L(r, b, c), nghĩa là giá trị tới hạn này có thể điều chỉnhtuỳ theo tình thế bằng cách thay đổi độ lớn các tham số r, b, c (đặc trưng

độ tăng tuyến tính, độ tự tiêu hao, độ cạnh tranh của quần thể) Điều này

là khác so với các giá trị bất biến L∞ trong tăng trưởng dân số Bentalanffyhay L∗ trong tăng trưởng dân số Richards Với hàm dân số mới chúng tôinhận được kết quả về tính ổn định, ổn định tiệm cận, tính hút toàn cụccủa mô hình Solow tương ứng Chúng tôi có so sánh những điểm giốngnhau và khác nhau giữa mô hình nguyên thủy với mô hình được cải tiến.Đây là lần đầu tiên em làm quen với việc đọc các bài báo mới rồi thayđổi các dự kiện để tự thực hiện các tính toán mới, rút ra kết luận, trìnhbày và chứng minh theo cách của mình Vì thế, bản luận văn chắc chắnkhông tránh khỏi nhiều thiếu sót Kính mong các thầy và các bạn đồngnghiệp chỉ bảo và lượng thứ

Bản khoá luận được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS TS.Nguyễn Sinh Bảy Nhân dịp này em xin cảm ơn thầy đã dành nhiều thờigian để hướng dẫn và giúp đỡ em trong học tâp các kiến thức chuyên ngành

và trong việc hoàn thiện bản luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắcđến lãnh đạo và các thầy cô trong Khoa Toán-Cơ-Tin học, phòng Sau ĐạiHọc, trường ĐHKHTN, ĐHQGHN về kiến thức quý giá mang lại cho emtrong thời gian học tập tại trường Xin chân thành cảm ơn các thầy vàcác bạn trong Xemina của tổ Giải tích, ĐHKHTN Cảm ơn các bạn trongtập thể lớp Cao học, cảm ơn gia đình, người thân về những lời động viên,khích lệ

Hà Nội, 12/2011Nguyễn Thùy Linh

Bảng các ký hiệu

R - tập số thực R+ := [0; ∞)

Rn- không gian vec tơ n chiều X - không gian Banach

U (t, s) - ma trận nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất

E - tập các nghiệm của một phương trình vi phân

χ[φ], φ ∈ E - số mũ đặc trưng của nghiệm x = φ(t)

χ[f ] - số mũ cả của phương trình ˙x = f (t, x)

K - lớp hàm H - ma trận Hurwitz

K := K(t) - lượng vốn của quốc gia được xem xét tại thời điểm t

L := L(t) - lượng lao động tại thời điểm t

I := I(t) - lượng đầu tư tại thời điểm t

G := G(t) - đại lượng đặc trưng cho sự tiến bộ về năng lực sản xuất củamỗi lao động

Y := Y (t) - sản lượng của quá trình sản xuất tại thời điểm t

δ - chỉ số sụt giảm vốn

n - tốc độ tăng trưởng dân số

g - tốc độ tiến bộ của công nghệ

k - tỷ số vốn trên lao động

s - chỉ số tích lũy

t - biến thời gian

y - tỷ số đầu ra trên lao động

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm:

1.1.1 Công thức nghiệm Cauchy của hệ phương trình

1.1.2 Khái niệm ổn định của hệ phương trình vi

phân

Ta luôn giả thiết hàm f trong phương trình:

là đủ tốt để điều kiện tồn tại, duy nhất và kéo dài nghiệm được thỏa mãn

Định nghĩa 1.1.[1,2] Giả sử x = x∗(t) là một nghiệm của hệ (1.1)

• Nói nghiệm này ổn định nếu: ∀to ≥ 0, ∀ > 0, ∃δ = δ(, to) saocho mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1) xuất phát từ (to; x(to)) thỏa mãn

Trong trường hợp nghiệm x = x∗(t) có tính hút tại t = to thì tập Ωto :={xo ∈ D : kx∗(t) − x(t)k → 0 khi t → +∞} được gọi là miền hút củanghiệm này tại thời điểm to Khi miền hút không phụ thuộc vào to, nếu

Ω = Rn thì nói nghiệm trên là hút toàn cục, Ω = D thì nói nghiệm trên

là hút toàn cục trên tập D

Để bài toán được đơn giản, ta thường cho thêm giả thiết:

f (t, 0) = 0 ∀t ≥ 0

Khi đó, nghiệm x = x∗(t) thường lấy là nghiệm tầm thường x = x∗(t) ≡

0 ∀t ≥ 0 Trong trường hợp x∗(t) không tầm thường thì dùng phép đổibiếnz(t) = x(t) − x∗(t) đưa hệ (1.1) về hệ của biến z : ˙z = g(t; z)với tínhchất: g(t; 0) = 0 ∀t ≥ 0

1.2 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn

định

Ta có thể khảo sát tính ổn định bằng phương pháp thứ nhất punov, phương pháp thứ hai của Lyapunov, các bất đẳng thức chuyêndụng hoặc khảo sát trực tiếp theo định nghĩa

Lya-1.2.1 Phương pháp thứ nhất Lyapunov

Phương pháp này nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình viphân được thực hiện thông qua việc tìm tập phổ của hệ phương trình.Một khái niệm ta sẽ nói tới ngay sau đây

Định nghĩa 1.2.[1] Tập hợp các số mũ đặc trưng riêng (khác ±∞)của các nghiệm đặc trưng của hệ (1.4) được gọi là tập phổ Lyapunov của

Số mũ đặc trưng này có thể hữu hạn hoặc bằng ±∞.

Tính chất Giả sửA(t), B(t) là các ma trận hàm cỡ n×ntrên [0, ∞)

thì ta cũng có các hệ thức:

1 χ[A] = χ[kAk];

2 χ[A + B] ≤ max {χ[A], χ[B]};

3 χ[AB] ≤ χ[A] + χ[B]

Trên đây là các khái niệm số mũ đặc trưng trên hệ tổng quát Ta sẽ tìmhiểu chi tiết hơn trên một số loại hệ phương trình đặc biệt.

Số mũ Lyapunov của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.Xét hệ:

là các giá trị riêng phức thực sự với bậc bội tương ứng là r1, r2, , rh

Ta biết rằng tập nghiệm của hệ (1.5) bao hàm từ tập các tổ hợp tuyếntính của các vectơ dạng:

= Reλj

Cho j chạy từ 1 đến k + h, ta thấy số mũ của các nghiệm xj của hệ chính

là phần thực của giá trị riêng λj tương ứng

Tiếp theo, nghiệm tùy ý x(t) có dạng:

Vậy không có thêm các số mũ đặc trưng nào khác ngoài:

σ(A) = {Reλj : det(A − λI) = 0}

Như vậy, với hệ thuần nhất dừng, tập phổ Lyapunov không gì khác tậpphần thực của các giá trị riêng

Định lí 1.2.[1,2] Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.5) ổn định nếu:

có phần thực không âm Giả sửλj = αj+ iβj,(j = 1, 2, , p) Mọi nghiệmcủa phương trình đều có dạng:

nên x(t) → 0 khi t → +∞ Với αj = 0 khi đó Pj(t) là hằng số, do đó

eαj teiβj tvjPj(t) là bị chặn trên R+ Như vậy, mọi nghiệm x(t) bị chặn trênnửa trục to ≤ t < +∞ Ta sẽ chứng minh x(t) ≡ 0 ổn định Thật vậy, gọi

X(t) là ma trận nghiệm cơ bản chuẩn hóa của hệ (1.5):

X(t) = [xjk(t)],

trong đó X(t0) = E Vì mọi nghiệm x(t)của hệ giới nội nên ma trận X(t)

giới nội, giả sử M > 0:

khi t → +∞ Nghiệm tầm thường lại là ổn định Vậy nó ổn định tiệmcận.

Tiêu chuẩn Hurwitz

Giả sử phương trình đặc trưng det(A − λI) = 0 của hệ (1.5) là:

f (λ) = a0 + a1λ + a2λ2 + + an−1λn−1+ anλn

Việc giải phương trình phức bậc n này là khó hoặc không thể Vì thế ta

sẽ gặp khó khăn để nhận biết phần thực của các giá trị riêng phân bố rasao so với trục ảo Tiêu chuẩn sau đây cho phép ta không cần giải phươngtrình đặc trưng mà vẫn biết được sự phân bố nói trên của tập phổ Ta nói

đa thức f (λ) trên đây có dạng chuẩn nếu a0 > 0 và an 6= 0, (n ≥ 1) Nếu

có thêm phần thực của mọi giá trị riêng đều âm thì nói đây là một đa thứcHurwitz Khi đó, ma trận tương ứng sau gọi là ma trận Hurwitz:

Ở đây: as = 0 khi s < 0 hoặc s > n

Định lý 1.3.[1,2] Các mệnh đề sau là tương đương:

(i) Hệ (1.5) ổn định tiệm cận;

(ii) f (λ) là đa thức Hurwitz;

(iii) Mọi định thức con chính của ma trận Hurwitz đều dương, trong đó

a1 a0

a3 a2

> 0

∆n = an∆n−1 > 0

gọi là các định thức con chính của H

b Trường hợp nonautonomous

Với hệ này, ta không còn khái niệm phương trình đặc trưng Việc tìm các

số mũ đặc trưng là khó hơn Tuy nhiên, ta có các kết quả sau:

Định lý 1.4 Nếu ma trận hàm A(t) = [aij(t)]n×n là liên tục và bịchặn trên R+ thì mọi nghiệm không tầm thường của nó đều có số mũ đặctrưng hữu hạn

Chứng minh Giả sử kA(t)k ≤ M ∀t ∈ R+

Theo công thức nghiệm Cauchy:

x(t) = xo+

Z t 0

A(s)x(s)ds

⇒ kx(t)k ≤ kxok +

Z t 0

Định lý trên cho ta biết mọi số mũ đặc trưng của (1.6) là hữu hạn nếu

A(t) là liên tục và bị chặn trên R+ Tiếp theo ta quan tâm đến số lượngcác phần tử của tập phổ

Định lý 1.5.[5] Nếu ma trận hàm A(t) là liên tục và bị chặn trên

R+ thì số mũ đặc trưng của hệ ˙x = A(t)x chỉ là hữu hạn phần tử Nếu kýhiệu chúng qua αi, ta có thể sắp xếp

α1 < α2 < < αk,

trong đó k ≤ n và αi là nghiệm bội si Hơn nữa: s1 + s2 + + sk = n

Tính ổn định của hệ tựa tuyến tính hệ số hằng

thì hệ (1.7) là ổn định tiệm cận

Chứng minh Nghiệm Cauchy của (1.7) là:

x(t) = eA(t−to )

+

Z t 0

Vậy theo định lý hệ trên hệ là ổn định tiệm cận.

Định lý 1.6 cũng đúng cho hệ không dừng dạng tựa tuyến tính nếu

1.2.2 Phương pháp thứ hai Lyapunov

Phương pháp này khảo sát tính ổn định nghiệm của hệ phương trình

vi phân thông qua một hàm bổ trợ gọi là hàm Lyapunov [1,2] Các kết quảnhận được chỉ là các điều kiện đủ để hệ ổn định

Khi đó, nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của hệ (1.8) là ổn định.

Chứng minh Với  > 0 cho trước

Vì ặ) đồng biến trên R+ nên

ă) > ă0) ⇒ ă) > 0 (ă0) = 0)

Cố định to > 0, hàm V (to, x) liên tục theo biến x và V (to, 0) = 0 Do đó,

với ă) > 0 tồn tại lân cận Bδ(0) sao cho x(to) ∈ Bδ(0):

V (to, x(to)) < ă) (1∗)

Vì V (t, x) ≤ 0˙ nên V (t, x) là hàm đơn điệu giảm theo t Do đó:

V (t, x(t)) ≤ V (to, x(to)) ∀t > to (2∗)

trong đó ặ), b(.) ∈ K thì nghiệm x(t) ≡ 0 ổn định đềụ

Chứng minh Vì b(.) ∈ K nên với  > 0, ta có: b−1() > 0

Chọn δ = b−1(ă)) Giả sử nghiệm x(t) thỏa mãn: kx(to)k < δ Khi đó,theo (ii0):

Mà δ = b−1(ă)) không phụ thuộc vào to nên x(t) ≡ 0 ổn định đềụ

Hàm Lyapunov gọi là chặt nếu thỏa mãn thêm cả hai điều kiện sau:

(iv) ∃a, b ∈ K : ă||x||) ≤ V (t, x) ≤ b(||x||) ∀(t, x) ∈ R+× Ω

(v) ∃c(.)không giảm, xác định dương trên R+sao cho:V (t, x) ≤ −c(||x||) ∀t ≥˙

0, x ∈ Ω \ {0}

Định lí 1.9 Nếu hệ phương trình (1.8) có hàm Lyapunov chặt thì nó

ổn định tiệm cận đềụ

Chứng minh Theo hai định lý trên với các giả thiết của định lý ta có tính

ổn định đều của nghiệm x(t) ≡ 0 Ta chỉ cần chỉ ra tính hút về 0 khi

t → +∞ Quả vậy, từ (v), hàm V (t, x(t)) là giảm theo t và bị chặn dướibởi 0 Vậy phải tồn tại giới hạn sau đây (và ta gọi nó là q):

lim

t→+∞V (t, x(t)) := q

Do V (t, x) ≥ 0 nên q ≥ 0 Ta xét hai trường hơp sau:

+) Nếu q = 0 thì từ (i), ta có ă||x(t)||) → 0 khi t → 0 Do ặ) là đơnđiệu tăng nên từ đây ta có ||x(t)|| → 0 khi t → 0 Đó là điều cần chứng

V (s, x(s))ds ≤ −

Z t T

Ví dụ 1.2 (Minh họa cho phương pháp thứ nhất)

Vậy hệ ổn định tiệm cận đều.

Chú ý Trong Định lý 3 điều kiện tồn tại hàm Lyapunov chặt là thực

sự cần thiết Thiếu điều kiện này sự ổn định tiệm cận là không được bảo

đảm Điều đó có thể thấy qua phản ví dụ sau của Masera (1949).

Ví dụ 1.4 Giả sử g(.) : R+ −→ R là một hàm khả vi, giảm cùng

với hàm y = e−t trừ một số vô hạn các "khe" hở tại t = n ∈ Z+ với độdài của đoạn thẳng tương ứng trên R+ là 12
n và y(n) = 1 ∀n ∈ Z+

Xét phương trình trong R1 :

˙x = ˙g(t)g(t)x.

g2(s)ds <

Z ∞ 0



.˙g(t)g(t)x

= −x2

Gọi −c(kxk) := −x2, có c(.) ∈ K Như vậy mọi điều kiện của Định lý 3đều thỏa mãn trừ giả thiết V (t, x) ≤ b(kxk) ∀(t, x) ∈ R+× Ω thì định lývẫn không đúng

Nghiệm x(t) ≡ 0 của hệ (1.8) gọi là không ổn định nếu ∃o > 0,

∃to ≥ 0 sao cho ∀δ > 0, ∃xo ∈ Bδ(0) và ∃t1 > to sao cho

kx(t1; to; xo)k > o

Định lý 1.10 (Định lý Chetaev về không ổn định) Giả sử tồn tạicác số to ≥ 0,  > 0 và một miền mở Ψ ⊆ B(0), trong đó B(0) ⊆ Ω vàtồn tại một hàm khả vi

V : R+× B(0) −→R

sao cho:

(i) Tồn tại số k sao cho 0 < V (t, x) ≤ k < +∞ ∀(t, x) ∈ R+× Ψ;

(ii) Tồn tại hàm ặ) ∈ K sao cho V (t, x) ≥ ăV (t, x)) ∀(t, x) ∈˙ R+× Ψ;

gần với t1 (Nếu tquá xa t1 có thể x(t) lại quay vào B(0); x(.) liên tục vì

∃ ˙x(t)) Vậy nghiệm x(t) ≡ 0 là không ổn định

Hệ quả Thay điều kiện tồn tại số k ở (i) bởi sự tồn tại của hàm

(v) ˙V (t, x) ≤ −c(W (t, x)) ∀(t, x) ∈ R+× Ω;

(vi) ˙W (t, x) bị chặn dưới hoặc bị chặn trên

Khi đó, nghiệm x(t) ≡ 0 của hệ là ổn định tiệm cận

Chứng minh Chọn số α > 0 sao cho Bα(0) ⊆ Ω

Với mỗi to ≥ 0 và điểm xo ∈ Ω thỏa mãn V (to, xo) ≤ a(α)

Ký hiệu x(t) = x(t; to; xo) là nghiệm xuất phát từ (to; xo)

và tồn tại k > 0 sao cho:

Hoặc W (ti, x(ti)) = k

2,

W (t0i, x(t0i)) = k,k

Trường hợp W˙ bị chặn dưới được chứng minh tương tự.

Tóm tắt chương 1 Chương này trình bày tổng quan về lý thuyết

ổn định các phương trình vi phân Một vài định lý quan trọng trong nghiêncứu tính ổn định bằng phương pháp thứ nhất, phương pháp thứ hai đượcchúng tôi tự thực hiện việc chứng minh theo hiểu biết của mình Các ví

dụ (trừ ví dụ 1.4) do chúng tôi tự tìm để minh hoạ cho các nội dung

Một vài ứng dụng trong kinh tế

Giới thiệu

Hệ thống kinh tế là một hệ thống phức tạp, chịu sự tác động củanhiều yếu tố Thông thường để giải quyết một số các vấn đề kinh tế taphải mô hình hóa bằng các mô hình toán học Việc mô hình hoá như vậythường gặp khó khăn vì các biến kinh tế thường nhận các giá trị không

âm lại thường ít khi "thuần nhất", hay thay đổi theo hoàn cảnh cụ thể

Vì thế, các mô hình được đưa ra thường kèm theo các giả thiết xác định.Nếu thiếu các giả thiết đó việc mô tả bằng mô hình Toán học thường làkhông sát với thực tế Trong mô hình nguyên thủy Robert Solow sử dụnghàm tăng trưởng dân số là hàm Malthus Thực tế cho thấy rằng mô hìnhnày là tốt trong một khoảng thời gian ngắn nhưng lại bộc lộ nhiều nhượcđiểm trong một quá trình thời gian dài Luận văn này sẽ thay hàm tăngtrưởng dân số sao cho với hàm dân số mới các đặc tính quan trọng của

mô hình sẽ tốt hơn không chỉ trong các thời kỳ ngắn hạn mà còn trong cảmột quá trình dài hạn

2.1 Mô hình Solow cổ điển

Các phương trình vi phân hoặc sai phân ngày càng được sử dụngnhiều để mô tả các quá trình thực tiễn Mô hình Solow rất nổi tiếng trong

lí thuyết tăng trưởng Kinh tế, nó được nhiều nhà Chính trị, Kinh tế, Toánhọc, Xã hội học, quan tâm Mô hình này đã đưa ra lời giải thích chonhiều câu hỏi quan trọng về sự phất triển kinh tế vĩ mô của từng quốcgia trong điều kiện phát triển độc lập Các điều kiện phát triển như vậy làrất phổ biến trong thời kỳ các thập niên thuộc nửa sau của thế kỷ trước[6,7,8,9] Các biến cơ bản trong mô hình Solow là lượng lao động, tỷ lệ vốntrên lao động, tỷ lệ đầu ra trên lao động, lượng vốn, lượng sản phẩm đầu

ra, lượng đầu tư, tiết kiệm Các tham số quan trọng là chỉ số tích lũy, chỉ

số sụt giảm vốn Mô hình Solow nguyên thuỷ được xây dựng trên cơ sởcủa nhiều giả thiết rất chặt chẽ nhằm làm cho các biến kinh tế vốn không

lý tưởng trở nên tốt hơn, thuận tiện hơn khi biểu diễn qua các biểu thứcToán học Các giả thiết đó là:

- Thời gian là một quá trình liên tục Dân số tăng trưởng theo luật Malthus

- Nền sản xuất là giản đơn (công nghệ không thay đôi)

- Nền sản xuất là đóng, thị trường thuần túy (nghĩa là không có Thươngmại Quốc tế và sự can thiệp của Chính phủ)

- Mọi lao động đều có việc làm (không đưa vào yếu tố thất nghiệp và hiệntượng cạnh tranh công ăn việc làm)

Mô hình Solow có nhiều đóng góp trong việc lý giải động lực và bản chấtcủa tăng trưởng kinh tế, giải thích sự không đồng đều về mức độ tăngtrưởng của các quốc gia với những xuất phát điểm không như nhau Môhình này đã được khai thác, mở rộng và cải tiến theo nhiều hướng [6,7,8,9].Các đại lượng và ký hiệu sau đây là cần thiết để mô tả mô hình:

K = K(t) là lượng vốn của quốc gia được xem xét tại tời điểm t

L = L(t) là lượng lao động tại thời điểm t

Y = Y (t) là sản lượng của quá trình sản xuất tại thời điểm t hay gọi ngắn

... data-page="31">

Một vài ứng dụng kinh tế< /h2>

Giới thiệu

Hệ thống kinh tế hệ thống phức tạp, chịu tác động củanhiều yếu tố Thông thường để giải số vấn đề kinh tế taphải mơ hình hóa... theo định lý hệ hệ ổn định tiệm cận.

Định lý 1.6 cho hệ không dừng dạng tựa tuyến tính

1.2.2 Phương pháp thứ hai Lyapunov

Phương pháp khảo sát tính ổn định nghiệm hệ. ..

Tính ổn định hệ tựa tuyến tính hệ số

thì hệ (1.7) ổn định tiệm cận

Chứng minh