Tên đề tài:MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI HƯỚNG DẪN HỌCSINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẾM PHẦN TỔ HỢP

1 Tên đề tài: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẾM PHẦN TỔ HỢP I ĐẶT VẤN ĐỀ Đổi phương pháp dạy học nói chung phương pháp dạy học tốn nói riêng ln vấn đề cần thiết thời điểm Trong giai đoạn nay, để thực tốt chủ trương đổi phương pháp dạy học nhằm "phát huy tính tích cực, chủ động học sinh" học tập, người giáo viên nói chung giáo viên tốn nói riêng khơng nhắm đến việc giúp học sinh tiếp thu kiến thức trọng tâm, sách giáo khoa mà cần phải hướng đến mục tiêu cao giúp học sinh biết phát huy tối đa khả tư duy, khai thác lực thân để đạt kết tốt học tập rèn luyện Khi học phần TỔ HỢP học kì I lớp 11, học sinh dễ dàng hiểu khái niệm quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Đa số em hứng thú với nội dung vận dụng vào toán đơn giản Nhưng vận dụng vào tốn phức tạp học sinh thường hay lúng túng, chí em có hướng giải khác kết khác mà thân em khơng nhìn thấy nhận thức sai tốn Ngun nhân nhiều, em bất cẩn, phân tích tốn chưa sâu sắc, chí có nhầm lẫn ý nhỏ tốn mà em khơng phát Tất nhiên việc học sinh làm tốn khơng đúng, hay nhầm lẫn tốn chuyện xảy thường xuyên dù học sinh học phần nào, nội dung Với đặc trưng “Tổ hợp” việc sai lầm tốn xảy thường xuyên hơn, khó phân biệt hơn, học sinh sai mà học sinh khác Các em cần thiết có phân tích lời giải chưa Việc chỗ sai, chỗ tốn giúp em có nhìn sâu sắc hơn, cẩn thận hơn, xác tốn nói chung tốn tổ hợp nói riêng Từ phát huy khả tư phân tích, tổng hợp tốn em, kích thích ham học, niềm say mê em Vì tơi viết này, tơi xin nêu “ MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẾM PHẦN TỔ HỢP” Khi thực viết tham khảo ý kiến số đồng nghiệp hạn chế, thiếu sót điều khó tránh khỏi Rất mong nhận đóng góp ý quý Thầy cơ, đồng nghiệp II CƠ SỞ LÍ LUẬN 1/ Xu hướng đổi phương pháp dạy học trường phổ thơng Các quan điểm đại lí luận dạy học đại khẳng định chất phương pháp dạy học tiên tiến mà tiếp cận thay đổi vai trò thầy trò hoạt động dạy học trị chủ thể khơng phải người ngồi thầy người tổ chức, dẫn dắt, cố vấn tổng hợp ý kiến để học diễn hướng, đạt mục tiêu Tất nhiên cần khẳng định khơng có phương pháp dạy học vạn thực tế người thầy cần áp dụng cách linh hoạt tùy theo điều kiện lực thực tế qua thực đem lại hiệu phát huy tính tích cực tự lực hoạt động nhận thức người học Nhằm đạt mục tiêu trên, xu hướng đổi phương pháp dạy học cần tập trung nghiên cứu phát triển theo hướng sau: + Nâng cao kỹ năng, kỹ xảo vận dụng phối hợp phương pháp dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động dạy học thơng qua việc phát vấn đề tình thực tế, khuyến khích trình tự học, tự nghiên cứu + Chú trọng việc dạy kiến thức gắn liền với việc dạy phương pháp tư nhằm phát huy cao tính tự lực, sáng tạo hoạt động nhận thức học sinh + Dạy kiến thức gắn liền với kỹ thực hành, kết hợp thực hành, toán cụ thể hay hỗ trợ phềm mềm chuyên dụng + Sử dụng tối đa phương tiện dạy học đặc biệt thành tựu cơng nghệ thơng tin máy tính, mạng, giáo trình, thư viện điện tử phần mềm ứng dụng hổ trợ dạy học + Đổi quy trình phương pháp kiểm tra đánh giá trọng việc tự kiểm tra đánh giá học sinh qua thực tập, thực hành, phần mềm trắc nghiệm 2/ Các yếu tố tạo nên phương pháp dạy học theo hướng tích cực Thiết kế phương pháp dạy học chức công việc chun mơn người thầy dựa vào lí luận quy tắc kỹ thuật định đồng thời vận dụng kinh nghiệm nghề nghiệp cá nhân Về mặt lí luận, phương pháp dạy học ln cấu thành từ ba thành phần: + Phương pháp luận dạy học tức lí thuyết phương pháp dạy học, mơ hình lí thuyết phương pháp dạy học, triết lí hay ngun tắc lí luận mơ tả, giải thích sách báo khoa học Ví dụ lý thuyết mơ hình thảo luận, lý thuyết dạy học kiến tạo, lý thuyết dạy học chương trình hóa… Đây mơ hình lí luận phương pháp dạy học Nó xác định chất phương pháp dạy học làm cho phương pháp dạy học khác phương pháp dạy học + Hệ thống kĩ phù hợp để thực phương pháp luận học với nội dung kiến thức đặc trưng môn học Chúng cách thầy giáo "biến" phương pháp luận chọn thành phương thức tác động thực đến người học đến trình học tập + Những kĩ thuật, cơng cụ, phương tiện, Đây hình thức vật chất phương thức dạy học, chẳng hạn lời nói, chữ viết, tranh ảnh, tài liệu media, tranh luận, hội thảo nhóm, thực hành,… chúng sử dụng tổ chức theo phương pháp luận chọn Ba thành phần cần tổ chức hài hòa thống tư hoạt động để giúp người thầy thiết kế nên phương pháp dạy học cụ thể, hiệu Nói cách khác, thiết kế phương pháp dạy học phải thích hợp, hài hịa với thiết kế tổng thể học 3/ Dạy học phát huy khả tư tích cực học sinh Sự phát triển lên tốn học hồn chỉnh dạng tốn học q trình khái qt hóa, tổng quát hóa Những hiểu biết rời rạc, lẻ tẻ việc giải Toán thống nhất, chắp nối thành hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh Đó sở giúp cho học sinh hoạt động học tập có hiệu cao hồn thiện chức như: - Chức hình thành, cố kiến thức kỹ - Chức hình thành giới quan vật biện chứng, tạo hứng thú học tập, rèn luyện phẩm chất đạo đức, vận dụng kiến thức vào đời sống - Chức phát triển tư duy, hình thành phẩm chất tư khoa học - Chức kiểm tra kiến thức đánh giá trình độ học sinh Lời giải tốn phong phú tập cho học sinh tầm nhìn khái quát sâu rộng Rõ ràng học sinh phải tập luyện nhiều chừng mực đó, việc dự đốn kết quả, hướng địi hỏi học sinh phải có nhiều kinh nghiệm lẫn trí thơng minh Trong q trình giải tốn việc ý đến hướng giải toán so sánh hay hướng giải điều quan trọng Đặc biệt toán thực tế sử dụng tổ hợp Trong viết này, muốn cho học sinh số tình mà em hay mắc phải, phân tích đánh giá từ sai lầm nhỏ Từ dần hồn thiện khả tư kỹ phân tích, đánh giá học sinh III CƠ SỞ THỰC TIỄN Qua năm giảng dạy lớp khối 11 Tôi nhận thấy bắt đầu học tiết chương Tổ hợp – Xác suất, nhiều em hứng thú, lý thuyết ngắn gọn đơn giản đồng thời tập thực tế, so với phần khác trực quan nhất, từ thực tiễn Một điều hay “Tổ hợp” em không cần có kiến thức khác tốn học mà làm toán đếm Một học sinh dù học yếu phần khác, thiếu kỹ biến đổi… em sử dụng tổ hợp để làm toán đếm tốt Do nhiều em tỏ ham học, ham làm tập Nhưng sau số tiết thực hành với số toán tổng hợp, kết hợp tổ hợp, chỉnh hợp, quy tắc đếm… cách đan xen, linh hoạt học sinh lại hay bị nhầm lẫn, đơi bế tắc khơng nhìn thấy kiện sử dụng trước, sử dụng sau Nhưng giải tốn đơn giản khả tư phân tích học sinh khơng cịn linh hoạt nhạy bén Hơn nữa, nội dung khác tốn học, em học thuộc trình tự, phương pháp giải dạng tốn vận dụng vào lớp toán cụ thể mà việc nhận dạng tương đối dễ dàng; Còn “tổ hợp” dường với tốn có riêng chí ta thay đổi số hay từ ngữ ta có tốn khác cách giải hay cách phân tích tốn khác Do đó, làm tốn tổ hợp địi hỏi tập trung cao độ, phát huy hết khả phân tích đề tốn để tìm lời giải hợp lí Khơng với tốn tổ hợp mà tốn có sẵn phương pháp giải việc phân tích đề tốn để từ vận dụng linh hoạt kiến thức để tìm lời giải tốn giúp học sinh có nhiều cách giải khác cho toán, đồng thời giúp học sinh phát huy khả phân tích, tổng hợp kiến thức tốn thân, dần giúp học sinh hồn thiện tư logic toán học Việc giải toán chuyện sai điều thường xuyên xảy Nhưng với toán tổ hợp, tốn lại có nhiều kiểu phân tích từ có nhiều lời giải khác đáp số khác ln Có em nhận thấy điểm sai có em khơng tự nhìn thấy được, sai đến khác lại sai mà em không lời giải sai, sai chỗ Việc phân tích cách sâu sắc cho em từ bắt đầu làm tập tập cụ thể, lời giải cụ thể để hình thành ý niệm, kiểu sai từ đầu giúp em có nhìn sâu sắc, tổng quan lơgic em đọc đề hay giải tổ hợp Từ thực tế trên, năm học vừa qua đưa đề tài " MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẾM PHẦN TỔ HỢP" vào giới thiệu cho học sinh, qua tập cho em thói quen phân tích đề tốn, thấy hướng đúng, hướng sai nhằm tìm lời giải toán cách hợp lý, từ giúp học sinh tránh chỗ sai, chỗ thừa, chỗ thiếu toán tổ hợp đồng thời biết cách nhìn nhận tốn sâu sắc hơn, bổ sung thêm kinh nghiệm giải toán cho em IV NỘI DUNG A CƠ SỞ LÝ THUYẾT: Hai quy tắc đếm bản: * Quy tắc cộng: Giả sử công việc thực theo phương án A phương án B Có n cách thực phương án A m cách thực phương án B Khi cơng việc thực n + m cách * Quy tắc nhân: Giả sử cơng việc bao gồm hai cơng đoạn A B Cơng đoạn A làm theo n cách Với cách thực công đoạn A cơng đoạn B làm theo m cách Khi cơng việc thực theo n.m cách Hoán vị: * Giai thừa: n!  n.( n  1)( n  2) Quy ước: 0! = * Định nghĩa hoán vị: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n �1) Mỗi kết xếp có thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử tập hợp A * Số hốn vị tập hợp có n phần tử là: Pn  n!  n(n  1)(n  2) Chỉnh hợp: * Định nghĩa chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử số k nguyên với �k �n Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập hợp A * Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử (1 �k �n) là: n! Ank  n(n  1)(n  2) (n  k  1)  (n  k )! Tổ hợp: * Định nghĩa tổ hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử số k nguyên với � k �n Mỗi tập hợp gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử tập hợp A (trong tổ hợp chập n phần tử tập rỗng) * Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử (0 �k �n) là: Ank n! k Cn   k ! k !(n  k )! B CÁC BÀI TOÁN CỤ THỂ: Đối với toán đếm số Bài 1: Từ chữ số 0; 1; 2; 3; viết số có chữ số đơi khác mà có chữ số *Lời giải học sinh 1: Gọi số thỏa đề a1a2 a3 a4 ( a1 �0 ) Ta có : a1 có cách chọn a1 �0 a2 có cách chọn a3 có cách chọn a4 có cách chọn � số số thỏa đề 5.5.4.3 = 300 số *Lời giải học sinh 2: +Vì chữ số tạo thành ln có chữ số nên chữ số có cách xếp +còn lại chữ số ta xếp vào vị trí, có 4.3.2 cách xếp � số số thỏa đề 4.4.3.2 = 96 số *Phân tích lời giải: Lời giải học sinh 1: Sai lầm lời giải chưa thỏa mãn tính chất có chữ số số tạo thành ( sai lầm gặp) Lời giải học sinh 2: Lời giải quan tâm đến việc xếp chữ số mà khơng tính đến chuyện chữ số rơi vào vị trí (sai lầm thường gặp hơn) (Chẳng hạn: số 2340, 0134 không thỏa đề, số thỏa đề : 2104, 1342, …) Do đó, để thỏa mãn điều kiện trên, lời giải là: Gọi số thỏa đề a1a2 a3 a4 ( a1 �0 ) +TH1: a1 = 1, tức a1 có cách chọn a2 có cách chọn a3 có cách chọn a4 có cách chọn � số số thỏa đề trường hợp là: 1.4.3.2 = 24 số +TH 2: a1 �1 , a1 có cách chọn Xếp chữ số vào vị trí a2, a3, a4 có cách xếp Hai vị trí cịn lại có cách chọn, cách chọn � số số thỏa đề trường hợp là: 3.3.3.2 = 54 số Theo quy tắc cộng, số số thỏa đề 24 + 54 = 78 số Bài 2: Có chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; Có số tự nhiên có chữ số cho chữ số có mặt lần, chữ số cịn lại có mặt nhiều lần? Lời giải học sinh: Gọi số thỏa đề có dạng a1a2 a3 a4 a5 a6 ( a1 �0 ) Có trường hợp: + TH1: a1 = 6, a1 có cách chọn Chọn vị trí vị trí cịn lại để xếp chữ số 6, có C51 cách chọn Cịn lại chữ số, xếp vào vị trí, có A74 cách xếp � số số thỏa đề trường hợp là: C51 A74 = 4200 số + TH2: a1 �0 a1 �6 , a1 có cách chọn Chọn vị trí cịn lại để xếp chữ số 6, có C52 cách chọn Cịn lại chữ số, xếp vào vị trí, có A73 cách xếp � số số thỏa đề trường hợp là: C52 A73 = 12600 số Theo quy tắc cộng, số số thỏa đề 4200 + 12600 = 16800 số *Phân tích lời giải: Lời giải hợp lí, logic đầy đủ nhưng…lại xảy trường hợp sau đây: số 603654 đếm lần, hay nói cách khác ta ngầm sử dụng quy tắc nhân chữ số vị trí a1 với chữ số vị trí cịn lại Cách giải cịn khó phát sai lầm tốn: Có chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; Có tự nhiên có chữ số cho chữ số có mặt lần, chữ số cịn lại có mặt nhiều lần? Do ta nên phân tích, định hướng cho học sinh đếm theo hướng loại trừ Đây hướng nhiều toán loại Cụ thể lời giải cho là: Gọi số thỏa đề có dạng a1a2 a3 a4 a5 a6 ( a1 �0 ) +Trước hết ta xét số có dạng a1a2 a3 a4 a5 a6 mà a1 �0 a1 = -Chọn vị trí để xếp chữ số 6, có C62 cách chọn -cịn lại vị trí chữ số, có A74 cách xếp � số số trường hợp là: C62 A74 = 12600 số +Xét số có dạng a1a2 a3 a4 a5 a6 mà a1 = -Chọn vị trí vị trí a2 , a3 , a4 , a5 , a6 để xếp chữ số 6, có C52 cách chọn -Cịn lại vị trí chữ số, có A63 cách xếp � số số trường hợp là: C52 A63 = 1200 số Suy số số thỏa đề 12600 – 1200 = 11400 số Bài 3: (Đề thi học kỳ I năm học 2011-2012) Từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; lập số tự nhiên có chữ số cho chữ số có mặt ba lần, chữ số cịn lại có mặt lần khơng có hai chữ số đứng cạnh Lời giải học sinh 1: - Xếp chữ số 1; 2; 3; 4; lên hàng ngang có thứ tự, có 5! cách xếp 10 -Ứng với cách xếp tạo khoảng trống vị trí đầu cuối, chẳng hạn Trong chữ số khơng có hai chữ số đứng cạnh nên khoảng trống ta xếp chữ số Chọn vị trí vị trí để xếp chữ số 6, có C63 cách chọn Theo quy tắc nhân, có 5! C63 = 2400 số thỏa đề Lời giải học sinh 2: +Xét số có chữ số mà chữ số có mặt lần, chữ số cịn lại có mặt lần: -chọn vị trí xếp chữ số có C83 cách chọn -Cịn lại vị trí xếp chữ số, có 5! cách xếp Theo quy tắc nhân, có C83 5! = 6720 số +Trong số trên, xét số có hai ba chữ số đứng cạnh nhau: Ta xem hai chữ số đứng cạnh chữ số, việc xếp chữ số chữ số lại tạo thành số có chữ số trường hợp giống việc xếp chữ số chữ số lại tạo thành số có chữ số: -chọn vị trí xếp chữ số có C72 cách chọn -Cịn lại vị trí xếp chữ số, có 5! cách xếp Theo quy tắc nhân, có C72 5! = 2520 số Suy số số thỏa đề 6720 – 2520 = 4200 số *Phân tích lời giải: -Lời giải học sinh 1: Rõ ràng hợp lý,trực quan Đây lời giải -Lời giải học sinh 2: giải chia làm bước cụ thể: bước tìm số thỏa điều kiện đề, bước tìm số thỏa điều kiện khơng thỏa điều kiện Do số thỏa đề số thỏa điều kiện mà loại trừ số không thỏa điều kiện Cả lời giải hợp lý lại cho kết khác Phải tốn có đáp số? 14 *Phân tích lời giải: lời giải dùng phương pháp loại trừ -Lời giải học sinh 1: TH chọn câu dễ trung bình 16 câu xảy việc chọn câu dễ TH1, hay câu trung bình TH2,…như việc tính có trùng lặp -Lời giải học sinh 2: TH1 chọn câu dễ trung bình chọn câu dễ, TH2 chọn câu dễ khó chọn câu dễ, việc tính bị trùng lặp -Lời giải học sinh 3: đảm bảo thỏa đề Đây lời giải Bài 4: Có 25 đội bóng tham gia tranh cúp, đội phải đấu với hai trận (đi về) Hỏi có trận đấu? Lời giải học sinh 1: +Cứ đội đá với 24 đội cịn lại 24 trận +Vì có 25 đội nên có 25.24 trận +Hai đội đá nên số trận đấu 25.24.2 = 1200 trận Lời giải học sinh 2: +Cứ đội đá với 24 đội cịn lại 24 trận +Vì có 25 đội nên có 25.24 trận Vậy có 25.24 = 600 trận *Phân tích lời giải: Ký hiệu 25 đội bóng 1, 2, 3, …, 25 Khi đội đá với 24 đội cịn lại có đá với đội (xem đá lượt đội đội 2), đội đá với 24 đội cịn lại có đá với đội 1, lúc đội đội đá Do việc nhân số trận đấu Lời giải học sinh sai Lời giải học sinh Bài 5: Có tem thư khác bì thư khác Người ta muốn chọn tem thư, bì thư dán tem thư lên bì thư chọn, bì thư dán tem thư Hỏi có cách làm vậy? Lời giải học sinh 1: -Chọn tem thư có thứ tự, có A53 cách 15 -Chọn bì thư có thứ tự, có A63 cách Để bì thư có tem thư ta dùng quy tắc nhân, có A53 A63 = 7200 cách *Phân tích lời giải: Việc chọn tem thư từ tem thư không cần quan tâm đến thứ tự, theo cách tính trên, kết sau xem cách chọn: tem A bì 1, tem B - bì 2, tem C – bì tem B - bì 2, tem A - bì 1, tem C – bì Do ta lời giải là: Lời giải học sinh 2: +Bước 1: -Chọn tem thư từ tem thư, có C53 cách chọn -Chọn bì thư từ bì thư, có C63 cách chọn +Bước 2: dán tem thư lên bì thư, có 3! cách dán Theo quy tắc nhân, có C53 C63 3! = 1200 cách Lời giải học sinh 3: Chọn bì thư từ bì thư, có C63 cách chọn Ứng với cách chọn bì thư để sẵn, ta chọn tem thư dán lên bì thư đó, bì thư khác nên có A53 cách chọn Theo quy tắc nhân có C63 A53 cách chọn Đối với toán chọn người, xếp chỗ ngồi Bài 1: Một tổ gồm 10 học sinh có học sinh nam học sinh nữ; dãy 10 ghế kê thành hàng dọc Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh vào 10 ghế nói để học sinh giới không ngồi cạnh nhau? Lời giải học sinh 1: Giả sử 10 ghế đánh số thứ tự : 1, 2, 3, …,10 +TH1: Xếp học sinh nam ngồi ghế : 1, 3, 5, 7, 9; có 5! cách xếp Xếp học sinh nữ vào ghế cịn lại có 5! cách xếp � Số cách xếp trường hợp có 5!.5! cách xếp +TH2: Xếp học sinh nữ ngồi ghế : 1, 3, 5, 7, 9; có 5! cách xếp Xếp học sinh nam vào ghế cịn lại có 5! cách xếp 16 � Số cách xếp trường hợp có 5!.5! cách xếp Theo quy tắc cộng có : 5!.5! + 5!.5! = 28800 cách xếp Lời giải học sinh 2: Giả sử ta thay đổi vị trí ghế hàng ghế Xếp học sinh nam vào ghế kê hàng dọc, có 5! cách xếp Giữa học sinh nam ngồi có khoảng trống khoảng trống đầu ghế, tức có khoảng trống Xếp học sinh nữ vào khoảng trống có A65 cách xếp Theo quy tắc nhân có 5! A65 = 86400 cách xếp *Phân tích lời giải: -Lời giải học sinh 1: rõ ràng, -Lời giải học sinh 2: sai Vì sao? Cách xếp sử dụng cách xếp số dạng Nhưng yêu cầu tốn hs nam khơng ngồi cạnh học sinh nữ không ngồi cạnh khơng phải có nữ khơng ngồi cạnh Do việc áp dụng cách làm mục khơng xác Bài 2: Một nhóm có học sinh, có học sinh nam học sinh nữ Xếp ngẫu nhiên học sinh ngồi vào dãy ghế đối diện (mỗi dãy có ghế) Có cách xếp để học sinh giới ngồi đối diện nhau? Lời giải học sinh 1: -Chọn học sinh nam, chọn cặp ghế đối diện xếp chỗ ngồi cho học sinh chọn vào cặp ghế chọn, có C42 4.2 cách -Cịn lại học sinh nam, chọn cặp ghế đối diện cặp ghế lại xếp chỗ ngồi cho học sinh nam vào cặp ghế chọn, có C22 3.2 cách -Xếp học sinh nữ vào cặp ghế cịn lại, có 4! cách Theo quy tắc nhân, có ( C42 4.2).( C22 3.2).4! = 6912 cách xếp thỏa đề Lời giải học sinh 2: -Xếp chỗ ngồi cho học sinh nam thứ nhất, có cách -Xếp học sinh nam thứ hai ngồi đối diện với học sinh nam thứ nhất, có cách 17 -Xếp học sinh nam thứ ba ngồi vào ghế cịn lại, có cách -Xếp học sinh nam thứ tư ngồi đối diện với học sinh nam thứ ba, có cách -Xếp học sinh nữ vào ghế cịn lại, có 4! cách Theo quy tắc nhân, có 8.1.6.1.4! = 1152 cách Lời giải học sinh 3: -Chọn cặp ghế đối diện nhau, có C42 cách -Xếp học sinh nam vào cặp ghế này, có 4! cách -Xếp học sinh nữ vào cặp ghế cịn lại, có 4! cách Theo quy tắc nhân, có C42 4!.4! = 3456 cách Lời giải học sinh 4: -Chọn học sinh nam, có C42 cách -Chọn học sinh nữ, có C42 cách -Xếp học sinh chọn vào dãy ghế, có 4! cách -Xếp học sinh nam lại vào ghế đối diện với học sinh nam ngồi, có 2! cách -Xếp học sinh nữ lại vào ghế lại, có 2! cách Theo quy tắc nhân có C42 C42 4!.2!.2! = 3456 cách Lời giải học sinh 5: -Xếp chỗ ngồi cho học sinh nam thứ nhất, có cách -Chọn học sinh nam học sinh nam lại xếp ngồi đối diện với học sinh nam thứ nhất, có cách -Xếp học sinh nam thứ ba ngồi vào ghế cịn lại, có cách -Xếp học sinh nam thứ tư ngồi đối diện với học sinh nam thứ ba, có cách -Xếp học sinh nữ vào ghế cịn lại, có 4! cách 18 Theo quy tắc nhân, có 8.3.6.1.4! = 3456 cách *Phân tích: -Lời giải học sinh 1: Ở lần chọn thứ chọn học sinh nam A, B xếp vào cặp ghế thứ Điều xuất lần chọn thứ hai -Lời giải học sinh 2: cách chọn cho phép học sinh nam thứ hai ngồi đối diện với học sinh nam thứ Do đó, lời giải học sinh sai, lời giải học sinh 3, 4, Trong đó, lời giải học sinh mang tính chất riêng toán Cách xếp lời giải học sinh 4, tổng quát Bài 3: Một đoàn tàu có toa chở khách, toa I, toa II, toa III Trên sân ga có người khách chuẩn bị tàu, biết toa có chỗ trống Hỏi: a/ có cách xếp người khách lên tàu mà toa có người b/ có cách xếp cho người khách lên tàu mà có toa có người khách *Lời giải học sinh 1: +Loại 1: xếp người lên toa tùy ý, có 34 cách +Loại 2: Xếp người lên toa toa, có C32 24 cách +Loại 3: xếp người lên toa toa có cách Suy số cách xếp thỏa đề 34 – ( C32 24+3) = 30 cách *Lời giải học sinh 2: Vì toa có người nên chọn người xếp vào toa có C43 3! cách Sau người cịn lại có lựa chọn toa tàu Do có C43 3! = 96 cách *Lời giải học sinh 3: Xếp người lên toa toa cịn lại toa có người Chọn toa toa, có C31 cách chọn 19 Chọn người để xếp lên toa chọn, có C42 cách chọn Xếp người cịn lại vào toa cịn lại có 2! cách xếp Theo quy tắc nhân, có C31 C42 2! = 36 cách *Phân tích: Lời giải học sinh 1: xét thừa trường hợp xếp người lên toa xảy trường hợp người lên toa Lời giải học sinh 2: sai lầm giống mục Lời giải học sinh 3: 20 C BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài tập tự luận: Bài 1: Từ 10 chữ số 0, 1, 2, …., lập số có chữ số khác cho chữ số có mặt chữ số chữ số *Hướng dẫn: sử dụng cách chọn vị trí để xếp chữ số ln có mặt mục Bài 2: Có 10 bạn nam, bạn nữ Hỏi có cách xếp thành hàng ngang mà khơng có bạn nữ đứng cạnh nhau? *Hướng dẫn: áp dụng cách tính mục Bài 3: Có cách xếp chỗ cho bạn nữ bạn nam ngồi vào 10 ghế mà khơng có hai bạn nữ ngồi cạnh nếu: a/ ghế xếp quanh bàn trịn có đánh số thứ tự? b/ ghế xếp quanh bàn trịn khơng đánh số thứ tự? *Hướng dẫn: áp dụng cách tính mục Cần lưu ý cách xếp quanh bàn trịn khơng có số thứ tự Bài 4: Từ chữ số 1, 2, 3, lập số tự nhiên có chữ số cho số lập thành chữ số 1, 2, có mặt lần, ngồi chữ số lẻ nằm vị trí lẻ Hướng dẫn: Áp dụng cách chọn vị trí để xếp số mục hay chọn ghế cho người ngồi mục Bài 5: Từ 10 chữ số 0, 1, 2, …., lập số có chữ số khác có chữ số đồng thời hai chữ số không đứng cạnh *Hướng dẫn: Dùng phương pháp loại trừ kết hợp với việc sử dụng vai trò khác hai chữ số Bài 6: Cho 10 câu hỏi gồm câu lý thuyết câu tập Cần chọn đề kiểm tra gồm có câu hỏi có câu lý thuyết câu tập Hỏi có đề kiểm tra thỏa yêu cầu *Hướng dẫn: Áp dụng cách tính mục 21 Bài 7: Một đội học sinh giỏi trường gồm hsg Toán, hsg Văn hsg Sử Chọn ngẫu nhiên hsg nhận giải thưởng hội phụ huynh, có cách chọn mà có đủ hsg ba mơn *Phân tích: Bài mục có thay đổi hình thức Bài 8: Một hộp có bi xanh, bi đỏ bi vàng khác Cần chọn bi, có cách chọn bi có khơng q màu *Phân tích: Bài hay gặp sai lầm mục chia trường hợp thiếu, bị trùng lặp Do đó, ta nên theo hướng loại trừ, chọn bi tùy ý 18 bi trừ trường hợp chọn đủ ba màu Bài 9: Tính số cách chọn cặp nhảy từ 10 bạn nam bạn nữ mà cặp nhảy gồm bạn nam bạn nữ *Hướng dẫn: Đây mục Bài 10: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên có chữ số khác mà có chữ số lẻ, chữ số chẵn *Hướng dẫn: ý tưởng giống mục chữ số chẵn xếp tùy ý với chữ số lẻ Do nên chọn theo bước: Bước 1: chọn chữ số chẵn chữ số lẻ mà không cần quan tâm đến thứ tự Sau chữ số ta thực bước 2: xếp chữ số theo thứ tự Bài 11: Một nhóm có học sinh, có học sinh nam học sinh nữ Xếp ngẫu nhiên học sinh ngồi vào dãy ghế đối diện (mỗi dãy có ghế) Có cách xếp để học sinh khác giới ngồi đối diện nhau? *Hướng dẫn: sử dụng cách đếm mục Câu hỏi trắc nghiệm: Câu Một hội đồng gồm nam nữ tuyển vào ban quản trị gồm người Biết ban quản trị có nam nữ Hỏi có cách tuyển chọn? A 240 B 260 C 126 D 120 Câu Có nam nữ cần xếp ngồi vào hàng ghế Hỏi có cách xếp cho Nam, nữ ngồi xen kẽ có người nam C, người nữ D không ngồi kề ? A 32 B 30 C 35 D 70 Câu Một bàn dài có dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn 22 nói Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho học sinh ngồi cạnh đối diện khác trường A 1036800 B 2223500 C 146800 D 234780 Câu Từ số tập A   0,1, 2, 3, 4,5, 6 lập số chẵn gồm chữ số đơi khác có hai chữ số lẻ hai chữ số lẻ đứng cạnh A 360 B 362 C 345 D 368 Câu Giả sử ta dùng màu để tô cho nước khác đồ màu dùng hai lần Số cách để chọn màu cần dùng là: A 5! 2! B C 5! 3!2! D 53 Câu Hai nhóm người cần mua nhà, nhóm thứ có người họ muốn mua kề nhau, nhóm thứ hai có người họ muốn mua kề Họ tìm lô đất chia thành rao bán (các chưa có người mua) Tính số cách chọn người thỏa yêu cầu A 144 B 125 C 140 D 132 Câu Một lớp có 33 học sinh, có nữ Cần chia lớp thành tổ, tổ có 10 học sinh, tổ có 11 học sinh, tổ có 12 học sinh cho tổ có học sinh nữ Hỏi có cách chia vậy? A C73C267 B C42C199 C C72C26 C53C188 D C73C267 C42C199 + C72C268 C53C188 + C72C268 C52C189 Câu Có số chẵn gồm chữ số khác cho số có mặt hai chữ số A 316 B 350 C 340 D 632 23 V MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC KHI SỬ DỤNG ĐỀ TÀI Qua năm giảng dạy lớp 11 tơi tích lũy số kinh nghiệm dạy toán đếm phần tổ hợp Đó việc nên phân tích cho học sinh thấy sai lầm từ có định hướng tốt cho giải Trong năm học vừa qua (2015-2016 2016-2017) làm phép đối chứng lớp 11/9 (năm học 2015-2016) 11/11 (năm học 2016-2017) Đối với lớp 11/11, tiết tập, ôn tập đưa cho học sinh số cách giải sai mà học sinh hay mắc phải phân tích sai lầm, giải thích cách khắc phục Ở cuối phần tổ hợp thực kiểm tra lớp 11/9 11/11 thu kết Đề kiểm tra 15 phút: 1/ Một lớp học có 33 học sinh có học sinh nữ 26 học sinh nam Cần chia thành tổ, tổ có 10 học sinh, tổ có 11 học sinh, tổ có 12 học sinh cho tổ có học sinh nữ Hỏi có cách chia tổ vậy? 2/ Có số tự nhiên có chữ số cho chữ số có mặt lần chữ số có chữ số đứng cạnh nhau, chữ số lại đôi khác khác + Lớp 11/9: Số HS 45 Giỏi Khá 15 TB 18 Yếu, + Lớp 11/11: Số HS 41 Giỏi Khá 18 TB 16 Yếu, 24 VI KẾT LUẬN Trên số toán thường có lời giải sai mà học sinh hay mắc phải, thực tế cịn nhiều tốn khác mà em mắc sai lầm đa số rơi trường hợp tương tự nên khơng nêu Việc đưa tốn cụ thể với sai lầm cụ thể hẳn tăng thêm kỹ giải toán tổ hợp cho em, hạn chế sai tương tự, thân em tự rút cho cách phân tích lời giải sai mà em đọc Các nội dung cịn mang tính chủ quan thân Với nhiều thầy quen thuộc tích góp thân qua năm giảng dạy lớp khối 11 Để đề tài có ý nghĩa thiết thực, mong quý thầy cô bạn đồng nghiệp góp ý, bổ sung nhằm hồn thiện VII ĐỀ NGHỊ Các toán tổ hợp, chỉnh hợp phong phú đa dạng Nhằm giúp cho việc dạy người thầy thêm sinh động, tiết học thêm lôi học sinh thêm hứng thú Đồng thời học sinh tích lũy thêm kiến thức tốn học, phát huy khả phân tích, đánh giá, tổng hợp kiến thức học sinh, kích thích ham học tốn em Việc tìm hiểu, nghiên cứu nhiều hướng giải toán biết, sưu tầm phát nhiều toán điều cần thiết với tất người 25 VIII TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 Nâng cao - Nhà xuất Giáo dục 2/ Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 - Nhà xuất Giáo dục 1/ Sách tập Đại số Giải tích 11 Nâng cao - Nhà xuất Giáo dục 2/ Sách tập Đại số Giải tích 11 - Nhà xuất Giáo dục 26 IX MỤC LỤC Nội dung…………………………………………… ………………….Trang Tên đề tài…………………………………………………………………… I Đặt vấn đề ……………………………………………………………… .2 II Cơ sở lí luận…………………………………………………………… .3 III Cơ sở thực tiễn………………………………………………………… IV Nội dung A Cơ sở lí thuyết………………………………………………………6 B Các toán cụ thể………………………………………… C Bài tập áp dụng…………………………………………………….20 V Kết quả………………………………………………………………… 23 VI Kết luận………………………………………………………………….24 VII Đề nghị………………………………………………………………….24 VIII Tài liệu tham khảo…………………………………………………… 25 27 Mẫu MẪU PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN (Ban hành theo Quyết định số 32 /2015/QĐ-UBND ngày 11 /11/2015 UBND tỉnh) CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Tác giả sáng kiến: Đơn vị công tác (của tác giả sáng kiến) : Họp vào ngày: Họ tên chuyên gia nhận xét: Học vị: Chuyên ngành: Đơn vị công tác: Địa chỉ: Số điện thoại quan: Di động: Chức trách Tổ thẩm định sáng kiến: NỘI DUNG NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ Đánh giá thành STT Tiêu chuẩn Điểm tối đa viên tổ thẩm định Sáng kiến có tính sáng tạo (điểm tối đa: 30 điểm) (chỉ chọn 01 (một) 04 (bốn) nội dung bên cho điểm tương ứng) Không trùng nội dung, giải pháp thực sáng 1.1 30 kiến cơng nhận trước đây, hồn tồn mới; Sáng kiến, giải pháp có cải tiến so với trước 1.2 20 với mức độ khá; Sáng kiến, giải pháp có cải tiến so với trước 1.3 10 với mức độ trung bình; Khơng có yếu tố chép từ giải 1.4 pháp có trước Nhận xét: 2.1 2.2 a) b) Sáng kiến có tính khả thi (điểm tối đa: 30 điểm) Thực phù hợp với chức năng, nhiệm vụ tác giả sáng kiến; Triển khai áp dụng đạt hiệu (chỉ chọn 01 (một) 04 (bốn) nội dung bên dưới) Có khả áp dụng tồn tỉnh Có khả áp dụng nhiều ngành, lĩnh vực công tác triển khai nhiều địa phương, đơn vị tỉnh 10 20 15 28 Có khả áp dụng số ngành có 10 điều kiện Có khả áp dụng ngành, lĩnh vực công d) tác Nhận xét: c) Sáng kiến có tính hiệu (điểm tối đa: 40 điểm) Sáng kiến phải mang lại lợi ích thiết thực cho 3.1 quan, đơn vị nhiều so với chưa phát minh 10 sáng kiến; Hiệu mang lại triển khai áp dụng (chỉ 3.2 chọn 01 (một) 04 (bốn) nội dung bên dưới) a) Có hiệu phạm vi tồn tỉnh 30 Có hiệu phạm vi nhiều ngành, nhiều b) 20 địa phương, đơn vị Có hiệu phạm vi số ngành có c) 15 điều kiện Có hiệu phạm vi ngành, lĩnh vực công d) 10 tác Nhận xét: Tổng cộng THÀNH VIÊN TỔ THẨM ĐỊNH (Họ, tên chữ ký) XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ ... Sai lầm lời giải chưa thỏa mãn tính chất có chữ số số tạo thành ( sai lầm gặp) Lời giải học sinh 2: Lời giải quan tâm đến việc xếp chữ số mà khơng tính đến chuyện chữ số rơi vào vị trí (sai lầm. .. Trên số toán thường có lời giải sai mà học sinh hay mắc phải, thực tế cịn nhiều tốn khác mà em mắc sai lầm đa số rơi trường hợp tương tự nên tơi khơng nêu Việc đưa tốn cụ thể với sai lầm cụ thể... hay nhầm lẫn tốn chuyện xảy thường xuyên dù học sinh học phần nào, nội dung Với đặc trưng “Tổ hợp” việc sai lầm toán xảy thường xuyên hơn, khó phân biệt hơn, học sinh sai mà học sinh khác Các em