Tính cấp thiết của luận vănNhiều bài toán trong vật lý, cơ học và một số lĩnh vực khác thôngqua mơ hình hóa tốn học dẫn đến việc giải các bài toán biên đối vớiphương trình vi phân cùng v
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - TRẦN HUY HOÀNG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN GỐI - TỰA ĐƠN GIẢN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2022 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - TRẦN HUY HOÀNG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN GỐI - TỰA ĐƠN GIẢN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thanh Hường THÁI NGUYÊN - 2022 LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian tiến hành triển khai nghiên cứu, tôi cũng đã hoàn thành nội dung luận văn tại Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Luận văn được hoàn thành không chỉ là công sức của bản thân mà còn có sự giúp đỡ, hỗ trợ tích cực, tận tình của Cô giáo - Tiến sĩ Nguyễn Thanh Hường Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến Cô giáo - Tiến sĩ Nguyễn Thanh Hường, người trực tiếp hướng dẫn cho luận văn của tôi Cô đã dành cho tôi nhiều thời gian, tâm sức, cho tôi nhiều ý kiến, nhận xét quý báu, chỉnh sửa cho tôi những chi tiết nhỏ trong luận văn, giúp luận văn của tôi được hoàn thiện hơn về mặt nội dung và hình thức và luôn luôn quan tâm, động viên, nhắc nhở trong suốt quá trình lựa chọn đề tài đến khi thực hiện và hoàn thiện Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các Thầy, Cô giáo thuộc khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè, các anh/chị cùng lớp cao học Toán K13A2, các em học sinh vì đã luôn động viên, quan tâm giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn và hoàn thành khóa học Tôi xin chân thành cảm ơn!! i Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu R Tập các số thực R+ Tập các số thực không âm RK Không gian Euclide K chiều C[a, b] Không gian các hàm liên tục trên [a, b] Ck[a, b] Không gian các hàm có đạo hàm cho đến cấp k liên tục trên [a, b] x Chuẩn của phần tử x x ωh Chuẩn trên lưới ωh của phần tử x ii Mục lục Lời cảm ơn i Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu ii Mở đầu 1 Chương 1 Kiến thức bổ trợ 6 1.1 Không gian Banach 6 1.2 Định lý điểm bất động Banach và phương pháp lặp 8 1.3 Hàm Green 11 1.4 Nguyên lý cực đại 14 Chương 2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn với điều kiện biên gối - tựa đơn giản 16 2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm 16 2.2 Phương pháp lặp giải bài toán 22 2.3 Các ví dụ số 25 Kết luận chung 33 Tài liệu tham khảo 35 iii MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết của luận văn Nhiều bài toán trong vật lý, cơ học và một số lĩnh vực khác thông qua mô hình hóa toán học dẫn đến việc giải các bài toán biên đối với phương trình vi phân cùng với các điều kiện biên khác nhau Lớp các bài toán biên cho phương trình vi phân luôn là chủ đề thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước như R.P Agarwal, E Alves, P Amster, Z Bai, Y Li, T.F Ma, H Feng, F Minhós, Đặng Quang Á, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Văn Đạo, Nguyễn Đông Anh, Lê Xuân Cận, Nguyễn Hữu Công, Lê Lương Tài, Xét chẳng hạn bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn mô tả độ võng của dầm trên nền đàn hồi với hai đầu được gối-tựa đơn giản dạng u(4)(x) = f (x, u(x), u (x)), 0 < x < 1, (0.0.1) u(0) = u(1) = u (0) = u (1) = 0, trong đó f : [0, 1] × R2 → R là hàm liên tục Ta sẽ điểm qua một số kết quả nghiên cứu quan trong đối với bài toán trên Năm 1986, Aftabizadeh [3] đã thiết lập sự tồn tại nghiệm của bài toán này với giả thiết về sự giới nội của hàm f (x, u, v) trong toàn miền [0, 1] × R2 Tính duy nhất của nghiệm được chứng minh nếu thêm các giả thiết liên quan đến đạo hàm riêng của f theo u và v Năm 1997, Ma và cộng sự [6] bằng phương pháp 1 đơn điệu, khi biết trước nghiệm dưới và nghiệm trên đã xây dựng hai dãy hàm đơn điệu hội tụ tới các nghiệm cực trị của bài toán Ở đó các tác giả thu được kết quả về sự tồn tại nghiệm với giả thiết hàm f (x, u, v) đơn điệu tăng theo biến u và đơn điệu giảm theo biến v trong dải được xác định bởi nghiệm dưới và nghiệm trên Sau đó, vào năm 2004, khi nghiên cứu bài toán (0.0.1), Bai và cộng sự [4] độc lập với Ma cũng xây dựng hai dãy hàm đơn điệu hội tụ tới các nghiệm cực trị của bài toán Giả thiết f thỏa mãn điều kiện Lipshitz một phía theo từng biến u và v trong miền được định nghĩa phức tạp bởi các nghiệm dưới, nghiệm trên Ý tưởng này cũng được sử dụng trong bài báo năm 2010 của Li [5] Bằng phương pháp lặp đơn điệu sử dụng nghiệm trên và nghiệm dưới, tác giả đã thiết lập được sự tồn tại nghiệm của bài toán Cần nhấn mạnh rằng, trong phương pháp đơn điệu, giả thiết tìm được nghiệm dưới và nghiệm trên luôn luôn cần thiết nhưng việc tìm chúng không hề dễ dàng Khác với các cách tiếp cận nêu trên, năm 2017, trong công trình [2], D.Q A và các cộng sự đã đề xuất một cách tiếp cận mới tới bài toán (0.0.1) Kết quả đạt được là thiết lập sự tồn tại duy nhất nghiệm và sự hội tụ của phương pháp lặp giải bài toán mà không cần đến các giả thiết phức tạp như ở các công trình nghiên cứu trước đó Thay vì đặt điều kiện đối với hàm f (x, u, v) trên toàn không gian cho tất cả các biến, các tác giả chỉ xét hàm này trong một miền giới nội Cách tiếp cận hiệu quả này nằm ở chỗ đưa bài toán đã cho về phương trình toán tử đối với hàm vế phải thay vì đối với ẩn hàm u(x) như các tác giả khác đã làm Với một số điều kiện dễ kiểm tra, toán tử này được chứng minh có tính chất co, điều đó bảo đảm bài toán gốc có nghiệm duy nhất sinh bởi điểm bất động của toán tử và sự hội tụ của phương pháp lặp xây dựng nghiệm gần đúng Thêm vào đó, các tác giả cũng chỉ ra rằng các ví dụ trong một số bài báo 2 của các tác giả trước đây [3, 4, 5, 6] (chỉ kết luận sự tồn tại của nghiệm) thỏa mãn các điều kiện đặt ra, do đó bài toán có nghiệm duy nhất Ngoài ra việc thực hiện giải số bài toán ban đầu dẫn đến giải số liên tiếp hai bài toán biên tuyến tính cấp hai trên mỗi bước lặp, điều này dẫn đến ý tưởng xây dựng các phương pháp số có độ chính xác cao giải bài toán Với mục đích tìm hiểu sâu phương pháp nghiên cứu trong công trình [2] đối với bài toán (0.0.1) và lấy đó làm nền tảng để nghiên cứu đầy đủ cả định tính lẫn định lượng của lớp các bài toán biên cho phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng cấp bốn với các loại điều kiện biên khác, chúng tôi lựa chọn đề tài: "Giải gần đúng một bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn với điều kiện biên gối - tựa đơn giản" 2 Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu của luận văn Trên cơ sở đọc hiểu tài liệu [2], đối với bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn với điều kiện biên gối - tựa đơn giản (0.0.1), luận văn: - Nghiên cứu định tính (sự tồn tại duy nhất nghiệm, tính dương của nghiệm, tính đơn điệu của dãy xấp xỉ nghiệm) bằng cách sử dụng Định lý điểm bất động Banach và Nguyên lý cực đại không cần đến điều kiện tăng trưởng tại vô cùng, điều kiện Nagumo, của hàm vế phải; - Nghiên cứu phương pháp lặp giải bài toán ở mức liên tục và chứng minh sự hội tụ của phương pháp lặp; - Trình bày các ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết, trong đó có những ví dụ thể hiện ưu thế của phương pháp được trình bày so với phương pháp của một số tác giả khác; - Bổ sung thêm ví dụ chưa được đưa ra trong [2] ở trường hợp đã biết 3 trước nghiệm đúng để kiểm tra hiệu quả của các kết quả lý thuyết 3 Phương pháp và nội dung nghiên cứu + Sử dụng cách tiếp cận đưa các bài toán ban đầu về phương trình toán tử đối với hàm vế phải, cùng với các công cụ của toán giải tích, giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân, nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm, tính dương của nghiệm, tính đơn điệu của dãy xấp xỉ nghiệm; + Cũng trên cơ sở phương trình toán tử, nghiên cứu phương pháp lặp tìm nghiệm của các bài toán và chứng minh sự hội tụ của phương pháp lặp; + Trình bày các ví dụ trong cả hai trường hợp biết trước hoặc không biết trước nghiệm đúng để minh họa tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và thực hiện tính toán trên máy tính điện tử để kiểm tra sự hội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm 4 Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn gồm 2 chương: Chương 1 trình bày các kiến thức bổ trợ bao gồm một số không gian hàm; Định lý điểm bất động Banach; hàm Green đối với một số bài toán; Nguyên lý cực đại Các kiến thức cơ bản trong Chương 1 đóng vai trò rất quan trọng, làm nền tảng cho các kết quả được trình bày trong Chương 2 Nội dung của Chương 1 được tham khảo từ các tài liệu [1, 7, 8, 9] Trong Chương 2, trên cơ sở đọc hiểu tài liệu [2], đối với bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn với điều kiện biên gối - tựa đơn giản, bằng cách tiếp cận đưa bài toán đã cho về phương trình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải, chứ không phải đối với ẩn hàm, luận văn 4 nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm, tính dương của nghiệm, nghiên cứu phương pháp lặp tìm nghiệm và chứng minh sự hội tụ của phương pháp lặp, xét tính đơn điệu của dãy xấp xỉ nghiệm Một số ví dụ trong cả hai trường hợp biết trước hoặc không biết trước nghiệm đúng đã minh họa cho tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và hiệu quả của phương pháp lặp tìm nghiệm Phải nhấn mạnh thêm rằng, ví dụ trong trường hợp đã biết trước nghiệm đúng chưa được đưa ra trong công trình [2] Trong luận văn, các kết quả lý thuyết đã được kiểm tra bằng các thực nghiệm tính toán được lập trình trong môi trường MATLAB 5