Với một cách tiếp cận đơn giản nhưng hiệu quả đó là đưa bài toán ban đầu về phương trình toán tử đối với hàm cần tìm hoặc của một hàm phi tuyến trung gian, sau đó áp dụng các định lý điểm bất động đối với toán tử này, Luận án đã nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải một số bài toán biên cho phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng cấp bốn. Cụ thể, các kết quả chính của Luận án bao gồm:
1. Thiết lập sự tồn tại và duy nhất nghiệm, đề xuất phương pháp lặp giải một số bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn địa phương và không địa phương với các loại điều kiên biên khác nhau. Ngoài ra, đối với bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn địa phương với điều kiện biên Dirichlet và điều kiện biên tổ hợp, Luận án còn xét thêm tính dương của nghiệm. Thêm vào đó, với bài toán biên cho phương trình vi phân thường cấp bốn địa phương với điều kiện biên tổ hợp, trong một trường hợp đặc biệt của hàm vế phải, Luận án đánh giá được sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm rời rạc.
2. Đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa và phương trình song điều hòa loại Kirchhoff, thiết lập sự tồn tại và duy nhất nghiệm, đề xuất phương pháp lặp tìm nghiệm, trong đó đối với bài toán biên cho phương trình song điều hòa, Luận án còn chỉ ra tính dương của nghiệm.
3. Đưa ra các ví dụ số minh họa cho khả năng ứng dụng của các kết quả lý thuyết, trong đó có một số ví dụ được phân tích để thấy được ưu điểm của phương pháp trong Luận án so với phương pháp của các tác giả khác. 4. Thực hiện các thực nghiệm tính toán minh họa cho sự hội tụ của phương
pháp lặp.
Hướng phát triển
1. Nghiên cứu giải bài toán biên phi tuyến đối với phương trình vi phân thường cấp cao hơn với các điều kiện biên khác.
2. Nghiên cứu giải bài toán biên phi tuyến đối với phương trình đạo hàm riêng cấp bốn và cấp cao hơn với một số loại điều kiện biên khác và hàm vế phải phức tạp hơn.
3. Nghiên cứu giải bài toán biên phi tuyến đối với hệ phương trình vi phân cấp bốn và cấp cao hơn với các điều kiện biên phức tạp hơn.