Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ NGUYỄN THỊ DUNGGIẢI MỘT BÀI TOÁN BIÊN CẤP BỐN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DẠNG GỐI – TỰA ĐƠN GIẢN LUẬN VĂN THẠC SĨ TO
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ DUNG GIẢI MỘT BÀI TOÁN BIÊN CẤP BỐN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DẠNG GỐI – TỰA ĐƠN GIẢN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2024 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ DUNG GIẢI MỘT BÀI TOÁN BIÊN CẤP BỐN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DẠNG GỐI – TỰA ĐƠN GIẢN Ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THANH HƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2023 LÍI CM ÌN Sau mët thíi gian ti¸n h nh triºn khai nghi¶n cùu, tæi công ¢ ho n th nh nëi dung luªn v«n Gi£i mët b i to¡n bi¶n c§p bèn khæng àa ph÷ìng vîi i·u ki»n bi¶n d¤ng gèi tüa ìn gi£n Luªn v«n ÷ñc ho n th nh khæng ch¿ l cæng sùc cõa b£n th¥n tæi m cán câ sü gióp ï, hé trñ t½ch cüc cõa nhi·u c¡ nh¥n v tªp thº Tr÷îc h¸t, tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh v s¥u sc tîi Cæ gi¡o Ti¸n s¾ Nguy¹n Thanh H÷íng, ng÷íi trüc ti¸p h÷îng d¨n luªn v«n cho tæi Cæ ¢ d nh cho tæi nhi·u thíi gian, t¥m sùc, gióp luªn v«n cõa tæi ÷ñc ho n thi»n v· m°t nëi dung v h¼nh thùc Cæ công luæn quan t¥m, ëng vi¶n, nhc nhð kàp thíi º tæi câ thº ho n th nh luªn v«n óng ti¸n ë Qua ¥y, tæi công xin gûi líi c£m ìn ¸n c¡c Th¦y, Cæ gi¡o thuëc Khoa To¡n - Tin tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh gi£ng d¤y v gióp ï tæi ho n th nh ch÷ìng tr¼nh o t¤o Tæi xin ch¥n th nh gûi líi c£m ìn ¸n Ban gi¡m hi»u, tªp thº c¡c Th¦y, Cæ gi¡o cõa tr÷íng Trung håc cì sð Lþ Tü Trång Th nh phè C©m Ph£, t¿nh Qu£ng Ninh nìi tæi cæng t¡c ¢ luæn ëng vi¶n v t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi cho tæi ho n th nh khâa håc Cuèi còng, tæi xin ch¥n th nh c£m ìn gia ¼nh, b¤n b± ¢ gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn! i Danh möc c¡c chú vi¸t tt v c¡c kþ hi»u R Tªp c¡c sè thüc C Tªp c¡c sè phùc R+ Tªp c¡c sè thüc khæng ¥m RK Khæng gian Euclide K chi·u C[a, b] Khæng gian c¡c h m li¶n töc tr¶n [a, b] Ck[a, b] Khæng gian c¡c h m câ ¤o h m cho ¸n c§p k li¶n töc L2[a, b] tr¶n [a, b] Khæng gian c¡c h m b¼nh ph÷ìng kh£ t½ch tr¶n [a, b] ∥x∥ Chu©n cõa ph¦n tû x ∥x∥2 Chu©n cõa ph¦n tû x trong khæng gian L2[a, b] ωh l÷îi ·u tr¶n [0, l] vîi b÷îc l÷îi h ∥x∥ωh Chu©n tr¶n l÷îi ωh cõa ph¦n tû x ii Möc löc Líi c£m ìn i Danh möc c¡c chú vi¸t tt v c¡c kþ hi»u ii Mð ¦u 1 Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 5 1.1 Khæng gian Banach 5 1.2 ành lþ iºm b§t ëng Banach 7 1.3 H m Green v mët sè v½ dö 8 1.4 ¤o h m sè, t½ch ph¥n sè vîi ë ch½nh x¡c c§p hai 12 1.4.1 Cæng thùc h¼nh thang 12 1.4.2 T½nh g¦n óng ¤o h m c§p mët, c§p hai vîi ë ch½nh x¡c c§p hai 13 Ch÷ìng 2 Ph÷ìng ph¡p l°p gi£i b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p bèn khæng àa ph÷ìng vîi i·u ki»n bi¶n gèi - tüa ìn gi£n 15 2.1 Thi¸t lªp sü tçn t¤i duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n 15 2.2 Ph÷ìng ph¡p l°p gi£i b i to¡n v c¡c v½ dö sè 21 K¸t luªn chung 30 T i li»u tham kh£o 32 iii MÐ U X²t b i to¡n v· d¦m n hçi ÷ñc mæ t£ bði ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng phi tuy¸n c§p bèn khæng àa ph÷ìng (ph÷ìng tr¼nh lo¤i Kirchhoff) vîi i·u ki»n bi¶n d¤ng gèi - tüa ìn gi£n nh÷ sau y(4)(t) − m l |y′(r)|2dr y′′(t) 0 = h(t, y(t), y′(t), y′′(t), y′′′(t)), 0 < t < l, (0.0.1) y(0) = y(l) = 0, y′′(0) = y′′(l) = 0, trong â h m y mæ t£ ë vãng cõa d¦m vîi ë d i l, h : [0, l] × R4 → R l h m li¶n töc mæ t£ lüc t¡c döng, m : R+ → R+ l h m li¶n töc mæ t£ £nh h÷ðng cõa nhúng thay êi nhä v· ë d i cõa d¦m C¡c k¸t qu£ v· m°t ành t½nh v ành l÷ñng cõa c¡c b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n c§p bèn ¦y õ y(4)(t) = h(t, y(t), y′(t), y′′(t), y′′′(t)) ¢ ÷ñc nghi¶n cùu bði nhi·u ph÷ìng ph¡p kh¡c nhau nh÷: Ph÷ìng ph¡p sû döng lþ thuy¸t bªc Leray-Schauder [20]; ph÷ìng ph¡p sû döng ành lþ iºm b§t ëng Schauder vîi sü câ m°t cõa nghi»m tr¶n v nghi»m d÷îi [10, 11, 12, 19]; ph÷ìng ph¡p chuéi Fourier [13]; ph÷ìng ph¡p sû döng ành lþ iºm b§t ëng Banach [5]-[9] Th¶m v o â, sü tçn t¤i nghi»m cõa 1 mët sè b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr¼nh lo¤i Kirchhoff y(4)(t) − m l y′′(t) = h(t, y(t)), 0 < t < l, y(4)(t) − m y′′(t) = h(t, y(t), y′(t)), 0 < t < l, |y′(r)|2dr 0 l |y′(r)|2dr 0 công ¢ ÷ñc nghi¶n cùu bði ph÷ìng ph¡p bi¸n ph¥n v ph÷ìng ph¡p sû döng c¡c ành lþ iºm b§t ëng [14]-[17] Sü tçn t¤i duy nh§t cõa nghi»m v ph÷ìng ph¡p l°p gi£i b i to¡n (0.0.1) trong hai tr÷íng hñp °c bi»t khi l = π, m(t) = (2t)/π, h = p(t) + ϵy′′(t) v m(t) = 0, h = h(t, y(t), y′′(t)) t÷ìng ùng ÷ñc x²t ¸n trong c¡c cæng tr¼nh [4] v [7] Trong [6], P Amster v P.P C¡rdenas Alzate ¢ thi¸t lªp sü tçn t¤i duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n y(4)(t) − Ay′′(t) = h(t, y(t)), 0 < x < L, y(0) = a, y(l) = b, y′′(0) = α, y′′(l) = β, b¬ng c¡ch sû döng ành lþ iºm b§t ëng Leray-Schauder vîi i·u ki»n h(t, y) − h(t, z) ≤K < π2 π2 +A , y−z l (0.0.2) l trong â K > 0 v A l c¡c h¬ng sè Công trong b i b¡o n y, sû döng lþ thuy¸t bªc Brouwer, c¡c t¡c gi£ công ch¿ ra sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n l 0 < t < l, y(4)(t) − A |y′(r)|2dr y′′(t) = h(t, y(t)), 0 y(0) = a, y(l) = b, y′′(0) = 0, y′′(l) = 0, vîi gi£ thi¸t A l h¬ng sè v h(t, u) = h(t, y) + h0(t, y), (0.0.3) vîi h v h0 thäa m¢n i·u ki»n h(t, y) − h(t, z) ≤K < π 4 y−z l , |h0(t, y)| ≤ k|y| + n, k < π4 k, n ∈ R − K, l 2 G¦n ¥y, mët ph÷ìng ph¡p mîi ¢ ÷ñc ¡p döng r§t hi»u qu£ trong nghi¶n cùu v· ành t½nh v ành l÷ñng cõa c¡c b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n c§p bèn àa ph÷ìng vîi þ t÷ðng ÷a b i to¡n ¢ cho v· ph÷ìng tr¼nh to¡n tû èi vîi th nh ph¦n phi tuy¸n trong ph÷ìng tr¼nh (xem [4]-[9]), sau â ¡p döng c¡c nguy¶n lþ iºm b§t ëng èi vîi to¡n tû n y, tø â thi¸t lªp sü tçn t¤i nghi»m, t½nh duy nh§t nghi»m, x²t mët sè tr÷íng hñp v· d§u cõa nghi»m, x¥y düng ph÷ìng ph¡p l°p t¼m nghi»m Trong cæng tr¼nh [3], c¡c t¡c gi£ ¡p döng ph÷ìng ph¡p n¶u tr¶n èi vîi b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p bèn khæng àa ph÷ìng (ph÷ìng tr¼nh lo¤i Kirchhoff) (0.0.1) º thi¸t lªp sü tçn t¤i duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n çng thíi c¡c t¡c gi£ công · xu§t ph÷ìng ph¡p l°p hëi tö t¼m nghi»m v ÷a ra c¡c v½ dö sè minh håa cho c¡c k¸t qu£ lþ thuy¸t, mët sè v½ dö ÷ñc so s¡nh vîi k¸t qu£ ¢ câ trong cæng tr¼nh [6] Vîi möc ½ch åc v t¼m hiºu s¥u v· ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu trong cæng tr¼nh [3] èi vîi b i to¡n (0.0.1) v l§y â l m cì sð º nghi¶n cùu ¦y õ c£ ành t½nh l¨n ành l÷ñng cõa c¡c b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n c§p bèn àa ph÷ìng v khæng àa ph÷ìng vîi c¡c lo¤i i·u ki»n bi¶n phùc t¤p hìn, chóng tæi lüa chån · t i: "Gi£i mët b i to¡n bi¶n c§p bèn khæng àa ph÷ìng vîi i·u ki»n bi¶n d¤ng gèi - tüa ìn gi£n" Ngo i ph¦n mð ¦u, k¸t luªn v t i li»u tham kh£o, nëi dung ch½nh cõa luªn v«n gçm 2 ch÷ìng: Ch÷ìng 1 tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc bê trñ bao gçm mët sè khæng gian h m; ành lþ iºm b§t ëng Banach; H m Green v mët sè v½ dö; Cæng thùc h¼nh thang t½nh g¦n óng t½ch ph¥n x¡c ành; Cæng thùc t½nh g¦n óng ¤o h m c§p mët, c§p hai vîi ë ch½nh x¡c c§p hai C¡c ki¸n thùc cì b£n trong Ch÷ìng 1 âng vai trá r§t quan trång, l m n·n t£ng cho c¡c k¸t qu£ ÷ñc tr¼nh b y trong Ch÷ìng 2 Nëi dung cõa Ch÷ìng 1 ÷ñc tham 3 kh£o tø c¡c t i li»u [1, 2, 18, 21] Trong Ch÷ìng 2, tr¶n cì sð åc hiºu t i li»u [3], èi vîi b i to¡n bi¶n cho ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p bèn khæng àa ph÷ìng vîi i·u ki»n bi¶n d¤ng gèi - tüa ìn gi£n, b¬ng c¡ch ti¸p cªn ÷a b i to¡n ¢ cho v· ph÷ìng tr¼nh to¡n tû èi vîi th nh ph¦n phi tuy¸n trong ph÷ìng tr¼nh, luªn v«n tr¼nh b y sü tçn t¤i duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n, tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p l°p t¼m nghi»m v sü hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p l°p Mët sè v½ dö trong c£ hai tr÷íng hñp bi¸t tr÷îc ho°c khæng bi¸t tr÷îc nghi»m óng ¢ minh håa cho t½nh óng n cõa c¡c k¸t qu£ lþ thuy¸t v hi»u qu£ cõa ph÷ìng ph¡p l°p t¼m nghi»m Trong luªn v«n, c¡c k¸t qu£ lþ thuy¸t ¢ ÷ñc kiºm tra b¬ng c¡c thüc nghi»m t½nh to¡n ÷ñc lªp tr¼nh trong mæi tr÷íng MATLAB 4 Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ bê trñ cho Ch÷ìng 2 cõa luªn v«n Nëi dung ch½nh cõa ch÷ìng ÷ñc tham kh£o chõ y¸u tø c¡c t i li»u [1, 2, 18, 21] 1.1 Khæng gian Banach ành ngh¾a 1.1 (Xem [2]) Cho X l mët tªp hñp kh¡c réng Mët metric tr¶n X l mët ¡nh x¤ d : X × X −→ R+ thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: a) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y, b) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X, c) d(x, y) ⩽ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Khi â, d ÷ñc gåi l kho£ng c¡ch hay mët metric tr¶n X, (X, d) ÷ñc gåi l khæng gian metric ành ngh¾a 1.2 (Xem [2]) D¢y {xn} trong khæng gian metric (X, d) ÷ñc gåi l hëi tö ¸n x0 ∈ X n¸u lim d(xn, x0) = 0 n→∞ Khi â, ta vi¸t lim xn = x0 ho°c xn → x0 v x0 ÷ñc gåi l giîi h¤n cõa d¢y {xn} n→∞ ành ngh¾a 1.3 (Xem [2]) Cho (X, d) l mët khæng gian metric D¢y 5