Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ NGUYỄN THỊ DUNGGIẢI MỘT BÀI TOÁN BIÊN CẤP BỐN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DẠNG GỐI – TỰA ĐƠN GIẢN LUẬN VĂN THẠC SĨ TO
Mởt số kián thực chuân bà
Khổng gian Banach
ành nghắa 1.1 (Xem [2]) Cho X l mởt têp hủp khĂc rộng Mởt metric trản X l mởt Ănh xÔ d : X ìX −→R + thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau: a) d(x, y) ≥ 0,∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y, b) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X, c) d(x, y) ⩽ d(x, z) +d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.
Khi õ, d ữủc gồi l khoÊng cĂch hay mởt metric trản X, (X, d) ữủc gồi l khổng gian metric. ành nghắa 1.2 (Xem [2]) DÂy{x n } trong khổng gian metric(X, d) ữủc gồi l hởi tử án x 0 ∈ X náu n→∞lim d(xn, x0) = 0.
Khi õ, ta viát lim n→∞x n = x 0 ho°c x n →x 0 v x 0 ữủc gồi l giợi hÔn cừa d¢y {x n }. ành nghắa 1.3 (Xem [2]) Cho (X, d) l mởt khổng gian metric DÂy
{x n } ⊂ X ữủc gồi l dÂy Cauchy hay dÂy cỡ bÊn náu n,m→∞lim d(x n , x m ) = 0, tùc l , vợi ∀ε > 0, ∃n 0 , ∀n, m ≥ n 0 : d(x n , x m ) < ε. ành nghắa 1.4 (Xem [2]) Mởt khổng gian metric (X, d) ữủc gồi l Ưy ừ náu trong X mồi dÂy Cauchy ãu hởi tử. ành nghắa 1.5 (Xem [2]) Cho X l mởt khổng gian v²c tỡ trản trữớng
K (thỹc ho°c phực) Mởt chuân trản X l mởt Ănh xÔ ∥ ∥: X −→ R + thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt sau: a) ∥ x ∥≥ 0, ∀x ∈ X; ∥x ∥= 0 ⇔ x= 0; b) ∥ λx ∥=| λ |∥ x ∥, ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K; c) ∥ x+ y ∥≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥, ∀x, y ∈ X.
Khổng gian tuyán tẵnh X cũng vợi mởt chuân ∥ ∥ xĂc ành trản nõ ữủc gồi l khổng gian tuyán tẵnh ành chuân.
Nhên x²t 1.1 Khổng gian tuyán tẵnh ành chuân X cụng l khổng gian metric vợi khoÊng cĂch d(x, y) =∥ x−y ∥, ∀x, y ∈ X.
Do õ, sỹ hởi tử trong khổng gian tuyán tẵnh ành chuân X ữủc ành nghắa giống nhữ sỹ hởi tử trong khổng gian metric DÂy {x n } trong khổng gian tuyán tẵnh ành chuân X ữủc gồi l sỹ hởi tử vã x 0 ∈ X náu ∥ x n −x 0 ∥
−→0 khi n−→ ∞. ành nghắa 1.6 (Xem [2]) Khổng gian Banach l mởt khổng gian tuyán tẵnh ành chuân Ưy ừ.
Mởt số vẵ dử vã khổng gian Banach:
1) R v C l nhỳng khổng gian Banach vợi chuân xĂc ành bði:
2) R n l khổng gian Banach vợi chuân
3) C[a, b] l khổng gian Banach vợi chuân
4) C 1 [a, b] l khổng gian Banach vợi chuân
5) L 2 [a, b] l khổng gian Banach vợi chuân
ành lỵ iºm bĐt ởng Banach
Cho Ănh xÔ T : A → A, trong õ A l khổng gian Banach Mội nghiằm x cừa phữỡng trẳnh x = T x ữủc gồi l mởt iºm bĐt ởng cừa ¡nh x¤ T. ành lỵ iºm bĐt ởng Banach khổng nhỳng kh¯ng ành sỹ tỗn tÔi m cỏn ch¿ ra tẵnh duy nhĐt cừa iºm bĐt ởng, ỗng thới cho ta phữỡng phĂp l°p tẳm iºm bĐt ởng Dữợi Ơy ta s³ x²t cử thº ành lỵ n y.
Trữợc tiản ta nhưc lÔi khĂi niằm toĂn tỷ co. ành nghắa 1.7 (Xem [21]) ToĂn tỷ T : D ⊆ X → X trản khổng gian metric (X, d) ữủc gồi l co vợi hằ số q khi v ch¿ khi tỗn tÔi 0 ≤ q < 1 sao cho d(T x, T y) ≤qd(x, y), ∀x, y ∈ D. ành lỵ 1.1 (Xem [21]) (ành lỵ iºm bĐt ởng Banach (1922))
(i) T : D ⊆ X → D l mởt Ănh xÔ tứ D v o chẵnh nõ;
(ii) D l têp õng, khĂc rộng trong khổng gian metric Ưy ừ (X, d); (iii) T l mởt Ănh xÔ co vợi hằ số co q.
Khi õ ta cõ cĂc kát luên sau Ơy: a) Sỹ tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm: Phữỡng trẳnh (1.2.1) cõ duy nhĐt nghiằm x tực l T cõ duy nhĐt mởt iºm bĐt ởng trản D. b) Sỹ hởi tử cừa phữỡng phĂp l°p: vợi mồi xĐp x¿ ban Ưu x 0 tũy ỵ trong
D, dÂy xĐp x¿ liản tiáp {x n } hởi tử tợi nghiằm x. c) Ănh giĂ sai số: Vợi mồi n = 0,1,2, ta cõ cĂc Ănh giĂ sai số tiản nghiằm d(x n , x) ≤ q n
1−qd(x 0 , x 1 ), v Ănh giĂ hêu nghiằm d(x n+1 , x) ≤ q
1−qd(x n , x n+1 ). d) Tốc ở hởi tử: Vợi mồi n= 0,1,2, ta cõ d(x n+1 , x) ≤qd(x n , x).
H m Green v mởt số vẵ dử
H m Green cõ ựng dửng rởng rÂi trong nghiản cựu cĂc b i toĂn giĂ trà biản °c biằt, h m Green l cổng cử quan trồng º ch¿ ra sỹ tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm cừa cĂc b i toĂn.
X²t b i toĂn giĂ trà biản tuyán tẵnh thuƯn nhĐt
(1.3.2) ð Ơy p i (t) vợi i = 0,1,2, , n l cĂc h m liản tửc trản (a, b);p 0 (t) ̸= 0 tÔi mồit thuởc(a, b); cĂc hằ số α i k , β k i vợi i = 1,2, , n v k = 0,1,2, , n−1 l c¡c sè thüc. ành nghắa 1.8 (Xem [18]) H m g(t, s) ữủc gồi l h m Green cừa b i toĂn giĂ trà biản (1.3.1), (1.3.2) náu xem nhữ h m cừa bián t, nõ thọa mÂn cĂc iãu kiằn dữợi Ơy vợi mồi s ∈ (a, b) :
(i) Trản [a, s) v (s, b], g(t, s) l h m liản tửc, cõ cĂc Ôo h m liản tửc tợi cĐp n v thọa mÂn phữỡng trẳnh (1.3.1) trản (a, s) v (s, b), tực l :
(ii) g(t, s) phÊi thọa mÂn cĂc iãu kiằn biản trong (1.3.2), tực l
(iii) TÔi t = s, g(t, s) v tĐt cÊ cĂc Ôo h m riảng theo bián t tợi cĐp (n−2) l cĂc h m liản tửc t→slim +
(iv) Ôo h m riảng cĐp (n −1) theo bián t cừa g(t, s) l giĂn oÔn khi t= s, cử thº t→slim +
∂t n−1 = 1 p 0 (s). ành lỵ sau ch¿ ra iãu kiằn vã sỹ tỗn tÔi v duy nhĐt cừa h m Green. ành lỵ 1.2 (Xem [18]) (Tỗn tÔi v duy nhĐt) Náu b i toĂn giĂ trà biản thuƯn nhĐt vợi cĂc iãu kiằn biản thuƯn nhĐt (1.3.1), (1.3.2) ch¿ cõ nghiằm tƯm thữớng thẳ tỗn tÔi duy nhĐt h m Green cừa b i toĂn õ.
X²t phữỡng trẳnh tuyán tẵnh khổng thuƯn nhĐt
L[y(t)] ≡ p 0 (t)d n y dt n +p 1 (t)d n−1 y dt n−1 + +p n (t)y = f(t), (1.3.3) vợi cĂc iãu kiằn biản thuƯn nhĐt
(1.3.4) ð Ơy h m vá phÊi f(t) l h m liản tửc trong (a, b). ành lỵ sau thº hiằn mối quan hằ giỳa tẵnh duy nhĐt nghiằm cừa (1.3.3), (1.3.4) vợi b i toĂn thuƯn nhĐt tữỡng ựng. ành lỵ 1.3 (Xem [18]) Náu b i toĂn giĂ trà biản thuƯn nhĐt tữỡng ựng vợi (1.3.3), (1.3.4) ch¿ cõ nghiằm tƯm thữớng thẳ b i toĂn (1.3.3), (1.3.4) cõ nghiằm duy nhĐt biºu diạn dữợi dÔng y(t) Z b a g(t, s)f(s)ds, trong â g(t, s) l h m Green cõa b i to¡n thu¦n nh§t t÷ìng ùng.
Vẵ dử dữợi Ơy ch¿ ra cĂch xĂc ành h m Green ối vợi b i toĂn giĂ trà biản cử thº.
Vẵ dử 1.1 X²t b i toĂn biản cho phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp hai
X²t cĂc iãu kiằn (i)-(iv) trong ành nghắa 1.8 Tứ iãu kiằn (i) suy ra h m Green cõa b i to¡n thu¦n nh§t t÷ìng ùng câ d¤ng sau g(t, s)
Tứ iãu kiằn (ii) ta cõ
Tứ iãu kiằn liản tửc (iii) ta lÔi cõ
B2(l−s) =A2s (1.3.7) Cuối cũng, tứ iãu kiằn (iv) ta suy ra
GiÊi hằ phữỡng trẳnh (1.3.7), (1.3.8) ối vợi A 2 , B 2 ta ữủc
A 2 = s−l l , B 2 = −s l Thay cĂc hằ số tẳm ữủc v o (1.3.6) ta suy ra g(t, s) = 1 l
Khi õ, nghiằm cừa b i toĂn (1.3.5) biºu diạn ữủc dữợi dÔng y(t) Z l 0 g(t, s)f(s)ds.
X²t cĂc iãu kiằn (i)-(iv) trong ành nghắa 1.8 Tứ iãu kiằn (i) ta suy ra h m Green câ d¤ng sau g(t, s)
Tứ iãu kiằn (ii) ta cõ
(1.3.11) iãu kiằn liản tửc (iii) cho ta
Tứ iãu kiằn (iv) ta suy ra
6l Thay cĂc hằ số tẳm ữủc v o (1.3.11) ta ữủc g(t, s) = 1
Lúc n y, nghiằm cừa b i toĂn (1.3.10) biºu diạn ữủc dữợi dÔng y(t) Z l 0 g(t, s)f(s)ds.
Ôo h m số, tẵch phƠn số vợi ở chẵnh xĂc cĐp hai
Trong mửc n y ta x²t cổng thực vợi ở chẵnh xĂc cĐp hai tẵnh gƯn úng tẵch phƠn xĂc ành
Z a f(t)dt, ð Ơy f(t) l h m số liản tửc trản [a, b] v trỡn tợi mực cƯn thiát.
Chia [a, b] th nh no¤n con [t i , t i+1 ] (i = 0,1,2, , n−1)bði c¡c iºm chia t i = a + ih (i = 0,1,2, , n) vợi h = (b − a)/n °t y i = f(t i )(i = 0,1,2, , n).
X²t cổng thực hẳnh thang tẵnh gƯn úng tẵch phƠn I (xem [1]) nhữ sau:
Sai số to n phƯn cừa cổng thực hẳnh thang
1.4.2 Tẵnh gƯn úng Ôo h m cĐp mởt, cĐp hai vợi ở chẵnh x¡c c§p hai
GiÊ sỷ f(t) l h m trỡn trản [a, b], t i = a+ih (i = 0,1,2, , n), trong õ h = (b−a)/n, l cĂc iºm lữợi cĂch ãu nhau Cho giĂ trà cừa h m tÔi cĂc iºm lữợi y i = f(t i ) (i = 0,1,2, , n) Khi õ ta cõ thº tẵnh gƯn úng Ôo h m cĐp mởt v cĐp hai cừa h m tÔi cĂc iºm lữợi vợi sai số cĐp hai nhớ sỷ dửng a thực nởi suy Lagrange (xem [1]).
+ Sỷ dửng a thực nởi suy Lagrange tÔi ba iºm ta thu ữủc cĂc cổng thực tẵnh Ôo h m cĐp mởt vợi sai số cĐp hai tÔi tĐt cÊ cĂc nút ti nhữ sau: f ′ (t 0 ) = 1
+ º thu ữủc cổng thực tẵnh Ôo h m cĐp hai vợi sai số cĐp hai tÔi mồi nút, ta cƯn sỷ dửng a thực nởi suy tÔi bốn iºm Nhớ ph²p nởi suy n y ta s³ thu ữủc cĂc cổng thực sau Ơy: f ′′ (t 0 ) = 1 h 2 (2y 0 −5y 1 + 4y 2 −y 3 ) +O(h 2 ), f ′′ (t i ) = 1 h 2 (y i−1 −2y i +y i+1 ) + O(h 2 ), i = 1,2, , n−1, f ′′ (t n ) = 1 h 2 (−y n−3 + 4y n−2 −5y n−1 + 2y n ) + O(h 2 ).
Chữỡng 1 Â trẳnh b y mởt số kián thực bờ trủ bao gỗm: Khổng gian Banach, ành lỵ iºm bĐt ởng Banach, H m Green, cổng thực hẳnh thang tẵnh gƯn úng tẵch phƠn xĂc ành, cổng thực tẵnh gƯn úng Ôo h m cĐp mởt v cĐp hai vợi ở chẵnh xĂc bêc hai Ơy l nhỳng kián thực cỡ sð ữủc sỷ dửng rĐt nhiãu trong nghiản cựu ành tẵnh cụng nhữ phữỡng phĂp giÊi cho nhiãu b i toĂn biản phi tuyán ối vợi phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp bốn vợi cĂc loÔi iãu kiằn biản khĂc nhau CĂc kát quÊ bờ trủ n y ữủc sỷ dửng trong chữỡng tiáp theo cừa luên vôn khi tẳm hiºu vã sỹ tỗn tÔi duy nhĐt nghiằm cũng phữỡng phĂp giÊi mởt b i toĂn biản cho phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp bốn khổng àa phữỡng vợi iãu kiằn biản dÔng gối - tỹa ỡn gi£n.
Phữỡng phĂp l°p giÊi b i toĂn biản cho phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp bốn khổng àa phữỡng vợi iãu kiằn biản gối - tüa ìn gi£n
Thiát lêp sỹ tỗn tÔi duy nhĐt nghiằm cừa b i toĂn
to¡n º x²t sỹ tỗn tÔi duy nhĐt nghiằm cừa b i toĂn (2.0.1), ta Ăp dửng ành lỵ iºm bĐt ởng Bannach v o toĂn tỷ A ữủc xĂc ành dỹa trản th nh phƯn phi tuyán tẵnh trong phữỡng trẳnh Cử thº toĂn tỷ õ ữủc x¥y düng nh÷ sau:
(AΦ)(t) = m(∥yb ′ ∥ 2 2 )y ′′ (t) +h(t, y(t), y ′ (t), y ′′ (t), y ′′′ (t)), (2.1.1) trong õ, h m Φ(t) ∈ C[0, l], y(t) l nghiằm cừa b i toĂn y (4) (t) = Φ(t), 0 < t < l, y(0) = y(l) = 0, y ′′ (0) = y ′′ (l) = 0.
Bờ ã 2.1 (Mối liản hằ giỳa b i toĂn (2.0.1) v b i toĂn tẳm iºm bĐt ởng cừa toĂn tỷ A)
H m Φ(t) l iºm bĐt ởng cừa toĂn tỷ A, nghắa l Φ(t) thọa mÂn phữỡng trẳnh Φ = AΦ (2.1.3) náu v ch¿ náu h m y(t) xĂc ành tứ b i toĂn (2.1.2) l nghiằm cừa b i to¡n (2.0.1).
Chựng minh GiÊ sỷ Φ(t) ∈ C[0, l] l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.1.3). Khi õ, tứ cĂch xĂc ành cừa toĂn tỷ A ta dạ d ng thĐy ữủc h m y(t) xĂc ành tứ b i toĂn (2.1.2) cụng thọa mÂn b i toĂn (2.0.1).
Ngữủc lÔi, náu y(t) xĂc ành tứ (2.1.2) l nghiằm cừa (2.0.1) thẳ Φ(t) = m(∥yb ′ ∥ 2 2 )y ′′ (t) +h(t, y(t), y ′ (t), y ′′ (t), y ′′′ (t)), iãu n y cõ nghắa l h m Φ(t) thọa mÂn phữỡng trẳnh toĂn tỷ (2.1.3) Bờ ã ữủc chựng minh.
Nhữ vêy, tứ bờ ã trản ta thĐy, viằc tẳm nghiằm cừa b i toĂn (2.0.1) dăn án b i toĂn tẳm iºm bĐt ởng cừa toĂn tỷ A Ta s³ chựng minh A l toĂn tỷ co vợi mởt số iãu kiằn ữủc °t ra cho cĂc h m h v mb Thêt vêy, trữợc tiản ta º ỵ rơng, nghiằm cừa b i toĂn (2.1.2) luổn biºu diạn ữủc qua h m Green nhữ sau: y(t) Z l 0 g(t, s)Φ(s)ds, (2.1.4) ð ¥y g(t, s) l h m Green g(t, s) = 1
Tứ (2.1.4) ta cõ y ′ (t) Z l 0 g ′ t (t, s)Φ(s)ds, (2.1.5) trong â g t ′ (t, s) = 1
Cổng thực (2.1.5) ữủc Êm bÊo do cĂc h m g(t, s) v g t ′ (t, s) ãu l cĂc h m liản tửc trản hẳnh vuổng [0, l]ì[0, l] Ta cõ cĂc Ănh giĂ
Tiáp theo, °t w(t) = y ′′ (t) thẳ b i toĂn (2.1.2) ữa ữủc vã hai b i to¡n c§p hai
Ta biºu diạn lÔi toĂn tỷ A xĂc ành ð (2.1.1) dữợi dÔng sau:
(AΦ)(t) := m(∥v∥b 2 2 )w(t) + h(t, y(t), v(t), w(t), z(t)) (2.1.9) trong â v(t) =y ′ (t), z(t) =w ′ (t) (2.1.10) º chựng minh A l toĂn tỷ co trong mởt miãn bà ch°n thẵch hủp, vợi mội số M > 0, ta x²t miãn
2 o , ỗng thới kẵ hiằuB[O, M]l hẳnh cƯu õng tƠmObĂn kẵnhM trong khổng gian C[0, l] cĂc h m liản tửc trản [0, l] vợi chuân ∥Φ∥ = max 0≤t≤l |Φ(t)|. ành lỵ 2.1 GiÊ thiát tỗn tÔi cĂc hơng số M > 0, 0 ≤ m ≤ 8 l 2 ,
576 Khi â, to¡n tû A ¡nh x¤ hẳnh cƯu B[O, M] v o chẵnh nõ Thảm v o õ, náu
2304 < 1 (2.1.14) thẳ A l toĂn tỷ co trong hẳnh cƯu B[O, M].
Chựng minh LĐy bĐt ký h mΦtrong hẳnh cƯuB[O, M] Khi õ tứ (2.1.4)- (2.1.6) ta thu ữủc
24∥Φ∥ (2.1.15) º cõ ữủc cĂc Ănh giĂ ối vợi ∥y ′′ ∥ v ∥y ′′′ ∥ ta º ỵ rơng nghiằm cừa b i toĂn (2.1.7) luổn biºu diạn ữủc qua h m Green w(t) Z l 0 g 1 (t, s)Φ(s)ds, (2.1.16) trong â g 1 l h m Green g 1 (t, s) = 1 l
Thảm v o õ, ta cõ thº viát lÔi (2.1.16) trong dÔng w(t) = 1 l
Z l t t(s−l)Φ(s)ds Lúc n y, lĐy Ôo h m cÊ hai vá ta ữủc w ′ (t) = 1 l
Do õ, (t, y, v, w, z) ∈ D M v ối vợi AΦ ta thu ữủc Ănh giĂ
= M. iãu n y cõ nghắa l toĂn tỷ A Ănh xÔ hẳnh cƯu B[O, M] v o chẵnh nõ. Bữợc tiáp theo ta s³ chựng minh A l toĂn tỷ co Thêt vêy, lĐy bĐt ký Φ 1 ,Φ 2 ∈ B[O, M] v giÊ sỷ y 1 , y 2 l nghiằm cừa b i toĂn (2.1.2) ựng vợi h m vá phÊi l Φ 1 ,Φ 2 Kẵ hiằu v i = y i ′ , w i = y i ′′ , z i = y i ′′′ (i = 1,2) Khi õ, tữỡng tỹ vợi cĂc lêp luên nhữ ð trản ta suy ra (t, yi, vi, wi, zi) ∈ D M (i = 1,2), ỗng thới ta cụng thu ữủc cĂc Ănh giĂ dÔng (2.1.19) nhữ sau
Khi õ, tứ cĂch xĂc ành toĂn tỷ A ð (2.1.9) ta cõ
Ta s³ Ănh giĂ cĂc th nh phƯn ð vá phÊi cừa (2.1.21) Tứ (2.1.13) v (2.1.20) ta câ
Tứ (2.1.11), (2.1.12), (2.1.20), kát hủp vợi (t, y i , v i , w i , z i ) ∈ D M (i = 1,2) ta thu ữủc
Kát hủp Ănh giĂ trản vợi (2.1.21)-(2.1.24) ta ữủc
||AΦ 2 −AΦ 1 || ≤ q∥Φ 2 −Φ 1 ∥,vợi hằ số q < 1 ữủc xĂc ành ð (2.1.14) ành lỵ ữủc chựng minh. ành lỵ 2.2 GiÊ sỷ tĐt cÊ cĂc iãu kiằn cừa ành lỵ 2.1 ãu ữủc thọa mÂn Khi õ b i toĂn (2.0.1) cõ nghiằm y duy nhĐt thọa mÂn cĂc Ănh giĂ sau:
Chùng minh Nh÷ trong chùng minh ành lþ 2.1, A l to¡n tû co trong B[O, M] Do õ phữỡng trẳnh iºm bĐt ởng Φ =AΦ cõ duy nhĐt nghiằm Φ vợi ∥Φ∥ ≤ M iãu n y cõ nghắa l b i toĂn (2.0.1) cõ duy nhĐt nghiằm y ữủc xĂc ành tứ (2.1.7), (2.1.8) ựng vợi h m vá phÊi Φ CĂc Ănh giĂ cho y, y ′ , y ′′ , y ′′′ ữủc suy ra trỹc tiáp tứ (2.1.19).
Phữỡng phĂp l°p giÊi b i toĂn v cĂc vẵ dử số
º ỵ rơng, phữỡng phĂp l°p tẳm iºm bĐt ởng cừa toĂn tỷ co A cụng chẵnh l phữỡng phĂp l°p giÊi b i toĂn (2.0.1) Cử thº, ta x²t phữỡng phĂp l°p sau:
2) Biát Φ k (t) (k = 0,1,2, ), giÊi liản tiáp hai b i toĂn
1−q∥Φ 1 −Φ 0 ∥ Ta câ ành lþ sau: ành lỵ 2.3 (Sỹ hởi tử cừa phữỡng phĂp l°p)
GiÊ sỷ cĂc iãu kiằn cừa ành lỵ 2.1 ãu ữủc thọa mÂn Khi õ, phữỡng phĂp l°p (2.2.1)-(2.2.4) hởi tử vợi tốc ở cĐp số nhƠn v ta cõ cĂc Ănh giĂ
2pk, vợi y l nghiằm úng cừa b i toĂn (2.0.1).
Chựng minh XuĐt phĂt tứ sỹ hởi tử cừa phữỡng phĂp l°p tẳm iºm bĐt ởng cừa toĂn tỷ co A vợi xĐp x¿ Ưu Φ 0 (t) ∈ B[O, M] ta kh¯ng ành ữủc sỹ hởi tử cừa phữỡng phĂp l°p Thảm v o õ, tứ cĂc Ănh giĂ dÔng (2.1.20) ta thu ữủc cĂc ữợc lữủng ối vợi sai số yk−y cũng cĂc Ôo h m y k ′ −y ′ , y k ′′ −y ′′ , y k ′′′ −y ′′′ º thu ữủc cĂc kát quÊ thỷ nghiằm số minh hồa cho lỵ thuyát, ta sỷ dửng lữủc ỗ sai phƠn cõ ở chẵnh xĂc bêc hai giÊi cĂc b i toĂn (2.2.2), (2.2.3), ỗng thới sỷ dửng cĂc cổng thực xĐp x¿ Ôo h m cĐp mởt vợi ở chẵnh xĂc cĐp hai v sỷ dửng cổng thực hẳnh thang tẵnh gƯn úng tẵch phƠn xĂc ành Ta x²t lữợi ãu vợi bữợc lữợi h = l/N trản [0, l] ω h = {t i = ih, i = 0,1, , N}.
Chuân trản lữợi ữủc xĂc ành nhữ sau ∥y∥ ω h = max t i ∈ω h |y(t i )|.
Trong bÊng kát quÊ tẵnh toĂn, ta kỵ hiằu y l nghiằm úng cừa b i toĂn, N l số khoÊng chia lữợi, K l số lƯn l°p, ey K = ∥y K −y∥ ωh l sai số giỳa nghiằm úng v nghiằm xĐp x¿, e K = ∥y K −y K−1 ∥ ωh l sai số giỳa hai nghiằm xĐp x¿ liản tiáp Tiảu chuân dứng l°p l e K ≤ 10 −14
Trữợc tiản, ta x²t ba vẵ dử trong trữớng hủp nghiằm úng cừa b i toĂn  ữủc biát trữợc.
12π 2 Nghiằm úng cừa b i toĂn l y(t) = sinπt, 0≤ t ≤1.
Ta thĐy iãu kiằn (2.1.11) cừa ành lỵ 2.1 ữủc thọa mÂn vợi M = 128, m = M 2
3072, trản to n miãn D 128 Do õ, ta cõ thº lĐy
Hẳnh 2.1: ỗ thà cừa sai số e K ð Vẵ dử 2.1.
Nhữ vêy tĐt cÊ cĂc iãu kiằn cừa ành lỵ 2.1 ữủc thọa mÂn Theo ành lỵ 2.2 v ành lỵ 2.3, b i toĂn (2.2.5) cõ nghiằm duy nhĐt v phữỡng phĂp l°p (2.2.1)-(2.2.4) hởi tử Sỹ hởi tử nhanh cừa phữỡng phĂp l°p ữủc thº hiằn ð cĂc kát quÊ tẵnh toĂn trong BÊng 2.1 Tứ bÊng tẵnh toĂn ta cỏn thĐy sỹ hởi tử cừa phữỡng phĂp l°p khổng phử thuởc v o cù lữợi Hẳnh 2.1 cho ta ỗ thà cừa sai số e K trong Vẵ dử 2.1.
BÊng 2.1: Sỹ hởi tử trong Vẵ dử 2.1.
(2.2.6) Nghiằm úng cừa b i toĂn l y(t) = sinπt, 0≤ t ≤1.
2 o , h m h(t, y, v, w, z) = π 4 + 2π 2 −sinπt −sin 2 πt sinπt+y 2 +y 3 thọa mÂn
CĂc iãu kiằn cừa ành lỵ 2.2, ành lỵ 2.3 ữủc thọa mÂn, do õ b i toĂn (2.2.6) cõ duy nhĐt nghiằm v phữỡng phĂp l°p (2.2.1)-(2.2.4) hởi tử CĂc thỷ nghiằm số cho thĐy tiảu chuân dứng l°p ữủc thọa mÂn sau 19 lƯn l°p v sỹ hởi tử cừa phữỡng phĂp l°p khổng phử thuởc v o bữợc lữợi ỗ thà cừa sai số eK ữủc cho nhữ Hẳnh 2.2.
Nhên x²t 2.1 Ta x²t thĐy h m vá phÊi cừa phữỡng trẳnh (2.2.6) khổng thọa mÂn iãu kiằn (0.0.2) Do õ phữỡng phĂp trong [6] khổng suy ra ữủc sỹ tỗn tÔi duy nhĐt nghiằm cừa b i toĂn (2.2.6).
24. Nghiằm úng cừa b i toĂn l y(t) = sinπt, 0≤ t ≤1.
Vợi cĂch l m tữỡng tỹ nhữ hai vẵ dử trữợc, ta cõ thº chồn M = 128, m ≈ 1.2 v cĂc hằ số Lipschitz L 1 = 13
24. Khi õ q ≈ 0.466 < 1 Do õ b i toĂn (2.2.7) cõ nghiằm duy nhĐt v phữỡng phĂp l°p tẳm nghiằm hởi tử.
CĂc kát quÊ thỷ nghiằm số cho ta thĐy tiảu chuân dứng l°p ữủc thọa mÂn sau 10 lƯn l°p v sỹ hởi tử cừa phữỡng phĂp l°p khổng phử thuởc v o bữợc lữợi ỗ thà cừa sai số e K cho trong Hẳnh 2.3.
Nhên x²t 2.2 Ta x²t thĐy h m vá phÊi cừa phữỡng trẳnh (2.2.7) khổng thọa mÂn iãu kiằn (0.0.3) Do õ, theo phữỡng phĂp trong [6] ta khổng kh¯ng ành ữủc sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa b i toĂn (2.2.7).
Cuối cũng, ta x²t mởt vẵ dử trong trữớng nghiằm nghiằm úng cừa b i toĂn chữa biát trữợc.
Hẳnh 2.2: ỗ thà cừa sai số e K trong Vẵ dử 2.2
Hẳnh 2.3: ỗ thà cừa sai số e K trong Vẵ dử 2.3.
4. é vẵ dử n y, ta khổng biát nghiằm chẵnh xĂc cừa b i toĂn M°c dũ vêy, vợi cĂch l m tữỡng tỹ cĂc vẵ dử trữợc õ, ta kh¯ng ành ữủc sỹ tỗn tÔi duy nhĐt cừa nghiằm trong miãn D 12 v phữỡng phĂp l°p tẳm nghiằm hởi tử Tẵnh toĂn cho thĐy, sau 12 lƯn l°p, tiảu chuân dứng l°p ữủc thọa mÂn. ỗ thà cừa nghiằm xĐp x¿ v ỗ thà cừa sai số e K ữủc cho bði Hẳnh 2.5 v Hẳnh 2.4.
Hẳnh 2.4: ỗ thà cừa sai số e K trong Vẵ dử 2.4.
Hẳnh 2.5: ỗ thà cừa nghiằm xĐp x¿ trong Vẵ dử 2.4.
Trong chữỡng n y, luên vôn trẳnh b y mởt số kát quÊ ành tẵnh v phữỡng phĂp l°p giÊi mởt b i toĂn biản ối vợi phữỡng trẳnh vi phƠn phi tuyán cĐp bốn khổng àa phữỡng vợi iãu kiằn biản dÔng gối - tỹa ỡn giÊn bơng cĂch tiáp cên ữa b i toĂn ban Ưu vã phữỡng trẳnh toĂn tỷ ối vợi th nh phƯn phi tuyán trong phữỡng trẳnh CĂc kát quÊ Ôt ữủc nhữ sau:
- Trẳnh b y sỹ tỗn tÔi duy nhĐt nghiằm cừa b i toĂn dữợi cĂc iãu kiằn dạ kiºm tra °t lản cĂc h m th nh phƯn khi x²t trong mởt miãn bà ch°n;
- Trẳnh b y phữỡng phĂp l°p giÊi b i toĂn v sỹ hởi tử cừa phữỡng phĂp l°p tẳm nghiằm vợi tốc ở cĐp số nhƠn;
- Trẳnh b y mởt số vẵ dử thỷ nghiằm số minh hồa cho tẵnh ựng dửng v hiằu quÊ cừa cĂc kát quÊ lỵ thuyát ữủc trẳnh b y CĂc vẵ dử ữủc x²t trong cÊ hai trữớng hủp nghiằm úng cừa b i toĂn ữủc biát trữợc ho°c chữa biát.
Vợi cĂc kián thực cỡ sð ð Chữỡng 1 vã Khổng gian Banach, ành lỵ iºm bĐt ởng Banach, h m Green, tẵnh gƯn úng tẵch phƠn xĂc ành sỷ dửng cổng thực hẳnh thang, dỹa trản viằc ồc hiºu t i liằu [3], ối vợi mởt b i toĂn biản cho phữỡng trẳnh vi phƠn thữớng phi tuyán cĐp bốn loÔi Kirchhoff vợi iãu kiằn biản dÔng gối - tỹa ỡn giÊn (2.0.1), luên vôn  Ôt ữủc mởt số kát quÊ nhữ sau:
1 Trẳnh b y sỹ tỗn tÔi duy nhĐt nghiằm cừa b i toĂn nhớ sỷ dửng cĂch tiáp cên ỡn giÊn những hiằu quÊ õ l ữa b i toĂn ban Ưu vã phữỡng trẳnh toĂn tỷ ối vợi th nh phƯn phi tuyán trong phữỡng trẳnh, sau õ Ăp dửng ành lỵ iºm bĐt ởng Banach ối vợi toĂn tỷ n y;
2 Trẳnh b y phữỡng phĂp l°p giÊi b i toĂn ð mực liản tửc v sỹ hởi tử cừa phữỡng phĂp l°p vợi tốc ở cĐp số nhƠn;
3 Trẳnh b y mởt số vẵ dử số minh hồa cho khÊ nông ựng dửng cừa cĂc kát quÊ lỵ thuyát trong cÊ hai trữớng hủp  biát trữợc nghiằm úng v chữa biát trữợc nghiằm úng.
1 Nghiản cựu phữỡng phĂp l°p giÊi b i toĂn ð mực rới rÔc;
2 Nghiản cựu phữỡng phĂp giÊi b i toĂn vợi ở chẵnh xĂc cĐp cao hỡn;
3 Nghiản cựu phữỡng phĂp giÊi cĂc b i toĂn biản phi tuyán ối vợi phữỡng trẳnh v hằ phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp bốn v cĐp cao hỡn vợi cĂc loÔi iãu kiằn biản khĂc;
4 Nghiản cựu phữỡng phĂp giÊi cĂc b i toĂn biản phi tuyán cho phữỡng trẳnh Ôo h m riảng cĐp bốn v cĐp cao hỡn vợi mởt số loÔi iãu kiằn biản.
[1] °ng Quang (2009), GiĂo trẳnh phữỡng phĂp số, Nh xuĐt bÊn Ôi hồc ThĂi Nguyản.
[2] Nguyạn XuƠn Liảm (2017), GiÊi tẵch h m, NXB GiĂo dửc Viằt Nam. [B] T i liằu Tiáng Anh:
[3] D.Q A, N.T Huong (2018), The unique solvability and approximation of BVP for a nonlinear fourth order Kirchhoff type equation, East Asian J Appl Math., 8(2), pp 323335.
[4] D.Q A, D.Q Long, N.T.K Quy (2017), "A novel efficient method for fourth order nonlinear boundary value problems", Numer Algor., 76(2), pp 427-439.
[5] D.Q A, N.T.K Quy (2017), "Existence results and iterative method for solving the cantilever beam equation with fully nonlinear term", Nonlinear Anal.: Real World Appl., 36, pp 56-68.
[6] P Amster, P.P.C Alzate (2008), "A shooting method for a nonlinear beam equation", Nonlinear Anal., 68, pp 20722078.
[7] Q.A Dang, T.L Vu (2010), "Iterative method for solving a nonlinear fourth order boundary value problem", Comput Math Appl., 60(1), pp 112121.
[8] Q.A Dang, T.K.Q Ngo (2018), "New fixed point approach for a fully nonlinear fourth order boundary value problem", Bol Soc Paran. Mat., 36(4), pp 209-223.
[9] Q.A Dang, T.K.Q Ngo (2016), "Numerical solution of a fully fourth order nonlinear problem", Advances in Information and Commu- nication Technology, Proceedings of the International Conference, Springer, Volume 538, pp 413-430.
[10] Z Bai (2007), "The upper and lower solution method for some fourth order boundary value problems", Nonlinear Anal., 67, pp 1704-1709.
[11] J Ehme, P.W Eloe, J Henderson (2002), "Upper and lower solution methods for fully nonlinear boundary value problems", J Diff Equa.,
[12] H Feng, D Ji, W Ge (2009), "Existence and uniqueness of solutions for a fourth order boundary value problem", Nonlinear Anal., 70, pp. 35613566.
[13] Y Li, Q Liang (2013), "Existence results for a fully fourth-order boundary value problem", J Funct Spaces Appl., Article ID 641617,
[14] T.F Ma (2000), "Existence results for a model of nonlinear beam on elastic bearings", Appl Math Lett., 13, pp 11-15.
[15] T.F Ma (2003), "Existence results and numerical solutions for a beam equation with nonlinear boundary conditions", Appl Numer Math.,
[16] T.F Ma (2007), "Positive solutions for a nonlocal fourth order equa- tion of Kirchhoff type", Discrete Cont Dynam Sys (Suppl.), pp.694703.