Thông tin tài liệu
NTTU-NCKH-04 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc Đơn vị chủ trì: Trường Đại học Nguyễn Tất Thành BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐÈ TÀI NCKH DÀNH CHO CÁN Bộ - GIẢNG VIÊN 20 Tên đề tài: Khảo sát tính chất nghiệm tốn biên cho phương trình sóng chứa tat dan Balakrishnan - Taylor SỐ hợp đồng: 2020.01.109/HĐ-KHCN Chủ nhiệm đề tài: TS Nguyễn Hữu Nhân Đơn vị công tác: Khoa Công nghệ thông tin Thời gian thực hiện: năm (2019-2020) TP Hồ Chí Minh, ngày 20 thảng 08 năm 2020 MỤC LỤC MỞ ĐÀU CHƯƠNG TÓNG QUAN TÀI LIỆU .3 CHƯƠNG NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN cứu CHƯƠNG KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN 20 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO 22 PHỤ LỤC 23 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT Q = (O,1) = F(íì): Khơng gian hàm lũy thừa p khả tích Lebesgue H"' = //"'(Q): Khơng gian Sobolev cấp m : Tích vơ hướng L1 II II: Chuẩn L- II v: Chuẩn không gian Banach X ẢP(O,T;X): Không gian hàm phụ thuộc thời gian nhận giá trị không gian Banach X u(r) = w(x,r): Ần hàm M'(r) = w,(z) = -^-(x,z), ti"(z) = wH(/) = -Cy(x,r): Các đạo hàm riêng cap 1, theo t ôt dt ÒĩẲ Hv (z) -—(x, z), Mxr (z) = õx õx T (x, z): Các đạo hàm riêng cấp 1, theo X Với f e ck ([0,1] X [0, T] X R4 X R2+), ta kí hiệu: DJ' = dx Daf =D“' D^f õt Pi+2f = V": Các đạo hàm riêng cấp 1; ổy, eZ8+,ịaị = «! + + a8 số Trong phương trình thứ (P), số hạng phi tuyến /( ự, (ux(i),uxt(tỴ), ||ư(t)||2 , ||ưx(í)||2Ì f I X, t, u, ut ux, (ux(t), uxt(tỴ), ||zz(ế)II2 , ||ưx(t)||2 ) phụ thuộc vào tích phân ||ư(t) II2 = / u2 (x, í) dx, v I ||ưx(t)||2 = / U2 (x,t)dx {ux(t),uxt(t)'i = / ux (x, i) uxt (x, í) Jo, J0 Tóm tắt nội dung nghiên cứu đề tài Đề tài tập trung nghiên cứu vấn đề tính giải tính chất nghiệm toán (P) Các kết thu từ việc nghiên cứu phân chia thành phần sau Phần Nghiên cứu tồn nghiệm toán (P) Trong phần này, cách thiết lập giả thiết thích hợp sau Với A > T* > 0, ta thiết lập giả thiết: (P1) ữo, ữi e Hj nP2: (/-p) M € (71 ([0, r*] X R X Rị) tồn số MƠ, yi, • • • , VÌ) > V*, (P3) > yi, • • • , y3) e [0, T*] X R X Rị; / e C1([0,1] X [0, T*] X R4 X Rị) thỏa /(0, i, 0,0, ĩ/3, - - - ,y6) = /(l,í,0,0,y3, - ,y6) = 0,VíG [0, T*], V(y3, • • • ,Ị/6)eR2xRị Khi đó, cách sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp vói phương pháp Galerkin, ta chứng minh tốn (P) có nghiệm yếu u thỏa u G L°°(0, T; Hq n H2), u' G L°°(Q, T: Pg1 n H'2), u" G P2(0, T; Hq) n L°°(0, T; L2) Phan Nghiên cứu tính chất nghiệm toán (P) Trong phần xét trường hợp đặc biệt số hạng phi tuyến /L f sau P = B ộ|ưx(í)||2} +ư((ưx(t),ưxí(t))), f = -Xiut + f(u) + F(x,t) Khi đó, tốn (P) trở thành toán sau ưtt Xuxxt [pộ|ựr(t)|| + ({ux(t),uxx + XịUị = f(ù) + P(x,í), < X < 1, t > 0, (P) u (0, t) = u (1, t) = 0, _ u(x, 0) = ữg(rr), ut(x, 0) = ữi(x), B, ơ, f, F, ŨỌ Ũ1 hàm cho trước A > 0, A1 > số rllũoxll2 ri rũo(x) Giả sử / B(z)dz — p dx Jo Jo Jo vối giả thiết sau thỏa mãn (P1) ũ0, ữi G hỊ n p2; f(z)dz > lượng ban đầu ||p(t)|| đủ nhỏ (P2) F G L°° (R+; L2) (ì L1 (R+; p2) , tồnt hai số Co > 0, 70 > ||F(t)|| < Ỡoe-^(,í, với t > 0; (P3) B G c1 (R+) tồnt số b* > 0, &1 > 0, cho (i) B(y) > b* > 0, vói y G R-H (ii) yB(y) > bi I B(z)dz, với y G R+; Jo (2/4) G cl (R) tồn số 0, cho (i) cr(y) > —ơ* > 0, với y G R, (ii) yơfy) > 0, với y 0; (P5) f G cl (R) tồn số a, /3 > 2; d2, d'2 > cho (i) y/(y) 7^, vói bi, d2 (P3)(w), (Kõ)(ỉ)01 Khi đó, nghiệm tốn (P) tắt dần mũ t —> +00 Nghĩa là, thỏa mãn đánh giá sau ||u/ ơ)||2 + llua: ơ)l|2 cexp(—7t), vói > t > Kết nghiên đề tài Các kết nghiên cứu đề tài đăng tạp chí thuộc danh mục ISI Le Thi Phuong Ngoe, Nguyen Huu Nhan, Bui Duc Nam and Nguyen Thanh Long, Existence and exponential decay of the Dirichlet problem for a nonlinear wave equation with the Balakrishnan-Taylor term, Lithuanian Mathematical Journal 60 (2) 225-247 2020 CHƯƠNG TỔNG QUAN TÀI LIỆU Vấn đề nghiên cứu đề tài xuất phát từ nghiên cứu Cơ học lĩnh vực hàng không công bố lần Balakrishnan Taylor vào năm 1989, xem [1] Từ đên nay, cơng trình ý nhiều nhà khoa học nước quan tâm nghiên cứu Ngoài nước Các nội dung nghiên cứu đề tài thuộc lĩnh vực phương trình vi, đạo hàm riêng Đây lĩnh nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu tính ứng dụng đa ngành Các kết nghiên cứu đăng tải lên tạp chí có uy tín thuộc danh mục ISI/SCOPUS, chẳng hạn báo: [J Hao, F Wang, General decay rate for weak viscoelastic wave equation with Balakrishnan-Taylor damping and time-varying delay, Comp Math Appl 78 (2019) 2632-2640], [J Hao, Y Hou, Stabilization for wave equation of variable coefficients with Balakrishnan-Taylor damping and source term, Comp Math Appl 76 (2018) 2235-2245], [T G Ha, On the viscoelastic equation with Balakrishnan-Taylor damping and acoustic boundary conditions, Evol Equa Control Theo (2) (2018) 281-291], [T G Ha, Stabilization for the wave equation with variable coefficients and Balakrishnan-Taylor damping, Taiwanese J of Math 21 (4) (2017) 807-817], [T G Ha, General decay rate estimates for viscoelastic wave equation with Balakrishnan-Taylor damping, z Ange Math Phys 67 (2) (2016) Art 32, 1-17] Trong nước Lĩnh vực nghiên cứu đề tài nhiều nhà khoa học nưổc quan tâm nghiên cứu, kết nghiên cứu tượng tự đăng tải lên tạp chí có uy tín thuộc danh mục ISI/SCOPUS, chẳng hạn báo: [Le Thi Phuong Ngoe, Nguyen Anh Triet, Alain Pham Ngoe Dinh, Nguyen Thanh Long, Existence, blow-up and exponential decay for the Kirchhoff-Love equation associated with Dirichlet conditions, Numerical Functional Analysis and Optimization, Vol 38 Issue 9, pp 1173 - 1207 2017], [Nguyen Anh Triet, Vo Thi Tuyet Mai Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Thanh Long, Existence and exponential decay of solutions for a wave equation with integral nonlocal boundary conditions of memory type, Electronic Journal of Differential Equations, Vol 167, pp - 26, 2018], [Vo Anh Khoa, Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Thanh Long, Existence and exponential decay of solutions for a porous-elastic system with damping and source terms, Evolution Equations and Control Theory, Vol 8, Issue 2, pp 359 - 395, 2019], CHƯƠNG NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP Trong chương này, đề tài khảo sát tồn tính nghiệm tốn (P) tính tắt dần mũ nghiệm yếu toán (P) t —> +oo Trong mục 2.1, liên kết toán xét với dãy qui nạp tuyến tính chứng minh tồn dãy qui nạp Sau chúng tơi chứng minh dãy qui nạp thu hội tụ không gian hàm thích hợp nghiệm yếu tốn (P) tính nghiệm chứng minh Trong mục 2.2, xét trường hợp riêng toán (P) ta toán (P) Bằng việc thiết lập phiếm hàm lượng thích hợp, chúng tơi chứng minh nghiệm tốn (P) tắt dần thời gian tiến vô 2.1 Sự tồn tính nghiệm 2.1.1 Sự tồn dãy qui nạp tuyến tính Trong mục này, chúng tơi khảo sát tốn biên cho phương trình sóng phi tuyến chứa số hạng tắt dần Balakrishnan-Taylor sau: utt (P) < ^uxxt y (ux(t), ưxí(t)), ||ư(t)|| , ||ĩzx(t)|| J uxx = / ^X,t,ư,ưí,ưx,(ưx(í),ưxí(t)),||ư(t)||2,||ưx(t)||2j , < X < 1, < t < T, u (0, t) = u (1, í) = 0, u(x, 0) = ữo(x), ưt(^,0) = ữi(x), ịi, f, ŨQ, Ũ1 hàm cho trước A > số Trong phương trình thứ (P), số hạng phi tuyến /J ít, (ux(t),uxt(t)), ||ư(í)||2 , ||ưx(t)||2) í v 2\ f1 f [x,t,u, Ut,ux, (ưx(t), ưxt(í)), ||ư(t)|| , ||ưx(t)|| ) phụ thuộc vào tích phân ||ư(t) II = / u2(x,t)dx, ' ) Jo ||«xơ)||2 = / U2 X (x,t)dx {ux(tỴuxt(tỴ) = / ux (x,ì) uxt (x,t) Jo Jo Với A > T* > 0, ta thiết lập giả thiết: (#1) ũ0, ŨỊ, G Ị n H2: (P2) y € C1) thỏa, mãn tốn biến phân tuyến tính «ìơ))n) + A(ư/mx(t),u;r) + Mm(í)(ưmxơ),nx) = (Fm(t),n), Vue tím(O) = ữo, ư'm(0) = ữi, = M [“m-1] (^) = M < (í) ì ^u'm—l (^))> ll^m—1(011 > ||Vĩím_ (í)|| Fm (í) = f [ưm-i] (%, =f > (2 11) v“m-l(^t), (v«m-l (t) ■ Vư(n_1 (0), ||ưm-i(0l|2,||Wm-1(t)||2) Khi đó, có định lí sau Định lí 2.1 Giả sứ giả thiết {Hì) — {Hi) thỏa Khi đó, tồn số M, T > tồn dây qui nạp {ưm} c Wỵ{AỈ,T) xác định (2.9)-(2.11) Chứng minh Gồm bước Bước Xấp xỉ Faedo-Galerkin Cho {wj} sở Hq, thành lập hàm riêng Wj toán tử —△ = : — Xwj = XjWj, Wj € Hq n H2, Wj(x) = \/2sin(j7rx), Xj = (j7r)2, j = l,2,3,_ ^)ơ) = E'=1í]ơ)wj, (2.12) hệ số c^'j thỏa mãn hệ phương trình vi phân tuyến tính , < j ||ũol|2> ||Ũ0z||2) is independent of m, and the con stant smjt = 2S'm\o) 4- 4/tm(0)(AŨQk, Aũifc) + (16/A)/z2ì(O)||Aỉ~íoa||2 is also independent of m because of sm,k = 2||Ũ1A-||2 + 2||ũifca;||2 + 2A||Aũlfc II2 + 2/UO)(||Ũoa4I2 + ||Aũ0fc||2) 16 + 4/z„l(0)(A?A)A-A«1/.) + -rPm (0) ||Aũoa- ||2- By means of the convergences in (2.8) and (2.9) we can deduce the existence of a constant M > inde pendent of k and m such that W^/2; m,fceN (2.19) The proofs of the following lemmas, and hence we omit them Lemma We have II/4IIl2(0,t) or(Ai), llMmlkl(0,T) >/5ilz4nllL2(0jT) ||Tm|lz,i(0,T) Ĩm(T), VTơT(AÍ), where ơt(M) = kM{p) [(1 + 5M2) Vt Ĩm(T) = + M2], + —Km(p) 4—) + 2( -—I—rr—i V/T’ 0, let ) JM(ALT) exp Pl + -i- VTaT(M)1, kT(J3) = ( L } / V 2/1* (2.22) where D1 (M, T) = 2(1 + T) [(2 + M)2K2 m(J) + (1 + 5M)2M2k2 M] (2.23) Let Ị3 > be such that ỷM(2 + MYKỉtW + (1 + 5M)2M2k2/(m)] < 1+ (2.24) Then we can choose T G (0, T*] such that ^M2 + 2(1 + 3(1 + 3M)2)TK^(/) exp(w(T)) Af2 (2.25) and kT(J3) < Therefore by (2.18), (2.19), and (2.25) we obtain u Lith Math J., 60(2):225-247, 2020 strongly in Tlq(T) (2.42) L.T.P Ngoe et al 238 Since um G W(M, T), there exists a subsequence {um.} of {um} such that um —> u in L°°(o, T: Hq n H2) weak*, (2.43) u' in L°° (0, T; Ho n H2) weak*, (2.44) u'm u"t —> u" in L2(Qt) weak (2.45) u G W\M,T) (2.46) Note that ll-F’m - /[u] Hl2(qt) - «||wq(7)- (1 + \/T)(2 + (2-47) Hence from (2.42) and (2.47) we deduce that strongly in L2(QtỴ Fm -> f[u] (2.48) Also note that ll^m - mM||L2(0,7) (i + v^)(l + 5M)Km(m)||^-i - «11^(7) (2.49) On the other hand, for all V G V, we have mx — vx) I 4" l^mơ) — /4U](^) 11 Vx') I - M^lllWI + \pm -mM|||ôđ(0|| w 'a/(m)IIM||ôm - ô11^(7) + 11^11^(7)11^11 \pm - mM|- (2-50) Therefore from (2.42), (2.49), and (2.50) we derive that 7 y /zm(f)(umj;(í),va;)ự>(f)df - I ụ.^t^UxịtỴvx^ộ^dt 0 7 Ã'A/(p.)||va;|| Ị \ộ(t)\df||um - «11^(7) + ||«||vv1(7)||^l| Ị |Mm - mM||0ơ)| dí 0 Ã'A/(/z)||Va;||||ự>||£i(0.7)||«m - «11^(7) + llullIV,(7)ll^xII ||ự>||L2(0,7) ll^m - mM||L2(0)T) for aỉìv e H^,ộ & L2{0,TỴ Finally, passing to the limit in (2.2)-(2.5) as m = mj follows that there exists u G ĨV(AÍ, T) satisfying the equation 00, from (2.42)-(2.46), (2.48), and (2.51) it v) + X{u'x(t), Vx) + ^[u^t^Uxậ), vx} = and Al > are given constants Suppose Jo “°1"' B(z) dz — p Jo da? Jồ'’(ĩ) f(z) dz > If the initial energy and ||F(f) II are small enough, then we prove that the energy of the solution decays exponentially as t —> +00 For this purpose, we make the following assumptions: (Hl) ŨQ, Ũ1 € Hq n H2-, (H2) F G L°°(R-|-;L2) n L!(]R+;L2), and there exist two constants Co > and 70 > such that ||F(t)|| < c0e~ỹot fori i 0; (H3) B G C'-jR+J and there exist constants b* > and bi > such that (i) B(y) b* > for y G R+, (ii) yB(y) > bl ss B(z) dz for y G R+; (H4) G C^R), and there exists a constant 07 > such that (i) —CT* > for y G R, (ii) yojy) > for y ± 0; (H5) f G C^R), and there exist constants a, ,8 > 2, d2, d'2 > such that (i) yf(y) < d2 Jo_f(z) dz for y G R, (ii) So /(*)dz d-2(|y|a + |y|0) for y G R; (He) p > d-2/bi with bl, d2 as in (H3)(ii) and (Hs)(i) Example We give an example of the functions B, Ơ, f satisfying (H3)-(He): B(y) = b* + y>' \ —ơcy Í (c^ + lỉ/p2 2)y if y < 0, if y /(y) = d\y\% '2y where b* > 0, Ơ* > 0, d > 0, 71, 72, 73 > are constants with p > 73It is obvious that (H3) holds, because (i) B(y) b* > for y G R+, (ii) J/B(y) = b*y + y^' b*y + y71/7i = Jf B(«) dz = bl ss dz for y G R+ with bl = Existence and exponential decay of the Dirichlet problem 241 It is easy to check that (H4) holds Indeed, because ify d2/bỵ = 73 So (H6) holds First, we construct the Lyapunov functional r(t) = F(i) + will be chosen later, and ||uI(t)||2 E(t) = llM^II2 + / u(xt) B(z)dz-ị dx I f(z)dz 0 IMOII2 = |lh'(*)||2+(è - I) Ị B(z)dz + ịl(tỵ (3.5) V’(i) = («'(*),«(*)) + ^llM^II2 + ^llM(i)||2’ (3.6) where I(i) = I(u(tỴ) = ||i»x(t)||2 u(x,t) I B(z)dz—pị da: Ị f(jz)dz 00 Then we have the following theorem Theorem Assume that (H2)-(H6) hold Let ũo, Ũ1 E Hq n H~ be such that 1(0) > Suppose that the initial energy E(0) satisfies ’J h dv f 2pEt 7(^-2)/2-| > °’ r 0, and (3.7) hold Then I(t) >0 for all t Proof (3.12) By the continuity of 1(f) and 1(0) > 0, there exists Tỵ > such that Z(t) = z(u(f)) > 0, te[0,Ti], which implies that l|wx(t)ll2 F(t)»i||M liK^II2+*€IW (3-14) Combining (3.9) and (3.14) and using Gronwall inequality, we obtain ll^wll where E* is as in (3.7) (p-2)ỉ>*F(í) (p-2)6/ 1e (3’15) Existence and exponential decay of the Dirichlet problem 243 Hence from (Hj)(ii) and (3.15) it follows that w(®,t) p/dx J /(*)d£ ^pd2(iiu(í)iiQ+Iiu(f)iij,) 0 17 2pE* V“-2)/2, Pd'2 ỏ\k + IA(p-2)M w \(/3-2)/2(p - 2)0* ) ||^(i)||2- Therefore 1(f) > p*||ua:(i)||2 > for t e [0, T1], where if as in (3.7) Now we put Too = sup{T > 0: Z(f) > for t e [0 T]} If Too < +°°, then by the continuity of Z(f) we have Z(Too) By the same arguments as before we can deduce that there exists Too > Tao such that Z(f) >0 for t G [0, Too]- Hence we conclude that 1(f) >0 for f > Lemma is completely proved □ Lemma Assume that (H2)-(H6) hold Let 1(0) > and (3.7) hold Put E1(í) = ||u'(f)||2+ Ik* (Oil2 I B(z)dz + I(f) Then there exist positive constants Pl, p'2 such that, for Ỗ is small enough, 3iTi(f) ^T(f) ^32Ti(f), Proof t^o (3.16) It is easy to see that -CO) = i|h'(0||2+(I -1) IM0II2 f B(2)d2+h(i) + ổ(u'(f),u(f)) + y ||ua;(f)||2 + ||u(i)||2- From the inequalities IMOII2 I B(^)d^6*||ua;(i)||2 we deduce that £(i) » ị||«'(t)||2 + Q - Ỉ) IMOII2 / B(2)d2 + O(i) - ^||«'(i)l|2 - ^||«I(i)||2 IM0II2 IM0II2 »ỈII“'( and (3.7) hold The functional ự>(í) defined by (3.6) satisfies K(i)ll2 W)^||«'ơ)||2-/ \ i / B^dz-^I^t) r J - «>0, (3.20) where
Ngày đăng: 09/11/2022, 23:06
Xem thêm:
