Một số áp dụng của vô cùng bé và vô cùng lớn để giải các bài toán trong lý thuyết chuỗi

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– LƯƠNG PHAN DIỆU THẢO MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA VÔ CÙNG BÉ VÀ VÔ CÙNG LỚN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN TRONG LÝ THUYẾT CHUỖI Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2017 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– LƯƠNG PHAN DIỆU THẢO MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA VÔ CÙNG BÉ VÀ VÔ CÙNG LỚN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRONG LÝ THUYẾT CHUỖI Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học TS PHAN ĐỨC TUẤN Đà Nẵng - Năm 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Lương Phan Diệu Thảo LỜI CẢM ƠN Lời luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình thực để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo tận tình dạy bảo tác giả suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến anh chị em lớp Phương pháp toán sơ cấp -Đà Nẵng nhiệt tình giúp đỡ tác giả trình học tập lớp Đà Nẵng, ngày 27 tháng 12 năm 2017 Tác giả Lương Phan Diệu Thảo Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đại lượng vô bé - vô 1.1.1 Đại lượng vô bé 1.1.2 Đại lượng vô lớn 1.2 Chuỗi số 1.3 Chuỗi hàm 1.3.1 Chuỗi hàm 1.3.2 Chuỗi hàm lũy thừa lớn Áp dụng VCB VCL để giải toán chuỗi số 2.1 Dạng ln(1 + V CB) 2.2 Dạng − cos(V CB) 2.3 Dạng sin(V CB) − V CB cos(V CB) 2.4 Một số dạng lượng giác quy VCB 2.5 Dạng eV CB − 8 15 18 23 23 24 xét hội tụ Áp dụng vô bé vô lớn để giải toán miền hội tụ chuỗi hàm 3.1 Miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ 3.2 Quy chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ 3.3 Sáng tạo tập 29 31 33 36 41 45 tìm 50 51 57 61 Kết luận kiến nghị 66 Tài liệu tham khảo 67 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Chuỗi hàm xuất từ sớm Ngay từ kỷ thứ XIV, nhà toán học Ấn Độ - Madhava1 biết cách biểu diễn số hàm lượng giác thành chuỗi vô hạn đánh giá sai số sinh “cắt đi” chuỗi Madhava tìm chuỗi hàm sin x, cos x, arctan x vào năm 1400, tức trước chúng biết đến Châu Âu Các thuật ngữ “hội tụ” “phân kỳ” chuỗi hàm đời vào năm 1668, khảo cứu thực hội tụ chuỗi vơ hạn khởi đầu sau gần 150 năm Carl Friedrich Gauss2 , ông xem xét chuỗi dạng “siêu cấp số nhân” cơng bố cơng trình vào năm 1812 Ơng thiết lập tiêu chuẩn hội tụ xem xét vấn đề khoảng hội tụ phần dư chuỗi Cauchy người thiết tha với dấu hiệu hội tụ chặt chẽ Ông hai chuỗi hội tụ tích chúng khơng thiết hội tụ Nhiều tiêu chuẩn hữu hiệu tính hội tụ khởi nguồn từ ông Euler Gauss đóng góp nhiều tiêu chuẩn hội tụ khác Maclaurin biết trước số tiêu chuẩn mà Cauchy phát sau Tiêu chuẩn Abel dạng tổng quát ta thấy ngày thực phát triển sau nhiều người, có Weierstrass Qua thấy lý thuyết chuỗi số đề tài quan trọng, thu hút nhiều quan tâm nhà tốn học lỗi lạc Nó cịn tảng sở cơng cụ cho nhiều ngành toán học khác sau lý thuyết chuỗi Fourier, chuỗi Fourier phức, ứng dụng giải xấp xỉ tích phân tổng chuỗi lũy thừa, tốn tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng, phân tích sóng nhỏ3 , Việc kiểm tra tính hội tụ chuỗi số thực nhiều tiêu chuẩn khác tìm nhà tốn học kể thơng qua xét giới hạn phần tử tổng quát, so sánh tỉ số hai phần tử liền chuỗi, xét tích phân phần tử tổng quát chuỗi, so sánh với 1350 – 1425 Nhà toán học người Đức, 1777 – 1855 wavelet chuỗi hội tụ chuỗi phân kỳ Theo điều kiện cần, ta có số hạng tổng quát chuỗi số khơng dần khơng chuỗi phân kỳ Nên chuỗi muốn xem xét có hội tụ hay khơng số hạng tổng qt phải dần khơng Nghĩa số hạng tổng qt phải đại lượng vơ bé Do đó, ta kết hợp với tiêu chuẩn so sánh dẫn đến tốn so sánh hai vơ bé (VCB) Như ta biết, nghịch đảo đại lượng vô bé đại lượng vô lớn (VCL) Từ điều gợi mở cho tơi tìm hiểu mối quan hệ hai đại lượng VCB-VCL toán xét hội tụ chuỗi số tìm miền hội tụ chuỗi hàm Với mong muốn mang lại hiểu biết rõ ràng vấn đề kể tìm cơng cụ đơn giản, hiệu việc giải tốn xét hội tụ chuỗi số, tìm miền hội tụ chuỗi hàm lựa chọn đề tài “MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA VÔ CÙNG BÉ - VƠ CÙNG LỚN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN TRONG LÝ THUYẾT CHUỖI” Mục tiêu nội dung nghiên cứu đề tài Mục đích nghiên cứu luận văn nghiên cứu mối quan hệ hai đại lượng VCB-VCL với toán xét hội tụ chuỗi số tìm miền hội tụ chuỗi hàm Từ mối quan hệ đưa phương pháp giải sáng tạo tập cho toán xét hội tụ chuỗi số tìm miền hội tụ chuỗi hàm Để đạt mục tiêu kể luận văn dự định nghiên cứu nội dụng sau: - Định nghĩa, số tính chất giới hạn hàm số, vơ bé, vô lớn, vô bé - Định nghĩa chuỗi số, chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa, tiêu chuẩn xét hội tụ chuỗi số, tìm bán kính hội tụ, miền hội tụ chuỗi hàm - Trên sở áp dụng VCB-VCL vào giải toán xét hội tụ chuỗi số tìm miền hội tụ chuỗi hàm Nội dung đề tài dự định chia thành chương • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Áp dụng VCB VCL để giải toán xét hội tụ chuỗi số • Chương 3: Áp dụng VCB-VCL để giải tốn tìm miền hội tụ chuỗi hàm Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng mà tập trung nghiên cứu lý thuyết VCB, VCL, lý thuyết chuỗi Phạm vi nghiên cứu áp dụng VCB-VCL xét hội tụ chuỗi số dương tìm miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa Phương pháp nghiên cứu - Đọc, dịch, tìm hiểu tài liệu lý thuyết vơ bé, vô lớn, chuỗi số, chuỗi hàm - Thu thập báo khoa học tài liệu ứng dụng vơ bé, vơ lớn tính giới hạn hàm xét hội tụ chuỗi hàm - Vận dụng kiến thức bên sáng tạo tốn sau giải tốn phương pháp nêu Đóng góp đề tài Đưa phương pháp sử dụng VCB-VCL để giải toán xét hội tụ chuỗi số, tìm miền hội tụ chuỗi hàm Sáng tạo lớp toán xét hội tụ chuỗi số tìm miền hội tụ chuỗi hàm Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có giá trị mặt lý thuyết Có thể sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên học mơn Tốn cao cấp học viên cao học ngành Phương pháp toán sơ cấp Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức sở liên quan đến giới hạn hàm số hội tụ chuỗi số, chuỗi lũy thừa Đây sở lý thuyết cho suy luận hai chương Phần lớn kiến thức tìm thấy [2] [4] 1.1 Đại lượng vô bé - vơ lớn Mục chủ yếu trình bày kiến thức liên quan đến đại lượng vô bé vô lớn Đây sở kiến thức quan để nghiên cứu chương 1.1.1 Đại lượng vô bé Định nghĩa 1.1.1 Hàm số α(x) gọi vô bé x → x0 lim α(x) = x→x0 Ký hiệu VCB(x → x0 ) Tiếp theo, ta trình bày số tính chất đại lương vơ bé Mệnh đề 1.1.2 Nếu lim f (x) = A ∈ R (f (x) − A) VCB(x → x0 ) x→x0 Tính chất 1.1.3 Giả sử α(x), β(x) hai VCB(x → x0 ) f (x) hàm bị chặn lân cận x0 Khi đó, (i) α(x) ± β(x) VCB(x → x0 ) (ii) α(x).β(x) VCB(x → x0 ) (iii) α(x).f (x) VCB(x → x0 ) Ta thấy α(x), β(x) hai VCB(x → x0 ) chưa thể kết α(x) luận thương VCB(x → x0 ) hay khơng β(x) Ví dụ 1.1 Xét hai VCB(x → 0) x3 sin x3 Ta có x x3 sin x1 lim = lim sin , x→0 x→0 x3 x x3 sin x1 không tồn giới hạn lim sin nên kết luận x→0 x x3 VCB(x → 0) Vấn đề đặt so sánh hai VCB(x → x0 ) với hay không? Để giải vấn đề này, ta đưa định nghĩa bậc vô bé Định nghĩa 1.1.4 Giả sử α(x), β(x) VCB(x → x0 ) α(x) = 0, ta nói α(x) VCB bậc cao β(x) x→x0 β(x) (i) Nếu lim α(x) = c ∈ R\ {0}, ta nói α(x) β(x) VCB x→x0 β(x) bậc (ii) Nếu lim α(x) = ∞, ta nói α(x) VCB bậc thấp β(x) x→x0 β(x) (iii) Nếu lim α(x) không tồn tại, ta nói α(x) β(x) khơng so sánh x→a β(x) với (iv) Nếu lim 53 Định lý 3.1.2 Chuỗi hàm lũy thừa (3.1.8) ∞ n=1 xn nα có miền hội tụ ∆ sau: (i) Nếu α > ∆ = [−1, 1], (ii) Nếu < α ≤ ∆ = [−1, 1), (iii) Nếu α ≤ ∆ = (−1, 1) Chứng minh Đặt an = α an+1 = Xét giới hạn (n + 1)α |an+1 | nα lim = lim = lim − n→∞ |an | n→∞ (n + 1)α n→∞ n+1 α = e0 = = ρ Do đó, ta có bán kính hội tụ chuỗi hàm (3.1.8) R = khoảng hội tụ chuỗi (3.1.8) (−1, 1) ∞ Theo Ví dụ 1.12 chuỗi Tại R = 1, ta có chuỗi số α n n=1 α > phân kỳ α ≤ ∞ (−1)n Tại R = −1, ta có chuỗi số chuỗi đan dấu α n=1 n = 1, suy ρ ∞ hội tụ α n n=1 • Nếu α > ta có 1 > u = , ∀n ∈ [1, +∞), n+1 nα (n + 1)α lim α = n→∞ n un = (−1)n Nên theo tiêu chuẩn Leibniz, chuỗi hội tụ α n=1 n ∞ • Nếu α ≤ ta có lim un = lim n−α = +∞ nên chuỗi n→∞ phân kỳ Vậy định lý chứng minh n→∞ (−1)n α n=1 n ∞ 54 Ta có định lý sau Định lý 3.1.3 Cho α độ lệch bậc chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ (3.1.3) Khi đó, miền hội tụ hai chuỗi hàm (3.1.3) (3.1.8) trùng Tức (i) Nếu α > miền hội tụ chuỗi hàm (3.1.3) [−1, 1] (ii) Nếu < α ≤ miền hội tụ chuỗi hàm (3.1.3) [−1, 1) (iii) Nếu α ≤ miền hội tụ chuỗi hàm (3.1.3) (−1, 1) Để chứng minh Định lý 3.1.3, ta cần số bổ đề sau Bổ đề 3.1.4 Cho Pk (x) đa thức bậc k có dạng Pk (x) = xk + p1 xk−1 + · · · + pk , (3.1.11) đó, k ∈ N, pi ∈ R, i = 1, k Khi đó, Pk (x + 1) Pk (x) = = lim x→+∞ x→+∞ xk Pk (x) lim Chứng minh Sử dụng quy tắc bỏ vơ lớn bậc thấp, ta có Pk (x + 1) (x + 1)k x+1 lim = lim = lim k x→+∞ x→+∞ x→+∞ Pk (x) x x k = Pk (x) = x→+∞ xk Tương tự, ta thu đẳng thức thứ hai lim Bổ đề 3.1.5 Cho Pk (x) đa thức dạng Pk (x) = xk + p1 xk−1 + · · · + pk Khi đó, tồn số n0 ∈ N cho Pk (x) > với x ≥ n0 Chứng minh Nếu k = P0 (x) = x0 = > với x ∈ R Nếu k > từ lim Pk (x) = +∞, suy tồn số n0 ∈ N cho x→+∞ Pk (x) > với x ≥ n0 Bổ đề 3.1.6 Cho Pk (x), Qm (x) đa thức dạng (3.1.11) Khi đó, Pk (x) m > k tồn n0 ∈ N cho hàm giảm với x ≥ n0 Qm (x) 55 Chứng minh Đặt f (x) = xk + p1 xk−1 + · · · + pk Pk (x) = m Qm (x) x + q1 xm−1 + · · · + qm Ta có f (x) = Pk (x)Qm (x) − Qm (x)Pk (x) A(x) := Q2m (x) Q2m (x) Do Pk (x), Qm (x) đa thức nên A(x) đa thức có hạng tử bậc cao (k −m)xm+k−1 Với m, k ∈ N m > k nên m+k −1 ≥ Thei Bổ đề 3.1.5 tồn số n1 ∈ N cho đa thức (k − m)−1 A(x) > với x ≥ n1 ; suy A(x) < với x ≥ n1 Chọn n0 = max{S+1, n1 } với S = {x ∈ R : Qm (x) = 0} Ta có, f (x) < với x ≥ n0 Do đó, hàm f giảm với x ≥ n0 Bổ đề 3.1.7 Với n0 ∈ Z+ , chuỗi số dương ∞ n=n0 nα hội tụ α > Chứng minh Chứng minh hoàn toàn giống Ví dụ 1.12 (Trong ví dụ trình bày với n0 = Tiếp theo ta chứng minh Định lý 3.1.3 Chứng minh Định lý 3.1.3 Áp dụng Bổ đề 3.1.4, ta suy bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa (3.1.3) R = Khi x = R = 1, ta xét hội tụ chuỗi số ∞ n=1 Pk (n) := Qm (n) ∞ (3.1.12) n=1 Theo Bổ đề 3.1.5 tồn n0 ∈ N cho chuỗi số ∞ n=n0 (3.1.13) 56 chuỗi số dương Do đó, ta khảo sát hội tụ chuỗi số dương ∞ (3.1.13) cách so sánh với chuỗi số dương α n=n0 n Khi x = −R = −1, ta xét hội tụ chuỗi số ∞ Pk (n) (−1) := Q (n) m n=1 ∞ n (−1)n (3.1.14) n=1 Từ (3.1.13), ta suy chuỗi số (3.1.14) chuỗi đan dấu (i) Nếu α > 1, theo Bổ đề 3.1.4, ta có Pk (n) nm = lim = n→∞ 1/nα n→∞ nk Qm (n) lim (3.1.15) Áp dụng tiêu chuẩn so sánh Bổ đề 3.1.7, ta thu chuỗi số dương (3.1.13) hội tụ Suy ra, chuỗi số (3.1.12) hội tụ Mặt khác, ta có ∞ ∞ n |(−1) | = n=n0 ∞ n=n0 (−1)n hội tụ tuyệt đối Suy chuỗi số (3.1.14) nên chuỗi số n=n0 hội tụ Như vậy, miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa (3.1.3) [−1, 1] (ii) Nếu < α ≤ Sử dụng tiêu chuẩn so sánh (i), ta thu chuỗi số (3.1.12) phân kỳ Ta xét hội tụ chuỗi số (3.1.14) Từ Bổ đề (3.1.6), ta suy tồn n1 ∈ N cho {vn } giảm n ≥ n1 Mặt khác, sử dụng quy tắc bỏ vô lớn bậc thấp ta có nk Pk (n) = lim m = lim α = lim = lim n→∞ n n→∞ n→∞ Qm (n) nto∞ n Theo tiêu chuẩn Leibniz, ta suy chuỗi đan dấu ∞ (−1)n , (n2 = max{n0 , n1 }) n=n2 hội tụ Từ đó, suy chuỗi số (3.1.14) hội tụ Như vậy, miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa (3.1.3) [−1, 1) 57 (iii) Nếu α ≤ 0, ta có  1 α = 0, n lim |(±1) | = n→∞ +∞ α < Do đó, (±1)n n → ∞ nên theo điều kiện cần chuỗi hội tụ (Định lý 1.2.2) suy chuỗi số (3.1.12), (3.1.14) phân kỳ Vậy miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa (3.1.3) (−1, 1) Vậy định lý chứng minh Ví dụ 3.2 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa sau ∞ n=1 ∞ n=1 n2 − 3n n x , n4 + n+4 n x n2 + n Ta thấy chuỗi hàm có độ lệch bậc α = nên theo Định lý 3.1.3, ta suy miền hội tụ [−1, 1] với chuỗi hàm lũy thừa thứ hai có độ lệch α = nên theo Định lý 3.1.3 miền hội tụ [−1, 1) Qua ví dụ này, ta nhận thấy việc tìm miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ việc xác định độ lệch bậc 3.2 Quy chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ Nói chung, khơng có phương pháp chung để quy chuỗi hàm chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ Tuy nhiên, số trường hợp cụ thể ta biến đổi sơ cấp để quy chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ nhờ suy miền hội tụ cách nhanh chóng Sau đây, tác giả trình bày cách biến đổi sơ cấp để tìm miền hội tụ qua số ví dụ minh họa 58 Ví dụ 3.3 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm sau: ∞ n=1 ∞ n=1 3n (n + 2) n x , 2n2 − 3n n2 + 5n − n x 5n (n2 + 1) Chuỗi hàm viết lại dạng sau ∞ n=1 3n (n + 2) n x = 2n2 − 3n ∞ n=1 n+2 (3x)n 2n − 3n Đặt X = 3x chuỗi hàm chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ có độ lệch α = Áp dụng Định lý 3.1.3, ta thu miền hội tụ chuỗi hàm theo X [−1, 1) Suy miền hội tụ chuỗi ban đầu theo x 1 Tương tự chuỗi ban đầu, chuỗi thứ hai viết lại dạng − , 3 sau ∞ n=1 n2 + 5n − n x = 5n (n2 + 1) ∞ n=1 n2 + 5n − x n2 + n x , ta thu chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ với độ lệch α = Theo Định lý 3.1.3, ta suy miền hội tụ chuỗi theo X (−1, 1) Như vậy, miền hội tụ chuỗi hàm theo x (−5, 5) Đặt X = Ví dụ 3.4 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm sau ∞ n=1 ∞ n=1 (−1)n+1 n2 , (n3 + 3)xn n6 − 7n4 + 2n x n5 + 9n3 − Chuỗi hàm thứ viết lại dạng sau ∞ n=1 ∞ n2 (−1)n+1 n2 = − − (n3 + 3)xn n3 + n n=1 n 59 Đặt X = − , đó, chuỗi cho chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu x tỉ có độ lệch bậc α = nên miền hội tụ chuỗi hàm theo X [−1, 1) Do đó, suy miền hội tụ chuỗi hàm theo x (−∞, 1] ∪ [1, +∞) Chuỗi hàm thứ hai viết lại dạng sau ∞ n=1 n6 − 7n4 + 2n x = n5 + 9n3 − ∞ n=1 n6 − 7n4 + n (x ) n5 + 9n3 − Đặt X = x2 ≥ Khi đó, chuỗi cho chuỗi lũy thừa với hệ số hữu tỉ có độ lệch α = −1 Kết hợp với điều kiện X ≥ 0, ta suy miền hội tụ chuỗi hàm cho theo X [0, 1) Do đó, ta suy miền hội tụ chuỗi hàm ban đầu theo x (−1, 1) Trong chứng minh Định lý 3.1.3, < α ≤ 1, nhờ Bổ đề 3.1.6, ta dãy {vn } dãy đơn điệu giảm Đó hai điều kiện suy chuỗi đan dấu (3.1.14) hội tụ Trong trường hợp tổng quát dãy {un } thỏa mãn điều kiền (3.1.10) khơng suy dãy {|un |} dãy đơn điệu giảm Thật vậy, ta xét chuỗi số sau √ ∞ ∞ n (−1) + n un = (−1)n n n=2 n=2 Ta có √ |un | n + (−1)n n = lim √ = lim n→∞ n→∞ 1/ n n Tuy nhiến, dãy {|un |} dãy khơng giảm Vì ngược lại theo tiêu chuẩn Leibnitz, chuỗi đan dấu ban đầu ta hội tụ Nhưng ta có √ ∞ ∞ ∞ n (−1) + n 1 n (−1) = + (−1)n √ n n n=2 n n=2 n=2 ∞ phân kỳ nên chuỗi ban đầu phân kỳ, mâu thuẫn Vậy n n=2 dãy {|un |} dãy không giảm Rõ ràng, chuỗi Mệnh đề 3.2.1 Giả sử dãy {un } thỏa mãn điều kiện (3.1.10) Khi đó, 60 (i) Nếu α > miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa (3.1.9) [−1, 1] (ii) Nếu α ≤ miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa (3.1.9) (−1, 1) Chứng minh Từ điều kiện (3.1.10), suy bán kính hội tụ chuỗi hàm lũy thừa (3.1.9) với chuỗi lũy thừa (3.1.8) Khi x = ±R = ±1, ta xét hội tụ chuỗi số sau ∞ (±1)n un (3.2.1) n=1 (i) Nếu α > kết hợp với điều kiện (3.1.10) tiêu chuẩn so sánh, ta suy chuỗi số dương ∞ ∞ n |(±1) un | = n=1 |un |, n=1 hội tụ Do đó, chuỗi số (3.2.1) hội tụ tuyệt đối Vậy miền hội tụ tuyệt đối chuỗi hàm lũy thừa (3.1.9) [−1, 1] (ii) Nếu α ≤ từ điều kiện (3.1.10), ta có |un | n → ∞ Do đó, (±1)n un n → ∞ nên theo điều kiện cần suy chuỗi số (3.2.1) phân kỳ Vậy miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa (3.1.9) (−1, 1) Ví dụ 3.5 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm sau ∞ √ 4n + n x , 2+n n n=1 ∞ n=1 n + ln n n √ x 2+ n Ta có √ lim n→∞ 4n + √ : = n2 + n n3 61 Theo Mệnh đề 3.2.1, ta suy miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa cho [−1, 1] Tương tự, từ n + ln n √ √ = 1, n→∞ + n n lim ta suy miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa cho (−1, 1) Ta thấy rằng, ví dụ qua áp dụng quy tắc bỏ vô lớn bậc thấp ta xem chuỗi hàm ví dụ chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ có độ lệch bậc tương ứng α = , α = − 2 3.3 Sáng tạo tập Trên sở lý thuyết trình bày hai phần trước, phần tác giả trình bày số tập sáng tạo để làm rõ lý thuyết trình bày Ta sử dụng chủ yếu Định lý 3.1.3 so sánh vô bé tương đương trình bày Chương Bài tốn 3.1 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa sau ∞ n=1 n sin n1 √ (x − 1)n n+1 Ta sử dụng vô bé tương đương từ Mệnh đề 1.1.6, đặt x = n → ∞, ta có sin → n 1 ∼ n n Thay vào chuỗi cho ta có ∞ n=1 n sin n1 √ (x − 1)n ∼ n+1 ∞ n=1 n √ (x − 1)n = n n+1 ∞ √ n=1 (x − 1)n n+1 nên theo Định lý 3.1.3, miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa theo X [−1, 1) Vì tâm chuỗi x = nên ta suy miền hội tụ chuỗi lũy thừa theo x [0, 2) Đặt X = (x − 1) Ta thấy độ lệch bậc α = 62 Ta xét ví dụ sau Bài tốn 3.2 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa sau ∞ √ n + 1 − cos n=1 x2n n Nếu đặt x2 = X ≥ 0, ta đưa chuỗi cho dạng ∞ √ n + 1 − cos n=1 X n n x2 Sử dụng vô bé tương đương từ Mệnh đề 1.1.6, ta có − cos x ∼ x → Nếu đặt x = → n → ∞ Khi đó, ta có n 1 − cos ∼ , n → ∞ n 2n Như vậy, chuỗi ta có dạng ∞ √ n=1 √ Xn ∼ n + 1 − cos n ∞ √ n=1 n+1 n X 2n2 n+1 ∼ Ta thấy độ lệch bậc α = Theo Định lý 2n2 2n3/2 3.1.3, suy miền hội tụ chuỗi lũy thừa theo X [0, 1] (vì X ≥ 0) Suy miền hội tụ chuỗi theo x [−1, 1] Vì Bài tốn 3.3 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa sau ∞ √ 3n n + ln(cos )xn n n=1 Ta viết lại chuỗi số sau ∞ √ n=1 n + ln(cos )(3x)n n ∞ Đặt X = 3x chuỗi cho có dạng n=1 cos √ n + ln(cos )X n Ta có n = − sin2 n n 63 Sử dụng vô bé tương đương từ Mệnh đề 1.1.6 sin x ∼ x x → 2 1 Đặt x = → n → ∞, ta có sin2 ∼ Do đó, cos ∼ − n n n n n Sử dụng vô bé tương đương Mệnh đề 1.1.6, ta có ln(1 + x) ∼ x x → Đặt x = − → n → ∞, ta có n ln cos n ∼ ln − n2 ∼− n2 Do đó, chuỗi ta có dạng ∞ n=1 √ n + ln(cos )X n ∼ n ∞ n=1 √ √ ∞ −2 n + n n+2 n X =− X n2 n n=1 Ta có √ n+2 ∼ 3/2 n n > Theo Định lý 3.1.3, miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa cho theo X [−1, 1] Do đó, chuỗi hàm lũy thừa cho 1 có miền hội tụ − , 3 Do đó, độ lệch bậc α = Bài tốn 3.4 Tìm miền hội tụ chuỗi số sau ∞ (n + 1) n=1 1 − sin (x + 1)n n n Đặt x + = X chuỗi cho có dạng ∞ (n + 1) n=1 1 − sin X n n n Sử dụng vô bé tương đương công thức thứ phần cuối 1.1.1, ta có x3 x − sin x ∼ x → Đặt x = → n → ∞ nên ta có n 1 − sin ∼ n n 6n 64 Khi đó, ta có (n + 1) 1 − sin n n ∼ n+1 ∼ 6n 6n Do đó, độ lệch bậc α = > Theo Định lý 3.1.3, miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa theo X [−1, 1] Từ đây, suy miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa theo x [−2, 0] tâm chuỗi ban đầu cho x = −1 Bài tốn 3.5 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa ∞ √ n=1 (−1)n n+1 n 1 √ − sin √ xn n n Trước hết, ta thấy chuỗi hàm lũy thừa cho viết lại dạng sau ∞ √ n=1 (−1)n n+1 n 1 √ − sin √ xn n n ∞ = Nếu đặt X = √ 1 (−1)n n + √ − sin √ n n n=1 x n x chuỗi cho đưa dạng ∞ √ 1 (−1)n n + √ − sin √ X n n n n=1 Trước hết, ta sử dụng vô bé tương đương bậc cao (cơng thứ nhất) trình bày cuối mục 1.1.1, ta có x − sin x ∼ x3 x → ∞ Nếu đặt x = √ → n → ∞, ta có n 1 √ − sin √ ∼ √ n n n3 65 Do đó, ta có ∞ √ 1 (−1)n n + √ − sin √ Xn n n n=1 √ ∞ n n+1 n ∼ (−1) √ X n3 n=1 √ √ 3 n + n+1 n √ = √ nên ta có Vì (−1) n3 n3 √ n+1 lim √ : 7/6 = n→∞ n3 n ≥ nên miền hội tụ chuỗi hàm theo X [−1, 1] Do đó, suy miền hội tụ chuỗi hàm theo x [−2, 2] Theo Mệnh đề 3.2.1, ta thấy độ lệch bậc α = Qua ví dụ ta thấy rằng, áp dụng quy tắc ngắt bỏ vô bé ta đưa chuỗi hàm có hệ số phức tạp chuỗi hàm có hệ số đơn giản nhiều Sau đó, tính độ lệch bậc α sử dụng Định lý 3.1.3 Mệnh đề 3.2.1 để kết luận miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa 66 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu, luận văn thu kết sau: 1.1 Hệ thống định nghĩa, tính chất vô lớn vô bé 1.2 Hệ thống lý thuyết hội tụ chuỗi số, chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa 1.3 Đưa phương pháp xét hội tụ chuỗi số đại lượng vô bé, vô lớn tương đương 1.4 Đưa sở lý thuyết phương pháp xét hội tụ chuỗi hàm lũy thừa 1.5 Trên sở sáng tạo số tốn xét hội tụ chuỗi số tìm miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ Hướng phát triển đề tài Thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau 2.1 Tiếp tục nghiên cứu sử dụng vô lớn, vô bé tương đương vào chuỗi số chuỗi hàm lũy thừa với lớp toán đặc biệt 2.2 Tiếp tục nghiên cứu miền hội tụ chuỗi hàm lũy thừa tổng quát Với tìm hiểu được, tơi hy vọng luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân công tác giảng dạy sau hy vọng luận văn nguồn tư liệu tốt cho học sinh phổ thông quan tâm đến lớp toán chuỗi số Mặc dù cố gắng, thời gian khả có hạn nên chắn luận văn cịn có thiếu sót Vì thế, tơi mong nhận nhiều ý kiến đóng góp quý thầy cơ, bạn bè, đồng nghiệp để luận văn hồn thiện Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thừa Hợp, Giải tích tập II, 2007, NXB ĐHQGHN [2] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn, Giáo trình giải tích tập 1, 2010, NXB ĐHQGHN [3] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn, Giáo trình giải tích tập 2, 2010, NXB ĐHQGHN [4] Lê Văn Trực, Giải tích tốn học tập 1, 2007, NXB ĐHQGHN [5] Phan Đức Tuấn, Nguyễn Thị Thu Thủy (2017), “Ứng dụng vơ bé tương đương tính giới hạn hàm số”, Số 22(01), Tạp chí Khoa học Giáo dục Trường ĐHSP – ĐHĐN, trang 26-30 67 ... ——————————– LƯƠNG PHAN DIỆU THẢO MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA VÔ CÙNG BÉ VÀ VÔ CÙNG LỚN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN TRONG LÝ THUYẾT CHUỖI Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ... Chương Áp dụng VCB VCL để giải toán xét hội tụ chuỗi số Trong chương này, ta đề cập đến lý thuyết sử dụng vô lớn, vô bé sở so sánh chuỗi tương đương để xét hội tụ chuỗi số, đặc biệt chuỗi số dương... đưa tốn xét hội tụ chuỗi số • Tiếp theo ví dụ cụ thể vấn đề sử dụng lý thuyết vô lớn vô bé giải toán xét hội tụ chuỗi số • Sau ví dụ dạng vơ bé số tốn sáng tạo sở lý thuyết có Các kiến thức chương