TÊN ĐỂ TÀI:MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG LÝ THUYẾT ĐỊNH TÍNH VÀ LỜI GIẢI SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI số VÀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Ẩn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỐNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN «1« ^ 'ĩ' TÊ N ĐỂ TÀI: MỘT SỐ BÀI TỐN TRONG LÝ THUYẾT ĐỊNH TÍNH VÀ LỜI GIẢI SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI s ố VÀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Ẩ n MÃ SỐ: QT-06-02 CH Ú TRÌ ĐÊ TÀI: TS VŨ HỒNG LINH CÁC CÁN BỘ T H A M GIA: GS.TSKH Phạm Kỳ Anh, GS.TS Nguyễn Hữu Dư, TS Lê Còng Lợi, NCS Hà Thị Ngọc Yên, ThS Nguvễn Quốc Tuấn, CN Lê Huv Hoàng, CN Đoàn Duv Hài HÀ NỘI - 2006 Mục lục Báo cáo tóm tắt Lời mở đầu Nội dung 2.1 Tính ổn định vững hệ vi phân đại số có chứa tham số bé 2.2 Bán kính ổn định phương trình vi phân đại số với hệ số biến thiên 2.3 Lý thuyết Floquet cho phương trình sai phân ẩn ứng dụng Kết luận Tài liệu tham khảo Phụ lục 12 12 17 20 22 23 26 B Á O C Á O T Ó M T Ắ T a Tên đê tài, mã số Một số toán lý thuyết định tính lời giải số phương trình vi phân đại số phương trình sai phân ẩn Mã số: QT-06-02 b Chủ trì đề tài TS Vũ Hồng Linh c Các cán tham gia GS.TSKH Phạm Kỳ Anh, GS.TS Nguyễn Hữu Dư, TS Lê Công Lợi, NCS Hà Thị Ngọc Yến, ThS Nguyễn Quốc Tuấn, CN Lê Huy Hoàng, CN Đoàn Duy Hai d Mục tiêu nội dung nghiên cứu - Mục tiêu: Lý thuyết định tính lời giải số phương trình vi phân đại số nhà nghiên cứu lý thuyết ứng dụng giới đặc biệt quan tâm khoảng thời gian 25 năm trớ lại Một số trường phái nghiên cứu tiêu biểu hình thành Mỹ (Gear, Petzold, Campbell, Rheinbold), Đức (Maerz, Kunkel, Mehrmann, Lubich), Thụy Sỹ (Hairer), Nga (Bojarincev, Chistyakov), w Nhiều chương trình phần mềm xây dựng áp dụng hiệu vào tốn cơng nghệ kỹ thuật dự án công nghiệp nước tiên tiến, ví dụ tốn điều khiển tối ưu, tốn mơ mạch điện tử, mơ hệ học nhiều vật số tốn tính tốn khoa học khác Tại khoa Tốn — Cơ — Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG HN, từ cuối nãm 90, nhóm nghiên cứu vể phương trình vi phân đại số hình thành (GS.TSKH Phạm Kỳ Anh, GS.TS Nguyễn Hữu Dư, TS VQ Hồng Linh, TS Lê Cơng Lợi) Trong năm vừa qua thực đề tài cấp ĐHQG lTnh vực Các kết trình bày nhiều hội nghị khoa học nước Hơn 15 báo khoa học cơng bố, nhiều báo đăng tạp chí quốc tế có uy tín J Differential Equations, Applied Numerical Mathematics, Systems & Control Letters, IMA J Mathematical Control and Information, J Difference Equations Applic., J Math Analysis Applic., Advances in Difference Equ., w Đê tiếp cận hướng nghiên cứu đại thê giới, từ nhiều năm chúng tơi trì seminar phương trình vi phân tính tốn khoa học Ngồi mục tiêu đạt kết khoa học có chất lượng, hướng tới việc bồi dưỡng, đào tạo sinh viên, học viên cao học, lớp cán trẻ có lực lĩnh vực Tốn học tính tốn Tốn ứng dụng thành cán khoa học có chun mơn tốt, đảm nhận công tác đào tạo nghiên cứu khoa học, thời đóng góp vào việc nghiên cứu lý thuyết phương trình vi phân đại số - Nội dunẹ: Phương trình vi phân đại số cấp có dạng tổng quát: f(x\x,t)=0, (1) ma trận Jacobi f theo biến thứ giả thiết suy biến Dạng tuyến tính (1) viết sau: E(t)x’(t)+A(t)x(t)=q(t) (2) Chúng quan tâm đến hệ thời gian rời rạc Enxn+I+Anxn=qn (3) trường hợp hệ (2-3) với hệ số Nội dung nghiên cứu đề tài gồm vấn đề sau: Tính ổn định vững hệ PTVPĐS với hệ số có chứa tham số bé: tính ổn định hệ ma trận dẫn có chứa tham số bé, dáng điệu tiệm cận bán kính ổn định phức tham số tiến đến Bán kính ổn định tính ổn định vững phương trình (2): xây dựng cơng thức tính bán kính ổn định, mở rộng lý thuyết số mũ Bohl, khảo sát phụ thuộc tính ổn định vững vào liệu tốn Chúng tối có số kết ban đầu hướng nghiên cứu nhận đăng tạp chí J Differential Equations, tạp chí tốn học hàng đầu giới (theo số liệu thống kê nhất, tạp chí xếp hạng thứ 22 số 500 tạp chí tốn học lý thuyết giới) / Tình hình kinh p h í đề tài (hoặc dự án) Kinh phí 20 triệu đồng chi vào mục sau: Thanh toán dịch vụ cơng cộng: 800.000đ Vật tư vãn phịng: l.OOO.OOOđ Thông tin liên lạc: l.OOO.OOOđ Hội nghị: l.OOO.OOOđ Cơng tác phí: 5.000.000đ Th mướn: 10.000.OOOđ Chi phí nghiệp vụ chun mơn: 1.200.000đ K H O A Q U Ả N LÝ (Ký ghi rõ họ tên) G S.T S Nguyễn Hữu Dư C H Ủ T R Ì ĐỂ TÀI (Ký ghi rõ họ tên) TS Vũ Hoàng Linh T R Ư Ờ N G ĐẠI HỌC K H O A H Ọ C T ự N H I Ê N Các tính chất định tính hệ (3) : tính khả qui hệ tuần hoàn, mờ rộng định lý cổ điển Erugin, Floquet, vv; phương pháp hàm Lyapunov khảo sát tính ổn định hệ; mối liên hệ hệ thời gian liên tục hệ rời rạc nhận rời rạc hóa; ứng dụng lời giải số phương trình vi phân đại số phương trình đạo hàm riêng đại số e Các kết đạt B i i báo khoa học (còng bơ tạp chí kỷ yếu hội thảo khoa học): N.H Du, V.H Linh, On the robust stability of implicit linear systems containing a small parameter in the leading term, IMA Journal on Mathematical Control and Information, 23(2006), 67-74 P.K Anh, H.T.N Yen, Floquet theorem for linear implicit nonautonomous difference systems, J Math Analysis Appl., 321(2), 2006, 921-929 V.H Linh, N.H Du, Stability radii for linear time-varying differential algebraic equations and their dependence on data, in: ObeiM’olfach Report 18/2006, MFO Workshop on Differential Algebraic Equations, April 16-22, 2006, Oberwolfach, Germany, 43-45 Báo cáo hội nghị khoa học: Hội nghị Quốc tế Phương trình vi phân đại số, Oberwolfach, Germany, 16-22/4/2006, người báo cáo: V.H Linh, tên báo cáo: Stability radii for lineơr time-varying differential algebraic equations and their dependence on data (báo cáo mời) Hội nghị khoa học Khoa Toán — Cơ - Tin học, 7/10/2006, người báo cáo: Vũ Hoàng Linh, tên báo cáo: Exponentiơ! stability and stabiỉity radii for time-varvinq differentiơl-aloebrơic equations Hội nghị khoa học Khoa Toán — Cơ - Tin học, 7/10/2006, người báo cáo: Phạm Kỳ Anh, tên báo cáo: Some recent results on singular difference equations Đào tạo đại học sau đại học: luận vãn đại học, luận văn cao học NCS (chuẩn bị bảo vệ) / Tình hình kinh p h í đề tài (hoặc dự án) Kinh phí 20 triệu đồng chi vào mục sau: Thanh tốn dịch vụ cơng cộng: 800.000đ Vật tư văn phịng: l.OOO.OOOđ Thơng tin liên lạc: l.OOO.OOOđ Hội nghị: l.OOO.OOOđ Cơng tác phí: 5.000.000đ Thuê mướn: 10.000.OOOđ Chi phí nghiệp vụ chuyên môn: 1.200.000đ KHO A Q U Ả N LÝ C H Ủ TR Ì Đ Ể TÀI (Ký ghi rõ họ tên) (Ký ghi rõ họ tên) GS.TS Nguyễn Hữu Dư TS Vũ Hoàng Linh T R Ư Ờ N G ĐẠI H ỌC K H O A H O C T ự N H I Ê N ABSTRACT a Project's title Some problems in the qualitative theory and numerical analysis of differential-algebraic equations and implicit difference equations Code: QT-06b Project's supervisor Dr Vu Hoang Linh c ProịecCs members Prof.Dr Pham Ky Anh, Prof.Dr Nguyen Huu Du, Dr Le Cong Loi, Ha Thi Ngoe Yen, Tran Quoc Tuan, Le Huy Hoang, Doan Duy Hai d Objective and content o f the proịect In the project we consider the differential equation of general form f(x\x,t)=0, (1) where the Jacobian of íunction f w.r.t the íìrst variable is supposed to be singular The linear variant of system (1) is given as E(t)x’(t)+A(t)x(t)=q(t) (2) We are also interested in the discrete time system EnXn+i+ A nx n=qn (3) as vvell as in systems (2-3) with constant coefficient matrices The main objectives of the research are as follows Robust stability of systems containing small parameter: we investigate the exponential stability of systems with a small parameter in the leading term and asymptotic behaviour of the stability radius as the parameter tends to zero are investigated Stability radii and robust stability of time-varying system (2): we aim to propose a ĩormula of the stability radii to extend the well-known Bohl theorv for differential-algebraic equations, and to analyse the data-dependence of the stability radii Stability of difference system (3) : our main problems and objectives are reducibility and Erugin’s Theorem, periodic systems and Floquet’s Theorem; the Lyapunov function method for the stability analysis; and relations betvveen qualitative properties of continuous-time system (2) and discretized system of form (3) e Main resuỉts o f the projects Publications (in journals and conĩerence proceedings): N.H Du, V.H Linh, On the robust stability of implicit linear systems containing a small parameter in the leading term, IMA Journal on Mathematical Control and ỉnỊormation, 23(2006), 67-74 P.K Anh, H.T.N Yen, Floquet theorem for linear implicit nonautonomous difference systems, J Xĩath Anal Appl., 321(2), 2006, 921-929 V.H Linh, N.H Du, Stability radii for linear time-varying differential algebraic equations and their dependence on data, in: Oberwolfach Report ỉ 812006, MFO VVorkshop on Differential Algebraic Equations, April 16-22, 2006, Oberwolfach, Germany, 43-45 Lecture at conference and vvorkshop: MFO Workshop on Differential-Algebraic Equations, Oberwolfach, Germany, 16-22/4/2006, speaker: V.H Linh, title: Stability radii for linear time-varyìng differential algebraic equations and their cỉependence on data (invited lecture) Conference of Faculty Mathematics, Mechanics and Iníormatics, 7/10/2006, speaker: V.H Linh, title: Exponenticil stability ancỉ Sỉabilitỵ raclii for tinie-vcirxin° clijferential-algebraic equations Conĩerence of Faculty Mathematics, Mechanics and Informatics, 7/10/2006, speaker: Phạm Kỳ Anh, title: Sorne recent results on sinẹular difference equations Education and training: % B.Sc theses, M.Sc Theses, Ph.D Thesis Một số tốn lý thuyết định tính lời giải số phương trình vi phân đại số phương trình sai phân ẩn Lời mở đầu Lý thuyết định tính lời giải số phương trình vi phân đại số nhà nghiên cứu lý thu vết ứng dụng trẽn giới đặc biệt quan tâm khoảng thời gian 25 năm trở lại Nói cách nơm na, phương trình vi phân đại số hệ hỗn hợp phương trình vi phân phương trình đại số Như vậy, lời giải tốn bao hàm phép tính tích phân phép tính vi phân Nhiều phần phương trình vi phân chưa giải tường minh theo đạo hàm phần ràng buộc đại số dược "ẩn" hệ Dây nguyên nhân khiến việc nghiên cứu định tính giải số tốn gặp khó khăn Một số trường phái nghiên cứu tiêu biểu được hình thành Mỹ (Gear, Petzold Campbell Rheinbold), Dức (Maerz Kunkel, Mehrmann Lubich), Thụy Sỹ (Hairer) Nga (Bojarincev Chistyakov) vv Nhiều chương trình phần mềm xây dựng áp dụng hiệu vào tốn cơng nghệ kỹ thuật dự án công nghiệp nước tiên tiến, ví dụ tốn điều khiển tối ưu cơng nghiệp, tốn mơ mạch điện tử mô hệ học nhiều vật số tốn tính tốn khoa học khác, xem [13.5] Trong đề tài khảo sát phương trình sai phân ẩn hav dạng rời rạc tương ứng phương trình vi phân đại số Lớp phương trinh xuất nhiều mơ hình kinh tế xã hội trình giải số phương trinh vi phân đại số phương trình vi phân đại số đạo hàm riêng Mục tiêu chúng tơi thực đề tài QT 06-02 Iighiên cứu số toán lý thuyết PTVPĐS PTSP ẩn, cụ thể tốn mà nhóm nghiên cứu chúng tơi quan tâm có số kết ban đầu thời gian Iiăm Obervvolfach Report 1S/2006 Galina Kurina (joiut with Rosvvitha Márz) Some problems connected with linear-quadratic optimal control problem.Ị for descriptor s y s t e r n s 37 Renó Lainour (joint \virh Rosvvitha Marz) Diff(‘ĩ'(’.nt ỉ n d r r Ccmcrpt.s thr.ir Cnnnnir.nl For ms a n d Solvn hdi ty o f Li ne ar D A E s 40 Vu Hoang Linh (joint with Nguven Huu Du) S t a b d d y rudii f o r Linear tiirit-ưaryinụ (li,ffert-ntial ah/tbraic equations and their deperidence on d a t n 43 Christian Lubich Symplectic integrators for general relativity 46 Christoph Lunk (joint vvith Berncl Simeon) Solving Partiíil, Diff0- ie there exist positive constants M and o such that (2) ||‘&(í,á||Knxn < M t ~ ait- a) t > s > We c o n s i d e r t h e s y s t e m ( ) s u b j e c t e d t o s t r u c t u r e d p e r t u r b a t i o n o f t h e f o n n (3) E ự ự ự ) = A{t ) c( t ) + t> where B(-) G L x {0 o c : K n *,n) and C(-) /- oc (0 oc; K(/ ■") are given matrices (l ehui ng t h e s t n i c t u r r o í rhi' p c r t u r b i i t i o n a n d A : L p ( o c : K n!) —» L p ( oc: K f/j is an unknovvn d i s t u r b a n c e o p e r a t o r w h i c h is s u p p o s e d tơ b e linear đ y n a m i c and causal T h u s t h e s y s t e m (3) r e p r e s e n t s a l arge c l a s s o f li near fmi( rioiial (I > sucli tliat ;|0 Ư >')P(*)Ì| < J ĩ f r - “ {t s ) t > s > Here is the Cauchy operator of the so-called inherent ODE system for (1) A s s u m p tio n A r c ~ l Q G ~ l and Q s := —Q( J~l A are essentially bounđeđ on [0 oo) \Ve introduce the follo\ving operators (Ltư//)(/) = C ( t ) j t fỊ>(t s)PCJ B{.s)u(s)(Js 4- CQ O 1B(t)II(t) l u on)(t) = C Q G l B(t)u(t) for a ll t > 10 > u € Lp(0 o c :K ") I> > T h e li rst o p e r a l o i ' is c a l l e d tlip input-output operator associateđ \vith (1-3) T h e o r e m Let Assumptions Al - huld Then r y j E A \ B , C ) = m i n { s u p 1| L , J | _1 Ị | L || } tị) - ^ If F is nonsingular then hy setting Q = one obtains Jacob\s result Fmthermoie if E A B and c are real then the complex stability radius and rho real one coincide \ \ e note th at the perturbecl system may loose the index-1 propertv U11(1(T tho cHoct ot' perturbarions This yields an csscntial điíỉeiviKv brtv.vcn the robust stability of a singular system ancl that of a regular one For time-invariant case the f()llo\ving theoreni extends the result for ODE-.S by Hinrichsen et.al [9] to DAE-S T h e o r e i n S u p p o s e t h a t the norninal t i m e - i n v a n a n t systern (1) has index-1 and IS e x po nen tia ll y stable Then /•;0 ♦ A- = D i t te r e u t ia l - A lg e b r a i c E(juati(;n> _ị- YVith the pr oje ct or function Q cl('liti('(l ìhovr rti(' nmTriro A ssu m p tio n A3 Gk = E - (A + b'k)Q are invertible almost evervvvhere and for all k Furthermore p ỏ - QG~k and Q s.k = -QC ĩk 1A are essentially bounded on oc) T h e o r e m L e t A s s u r n p t i o n s Ả 1-3 hoỉd Furt her m o re suppose that the following assumptions hoỉd: P C l y k ( - ) e L i ( c : K " ") VẢlim ess sup ^oll^íC^T1 - Cr MíOII = /) li.) iii) lim ess sup t>o\\OlGt~l - C “1)(/)II = A' — 3C Then, the perturbed systems (4) rernatn index-1 and generate exponentiullụ stable Cauchy operators, too Moreoưer their stability radii tend to those of the original (ỉ), respectively as k tfvnd.fi to iìifini.t.Ịj: lim r x ( £ k —oc A + F \ ; f ì C ) = /•■-