NGUYỄN THANH HƯỜNG Trang 2 LI CM èNLuên vôn ny ữủc hon thnh tÔi khoa ToĂn - Tin, Trữớng Ôi hồcKhoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản, dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh cừa Tián sắNguyạn Thanh Hữớng..
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐỖ THÙY TRANG GIẢI MỘT BÀI TOÁN BIÊN CẤP BỐN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN PHI TUYẾN Ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THANH HƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2024 LÍI CM ÌN Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh t¤i khoa To¡n - Tin, Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa Ti¸n s¾ Nguy¹n Thanh H÷íng Tæi xin b y tä sü k½nh trång v láng bi¸t ìn s¥u sc tîi Cæ - ng÷íi ¢ luæn theo s¡t, h÷îng d¨n, ch¿ b£o tªn t¼nh cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v ho n th nh luªn v«n Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn quþ Th¦y Cæ trong khoa To¡n - Tin, Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh gi£ng d¤y v gióp ï tæi ho n th nh khâa håc Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban gi¡m hi»u, Ban chõ nhi»m khoa To¡n - Tin, Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ quan t¥m, gióp ï v t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho tæi ho n th nh khâa håc Cuèi còng, tæi xin gûi líi c£m ìn tîi gia ¼nh, b¤n b±, çng nghi»p v tªp thº lîp cao håc To¡n Ùng döng K15A13 ¢ luæn ëng vi¶n, gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v ho n th nh luªn v«n i Danh möc c¡c chú vi¸t tt v c¡c kþ hi»u R Tªp c¡c sè thüc R+ Tªp c¡c sè thüc khæng ¥m C Tªp c¡c sè phùc RK Khæng gian Euclide K chi·u C[a, b] Khæng gian c¡c h m li¶n töc tr¶n [a, b] Ck[a, b] Khæng gian c¡c h m câ ¤o h m cho ¸n c§p k li¶n töc tr¶n [a, b] L2[a, b] Khæng gian c¡c h m b¼nh ph÷ìng kh£ t½ch tr¶n [a, b] ∥x∥ Chu©n cõa ph¦n tû x ∥x∥2 Chu©n cõa ph¦n tû x trong khæng gian L2[a, b] ∥x∥ωh Chu©n tr¶n l÷îi ωh cõa ph¦n tû x ii Möc löc Líi c£m ìn i Danh möc c¡c chú vi¸t tt v c¡c kþ hi»u ii Mð ¦u 1 Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 4 1.1 ành lþ iºm b§t ëng Banach v ành lþ iºm b§t ëng Schauder 4 1.2 H m Green 9 1.3 ¤o h m sè, t½ch ph¥n sè vîi ë ch½nh x¡c c§p hai 13 1.3.1 Cæng thùc h¼nh thang 13 1.3.2 T½nh g¦n óng ¤o h m c§p mët, c§p hai vîi ë ch½nh x¡c c§p hai 14 Ch÷ìng 2 Sü tçn t¤i nghi»m, t½nh duy nh§t nghi»m v ph÷ìng ph¡p l°p gi£i b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p bèn khæng àa ph÷ìng vîi i·u ki»n bi¶n phi tuy¸n 16 2.1 Sü tçn t¤i nghi»m v t½nh duy nh§t nghi»m 17 2.2 Ph÷ìng ph¡p gi£i v v½ dö minh håa 23 2.2.1 Ph÷ìng ph¡p l°p thù nh§t 23 2.2.2 Ph÷ìng ph¡p l°p thù hai 24 2.2.3 V½ dö minh håa 25 K¸t luªn chung 34 T i li»u tham kh£o 35 iii MÐ U Trong vªt lþ v cì håc, c¡c b i to¡n v· d¦m ÷ñc mæ h¼nh hâa bði c¡c b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p bèn vîi c¡c i·u ki»n bi¶n kh¡c nhau ( i·u ki»n bi¶n tuy¸n t½nh ho°c phi tuy¸n) X²t b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n c§p bèn khæng àa ph÷ìng vîi c¡c i·u ki»n bi¶n phi tuy¸n mæ t£ ë vãng cõa d¦m v(4)(t) − m l 0 < t < l, |v′(r)|2dr v′′(t) = F (t, v(t)), 0 v(0) = v′(0) = v′′(l) = 0, (0.0.1) v′′′(l) − m l |v′(r)|2dr v′(l) = h(v(l)), 0 ð ¥y v mæ t£ ë vãng cõa d¦m câ ë d i l, F : [0, l] × R → R l h m li¶n töc mæ t£ lüc t¡c döng, h : R → R l h m li¶n töc thº hi»n £nh h÷ðng cõa lá xo xon cè ành t¤i ¦u t = l cõa d¦m, m : R+ → R l h m li¶n töc mæ t£ £nh h÷ðng cõa nhúng thay êi nhä v· ë d i cõa d¦m Ph÷ìng tr¼nh thù nh§t trong (0.0.1) ÷ñc bi¸t ¸n l ph÷ìng tr¼nh lo¤i Kirchhoff Trong [10], T.F Ma ¢ sû döng Ph÷ìng ph¡p bi¸n ph¥n º ch¿ ra sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n (0.0.1) Trong nghi¶n cùu n y, t¡c gi£ ¢ °t c¡c gi£ thi¸t l¶n c¡c h m F, m, h nh÷ sau: (H1) ∃m0 ∈ [0, l−2) sao cho m(s) ≥ −m0, ∀s ≥ 0; (H2) ∃α0, β0 > 0 sao cho F (t, s) h(s) |s|→∞ lim s = l(t) < α0, |s|→∞ lim s = k > −β0; 1 (H3) m0l2 + α0l4 + β0l3 < 1 M°c dò theo lþ thuy¸t t¡c gi£ ¢ kh¯ng ành sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n, tuy nhi¶n nghi»m tçn t¤i l¤i ch÷a ÷ñc ch¿ ra v ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n ch÷a h· ÷ñc x²t ¸n Chó þ r¬ng, Ph÷ìng ph¡p bi¸n ph¥n l ph÷ìng ph¡p ÷ñc sû döng phê bi¸n trong nghi¶n cùu sü tçn t¤i nghi»m cõa c¡c b i to¡n bi¶n phi tuy¸n cho ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p bèn (xem [4], [5], [7], [9], [11], ) Þ t÷ðng cõa ph÷ìng ph¡p l ÷a b i to¡n ban ¦u v· b i to¡n t¼m cüc trà cõa mët phi¸m h m Sau â, c¡c ành lþ v· iºm tîi h¤n ÷ñc sû döng trong nghi¶n cùu sü tçn t¤i cüc trà cõa phi¸m h m, tø â ta thi¸t lªp sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n ban ¦u M°c dò ph÷ìng ph¡p bi¸n ph¥n l mët cæng cö phê bi¸n v húu hi»u khi nghi¶n cùu sü tçn t¤i nghi»m cõa c¡c b i to¡n bi¶n tuy nhi¶n công ph£i º þ r¬ng, khi sû döng ph÷ìng ph¡p bi¸n ph¥n, vîi c¡c gi£ thi¸t v· i·u ki»n t«ng tr÷ðng °t l¶n h m v¸ ph£i, c¡c t¡c gi£ ph¦n lîn l x²t sü tçn t¤i nghi»m, sü tçn t¤i nhi·u nghi»m cõa b i to¡n (câ thº x²t sü tçn t¤i duy nh§t cõa nghi»m trong tr÷íng hñp phi¸m h m lçi) nh÷ng l¤i khæng câ v½ dö n o v· nghi»m tçn t¤i, çng thíi ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n công khæng ÷ñc x²t ¸n Ho n to n kh¡c vîi Ph÷ìng ph¡p bi¸n ph¥n cõa T.F Ma ð [10] ¡p döng èi vîi b i to¡n (0.0.1), trong cæng tr¼nh [3], c¡c t¡c gi£ ÷a b i to¡n v· d¢y hai b i to¡n gi¡ trà ¦u v gi¡ trà cuèi cho ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh c§p hai d¹ gi£i sè Sau â tø biºu di¹n nghi»m cõa hai b i to¡n n y qua h m Green, c¡c t¡c gi£ x¥y düng mët to¡n tû èi vîi h m c¦n t¼m v m iºm b§t ëng cõa to¡n tû n y ch½nh l nghi»m cõa b i to¡n ¢ cho Tø â, º ch¿ ra sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n c¡c t¡c gi£ sû döng Nguy¶n lþ iºm b§t ëng Schauder, t½nh duy nh§t nghi»m ÷ñc thi¸t lªp nhí ành lþ iºm b§t ëng Banach, çng thíi ph÷ìng ph¡p l°p t¼m nghi»m hëi tö C¡c v½ dö sè trong tr÷íng hñp bi¸t tr÷îc nghi»m óng v ch÷a bi¸t tr÷îc nghi»m óng 2 minh håa rã cho c¡c k¸t qu£ lþ thuy¸t v thº hi»n ÷u th¸ cõa ph÷ìng ph¡p · xu§t so vîi ph÷ìng ph¡p trong [10] Vîi möc ½ch t¼m hiºu s¥u v· ph÷ìng ph¡p sû döng c¡c nguy¶n lþ iºm b§t ëng º x²t ÷ñc to n di»n c£ v· m°t ành t½nh l¨n ành l÷ñng cõa b i to¡n (0.0.1) sao cho c¡c i·u ki»n ÷ñc °t ra l ìn gi£n v d¹ kiºm tra, v câ ÷ñc nhúng v½ dö minh håa rã cho t½nh ùng döng cõa k¸t qu£ lþ thuy¸t, tr¶n cì sð åc hiºu t i li»u [3], chóng tæi lüa chån · t i luªn v«n "Gi£i mët b i to¡n bi¶n c§p bèn khæng àa ph÷ìng vîi c¡c i·u ki»n bi¶n phi tuy¸n" Ngo i ph¦n mð ¦u, k¸t luªn v t i li»u tham kh£o, nëi dung cõa · t i luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong 2 ch÷ìng: Ch÷ìng 1, luªn v«n tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ bê trñ cho Ch÷ìng 2: ành lþ iºm b§t ëng Schauder v ành lþ iºm b§t ëng Banach, h m Green, t½ch ph¥n sè v ¤o h m sè vîi sai sè c§p hai Nëi dung ch½nh cõa ch÷ìng ÷ñc tham kh£o chõ y¸u tø c¡c t i li»u [1, 2, 12, 13] Trong Ch÷ìng 2, vîi c¡ch ti¸p cªn ÷a b i to¡n ban ¦u v· ph÷ìng tr¼nh to¡n tû èi vîi ©n h m v, luªn v«n tr¼nh b y sü tçn t¤i nghi»m, t½nh duy nh§t cõa nghi»m èi vîi b i to¡n bi¶n (0.0.1) cho ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng phi tuy¸n c§p bèn khæng àa ph÷ìng vîi c¡c i·u ki»n bi¶n phi tuy¸n çng thíi, luªn v«n công tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p l°p t¼m nghi»m ð mùc li¶n töc v sü hëi tö vîi tèc ë hëi tö c§p sè nh¥n cõa ph÷ìng ph¡p l°p Luªn v«n công tr¼nh b y mët sè v½ dö trong c£ hai tr÷íng hñp ¢ bi¸t tr÷îc nghi»m óng ho°c khæng bi¸t tr÷îc nghi»m óng, çng thíi x²t c¡c tr÷íng hñp tuy¸n t½nh v phi tuy¸n t½nh cõa c¡c h m th nh ph¦n º minh håa cho t½nh óng n cõa c¡c k¸t qu£ lþ thuy¸t v hi»u qu£ cõa ph÷ìng ph¡p l°p Chó þ r¬ng trong c¡c v½ dö n y, mët sè v½ dö ÷ñc ph¥n t½ch º th§y ÷ñc ÷u th¸ trong ph÷ìng ph¡p ÷ñc tr¼nh b y so vîi ph÷ìng ph¡p cõa t¡c gi£ kh¡c Nëi dung ch½nh cõa ch÷ìng ÷ñc tham kh£o tø t i li»u [3] Trong luªn v«n, c¡c thüc nghi»m t½nh to¡n ÷ñc lªp tr¼nh trong mæi tr÷íng MATLAB 3 Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà Ch÷ìng 1 tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc chu©n bà c¦n sû döng trong ch÷ìng ti¸p theo cõa luªn v«n Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc tham kh£o tø c¡c t i li»u [1], [2], [12], [13] 1.1 ành lþ iºm b§t ëng Banach v ành lþ iºm b§t ëng Schauder ành ngh¾a 1.1 (Xem [2]) Cho X l mët tªp hñp kh¡c réng Mët ¡nh x¤ d : X × X −→ R+ ÷ñc gåi l mët metric tr¶n X n¸u nâ thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: a) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y, b) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X, c) d(x, y) ⩽ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Khi â, d ÷ñc gåi l kho£ng c¡ch hay mët metric tr¶n X, (X, d) ÷ñc gåi l khæng gian metric ành ngh¾a 1.2 (Xem [2]) D¢y {xn} trong khæng gian metric (X, d) ÷ñc gåi l hëi tö ¸n x0 ∈ X n¸u lim d(xn, x0) = 0 n→∞ Khi â, ta vi¸t lim xn = x0 ho°c xn → x0 v x0 ÷ñc gåi l giîi h¤n cõa d¢y {xn} n→∞ 4 ành ngh¾a 1.3 (Xem [2]) Cho (X, d) l mët khæng gian metric D¢y {xn} ⊂ X ÷ñc gåi l d¢y Cauchy hay d¢y cì b£n n¸u lim d(xn, xm) = 0, n,m→∞ tùc l , vîi ∀ε > 0, ∃n0, ∀n, m ≥ n0 : d(xn, xm) < ε ành ngh¾a 1.4 (Xem [2]) Mët khæng gian metric (X, d) ÷ñc gåi l ¦y õ n¸u trong X måi d¢y Cauchy ·u hëi tö ành ngh¾a 1.5 (Xem [2]) Cho X l mët khæng gian v²c tì tr¶n tr÷íng K (thüc ho°c phùc) Mët chu©n tr¶n X l mët ¡nh x¤ ∥ ∥: X −→ R+ thäa m¢n c¡c t½nh ch§t sau: a) ∥ x ∥≥ 0, ∀x ∈ X; ∥ x ∥= 0 ⇔ x = 0; b) ∥ λx ∥=| λ |∥ x ∥, ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K; c) ∥ x + y ∥≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥, ∀x, y ∈ X Khæng gian tuy¸n t½nh X còng vîi mët chu©n ∥ ∥ x¡c ành tr¶n nâ ÷ñc gåi l khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n Nhªn x²t 1.1 Khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n X công l khæng gian metric vîi kho£ng c¡ch d(x, y) = ∥ x − y ∥, ∀x, y ∈ X Do â, sü hëi tö trong khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n X ÷ñc ành ngh¾a gièng nh÷ sü hëi tö trong khæng gian metric D¢y {xn} trong khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n X ÷ñc gåi l sü hëi tö v· x0 ∈ X n¸u ∥ xn − x0 ∥ −→ 0 khi n −→ ∞ ành ngh¾a 1.6 (Xem [2]) Khæng gian Banach l mët khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n ¦y õ 5 Mët sè v½ dö v· khæng gian Banach: 1) R v C l nhúng khæng gian Banach vîi chu©n x¡c ành bði: ∥ x ∥= | x |; x ∈ R (x ∈ C) 2) Rn l khæng gian Banach vîi chu©n ∥ x ∥= n 1/2 xi2 ; x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn i=1 3) C[a, b] l khæng gian Banach vîi chu©n ∥ x ∥C[a,b]= max | x(s) | s∈[a,b] 4) C1[a, b] l khæng gian Banach vîi chu©n ∥ u ∥C1[a,b]=∥ u ∥C[a,b] + ∥ u′ ∥C[a,b] 5) L2[a, b] l khæng gian Banach vîi chu©n b 1/2 ∥ x ∥2= | x2(t) | dt a ành ngh¾a 1.7 (Xem [13]) Gi£ sû (X, d) l khæng gian metric, T l ¡nh x¤ tø X v o X iºm x ∈ X ÷ñc gåi l iºm b§t ëng cõa T n¸u x = Tx Tr÷îc khi x²t ành lþ iºm b§t ëng Schauder, ta x²t kh¡i ni»m v· to¡n tû compact nh÷ sau: ành ngh¾a 1.8 (Xem [13]) Cho X, Y l c¡c khæng gian Banach To¡n tû T : D ⊂ X → Y ÷ñc gåi l compact n¸u (i) T li¶n töc; (ii) T ¡nh x¤ måi tªp bà ch°n v o tªp compact t÷ìng èi 6