NGUYỄN THANH HƯỜNG Trang 2 LI CM èNLuên vôn ny ữủc hon thnh tÔi khoa ToĂn - Tin, Trữớng Ôi hồcKhoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản, dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh cừa Tián sắNguyạn Thanh Hữớng..
Mởt số kián thực chuân bà
ành lỵ iºm bĐt ởng Banach v ành lỵ iºm bĐt ởng Schauder 4 1.2 H m Green
ởng Schauder ành nghắa 1.1 (Xem [2])
Cho X l mởt têp hủp khĂc rộng Mởt Ănh xÔ d: XìX −→ R + ữủc gồi l mởt metric trản X náu nõ thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau: a) d(x, y) ≥ 0,∀x, y ∈X; d(x, y) = 0⇔ x= y, b) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X, c) d(x, y) ⩽ d(x, z) +d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.
Khi õ, d ữủc gồi l khoÊng cĂch hay mởt metric trản X, (X, d) ữủc gồi l khổng gian metric. ành nghắa 1.2 (Xem [2])
DÂy {x n } trong khổng gian metric (X, d) ữủc gồi l hởi tử án x 0 ∈ X náu n→∞lim d(x n , x 0 ) = 0.
Khi õ, ta viát lim n→∞x n = x 0 ho°c x n → x 0 v x 0 ữủc gồi l giợi hÔn cừa dÂy{x n }. ành nghắa 1.3 (Xem [2])
Cho (X, d) l mởt khổng gian metric DÂy {x n } ⊂ X ữủc gồi l dÂy Cauchy hay dÂy cỡ bÊn náu n,m→∞lim d(x n , x m ) = 0, tùc l , vợi ∀ε > 0, ∃n 0 , ∀n, m ≥ n 0 :d(x n , x m )< ε. ành nghắa 1.4 (Xem [2])
Mởt khổng gian metric (X, d) ữủc gồi l Ưy ừ náu trong X mồi dÂy Cauchy ãu hởi tử. ành nghắa 1.5 (Xem [2])
Cho X l mởt khổng gian v²c tỡ trản trữớng K (thỹc ho°c phực) Mởt chuân trản X l mởt Ănh xÔ ∥ ∥: X −→ R + thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt sau: a) ∥ x∥≥ 0, ∀x ∈X; ∥ x∥= 0 ⇔x = 0; b) ∥ λx∥=| λ |∥ x∥, ∀x∈ X, ∀λ ∈ K; c) ∥ x+y ∥≤ ∥ x∥ +∥ y ∥, ∀x, y ∈ X.
Khổng gian tuyán tẵnh X cũng vợi mởt chuân ∥ ∥ xĂc ành trản nõ ữủc gồi l khổng gian tuyán tẵnh ành chuân.
Nhên x²t 1.1 Khổng gian tuyán tẵnh ành chuân X cụng l khổng gian metric vợi khoÊng cĂch d(x, y) = ∥ x−y ∥, ∀x, y ∈ X.
Do õ, sỹ hởi tử trong khổng gian tuyán tẵnh ành chuân X ữủc ành nghắa giống nhữ sỹ hởi tử trong khổng gian metric DÂy{x n } trong khổng gian tuyán tẵnh ành chuân X ữủc gồi l sỹ hởi tử vã x0 ∈ X náu ∥ xn−x0 ∥ −→ 0 khi n −→ ∞. ành nghắa 1.6 (Xem [2])
Khổng gian Banach l mởt khổng gian tuyán tẵnh ành chuân Ưy ừ.
Mởt số vẵ dử vã khổng gian Banach:
1) R v C l nhỳng khổng gian Banach vợi chuân xĂc ành bði:
2) R n l khổng gian Banach vợi chuân
3) C[a, b] l khổng gian Banach vợi chuân
4) C 1 [a, b] l khổng gian Banach vợi chuân
5) L 2 [a, b] l khổng gian Banach vợi chuân
GiÊ sỷ (X, d) l khổng gian metric, T l Ănh xÔ tứ X v o X iºm x∈ X ữủc gồi l iºm bĐt ởng cừa T náu x =T x.
Trữợc khi x²t ành lỵ iºm bĐt ởng Schauder, ta x²t khĂi niằm vã toĂn tû compact nh÷ sau: ành nghắa 1.8 (Xem [13])
Cho X, Y l cĂc khổng gian Banach ToĂn tỷ T : D ⊂ X → Y ữủc gồi l compact náu
(ii) T Ănh xÔ mồi têp bà ch°n v o têp compact tữỡng ối.
Vẵ dử 1.1 (Xem [13]) Cho h m liản tửc
Khi õ cĂc toĂn tỷ tẵch phƠn
K(t, s, x(s))ds, ∀t ∈ [a, b] ¡nh x¤ D v o C([a, b],K) l c¡c to¡n tû compact.
Vẵ dử 1.2 (Xem [8, ành lỵ 1, Mửc 31])
K(t, s)x(s)ds xĂc ành mởt toĂn tỷ compact T x = y trong khổng gian C[a, b] náu h m
K(t, s) giợi nởi trong hẳnh vuổng a ≤ t ≤ b, a ≤ s ≤ b v tĐt cÊ cĂc iºm giĂn oÔn cừa h m K(t, s) nơm trản mởt số hỳu hÔn cĂc ữớng cong s = φ k (t), k = 1,2, , m, ð Ơy φk l cĂc h m liản tửc. ành lỵ 1.1 (Xem [13]) (ành lỵ iºm bĐt ởng Schauder (1930))
GiÊ sỷ D l têp con khĂc rộng, lỗi, õng, bà ch°n trong khổng gian Banach
X v T : D → D l toĂn tỷ compact Khi õ T cõ iºm bĐt ởng. ành lỵ 1.2 (Xem [13]) (Phiản bÊn khĂc cừa ành lỵ iºm bĐt ởngSchauder)
GiÊ sỷ D l têp con khĂc rộng, lỗi, compact trong khổng gian Banach X v T : D → D l toĂn tỷ liản tửc Khi õ T cõ iºm bĐt ởng.
KhĂc vợi ành lỵ iºm bĐt ởng Schauder, ành lỵ iºm bĐt ởng Banach khổng nhỳng kh¯ng ành sỹ tỗn tÔi m cỏn ch¿ ra sỹ duy nhĐt cừa iºm bĐt ởng, ỗng thới cho ta phữỡng phĂp l°p tẳm iºm bĐt ởng Tứ Ănh giĂ sai số hêu nghiằm, vợi sai số cho ph²p, ta cõ thº xĂc ành ữủc giĂ trà xĐp x¿ cừa iºm bĐt ởng Tứ Ănh giĂ sai số tiản nghiằm ta cõ thº ữợc lữủng ữủc số lƯn l°p º Ôt ữủc ở chẵnh xĂc cho trữợc.
Trữợc tiản ta x²t khĂi niằm vã toĂn tỷ co nhữ sau: ành nghắa 1.9 (Xem [13])
ToĂn tỷ T : D ⊆ X →X trản khổng gian metric (X, d) ữủc gồi l co vợi hằ số q khi v ch¿ khi tỗn tÔi 0 ≤ q < 1 sao cho d(T x, T y) ≤ qd(x, y), ∀x, y ∈ D.
Ta kiºm tra vợi iãu kiằn n o thẳ phữỡng trẳnh iºm bĐt ởng x =T x, x∈ D (1.1.1) cõ thº giÊi ữủc bơng cĂc xĐp x¿ liản tiáp x k+1 = T x k , k = 0,1,2, , x 0 ∈ D.
CƠu trÊ lới ữủc thº hiằn qua ành lỵ iºm bĐt ởng Banach sau: ành lỵ 1.3 (Xem [13]) (ành lỵ iºm bĐt ởng Banach (1922))
(i) D l têp õng, khĂc rộng trong khổng gian mảtric Ưy ừ (X, d);
(ii) T : D → D l mởt Ănh xÔ tứ D v o chẵnh nõ;
(iii) T l mởt Ănh xÔ co vợi hằ số co q.
Khi â a) Sỹ tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm: T cõ duy nhĐt mởt iºm bĐt ởng trản D, tực l phữỡng trẳnh (1.1.1) cõ duy nhĐt nghiằm x. b) Sỹ hởi tử cừa phữỡng phĂp l°p: vợi mồi xĐp x¿ ban Ưu x0 tũy ỵ trong D, dÂy xĐp x¿ liản tiáp {xk} hởi tử tợi nghiằm x. c) Ănh giĂ sai số: Vợi mồi k = 0,1,2, ta cõ Ănh giĂ sai số tiản nghiằm d(x k , x) ≤ q k
1−qd(x 0 , x 1 ) v Ănh giĂ sai số hêu nghiằm d(xk+1, x)≤ q
1−qd(xk, xk+1). d) Tốc ở hởi tử: Vợi mồi k = 0,1,2, ta cõ d(x k+1 , x) ≤ qd(x k , x).
Trong thỹc tá khi Ăp dửng cĂc ành lỵ iºm bĐt ởng v o viằc giÊi cĂc b i toĂn biản phi tuyán, ta thữớng ữa b i toĂn  cho vã phữỡng trẳnh iºm bĐt ởng u = T u vợi u l nghiằm cừa b i toĂn  cho ho°c phữỡng trẳnh φ = T φ vợi φ l mởt h m trung gian Sau õ º ch¿ ra sỹ tỗn tÔi nghiằm v tẵnh duy nhĐt cừa nghiằm ỗng thới ã xuĐt phữỡng phĂp l°p giÊi b i toĂn, ta sỷ dửng ành lỵ iºm bĐt ởng Banach Sỹ hỳu hiằu cừa phữỡng phĂp nảu trản thº hiằn rĐt ró trong cĂc kát quÊ ð Chữỡng 2 cừa luên vôn.
X²t b i toĂn giĂ trà biản tuyán tẵnh thuƯn nhĐt
= 0, i = 1,2, , n, (1.2.2) ð Ơy p i (t) vợi i = 0,1,2, , n l cĂc h m liản tửc trản (a, b); p 0 (t) ̸= 0 tÔi mồi t thuởc (a, b); cĂc hằ số α i k , β k i vợi i = 1,2, , n v k = 0,1,2, , n−1 l c¡c sè thüc. ành nghắa 1.10 (Xem [12])
H m G(t, s) ữủc gồi l h m Green cừa b i toĂn giĂ trà biản (1.2.1), (1.2.2) náu xem nhữ h m cừa bián t, nõ thọa mÂn cĂc iãu kiằn dữợi Ơy vợi mồi s ∈(a, b) :
(i) Trản [a, s) v (s, b], G(t, s) l h m liản tửc, cõ cĂc Ôo h m liản tửc tợi cĐp n v thọa mÂn phữỡng trẳnh (1.2.1) trản (a, s) v (s, b), tực l :
(ii) G(t, s) phÊi thọa mÂn cĂc iãu kiằn biản trong (1.2.2), tực l
(iii) TÔi t = s, G(t, s) v tĐt cÊ cĂc Ôo h m riảng theo bián t tợi cĐp (n−2) l cĂc h m liản tửc t→slim +
(iv) Ôo h m riảng cĐp (n−1) theo bián t cừa G(t, s) l giĂn oÔn khi t = s, cử thº t→slim +
∂t n−1 = 1 p0(s). ành lỵ sau ch¿ ra iãu kiằn vã sỹ tỗn tÔi v duy nhĐt cừa h m Green. ành lỵ 1.4 (Xem [12]) (Tỗn tÔi v duy nhĐt)
Náu b i toĂn giĂ trà biản thuƯn nhĐt vợi cĂc iãu kiằn biản thuƯn nhĐt (1.2.1), (1.2.2) ch¿ cõ nghiằm tƯm thữớng thẳ tỗn tÔi duy nhĐt h m Green cừa b i toĂn â.
X²t phữỡng trẳnh tuyán tẵnh khổng thuƯn nhĐt
L[y(t)] ≡ p0(t)d n y dt n +p1(t)d n−1 y dt n−1 + +pn(t)y = f(t), (1.2.3) vợi cĂc iãu kiằn biản thuƯn nhĐt
= 0, i = 1,2, n, (1.2.4) ð Ơy h m vá phÊi f(t) l h m liản tửc trong (a, b). ành lỵ sau thº hiằn mối quan hằ giỳa tẵnh duy nhĐt nghiằm cừa (1.2.3), (1.2.4) vợi b i toĂn thuƯn nhĐt tữỡng ựng. ành lþ 1.5 (Xem [12])
Náu b i toĂn giĂ trà biản thuƯn nhĐt tữỡng ựng vợi (1.2.3), (1.2.4) ch¿ cõ nghiằm tƯm thữớng thẳ b i toĂn (1.2.3), (1.2.4) cõ nghiằm duy nhĐt biºu diạn dữợi dÔng y(t) Z b a
G(t, s)f(s)ds, trong â G(t, s) l h m Green cõa b i to¡n thu¦n nh§t t÷ìng ùng.
H m Green cừa b i toĂn trản ữủc tẳm nhữ sau:
X²t cĂc iãu kiằn (i)-(iv) trong ành nghắa 1.10 Tứ iãu kiằn (i) suy ra h m Green cõa b i to¡n thu¦n nh§t t÷ìng ùng câ d¤ng
Tứ iãu kiằn (ii) ta cõ
Tứ iãu kiằn liản tửc (iii) ta lÔi cõ
Tứ iãu kiằn (iv) ta suy ra
Do vêy tứ (1.2.7), (1.2.8) ta cõ
Thay cĂc hằ số tẳm ữủc v o (1.2.6) ta suy ra
Khi õ, nghiằm cừa b i toĂn (1.2.5) biºu diạn ữủc dữợi dÔng u(t) Z L 0
u ′′ (t) = f(t), 0 < t < L, u(L) =α, u ′ (L) = β biºu diạn ữủc dữợi dÔng u(t) Z L 0
G(t, s)f(s)ds+β(t−L) +α, trong õ G(t, s) l h m Green ữủc xĂc ành ð (1.2.9).
Vẵ dử 1.4 X²t b i toĂn biản cho phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp hai
X²t cĂc iãu kiằn (i)-(iv) trong ành nghắa 1.10 Tứ iãu kiằn (i) suy ra h m Green cõa b i to¡n thu¦n nh§t t÷ìng ùng câ d¤ng
Tứ iãu kiằn (ii) ta cõ
Tứ iãu kiằn liản tửc (iii) ta lÔi cõ
Tứ iãu kiằn (iv) ta suy ra
Do vêy tứ (1.2.11), (1.2.12) ta cõ
Thay cĂc hằ số tẳm ữủc v o (1.2.10) ta suy ra
Lúc n y nghiằm cừa b i toĂn ữủc biºu diạn dữợi dÔng u(t) Z L 0
Ôo h m số, tẵch phƠn số vợi ở chẵnh xĂc cĐp hai
Trong mửc n y ta x²t cổng thực tẵnh gƯn úng tẵch phƠn
Z a f(t)dt,vợi ở chẵnh xĂc cĐp hai é Ơy h m dữợi dĐu tẵch phƠn f(t) l h m số liản tửc trản [a, b] v trỡn tợi mực cƯn thiát.
Chia[a, b]th nhn o¤n con[t i , t i+1 ] (i= 0,1,2, , n−1) bði c¡c iºm chia ti = a+ih(i = 0,1,2, , n)vợih= (b−a)/n °tyi =f(ti) (i= 0,1,2, , n). X²t cổng thực hẳnh thang tẵnh gƯn úng tẵch phƠn I (xem [1]) nhữ sau:
Sai số to n phƯn cừa cổng thực hẳnh thang
1.3.2 Tẵnh gƯn úng Ôo h m cĐp mởt, cĐp hai vợi ở chẵnh xĂc cĐp hai
GiÊ sỷ f(t) l h m trỡn trản [a, b], ti = a+ih (i= 0,1,2, , n), trong õ h = (b−a)/n, l cĂc iºm lữợi cĂch ãu nhau Cho giĂ trà cừa h m tÔi cĂc iºm lữợi yi = f(ti) (i = 0,1,2, , n) Khi õ ta cõ thº tẵnh gƯn úng Ôo h m cĐp mởt v cĐp hai cừa h m tÔi cĂc iºm lữợi vợi sai số cĐp hai nhớ sỷ dửng a thực nởi suy Lagrange (xem [1]).
+ Sỷ dửng a thực nởi suy Lagrange tÔi ba iºm ta thu ữủc cĂc cổng thực tẵnh Ôo h m cĐp mởt vợi sai số cĐp hai tÔi tĐt cÊ cĂc nút t i nhữ sau: f ′ (t 0 ) = 1
+ º thu ữủc cổng thực tẵnh Ôo h m cĐp hai vợi sai số cĐp hai tÔi mồi nút, ta cƯn sỷ dửng a thực nởi suy tÔi bốn iºm Nhớ ph²p nởi suy n y ta s³ thu ữủc cĂc cổng thực sau Ơy: f ′′ (t0) = 1 h 2 (2y0 −5y1 + 4y2−y3) +O(h 2 ), f ′′ (ti) = 1 h 2 (y i−1 −2yi +yi+1) +O(h 2 ), i= 1,2, , n−1, f ′′ (t n ) = 1 h 2 (−y n−3 + 4y n−2 −5y n−1 + 2y n ) +O(h 2 ).
Chữỡng 1 trẳnh b y cĂc kián thực cỡ sð bao gỗm: ành lỵ iºm bĐt ởng Schauder; ành lỵ iºm bĐt ởng Banach; ành nghắa h m Green v vẵ dử cử thº vã h m Green cừa mởt số b i toĂn cĐp hai; mởt số cổng thực tẵnh gƯn úng Ôo h m v tẵch phƠn vợi sai số cĐp hai Ơy l nhỳng kián thực hát sực quan trồng l m nãn tÊng cho cĂc nởi dung ữủc trẳnh b y trong Chữỡng
2 khi nghiản cựu sỹ tỗn tÔi nghiằm, tẵnh duy nhĐt nghiằm cụng nhữ phữỡng phĂp giÊi mởt b i toĂn biản cho phữỡng trẳnh vi phƠn thữớng phi tuyán cĐp bốn khổng àa phữỡng vợi iãu kiằn biản phi tuyán.
Sỹ tỗn tÔi nghiằm, tẵnh duy nhĐt nghiằm v phữỡng phĂp l°p giÊi b i toĂn biản cho phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp bốn khổng àa phữỡng vợi iãu kiằn biản phi tuyán
Trong chữỡng 2, dỹa trản cỡ sð ồc hiºu t i liằu [3], luên vôn têp trung trẳnh b y mởt cĂch cõ hằ thống cĂc kát quÊ vã sỹ tỗn tÔi nghiằm, tẵnh duy nhĐt nghiằm v phữỡng phĂp l°p giÊi gƯn úng b i toĂn biản cho phữỡng trẳnh vi phƠn phi tuyán cĐp bốn khổng àa phữỡng vợi cĂc iãu kiằn biản phi tuyán mổ tÊ ở vóng cừa dƯm v (4) (t)−m
Trong (2.0.1), h mv mổ tÊ ở vóng cừa dƯm cõ ở d i l,F : [0, l]ìR →R l h m liản tửc mổ tÊ lỹc tĂc dửng, h :R → R l h m liản tửc thº hiằn Ênh h÷ðng cõa lá xo xo n cè ành t¤i ¦u t = l cõa d¦m, m : R + → R l h m liản tửc mổ tÊ Ênh hữðng cừa nhỳng thay ời nhọ vã ở d i cừa dƯm.
Phữỡng trẳnh thự nhĐt trong (2.0.1) cỏn ữủc biát án l phữỡng trẳnh lo¤i Kirchhoff. ị tữðng cừa phữỡng phĂp nghiản cựu trong [3] khi thiát lêp sỹ tỗn tÔi nghiằm, tẵnh duy nhĐt nghiằm v ã xuĐt phữỡng phĂp giÊi b i toĂn (2.0.1) l ữa b i toĂn  cho vã b i toĂn tẳm iºm bĐt ởng cừa mởt toĂn tỷ ữủc
Sỹ tỗn tÔi nghiằm, tẵnh duy nhĐt nghiằm v phữỡng phĂp l°p giÊi b i toĂn biản cho phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp bốn khổng àa phữỡng vợi iãu kiằn biản phi tuyán
Sỹ tỗn tÔi nghiằm v tẵnh duy nhĐt nghiằm
Khi õ b i toĂn (2.0.1) ữủc ữa vã dÂy hai b i toĂn giĂ trà cuối v giĂ trà Ưu cho phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp hai u ′′ (t) =F(t, v(t)), 0 < t < l, u(l) =−m
Kẵ hiằu G v G tữỡng ựng l cĂc h m Green ối vợi hai b i toĂn (2.1.1) v (2.1.2) Ta câ
Tứ biºu diạn nghiằm cừa cĂc b i toĂn (2.1.2) v (2.1.1) qua h m Green ta cõ v(t) Z l 0
Tiáp theo, º ỵ rơng h m v l nghiằm cừa b i toĂn (2.0.1) khi v ch¿ khi nõ l nghiằm cừa phữỡng trẳnh v(t) = (T v)(t), (2.1.6) trong â
∥v ′ ∥ 2 2 v(l)i ds. (2.1.7) º ch¿ ra sỹ tỗn tÔi nghiằm v v tẵnh duy nhĐt nghiằm cừa b i toĂn (2.0.1), ta Ăp dửng ành lỵ iºm bĐt ởng Schauder v ành lỵ iºm bĐt ởng Banach v o toĂn tỷ T ữủc xĂc ành ð (2.1.6), (2.1.7) º thỹc hiằn iãu n y ta ữa v o khổng gian
Chú ỵ rơng vợi giÊ thiát vã tẵnh liản tửc cừa cĂc h m F, h, m thẳ toĂn tỷ T x¡c ành ð (2.1.7) ¡nh x¤ H v o H. º xƠy dỹng mởt chuân thẵch hủp trong khổng gian H, ta cõ bờ ã sau:
Bờ ã 2.1 Vợi bĐt ký h m v(t) trong khổng gian H ta ãu cõ Ănh giĂ
∥v∥ = ∥v ′′ ∥∞ (2.1.9) tữỡng ữỡng vợi chuân trong C 2 [0, l]
Chựng minh LĐy bĐt ký h m v thuởc khổng gian H Ta cõ v(t) Z t 0 v ′ (s)ds.
Sỷ dửng cĂc Ănh giĂ tữỡng tỹ nhữ trản ối vợi v ′ ta ữủc
∥v∥ ≤ ∥v∥ C 2 ≤ max{1, l, l 2 }∥v∥, iãu n y thº hiằn sỹ tữỡng ữỡng cừa cĂc chuân ∥.∥ v ∥.∥ C 2 trong khổng gian H Bờ ã ữủc chựng minh.
Tiáp theo, ta x²t toĂn tỷ T : H → H vợi cĂch xĂc ành (T v)(t) ð (2.1.7): (T v)(t) Z l 0
Ta  biát h m v l nghiằm cừa b i toĂn (2.0.1) náu v ch¿ náu nõ l iºm bĐt ởng cừa toĂn tỷ T Do vêy, ta s³ ch¿ ra sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa b i toĂn (2.0.1) bơng cĂch Ăp dửng ành lỵ iºm bĐt ởng Schauder v o toĂn tỷ T. ành lỵ 2.1 GiÊ thiát F, h, m l cĂc h m liản tửc v tỗn tÔi cĂc hơng số d÷ìng M, C, D, r > 0 sao cho
2C+lD ≤ M(1−rl 2 ) (2.1.11) thẳ b i toĂn (2.0.1) cõ ẵt nhĐt mởt nghiằm.
Chựng minh X²t hẳnh cƯu õng trong khổng gian H
B[O, M] = {v ∈ H| ∥v∥ ≤M}. Ưu tiản ta chựng minh T Ănh xÔ tứ hẳnh cƯu õng B[O, M] v o chẵnh nõ. Thêt vêy, tứ cĂch xĂc ành T ta cõ
(2.1.12) º ỵ rơng, vợi v ∈ B[O, M], tứ Bờ ã 2.1 ta thu ữủc
Kát hủp chú ỵ n y cũng cĂc Ănh giĂ (2.1.10)-(2.1.12) v (2.1.5) ta suy ra
Bữợc tiáp theo ta chựng minh rơngT l toĂn tỷ compact trongB[O, M]⊂
H º chựng tọ iãu n y, x²t têp hủp bà ch°n bĐt ký Ω ⊂ B[O, M], ta cƯn chựng minh TΩ l têp compact tữỡng ối trong H (chuân trong H ữủc xĂc ành ð (2.1.9)), tực l ta cƯn ch¿ ra têp
J = (TΩ) ′′ ={(T v) ′′ | v ∈ Ω} l compact tữỡng ối trong C[0, l] vợi chuân max ∥.∥ ∞
Thêt vêy, x²t khổng gian metric compact E = [0, l] vợi metric d(x, y) = |x−y|.
C(E) = C[0, l] l khổng gian tĐt cÊ cĂc h m liản tửc trản [0, l] nhên giĂ trà trong R Ta  biát cĂc h m liản tửc trản oÔn thẳ bà ch°n v liản tửc ãu trản oÔn õ Tứ Ơy ta suy ra J l têp liản tửc ãu v bà ch°n ãu trản
C[0, l] Do õ J l têp compact tữỡng ối trong C[0, l] Vẳ vêy, theo ành lỵ iºm bĐt ởng Schauder, toĂn tỷ T cõ ẵt nhĐt mởt iºm bĐt ởng, iãu õ cõ nghắa l b i toĂn (2.0.1) cõ ẵt nhĐt mởt nghiằm.
Tiáp theo, ta x²t tẵnh duy nhĐt nghiằm cừa b i toĂn (2.0.1) qua ành lỵ sau: ành lỵ 2.2 GiÊ thiát cĂc iãu kiằn cừa ành lỵ 2.1 ãu ữủc thọa mÂn. Hỡn nỳa, giÊ sỷ tỗn tÔi cĂc hơng số dữỡng LF, Lh, Lm > 0 sao cho
2LF +l 3 Lh+ 2rl 2 < 1 (2.1.15) thẳ b i toĂn (2.0.1) cõ nghiằm duy nhĐt.
Chựng minh º cõ ữủc kát luên cừa ành lỵ trản ta cƯn chựng minh T l toĂn tỷ co trong B[O, M] Khi õ iºm bĐt ởng duy nhĐt cừa toĂn tỷ T chẵnh l nghiằm duy nhĐt cừa b i toĂn (2.0.1).
Thêt vêy, tứ biºu diạn (2.1.12), ối vợi T v v T v ta cõ
Vợi v, v ∈ B[O, M], kát hủp (2.1.13), (2.1.16) vợi (2.1.5) ta thu ữủc
Kát hủp (2.1.8), (2.1.10) v (2.1.14), ta thu ữủc cĂc Ănh giĂ nhữ sau ối vợi vá phÊi cừa (2.1.18): m
∥T v −T v∥ ≤q∥v−v∥, vợi hằ số q ữủc xĂc ành bði (2.1.15) Tứ Ơy suy ra, T l toĂn tỷ co vợi hằ số co q