Đang tải... (xem toàn văn)
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập Tự do Hạnh phúc Trường Đại học Nguyễn Tất Thành BÁO CÁO TÔNG KẾT ĐÈ TÀI NGHIÊN cứu KHOA HỌC Tên đề tài Nghiên cứu tỉnh giải được, tỉnh chất nghiệm và các thu.
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc Trường Đại học Nguyễn Tất Thành BÁO CÁO TÔNG KẾT ĐÈ TÀI NGHIÊN cứu KHOA HỌC Tên đề tài Nghiên cứu tỉnh giải được, tỉnh chất nghiệm thuật giải so số tốn biên cho phương trình giả parabolic số hợp đồng: 2020.01.173/HĐ-KHCN Chủ nhiệm đề tài: TS Nguyễn Hữu Nhân Đơn vị công tác: Khoa Công nghệ thông tin Thời gian thực hiện: 12 tháng (08/2020-08/2021) TP Hơ Chí Minh, ngày 25 tháng 08 năm 2021 MỤC LỤC MỞ ĐÀU CHƯƠNG TỔNG QUAN TÀI LIỆU CHƯƠNG NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP 2.1 Sự tồn nghiệm 2.1.1 Sự tồn dãy qui nạp phi tuyến 2.2.2 Sự hội tụ dãy qui nạp phi tuyến 2.2 Các kết số 2.2.1 Xây dựng thuật giải số sai phân hữu hạn 2.2.2 Mô tả kết số 12 CHƯƠNG KÉT QUẢ VÀ THẢO LUẬN 17 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO 19 TÓM TẮT KÉT QUẢ NGHIÊN cứu Kết quà đạt STT Công việc thực Nghiên đánh giá tổng Đã thu thập tài liệu, báo báo cần thiết cho quan đề tài việc nghiên cứu đề tài; phát vấn đề mở chưa khai thác tài liệu tham khảo, đồng thời dự kiến phương pháp nghiên cứu sử dụng đề tài Nghiên cứu kết Xây dựng định lí chứng minh tồn tồn nhất nghiệm tốn Cụ thể, định lí thứ nghiệm toán đề chứng minh tồn dãy qui nạp phi tuyến; xuất định lí thứ hai chứng minh hội tụ bậc cao dãy qui nạp phi tuyến có định lí thứ Nghiên cứu thuật Xây dựng thuật tốn số cho phương pháp giải tính số, mơ sai phân hữu hạn Các kết số ví dụ cụ thể và phân tích kết hình vẽ mơ nghiệm xấp xỉ lập trình số nghiệm xấp xỉ Mathlab thuật giải STT Sản phấm đăng ký 01 báo thuộc danh mục ISI Thời gian thực hiện: Từ 08/2020 đến 08/2021 Thời gian nộp báo cáo: 08/2021 Sản phẩm đạt 01 báo thuộc danh mục ISI - Q3 Mổ ĐẦU Lý chọn đề tài Các toán lĩnh vực khoa học ứng dụng Vật lý, Cơ học, thường mơ hình tốn học thành tốn biên cho phương trình đạo hàm riêng Nói chung, tốn biên da dạng bắt nguồn từ tốn thực tiễn; việc nghiên cứu toán biên thu hút nhiều nhà toán học nhà khoa học lĩnh vực nói quan tâm Đề tài nghiên cứu tập trung nghiên cứu toán mơ hình tốn học từ nghiên cứu dịng chất lỏng Cơ học chất lỏng, mơ hình tốn thành tốn biên cho phương trình đạo hàm riêng có tên phương trình giả parabolic Mục tiêu đề tài nghiên tính giải tính chất nghiệm thuật giải số số tốn biên cho phương trình giả parabolic Các kết nghiên cứu giúp mô tả đầy đủ tượng Vật lí xảy chất lỏng lớp thứ hai lớp thứ ba ngành Cơ học chất lỏng Mục tiêu cụ the đề tài kết nghiên cứu đề tài cơng bố tạp chí có uy tín thuộc danh mục SCOPUS/ISI Ngồi ra, kết nghiên cứu có the dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học, nhà nghiên cứu chun ngành Tốn Giải tích Tốn-Tin học Đề tài khảo sát toán biên cho phương trình giả parabolic phi tuyến sau: Uị - \ /z(í) + a(t)^7 ờt J \ [uxx -I- ^ux + / g(t - s) X J JQ ỵ uxx(s) + ^-ux(s) X J ds = f (x,t,ù), < X < R, < t < T, (P) ux(l, t) — ộu(l,í) = u(R, t) = 0, u(x, 0) = ũo(x), R > 1, c > số a, f, g, ũo hàm thỏa mãn điều kiện sau; u = ìi(a?, í) ẩn hàm Tóm tắt nội dung nghiên cứu đề tài Đề tài tập trung nghiên cứu vấn đề tính giải thuật giải số cho nghiệm toán (P) Các kết thu từ việc nghiên cứu phân chia thành phần sau Phần Nghiên cứu tồn nghiệm toán (P) Trong phần này, cách thiết lập giả thiết thích hợp, chúng tơi liên kết toán (P) với dãy qui nạp phi tuyến chứng minh dãy qui nạp hội tụ nghiệm yếu toán (p) Cụ thể, chúng tơi trình bày hai định lý: Định lý thứ khẳng định tồn dãy qui nạp phi tuyến liên kết với toán (P) xây dựng phương pháp lặp cấp cao Định lý thứ hai khẳng định hội tụ dãy qui nạp nghiệm yếu toán (P) thỏa mãn đánh giá hội tụ bậc N Phần Nghiên cứu thuật toán số cho nghiệm toán (P) Trong phần này, chúng tơi xét hai thuật giải lý thuyết để tìm nghiệm tốn (P), thuật giải lặp đơn thuật giải lặp cấp Bằng cách sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, viết thuật tốn tìm nghiệm xấp xỉ số cho hai thuật giải Ngồi ra, ví dụ cụ the trình bày để mơ nghiệm gần cho thuật giải so sánh tốc độ hội tụ thuật giải Kết nghiên đề tài Các kết nghiên cứu đề tài đăng tạp chí thuộc danh mục ISI-Q3 Nguyen Huu Nhan, Tran Trinh Manh Dung, Le Thi Mai Thanh, Le Thi Phuong Ngoe, Nguyen Thanh Long, A high-order iterative scheme for a nonlinear pseudoparabolic equation and numer ical results, Mathematical Problems in Engineering Volume 2021, Article ID 8886184, 17 pages, https://doi.org/10.1155/2021/8886184 CHƯƠNG TỔNG QUAN TÀI LIỆU Các nội dung nghiên cứu đề tài thuộc xuất phát từ nghiên cứu dòng chất lỏng Cơ học chất lỏng Các cơng trình xuất vào năm 60 kỉ trước với tên gọi ban đầu phương trình kiểu Sobolev gọi phương trình giả parabolic từ sau cơng trình T w Ting (xem [40]) (1963) Showalter (xem [34], [35]) năm đầu thập niên 70; đến nhiều cơng trình liên quan đến tốn biên cho phương trình giả parabolic cơng bố thu nhiều kết phong phú nghiệm tính giải được, tính giải nhất, tính trơn, tính ổn định, tính tuần hồn, dáng điệu theo thời gian tiệm cận theo thời gian lớn, tính bùng nổ thời gian hữu hạn, Chủ đề nghiên cứu đề tài nhận nhiều quan tâm nghiên cứu tác giả nước Cụ thể: Ngoài nước Các nội dưng nghiên cứu đề tài thuộc lĩnh vực phương trình vi, đạo hàm riêng Nhiều kết nghiên cứu đăng tải lên tạp chí có uy tín thuộc danh mục ISI/SCOPUS, chẳng hạn cơng trình tiêu biểu sau: [Al’shin, Alexander B., Korpusov, Maxim o., Sveshnikov, Alexey G., Blow-up in nonlinear Sobolev type equations, De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, 15.Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2011]; [D Colton, Pseudoparabolic equations in one space variable, J Differential Equations, 12 559-565, 1972]; [D Q Dai, Y Huang, A moment problem for one-dimensional nonlinear pseudoparabolic equation, J Math Anal Appl 328 1057-1067, 2007]; [T Hayat, M Khan, M Ayub, Some analytical solutions for second grade fluid flows for cylindrical geometries, Mathematical and Computer Modelling, 43 1-2, 16-29, 2006]; [M Sajid, T Hayat, Series solution for steady flow of a third grade fluide through porous space, Transport in Porour Media, 71 (2) 173-183, 2008]; [R E Showalter, T w Ting, Pseudoparabolic partial differential equations, SIAM J Math Anal 1-26, 1970]; [T.w Ting, Certain non-steady flows of second-order fluids, Arch Ration Meeh Anal 14 1-26, 1963]; [G Xu, J Zhou, Lifespan for a semilinear pseudo-parabolic equation, Math Meth Appl Sci 41 (2) 705-713, 2018]; [S A Messaoudi, A A Talahmeh, Blow up in a semilinear pseudo-parabolic equation with variable exponents, Annali dell’Universita di Ferrara, 65 (2) 311-326, 2019]; [K Zennir, T Miyasita, Lifespan of solutions for a class of pseudo-parabolic equation with weak-memory, Alexandria Engineering J 59 (2) 957-964, 2020], Trong nước Lĩnh vực nghiên cứu đề tài nhiều nhà khoa học nước quan tâm nghiên cứu, kết nghiên cứu tượng tự đăng tải lên tạp chí có uy tín thuộc danh mục ISI/SCOPUS, chẳng hạn báo: [Long, NT, Dinh, APN: On a nonlinear parabolic equation involving Bessel’s operator associated with a mixed inhomogeneous condition, J Comput Appl Math 196 (1) 267-284, 2006]; [L T p Ngoe, N V Y, Alain p N Dinh, N T Long, On a nonlinear heat equation associated with Dirichlet - Robin conditions, Numerical Functional Analy sis and Optimization, 33 (2) (2012) 166-189]; [L T p Ngoe, N V Y, T M Thuyet, N T Long, On a nonlinear heat equation with viscoelastic term associate with Robin conditions, Appl Anal, 96 (16) 2717- 2736, 2017]; [Le Thi Phuong Ngoc, Truong Thi Nhan, Nguyen Thanh Long, A nonhomogeneous Dirichlet problem for a nonlinear pseudoparabolic equation arising in the flow of second grade fluid, Hindawi Volume 2016 (2016), ID 3875324]; [Le Thi Phuong Ngoc, Truong Thi Nhan, Tran Minh Thuyet, Nguyen Thanh Long, On the nonlinear pseudoparabolic equation with the mixed inhomogeneous condition, Boundary Value Problems (2016) 2016: 137], Có thể nói rằng, chủ đề nghiên cứu đề tài có nguồn tài liệu tham khảo phong phú, đáng tin cậy, mang tính thời lĩnh vực chuyên ngành hội nhập quốc tế CHƯƠNG2 NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP Trong chương này, đề tài khảo sát tồn tính nghiệm toán (P) xây dựng thuật tốn số để tìm nghiêm xấp xỉ Trong mục 2.1, chúng tơi liên kết tốn xét với dãy qui nạp phi tính chứng minh tồn dãy qui nạp Sau chứng minh dãy qui nạp thu hội tụ khơng gian hàm thích hợp nghiệm yếu toán (P), đồng thời thỏa mãn đánh giá tốc độ hội tụ bậc N tính nghiệm chứng minh Trong mục 2.2, xét hai thuật giải số cho tốn (P), thuật giải lặp đơn thuật giải lặp cấp hai Cuối cùng, xét ví dụ cụ thể để mơ nghiệm gần tương ứng với thuật giải đồng thời so sánh tốc độ hội tụ thuật giải 2.1 Sự tồn tính nghiệm 2.1.1 Sự tồn dãy qui nạp phi tuyến Đề tài khảo sát toán biên cho phương trình giả parabolic phi tuyến sau: Uị - + a(t)^7 (uxx + -ux + / g(t - s) uxx(s) + -ux(s) ds / \ X ) Jo \ X ) \ = f (x,t,ù), < X < R, < t < T, ự5) ux(l,t) — u(x, 0) = ũo(x), = u(R, t) = 0, R > 1, c > số Ậi, a, f, g, ũo hàm thỏa mãn điều kiện sau; u = u(x, t) ẩn hàm Với số cố định T* > 0, thành lập giả thiết: (H1) ữo e V n H2 ũOx(l) - Cữo(l) - 0; (H2) ỡei2(0,n (P3) a G p1(o, p*), ữ(t) > Oí* > với t G [0,T*]; (P4) ỊJ, G px(o, T*), /i(t) > (H5) f € C1(Q X [0, T*] X R) thỏa mãn điều kiện Dịĩ, D2DJ3f E Ơ°(Ỡ X [0, T*] X R), < i < N, < j < N - > với t G [0,T*]; Định nghĩa Hàm u nghiệm yếu toán (p) u G (7([0,71]; V íì p2) cho u' e L°°(0,T;V n H2) u thỏa mẫn toán biên phân sau + a(t)a (-u'(t), w) + /J,(i)a — s)a (u(s'),w') ds + (/[ư](t), w), for all w G V, a.e., t G (0, T), u(0) = ũũ, f[u] (x, t) = f (x, t, u(x, t)) Với T G (0, T*], định nghĩa WT = {ve ơ([0,T]; Un//2) : v' e T°°(0,T;UnP2)}, Wt không gian Banach với chuẩn IMIw = rnaX{llWllc([0,T];VnH2) ’ llv II L^(0,T;VnH2)} • (2.1) Với M > 0, ta đặt BT(M) = [v E WT : \\v\\Wt < Chúng ta xây dựng dãy qui nạp m} xác định lí (°) = 0, giả sử U(m-1) e Bt^MỴ Khi đó, ta cần tìm ufmì G (2.2) thỏa mãn m > + a(t)ữ(ũ(m)(t), w) +/í(t)a(u(m\t), w) (í), = í g(t-s)a^m\s),w)ds Jo + (í), Itộ , với w G V, hầu hết t E (0, T), (^-á) k u(m)(O)=ũo, ẠT-1 pDsf p,í,ư(m-1)(M)) (u^m\x,t) -U^-^X^Ỵ p(m)(x,t) = (2.4) í=0 Sử dụng phương pháp Faedo-Galerkin (xem [25]), chứng minh định lí sau Định lí 2.1 Giả sứ hàm ũo, g, a, ụ,, f tương ứng thỏa mãn điều kiện (H1) — (7/5), tồn số M > T > toán (2.3)-(2-4) có nghiệm u(mì E B?(M) □ 2.1.2 Sự hội tụ dãy qui nạp phi tuyến Sử dụng Định lí 2.1 lí luận hội tụ yếu, yếu *, ta chứng minh tồn nghiệm yếu địa phương tốn (P) Trước hết, ta xét khơng gian Banach Wi (T) = {17 G C([0,T];V) : v' E L2 (0,T; V)} , với chuẩn IMIwi(T) = ll17llc'([0,T1];V) + 11 11 L2(0,T;y) ’ xem Lions [25], Định lí 2.2 Giả sử (H|) — (P5) thỏa Khi đó, tịn số M > T > tốn (p) có nghiệm yếu u E B?(M} dãy qui nạp xác định (2.3) hội tụ mạnh bậc N nghiệm u Wi(T’) theo nghĩa |pm) — Ií|| — Ií|| < ( ) , với m > 1, (2.5) c số thích hợp Ngồi ra, có đánh giá tốc độhội tụ sau |pm) - u|p < CT (kTfm , for all mEN, (2.6) Ct < far < số phụ thuộc T Chứng minh Chúng ta chứng minh } dãy Cauchy W1(T) Trước hết, ta đặt v(mì = — u(m) Khi thỏa mãn tốn ^(m)(í)5 uộ + a(t)a(i>^m)(t), w) + Ặí(t)a(ỉ/m)(t), w) < = / g{t — s)a Jo ds + (p(m+1)(t) - p(m)(t), w) , Vw G V, > í7(m)(0) = 0, (2.7) xác định (2.4) Lấy w = rAm)(t) (2.8), sau lấy tích phân theo biến thời gian t, chúng thu zm(t) = 2^M'(s) |pm\s)£ds (2.8) zm(t)=M(i) |pm)(p|"+2£ (|pmMlo+“(s) kmMla) ds- (2.9) Tiếp theo, đánh giá tích phân ỏ vế phải (2.10) N— 111 N II Đặt KM(Ỉ) = ||/||C0(nM) + E ll^3/|lcũ(M + g lr2DML(QM) ’trong sup{|/(x,í,y)| : (x,t,y) e Qm}, [1,B] X [0,T*] X [-VR-1M, VR-1M] Sử dụng zm(t) > /3* , với /3* = min{/z*, «*}, tích phân Ji J‘2 đánh sau (2.10) ■ỉ2 = Ị dr Ị g(r — s)a , iẢm\rỶỳ ds < p.(/+ 2r>ll9P* f,(0’T,) Jo xung quanh điểm Sử dụng khai triển Taylor cho hàm f (x, t, uM) = f (x,t,u^m~^+ đến cấp N, ta có AT-1 i=l L' +Lo»/(I,í 1\íT,t) + ỡv(m 1\x, t), < < Do _^W(í) = N p(mp + pyD^/(x,t,u(m)) pm-p y-1 Í=1 Chú ý pm)(x,tý < (yR^ĩ|pm)(t)|| ý < (ựĩỉ^ĩý (2M) pm-i\x,t)p < (Võr^ĩ|pm"i)(p| < (ỵ/^i)JV|pm”1)lC(T)Í_1 Do đó, ta có ' oo với m cố định, ta thu đánh giá (2.6) Định lí 2.2 chứng minh hoàn tất □ Nhận xét 2.1 Sự tồn nghiệm toán (P) thiết lập phương pháp xấp xỉ tuyến tính dãy qui nạp tương ứng với thuật giải (2.3)-(2.4) với _p(m) (x, t) = f (íc, t, u(m X\íC, í)} Khi đó, giải thuyết cho hàm / cần thỏa f E C'1(Q X [o,p*] X R) Thuật giải có trường hợp gọi thuật giải lặp đơn 2.2 Các thuật giải số Trong phần này, xây dựng thuật giải sai phân tìm nghiệm '((/"'1 cho thuật giải lặp cấp hai xấp xỉ cho nghiệm u toán toán (p) Chú ý từ kết Định lí 2.1 2.2 ta suy tồn hội tụ nghiêm xấp xỉ cho thuật giải lặp cấp hai với việc thay số hạng phi tuyến p^m)(íc,t) bên phải (2.3) P(m)(M) = f với 6(m) (x, t) = D3f (x, t, u^-^x, í)} 2.2.1 Xây dựng thuật giải số sai phân hữu hạn Trước hết, ta dùng công thức sai phân hữu hạn để xấp xỉ đạo hàm theo biến không gian thời gian toán (2.3) cho thuật giải lặp cấp hai Đặt ư(m\t) = u(m\xi,tỵ Xị = + ih, i = 0,1, • • • , N + 1, h = ■ N+ Viết lại toán (P) nút X = Xi : — /x(t)LUịm\t') + Ị g(t — s}Lu(m\s)ds Jo —bị™) (í) ưịm)(t) = ^(m)(i), < i < N, < t < T, ù-m\t) — (2.18) uịm)(íEO,i) - Ctíom)(i) = «7v+i(i) = 0, , u-m\o) = ư(m\íCj,0) = ũo(xi) = Ũ0i, < i < N + 1, (Xi,tỴ= D3f *ým)(i) = , (2.19) F^\xi,t) = f Thay đạo hàm theo biến không gian (2.18) xấp xỉ (xem [31], trang 36, 43) 4ra|te,t) - ao-ạt) h , u'x (10, t) ~ ■ h (t)+