Bài toán này có thể giải bằng dồn biến, hàm số,...Bài này thì tác giả xin giới thiệu tới các bạn một cách chứng minh khác từ một hằng đẳng thức.. Đẳng thức xảy ra khi nào?[r]
(1)Nguyễn Hồng Phát 11T Mr.Cheer! PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA ĐA THỨC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ta mở đầu ví dụ sau: Ví dụ 1: Cho a , b, c, d là các số thực dương Chứng minh bất đẳng thức sau: a b c d ab bc cd da ac bd abc bcd cda dab Lời giải: Trước hết ta có BĐT sau: x y z xy yz zx xyz đúng với x , y , z , * Trở lại bài toán, ta đặt p a b c d , q ab bc cd da ac bd , r abc bcd cda dab , s abcd Theo giả thiết thì ta cần chứng minh pq r Mặt khác, theo định lí Viete đảo ta có các số a , b, c, d là nghiệm đa thức biến t sau: P t t pt qt rt s P ' t 4t pt 2qt r Không tính tổng quát, giả sử a b c d Do P a P b P c P d nên theo định lí Rolle tồn các số x, y, z là nghiệm thực P t 4t pt 2qt r thỏa a x b y c z d ' Áp dụng định lí Viete cho P t , ta có x y z ' Theo * thì ta có 3p q r ; xy yz zx ; xyz 4 p q 9r pq 6r 4 Vậy ta có điều phải chứng minh Dấu xảy các biến Ta tiếp tục đến BĐT thức khác Ví dụ 2: Cho a , b, c, d là các số thực không âm Chứng minh bất đẳng thức sau: ab bc cd da ac bd a b c d abc bcd cda dab Lời giải: Cũng làm tương tự trên, Ta đặt p a b c d , q ab bc cd da ac bd , r abc bcd cda dab , s abcd Theo định lí Viete đảo ta có các số a , b, c, d là nghiệm đa thức biến t sau: P t t pt qt rt s P ' t 4t pt 2qt r Không tính tổng quát, giả sử a b c d Do P a P b P c P d nên theo định lí Rolle tồn các số x, y, z là nghiệm thực P t 4t pt 2qt r thỏa a x b y c z d ' 3p q r ; xy yz zx ; xyz 4 2 Vậy bài toán quy việc chứng minh 4q pr xy yz zx xyz x y z Áp dụng định lí Viete cho P t , ta có x y z ' Ta có thể dễ dàng chứng minh BĐT trên Vậy ta có BĐT cần phải chứng minh Dấu xảy các biến Nhận xét: Bạn có thể làm tương tự trên để sang tạo các bất đẳng thức mới.Chẳng hạn như: Từ x y z xy yz zx ta có a b c d 2 ab bc cd da ac bd (2) Nguyễn Hồng Phát 11T Mr.Cheer! Từ x y z 27 xyz ta có a b c d 16 abc bcd cda dab 3 Từ x y z xyz x y z xy yz zx ta có 27 a b c d 72 abc bcd cda dab 84 a b c d ab bc cd da ac bd Bài tập 1: [Hồng Phát] Cho a , b, c, d là các số thực dương thỏa a b c d Chứng minh: ab bc cd da ac bd abc bcd cda dab 14 Gợi ý: Cũng làm tương tự trên ta đưa x y z và cần phải chứng minh x y z xyz 13 Bài toán này có thể giải dồn biến, hàm số, Bài này thì tác giả xin giới thiệu tới các bạn cách chứng minh khác từ đẳng thức Từ x y z xy yz zx x y z xyz x y z y z x z x y Với điều kiện ban đầu, kết hợp a x b y c z d ta có x, y, z dương Ta chứng minh x y z y z x z x y xyz với x, y, z dương Ta không thể áp dụng AM-GM đề đánh giá x y z y z x y vì đề bài không cho gì liên quan đến x y z Nhưng thật may, BĐT trên đúng với x, y, z dương mà không cần sử dụng đến AM-GM Thật vậy, ta chứng minh lại Nếu số a b c, b c a, c a b là số âm thì VT VP Nếu số a b c, b c a, c a b có số âm thì không ấm tính tổng quát giả sử a b c và b c a Khi đó 2b (Vô lý) Nếu số a b c, b c a, c a b có số âm thì VT VP Nếu số không có số âm nào, ta có: (a b c)(b c a ) b (a c) b (b c a )(c a b) c (b a )2 c (c a b)(a b c) a (c b) a Suy ra: [(a b c)(b c a )(c a b)]2 a 2b c Hay ( a b c )(b c a )(c a b) abc (vì a , b, c ) Xong ! Vậy ta có x y z xy yz zx x y z xyz Từ x y z ta thu xy yz zx xyz xy yz zx xyz x y z xyz x y z 2 Hay x y z xyz 13 Bài tập 2: VMO 1996 Bảng A Cho số thực không âm a , b, c, d thỏa ab bc cd da ac bd abc bcd cda dab 16 Chứng minh: a b c d ab bc cd da ac bd Đẳng thức xảy nào? Gợi ý: Sử dụng BĐT sau: (3) Nguyễn Hồng Phát 11T Mr.Cheer! Với xy yz zx xyz thì ta có x y z xy yz zx Chứng minh dành cho bạn đọc, dấu xảy BĐT trên x y z x y 2; y và các hoán vị Bài tập 3: Cho số thực không âm a , b, c, d , ab bc cd da ac bd ' Gợi ý, bài này ta có thể áp dụng Viete cho P x áp dụng BĐT x y z xy yz zx trên Chứng minh a b c d hay ta có thể xét P x áp dụng Viete cho số cộng them việc sử dụng BĐT x y xy '' .Bài tập 4: Cho a , b, c, d Chứng minh: ab ac ad bc bd cd abc bcd acd abd Trước đây, việc chứng minh BĐT này là đa số chuẩn hóa để chứng minh Mặc dù chuẩn hóa đôi giúp chúng ta giải bài toán gọn bên cạnh đó nên đí tìm cách giải khác mà không sử dụng chuẩn hóa Cũng tương tự trên Ta có BĐT cần chứng minh tương đương q r với q ab ac ad bc bd cd , r abc bcd acd abd 27 Mũ hai vế , thu q r , Từ các ví dụ trên ta có q xy yz zx ; r xyz Vậy ta quy việc chứng minh xy yz zx 27 x y z Chứng minh cái này dễ dàng AM-GM nên ta có đpcm Bài tập 5: [Võ Thành Văn] Cho a , b, c, d thỏa a b c d Chứng minh: 81 abc bcd cda dab 15 ab bc cd da ac bd Bài tập 6: [Dương Đức Lâm] Đây là bài có điều kiện giống VMO 1996 Cho số thực không âm a , b, c, d thỏa ab bc cd da ac bd abc bcd cda dab 16 Chứng minh a b c d 20 abc bcd cda dab 16 ab bc cd da ac bd Bài tập 7: [Trần Nam Dũng] Cho số thực không âm a , b, c, d thỏa a b c d 16 ab bc cd da ac bd 144 Chứng minh a b c d abc bcd cda dab 40 (4) Nguyễn Hồng Phát 11T Mr.Cheer! Bài tập 8:[Vasile Cirtoaje] Cho số thực không âm a , b, c, d thỏa abc bcd cda dab Chứng minh 12 a b c d ab bc cd da ac bd Bài tập 9: Cho số thực a , b, c, d , e không âm Chứng minh a b c d e ab bc cd de ea ac ad bd be ce Bài tập 10: [Võ Quốc Bá Cẩn] Cho số thực không âm a , b, c, d thỏa ab bc cd da ac bd abc bcd cda dab 18 Chứng minh a b c d abc bcd cda dab Bài 11:[Hồng Phát] Cho số thực không âm a , b, c, d Chứng minh a b c d abc bcd cda dab 16 32 ab bc cd da ac bd Bài 12: [Mathscope] Cho các số thực a , b, c, d thỏa mãn a b c d Chứng minh a b2 c d 12 6( abc bcd cda dab ) Dấu xảy biến 1 biến Ta đưa x, y, z thực thỏa x y z Chứng minh xy yz zx xyz Nếu có số thì BĐT hiển nhiên đúng Trong trường hợp còn lại, phải có số cùng dấu với nhau, giả sử là x và y Thay z y x vào và biến đổi, ta cần chứng minh x y x y x y xy 4 xy ( x y ) Nếu x 0, y thì hiển nhiên đúng Nếu x 0, y thì ta cần chứng minh a b 3a 2b 2a 3b 2ab3 4ab(a b) với a 0, b Nhưng điều này đúng theo AM-GM: ( a b 2a 3b 2ab3 ) 3a 2b 3ab(a b ) 6ab ab(a b) 6ab 6ab(a b) (5)