Phương pháp giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ: Phần 2 - Trần Mạnh Tường

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách Phương pháp giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ tiếp tục cung cấp tới bạn đọc cách giải phương trình vô tỉ giải bằng phương pháp vectơ; phương trình vô tỉ sử dụng BĐT để đánh giá; phương trình vô tỉ sử dụng bđt Bunhiacopxki; phương trình vô tỉ sử dụng sự tương giao của đường tròn đường thẳng;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tại đây.

Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE X PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Bài 2 2 2 2 x  6 6 6 6 x [Tính đơn điệu hàm số] Đ x  2 Lời giải N ậ xé Đ f  x   x; g  x   x       f f f  f  x   g g g  g  x  Do f   x   1  0; g  x     f  x  , g  x  ồng biến  2;   2 x 6  x Với x  f  x   g  x    f  f  x   f  g  x   g  g  x          f  f  f  f  x   f  g  g  g  x   g  g  g  g  x    f f  f  x   f g  g  x   g g  g  x    VT  VP Với 2  x  f  x   g  x   lập luậ Nhận th y x  nghiệm củ  x  nghiệm nh t củ Bài 2: Bài 3: Bài 4: x   2x 1   x Lời giải Đ x x   x    x3  P Dễ th y x VT VT ồng biến  Pt có nghiệm nh t x  x  3x    x  Lời giải x  3x    x   P (  x  nghiệm ) x 1  5x   5x   x 1 Lời giải x 1  x 1  5x   5x  P f t   f  t  ồng biến Xét f  t   t  t nhận th y t 5  x   5x   x  Bài 5: ta có VT  VP ( lo i )  vô nghiệm 2x  2x 1  x   1 x  Lời giải Đ ều kiện: x    x  1  P Hàm số f  t   t t Trần Mạnh Tường 2x 1    x  1  1 x  ồng biến  x   x    https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 50 Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ Bài TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE G x2  x   x    8x    8x Lời giải Đ ều kiện: x    ới  x  3  x     8x P Hàm số f  t   t  t     8x ồng biến kho ng  0;   nên x     x , gi ợc x  1; x   t / m  Bài G   x  y  y  y  x3  x ệ  5  x  y  1  2 Lời giải 1  x  x3  x  y  y  y Hàm số f  t   t  t  t Thế x  y vào   Bài G ồng biến nên x  y ợc x  y  1  2  x5  y  y  x ệ   x   y   Lời giải Đ ều kiện: x  1  x5  x  y  y Hàm số f  t   t  t Thế x  y vào   ợc ồng biến nên x  y x   x   *  Vế trái * hàm số ồng biến kho ng 1;   ệm nh t x  t / m  y  Bài G   x  y   y  x  xy   ệ  2   x y 2 1  2 Lời giải Đ ều kiện: x  0; y  Thế  x  y vào 1 Bài 10 ợc x  y   y  x   xy  x  y   x3  x  y  y Hàm số f  t   t  t ồng biến Thế x  y vào   ợc x  y  (t/m) ho c x  y  1 ( lo i) G  x3  x   y  1 y  ệ   x  2 y    nên x  y 1  2 Lời giải Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 51 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ Đ ều kiện: y   1  x3  x   y  1 TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE y   y  Hàm số f t   t  t ồng biến  0;    nên x  y 1 Thế x  y  vào   ợc x   y   t / m  4   x   x   y   y 1 Bài 11: Giải hệ phƣơng trình:  2  x  2x  y  1  y  6y     Lời giải Điều kiện: x   1  x 1    x   y4   y Hàm số f  t   f   t đồng biến t   x   y  x  y4  y    Thế vào    y  y  1 y6  y  3y3  3y   0  y  y   2y  y  2x  x   x 1 Bài 12: Giải hệ phƣơng trình:   y  2y    x    Lời giải Điều kiện: 4  x  Đặt  x  t   x  t ; t  Khi đó: 2x  x  2t  2t 1  2y3  y  2t  t  y  t  y   x  y   x;y  Thế vào   , ta có:  x   2x   x       2x     1 x    x  1    x  3    x  3 Bài 13 3   x  3x   y  y   3 x   y  y [pp hàm số] Gi i hệ */ Cách thức mà thực tế thân làm:  Hãy l a chọn biế ổ  Nhận xét tập giá trị (x - 1) Trần Mạnh Tường (1) (2) ệ d ng f ( x)  f ( y ) y3 ? https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 52 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ  Hàm số ệu tậ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE ợc xét không ? Lời giải  y3  y   x  Đ ều kiện :  y  y    (*)  y  x    Ta có : (1)  x3  3x  y y   ( x  1)3  3( x  1)     y 3 3 y3  (1') [1; ) f '(t )  3t   0, t   f(t) hàm số ồng biến kho ng (1; ) Xét hàm số f (t )  t  3t tập (1')  f ( x  1)  f K ( ),   y   x   y    x  1  y  kết hợp vớ ợc : (1')  x  x   y   x  x   y    2 9( x  2)  y  y (2') 3 x   y  y Thế ( ') ( '), ợc : x  18   x  x     x  x    x  x  x  17 x    ( x  3)( x  x  x  2)  x   x     x   y  1(Tm)  2 x  x  x   x ( x  1)  x  ( x  2)  0(VN)   x  Vậy hệ có nghiệm nh t :  y 1 Bài 14 [pp hàm số] Gi i hệ  x  3 x   y  y  (1)  4 x  x  y  y  y   (2) Lời giải Đ ều kiện : x  (1)   4(2 x  1)  1 x   y  y    x   x   y  y (1') [0; ) f '(t )  12t   0, t   Hàm số f(t) ồng biến kho ng (0; ) Xét hàm số : f (t )  4t  t tập K (1')  f  Trần Mạnh Tường  x   f ( y)  x   y  y   x ( ), https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ ợc : 53 y Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE  1   y  1  y  y  y   y   y  1  y  y  y  y   y ( y  1)(y 1)(y 2)     y  2  y 1 Khi y   x  (thỏ ã ều kiện) Khi y  1  x  (thỏ ã ều kiện) ều kiện) Khi y  2  x  (thỏ ã Khi y   x  (thỏ ã ều kiện)  Bài 15 1 2  5  2   ( x; y)  (1; 1);(1; 1);  ;0  ;  ; 2   Vậy tập nghiệm hệ  [pp hàm số] Gi i hệ 2 2  3x  y   ( y  x)( y  xy  x  6) (1)  (2)  ( x  y  13)( y  14  x  1)  */ Cách thức mà thực tế thân làm:  Hãy l a chọn biế ổ ệ d ng f ( x)  f ( y )  Nhận xét tập giá trị (x + 1) (y - 1) ?  Hàm số ệu tậ ợc xét không ? Lời giải  x  1 x 1   Đ ều kiện :   14 (*) y  3 y  14    3 Ta có : (1)   x  1  3 x  1   y  1  3 y  1 (1') Xét hàm số f (t )  t  3t  f '(t )  3t   0, t  R  Hàm số f(t) ồng biến R (1')  f ( x  1)  f ( y  1)  x   y   K y  x  ( ), ợc : (2 x  11)( 3x   x  1)  (3) 11  3x   x    (4) (Do x  không nghiệm (3) x  11  11   11  Xét hàm số g ( x)  3x   x   D  ;    ;    x  11 3    10 g '( x)    2 3x  x   x  11  x  17 10  11   11    0, x   ;    ;   2 (3x  8)( x  1)(3 x   x  8)  x  11 3    11 11  Hàm số g(x) ồng biến  ;   ;   3    Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 54 Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE  11  (4)  g ( x)  g (3)  x   y  (thỏ ã ều kiện (*)) : 3   11  -Khi x   ;   : (4)  g ( x)  g (8)  x   y  10 (thỏ ã ều kiện (*)) 2  x  x  Vậy hệ ệm :  ; y    y  10 3x   x  y   y   (1)  y x  Bài 16 [pp hàm số] Gi i hệ   y   x  y   y  (2)  - Khi x   ; Lời giải  x  1 x 1   Đ ều kiện :   (*) 9 y    y   1 Ta có : (1)  y   y  ( x  1)   x  (1') y x 1 Xét hàm số f (t )  t   3t kho ng (0; ) t 2t  1 t  1  f '(t )  2t     0, t  (0; ) t t2  Hàm số f(t) ồng biến (0; ) (1')  f ( y)  f K   x   y  x   x   y ( ), ợc : y   y2  y   y    y   ( y  2)    y  y   ( y  1)     y2  y  ( y  1)( y  y  6)   0 y   ( y  2) ( y  1)  ( y  1) y  y   ( y  y  5)  ( y  y  6).h( x)    y 1    với 2 2 3 y   ( y  2) ( y  1)  ( y  1) y  y   ( y  y  5)   y  2 y  nên y  y     y  -Khi y   x  (thỏ ã ều kiện (*)) -Khi y   x  (thỏ ã ều kiện (*)) x  x  Vậy nghiệm hệ  ;  y  y  Vì h(x)   Bài 17 [pp hàm số] Gi i hệ Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 55 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ  TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE  5  16.4 x 2 y   16 x 2 y y  x 2 (1)    x  17 x  10 y  17   x   y  11 (2) 2 Lời giải Đ t t  x  2y ( ) ng t 5  42t  16.4    16 .7   2t (3) t x x 1 4 Xét hàm số f  x   5.      f ( x) hàm số nghịch biến R 7 7 P ( ) ng f (t  2)  f (2t )  t   2t  t   x  y  t 2t t K ( ) ng x3  5x  17 x    x   x    x  2   x  2   x  2   x2   x2    x2    x2  Xét hàm số f (t )  t  t  t kho ng  0;  f '(t )  3t  2t   0, t   f(t) hàm số ồng biến kho ng  0;  P f  x  2  f Suy : Hệ Bài 18  ng  x 1 x   x   x2    x   1    p nghiệm (x;y) là: 1;  ,  3;     2 [pp hàm số] Gi i hệ 2  4  x y   3x   x y   x   2 x y  x  x  x  x y y  Đ ều kiện : 1  x  Ta th y ( x; y)  (0; a), a  R nghiệm hệ Khi x  , ta có : Lời giải ã x y  x  x  x  x y y2   y  y y2   1  x x  (*) x2 Xét hàm số : f (t )  t  t t  f '(t )   t   t2 t2   0, t  Hàm số f(t) ồng biến 1 (*)  f  y   f    y  x x  x   3x   x   x a   x  2 Đ t  ta có : 3x  x   2( x  1)   2a  b  b   x  D P ò l i hệ ta có : thành : Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 56 Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE 2a  b 2a2  b2  ab  4a  2b    2a  b  a  b      a  b  Với 2a  b , ta có :  x   x  x    y   Với a  b  , ta có :  x   x   x  (lo i)    Vậy nghiệm hệ ( x; y)    ;   ; 0; a  | a  R     Bài 19  x   x   y   y (1)  2  x  x( y  2)  y  y   (2) [pp hàm số] Gi i hệ Lời giải Đ ều kiện : x  Ta có : (1)  ( x  2)   x   y   y (1') Xét hàm số f (t )  t  t   0;  f '(t )   K f  2t  0, t   Hàm số f(t) ồng biến (0; ) t 5 x   f ( y)  x   y  x  y   ( ), ợc : https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 57 y  y   y4  y   y  y7  y4  y  4     y  y  y   (3) Với y   x  (thỏ ã ều kiện) Gi i (3): Xét hàm số g ( y )  y  y  y   0;  g '( y )  y  y   0, y   Hàm số g(y) ồng biến (0; ) L i có : (3)  g ( y )  g (1)  y   x  (thỏ ã ều kiện) x  x  Vậy nghiệm hệ  ;  y  y 1 Bài 20 [pp hàm số] Gi i hệ  20  x  17  y  3x  x  y  y  (1)  (2)  2 x  y   3x  y  11  x  x  13 x  y   Đ ều kiện :  (*) x  y    3x  y  11  (1)   20  3x   x  17  y   y   3  x     x   3  y     y Lời giải  3 Xét hàm số f  t    3t   t tập  0;  Trần Mạnh Tường Chuyên đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE 3t   0, t   Hàm số f(t) ồng biến  0;  t (3)  f   x   f   y    x   y  y  x  K 3x   x   x  x  13 (Đ ều kiện : x   ) f 't   t  2     3x    x    2 x  x  1 3x    x   ợc :  x    x  3  x  x 3x  x  1  ( ), x    x  3  x2  x    x  x  1    1   3x    x   x    x  3    x  1 (vì    với x thuộ TXĐ)  3x    x   x    x  3 x  x   y  1 (thỏa mãn hệ Với x  1  y  2 (thỏa mãn hệ ) Với Bài 21  x  x   y (1)  x  y  y   (2) [pp hàm số] Gi i hệ Trừ theo vế x   x; y   0; 1 ;  1; 2  Vậy nghiệm hệ ) ( )   ( ),  Lời giải ợc : x   y  y   y  3x  x  x   3x  y  y   y (3) Xét hàm số f (t )  t  t   R t f '(t )   K t  3t ln  0, t  R  Hàm số f(t) ồng biến R t 1 (3)  f ( x)  f ( y )  x  y x  x   3x   3x Xét hàm số g ( x )  g '( x)  3x  x   x2   x   ( ), ợc : (4) x   x R    x   x  ln    , x2    x   x  x2    Hàm số g(x) ồng biến R (4)  g ( x)  g (0)  x   y  x  Vậy hệ ệm nh t :  y  K Bài 22: Gi Trần Mạnh Tường 3x    x  3x  12  Lời giải https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 58 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ Đ ều kiện:  x  TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 2  Xét hàm số f  x   x    x  x  12 với x   ;6 3  2  f '  x    x  0, x   ;6  3x  2  x 3  2  Suy hàm số f  x   x    x  x  12 ồng biến kho ng  ;6  3  Ta có: f    3.2     3.2  12    12  12   x  nghiệm nh t củ Từ cách gi i trên, ta nhận th trình có nghiệm nên ù í cách gi i sau  3x    x  3x    x   3 x ể ề  4  3x    x  x  2      x   x      x     3 x  2    x  3x    x  3x    x  3x    x  3x  12   Cách khác: x   x   x  16  10  Lời giải Bài 23: Gi Đ ều kiện: x  Xét hàm số f  x   x   x   x  16  10 với x  f  x  1 2x    0, x  x4 x4 x  16 Suy ra: f  x   x   x   x  16  10 ồng biến  4;   f  5      52  16  10    2.3  10   x  nghiệm nh t củ  x   x   x  1  x Lời giải Bài 24: Gi Xét f  t   t  t  với t t  Có f (t )   (t  1)2 Ta có *  f  R   t 1  f  t  – x   f (  x ) Ln có - Nếu – x   x  a * ồng biến hai kho ng ( ;  1) ( 1;  )  x   1 x   nên: mà f  t  ồng biến ( 1;  ) thì: x  3  x   (1)   x   x      x   x  (thỏa mãn  a  )  x  x     x  16  - Nếu  x    x    x   VT *  1  VT *  (vơ lí) Vậy x  nghiệm củ x  28 x  21  x  Bài 25: Gi  * Ý tưởng: Ta xây d ng hàm f (t )  mt  nt Để ý h ng tử x  vế ph i có bậc th p nh ứng với nt f  t  , n  Ta nhìn nhận 9x ới khía c nh x  9.x m  nhìn nhận x  (3x) m  N ậy m=9 ho c m=1 Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 59 Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE Đáp án: B Dễ th y x  không nghiệ ế pt cho x ợc: √ 13    2.3   x x x x x 3  2  2   ề d ng:   1    1         * x x x x  x   x  Đ Xét hàm số f  t   t  2t với t  *  D , à ồng biến 1 x 13            x2 x x x3 x x 1  x   x  1  5  89  x  16     89   89  x          89  Vậy x0      T  89  2.5   95 19   TN 4.4: Cho hàm số f ( x ) liên tục thị Hỏ f     sin x  f   cos x có t t c nghiệm thuộc  3;  ? B A ẽ C Lời giải D Vô số Đáp án: B 1  sin x  0   sin x  x   3;     1  cos x  0   cos x  f     sin x  f    cos x   sin x   cos x ( Vì f ( x ) ồng biến 0;  sin x  cos x   tan x  1  x   Do x   3;   x      k Vậy có nh t nghiệm thỏ x x   x x   x  x   x  , biết bình TN 4.5: Gọi x0 nghiệm th c củ nghiệm x0 có d ng x02  A S  26  B 25 a b c  a, b, c   , C 24 Lời giải a tối gi n Tính S  a  b  c b D 22 Đáp án: A Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 95 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ Vì : x TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE   5x2   x2   x4  x2   x2    x  Đ ệu kiện : x   1  1 Chia x hai vế :           Đ t : t   x x x  x x x   t   t   2t  t   t 5t   5t    (1  t )  1  t  1 Đ t u   t , v   t Đ ều kiện: u  5, v  Lú u  u   v  v   f (u )  f (v) Cách 1: Xé f '(t )   K  S  26 f (t )  t  t  Đ ều kiện : t  t t 1   hàm số ồng biến 1;   nên ta có u = v   17 ( n) x  1 1    1    1       4x  x 1   x x x x x x x   17 (l ) x   Cách 2: u  u   v  v   u  v    u   v2     uv   u  v  1   u v  u   v2    K 5 1  1 2 x x   17 ( n) x  1     1       4x  x 1    S  26 x x x x x   17 (l ) x   f  f  x   1   f  x   có số nghiệm th c TN 4.6: Cho f  x   x3  3x  x  P A Đáp án: A Đ t t  f  x 1 K B C Lời giải D  t  x  3x  x  f  f  x   1   f  x   trở thành: Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 96 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE t  1 t  1 f t    t     3 2  f  t    t  2t  t  4t  8t   t  1  t  t2   1;1  t  t1   2; 1    t  t3   5;6   t  t2   1;1  t  t  1;6   (Vì g  t   t  4t  8t  ; g  2   7 ; g  1  ; g 1  10 ; g    25 ) t  x  3x  x  , ộ ểm củ y  x  3x  x  ờng thẳng y  t Ta có b ng biến thiên Xé D a vào b ng biến thiên, ta có + Với t  t2   1;1 , ta có d cắt (C) t ểm phân biệ , + Với t  t3   5;6  , ta có d cắt (C) t Vậ ã ệm TN 4.7: Tổ ệm ể , ệm ệm 1+ 2x - x + 1- 2x - x =  x -1  2x - 4x +1 A thị hàm số 1 củ C Lời giải B D Đáp án: C 1  Đề Đ 2    x  1     x  1   x  1 2  x  1  1   ệ   x  1    x  1  2 t   x  1   t  0;1 Lú  2    t    t  2t  2t  1  1 Vớ t  0;   2  3   ế  3 ộ ệ 1 ố f t    t t Trần Mạnh Tường ủ ệ  1 t  0;   2 ợ 1 2  2t  2t  1 t  4t  2t  1   t t t  N ậ  3 VT    3  VP   3 1  Vớ t   ;1 , 2  Xé 2  4 ( ế t  )  4 1   ;1 https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 97 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ 1 1   0, t   ;1  f  t  : f ' t     t t 2  Xé ố g  t   2t  2t  1 ị TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 1   ;1 ế 1   ;1 2 1  g '  t   6t  2t  1  4t  2t  1  0, t   ;1  f  t  : 2  Vậ t  Vậ ệ  4  t   x  1 ủ ổ x  1  x  02  22  ệ x3   x  TN 4.8: Tổng nghiệm củ A 1   ;1 ế   C B D Lời giải Đáp án: A    x  x  x   x    f  x  f   x3  x  Xé 3  x 1 2x 1  2x 1 1 ố f  t   t  2t l f '  t   3t   0, t  Từ 1 ,  2  f  x   f  ụ  f t   2 ế  2x 1  x  2x 1  x3  x    x  1  x  x  1   x 1  x  1  x  36 x  53 x  25  3 x  Vậy tổng nghiệm củ TN 4.9: Số nghiệm củ B A   C Lời giải D Đáp án: C     x  3   x     3 x   3  f  x  3  f Xé  3x  ố f t   t  t l f '  t   3t   0, t  1 ụ àx  f  t   t  t ị  t t  Từ 1 ,  2  f  x  3  f Trần Mạnh Tường   3x  ế  2  3x   x   3x  https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 98 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ  x3  36 x  51x  22  TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE   x   8 x  20 x  11   x   x  Nhận x t T ầ ế f  t   mt  nt T ế ầ ệ  2x  ể ò l ế m   3x   n 3x  f t   t  t D Nế m  1, p  m  px  u    px  u   m ửở ế  x3 nên mp3  ứ à ọ n 1 PT C f  g  x   f h  x  ề 5 m  px  u    px  u   m  ợ , ầ   3x   3x  Dễ  m  1, p   m  8, p   x ế ề  3x   3x    x  u    x  u   3x   3x   8x3  12u  x   6u  1 x  u  u   3x  Đồ D ệ ố ế ủ , ợ m  1, p  ế xé ợ ế ế x  15 x  78 x  141  x  TN 4.10: Nghiệm nhỏ nh t củ  a, b, c   K ợ 12u  36   u  3 ệ 6u   53 u  u   15   m  8, p  1 N   có d ng lờ a b c với a  b  c B 11 A 17 C 13 Lời giải D 15 Đáp án: C     x     x  5   f  x  5  f Xé   2x   2x   2x   1 ố f  t   t  5t f '  t   3t   0, t  ,  f t  Từ 1 ,  2  f  x  5  f  f  t   t  5t ế  2  2x   x   2x   x3  15 x  75 x  125  x   x3  15 x  73x  116    x    x  11x  29    x   x  Trần Mạnh Tường 11  https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 99 Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE a  11 11   Vậy nghiệm nhỏ nh t là: x   b   a  b  c  17 c   Nhận x t N í m  px  u    px  u   m  ụ ,  2x   2x  f  t   mt  5t x3    mp3  ể ọ m  p  1   x  u    x  u   2x   2x  T Lú   í 1  mp3  x3 Do sau khai triển m  px  u  Lú ầ     x  5  3u  x  x  u ễ Khai triển  3  2   x  5   15 x  u  5  2x   2x    ợ  3 ị m  p  ú x3  11x  25 x  12  x  x  TN 5.1: C  Tính tổ ệm củ A 50 B 100 C 53 D 80 Lời giải Đáp án: A     x    x  x  3  x  x  1 x Đề ệ T VT  D "" x Kế ợ  : x  x   0, x    x    x  x  3  x  x   VP   x     x  x  3  x  x    x   x  ề ệ , ệ x   x  ủ x  x TN 5.2: Tính tích nghiệm củ A -2 B 1 1  1 x x C 1 1 D Lời giải Đáp án: B Đề ệ x  Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 100 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ 1   1  x    Cauchy 1 x    x    x     x x      x  1 Cauchy  1 x   x  x  x  1   T Từ 1 ,    D TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE  x 1  1  x x x  2 "  "   x  1  x  x 1 1   x2  x    x   x 2   x 1  x Kế ợ ề ệ , ệ x  ủ 1  x  x  x   x   x   x  14 Tính tích nghiệm củ TN 5.3: C trình? A B C D -9 Lời giải Đáp án: C VP  x   x   x   x  14  x   x   x   x  14  1 D VT    x    "" x D "" x x   2 x  Từ 1 ,    P TN 5.4: P A x  ệ 7  4x  1 x 1 B 1 có nghiệm th C c? D Lời giải Đáp án: A Đề ệ x  1 1  7   x  1   x 1 Sử ụ BĐT C  2 7 ,  x  1 ố 7 7    x  1  x  1  x  1 Cauchy  33 7 ,  x  1  x  1 ợ 7 7  x  1  x  1  x  1 7 7    x  1  3  x 1 x 1 Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/  101 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ  7   x  1  3 x 1  7   x  1   x 1 Từ   ,  3   TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE  1  3 "  "  3 x  7   x  1  x  1 4  x  1  x  1   7     x  1       x  1   x  1    x     x  1         1  x  1 3   x     3   x  4  x  1    x   Kế ợ ề ệ , ệ x 3  x8   x   x8  x  x  25 TN 5.5: C   P nghiệm th A B C D Lời giải Đáp án: A x  nghiệm củ u   x ;    v   x ; 3 Đ u  v  uv M "" x  u, v ù  x=  x  y  x  y   x  y  x  y  10  29 TN 5.6: C ã Tí A  C p  x; y  thỏa ị A  x  100 y ? B C 100 D 25 Lời giải Đáp án: A Tậ x ị D    x  1  (2  y )  Trần Mạnh Tường  x  1  (3  y )  29 https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 102 Đ Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ  u   x  12  (2  y )2 u   x  1;  y     2 v   1  x;  y    v   1  x   (3  y )    u  v   2 2  52  29 u  v   2;5  u  v  uv M  u, v ù "" x TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE  5x  y   x  , y  x  x   x  x  11x  P TN 5.7: C th c? A C B ệm D Lời giải Đáp án: D + x  nghiệm pt  u   x ; 2x    v  1; x  + x  0, Đ u  v  uv M  u, v ù "" x ợc x   x  x  32  x  x  18  Tính tổ TN 5.8: C A 48 B 48 C 48 15 ệm D 15 Lời giải Đáp án: A OA  x  x  32  A  x  4; 4      C ọ  B  x  3; 3  OB  x  x  18   O  0;   AB  ta có AO  BO  AB D u x y A, B, C thẳng hàng  x   24 x2  x 1  x2  x   x2  x  TN 5.9: P A B 1 có nghiệm th C c? D Lời giải Đáp án: A Đề ệ  x2  x 1      x  x   0, x  Trần Mạnh Tường x 1  1   x 2 https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 103 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ Á ụ BĐT BCS x  x  1; 1; ố 1; 1 VT  x  x   x  x   TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE  2 x2  x 1  x2  x   x T VT  x  x  x   x   x  1    x 1   3 2   x  x 1  x  x   x Từ 1 ,   ,  3    D  x  x   x  x2  x 1 x2  x    x  1 S ề ợ  12   x  x  1   x  x  1   x Hay Hay x  x   x x  x 1 ệ , "  "   ,  3 x 1 ệ x1   x2 có nghiệm TN 6.1: Tập hợp t t c giá trị tham số x2 ể B m  A m  x  m  Lời giải C D  m  Đáp án: C Đ ều kiệ x ịnh 1  x  thành 2t  t   m * Đ t t  1 x  1 x,  t  P d:ym ù  * í ờng thẳng ới trục hồnh , ố nghiệm pt * số D ểm parabol  P  : y  2t  t  ộ ểm  P   d  Phát họa  P   d  lên hệ trục, ta th ã ệm  m  y O 2 x TN 6.2: Có giá trị nguyên tham số x2  x  5mx  3x   có nghiệm x A 2017 B 2018 m  2018; 2018 ể Đáp án: C Tậ x ịnh: D   3;0   3;   Trần Mạnh Tường C 2019 Lời giải D 2020  https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 104 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ Ta có: x  5mx  3x 2 Đ t t Để TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE x 3 x 3     x  3  x  5mx x x 2 x2  x2  3  5m 1 x x x2  t  0 x 1 có nghiệ 1 trở thành: 2t  3t  5m   ng trình   có nghiệ Do t   2t  3t   m  m   2018; 2018 Do  nên có 2019 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán m  A B Đáp án: A Tậ x ịnh củ x  3x   m x  x  có nghiệm ể TN 6.3: Có giá trị nguyên tham số m C 15 Lời giải D 27 D   0;   Ta có: x  x   m x  x    x  x  1   x  x  1  m x  x  1 x  x  1 x2  x  x2  x  2 1  m 1 x  x 1 x  x 1 x2  x  2x  1  1 Đ t t x  x 1 x  x 1 x  1 x  2x 1  2x  1 1  x  x 1    x  x 1 Do x  nên    t  1;  1   x      x  1 x  x  1 K Để trở ã 2t  1  2t    t t   có nghiệm thuộc 1;  2t  mt    m   ệ  Xét hàm số: y  2t  ; t  1;  t   t2  t1  1  1  2t2     2t1    t2  t1     t2   t1  t1.t2       2 0 Với t1; t2  1; ; t1  t2 xét tỉ số  t2  t1 t2  t1 t1.t2   1 ồng biến nửa kho ng 1;   y 1  2t   y  t t 1 m  Do m số nguyên nên có nh t giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Suy hàm số y  2t  TN 6.4: Tìm số giai trị tham     2t  1t  33 số m ể ( x  m  x)3  ( x  m  x)3   m  1 x  m  x   4m  có nghiệm Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 105 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ A B TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE C D Lời giải Đáp án: B 2 2   a  x  m  x a  b  x  m  (a  b)  x  4m Đ t:  a  0, b      2   b  x  m  x ab  ( x  m  x)( x  m  x)  m Kết hợp với (), ợc hệ ab  m  3 a  b   ab  1 a  b   (a  b)   ab  m  (a  b)  (a  b)  3(a  b)   a  b  b   a     a  2a  m a   a   m ab  m Xét hàm y  f  a   a  2a với  a  có b ng biến thiên Vậy  m  suy m  m x   3 x   x  , biết tập t t c giá trị tham số m ể ệm nửa kho ng (a; b] Tính giá trị biểu thức S  a  b3 TN 6.5: C ã 28 A 27 B  26 27 C 1 D Lời giải Đáp án: B Đ ều kiện x  1, Chia hai vế cho x 1 ợc pt: x 1 x 1 x 1  24  1 Đ t t4 x 1 x 1 x 1 x 1 2    1 1  t 1 Do x    x 1 x 1 m  3t  2t (*) T B ng biến thiên hàm f (t )  3t  2t [0;1) m  3 Theo b ng biến thiên (*) có nghiệm thuộc [0; 1)  1  m  1/ TN 6.6: Biết tập hợp giá trị m ể (m  2) x   (2m 1)  x  m 1  có nghiệ n  a; b Giá trị S  2019b  2020a 172 : A 1918 B 1819 C 1981 Lời giải D 2019 Đáp án: C Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 106 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ +) (m  2) x   (2m 1)  x  m 1  , TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE ều kiện 3  x  a  x  +) Đ t  ,  a, b  b   x a  b  +) Ta có :  (I)`` (m  2)a  (2m  1)b  m   a  b  +) Trong hệ tọ ộ O , ờng trịn tâm O bán kính R  , 2m ờng thẳng  có hệ số góc k  (vì với 2m  (m  2)a  (2m  1)b  m   m ệm) y d2: k2=7 B : k= -1 O 2-m 2m-1 d1: k1= A x -1  1 ểm I   ;   cố ịnh  3 +) Hệ (I) có nghiệm   nằm miền góc nhọn t o d1 , d +) Nhận xét th y  7 1 +) IA  ;   d1 có hệ số góc k1   3 1 7 +) IB  ;   d có hệ số góc k2  3 3  a  2m  7 m  +) Yêu cầu toán  k1  k  k2   2m  b   S  2019b  2020a 172  1981 TN 6.7: Gọi T tập giá trị nguyên củ nghiệm.Tính tổng phần tử T A.0 B.20 16x  m   x  18x   m có ể C.-20 Lời giải D.10 Đáp án: C Đ t t  16x  m  , t  Ta có m  t  16 x  P thành  16 x  m   2 x t  2 x   x  t   x  t  1    t  x   16 x  m   x  Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 107 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ  x   m  x  16x     x   m  x  20x   TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE   m  nghiệm   m  20 Do m thuộc Z nên T   3;2;1;0;1;2;3;20 Từ thị, TN 6.8: Có giá trị m A ể B m  x  m  x  m có nghiệm C D Lời giải Đáp án: C m  x  m   m   m  x   x    ĐKXĐ   x  m m      x m x   + Khi m  ệm nh t x   m  x  m  x  m2  x  m2   m  2m  2 2  2m  m  x  m  m  x  m  2m   * 2 m  x  m  m       m  ều kiện m  nên *   4  m  x   m  4m  4m m  m     m3   m   x  m  m x     ều kiện  x  m ệm khi:  m  m    m   m    m    m      m3   m   m    m   4 giá trị nguyên m thỏa mãn ể ệm m  ho c  m  D + Khi m  D D Vậ Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 108 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE TN 6.9: Tìm giá trị nhỏ nh t m ể A m   B m   4 x  x   3 x    m  có nghiệm C m   D m  4 Lời giải Đáp án: B Đ t t  x  1, t   t  x  x  t  3t   m   t  3t   m T ợ Xét hàm số y  t  3t  1, t  B ng biến thiên t 1  y 5 ệm m    D a vào b ng biế , TN 6.10: Hỏi có giá trị x  x  x  m  m có nghiệ A 2019 B 2018 Chọn C Ta cầ xé m ờng hợp x  m  K ỏ 0 ể ề C 2015 Lời giải ểu thức vế D 2014 ề x ịnh Đ t y  x  x  m z  x  m  y, z  2 x  y  m   Ta có hệ 2 x  z  y  xm  z   Không m t tính tổng quát, ta gi sử m  y  z 2 xz  x y  xm  y  m z m y  z m  4m Thay m  y  z vào hệ ợc: x  m  m  x  4m  m  x  Để có x   m  4m   m   m  5, 6, , 2019 N ậy có t t c 2015 giá trị m thỏa mãn yêu cầu củ ề Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 109 ... kính củ  ờng trịn  C  ) 2m m m   2m  m   2m 2  2m  m  4m   m  Lú u   m  u   2m  2u  2mu  m  2m   2u  2mu  m  2m   u1 ,2  Trần Mạnh Tường m  4m  m https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/... TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE   t2  t1  1  1  2t2     2t1    t2  t1     t2   t1  t1.t2     Với t1; t2  1; ; t1  t2 xét tỉ số   2? ?? 0  t2  t1 t2  t1 t1.t2  Suy... Với nhƣ sau: t1 , t2  , t1  t2 , ta có f  t1   f  t2  t13  t1  t23  t2 t  3t    t 12  t1t2  t 22    t1      t1  t2 t1  t2 2? ??  Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/