Mục tiêu của luận án nhằm Nghiên cứu định tính (sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, tính dương của nghiệm) bằng cách sử dụng các định lý điểm bất động và nguyên lý cực đại không cần đến điều kiện tăng trưởng tại vô cùng, điều kiện Nagumo, ... của hàm vế phải. Xây dựng các phương pháp lặp giải bài toán. Đưa ra các ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết, trong đó có những ví dụ thể hiện ưu thế của phương pháp đề xuất so với phương pháp của một số tác giả khác.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - NGUYỄN THANH HƯỜNG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TỐN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội – 2019 Cơng trình hồn thành tại: Học viện Khoa học vàCông nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học vàCông nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học 1: GS TS Đặng Quang Á Người hướng dẫn khoa học 2: TS Vũ Vinh Quang Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án Tiến sĩ, họp Học viện Khoa học vàCông nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học vàCông nghệ Việt Nam vào hồi … giờ, ngày … tháng … năm Cóthể tì m hiểu Luận án tại: - Thư viện Học viện Khoa học vàCông nghệ - Thư viện Quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU Tính cấp thiết Luận án Nhiều tượng Vật lý, Cơ học số lĩnh vực khác mơ hình hóa tốn biên cho phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng với loại điều kiện biên khác Việc nghiên cứu định tính phương pháp giải tốn ln chủ đề thu hút nhiều quan tâm nhà khoa học nước R.P Agawarl, E Alves, P Amster, Z Bai, Y Li, T.F Ma, H Feng, F Minhós, Y.M Wang, Đặng Quang Á, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Đông Anh, Nguyễn Hữu Công, Nguyễn Văn Đạo, Lê Lương Tài, Sự tồn nghiệm, tính nghiệm, tính dương nghiệm, phương pháp lặp tìm nghiệm số tốn biên cho phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng cấp bốn xét đến cơng trình tác giả Đặng Quang Á cộng (2006, 2010, 2016-2018) Tác giả Phạm Kỳ Anh (1982, 1986) có số cơng trình nghiên cứu tính giải được, cấu trúc tập nghiệm, phương pháp xấp xỉ nghiệm, tốn biên tuần hồn Sự tồn nghiệm, tồn nghiệm dương tốn dầm xét đến cơng trình T.F Ma (2000, 2003, 2004, 2007, 2010) Lý thuyết vấn đề giải số toán biên tổng quát đề cập đến tài liệu R.P Agarwal (1986), Uri M Ascher (1995), Herbert B Keller (1987), M Ronto (2000), Trong số toán biên, tốn biên cho phương trình vi phân thường phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến cấp bốn nhận quan tâm lớn nhà nghiên cứu chúng mơ hình tốn học nhiều tượng thực tiễn uốn cong dầm bản, Ta chia phương trình vi phân cấp bốn thành hai loại: Phương trình vi phân cấp bốn địa phương phương trình vi phân cấp bốn khơng địa phương Phương trình vi phân cấp bốn có chứa thành phần tích phân gọi phương trình vi phân cấp bốn khơng địa phương phương trình loại Kirchhoff Ngược lại, phương trình gọi phương trình vi phân cấp bốn địa phương Dưới đây, ta điểm qua số phương pháp tiêu biểu nghiên cứu toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn Phương pháp kể đến phương pháp biến phân - phương pháp phổ biến nghiên cứu tồn nghiệm toán biên phi tuyến Ý tưởng phương pháp đưa toán ban đầu tốn tìm cực trị phiếm hàm Các định lý điểm tới hạn sử dụng nghiên cứu tồn cực trị phiếm hàm Có nhiều cơng trình sử dụng phương pháp biến phân (xem T.F Ma (2000, 2003, 2004), R Pei (2010), F Wang Y An (2012), S Heidarkhani (2016), John R Graef (2016), S Dhar L Kong (2018), ) Tuy nhiên phải để ý rằng, sử dụng phương pháp biến phân, với giả thiết điều kiện tăng trưởng đặt lên hàm vế phải, tác giả phần lớn xét tồn nghiệm, tồn nhiều nghiệm tốn (có thể xét tồn nghiệm trường hợp phiếm hàm lồi) lại khơng có ví dụ nghiệm tồn tại, đồng thời phương pháp giải tốn khơng xét đến Phương pháp sử dụng rộng rãi phương pháp nghiệm nghiệm Kết phương pháp áp dụng cho toán biên phi tuyến sau: Nếu tốn có nghiệm nghiệm với số giả thiết, tốn có nghiệm nghiệm nằm khoảng nghiệm nghiệm Đồng thời ta xây dựng hai dãy đơn điệu với xấp xỉ đầu nghiệm nghiệm hội tụ tới nghiệm cực đại nghiệm cực tiểu toán Trong trường hợp hai nghiệm cực đại cực tiểu trùng tốn có nghiệm Dưới số cơng trình tiêu biểu sử dụng phương pháp nghiệm nghiệm nghiên cứu tốn biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn: J Ehme (2002), Z Bai (2004, 2007), Y.M Wang (2006, 2007), H Feng (2009), F Minhós (2009), Từ cơng trình ta thấy rằng, phương pháp nghiệm nghiệm thiết lập tồn nghiệm, tính nghiệm, xây dựng dãy lặp hội tụ tới nghiệm giả thiết thiếu tốn phải có nghiệm nghiệm dưới, tìm nghiệm khơng phải việc dễ dàng Ngồi ta cịn cần giả thiết khác đặt lên hàm vế phải điều kiện tăng trưởng vô điều kiện phức tạp điều kiện Nagumo Ngoài phương pháp biến phân, phương pháp nghiệm nghiệm dưới, nhà khoa học dùng phương pháp sử dụng định lý điểm bất động nghiên cứu toán biên phi tuyến Áp dụng phương pháp trên, người ta đưa tốn cho tốn tìm điểm bất động tốn tử, sau áp dụng định lý điểm bất động toán tử Ta liệt kê nhiều cơng trình sử dụng phương pháp (xem R.P Agarwal (1984), B Yang (2005), P Amster (2008), T.F Ma (2010), S Yardimci (2014), ) Chú ý rằng, cơng trình áp dụng phương pháp điểm bất động nghiên cứu toán biên phi tuyến, phần lớn tác giả sử dụng cách tiếp cận đưa tốn cho phương trình tốn tử hàm cần tìm Sử dụng định lý tồn điểm bất động Định lý điểm bất động Schauder, Leray-Schauder, Krassnosel’skii, toán tử ta thiết lập tồn nghiệm Sử dụng Định lý điểm bất động Bannach ta thiết lập tồn nghiệm tốn mà cịn đưa phương pháp lặp hội tụ cấp số nhân tìm nghiệm Tuy nhiên phải để ý rằng, việc lựa chọn toán tử xét toán tử không gian phù hợp cho giả thiết đặt lên hàm ràng buộc đơn giản mà đảm bảo điều kiện để áp dụng định lý điểm bất động nghiên cứu định tính phương pháp giải toán biên phi tuyến đóng vai trị vơ quan trọng Một phương pháp số phổ biến sử dụng rộng rãi xấp xỉ nghiệm toán biên cho phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp bốn phương pháp sai phân hữu hạn (xem T.F Ma (2003), R.K Mohanty (2000), J Talwar (2012), Y.M Wang (2007), ) Bằng cách thay đạo hàm công thức sai phân, toán cho rời rạc thành hệ phương trình đại số Giải hệ ta thu nghiệm xấp xỉ toán nút lưới Chú ý sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn nghiên cứu toán biên phi tuyến, nhiều cơng trình tiếp cận theo hướng cơng nhận tồn nghiệm tốn (khơng xét mặt định tính), rời rạc hóa tốn từ ban đầu Cách làm có nhược điểm khó đánh giá ổn định, hội tụ lược đồ sai phân khó đánh giá sai số nghiệm nghiệm xấp xỉ Khi nghiên cứu tốn biên phi tuyến, ngồi phương pháp phổ biến trình bày cịn kể đến số phương pháp khác phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp chuỗi Taylor, phương pháp chuỗi Fourier, phương pháp sử dụng lý thuyết bậc Brouwer, bậc Leray-Schauder, Có thể kết hợp phương pháp nêu để nghiên cứu đầy đủ mặt định tính lẫn định lượng tốn Với phát triển không ngừng khoa học, kỹ thuật, vật lý, học, xuất phát từ toán thực tế lĩnh vực này, toán biên đặt ngày nhiều phức tạp phương trình lẫn điều kiện biên Mỗi tác giả có phương pháp, cách tiếp cận, kỹ thuật khác với toán Mỗi phương pháp đề có ưu điểm hạn chế riêng khó khẳng định phương pháp thực tốt phương pháp từ lý thuyết thực nghiệm Tuy nhiên, hướng tới phương pháp nghiên cứu toàn diện mặt định tính lẫn định lượng tốn cho điều kiện đặt đơn giản dễ kiểm tra, đưa ví dụ minh họa cho tính ứng dụng kết lý thuyết, so sánh kết đạt so với kết có số tác giả khác mặt Đây mục đích lí chúng tơi lựa chọn đề tài Luận án "Giải gần số toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn" Mục tiêu phạm vi nghiên cứu Luận án Đối với số toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng cấp bốn mơ hình toán lý thuyết uốn dầm bản: - Nghiên cứu định tính (sự tồn nghiệm, tính nghiệm, tính dương nghiệm) cách sử dụng định lý điểm bất động nguyên lý cực đại không cần đến điều kiện tăng trưởng vô cùng, điều kiện Nagumo, hàm vế phải - Xây dựng phương pháp lặp giải toán - Đưa ví dụ minh họa cho kết lý thuyết, có ví dụ thể ưu phương pháp đề xuất so với phương pháp số tác giả khác Phương pháp nội dung nghiên cứu - Sử dụng cách tiếp cận đơn giản hiệu đưa tốn biên phi tuyến phương trình tốn tử hàm cần tìm hàm trung gian, sử dụng cơng cụ tốn giải tích, giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân, nghiên cứu tồn nghiệm, tính nghiệm số tính chất khác nghiệm số tốn biên cho phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng cấp bốn địa phương khơng địa phương - Đề xuất phương pháp lặp tìm nghiệm toán chứng minh hội tụ phương pháp - Đưa số ví dụ hai trường hợp biết trước nghiệm chưa biết trước nghiệm để minh họa cho tính đắn kết lý thuyết kiểm tra hội tụ phương pháp lặp tìm nghiệm Kết đạt Luận án Luận án đề xuất phương pháp đơn giản hiệu nghiên cứu tồn nghiệm phương pháp lặp giải năm toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn địa phương, không địa phương với loại điều kiện biên khác hai toán biên cho phương trình song điều hịa phương trình song điều hịa loại Kirchhoff nhờ sử dụng cách tiếp cận đưa tốn cho phương trình tốn tử hàm cần tìm hàm trung gian Các kết đạt là: - Thiết lập tồn nghiệm toán điều kiện dễ kiểm tra, tốn biên cho phương trình vi phân thường cấp bốn địa phương với điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên tổ hợp tốn biên cho phương trình song điều hịa, xét tính dương nghiệm - Đề xuất phương pháp lặp giải toán chứng minh hội tụ phương pháp với tốc độ hội tụ cấp số nhân - Đưa số ví dụ minh họa cho khả ứng dụng kết lý thuyết, có ví dụ thể ưu phương pháp Luận án so với phương pháp số tác giả khác - Đưa thử nghiệm số kiểm tra hội tụ phương pháp lặp tìm nghiệm Luận án viết sở báo [A1]-[A8] Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến Luận án Luận án bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Các kết Luận án báo cáo thảo luận tại: Hội thảo Tối ưu Tính tốn Khoa học lần thứ 11, Ba Vì, 24-27/4/2013 Hội nghị tồn quốc lần thứ IV Ứng dụng Toán học, Hà Nội, 23-25/12/2015 Hội thảo Tối ưu Tính tốn Khoa học lần thứ 14, Ba Vì, 21-23/4/2016 Hội nghị Tốn ứng dụng Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, 1213/11/2016 Hội nghị Nghiên cứu ứng dụng Công nghệ Thông tin (FAIR’ 10), Đà Nẵng, 17-18/8/2017 The second Vietnam International Applied Mathematics Conference (VIAMC 2017), Ho Chi Minh, December 15 to 18, 2017 Seminar khoa học Phịng Phương pháp Tốn học Công nghệ Thông tin, Viện Công nghệ Thông tin, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Chương Kiến thức bổ trợ Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị cần sử dụng chương Luận án Nội dung chương tham khảo từ tài liệu A.N Kolmogorov S.V Fomin (1957), E Zeidler (1986), A.A Sammarskii (1989, 2001), A Granas J Dugundji (2003), J Li (2005), Đặng Quang Á (2009), R.L Burden (2011) • Mục 1.1 trình bày số Định lý điểm bất động: Định lý điểm bất động Brouwer, Định lý điểm bất động Schauder, Định lý điểm bất động Banach • Mục 1.2 trình bày khái niệm hàm Green tốn biên cho phương trình vi phân tuyến tính cấp n số ví dụ cụ thể cách xác định hàm Green toán biên cho phương trình vi phân cấp hai cấp bốn với điều kiện biên khác • Mục 1.3 trình bày số cơng thức tính gần đạo hàm, tích phân với sai số cấp hai cấp bốn • Mục 1.4 trình bày cơng thức xấp xỉ phương trình Poisson với độ xác cấp bốn • Mục 1.5 trình bày phương pháp khử giải hệ phương trình vơ hướng ba điểm phương pháp rút gọn hồn tồn giải hệ phương trình véc tơ ba điểm Chương Sự tồn nghiệm phương pháp lặp giải tốn biên cho phương trình vi thường phi tuyến cấp bốn Chương nghiên cứu tồn nghiệm phương pháp lặp giải năm tốn biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn địa phương không địa phương với điều kiện biên khác nhau: điều kiện biên dạng gối - tựa đơn giản, điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên tổ hợp, điều kiện biên phi tuyến Ở đây, Luận án sử dụng phương pháp đưa tốn ban đầu phương trình tốn tử hàm cần tìm hàm trung gian, sau xét miền giới nội thích hợp với số điều kiện dễ kiểm tra, Luận án chứng minh tốn tử co Từ đó, tồn nghiệm toán thiết lập, đồng thời phương pháp lặp tìm nghiệm hội tụ Các kết chương trình bày báo [A2]-[A4], [A6]-[A8] Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến Luận án 2.1 Bài tốn biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn địa phương 2.1.1 Trường hợp điều kiện biên tổ hợp Luận án trình bày chi tiết kết cơng trình [A4] tốn u(4) (x) = f (x, u(x), u (x), u (x), u (x)), < x < 1, u(0) = 0, u (1) = 0, au (0) − bu (0) = 0, cu (1) + du (1) = 0, (2.1.1) a, b, c, d ≥ 0, ρ := ad + bc + ac > f : [0, 1] × R4 → R hàm liên tục 2.1.1.1 Sự tồn nghiệm Với hàm ϕ(x) ∈ C[0, 1], xét toán tử phi tuyến A : C[0, 1] → C[0, 1] xác định sau (Aϕ)(x) = f (x, u(x), u (x), u (x), u (x)), (2.1.2) u(x) nghiệm tốn u(4) (x) = ϕ(x), < x < 1, u(0) = 0, u (1) = 0, au (0) − bu (0) = 0, cu (1) + du (1) = (2.1.3) Mệnh đề 2.1 Hàm ϕ(x) điểm bất động toán tử A, tức ϕ(x) nghiệm phương trình tốn tử ϕ = Aϕ hàm u(x) xác định từ toán (2.1.3) nghiệm toán (2.1.1) Nếu ta đặt v(x) = u (x) tốn (2.1.3) đưa hai toán cấp hai v (x) = ϕ(x), < x < 1, av(0) − bv (0) = 0, cv(1) + dv (1) = 0, u (x) = v(x), < x < 1, u(0) = 0, u (1) = Khi tốn tử A xác định (2.1.2) biểu diễn dạng (Aϕ)(x) = f (x, u(x), y(x), v(x), z(x)), y(x) = u (x), z(x) = v (x) Với M > 0, ta định nghĩa miền DM = (x, u, y, v, z) | ≤ x ≤ 1, |u| ≤ ρ1 M, |y| ≤ ρ2 M, |v| ≤ ρ3 M, |z| ≤ ρ4 M , ρ1 = ρ3 = 2ad + bc + 6bd + , 24 12ρ a(d + c/2) ρ + ρ2 = b(d + c/2) , ρ ad + bc + 4bd + , 12 4ρ ρ4 = ac + max(ad, bc) ρ Kí hiệu B[O, M ] hình cầu đóng tâm O bán kính M khơng gian C[0, 1] Bổ đề 2.1 Giả sử tồn số M > 0, K1 , K2 , K3 , K4 ≥ cho |f (x, u, y, v, z)| ≤ M với (x, u, y, v, z) ∈ DM Khi tốn tử A ánh xạ B[O, M ] vào Ngồi ra, |f (x, u2 ,y2 , v2 , z2 ) − f (x, u1 , y1 , v1 , z1 )| ≤ K1 |u2 − u1 | + K2 |y2 − y1 | + K3 |v2 − v1 | + K4 |z2 − z1 | (2.1.4) với (t, ui , yi , vi , zi ) ∈ DM (i = 1, 2) q = K1 ρ1 + K2 ρ2 + K3 ρ3 + K4 ρ4 < (2.1.5) A tốn tử co B[O, M ] Định lý 2.1 Giả sử tất điều kiện Bổ đề 2.1 thỏa mãn Khi đó, tốn (2.1.1) có nghiệm u u ≤ ρ1 M, u ≤ ρ2 M, u ≤ ρ3 M, u ≤ ρ4 M u(x) nghiệm toán u(4) (x) = ϕ(x), a < x < b, u(a) = u(b) = 0, u (a) = u (b) = (2.1.8) Mệnh đề 2.2 Nếu hàm ϕ(x) điểm bất động toán tử A, tức là, ϕ(x) nghiệm phương trình tốn tử ϕ = Aϕ (2.1.9) hàm u(x) xác định từ tốn (2.1.8) nghiệm (2.1.6) Ngược lại, u(x) nghiệm tốn (2.1.6) hàm ϕ(x) = f (x, u(x), u (x), u (x), u (x)) điểm bất động toán tử A định nghĩa (2.1.7) (2.1.8) Như việc tìm nghiệm tốn (2.1.6) đưa việc tìm nghiệm phương trình toán tử (2.1.9) Với số M > 0, ta định nghĩa miền DM = (x, u, y, v, z) | a ≤ x ≤ b, |u| ≤ C4,0 (b − a)4 M, |y| ≤ C4,1 (b − a)3 M, |v| ≤ C4,2 (b − a)2 M, |z| ≤ C4,3 (b − a)M , √ C4,0 = 1/384, C4,1 = 1/72 3, C4,2 = 1/12, C4,3 = 1/2 Bằng cách sử dụng Định lý điểm bất động Schauder Định lý điểm bất động Banach toán tử A, Luận án thiết lập định lý tồn nghiệm, nghiệm toán (2.1.6) Định lý 2.4 Giả sử f hàm liên tục tồn số M > cho |f (x, u, y, v, z)| ≤ M với (x, u, y, v, z) ∈ DM Khi tốn (2.1.6) có nghiệm Định lý 2.5 Giả sử tất điều kiện Định lý 2.4 thỏa mãn Thêm vào đó, giả sử tồn số K0 , K1 , K2 , K3 ≥ cho |f (x, u2 , y2 , v2 , z2 ) − f (x, u1 , y1 , v1 , z1 )| ≤ K0 |u2 − u1 | + K1 |y2 − y1 | + K2 |v2 − v1 | + K3 |z2 − z1 |, (2.1.10) với (x, ui , yi , vi , zi ) ∈ DM (i = 1, 2) Ki C4,k (b − a)4−k < q= k=0 Khi tốn (2.1.6) có nghiệm u u ≤ C4,0 (b − a)4 M, u ≤ C4,1 (b − a)3 M, ≤ C4,2 (b − a)2 M, u ≤ C4,3 (b − a)M u 11 (2.1.11) Kí hiệu + DM = (x, u, y, v, z) | a ≤ x ≤ b, ≤ u ≤ C4,0 (b − a)4 M, |y| ≤ C4,1 (b − a)3 M, |v| ≤ C4,2 (b − a)2 M, |z| ≤ C4,3 (b − a)M + Định lý 2.6 (Tính dương nghiệm) Giả sử miền DM hàm f thỏa mãn ≤ f (t, x, y, u, z) ≤ M điều kiện (2.1.10), (2.1.11) Định lý 2.5 thỏa mãn Khi tốn (2.1.6) có nghiệm khơng âm 2.1.2.2 Phương pháp giải ví dụ số Phương pháp lặp giải toán (2.1.6) đề xuất sau: Phương pháp lặp 2.1.2 i) Cho xấp xỉ ban đầu ϕ0 (x), chẳng hạn, ϕ0 (x) = f (x, 0, 0, 0, 0) b ii) Biết ϕk (x), (k = 0, 1, 2, ) tính uk (x) = a G(x, t)ϕk (t)dt đạo hàm (m) uk (x) uk (x) Các đạo hàm tính qua tích phân b (m) uk (x) = a ∂ m G(x, t) ϕk (t)dt (m = 1, 2, 3) ∂xm iii) Cập nhật ϕk+1 (x) = f (x, uk (x), uk (x), uk (x), uk (x)) k q ϕ1 − ϕ0 Ta có kết sau: Đặt pk = 1−q Định lý 2.7 Dưới giả thiết Định lý 2.5, phương pháp lặp 2.1.2 hội tụ với tốc độ hội tụ cấp số nhân với u nghiệm xác tốn (2.1.6) ta có đánh giá uk − u ≤ C4,0 (b − a)4 pk , uk − u ≤ C4,1 (b − a)3 pk , ≤ C4,2 (b − a)2 pk , uk − u ≤ C4,3 (b − a)pk , uk − u Chú ý 2.1 Xét toán u(4) (x) = f (x, u(x), u (x), u (x), u (x)), u(a) = A1 , u(b) = B1 , u (a) = A2 , a < x < b, u (b) = B2 (2.1.12) Đặt v(x) = u(x) − P (x), P (x) đa thức bậc ba thỏa mãn điều kiện biên toán kí hiệu F (x, v(x), v (x), v (x), v (x)) = f (x, v(x) + P (x), (v(x) + P (x)) , (v(x) + P (x)) , (v(x) + P (x)) ) Khi tốn (2.1.12) trở thành v (4) (x) = F (x, v(x), v (x), v (x), v (x)), v(a) = v(b) = 0, v (a) = v (b) = a < x < b, Do ta áp dụng kết trình bày phần tốn 12 Định lý 2.8 Giả sử hàm f liên tục tồn số M > cho với (x, v0 , v1 , v2 , v3 ) ∈ DM ta có |f (x, v0 , v1 , v2 , v3 )| ≤ M , DM = (x, v0 , v1 , v2 , v3 ) | a ≤ x ≤ b, |vi | ≤ max |P (i) (x)| x∈[a,b] + C4,i (b − a)4−i M, i = 0, 1, 2, Khi tốn (2.1.12) có nghiệm Luận án đưa nhiều ví dụ số minh họa cho kết lý thuyết, đó, số ví dụ phân tích rõ cho thấy ưu phương pháp Luận án đề xuất so với phương pháp R.P Agarwal (1984): phương pháp Luận án kết luận tốn có nghiệm có nghiệm dương đó, phương pháp R.P Agarwal (1984) kết luận tồn nghiệm khơng thể kết luận tồn nghiệm toán 2.1.3 Trường hợp điều kiện biên phi tuyến Luận án trình bày chi tiết kết báo [A7] toán u(4) (x) = f (x, u, u ), u(0) = 0, u(L) = 0, < x < L, u (0) = g(u (0)), u (L) = h(u (L)) (2.1.13) Đặt u = v, u = w Khi tốn (2.1.13) đưa hai toán cấp hai w u x w (x) = f x, v(t)dt, v(x) , < x < L, u (x) = w(x), < x < L, u(0) = 0, u(L) = w(0) = g(v(0)), w(L) = h(v(L)), Từ hai toán ta thấy nghiệm u(x) phụ thuộc vào hàm v Do đó, đạo hàm u phụ thuộc vào v Như ta biểu diễn phụ thuộc toán tử T : C[0, L] → C[0, L] xác định T v = u Kết hợp với điều kiện u = v ta thu phương trình tốn tử v = T v, tức v điểm bất động toán tử T Để xét tính chất tốn tử T ta đưa vào không gian L S = v ∈ C[0, L], v(t)dt = Xét giả thiết đặt lên hàm ràng buộc toán (2.1.13) sau: giả sử tồn số λf , λg , λh ≥ cho với u, u, v, v ta có |f (x, u, v) − f (x, u, v)| ≤ λf max |u − u|, |v − v|, |g(u) − g(u)| ≤ λg |u − u|, |h(u) − h(u)| ≤ λh |u − u| 13 (2.1.14) Áp dụng Định lý điểm bất động Banach toán tử T Luận án thiết lập tồn nghiệm toán cho Mệnh đề 2.3 Với giả thiết (2.1.14), toán (2.1.13) có nghiệm q= L3 L L λf max , + (λg + λh ) < 16 2 (2.1.15) Phương pháp lặp giải toán (2.1.13) đề xuất sau: Phương pháp lặp 2.1.3 (i) Cho xấp xỉ đầu v0 (x), chẳng hạn v0 (x) = (ii) Biết vk (x) (k = 0, 1, 2, ) giải liên tiếp hai toán w (x) = f x, x v (t)dt, v (x) , < x < L, uk (x) = wk (x), < x < L, k k k wk (0) = g(vk (0)), wk (L) = h(vk (L)), uk (0) = uk (L) = vk+1 (x) = uk (x) (iii) Cập nhật Định lý 2.9 Với giả thiết (2.1.14), (2.1.15), Phương pháp lặp 2.1.3 hội tụ với u nghiệm xác tốn (2.1.13) ta có đánh giá uk − u ≤ qk v1 − v0 , 1−q uk − u ≤ L u −u k Luận án đưa số ví dụ trường hợp nghiệm xác toán biết chưa biết để minh họa cho kết lý thuyết 2.2 2.2.1 Bài tốn biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không địa phương Trường hợp điều kiện biên dạng gối - tựa đơn giản Luận án trình bày chi tiết kết cơng trình [A2] toán L (4) |u (s)|2 ds u (x) u (x) − M = f (x, u(x), u (x), u (x), u (x)), < x < L, u(0) = u(L) = 0, u (0) = u (L) = 2.2.1.1 (2.2.1) Sự tồn nghiệm Với hàm ϕ(x) ∈ C[0, L], xét toán tử phi tuyến A : C[0, L] → C[0, L] xác định sau (Aϕ)(x) = M ( u 2 )u (x) + f (x, u(x), u (x), u (x), u (x)), 14 (2.2.2) chuẩn L2 [0, L], u(x) nghiệm toán u(4) (x) = ϕ(x), < x < L, u(0) = u(L) = 0, u (0) = u (L) = (2.2.3) Mệnh đề 2.4 Hàm ϕ(x) điểm bất động toán tử A, tức ϕ(x) nghiệm phương trình tốn tử ϕ = Aϕ hàm u(x) xác định từ toán (2.2.3) nghiệm toán (2.2.1) Đặt v(x) = u (x) tốn (2.2.3) đưa hai toán cấp hai v (x) = ϕ(x), < x < L, v(0) = v(L) = 0, u (x) = v(x), < x < L, u(0) = u(L) = Lúc toán tử A xác định (2.2.2) biểu diễn dạng (Aϕ)(x) := M ( y 22 )v(x) + f (x, u(x), y(x), v(x), z(x)), y(x) = u (x), z(x) = v (x) Với số dương R, ta xét miền 5L4 R L3 R L2 R LR DR := (x, u, y, v, z) | ≤ x ≤ L, |u| ≤ , |y| ≤ , |v| ≤ , |z| ≤ 384 24 Kí hiệu B[O, R] hình cầu đóng tâm O bán kính R khơng gian C[0, L] Bổ đề 2.2 Giả sử tồn số R > 0, ≤ m ≤ , λM , K1 , K2 , K3 , K4 ≥ L cho mL2 , |M (s)| ≤ m, |f (x, u, y, v, z)| ≤ R − R L7 Khi đó, tốn tử A ánh xạ B[O, R] với (x, u, y, v, z) ∈ DR ≤ s ≤ 576 vào Ngồi ra, |M (s2 ) − M (s1 )| ≤ λM |s2 − s1 |, |f (x, u2 , y2 , v2 , z2 ) − f (x, u1 , y1 , v1 , z1 )| ≤ K1 |u2 − u1 | + K2 |y2 − y1 | + K3 |v2 − v1 | + K4 |z2 − z1 |, R L7 (i = 1, 2) với (x, ui , yi , vi , zi ) ∈ DR , ≤ si ≤ 576 5L4 L3 L2 L mL2 λM R2 L9 q = K1 + K2 + K3 + K4 + + cho |f (t, u)| ≤ A, |g(u)| ≤ B, |M (s)| ≤ m, Khi đó, L2 A + LB ∀(t, u) ∈ [0, L] × [−L2 R, L2 R], ∀u ∈ [−L2 R, L2 R], ∀s ∈ [0, L3 R ] ≤ R(1 − mL2 ) tốn (2.2.4) có nghiệm Định lý 2.13 Giả sử tất giả thiết Định lý 2.12 thỏa mãn Ngoài giả thiết tồn số λf , λg , λM > cho ∀(x, u), (x, v) ∈ [0, L] × [−L2 R, L2 R], ∀u, v ∈ [−L2 R, L2 R], |f (x, u) − f (x, v)| ≤ λf |u − v|, |g(u) − g(v)| ≤ λg |u − v|, ∀u, v ∈ [0, L3 R ] |M (u) − M (v)| ≤ λM |u − v|, Khi đó, q = 4L5 R λM + nghiệm 2.2.2.2 L4 λf + L3 λg + 2mL2 < tốn (2.2.4) có Phương pháp lặp ví dụ số Phương pháp lặp giải tốn (2.2.4) đề xuất sau: Phương pháp lặp 2.2.2 i) Cho xấp xỉ đầu u0 (x), chẳng hạn, u0 (x) = 0, [0, L] ii) Biết uk (x) (k = 0, 1, 2, ) giải liên tiếp hai toán vk (x) = f (x, uk (x)), vk (L) = −M uk 2 < x < L, uk (L), uk+1 (x) = vk (x) + M uk uk+1 (0) = uk+1 (0) = 17 2 vk (L) = g(uk (L)), uk (x), < x < L, Định lý 2.14 Với giả thiết Định lý 2.13, Phương pháp lặp 2.2.2 hội tụ ta có đánh giá uk − u ∞ ≤ L uk − u ∞ ≤ L uk − u ∞ qk ≤L u − u0 1−q ∞, u nghiệm toán ban đầu (2.2.4) Luận án đưa ví dụ minh họa cho kết lý thuyết, số ví dụ phân tích thể ưu Phương pháp lặp 2.2.2 so với phương pháp T.F Ma (2003): phương pháp Luận án khẳng định tồn nghiệm toán, đó, theo phương pháp T.F Ma (2003) ta suy tồn nghiệm khơng kết luận tồn nghiệm KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương này, Luận án nghiên cứu tồn nghiệm phương pháp lặp giải năm tốn biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn địa phương không địa phương với điều kiện biên khác nhau: điều kiện biên dạng gối - tựa đơn giản, điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên tổ hợp, điều kiện biên phi tuyến Ở đây, Luận án sử dụng phương pháp đưa tốn ban đầu phương trình tốn tử hàm cần tìm hàm trung gian, sau xét miền giới nội thích hợp với số điều kiện dễ kiểm tra, Luận án chứng minh tốn tử co Từ đó, tồn nghiệm tốn thiết lập, đồng thời phương pháp lặp tìm nghiệm hội tụ Để minh họa cho kết lý thuyết, Luận án đưa ví dụ hai trường hợp biết trước nghiệm chưa biết trước nghiệm Đặc biệt hơn, ví dụ có ví dụ phân tích cụ thể cho thấy ưu phương pháp Luận án đề xuất so với phương pháp số tác giả khác 18 Chương Sự tồn nghiệm phương pháp lặp giải toán biên phi tuyến cho phương trình đạo hàm riêng cấp bốn Trong chương này, Luận án tiếp tục phát triển kỹ thuật sử dụng Chương nghiên cứu tồn nghiệm phương pháp giải hai tốn biên phi tuyến cho phương trình song điều hịa phương trình song điều hịa loại Kirchhoff Các kết chương trình bày cơng trình [A1], [A4] Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến Luận án 3.1 Bài tốn biên phi tuyến cho phương trình song điều hịa Luận án trình bày chi tiết kết cơng trình [A5] tốn ∆2 u = f (x, u, ∆u), x ∈ Ω, u = 0, ∆u = 0, x ∈ Γ, (3.1.1) Ω miền bị chặn, liên thông R2 với biên trơn (hoặc trơn mảnh) Γ 3.1.1 Sự tồn nghiệm Với hàm ϕ(x) ∈ C(Ω), xét toán tử phi tuyến A : C(Ω) → C(Ω) xác định sau (Aϕ)(x) = f (x, u(x), ∆u(x)), (3.1.2) u(x) nghiệm tốn ∆2 u = ϕ(x), x ∈ Ω, u = ∆u = 0, x ∈ Γ (3.1.3) Mệnh đề 3.1 Hàm ϕ(x) nghiệm phương trình tốn tử Aϕ = ϕ, tức là, ϕ(x) điểm bất động toán tử A xác định (3.1.2)-(3.1.3) hàm u(x) nghiệm (3.1.3) thỏa mãn toán (3.1.1) 19 Bổ đề 3.1 Giả sử Ω miền bị chặn, liên thông RK (K ≥ 2) với biên trơn (hoặc trơn mảnh) Γ Khi đó, nghiệm toán −∆u = f (x), x ∈ Ω, u = 0, x ∈ Γ R ta có đánh giá u ≤ CΩ f , u = maxx∈Ω¯ |u(x)|, CΩ = R bán kính hình trịn chứa miền Ω Trong trường hợp đặc biệt, Ω hình vng đơn vị u ≤ f Với số dương M ta kí hiệu DM = {(x, u, v)| x ∈ Ω, |u| ≤ CΩ2 M, |v| ≤ CΩ M } Định lý 3.1 Giả sử tồn số M, K1 , K2 ≥ cho |f (x, u, v)| ≤ M, ∀(x, u, v) ∈ DM , |f (x, u2 , v2 ) − f (x, u1 , v1 )| ≤ K1 |u2 − u1 | + K2 |v2 − v1 |, ∀(x, ui , vi ) ∈ DM , i = 1, q := (K2 + CΩ K1 )CΩ < ¯ thỏa mãn u ≤ C M Khi tốn (3.1.1) có nghiệm u(x) ∈ C(Ω) Ω Kí hiệu + = {(x, u, v)| x ∈ Ω, ≤ u ≤ CΩ2 M, −CΩ M ≤ v ≤ 0} DM Định lý 3.2 (Tính dương nghiệm) Giả sử tồn số M, K1 , K2 ≥ cho + ≤ f (x, u, v) ≤ M, ∀(x, u, v) ∈ DM + , i = 1, 2, |f (x, u2 , v2 ) − f (x, u1 , v1 )| ≤ K1 |u2 − u1 | + K2 |v2 − v1 |, ∀(x, ui , vi ) ∈ DM q := (K2 + CΩ K1 )CΩ < ¯ thỏa mãn đánh Khi tốn (3.1.1) có nghiệm khơng âm u(x) ∈ C(Ω) giá ≤ u(x) ≤ CΩ2 M 3.1.2 Phương pháp giải ví dụ số Xét phương pháp lặp tìm điểm bất động ϕ tốn tử A, tức phương pháp lặp tìm nghiệm u toán (3.1.1) sau: Phương pháp lặp 3.1.1 Cho xấp xỉ đầu ϕ0 ∈ B[O, M ], chẳng hạn, ϕ0 (x) = f (x, 0, 0), x ∈ Ω 20 (3.1.4) Biết ϕk Ω (k = 0, 1, ) giải liên tiếp hai toán ∆vk = ϕk , vk = 0, x ∈ Ω, x ∈ Γ, ∆uk = vk , uk = 0, x ∈ Ω, x ∈ Γ (3.1.5) Cập nhật ϕk+1 = f (x, uk , vk ) (3.1.6) Định lý 3.3 Giả sử điều kiện Định lý 3.1 (hoặc Định lý 3.2) thỏa mãn Khi Phương pháp lặp 3.1.1 hội tụ ta có đánh giá qk ||uk − u|| ≤ CΩ ϕ1 − ϕ0 , (1 − q) u nghiệm toán (3.1.1) Định lý 3.4 (Tính đơn điệu) Giả sử tất điều kiện Định lý 3.1 (hoặc Định lý 3.2) thỏa mãn Thêm vào đó, giả thiết hàm f (x, u, v) tăng (1) (2) theo u giảm theo v với (x, u, v) ∈ DM Khi đó, ϕ0 , ϕ0 ∈ B[O, M ] (1) (2) (1) (2) xấp xỉ ban đầu ϕ0 (x) ≤ ϕ0 (x) với x ∈ Ω hai dãy {uk }, {uk } xác định từ trình lặp (3.1.4)-(3.1.6) thỏa mãn đánh giá (1) (2) uk (x) ≤ uk (x), Hệ 3.1 Kí hiệu ϕmin = (x,u,v)∈DM k = 0, 1, ; x ∈ Ω f (x, u, v), ϕmax = max f (x, u, v) Khi (x,u,v)∈DM đó, với giả thiết Định lý 3.4, xuất phát từ xấp xỉ đầu ϕ0 = ϕmin ta thu dãy tăng {uk (x)}, ngược lại, xuất phát từ xấp xỉ đầu ϕ0 = ϕmax ta thu dãy giảm {uk (x)}, hai dãy hội tụ tới nghiệm xác u(x) toán ban đầu uk (x) ≤ u(x) ≤ uk (x) Để thử nghiệm số cho phương pháp lặp đề xuất, Luận án sử dụng lược đồ sai phân với độ xác cấp hai cấp bốn giải toán biên cấp hai (3.1.5) lần lặp Các ví dụ số phân tích cho thấy ưu phương pháp Luận án đề xuất so với phương pháp Y.M Wang (2007), Y An, R Liu (2008), S Hu, L Wang (2014) tốc độ hội tụ kết luận tồn nghiệm 3.2 Bài toán biên phi tuyến cho phương trình song điều hịa loại Kirchhoff Luận án trình bày chi tiết kết cơng trình [A1] tốn ∆2 u = M |∇u|2 dx ∆u + f (x, u), Ω u = 0, ∆u = 0, x ∈ Ω, (3.2.1) x ∈ Γ, Ω miền bị chặn, liên thông RK (K ≥ 2) với biên trơn (hoặc trơn mảnh) Γ 21 3.2.1 Sự tồn nghiệm Với hàm ϕ(x) ∈ C(Ω), xét toán tử phi tuyến A : C(Ω) → C(Ω) xác định sau (Aϕ)(x) = M |∇u|2 dx ∆u + f (x, u), (3.2.2) Ω u(x) nghiệm toán ∆2 u = ϕ(x), x ∈ Ω, u = ∆u = 0, x ∈ Γ (3.2.3) Mệnh đề 3.2 Hàm ϕ(x) điểm bất động toán tử A, tức là, ϕ(x) nghiệm phương trình tốn tử Aϕ = ϕ, hàm u(x) xác định từ toán (3.2.3) thỏa mãn toán (3.2.1) Với số R > hệ số CΩ xác định Bổ đề 3.1 ta định nghĩa miền DR = (x, u) | x ∈ Ω; |u| ≤ CΩ2 R Định lý 3.5 Giả sử tồn số R, λf , m, λM > 0, m ≤ 1/CΩ cho |M (s)| ≤ m, |M (s1 ) − M (s2 )| ≤ λM |s1 − s2 |, |f (x, u)| ≤ R(1 − mCΩ ), |f (x, u1 ) − f (x, u2 )| ≤ λf |u1 − u2 |, với (x, u), (x, ui ) ∈ DR (i = 1, 2); ≤ s, s1 , s2 ≤ CΩ3 R2 SΩ , q = λf CΩ2 + mCΩ + 2λM R2 CΩ4 SΩ < 1, SΩ độ đo miền Ω Khi tốn (3.2.1) có nghiệm u(x) ∈ C(Ω) thỏa mãn đánh giá u ≤ CΩ2 R, ∆u ≤ CΩ R Nhận xét 3.1 Từ Định lý 3.5 ta thấy rằng, tồn nghiệm toán (3.2.1) đảm bảo hàm f (x, u) hàm M (s) thỏa mãn số điều kiện miền bị chặn Do khắc phục điều kiện tăng trưởng vô hàm f - điều kiện cần cơng trình F Wang, Y An (2012) M hàm số cơng trình khác M = const Đây lợi phương pháp đề xuất cơng trình [A1] so với cơng trình khác Ngồi ra, điều kiện Định lý 3.5 đơn giản dễ kiểm tra, điều thể rõ ví dụ số đưa Luận án Nhận xét 3.2 Trong Định lý 3.5, M (s) = m = const λM = q = λf CΩ2 + mCΩ < Vì vậy, giả thiết định lý tính bị chặn điều kiện Lipschitz hàm f (x, u) miền DR Các điều kiện không phức tạp điều kiện Y An, R Liu (2008), R Pei (2010), S Hu, L Wang (2014) Nhận xét 3.3 Trong trường hợp hàm vế phải f = f (u), điều kiện hàm f Định lý 3.5 trở thành điều kiện bị chặn điều kiện Lipschitz hàm f (u) miền DR = u; |u| ≤ CΩ2 R 22 3.2.2 Phương pháp giải ví dụ số Phương pháp lặp giải tốn (3.1.1) đề xuất sau: Phương pháp lặp 3.2.1 i) Cho xấp xỉ đầu ϕ0 ∈ B[O, R], chẳng hạn, ϕ0 (x) = f (x, 0), x ∈ Ω ii) Biết ϕk (k = 0, 1, 2, ) giải liên tiếp hai toán cấp hai iii) Cập nhật ∆vk = ϕk , vk = 0, x ∈ Ω, x ∈ Γ, ϕk+1 (x) = M ∆uk = vk , uk = 0, Ω |∇uk | dx x ∈ Ω, x ∈ Γ (3.2.4) vk + f (x, uk ) Định lý 3.6 Với giả thiết Định lý 3.5, Phương pháp lặp 3.2.1 hội tụ ta có đánh giá C qk ϕ1 − ϕ0 , uk − u ≤ Ω 1−q u nghiệm toán (3.2.1) Để thử nghiệm số cho phương pháp lặp đề xuất, Luận án sử dụng lược đồ sai phân với độ xác cấp bốn giải tốn (3.2.4), cơng thức tính gần đạo hàm cấp với độ xác cấp bốn để xấp xỉ ∇u sử dụng cơng thức Simpson để tính gần tích phân hai lớp Để kiểm tra hội tụ phương pháp lặp đề xuất, ví dụ đưa hai trường hợp biết trước nghiệm chưa biết trước nghiệm toán (3.2.1) miền hình vng đơn vị Một số ví dụ phân tích cho thấy ưu phương pháp Luận án đề xuất so với phương pháp F Wang, Y An (2012) kết luận tồn nghiệm toán KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương 3, Luận án nghiên cứu tồn nghiệm phương pháp lặp giải hai tốn biên phi tuyến cho phương trình song điều hịa phương trình song điều hịa loại Kirchhoff Các kết đạt sau: - Đối với hai toán, với số điều kiện đơn giản, dễ kiểm tra, Luận án chứng minh tồn nghiệm Đặc biệt, tốn biên cho phương trình song điều hịa, Luận án cịn xét tính dương nghiệm - Đề xuất phương pháp lặp tìm nghiệm hai tốn, chứng minh hội tụ phương pháp lặp với tốc độ cấp số nhân Đặc biệt, tốn biên cho phương trình song điều hịa, Luận án cịn tính đơn điệu dãy nghiệm xấp xỉ - Xây dựng ví dụ số minh họa cho kết lý thuyết thể hội tụ phương pháp lặp tìm nghiệm, có số ví dụ mà tồn tính nghiệm nghiệm khơng bảo đảm phương pháp 23 số tác giả khác điều kiện định lý họ khơng thỏa mãn, đó, theo kết Luận án, nghiệm toán tồn KẾT LUẬN CHUNG Với cách tiếp cận đơn giản hiệu đưa tốn ban đầu phương trình tốn tử hàm cần tìm hàm phi tuyến trung gian, sau áp dụng định lý điểm bất động toán tử này, Luận án nghiên cứu tồn nghiệm phương pháp lặp giải số toán biên cho phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng cấp bốn Cụ thể, kết Luận án bao gồm: Thiết lập tồn nghiệm, đề xuất phương pháp lặp giải số tốn biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn địa phương không địa phương với loại điều kiên biên khác Ngoài ra, tốn biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn địa phương với điều kiện biên Dirichlet điều kiện biên tổ hợp, Luận án xét thêm tính dương nghiệm Thêm vào đó, với tốn biên cho phương trình vi phân thường cấp bốn địa phương với điều kiện biên tổ hợp, trường hợp đặc biệt hàm vế phải, Luận án đánh giá sai số nghiệm nghiệm rời rạc Đối với toán biên cho phương trình song điều hịa phương trình song điều hòa loại Kirchhoff, thiết lập tồn nghiệm, đề xuất phương pháp lặp tìm nghiệm, tốn biên cho phương trình song điều hịa, Luận án cịn tính dương nghiệm Đưa ví dụ số minh họa cho khả ứng dụng kết lý thuyết, có số ví dụ phân tích để thấy ưu điểm phương pháp Luận án so với phương pháp tác giả khác Thực thực nghiệm tính tốn minh họa cho hội tụ phương pháp lặp Hướng phát triển Nghiên cứu giải toán biên phi tuyến phương trình vi phân thường cấp cao với điều kiện biên khác Nghiên cứu giải tốn biên phi tuyến phương trình đạo hàm riêng cấp bốn cấp cao với số loại điều kiện biên khác hàm vế phải phức tạp Nghiên cứu giải toán biên phi tuyến hệ phương trình vi phân cấp bốn cấp cao với điều kiện biên phức tạp 24 Danh mục cơng trình công bố Luận án [A1] Quang A Dang, Thanh Huong Nguyen (2018), Existence results and iterative method for solving a nonlinear biharmonic equation of Kirchhoff type, Computers and Mathematics with Applications, 76, pp 11-22 (SCI) [A2] Dang Quang A, Nguyen Thanh Huong (2018), The unique solvability and approximation of BVP for a nonlinear fourth order Kirchhoff type equation, East Asian Journal on Applied Mathematics, 8(2), pp 323-335 (SCIE) [A3] Quang A Dang, Thanh Huong Nguyen (2019), Solving the Dirichlet problem for fully fourth order nonlinear differential equation, Afrika Matematika, 30, pp 623-641 (ESCI, SCOPUS) [A4] Dang Quang A, Nguyen Thanh Huong (2018), Existence results and numerical method for a fourth order nonlinear problem, International Journal of Applied and Computational Mathematics, 4:148, DOI 10.1007/s40819-0180584-9 (SCOPUS) [A5] Dang Quang A, Truong Ha Hai, Nguyen Thanh Huong, Ngo Thi Kim Quy (2017), Solving a nonlinear biharmonic boundary value problem, Journal of Computer Science and Cybernetics, 33(4), pp 309–324 (Tạp chí Tin học Điều khiển học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam) [A6] Dang Quang A, Nguyen Thanh Huong (2016), Existence results and iterative methods for solving a nonlocal fourth order boundary value problem, Journal of Mathematical Applications, 14(2), pp 63-78 (Tạp chí Ứng dụng Tốn học - Hội Toán học Việt Nam) [A7] Quang A Dang, Nguyen Thanh Huong (2013), Iterative method for solving a beam equation with nonlinear boundary conditions, Advances in Numerical Analysis, Volume 2013, Article ID 470258, pages [A8] Vũ Vinh Quang, Nguyễn Thanh Hường (2017), Lược đồ sai phân giải tốn biên cho phương trình vi phân tuyến tính phi tuyến tính cấp cao, Kỷ yếu Hội nghị Quốc gia lần thứ X Nghiên cứu ứng dụng Công nghệ Thông tin (FAIR’10), Hà Nội, trang 358-368 25 ... loại: Phương trình vi phân cấp bốn địa phương phương trình vi phân cấp bốn khơng địa phương Phương trình vi phân cấp bốn có chứa thành phần tích phân gọi phương trình vi phân cấp bốn khơng địa phương. .. cứu giải toán biên phi tuyến phương trình vi phân thường cấp cao với điều kiện biên khác Nghiên cứu giải toán biên phi tuyến phương trình đạo hàm riêng cấp bốn cấp cao với số loại điều kiện biên. .. quan đến Luận án 2.1 Bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn địa phương 2.1.1 Trường hợp điều kiện biên tổ hợp Luận án trình bày chi tiết kết cơng trình [A4] toán u(4) (x) = f (x,