Một vài ứng dụng trong kinh tế
2.1Mô hình Solow cổ điển
Các phương trình vi phân hoặc sai phân ngày càng được sử dụng nhiều để mô tả các quá trình thực tiễn. Mô hình Solow rất nổi tiếng trong lí thuyết tăng trưởng Kinh tế, nó được nhiều nhà Chính trị, Kinh tế, Toán học, Xã hội học,... quan tâm. Mô hình này đã đưa ra lời giải thích cho nhiều câu hỏi quan trọng về sự phất triển kinh tế vĩ mô của từng quốc gia trong điều kiện phát triển độc lập. Các điều kiện phát triển như vậy là rất phổ biến trong thời kỳ các thập niên thuộc nửa sau của thế kỷ trước [6,7,8,9]. Các biến cơ bản trong mô hình Solow là lượng lao động, tỷ lệ vốn trên lao động, tỷ lệ đầu ra trên lao động, lượng vốn, lượng sản phẩm đầu ra, lượng đầu tư, tiết kiệm. Các tham số quan trọng là chỉ số tích lũy, chỉ số sụt giảm vốn. Mô hình Solow nguyên thuỷ được xây dựng trên cơ sở của nhiều giả thiết rất chặt chẽ nhằm làm cho các biến kinh tế vốn không lý tưởng trở nên tốt hơn, thuận tiện hơn khi biểu diễn qua các biểu thức Toán học. Các giả thiết đó là:
- Thời gian là một quá trình liên tục. Dân số tăng trưởng theo luật Malthus. - Nền sản xuất là giản đơn (công nghệ không thay đôi).
- Nền sản xuất là đóng, thị trường thuần túy (nghĩa là không có Thương mại Quốc tế và sự can thiệp của Chính phủ).
- Mọi lao động đều có việc làm (không đưa vào yếu tố thất nghiệp và hiện tượng cạnh tranh công ăn việc làm).
Mô hình Solow có nhiều đóng góp trong việc lý giải động lực và bản chất của tăng trưởng kinh tế, giải thích sự không đồng đều về mức độ tăng trưởng của các quốc gia với những xuất phát điểm không như nhau. Mô hình này đã được khai thác, mở rộng và cải tiến theo nhiều hướng [6,7,8,9]. Các đại lượng và ký hiệu sau đây là cần thiết để mô tả mô hình:
K = K(t) là lượng vốn của quốc gia được xem xét tại tời điểm t. L = L(t) là lượng lao động tại thời điểm t.
gọn là đầu ra. K và L là các biến đầu vào.
Mô hình Solow cổ điển dùng hàm sản xuất Coob - Douglas: F(K, L) =γKαL1−α 0< α < 1, γ > 0.
Phương trình của luật tăng trưởng dân số Malthus là: ˙ L(t) = nL(t) L(0) = 0
Ở đây, tốc độ tăng trưởng dân số là một hằng số dương n.
Ta biết rằng, lượng vốn và lượng lao động là hai yếu tố quan trọng nhất trong mỗi nền kinh tế. Ta gọi:
k = KL là tỷ số vốn trên lao động; y = YL là tỷ số đâu ra trên lao động.
Chúng ta sẽ xem xét hai yếu tố cơ bản này trong các mô hình. Ta lặp lại bước lập mô hình, bắt đầu từ phương trình tăng trưởng vốn. Phương trình biến động vốn được cho như sau:
˙
K = sY −δK.
Giải thích phương trình này: Độ tăng trưởng vốn bao gồm một tỷ lệ s của tổng sản phẩm làm ra dùng để tái sản xuất trừ đi tổng chi phí để có được quyền sử dụng lượng vốn K. Tham số δ gọi là chỉ số sụt giảm vốn. Tham số s là chỉ số tích luỹ. Mặt khác, do
k = K
nên khi lấy đạo hàm, ta có: ˙ k k = ˙ K K − L˙ L = sY −δK K −n = sγK αL1−α K −δ −n = sγkα−1 −δ −n. Do đó: ˙ k = sγkα−(δ + n)k. Như vậy, mô hình Solow được cho bởi hệ vi phân:
˙
L(t) =nL(t), L(0) = Lo; (2.1)
˙
k = sγkα−(δ + n)k; (2.2)
y = γkα. (2.3)
Giải phương trình (2.1), ta được:
L(t) =Loent
⇒ lim
t→+∞L(t) = +∞.
Như vậy, phương trình đầu của hệ là không ổn định. Còn điểm cân bằng của hai phương trình sau tương ứng là:
k = sγ δ +n 1−α1 := k∗. y = sγ δ +n 1−αα := y∗.
Với các giá trị cân bằng này ta thấy: - Vì 0 < α < 1 nên ∂k∗ ∂s > 0, ∂y∗ ∂s > 0; ∂k∗ ∂δ < 0, ∂y∗ ∂δ < 0;
∂k∗ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
∂n < 0, ∂y∗
∂n < 0.
Nghĩa là tỷ số vốn trên lao động và tỷ số đầu ra trên lao động phụ thuộc dương vào chỉ số tích lũy, phụ thuộc âm vào chỉ số sụt giảm vốn và phụ thuộc âm vào tốc độ tăng trưởng dân số.
- Hàm tăng trưởng dân số không sát với thực tế vì khi t → +∞ thì L(t) → +∞.