Giải gần đúng một bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn với điều kiện biên gối tựa đơn giản

Tính cấp thiết của luận vănNhiều bài toán trong vật lý, cơ học và một số lĩnh vực khác thôngqua mơ hình hóa tốn học dẫn đến việc giải các bài toán biên đối vớiphương trình vi phân cùng v

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

TRẦN HUY HOÀNG

GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN GỐI - TỰA ĐƠN GIẢN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2022

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

TRẦN HUY HOÀNG

GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN

CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN GỐI - TỰA ĐƠN GIẢN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8 46 01 12

Người hướng dẫn khoa học:

TS Nguyễn Thanh Hường

THÁI NGUYÊN - 2022

- Tiến sĩ Nguyễn Thanh Hường.

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và gửi lời cảm ơn chân thành

và sâu sắc nhất đến Cô giáo - Tiến sĩ Nguyễn Thanh Hường, người trựctiếp hướng dẫn cho luận văn của tôi Cô đã dành cho tôi nhiều thời gian,tâm sức, cho tôi nhiều ý kiến, nhận xét quý báu, chỉnh sửa cho tôi nhữngchi tiết nhỏ trong luận văn, giúp luận văn của tôi được hoàn thiện hơn vềmặt nội dung và hình thức và luôn luôn quan tâm, động viên, nhắc nhởtrong suốt quá trình lựa chọn đề tài đến khi thực hiện và hoàn thiện.Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các Thầy, Cô giáo thuộc khoa Toán -Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảngdạy và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chânthành đến gia đình, bạn bè, các anh/chị cùng lớp cao học Toán K13A2,các em học sinh vì đã luôn động viên, quan tâm giúp đỡ tôi trong quátrình học tập và thực hiện luận văn và hoàn thành khóa học

Tôi xin chân thành cảm ơn!!

Danh mục các chữ viết tắt và các

ký hiệu

C[a, b] Không gian các hàm liên tục trên [a, b]

Ck[a, b] Không gian các hàm có đạo hàm cho đến cấp k liên tục

trên [a, b]

Mục lục

Lời cảm ơn i

Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu ii

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức bổ trợ 6

1.1 Không gian Banach 6

1.2 Định lý điểm bất động Banach và phương pháp lặp 8

1.3 Hàm Green 11

1.4 Nguyên lý cực đại 14

Chương 2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn với điều kiện biên gối - tựa đơn giản 16

2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm 16

2.2 Phương pháp lặp giải bài toán 22

2.3 Các ví dụ số 25

Kết luận chung 33

Tài liệu tham khảo 35

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của luận văn

Nhiều bài toán trong vật lý, cơ học và một số lĩnh vực khác thôngqua mô hình hóa toán học dẫn đến việc giải các bài toán biên đối vớiphương trình vi phân cùng với các điều kiện biên khác nhau Lớp các bàitoán biên cho phương trình vi phân luôn là chủ đề thu hút sự quan tâmnghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước như R.P Agarwal,

E Alves, P Amster, Z Bai, Y Li, T.F Ma, H Feng, F Minhós, ĐặngQuang Á, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Văn Đạo, Nguyễn Đông Anh, Lê XuânCận, Nguyễn Hữu Công, Lê Lương Tài, Xét chẳng hạn bài toán biêncho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn mô tả độ võng của dầm trênnền đàn hồi với hai đầu được gối-tựa đơn giản dạng

u(4)(x) = f (x, u(x), u00(x)), 0 < x < 1,u(0) = u(1) = u00(0) = u00(1) = 0,

(0.0.1)

quả nghiên cứu quan trong đối với bài toán trên Năm 1986, Aftabizadeh[3] đã thiết lập sự tồn tại nghiệm của bài toán này với giả thiết về sự giới

nghiệm được chứng minh nếu thêm các giả thiết liên quan đến đạo hàm

đơn điệu, khi biết trước nghiệm dưới và nghiệm trên đã xây dựng hai dãyhàm đơn điệu hội tụ tới các nghiệm cực trị của bài toán Ở đó các tác giả

bởi nghiệm dưới và nghiệm trên Sau đó, vào năm 2004, khi nghiên cứubài toán (0.0.1), Bai và cộng sự [4] độc lập với Ma cũng xây dựng hai dãy

định nghĩa phức tạp bởi các nghiệm dưới, nghiệm trên Ý tưởng này cũngđược sử dụng trong bài báo năm 2010 của Li [5] Bằng phương pháp lặpđơn điệu sử dụng nghiệm trên và nghiệm dưới, tác giả đã thiết lập được

sự tồn tại nghiệm của bài toán Cần nhấn mạnh rằng, trong phương phápđơn điệu, giả thiết tìm được nghiệm dưới và nghiệm trên luôn luôn cầnthiết nhưng việc tìm chúng không hề dễ dàng

Khác với các cách tiếp cận nêu trên, năm 2017, trong công trình [2],D.Q A và các cộng sự đã đề xuất một cách tiếp cận mới tới bài toán(0.0.1) Kết quả đạt được là thiết lập sự tồn tại duy nhất nghiệm và sựhội tụ của phương pháp lặp giải bài toán mà không cần đến các giả thiếtphức tạp như ở các công trình nghiên cứu trước đó Thay vì đặt điều kiện

giả chỉ xét hàm này trong một miền giới nội Cách tiếp cận hiệu quả nàynằm ở chỗ đưa bài toán đã cho về phương trình toán tử đối với hàm vế

số điều kiện dễ kiểm tra, toán tử này được chứng minh có tính chất co,điều đó bảo đảm bài toán gốc có nghiệm duy nhất sinh bởi điểm bất độngcủa toán tử và sự hội tụ của phương pháp lặp xây dựng nghiệm gần đúng.Thêm vào đó, các tác giả cũng chỉ ra rằng các ví dụ trong một số bài báo

của các tác giả trước đây [3, 4, 5, 6] (chỉ kết luận sự tồn tại của nghiệm)thỏa mãn các điều kiện đặt ra, do đó bài toán có nghiệm duy nhất Ngoài

ra việc thực hiện giải số bài toán ban đầu dẫn đến giải số liên tiếp hai bàitoán biên tuyến tính cấp hai trên mỗi bước lặp, điều này dẫn đến ý tưởngxây dựng các phương pháp số có độ chính xác cao giải bài toán

Với mục đích tìm hiểu sâu phương pháp nghiên cứu trong công trình[2] đối với bài toán (0.0.1) và lấy đó làm nền tảng để nghiên cứu đầy đủ

cả định tính lẫn định lượng của lớp các bài toán biên cho phương trình viphân thường và phương trình đạo hàm riêng cấp bốn với các loại điều kiệnbiên khác, chúng tôi lựa chọn đề tài: "Giải gần đúng một bài toán biên phituyến cho phương trình vi phân cấp bốn với điều kiện biên gối - tựa đơngiản"

2 Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu của luận văn

Trên cơ sở đọc hiểu tài liệu [2], đối với bài toán biên phi tuyến chophương trình vi phân cấp bốn với điều kiện biên gối - tựa đơn giản (0.0.1),luận văn:

- Nghiên cứu định tính (sự tồn tại duy nhất nghiệm, tính dương củanghiệm, tính đơn điệu của dãy xấp xỉ nghiệm) bằng cách sử dụng Định lýđiểm bất động Banach và Nguyên lý cực đại không cần đến điều kiện tăngtrưởng tại vô cùng, điều kiện Nagumo, của hàm vế phải;

- Nghiên cứu phương pháp lặp giải bài toán ở mức liên tục và chứngminh sự hội tụ của phương pháp lặp;

- Trình bày các ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết, trong đó

có những ví dụ thể hiện ưu thế của phương pháp được trình bày so vớiphương pháp của một số tác giả khác;

- Bổ sung thêm ví dụ chưa được đưa ra trong [2] ở trường hợp đã biết

trước nghiệm đúng để kiểm tra hiệu quả của các kết quả lý thuyết.

3 Phương pháp và nội dung nghiên cứu

+ Sử dụng cách tiếp cận đưa các bài toán ban đầu về phương trìnhtoán tử đối với hàm vế phải, cùng với các công cụ của toán giải tích, giảitích hàm, lý thuyết phương trình vi phân, nghiên cứu sự tồn tại duy nhấtnghiệm, tính dương của nghiệm, tính đơn điệu của dãy xấp xỉ nghiệm;+ Cũng trên cơ sở phương trình toán tử, nghiên cứu phương pháp lặptìm nghiệm của các bài toán và chứng minh sự hội tụ của phương pháplặp;

+ Trình bày các ví dụ trong cả hai trường hợp biết trước hoặc khôngbiết trước nghiệm đúng để minh họa tính đúng đắn của các kết quả lýthuyết và thực hiện tính toán trên máy tính điện tử để kiểm tra sự hội tụcủa phương pháp lặp tìm nghiệm

4 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chínhcủa luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 trình bày các kiến thức bổ trợ bao gồm một số không gianhàm; Định lý điểm bất động Banach; hàm Green đối với một số bài toán;Nguyên lý cực đại Các kiến thức cơ bản trong Chương 1 đóng vai trò rấtquan trọng, làm nền tảng cho các kết quả được trình bày trong Chương 2.Nội dung của Chương 1 được tham khảo từ các tài liệu [1, 7, 8, 9]

Trong Chương 2, trên cơ sở đọc hiểu tài liệu [2], đối với bài toán biêncho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn với điều kiện biên gối - tựađơn giản, bằng cách tiếp cận đưa bài toán đã cho về phương trình toán tửđối với hàm dựa trên vế phải, chứ không phải đối với ẩn hàm, luận văn

nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm, tính dương của nghiệm, nghiêncứu phương pháp lặp tìm nghiệm và chứng minh sự hội tụ của phươngpháp lặp, xét tính đơn điệu của dãy xấp xỉ nghiệm Một số ví dụ trong

cả hai trường hợp biết trước hoặc không biết trước nghiệm đúng đã minhhọa cho tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và hiệu quả của phươngpháp lặp tìm nghiệm Phải nhấn mạnh thêm rằng, ví dụ trong trường hợp

đã biết trước nghiệm đúng chưa được đưa ra trong công trình [2]

Trong luận văn, các kết quả lý thuyết đã được kiểm tra bằng các thựcnghiệm tính toán được lập trình trong môi trường MATLAB

Chương 1

Kiến thức bổ trợ

Chương này trình bày một số kết quả bổ trợ cho Chương 2 của luậnvăn Nội dung chính của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu[1, 7, 8, 9]

a) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y,

b) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X,

c) d(x, y)6 d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X

là không gian metric

lim

n→∞d(xn, x0) = 0

dãy {xn}

{xn} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy hay dãy cơ bản nếu

lim

n,m→∞d(xn, xm) = 0,

tức là,

với ∀ε > 0, ∃n0, ∀n, m ≥ n0 : d(xn, xm) < ε

Định nghĩa 1.5 (Xem [1])

a) k x k≥ 0, ∀x ∈ X; k x k= 0 ⇔ x = 0;

b) k λx k=| λ |k x k, ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K;

c) k x + y k≤ k x k + k y k, ∀x, y ∈ X

gọi là không gian tuyến tính định chuẩn

metric với khoảng cách

d(x, y) = k x − y k, ∀x, y ∈ X

−→ 0 khi n −→ ∞

Định nghĩa 1.6 (Xem [1]) Không gian Banach là một không gian tuyếntính định chuẩn đầy đủ

Một số ví dụ về không gian Banach:

1) R và C là những không gian Banach với chuẩn xác định bởi:

4) C1[a, b] là không gian Banach với chuẩn

k u kC1 [a,b]=k u kC[a,b] + k u0 kC[a,b]

lặp

Ba định lý điểm bất động sau đây là các định lý nền tảng cơ bản được

sử dụng phổ biến trong các bài toán ứng dụng

2 Định lý điểm bất động Brouwer cho các toán tử liên tục trong khônggian hữu hạn chiều

3 Định lý điểm bất động Schauder cho các toán tử hoàn toàn liên tục trênmột tập con lồi, khác rỗng và compact trong không gian Banach (vô hạnchiều) Đây là một tổng quát hóa của định lý điểm bất động Brouwer

Ngoài ra, một số định lý điểm bất động quan trọng khác được sử dụngnhiều trong nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân phituyến, chẳng hạn như định lý Leray-Schauder cho các toán tử compacttrên một tập con lồi, khác rỗng, bị chặn của không gian Banach.

Cùng với các định lý điểm bất động, lý thuyết bậc Brouwer (Brouwerdegree) và lý thuyết chỉ số điểm bất động (fixed point index) cũng lànhững công cụ quan trọng, được ứng dụng nhiều trong nghiên cứu sự tồntại điểm bất động của các ánh xạ liên tục cũng như sự tồn tại nghiệm củacác phương trình vi phân phi tuyến Trong số các định lý điểm bất động,Định lý điểm bất động Banach không những khẳng định sự tồn tại mà cònchỉ ra sự duy nhất của điểm bất động, đồng thời cho ta phương pháp lặptìm điểm bất động Dưới đây ta sẽ xét cụ thể định lý này

Xét phương trình phi tuyến

Trước tiên ta nhắc lại khái niệm toán tử co

Khi đó ta có các kết luận sau đây:

a) Sự tồn tại và duy nhất nghiệm: Phương trình (1.2.1) có duy nhất nghiệm

x tức là T có duy nhất một điểm bất động trên D.

(A) Sự tồn tại nghiệm;

(B) Sự duy nhất nghiệm;

(C) Sự ổn định của nghiệm dưới nhiễu nhỏ của phương trình;

(D) Sự hội tụ của phương pháp xấp xỉ;

(E) Đánh giá sai số tiên nghiệm;

(F) Đánh giá sai số hậu nghiệm;

(G) Đánh giá tốc độ hội tụ;

(H) Sự ổn định của phương pháp xấp xỉ

Định lý điểm bất động Banach có ứng dụng quan trọng trong giảiphương trình phi tuyến và trong chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương

định lý trong giải phương trình đại số tuyến tính, giải phương trình tích

phân tuyến tính, phương trình toán tử tuyến tính có thể tìm thấy chi tiếttrong [9].

Hàm Green có ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu các bài toán giá trịbiên Đặc biệt, hàm Green là công cụ quan trọng để chỉ ra sự tồn tại vàduy nhất nghiệm của các bài toán

Xét bài toán giá trị biên tuyến tính thuần nhất

0, 1, 2, , n − 1 là các số thực

L[G(x, t)] = 0, x ∈ (a, t); L[G(x, t)] = 0, x ∈ (t, b)

(ii) G(x, t) phải thỏa mãn các điều kiện biên trong (1.3.2), tức là

Mi(G(a, t), G(b, t)) = 0, i = 1, 2, , n

(iii) Tại x = t, G(x, t) và tất cả các đạo hàm riêng theo biến x tới cấp

Xét phương trình tuyến tính không thuần nhất

Định lý sau thể hiện mối quan hệ giữa tính duy nhất nghiệm của (1.3.3),(1.3.4) với bài toán thuần nhất tương ứng

Định lý 1.3 (Xem [7]) Nếu bài toán giá trị biên thuần nhất tương ứngvới (1.3.3), (1.3.4) chỉ có nghiệm tầm thường thì bài toán (1.3.3), (1.3.4)

có nghiệm duy nhất biểu diễn dưới dạng

Ví dụ dưới đây chỉ ra cách xác định hàm Green đối với bài toán giá trịbiên cụ thể.

của bài toán là

Thay các hệ số tìm được vào phương trình (1.3.7) ta được hàm Green

Do đó, nghiệm của bài toán (1.3.5) biểu diễn được dưới dạng

u(x) =

0

G(x, t)ϕ(t)dt

1.4 Nguyên lý cực đại

u0(c) = 0; u00(c) ≤ 0 (1.4.1)

L[u] ≡ u00 + g(x)u0 > 0, (1.4.2)

của Nguyên lý cực đại

hằng đạt cực đại tại mọi điểm Do đó khi nghiên cứu về phương trình vi

định lý sau

Định lý 1.4 (Xem [8]) (Nguyên lý cực đại)

L[u] ≡ u00 + g(x)u0 ≥ 0, a < x < b,

c ∈ (a, b) thì u ≡ M

hằng thỏa mãn bất đẳng thức L[u] ≤ 0 thì nó không thể đạt cực tiểu tại

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1Chương 1 đã trình bày một số kiến thức bổ trợ bao gồm: Không gianBanach, Định lý điểm bất động Banach, Hàm Green, Nguyên lý cực đại.Đây là những kiến thức cơ sở được sử dụng rất nhiều trong nghiên cứuđịnh tính cũng như phương pháp giải cho nhiều bài toán biên phi tuyếncho phương trình vi phân với các loại điều kiện biên khác nhau Các kếtquả bổ trợ này được sử dụng trong chương tiếp theo của luận văn khinghiên cứu một bài toán biên phi tuyến cấp bốn với điều kiện biên gối -tựa đơn giản

Chương 2

Sự tồn tại duy nhất nghiệm và

phương pháp lặp giải bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn với điều kiện biên gối - tựa đơn giản

Trong chương 2, dựa trên cơ sở đọc hiểu tài liệu [2], luận văn tậptrung trình bày một cách có hệ thống các kết quả về sự tồn tại duy nhấtnghiệm và phương pháp lặp giải gần đúng bài toán (0.0.1)

u(4)(x) = f (x, u(x), u00(x)), 0 < x < 1,u(0) = u(1) = u00(0) = u00(1) = 0,

Thêm vào đó, luận văn sẽ bổ sung thêm ví dụ trong trường hợp đã biếttrước nghiệm đúng để kiểm tra các kết quả lý thuyết của [2] đối với bàitoán (0.0.1)

toán tử

trong đó A là toán tử được xác định như sau

Mệnh đề 2.1 (Mối liên hệ giữa nghiệm của bài toán (0.0.1) với nghiệm

Khi đó bài toán (0.0.1) được đưa về hai bài toán cấp hai (2.1.3), (2.1.4)

xác định bởi (2.1.2)

kϕk/64 trên [0, 1].

(2.1.3) và (2.1.4) Hàm Green của bài toán này có dạng

Từ các biểu diễn trên và đánh giá (2.1.7) ta thu được đánh giá (2.1.6)

Để chứng minh khẳng định thứ hai của Bổ đề, ta sử dụng Nguyên lý

thì v(x) ≤ 0 và từ đó suy ra u(x) ≥ 0 trong [0, 1] Kết hợp điều này vớiđánh giá (2.1.6) ta có (ii) được chứng minh

và B[O, M ]là hình cầu đóng tâm O với bán kínhM trong không gian các

Định lý sau khẳng định tính duy nhất nghiệm của bài toán (0.0.1)

B[O, M ] vào chính nó Thật vậy, với mọi ϕ ∈ B[O, M ], theo Bổ đề 2.1 cócác đánh giá về nghiệm của các bài toán (2.1.3) và (2.1.4) như sau

kvk ≤ 1

8M, kuk ≤

1

B[O, M ] vào chính nó.

B[O, M ]ký hiệuv1, u1; v2, u2 tương ứng là nghiệm của các bài toán (2.1.3),

Khi đó, sử dụng điều kiện Lipschitz (2.1.10) và Bổ đề 2.1 ta được