Luận văn bài toán hỗn hợp thứ 3 với điều kiện biên không thuần nhất đối với phương trình parabolic cấp hai trên miền lùi (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– TRẦN CÔNG SINH BÀI TỐN HỖN HỢP THỨ BA VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KHƠNG THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI TRÊN MIỀN LÙI Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ THANH HÓA, NĂM 2016 Luận văn hoàn thành Trường Đại học Hồng Đức Người hướng dẫn: TS Vũ Trọng Lưỡng Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học Tại: Vào hồi: ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận văn Thư viện trường Đại học Hồng Đức, Bộ mơn: Giải tích, Trường Đại học Hồng Đức MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng (PTĐHR) khơng phương diện giải tích mơ hình vật lý, sinh học, kinh tế, hóa học, mà cịn cơng cụ thiết yếu nhiều ngành tốn học khác Sang kỷ XX, lý thuyết PTĐHR phát triển vơ mạnh mẽ nhờ cơng cụ giải tích hàm, đặc biệt từ xuất hệ thống công cụ quan xây dựng S.L Sobolev: Khơng gian Sobolev tính chất quan trọng nó, phép nhúng Cho đến năm 1920 nghiệm PTĐHR hiểu nghiệm cổ điển, có nghĩa nghiệm đòi hỏi phải trơn đến cấp phương trình Khái niệm nghiệm yếu đời nhiều lý khác nhau, chẳng hạn giống giới hạn dẫy nghiệm xấp xỉ Các đánh giá nghiệm xấp xỉ không đủ mạnh để sinh giới hạn nghiệm cổ điển Nhưng theo nghĩa có số tính chất giống nghiệm cổ điển, chẳng hạn, thỏa mãn mối liên hệ nhân phương trình với hàm thử sau sử dụng cơng thức tích phân phần Cùng với không gian Sobolev, khái niệm nghiệm yếu đời bước ngoạt quan mặt phương pháp nghiên cứu PTĐHR, chia việc nghiên cứu PTĐHR tốn thành hai bước sau: Nghiên cứu tồn nghiệm yếu; Nghiên cứu tính qui nghiệm yếu Khi nghiên cứu tồn tại, tính qui nghiệm yếu tốn biên PTĐHR miền bị chặn, cấu trúc học biên miền đóng vai trị định Đối với tốn biên phương trình, hệ phương trình đạo hàm riêng miền khơng trơn nhà toán học quan tâm nghiên cứu nhiều khía cạnh khác Đối với phương trình, hệ phương trình elliptic lượng lớn kết sâu sắc thiết lập tài liệu tham khảo đó) Nghiên cứu tốn giá trị biên Robin cho phương trình eliptic bậc hai miền khơng trơn khởi đầu cơng trình Các tài liệu đề cập nghiên cứu tốn giá trị biên Robin phương trình elliptic cho miền Lipschitz Như biết toán tử nhúng I1 : H (G) → L2 (G) compac miền Lipschitz theo toán tử nhúng I2 : H (G) → L2 (∂ G) compac Do tốn giá trị biên Robin phương trình elliptic loại Fredholm cho loại miền Đối với miền có điểm kỳ dị loại miền lùi (khơng miền Lipschitz), toán tử nhúng thứ hai I2 : H (G) → L2 (∂ G) chưa tồn tại, vết hàm số thuộc H (D) không thiết thuộc không gian L2 (∂ G) Điều có nghĩa việc thiết lập toán biên Robin cho miền phụ thuộc vào thuộc tính khơng gian vết hàm thuộc H (G) Một mô tả khơng gian vết cho miền bị chặn với biên trơn ngoại trừ điểm kỳ dị cô lập loại lùi đưa M JU Vasiltchik Đối với miền thế, không gian vết hàm thuộc H (G) không thiết trùng với L2 (∂ G) mơ tả với giúp đỡ trọng số ϕ tương ứng, trọng số phụ thuộc vào loại điểm kỳ dị Những kết cho phép thiết lập tính giải cho toán giá trị biên Robin với giúp đỡ trọng số ϕ Cho G miền lùi với biên ∂ G, đặt QT = G × (0, T ), T > 0, ST = ∂ G × (0, T ) Trong luận văn xét toán toán sau:    ut + L(x,t; D)u = f (x,t), (x,t) ∈ QT ,    ∂u + σ (x,t)u = µ(x,t), (x,t) ∈ ST ,  ∂ N    u|t=0 = G, n ∂u ∂u = ∑ j (x,t) cos(~n, xi ) ∂ N i, j=1 ∂ xi , ~n véctơ pháp tuyến đơn vị hướng điểm x ∈ ∂ G Chúng ta giả sử hàm số f aij = a ji , bi , c hàm QT σ , µ hàm xác định ST Trong trường hợp điều kiện biên thay điều kiện biên nghiên cứu miền khơng trơn khác cơng trình 3 Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn Ngoài lời cảm ơn, mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày không gian Sobolev, số kiến thức liên quan Chương 2: Thiết lập toán Trong chương chúng tơi trình bày định nghĩa miền lùi khơng gian Sobolev có trọng miền lùi, thiết lập toán hỗn hợp thứ ba đối phương trình parabolic miền lùi, định nghĩa nghiệm suy rộng toán Chương 3: Sự tồn nghiệm Trong chương sử dụng phương pháp Galerkin để chứng minh tồn tính trơn theo biến thời gian nghiệm toán thiết lập Chương 2, với số điều kiện cụ thể hàm cho biên hàm vế phải 4 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương dành cho việc trình bày số kiến thức biết có liên quan đến luận văn 1.1 Một số không gian hàm 1.1.1 Không gian L p (Ω) Cho Ω miền không gian Rn cho ≤ p ≤ +∞ Khi L p (Ω) không gian bao gồm tất hàm u (x) khả tổng cấp p theo Lebesgue Ω, tức là: Z |u| p dx < +∞ Ω Không gian L p (Ω) không gian định chuẩn với chuẩn : 1  Z ku (x)kL p (Ω) =  p p |u| dx Ω Hơn nữa, L p (Ω) không gian đầy đủ nên L p (Ω) không gian Banach Đặc biệt, với p = 2, không gian L2 (Ω) không gian Hilbert với tích vơ hướng Z ( f , g) = f (x) g (x)dx Ω 1.1.2 Không gian L∞ (Ω) Cho Ω miền không gian Rn Khi L∞ (Ω) khơng gian bao gồm tất hàm u (x) đo theo Lebesgue bị chặn hầu khắp nơi Ω với chuẩn : ku (x)kL∞ (Ω) = esssup |u (x)| x∈Ω 1.1.3 Không gian Sobolev Không gian Sobolev Wpm (Ω) không gian hàm u thuộc L p (Ω), cho tồn đạo hàm suy rộng đến cấp m thuộc L p (Ω) trang bị chuẩn  1/p Z kukWpm (Ω) = (4.1) ∑ |Dα u(x)| pdx |α|≤m Ω Không gian Wpm (Ω) không gian Banach với ≤ p < ∞ khơng gian Hilbert với p = 2, tích vô hướng xác định sau (u, v)m = ∑ (Dα u, Dα v)L2 (Ω) |α|≤m 1.1.4 Không gian H −1 Chúng ta ký hiệu H −1 (G) không gian đối ngẫu H (G) Điều có nghĩa phần tử f ∈ H −1 (G) phiếm hàm tuyến tính liên tục H (G) Khi cặp phần tử H −1 (G) H (G)được ký hiệu h., i Bởi đồng không gian đối ngẫu L2 (G) với L2 (G), có phép nhúng liên tục L2 (G) ⊂ H −1 (G) cách đặt h f , vi = Z f vdx G f ∈ L2 (G) v ∈ H (G) Với f ∈ H −1 (G) chuẩn xác định sau: k f kH −1 (G) = sup{|h f , vi| : v ∈ H (G), kvkH (G) ≤ 1} 1.1.5 Không gian Sobolev phụ thuộc thời gian Cho X không gian Banach Chúng ta ký hiệu L2 ((0, T ); X) không gian hàm đo u : [0, T ] → X với chuẩn Z T 1 p < ∞, ≤ p ≤ ∞ kukL p ((0,T );X) = k f (t)kXp dt Không gian C([0, T ]; X) không gian hàm liên tục u : [0, T ] → X với chuẩn kukC([0,T ];X) = max ku(t)k < ∞ 0≤t≤T Lấy u ∈ L1 (0, T ; X), gọi v ∈ L1 (0, T ; X) đạo hàm yếu u viết ut = v, Z T φt (t)u(t)dt = − Z T φ (t)v(t)dt với hàm φ ∈ C0∞ (0, T ) Từ có nhận xét sau đây: Nhận xét 1.1.1 Nếu  uk * u L2 ((0, T); H1 (G)) u * v L ((0, T); H−1 (G)) kt v = ut Ta có định lý sau chứng minh tương tự Theo 3, pp 287 tài liệu [?] Định lý 1.1.2 Giả sử u ∈ L2 (0, T ; H (G)), với ut ∈ L2 (0, T ; H −1 (G)) Khi u ∈ C([0, T ]; L2 (G)) Ánh xạ t 7−→ ku(t)kL2 (G) liên tục tuyệt đối, với d ku(t)k2L2 (G) = 2hut (t), u(t)i dt với hầu khắp t ∈ [0, T ] Hơn nữa, có đánh giá
max ku(t)kL2 (G) ≤ C ku(t)kL2 (0,T ;L2 (G)) + ku(t)kL2 (0,T ;H −1 (G)) , 0≤t≤T C phụ thuộc vào T Để thuận tiện ta viết L2 (QT ) = L2 ((0, T ); L2 (G)) Chúng ta ký hiệu H 1,∗ (QT ) không gian hàm u xác định QT chou ∈ L2 ((0, T ); H (G)) vàut ∈ L2 ((0, T ); H −1 (G)) với chuẩn kuk2H 1,∗ (Q) = kuk2L ((0,T );H (G)) + kut k2L ((0,T );H −1 (G)) 1.1.6 Phép nhúng Ta nói khơng gian định chuẩn E nhúng liên tục vào không gian không gian định chuẩn F viết E −→ F thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) E khơng gian vector F, (ii) tốn tử đồng I từ E vào F cho Ix = x với x ∈ E liên tục Do I tuyến tính điều kiện (ii) tương đương với điều kiện có tồn số M cho kIxkF ≤ MkxkE , x ∈ E Ta nói E nhúng compact vào F toán tử nhúng I compact 1.2 Một số bất đẳng thức • Bất đẳng thức Cauchy Cho a, b số thực dương ε > Khi ab ≤ εa2 + b2 4ε • Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz Cho u, v ∈ Rn Khi đó, ta có |uv| ≤ |u| |v| Trong không gian Hilbert (H), chuẩn phần tử u lấy kuk = p (u, u) Đối với u, v ∈ (H) ta có bất đẳng thức Cauchy- Schwarz |uv| ≤ kuk kvk • Bất đẳng thức Gronwall - Belmann Giả sử u φ hàm khả tích khơng âm đoạn [to , T ) , L = const > thoả mãn: u (t) ≤ φ (t) + L Z t t0 u (t) dt, ∀t ∈ [t0 , T ) Khi u (t) ≤ φ (t) + L Z t eL(t−s) φ (s) ds, ∀t ∈ [0, T ) t0 Hơn nữa, φ (t) có đạo hàm φ (t) khả tích [t0 , T ) Ta nhận thấy φ ≡ C ≡ const [t0 , T ) từ bất đẳng thức ta suy bất đẳng thức Grolwall- Belman thông thường, tức : u (t) ≤ CeL(t−t0 ) , ∀t ∈ [t0 , T ) Chương 2.1 THIẾT LẬP BÀI TỐN Thiết lập tốn Cho G miền bị chặn, với biên ∂ G đa tạp thuộc lớp C1 trừ điểm Định nghĩa mơ tả thức miền lùi Định nghĩa 2.1.1 Chúng ta gọi miền bị chặn G ⊂ Rn miền thuộc loại OPϕ nếu: 1) Tồn điểm O ∈ ∂ G cho∂ G \ O đa tạp (n − 1)-chiều thuộc lớp C1 2) Cho Ω ⊂ Rn−1 miền chặn thuộc lớp C1 ϕ ∈ C1 ([0, 1]) 0 hàm trơn cho ϕ(0) = ϕ (0) = ϕ (t) > với t ∈ (0, 1) Kí hiệu x = (x1 , , xn−1 ) Khi tồn lân cận U O cho   x U ∩ G = x = (x0 , xn ) ∈ Rn : < xn < 1, ∈Ω , ϕ(xn ) (2.1) với hệ tọa độ thích hợp gốc O Rn Ta gọi điểm O điểm lùi ngồi Kí hiệu L p,ξ (∂ G) khơng gian hàm đo xác định ∂ G cho Z | f (x)| p ξ (x)dSx ≡k f k pp,ξ ,∂ G < ∞ ∂G Ở ξ : ∂ G → R hàm đo không âm cố định, gọi hàm trọng Cho I1 toán tử nhúng H (G) vào L2 (G) I2 làm toán tử nhúng từ H (G) vào L2,ϕ (∂ G) Theo [?] không gian L2,ϕ (∂ G) chứa vết H (G) trên∂ G Sự tồn tại, tính bị chặn tính nén compact tốn tử I1 chứng minh [?] Sự tồn bị chặn I2 chứng minh Tính compact I2 chứng minh 10 Tiếp theo xét không gian vết không gian Sobolev H (G) biên miền OPϕ Để tiện theo dõi, nhắc lại sau A Mối quan hệ A˜B nghĩa bất đẳng thức C1 < < C2 với số < B C1 < C2 < ∞, phụ thuộc vào G Kí hiệu T H (G) không gian định chuẩn vết hàm số H (G) ∂ G với chuẩn sau n o k f kT H (G) = in f ||F| |H (G) : F ∈ H (G), F |∂ G = f (2.2)   |x−y| Cho E(x, y) = max {ϕ(xn ), ϕ(yn )} σ (x, y) = χ E(x,y) χ hàm đặc trưng [0, 1] Cho G ∈ OPϕ , theo ta có  1 Z Z | f (x) − f (y)|2 2 σ (x, y)dSx dSy k f kT H 1˜ k f k2,ϕ,∂ G +   | x − y|n (2.3) G×G Điều trường hợp đặc biệt f |∂ G ∈ L2,ϕ (∂ G) Chúng ta ký hiệu QT = G × (0, T ), ST = ∂ G × (0, T ) Xét tốn tử vi phân tuyến tính cấp hai n L(x,t; D) = − ∑ i, j=1 n Di (ai j (x,t)D j ) + ∑ bi (x,t)Di + c(x,t), i=1 Di = ∂xi , j , bi ,C hàm hệ số xác định QT Chúng ta giả sử toán tử L toán tử elliptic theo t ∈ [0, T ), có nghĩa là, tồn số C > cho n ∑ (ai j (x,t)ξiξ j ≥ C|ξ |2, ∀(x,t) ∈ QT (2.4) i, j=1 với ξ ∈ Rn Trong luận văn xét toán toán sau:    ut + L(x,t; D)u = f (x,t), (x,t) ∈ QT ,    ∂u + σ (x,t)u = µ(x,t), (x,t) ∈ ST ,  ∂ N    u|t=0 = G, (2.5) 11 n ∂u ∂u = ∑ j (x,t) cos(~n, xi ) ∂ N i, j=1 ∂ xi , ~n véctơ pháp tuyến đơn vị hướng điểm x ∈ ∂ G Chúng ta giả sử hàm số f aij = a ji , bi , c hàm QT σ , µ hàm xác định ST 2.2 Một số giả thiết Giả sử miền G thuộc lớp OPϕ Chúng ta giả sử hàm số f ∈ L2 (QT ) j = a ji , bi , c ∈ L∞ (QT ) Tiếp theo xây dựng giả thiết cho hàm σ , µ khác phụ thuộc vào hàm ϕ Các hàm σ , µ : ST → R thỏa mãn điều kiện sau đây: ess sup (x,t)∈ST | σ (x,t) | = Mσ < µ0 , µ ∈ L2, ϕ (ST ) ϕ(xn ) (2.6) Ở số Mσ phụ thuộc vào hàm ϕ mà mơ tả kiểu kì dị điểm µ O ∈ ∂ G Điều kiện cho µ tương đương với ∈ L2,ϕ (∂ G) ϕ Các giả định bổ sung cho σ , µ phụ thuộc vào điểm lân cận điểm kì dị O ∈ ∂ G Những giả thiết phải tương quan với mơ tả xác khơng gian vết H (G) biên ∂ G Lý cho giả thiết làm rõ trình chứng minh sau 2.3 Nghiệm yếu Ký hiệu B(u, v;t) = Z  n ∑ G i, j=1 n  (ai j (x,t)D j uDi v+ ∑ bi (x,t)Di uv+c(x,t)uv dx, u, v ∈ H (G) i=1 Trong luận văn giả sử B(., ;t) thỏa mãn bất đẳng thức sau đây: B(u, u;t) ≥ µ0 kuk2H (G) for all u ∈ H (G) and t ∈ [0, T ) (2.7) 12 Định nghĩa 2.3.1 Một hàm u ∈ H 1,∗ (QT ) gọi nghiệm yếu (suy rộng) Bài toán (2.5), u(x, 0) = đẳng thức hut , vi + B(u, v;t) = ( f , v)L2 (G) + (σ u − µ, v)L2 (∂ G) , a.e t ∈ [0, T ], (2.8) thỏa mãn với v ∈ H (G), (., )L2 (G) , (., )L2 (∂ G) tích vơ hướng L2 (G) L2 (∂ G) 13 Chương 3.1 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM Sự tồn nghiệm Trong mục chứng minh tồn nghiệm yếu toán (2.5) với giả thiết thiết lập mục trước Định lý 3.1.1 Giả sử điều kiện (2.5) thỏa mãn sup{|ai j |, |ai jt |, |bi |, |c| : i, j = 1, , n; (x,t) ∈ QT } ≤ µ, µ = const Khi tốn (2.5) có nghiệm yếu u không gian H 1,∗ (QT ) thỏa mãn kuk2H 1,∗ (QT )   2 ≤ C k f kL2 (QT ) + kµkL2,1/ϕ (ST ) , (3.1) C số độc lập với u, f µ 3.2 Tính trơn theo biến thời gian Để đơn giản mục ta giả thiết σ = σ (x) không phụ thuộc vào t, giả thiết hàm σ , µ : ST → R thỏa mãn điều kiện sau đây: | σ (x) | = Mσ < µ0 , µ, µt ∈ L2, ϕ (ST ) (x)∈∂ G ϕ(xn ) ess sup (3.2) Định lý 3.2.1 Giả sử điều kiện (3.2) thỏa mãn sup{|ai jt k |, , |bit k |, |ct k | : i, j = 1, , n; (x,t) ∈ QT } ≤ µ, µ = const, k = 0, Khi u khơng gian H 1,∗ (QT ) nghiệm yếu Bài tốn (2.5) Thì ut ∈ L2 (0, T ; H (G)) ∩ L2 (0, T ; L2 (G)) kuk2L (0,T ;H (G)) + kut k2L2 (0,T ;L2 (G)) + kut k2L (0,T ;H (G))   2 2 ≤ C k f kL2 (QT ) + k ft kL2 (QT ) + kµkL2,1/ϕ (ST ) + kµt kL2,1/ϕ (ST ) , (3.3) C số độc lập với u, f µ 14 Cố định N ≥ đạo hàm hai vế phương trình (??) theo t, nhận (u˜tN , wk )L2 (G) + B(u˜N , wk ;t) + Bt (uN , wk ;t) = ( ft , wk )L2 (G) + (σ u˜N − µt , wk )L2 (∂ G) ,t ∈ (0, T ), k = 1, , N, (3.4) u˜N := utN Nhân (3.4) với CktN lấy tổng theo k từ đến N: (u˜tN , u˜N )L2 (G) + B(u˜N , u˜N ;t) + Bt (uN , u˜N ;t) = ( ft , u˜N )L2 (G) + (σ u˜N − µt , u˜N )L2 (∂ G) ,t ∈ (0, T ) (3.5) Sử dụng đánh phần trước ta nhận từ đẳng thức đánh giá sau:  d  N ku˜ (.,t)kL2 (G) + 2(µ0 − Mσ − ε)ku˜N (.,t)k2H (G) dt   2 ≤ C k ft (.,t)kL2 (G) + kµt kL2,1/ϕ (∂ G) + ku˜N (.,t)k2L2 (G) +CkuN (.,t)k2H (G) , (3.6) với hầu khắp t ∈ [0, T ] Lấy tích phân hai vế theo t [0, τ], τ ≤ T, sử dụng (??) ta có ku˜ N (.,t)k2L2 (G) + 2(µ0 − Mσ − ε) Z τ ku˜N (.,t)k2H (G) dt  Zτ  2 ku˜N (.,t)k2L2 (G) dt, (3.7) ≤ C ∑ k ft k (.,t)kL2 (QT ) + kµt k kL2,1/ϕ (ST ) + k=0 Từ Bất đẳng thức Gronwall-Belmann ta nhận Z T ku˜ N (.,t)k2L2 (G) dt   2 ≤ C ∑ k ft k (.,t)kL2 (QT ) + kµt k kL2,1/ϕ (ST ) (3.8) k=0 Từ đánh giá kết hợp với (3.7) với cách chọn ε < µ0 − Mσ kéo theo ZT   ku˜N k2H (G) dt ≤ C ∑ k ft k (.,t)k2L2 (QT ) + kµt k k2L2,1/ϕ (ST ) k=0 (3.9) 15 Kết hợp (3.8) (3.9) đẫn đến ZT N ku˜ (.,t)k2L2 (G) + ku˜N k2H (G) dt   2 ≤ C ∑ k ft k (.,t)kL2 (QT ) + kµt k kL2,1/ϕ (ST ) k=0 (3.10) C số dương không phụ thuộc vào u, f N Qua giới hạn N → ∞ ta điều phải chứng minh Từ chứng minh định lý ta thất σ ≡ ta kết tương tự cho toán biên ban đầu thứu hai sau Hệ 3.2.2 Giả sử µ, µt ∈ L2,1/ϕ (ST ) sup{|ai jt k |, |bit k |, |ct k | : i, j = 1, , n; (x,t) ∈ QT } ≤ µ, µ = const, k = 0, Khi Bài tốn biên ban đầu thứ hai phương trình (??) có nghiệm yếu u không gian H 1,∗ (QT ) ut ∈ L2 (0, T ; H (G))∩L2 (0, T ; L2 (G)) thỏa mãn kuk2L (0,T ;H (G)) + kut k2L2 (0,T ;L2 (G)) + kut k2L (0,T ;H (G))   2 2 ≤ C k f kL2 (QT ) + k ft kL2 (QT ) + kµkL2,1/ϕ (ST ) + kµt kL2,1/ϕ (ST ) , (3.11) C số độc lập với u, f µ Để minh minh cho kết thu ta xét toán sau:    ut − ∆u + u    ∂u + σ (x, y)u  ∂ ν    u|t=0 = f (x, y,t), (x, y,t) ∈ QT , = µ(x, y,t), (x, y,t) ∈ ST , =0 (3.12) G, Ở ν vector pháp tuyến đơn vị hướng ST , miền bị chặn G ⊂ R2 miền thuộc loại OPϕ cho  B(0, 1) ∩ G = (x, y) ∈ R2 : < y < 1, |x| ≤ y2 Trong trường hợp B(u, u;t) = kuk2H (G) , ta chọn µ0 = giả thiết cho hàm σ , µ sau ess sup y−2 σ (x, y) = Mσ < 1, µ, µt ∈ L2,y−2 (ST ) (x,y)∈∂ G 16 Khi định lý cho toán (3.12) 17 KẾT LUẬN Đề tài luận văn đề cập tới toán qui hoạch phân tuyến tính, tốn đối ngẫu quan hệ đối ngẫu qui hoạch phân tuyến tính Đây chủ đề quan trọng lý thuyết tối ưu phi tuyến, nhiều người quan tâm nghiên cứu Luận văn trình bày nội dung sau: Kiến thức tập lồi, tập lồi đa diên; hàm lồi, hàm phân thức afin (tỉ số hai hàm tuyến tính afin) tính chất đặc trưng hàm Bài tốn qui hoạch tuyến tính lý thuyết đối ngẫu qui hoạch tuyến tính Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính, phép biến đổi Charnes – Cooper đưa tốn qui hoạch phân tuyến tính tốn qui hoạch tuyến tính Bài tốn đối ngẫu định lý đối ngẫu qui hoạch phân tuyến tính Mối liên hệ với đối ngẫu qui hoạch tuyến tính Trên hướng tiếp cận lý thuyết tới tốn qui hoạch phân tuyến tính Hướng tìm hiểu, nghiên cứu phương pháp giải tốn qui hoạch phân tuyến tính