Đang tải... (xem toàn văn)
Mục tiêu của luận án là phát triển phương pháp lặp kết hợp với các phương pháp khác để thiết lập định tính và đặc biệt là phương pháp giải số một số bài toán biên hai điểm đối với phương trình và hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn nảy sinh trong lý thuyết uốn của dầm, trong đó không cần đến điều kiện tăng trưởng tại vô cùng, điều kiện Nagumo,... của hàm vế phải.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ …… ….***………… NGÔ THỊ KIM QUY PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội – 2017 Cơng trình hồn thành tại: Học viện Khoa học Công nghệ Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học 1: GS TS Đặng Quang Á Người hướng dẫn khoa học 2: PGS TS Hà Tiến Ngoạn Phản biện 1: … Phản biện 2: … Phản biện 3: … Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ, họp Học viện Khoa học Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam vào hồi … ’, ngày … tháng … năm 201… Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Học viện Khoa học Công nghệ - Thư viện Quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU Tính cấp thiết luận án Nhiều tốn vật lý, học số lĩnh vực khác mơ tả phương trình hệ phương trình vi phân với điều kiện biên khác Có thể chia phương trình vi phân cấp bốn thành hai dạng: phương trình vi phân cấp bốn khơng đầy đủ phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ Phương trình vi phân cấp bốn mà hàm vế phải chứa ẩn hàm chứa đầy đủ đạo hàm cấp (từ cấp đến cấp ba) gọi phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ Ngược lại, phương trình gọi phương trình vi phân cấp bốn khơng đầy đủ Bài tốn biên phương trình vi phân thu hút quan tâm nhà khoa học Alve, Amster, Bai, Li, Ma, Feng, Minhós, Một số nhà toán học học Việt Nam, Đặng Quang Á, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Văn Đạo, Nguyễn Đông Anh, Lê Xuân Cận, Nguyễn Hữu Công, Lê Lương Tài, nghiên cứu phương pháp giải tốn biên cho phương trình vi phân Trong số phương trình vi phân phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn quan tâm nhiều thời gian gần mơ hình tốn học nhiều toán học Dưới chúng tơi điểm qua số tốn biên phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn Đầu tiên, xét toán dầm đàn hồi mơ tả phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn dạng u(4) (x) = f (x, u(x), u (x)) (0.0.2) u(4) (x) = f (x, u(x), u (x)) (0.0.3) u độ võng dầm, ≤ x ≤ L Các điều kiện biên hai đầu dầm cho phụ thuộc vào ràng buộc tốn Đã có số kết nghiên cứu định tính tốn biên phương trình vi phân tồn tại, tính tính dương nghiệm Đáng ý phải kể đến báo Alves cộng (2009), Amster cộng (2008), Bai (2004), Li (2010), Ma cộng (1997), , phương pháp nghiệm nghiệm dưới, phương pháp biến phân, định lý điểm bất động sử dụng Trong báo điều kiện tính bị chặn hàm vế phải f (x, u, v) bậc tăng trưởng vơ thiếu Trong báo nhắc đến trên, phương trình vi phân cấp bốn không chứa đạo hàm cấp ba Khoảng chục năm trở lại đây, phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ, cụ thể phương trình u(4) (x) = f (x, u(x), u (x), u (x), u (x)) (0.0.6) thu hút quan tâm nhiều tác giả (xem Ehme cộng (2002), Feng cộng (2009), Li cộng (2013), Li (2016), Minhós cộng (2009), Pei cộng (2011), ) Các kết báo nghiên cứu tồn tại, tính tính dương nghiệm Các công cụ sử dụng lý thuyết bậc Leray-Schauder (xem Pei cộng (2011)), định lý điểm bất động Schauder sở sử dụng phương pháp đơn điệu với nghiệm nghiệm (xem Bai (2007), Ehme cộng (2002), Feng cộng (2009), Minhós cộng (2009)) giải tích Fourier (xem Li Liang (2013)) Tuy nhiên, tất báo nêu trên, tác giả cần đến giả thiết quan trọng hàm f : [0, 1] × R4 → R thỏa mãn điều kiện Nagumo số điều kiện khác tính đơn điệu tăng trưởng vô Cần lưu ý rằng, phương pháp đơn điệu, giả thiết tìm nghiệm nghiệm luôn cần thiết việc tìm chúng nói chung khơng dễ dàng Các tốn hệ phương trình vi phân cấp bốn nghiên cứu chưa nhiều, chẳng hạn Kang cộng s (2012), Lă u v cng s (2005), Zhu v cộng (2010), tác giả xét phương trình vi phân chứa đạo hàm cấp chẵn Với điều kiện phức tạp, việc sử dụng định lý số điểm bất động nón, tác giả thu tồn nghiệm dương Tuy nhiên, kết đạt có tính lý thuyết túy khơng có ví dụ minh họa tồn nghiệm Minhós Coxe (2017, 2018) tác giả xét hệ hai phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ Tác giả đưa điều kiện đủ cho tính giải hệ việc sử dụng phương pháp nghiệm dưới, nghiệm Định lý điểm bất động Schauder Chứng minh kết cồng kềnh phức tạp, đòi hỏi điều kiện Nagumo hàm f h Mặc dù có thành tựu quan trọng đạt việc nghiên cứu định tính tìm lời giải tốn biên phi tuyến, song phát triển lĩnh vực ứng dụng học, vật lý, sinh học, ln đặt bài tốn phức tạp phương trình điều kiện biên Các tốn có ý nghĩa quan trọng khoa học thực tiễn Hơn nữa, báo kể trên, điều kiện đưa phức tạp khó kiểm tra, hạn chế điều kiện Nagumo điều kiện tăng trưởng vô hàm vế phải Với phương pháp đơn điệu, giả thiết tìm nghiệm nghiệm ln ln cần thiết việc tìm chúng nói chung khơng dễ dàng Mặt khác, số báo chưa có ví dụ minh họa cho kết lý thuyết Chính thế, việc tiếp tục nghiên cứu mặt định tính định lượng tốn cho phương trình hệ phương trình vi phân cấp bốn với điều kiện biên khác có ý nghĩa khoa học thực tiễn Đó lý chúng tơi chọn đề tài: "Phương pháp lặp giải tốn biên hai điểm cho phương trình hệ phương trình vi phân cấp bốn" Mục tiêu phạm vi nghiên cứu luận án Mục tiêu luận án phát triển phương pháp lặp kết hợp với phương pháp khác để thiết lập định tính đặc biệt phương pháp giải số số toán biên hai điểm phương trình hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn nảy sinh lý thuyết uốn dầm, khơng dùng đến điều kiện tăng trưởng vơ cùng, điều kiện Nagumo hàm vế phải Phương pháp nội dung nghiên cứu Sử dụng cách tiếp cận đưa toán biên phi tuyến phương trình tốn tử hàm dựa vế phải, với cơng cụ tốn giải tích, giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân, nghiên cứu tồn tại, số tính chất nghiệm số tốn phương trình hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ đầy đủ Cũng sở phương trình tốn tử, chúng tơi xây dựng phương pháp lặp tìm nghiệm toán chứng minh hội tụ phương pháp Một số ví dụ đưa ra, biết trước trước nghiệm đúng, để minh họa tính đắn kết lý thuyết thực tính tốn máy tính điện tử để kiểm tra hội tụ thuật toán Kết đạt luận án Luận án đề xuất phương pháp nghiên cứu định tính phương pháp lặp giải tốn biên phương trình hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ đầy đủ nhờ sử dụng cách tiếp cận đưa tốn phương trình tốn tử hàm dựa vế phải Các kết đạt là: • Thiết lập tồn tại, số tính chất nghiệm toán điều kiện dễ kiểm tra • Đề xuất phương pháp lặp giải toán chứng minh hội tụ phương pháp với tốc độ cấp số nhân • Đưa số ví dụ minh họa cho khả ứng dụng kết lý thuyết, có ví dụ mà tồn tính nghiệm chúng không bảo đảm tác giả khác không thỏa mãn điều kiện định lý họ • Các thực nghiệm tính tốn minh họa tính hiệu phương pháp lặp Luận án viết sở báo [1]-[6] danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận án gồm chương: Chương trình bày kiến thức bổ trợ bao gồm số định lý điểm bất động; phương pháp đơn điệu giải toán biên phương trình vi phân; hàm Green số tốn phương pháp số giải phương trình vi phân Các kiến thức Chương đóng vai trị quan trọng, làm tảng cho kết trình bày Chương Chương Trong Chương 2, cách tiếp cận đưa tốn biên phi tuyến phương trình toán tử hàm dựa vế phải, ẩn hàm, thiết lập tồn tại, số tính chất nghiệm số toán cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn khơng đầy đủ đầy đủ Cũng sở phương trình tốn tử, chúng tơi xây dựng phương pháp lặp tìm nghiệm toán chứng minh hội tụ phương pháp Một số ví dụ, biết trước trước nghiệm đưa minh họa cho tính đắn kết lý thuyết hiệu phương pháp lặp Tiếp tục phát triển kỹ thuật Chương 2, Chương 3, hệ hai phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ đầy đủ, thu kết tồn tại, nghiệm hội tụ phương pháp lặp Các kết làm phong phú thêm khẳng định tính hiệu cách tiếp cận đưa toán biên phi tuyến phương trình tốn tử hàm dựa vế phải Trong luận án, kết lý thuyết kiểm tra thực nghiệm tính tốn lập trình mơi trường MATLAB 7.0 máy tính PC với CPU Intel Core i3, 4GB RAM Chương Kiến thức bổ trợ Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho chương tham khảo từ tài liệu Ladde (1985), Melnikov cộng (2012), Samarskii cộng (1989), Zeidler (1986) 1.1 Một số định lý điểm bất động Trong mục này, chúng tơi trình bày ba định lý điểm bất động có ứng dụng nhiều nghiên cứu tồn tại, nghiệm phương trình vi phân: Định lý điểm bất động Banach, Định lý điểm bất động Brouwer, Định lý điểm bất động Schauder 1.2 Phương pháp đơn điệu giải toán biên phương trình vi phân Một phương pháp phổ biến nghiên cứu định tính (sự tồn tại, nhất) nghiệm xây dựng nghiệm gần phương trình vi phân phương pháp đơn điệu Phương pháp đơn điệu sử dụng nghiệm nghiệm toán biên phi tuyến thu hút ý nhà nghiên cứu năm gần Phương pháp phổ biến khơng đưa cách chứng minh định lý tồn mà dẫn đến kết so sánh khác nhau, kỹ thuật hiệu để nghiên cứu tính chất định tính nghiệm Ý tưởng chung phương pháp xuất phát từ hai hàm α β tương ứng gọi nghiệm (lower solution) nghiệm (upper solution) toán, người ta xây dựng nhờ trình lặp hai dãy hàm αk βk hội tụ đơn điệu từ hai phía tới hàm u u thỏa mãn điều kiện α ≤ α1 ≤ α2 ≤ ≤ αk ≤ ≤ u ≤ u ≤ ≤ βk ≤ ≤ β2 ≤ β1 ≤ β Trong trường hợp u = u, tốn có nghiệm dải < α, β >, khác, tốn có nghiệm cực trị nghiệm cực trị 1.3 Hàm Green số tốn Hàm Green có ứng dụng rộng rãi nghiên cứu toán giá trị biên Đặc biệt, hàm Green công cụ quan trọng để tồn nghiệm toán Xét toán giá trị biên tuyến tính dn y dn−1 y L[y(x)] ≡ p0 (x) n + p1 (x) n−1 + + pn (x)y = 0, dx dx n−1 Mi (y(a), y(b)) ≡ k=0 d αki (1.3.1) k k y(a) i d y(b) + βk dxk dxk = 0, i = 1, n, (1.3.2) pi (x), i = 0, n hàm liên tục (a, b), p0 (x) = với điểm thuộc (a, b) Định nghĩa 1.4 (Melnikov cộng (2012)) Hàm G(x, t) gọi hàm Green toán giá trị biên (1.3.1)-(1.3.2) xem hàm biến x, thỏa mãn điều kiện với t ∈ (a, b) : (i) Trên [a, t) (t, b], G(x, t) hàm liên tục, có đạo hàm liên tục tới cấp n thỏa mãn phương trình (1.3.1) (a, t) (t, b), tức là: L[G(x, t)] = 0, x ∈ (a, t); L[G(x, t)] = 0, x ∈ (t, b) (ii) G(x, t) phải thỏa mãn điều kiện biên (1.3.2), tức Mi (G(a, t), G(b, t)) = 0, i = 1, , n (iii) Tại x = t, G(x, t) tất đạo hàm riêng theo biến x tới cấp (n − 2) hàm liên tục ∂ k G(x, t) ∂ k G(x, t) lim − lim− = 0, x→t+ x→t ∂xk ∂xk k = 0, , n − (iv) Đạo hàm riêng cấp (n − 1) theo biến x G(x, t) gián đoạn x = t, cụ thể ∂ n−1 G(x, t) ∂ n−1 G(x, t) lim+ − lim = − x→t x→t− ∂xn−1 ∂xn−1 p0 (t) Định lý sau điều kiện tồn hàm Green Định lý 1.6 (Melnikov cộng (2012)) (Tồn nhất) Nếu toán giá trị biên (1.3.1)-(1.3.2) có nghiệm tầm thường tồn hàm Green tương ứng với tốn Xét phương trình vi phân tuyến tính không dn y dn−1 y L[y(x)] ≡ p0 (x) n + p1 (x) n−1 + + pn (x)y = −f (x), dx dx (1.3.3) với điều kiện biên n−1 Mi (y(a), y(b)) ≡ k=0 k i d y(a) αk k dx + k i d y(b) βk k dx = 0, i = 1, n (1.3.4) hệ số pj (x) hàm vế phải f (x) phương trình (1.3.3) hàm liên tục, với p0 (x) = (a, b) Mi biểu diễn dạng độc lập tuyến tính với hệ số Định lý sau thể mối quan hệ tính nghiệm (1.3.3)-(1.3.4) với toán tương ứng Định lý 1.7 (Melnikov cộng (2012)) Nếu toán giá trị biên tương ứng với (1.3.3)-(1.3.4) có nghiệm tầm thường tốn (1.3.3)-(1.3.4) có nghiệm biểu diễn dạng b y(x) = G(x, t)f (t)dt, a G(x, t) hàm Green toán tương ứng 1.4 Phương pháp số giải phương trình vi phân Để giải tốn biên phương trình vi phân, người ta tìm nghiệm giải tích chúng số trường hợp đặc biệt đại đa số trường hợp buộc phải sử dụng phương pháp giải gần Phương pháp sai phân phương pháp số giải gần phương trình vi phân Ý tưởng chung phương pháp sai phân đưa toán vi phân toán rời rạc lưới điểm dẫn đến việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính Bài tốn giá trị biên phương trình vi phân cấp hai, phương pháp sai phân ba điểm dẫn đến giải hệ phương trình có ma trận hệ số dạng ba đường chéo Một phương pháp trực tiếp hữu hiệu giải hệ phương pháp truy đuổi (một dạng đặc biệt phương pháp khử) Trong mục 1.4 chúng tơi trình bày chi tiết phương pháp truy đuổi giải hệ ba đường chéo (xem Samarskii cộng (1989)) Chương Phương pháp lặp giải tốn biên phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn Các toán giá trị biên phương trình phi tuyến cấp bốn với điều kiện biên khác nghiên cứu số báo năm gần Sự tồn nghiệm toán thiết lập nhờ sử dụng lý thuyết bậc Leray-Schauder (Pei Chang (2011)), định lý điểm bất động Schauder sở sử dụng phương pháp đơn điệu với nghiệm nghiệm trên, chẳng hạn, Bai (2007), Ehme cộng (2002), Feng cộng (2009), Minhós cộng (2009) giải tích Fourier (Li Liang (2013)) Trong báo điều kiện tính bị chặn hàm vế phải bậc tăng trưởng vơ khơng thể thiếu Trong báo nêu trên, tác giả đưa tốn ban đầu phương trình tốn tử ẩn hàm u(x) Khác với cách tiếp cận đó, báo [1]-[4], chúng tơi đưa tốn ban đầu phương trình tốn tử hàm dựa vế phải ϕ(x) = f (x, u(x), v(x), ) Ý tưởng bắt nguồn từ báo trước tác giả Đặng Quang Á (2006) nghiên cứu toán Neumann phương trình kiểu song điều hịa Xét miền bị chặn thích hợp, chúng tơi khơng dùng đến điều kiện tăng trưởng vô cùng, điều kiện Nagumo hàm vế phải Khi đó, tốn tử ϕ số điều kiện dễ kiểm tra hàm f miền bị chặn toán tử co Theo nguyên lý ánh xạ co, tốn ban đầu có nghiệm đảm bảo hội tụ phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ Tính dương nghiệm tính đơn điệu dãy lặp Một số ví dụ, nghiệm xác toán biết chưa biết đưa để minh họa cho kết lý thuyết thu Các kết chương trình bày báo [1]-[4] danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án Cần nói thêm rằng, báo tác giả Đặng quang Á Trương Hà Hải (2016) phát triển phương pháp với phương trình elliptic cấp bốn phi tuyến Cho xấp xỉ ban đầu ϕ0 (x) ∈ B[O, M ], chẳng hạn, ϕ0 (x) = f (x, 0, 0) (2.1.20) Biết ϕk (k = 0, 1, ) giải liên tiếp hai toán vk = ϕk (x), < x < 1, vk (0) = vk (1) = 0, (2.1.21) uk = vk (x), < x < 1, uk (0) = uk (1) = (2.1.22) Cập nhật ϕk+1 = f (x, uk , vk ) (2.1.23) Định lý 2.3 Với giả thiết Định lý 2.1 (hoặc Định lý 2.2) phương pháp lặp hội tụ với tốc độ cấp số nhân có đánh giá sai số sau qk ||uk − u|| ≤ ||ϕ1 − ϕ0 ||, 64(1 − q) (2.1.24) u nghiệm xác toán (2.1.1) q xác định (2.1.12) Bổ đề 2.2 (Tính chất đơn điệu) Giả sử tất điều kiện Định lý 2.1 thỏa mãn Hơn nữa, giả thiết hàm f (x, u, v) tăng theo u giảm theo v với (2) (1) (x, u, v) ∈ DM Khi đó, ϕ0 , ϕ0 ∈ B[O, M ] xấp xỉ ban đầu (1) (2) (1) (2) ϕ0 (x) ≤ ϕ0 (x) với x ∈ [0, 1] dãy uk , uk tạo q trình lặp thỏa mãn tính chất (1) (2) k = 0, 1, ; x ∈ [0, 1] (1) (2) k = 0, 1, ; x ∈ [0, 1] uk (x) ≤ uk (x), uk (x) ≤ uk (x), Định lý 2.4 Ký hiệu ϕmin = f (x, u, v), ϕmax = (x,u,v)∈DM max f (x, u, v) (x,u,v)∈DM Với giả thiết Bổ đề 2.2, ϕ0 = ϕmin ta thu dãy uk tăng, ngược lại, ϕ0 = ϕmax ta thu dãy uk giảm, hai dãy hội tụ tới nghiệm xác u(x) tốn Do đó, ϕmin ≥ tốn có nghiệm khơng âm, ngược lại, ϕmax ≤ tốn có nghiệm khơng dương Các ví dụ số báo tác giả Bai (2004), Ma cộng (1997) thỏa mãn điều kiện chúng tơi đặt ra, tốn có nghiệm nhất, họ chứng minh tồn nghiệm Hơn nữa, điều kiện đưa dễ kiểm tra Thực nghiệm số ví dụ cho 11 thấy hội tụ nhanh phương pháp lặp đề xuất Trong ví dụ đây, lấy xấp xỉ ban đầu ϕ0 = f (x, 0, 0) sử dụng lưới với số điểm lưới N = 100 Quá trình lặp thực ek = uk − uk−1 ≤ 10−16 (2.1.27) Sử dụng công bội r(k) = e(k)/e(k − 1) để minh họa tốc độ hội tụ thực tế phương pháp lặp Ví dụ 2.2 (xem Bai (2004)) Xét toán u(4) (x) = −5u − (u + 1)2 + sin2 πx + 1, u(0) = u(1) = u (0) = u (1) = Trong ví dụ f (x, u, v) = −5v − (u + 1)2 + sin2 πx + Ta thấy điều kiện Định lý 2.1 thỏa mãn với M = 3.5, L1 = 2.11, L2 = q ≈ 0.6580 Do đó, tốn có nghiệm phương pháp lặp hội tụ Thực nghiệm số sau k = 45 lần lặp trình lặp dừng với e45 = 5.8981e − 017 công bội thực tế qact ≈ 0.4858 thay đánh giá lý thuyết q ≈ 0.6580 Công bội r(k) số nghiệm xấp xỉ mơ tả Hình 2.1 Từ hình vẽ ta thấy tốc độ giảm công bội rk khơng đổi Hình 2.1: Cơng bội thực tế r(k) (trái) số nghiệm xấp xỉ (phải) Ví dụ 2.2 Chú ý Bai (2004), tác giả thiết lập tồn khơng đảm bảo tính nghiệm Như Li (2010), Bai sử dụng nghiệm α = nghiệm β = sin πx Dãy xấp xỉ αn , βn Bai (2004) tạo ta việc giải phương trình dạng u(4) + 5u + 4u = g(x) bước lặp Phương trình thật khó để giải tốn tử vi phân khơng thể phân tích thành tích hai tốn tử vi phân cấp hai 12 2.2 Bài toán biên phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn đầy đủ Trong phần này, chúng tơi tập trung nghiên cứu tốn biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn đầy đủ với hai loại điều kiện biên khác 2.2.1 Trường hợp điều kiện biên dạng gối-tựa đơn giản Xét toán u(4) (x) = f (x, u(x), u (x), u (x), u (x)), u(0) = u(1) = u (0) = u (1) = 0 < x < 1, (2.2.1) f : [0, 1] × R4 → R liên tục Bài tốn mơ tả dầm uốn đàn hồi với hai đầu gối-tựa đơn giản Với toán này, phương pháp giải tích Fourier định lý điểm bất động Leray-Schauder, năm 2013, Li Liang thiết lập tồn nghiệm toán hạn chế điều kiện tăng trưởng hàm f (x, u, y, v, z) theo biến vô Trong báo [3], chúng tơi xét tốn (2.2.1) Phương pháp mà đưa khác phương pháp tác giả khác, phát triển kỹ thuật [2] với toán giá trị biên cấp bốn đầy đủ khơng địi hỏi điều kiện bị chặn tăng trưởng tuyến tính hàm vế phải vơ Li Liang (2013) Chúng thu kết tồn nghiệm hội tụ phương pháp lặp Các kết thu tương tự báo [2] với M , 64 M M M |y| ≤ , |v| ≤ , |z| ≤ , 16 DM = (x, u, y, v, z) | ≤ x ≤ 1, |u| ≤ + DM = (x, u, y, v, z)| ≤ x ≤ 1; ≤ u ≤ M ; 64 (2.2.9) (2.2.22) M M −M |y| ≤ ; ≤ v ≤ 0; |z| ≤ , 16 Chúng tơi đưa số ví dụ minh họa cho kết lý thuyết, có ví dụ mà theo Li Liang (2013) không đảm bảm tồn nghiệm tốn sử dụng lý thuyết mà chúng tơi đưa thiết lập tồn nghiệm phương pháp lặp hội tụ Tuy điều kiện biên với toán biên phương trình vi phân cấp bốn khơng đầy đủ (2.1.1) dãy nghiệm có tính chất đơn điệu tốn biên phương trình vi phân tuyến tính đầy đủ (2.2.1) dãy nghiệm khơng có tính chất phụ thuộc vào tính chất hàm Green đạo hàm tương ứng với toán 13 2.2.2 Trường hợp điều kiện biên dạng ngàm-tự Xét toán u(4) (x) = f (x, u(x), u (x), u (x), u (x)), u(0) = u (0) = u (1) = u (1) = 0, < x < 1, (2.2.30) f : [0, 1] × R4 → R liên tục Đây mơ hình dầm cơngxơn (cantilever beam) (cố định bên trái tự bên phải) Năm 2016, Li khẳng định tồn nghiệm dương toán với số điều kiện đặt hàm f Điều kiện đưa hàm f (x, u, y, v, z) tăng trưởng tuyến tính tuyến tính theo biến u, y, v, z Trong trường hợp tăng trưởng tuyến tính, điều kiện Nagumo hạn chế điều kiện tăng trưởng f theo y z Kết chứng minh việc sử dụng lý thuyết số điểm bất động nón phức tạp Trong báo [1], xét tốn (2.2.30), chúng tơi thiết lập tồn nghiệm toán hội tụ phương pháp lặp Bằng phương pháp đưa tốn phương trình tốn tử hàm dựa vế phải xét miền bị chặn thích hợp, chúng tơi khơng cần đến điều kiện tăng trưởng có điều kiện Nagumo Các ví dụ khơng thỏa mãn điều kiện báo Li (2016) theo lý thuyết đưa khẳng định nghiệm toán Hơn nữa, điều kiện định lý đơn giản dễ kiểm tra Để nghiên cứu toán (2.2.30), với ϕ ∈ C[0, 1], ta xét phương trình tốn tử ϕ = Aϕ, (2.2.33) A tốn tử xác định sau (Aϕ)(x) = f (x, uϕ (x), yϕ (x), vϕ (x), zϕ (x)), (2.2.34) yϕ (x) = uϕ (x), zϕ (x) = vϕ (x) (2.2.35) với Ở vϕ (x), uϕ (x) xác định từ toán vϕ (x) = ϕ(x), < x < 1, vϕ (1) = vϕ (1) = 0, (2.2.36) uϕ (x) = vϕ (x), < x < 1, uϕ (0) = uϕ (0) = (2.2.37) Mệnh đề 2.3 (Mối liên hệ nghiệm tốn (2.2.30) với nghiệm phương trình toán tử (2.2.33)) Nếu ϕ(x) nghiệm (2.2.33) A xác định (2.2.34)-(2.2.37) uϕ (x) nghiệm toán (2.2.30) ngược lại 14 Các kết thu tương tự báo [2] với M M M , |y| ≤ , |v| ≤ , |z| ≤ M }, (2.2.39) M + DM = (x, u, y, v, z)| ≤ x ≤ 1; ≤ u ≤ ; (2.2.57) M M ≤ y ≤ ; ≤ v ≤ ; −M ≤ z ≤ , Phương pháp lặp sau DM = {(x, u, y, v, z)| ≤ x ≤ 1, |u| ≤ Cho ϕ0 (x) = f (x, 0, 0, 0, 0) (2.2.59) Biết ϕk (k = 0, 1, ) giải liên tiếp hai toán vk = ϕk (x), < x < 1, vk (1) = vk (1) = 0, (2.2.60) uk = vk (x), < x < 1, uk (0) = uk (0) = (2.2.61) ϕk+1 = f (x, uk , uk , vk , vk ) (2.2.62) Cập nhật Theo phương pháp lặp đề xuất trên, giải số toán biên (2.2.30) đưa tốn tìm nghiệm dãy toán giá trị đầu (2.2.61) toán giá trị cuối (2.2.60) với phương trình vi phân cấp hai Chú ý hàm vế phải toán (2.2.60) (2.2.61) phụ thuộc vào biến x, nên nghiệm xấp xỉ toán thực chất xấp xỉ tích phân xác định Do xây dựng lược đồ sai phân với độ xác cấp cao hàm vế phải toán hàm rời rạc xác định lưới điểm Để giải số theo phương pháp lặp, ta sử dụng cơng thức Simpson với độ xác cấp bốn cho toán (2.2.60), (2.2.61) lưới ω h = {xi = ih, i = 0, 1, , N ; h = 1/N } Chúng đưa số ví dụ minh họa cho hiệu kết lý thuyết, có ví dụ mà theo Li (2016) khơng đảm bảo tồn nghiệm toán sử dụng lý thuyết mà chúng tơi đưa thiết lập tồn nghiệm phương pháp lặp hội tụ Trong phạm vi luận án, phương pháp đưa áp dụng với toán giá trị biên hai điểm với hàm vế phải liên tục, cịn với tốn với hàm vế phải khơng liên tục tốn phải xét khơng gian thích hợp Kết luận Chương Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu định tính phương pháp lặp giải hai toán biên phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn khơng đầy đủ đầy đủ nhờ sử dụng cách tiếp cận đưa tốn phương trình tốn tử đối 15 với hàm dựa vế phải Các kết đạt là: - Thiết lập tồn tại, số tính chất nghiệm toán điều kiện dễ kiểm tra - Đề xuất phương pháp lặp giải toán chứng minh hội tụ phương pháp với tốc độ cấp số nhân - Đưa số ví dụ minh họa cho khả ứng dụng kết lý thuyết, có ví dụ mà tồn tính nghiệm chúng không bảo đảm tác giả khác không thỏa mãn điều kiện định lý họ - Các thực nghiệm tính tốn minh họa hiệu phương pháp lặp 16 Chương Phương pháp lặp giải toán biên hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn Trong chương này, nghiên cứu phương pháp giải tốn biên hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ đầy đủ với hai dạng điều kiện biên Các kết chương trình bày báo [5], [6] danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án 3.1 Bài toán biên hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn khơng đầy đủ Các tốn hệ phương trình vi phân cấp bốn nghiên cứu chưa nhiều, chẳng hn Kang v cng s (2012), Lă u v cng (2005), Zhu cộng (2010), tác giả xét phương trình chứa đạo hàm cấp chẵn Với điều kiện phức tạp, việc sử dụng định lý số điểm bất động nón, tác giả thu tồn nghiệm dương Tuy nhiên, kết đạt có tính lý thuyết túy khơng có ví dụ minh họa tồn nghiệm Xét hệ phương trình vi phân u(4) (x) = f (x, u(x), v(x), u (x), v (x)), v (4) (x) = h(x, u(x), v(x), u (x), v (x)), < x < 1, < x < 1, (3.1.1) với điều kiện biên u(0) = u(1) = u (0) = u (1) = 0, v(0) = v(1) = v (0) = v (1) = (3.1.2) f, h : [0, 1] × R+ × R+ × R− × R− → R+ hàm liên tục u , v f, h thành phần momen uốn tương ứng với hiệu ứng uốn par Năm 2012, Kang cộng thiết lập tồn nghiệm dương hệ (3.1.1)-(3.1.2) với điều kiện phức tạp Khác với phương pháp tác giả khác, báo [5], tiếp tục phát triển kỹ thuật báo [1]-[4] hệ phương trình vi phân 17 phi tuyến cấp bốn (3.1.1)-(3.1.2) Bằng cách đưa tốn phương trình tốn tử với cặp thành phần phi tuyến cặp hàm u, v cần tìm, chúng tơi thiết lập tồn tại, nghiệm xây dựng phương pháp lặp Bên cạnh đó, tính chất dấu nghiệm Lợi phương pháp khơng địi hỏi điều kiện Nagumo thành phần phi tuyến Một số ví dụ đưa ra, nghiệm xác toán biết chưa biết, minh họa cho hiệu kết lý thuyết thu ϕ Để nghiên cứu toán (3.1.1)-(3.1.2), với w = ψ , ϕ, ψ ∈ C[0, 1], ta xét phương trình tốn tử w = T w, (3.1.9) T xác định (Aw)(x) f (x, u (x), v (x), r (x), z (x)) T w = (Bw)(x) = h(x, uϕ(x), vψ (x), rϕ(x), zψ (x)) ϕ ψ ϕ ψ (3.1.10) Ở rϕ (x), uϕ (x), zψ (x), vψ (x) tương ứng nghiệm dãy toán rϕ (x) = ϕ(x), < x < 1, rϕ (0) = rϕ (1) = 0, (3.1.11) uϕ (x) = rϕ (x), < x < 1, uϕ (0) = uϕ (1) = (3.1.12) zψ (x) = ψ(x), < x < 1, zψ (0) = zψ (1) = 0, (3.1.13) vψ (x) = zψ (x), < x < 1, vψ (0) = vψ (1) = (3.1.14) Mệnh đề 3.1 (Mối liên hệ nghiệm tốn (3.1.1)-(3.1.2) với nghiệm phương trình tốn tử (3.1.9)) Nếu w(x) nghiệm (3.1.9), T xác định từ (3.1.10)-(3.1.14), s(x) = (uϕ (x), vψ (x)) nghiệm toán (3.1.1)-(3.1.2) ngược lại Với số M > ký hiệu DM = (x, u, v, r, z)| ≤ x ≤ 1, 5M 5M M M |u| ≤ , |v| ≤ , |r| ≤ , |z| ≤ , 384 384 8 (3.1.21) B[O, M ] hình cầu đóng tâm O với bán kính M khơng gian F = (C[0, 1])2 , tức là, B[0, M ] = {w ∈ F : w F ≤ M } với chuẩn w F = max{ ϕ , ψ }, 18 ϕ = max |ϕ(x)|, ψ = max |ψ(x)| 0≤x≤1 0≤x≤1 Định lý 3.2 (Sự tồn nghiệm) Giả sử tồn số M > cho hàm f (x, u, v, r, z) h(x, u, v, r, z) hàm liên tục max{|f (x, u, v, r, z)|, |h(x, u, v, r, z)|} ≤ M (3.1.22) với (x, u, v, r, z) ∈ DM Khi đó, tốn (3.1.1)-(3.1.2) có nghiệm thỏa mãn đánh giá |u(x)| ≤ 5M , 384 |v(x)| ≤ 5M , 384 |u (x)| ≤ M , |v (x)| ≤ M , (3.1.23) với ≤ x ≤ Ta ký hiệu ++ DM = (x, u, v, r, s)| ≤ x ≤ 1, ≤ u ≤ 0≤v≤ 5M , 384 M M 5M , − ≤ r ≤ 0, − ≤ z ≤ , 384 8 ++ SM = {w ∈ F | ≤ ϕ(x) ≤ M, ≤ ψ(x) ≤ M } −− −− +− +− −+ −+ Tương tự, đưa ký hiệu DM , SM , DM , SM , DM , SM Xét trường hợp đặc biệt Định lý 3.2 Định lý 3.3 (Tính dương hay âm nghiệm) ++ (i) Giả sử DM hàm f, h liên tục ≤ f (x, u, v, r, z) ≤ M, ≤ h(x, u, v, r, z) ≤ M (3.1.34) Khi đó, tốn (3.1.1)-(3.1.2) có nghiệm (u(x), v(x)) với tính chất u(x) ≥ 0, v(x) ≥ 0, u (x) ≤ 0, v (x) ≤ −− (ii) Giả sử DM hàm f, h liên tục −M ≤ f (x, u, v, r, z) ≤ 0, −M ≤ h(x, u, v, r, z) ≤ (3.1.35) Khi đó, tốn (3.1.1)-(3.1.2) có nghiệm (u(x), v(x)) với tính chất u(x) ≤ 0, v(x) ≤ 0, u (x) ≥ 0, v (x) ≥ +− (iii) Giả sử DM hàm f, h liên tục ≤ f (x, u, v, r, z) ≤ M, −M ≤ h(x, u, v, r, z) ≤ (3.1.36) Khi đó, tốn (3.1.1)-(3.1.2) có nghiệm (u(x), v(x)) với tính chất u(x) ≥ 0, v(x) ≤ 0, u (x) ≤ 0, v (x) ≥ −+ (iv) Giả sử DM hàm f, h liên tục −M ≤ f (x, u, v, r, z) ≤ 0, ≤ h(x, u, v, r, z) ≤ M 19 (3.1.37) Ta ký hiệu ri = ui , zi = vi , (i = 1.2), ϕi = f (x, ui , vi , ri , zi ), ψi = h(x, ui , vi , ri , zi ), (i = 1.2) Định lý 3.4.(Tính nghiệm) Giả sử tồn số ci , di ≥ (i = 1, , 4) cho |f (x, u2 , v2 , r2 , z2 ) − f (x, u1 , v1 , r1 , z1 )| ≤ c1 |u2 − u1 | + c2 |v2 − v1 | + c3 |r2 − r1 | + c4 |z2 − z1 |, (3.1.39) |h(x, u2 , v2 , r2 , z2 ) − h(x, u1 , v1 , r1 , z1 )| ≤ d1 |u2 − u1 | + d2 |v2 − v1 | + d3 |r2 − r1 | + d4 |z2 − z1 |, (3.1.40) với (x, uj , vj , rj , zj ) ∈ [0, 1] × R4 (j = 1, 2), q := max{q1 , q2 } < (3.1.41) với 5(c1 + c2 ) c3 + c4 + , 384 (3.1.42) 5(d1 + d2 ) d3 + d4 q2 := + 384 Khi nghiệm toán (3.1.1)-(3.1.2) tồn Kết hợp Định lý 3.2 3.4 thu kết sau Định lý 3.5 (Sự tồn nghiệm) Giả sử tồn số M, ci , di ≥ 0, (i = 1, , 4) cho điều kiện (3.1.22), (3.1.39), (3.1.40) Định lý 3.2 Định lý 3.4 thỏa mãn với (x, u, v, r, z), (x, uj , vj , rj , zj ) ∈ DM (j = 1, 2), q, q1 , q2 định nghĩa (3.1.41)-(3.1.42) Khi đó, tốn (3.1.1)-(3.1.2) có nghiệm (u(x), v(x)) thỏa mãn đánh (3.1.23) Phương pháp lặp sau: q1 := Cho w0 = (ϕ0 (x), ψ0 (x)) ∈ B[0, M ] (3.1.45) Biết wk = (ϕk , ψk ) (k = 0, 1, ) giải liên tiếp toán rk = ϕk (x), < x < 1, rk (0) = rk (1) = 0, (3.1.46) uk = rk (x), < x < 1, uk (0) = uk (1) = 0, (3.1.47) zk = ψk (x), < x < 1, zk (0) = zk (1) = 0, (3.1.48) vk = zk (x), < x < 1, vk (0) = vk (1) = (3.1.49) 20 Cập nhật ϕk+1 = f (x, uk , vk , rk , zk ), ψk+1 = h(x, uk , vk , rk , zk ) (3.1.50) qk w1 − w0 F 1−q Định lý 3.6 Với giả thiết Định lý 3.5, phương pháp lặp hội tụ với tốc độ cấp số nhân với nghiệm xấp xỉ sk = (uk , vk ) thỏa mãn đánh giá 5pk pk sk − s F ≤ , sk − s F ≤ , (3.1.51) 384 s = (u, v) nghiệm xác tốn (3.1.1)-(3.1.2) Đặt pk = Định lý 3.7 (Tính chất đơn điệu) Giả sử tất điều kiện Định lý 3.5 thỏa mãn Hơn nữa, ta giả sử hàm f (x, u, v, r, z), h(x, u, v, r, z) tăng (1) theo u, v giảm theo r, z với (x, u, v, r, z) ∈ DM Khi đó, w0 = (1) (1) (2) (2) (2) (1) (2) (ϕ0 , ψ0 )T , w0 = (ϕ0 , ψ0 )T ∈ B[O, M ] xấp xỉ ban đầu w0 ≤ w0 (1) (2) (1) (2) (tức ϕ0 (x) ≤ ϕ0 (x) ψ0 (x) ≤ ψ0 (x)) với x ∈ [0, 1] dãy (2) (1) (1) (2) sk , sk tổng quát trình lặp thỏa mãn sk (x) ≤ sk (x), k = 0, 1, ; x ∈ [0, 1], tức (1) (2) uk (x) ≤ uk (x), k = 0, 1, ; x ∈ [0, 1], (1) (2) vk (x) ≤ vk (x), k = 0, 1, ; x ∈ [0, 1] Để thử nghiệm số phương pháp lặp sử dụng lược đồ sai phân với độ xác cấp bốn cho tốn (3.1.46)- (3.1.49) cơng thức tính đạo hàm cấp với cấp xác lưới ω h = {xi = ih, i = 0, 1, , N ; h = 1/N } Phép lặp thực ek = sk − sk−1 ≤ 10−16 Chúng đưa số ví dụ minh họa cho hiệu kết lý thuyết, có ví dụ mà theo Kang cộng (2012) không đảm bảm tồn nghiệm dương toán sử dụng lý thuyết mà chúng tơi đưa thiết lập tồn (hoặc tồn tại) nghiệm dương phương pháp lặp hội tụ Kỹ thuật áp dụng thành cơng nghiên cứu hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn đầy đủ 21 3.2 Bài toán biên hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn đầy đủ Minhós Coxe (2017), (2018) tác giả xét hệ hai phương trình cấp bốn đầy đủ u(4) (x) = f (x, u(x), u (x), u (x), u (x), v(x), v (x), v (x), v (x)), v (4) (x) = h(x, u(x), u (x), u (x), u (x), v(x), v (x), v (x), v (x)), (3.2.1) với điều kiện biên u(0) = u (0) = u (0) = u (1) = 0, v(0) = v (0) = v (0) = v (1) = (3.2.2) Tác giả đưa điều kiện đủ cho tính giải hệ việc sử dụng phương pháp nghiệm dưới, nghiệm định lý điểm bất động Schauder, địi hỏi điều kiện Nagumo hàm f h Chứng minh kết cồng kềnh phức tạp Được thúc đẩy thực tế trên, báo [6], nghiên cứu hệ (3.2.1)-(3.2.2) phương pháp khác, cụ thể cách đưa phương trình tốn tử với cặp thành thần phi tuyến khơng phải cặp hàm (u, v) cần tìm Khơng cần điều kiện Nagumo với số điều kiện dễ kiểm tra, thiết lập tồn nghiệm hệ (3.2.1)-(3.2.2) Bên cạnh đó, chúng tơi chứng minh tính chất dấu nghiệm hội tụ phương pháp lặp để tìm nghiệm Các kết thu tương tự báo [5] với DM = {(x, u, u1 , u2 , u3 , v, v1 , v2 , v3 ), ≤ x ≤ 1, M M M M |u| ≤ , |u1 | ≤ , |u2 | ≤ , |u3 | ≤ , 24 12 M M M M |v| ≤ , |v1 | ≤ , |v2 | ≤ , |v3 | ≤ } 24 12 Một số ví dụ đưa minh họa cho hiệu kết lý thuyết, có ví dụ mà theo Minhós Coxe (2017) khơng đảm bảm tồn nghiệm toán sử dụng lý thuyết mà chúng tơi đưa thiết lập tồn nghiệm (hoặc tồn nghiệm) phương pháp lặp hội tụ Kết luận Chương Trong chương 3, tiếp tục phát triển kỹ thuật Chương 2, nghiên cứu định tính phương pháp lặp giải hai tốn biên hệ hai phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ đầy đủ Các kết đạt là: - Chứng minh tồn tại, số tính chất dấu nghiệm 22 toán điều kiện dễ kiểm tra - Đề xuất phương pháp lặp giải hệ phương trình chứng minh hội tụ phương pháp với tốc độ cấp số nhân - Xây dựng số ví dụ minh họa cho khả ứng dụng kết lý thuyết, bao gồm ví dụ mà tồn tính nghiệm chúng khơng bảo đảm tác giả khác không thỏa mãn điều kiện định lý họ - Thực thực nghiệm tính tốn minh họa hội tụ phương pháp lặp 23 KẾT LUẬN CHUNG Luận án đề xuất phương pháp nghiên cứu định tính phương pháp lặp giải tốn biên phương trình hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ đầy đủ nhờ sử dụng cách tiếp cận đưa toán phương trình tốn tử hàm dựa vế phải Các kết luận án bao gồm: Thiết lập tồn tại, số tính chất nghiệm phương pháp lặp giải số tốn biên phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ đầy đủ Đối với hệ phương trình, thiết lập tồn tại, số tính chất dấu nghiệm, xây dựng phương pháp lặp giải số toán biên hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn khơng đầy đủ đầy đủ Đưa số ví dụ minh họa cho khả ứng dụng kết lý thuyết, có ví dụ mà tồn tính nghiệm chúng không bảo đảm tác giả khác không thỏa mãn điều kiện định lý họ Thực thực nghiệm tính tốn minh họa hội tụ phương pháp lặp HƯỚNG PHÁT TRIỂN Nghiên cứu giải toán biên phi tuyến phương trình vi phân cấp cao với điều kiện biên khác Nghiên cứu giải tốn biên phi tuyến phương trình đạo hàm riêng cấp bốn cấp cao với số loại điều kiện biên Nghiên cứu giải toán biên phi tuyến hệ phương trình vi phân cấp bốn cấp cao với điều kiện biên phức tạp 24 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] Q.A Dang, T.K.Q Ngo, (2017), Existence results and iterative method for solving the cantilever beam equation with fully nonlinear term, Nonlinear Analysis: Real World Applications, 36, pp 56-68 (ISI) [2] Q.A Dang, Q.L Dang, T.K.Q Ngo, (2017), A novel efficient method for fourth order nonlinear boundary value problems, Numerical Algorithms, 76(2), 427-439 (ISI) [3] Q.A Dang, T.K.Q Ngo, (2018), New fixed point approach for a fully nonlinear fourth order boundary value problem, Boletim da Sociedade Paranaense de Matemática, v 36(4), pp 209-223 (SCOPUS) [4] Q.A Dang, T.K.Q Ngo, (2016), Numerical solution of a fully fourth order nonlinear problem, Advances in Information and Communication Technology, Proceedings of the International Conference, Springer, Volume 538, pp 413430 [5] T.K.Q Ngo, Q.A Dang (2017), Existence results and iterative method for solving systems of bending elastic beam equations, Journal of Mathematical Applications, Vol 15., (accepted) [6] Q.A Dang, T.K.Q Ngo (2017), Existence results and iterative method for solving systems of coupled beams equations with fully nonlinear terms, submitted to Southeast Asian Bulletin of Mathematics 25 ... phương pháp giải gần Phương pháp sai phân phương pháp số giải gần phương trình vi phân Ý tưởng chung phương pháp sai phân đưa toán vi phân toán rời rạc lưới điểm dẫn đến vi? ??c giải hệ phương trình. .. hiệu phương pháp lặp 16 Chương Phương pháp lặp giải tốn biên hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn Trong chương này, nghiên cứu phương pháp giải toán biên hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp. .. biên khác Có thể chia phương trình vi phân cấp bốn thành hai dạng: phương trình vi phân cấp bốn khơng đầy đủ phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ Phương trình vi phân cấp bốn mà hàm vế phải chứa