Đề tài nghiên cứu này nhằm mục đích cung cấp cho học sinh một số phương pháp tổng quát và một số kỹ năng cơ bản và phát hiện được đâu là điều kiện cần và đủ. Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi biến đổi. Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải một số các bài toán về giải phương trình vô tỉ.
Trang 11. M Đ U:Ở Ầ
1.1. Lý do ch n đ tài:ọ ề
Th c hi n ch trự ệ ủ ương, đường l i c a Đ ng, chính sách pháp lu t c aố ủ ả ậ ủ Nhà nước. Căn c vào phứ ương hướng, nhi m v và k ho ch chuyên mônệ ụ ế ạ
c a trủ ường THPT Th ch Thành 2 năm h c 20152016.ạ ọ
Năm h c 20152016, tôi đọ ược phân công tr c ti p gi ng d y các l pự ế ả ạ ớ
10. Đa s h c sinh nh n th c còn ch m, giáo viên c n có phố ọ ậ ứ ậ ầ ương pháp c thụ ể cho t ng d ng toán đ h c sinh n m đừ ạ ể ọ ắ ược bài t t h n.ố ơ
Trong chương trình toán THPT, mà c th là phân môn Đ i s 10, cácụ ể ạ ố
em h c sinh đã đọ ược ti p c n v i phế ậ ớ ương trình ch a n dứ ẩ ưới d u căn vàấ
được ti p c n v i m t vài cách gi i thông thế ậ ớ ộ ả ường đ i v i nh ng bài toán cố ớ ữ ơ
b n đ n gi n. Tuy nhiên trong th c t các bài toán gi i phả ơ ả ự ế ả ương trình ch a nứ ẩ
dướ ấi d u căn r t phong phú và đa d ng và đ c bi t là trong các đ thi THPTấ ạ ặ ệ ề
qu c gia m y năm g n đây, các em s g p m t l p các bài toán v phố ấ ầ ẽ ặ ộ ớ ề ươ ngtrình vô t (câu này là câu l y đi m 8 đôi khi là đi m 9 trong câu trúc đ thi)ỉ ấ ể ể ề
mà ch có s ít các em bi t phỉ ố ế ương pháp gi i nh ng trình bày còn l ng c ngả ư ủ ủ
ch a đư ược g n gàng, sáng s a th m chí còn m c m t s sai l m không đángọ ủ ậ ắ ộ ố ầ
có trong khi trình bày. T i sao l i nh v y?ạ ạ ư ậ
Lý do chính đây là: Trong chở ương trình SGK Đ i s l p 10 hi nạ ố ớ ệ hành được trình bày ph n đ u chở ầ ầ ương III (gi a h c k I) r t là ít và h nữ ọ ỳ ấ ạ
h p ch có m t ti t lý thuy t sách giáo khoa, gi i thi u s lẹ ỉ ộ ế ế ớ ệ ơ ược 1 ví d vàụ
đ a ra cách gi i khá rư ả ườm rà khó hi u và d m c sai l m, ph n bài t p đ aể ễ ắ ầ ầ ậ ư
ra sau bài h c cũng r t h n ch M t khác do s ti t phân ph i chọ ấ ạ ế ặ ố ế ố ương trình cho ph n này quá ít nên trong quá trình gi ng d y, các giáo viên không thầ ả ạ ể
đ a ra đư ược nhi u bài t p cho nhi u d ng đ hình thành k năng gi i choề ậ ề ạ ể ỹ ả
h c sinh. Nh ng trong th c t , đ bi n đ i và gi i chính xác phọ ư ự ế ể ế ổ ả ương trình
ch a n dứ ẩ ưới d u căn đòi h i h c sinh ph i n m v ng nhi u ki n th c,ấ ỏ ọ ả ắ ữ ề ế ứ
ph i có t duy m c đ cao và ph i có năng l c bi n đ i toán h c nhanhả ư ở ứ ộ ả ự ế ổ ọ
nh n thu n th c. ẹ ầ ụ
1.2. M c đích nghiên c u:ụ ứ
T lý do ch n đ tài, t c s th c ti n gi ng d y kh i l p 10 ừ ọ ề ừ ơ ở ự ễ ả ạ ố ớ ở
trường THPT, cùng v i kinh nghi m trong th i gian gi ng d y. Tôi đã t ngớ ệ ờ ả ạ ổ
h p, khai thác và h th ng hoá l i các ki n th c thành: ợ ệ ố ạ ế ứ “M t s phộ ố ương pháp gi i phả ương trình vô t trong c u trúc đ thi THPT qu c giaỉ ấ ề ố ’’
Qua n i dung c a đ tài này tôi mong mu n s cung c p cho h c sinhộ ủ ề ố ẽ ấ ọ
m t s phộ ố ương pháp t ng quát và m t s k năng c b n và phát hi n đổ ộ ố ỹ ơ ả ệ ượ cđâu là đi u ki n c n và đ H c sinh thông hi u và trình bày bài toán đúngề ệ ầ ủ ọ ể trình t , đúng logic, không m c sai l m khi bi n đ i. Hy v ng đ tài nh nàyự ắ ầ ế ổ ọ ề ỏ
ra đ i s giúp các b n đ ng nghi p cùng các em h c sinh có m t cái nhìn toànờ ẽ ạ ồ ệ ọ ộ
Trang 2di n cũng nh phệ ư ương pháp gi i m t s các bài toán v gi i phả ộ ố ề ả ương trình vô
t ỉ
1.3. Đ i tố ượng nghiên c u:ứ
Đ tài này nh m giúp h c sinh v n d ng và tìm ra các phề ằ ọ ậ ụ ương pháp gi iả
phương trình ch a n d u cănứ ẩ ấ
1.4. Phương pháp nghiên c u:ứ
Ph ươ ng pháp:
Nghiên c u lý lu n chung.ứ ậ
Kh o sát đi u tra t th c t d y và h c .ả ề ừ ự ế ạ ọ
T ng h p so sánh , đúc rút kinh nghi m.ổ ợ ệ
Cách th c hi n: ự ệ
Trao đ i v i đ ng nghi p, tham kh o ý ki n giáo viên cùng b môn ổ ớ ồ ệ ả ế ộ
Liên h th c t trong nhà trệ ự ế ường, áp d ng đúc rút kinh nghi m quaụ ệ quá trình gi ng d y.ả ạ
Thông qua vi c gi ng d y tr c ti p các l p kh i 10 trong năm h cệ ả ạ ự ế ở ớ ố ọ
t 2008 đ n 2016.ừ ế
2. N I DUNG SÁNG KI N KINH NGHI M:Ộ Ế Ệ
2.1. C s lơ ở ý lu n c a sáng ki n kinh nghi mậ ủ ế ệ :
Nhi m v trung tâm trong trệ ụ ường h c THPT là ho t đ ng d y c aọ ạ ộ ạ ủ
th y và ho t đ ng h c c a trò, xu t phát t m c tiêu đào t o. Giúp h c sinhầ ạ ộ ọ ủ ấ ừ ụ ạ ọ
c ng c nh ng ki n th c ph thông đ c bi t là b môn toán h c r t c nủ ố ữ ế ứ ổ ặ ệ ộ ọ ấ ầ thi t không th thi u trong đ i s ng c a con ngế ể ế ờ ố ủ ười. Môn Toán là m t mônộ
h c t nhiên quan tr ng và khó v i ki n th c r ng, đa ph n các em ng i h cọ ự ọ ớ ế ứ ộ ầ ạ ọ môn này.
Mu n h c t t môn toán các em ph i n m v ng nh ng tri th c khoaố ọ ố ả ắ ữ ữ ứ
h c môn toán m t cách có h th ng, bi t v n d ng lý thuy t linh ho t vàoọ ở ộ ệ ố ế ậ ụ ế ạ
t ng d ng bài t p. Đi u đó th hi n vi c h c đi đôi v i hành, đòi h i h cừ ạ ậ ề ể ệ ở ệ ọ ớ ỏ ọ sinh ph i có t duy logic và cách bi n đ i. Giáo viên c n đ nh hả ư ế ổ ầ ị ướng cho h cọ sinh h c và nghiên c u môn toán h c m t cách có h th ng trong chọ ứ ọ ộ ệ ố ươ ngtrình h c ph thông, v n d ng lý thuy t vào làm bài t p, phân d ng các bàiọ ổ ậ ụ ế ậ ạ
t p r i t ng h p các cách gi i.ậ ồ ổ ợ ả
Do v y, tôi m nh d n đ a ra sáng ki n kinh nghi m này v i m cậ ạ ạ ư ế ệ ớ ụ đính giúp cho h c sinh THPT v n d ng và tìm ra phọ ậ ụ ương pháp gi i khi g pả ặ các bài toán gi i phả ương trình ch a n dứ ẩ ướ ấi d u căn
Trong sách giáo khoa Đ i s 10 ch nêu phạ ố ỉ ương trình d ng ạ f (x)= g(x) và trình bày phương pháp gi i b ng cách bi n đ i h qu , trả ằ ế ổ ệ ả ước khi
gi i ch đ t đi u ki n ả ỉ ặ ề ệ f(x) 0. Nh ng chúng ta nên đ ý r ng đây ch là đi uư ể ằ ỉ ề
ki n đ đ th c hi n đệ ủ ể ự ệ ược phép bi n đ i cho nên trong quá trình gi i h cế ổ ả ọ
Trang 3sinh d m c sai l m khi l y nghi m và lo i b nghi m ngo i lai vì nh mễ ắ ầ ấ ệ ạ ỏ ệ ạ ầ
tưởng đi u ki n ề ệ f(x) 0 là đi u ki n c n và đ c a phề ệ ầ ủ ủ ương trình
Tuy nhiên khi g p bài toán gi i phặ ả ương trình vô t , có nhi u bài toánỉ ề đòi h i h c sinh ph i bi t v n d ng k t h p nhi u ki n th c kĩ năng phânỏ ọ ả ế ậ ụ ế ợ ề ế ứ tích bi n đ i đ đ a phế ổ ể ư ương trình t d ng ph c t p v d ng đ n gi nừ ạ ứ ạ ề ạ ơ ả
Trong gi i h n c a SKKN tôi ch hớ ạ ủ ỉ ướng d n h c sinh hai d ngẫ ọ ạ
phương trình thường g p và m t s bài toán v n d ng bi n đ i c b n vàặ ộ ố ậ ụ ế ổ ơ ả
m t s d ng bài toán thộ ố ạ ường g p trong kì thi THPT qu c gia.ặ ố
2.2 Th c tr ng v n đ trự ạ ấ ề ước khi áp d ng sáng ki n kinhụ ế nghi m:ệ
H c sinh trọ ường THPT Th ch Thành 2 nói riêng và m t s h c sinhạ ộ ố ọ
c a các trủ ường mi n núi nói chung, đa s là h c sinh vùng nông thôn, khuề ố ọ ở
v c đ c bi t khó khăn, còn thi u th n v m i m t nên ki n th c THCS cònự ặ ệ ế ố ề ọ ặ ế ứ non y u, ti p thu bài còn ch m, ch a t h th ng đế ế ậ ư ự ệ ố ược ki n th c. Khi g pế ứ ặ các bài toán v phề ương trình vô t ch a phân lo i và đ nh hình đỉ ư ạ ị ược cách
gi i, lúng túng khi đ t đi u ki n và bi n đ i, trong khi đó phả ặ ề ệ ế ổ ương trình lo iạ này có r t nhi u d ng. Nh ng bên c nh đó chấ ề ạ ư ạ ương trình Đ i s 10 khôngạ ố nêu cách gi i t ng quát cho t ng d ng, th i lả ổ ừ ạ ờ ượng dành cho ph n này là quáầ ít.Trong khi đó m y năm l i g n đây trong c u trúc đ thi THPT qu c gia thìấ ạ ầ ấ ề ố câu gi i phả ương trình là câu l y đi m 8 đôi khi là đi m 9 đòi h i m c đ tấ ể ể ỏ ứ ộ ư duy cao c a h c h c sinh.ủ ọ ọ
Qua vi c kh o sát ki m tra đ nh k và vi c h c t p, làm bài t p hàngệ ả ể ị ỳ ệ ọ ậ ậ ngày nh n th y h c sinh thậ ấ ọ ường b qua ho c không gi i đỏ ặ ả ược ho c trìnhặ bày cách gi i đ t đi u ki n và l y nghi m sai ph n này.ả ặ ề ệ ấ ệ ở ầ
2.3. Các gi i pháp đã s d ng đ gi i quy t v n đả ử ụ ể ả ế ấ ề:
M t s d ng và ph ộ ố ạ ươ ng pháp gi i: ả
Qua nghiên c u trao đ i và đúc rút kinh nghi m t th c t và ý ki nứ ổ ệ ừ ự ế ế
c a đ ng nghi p tôi m nh d n đ a ra hủ ồ ệ ạ ạ ư ướng g i quy t các v n đ trên c aả ế ấ ề ủ
h c sinhọ
v i m t s d ng và phớ ộ ố ạ ương pháp gi i c th t ng d ng:ả ụ ể ừ ạ
* D ng 1 ạ : ph ng trình ươ f (x)= g(x) (1)
Đi u ki n ề ệ g(x) 0 là đi u ki n c n và đ c a phề ệ ầ ủ ủ ương trình (1), sau
khi gi i phả ương trình f(x) = g 2 (x) ch c nỉ ầ g(x) 0 đ k t lu n nghi m màể ế ậ ệ không c n ph i thay vào phầ ả ương trình ban đ u đ th đ l y nghi m.ầ ể ử ể ấ ệ
* D ng 2: ạ phương trình f(x) g(x) (2)
Phương trình (2) f(x) 0
Trang 4Đi u ki n ề ệ f(x) 0 là đi u ki n c n và đ c a phề ệ ầ ủ ủ ương trình (2). Chú ý đây không nh t thi t ph i đ t đi u ki n đ ng th i c
ở ấ ế ả ặ ề ệ ồ ờ ả f(x) và g(x) không
âm vì f(x)=g(x)
Hai d ng trên là hai d ng c b n mà h u h t các em h c sinh có th n mạ ạ ơ ả ầ ế ọ ể ắ
v ng đữ ược sau khi được giáo viên hướng d n.ẫ
*D ng 3: S d ng l ạ ử ụ ượ ng liên h p đ đ a ph ợ ể ư ươ ng trình v ề
Ví d 1ụ : Gi i phả ương trình: 10x+1+ 3x− 5= 9x− 4+ 2x− 2
Phân tích: 10x1(9x+4)=3x5(2x2) nên ta có l i gi i sauờ ả
L i g iờ ả : Đi u ki n: ề ệ 5
�
+ 3
Trang 5Phân tích : Khi ghép các bi u th c trong căn ta th y:ể ứ ấ
(3x 2 − − +) (x 1) = 2x− 3
� � và phân tích bi u th c còn l i ể ứ ạ 2x2 − − =x 3 (2x 3 − ) (x+ 1)
xu t hi n nhân t chung.ấ ệ ử
Phân tích : ta nh m nghi m ho c dùng ch c năng CALC c a máy tính ẩ ệ ặ ứ ủ
b túi ta tìm đỏ ược nghi mệ x=5 ho c ta tìm m t s ặ ộ ố x 1 6
V y ậ x=5 là nghi m duy nh t.ệ ấ
Ví d 6ụ : Gi i phả ương trình: 5x− + 1 3 9 − =x 2x2 + 3x− 1(Hsg k12 HN
2012)
Phân tích: Tương t ta th y x=1 là nghi m, ngoài cách làm nh trên ta ự ấ ệ ư
còn có th làm nhanh nh sau: Thay ể ư x=1 vào 5x− 1 ta được 2,vào 39 x− ta
được 2 vì th ta tách nh sau.ế ư
Trang 6V y phậ ương trình có nghi m là ệ x=1.
c) Tìm đ ượ c nhi u h n m t nghi m ề ơ ộ ệ :
Ví d 7ụ : Gi i ph ng trình: ả ươ 2x2 − + −x 3 21x− + − − = 7 x2 x 4 0
Phân tích: Dùng máy tính ta th y ph ng trình có 2 nghi m ấ ươ ệ x=1 và x=2.
Suy ra phương trình s có nhân t chung là ẽ ử x2 − + 3x 2.Ta th y ngay không th ấ ểnhân và chia lượng liên h p v i hai căn đó ngay .V y thì làm th nào đ tách ợ ớ ậ ế ểnhóm t o ra ạ x2 − + 3x 2?.Ta th c hi n nhóm gi đ nh sau ự ệ ả ị
Ví d 8ụ : Gi i ph ng trìnhả ươ : 2x 2 − 4x 9 − + 5x 6 + + 7x 11 0 + =
Phân tích : Nh m nghi m th y ph ng trình có hai nghi m x=1 vàẩ ệ ấ ươ ệ x=2 nên ta làm xu t hi n bi u th c ấ ệ ể ứ x 2 − − x 2 làm nhân t chung.ử
L i gi iờ ả : Đk x 6
5
−
Pt � 2 x( 2 − − = + − x 2) (x 2 5x 6 + + + −) (x 3 7x 11 + )
Trang 7phương trình đã cho v phề ương trình b c hai: ậ At2+Bt C+ = 0
Ví d 1ụ : Gi i phả ương trình: x2 + x2 + 13 29 = (ĐH C nh sát nhân dân –ả 2000)
Gi i: ả
Phương trình đã cho tương đương v i: ớ (x2 + 13) + x2 + − 13 42 0 =
Đ t: ặ t= x2 + 13 0 > , ta được phương trình:
Ví d 2ụ : Gi i phả ương trình: x2 − 2x+ = 12 6 2x2 − 4x+ 4
t
t
= + = � − + = �
Trang 8Đôi khi có nh ng bài toán không ph i là d ng trên, nh ng v n có thữ ả ạ ư ẫ ể
đ a v phư ề ương trình b c hai đậ ược. Đi u này ph thu c vào s linh ho t trongề ụ ộ ự ạ
gi i toán c a t ng h c sinh. Ta xét ví d sau:ả ủ ừ ọ ụ
Ví d 3ụ : Gi i phả ương trình: 2x2 − 5x+ − 2 2 2x2 − 5x− = 6 1 (Đ d bề ự ị KB2013)
t
t t
− + − = �t= 1
V y phậ ương trình đã cho có các nghi m là: x=1;x=7/2ệ
( ) ( )
P x t
Q x
= � f x t( , ) 0 = (x là n) t đó suy ra đi u ki n c a ẩ ừ ề ệ ủ t
Ví d 1: Gi i phụ ả ương trình:
Trang 90
3 2 3 0
=
= K t h p v i đi u ki n c a ế ợ ớ ề ệ ủ t ta có: t = 3
V i ớ t = 3 ta có: x2 − + = 8x 10 0 � x= 4 � 6 tho mãn đi u ki n c a ả ề ệ ủ x.
V y phậ ương trình có nghi m: ệ x=4 6
Chúng ta có th không c n tìm đi u ki n c a ể ầ ề ệ ủ t nh (4) nh ng khi đóư ở ư các phép bi n đ i ch là phép bi n đ i h qu và nh t thi t ph i thay các giáế ổ ỉ ế ổ ệ ả ấ ế ả
tr c a ị ủ t v a tìm đừ ược đ tìm ể x. Còn n u tìm đi u ki n c a t nh bài trên taế ề ệ ủ ư không c n ph i thay giá tr : ầ ả ị t=1/2 ngược tr l i.ở ạ
B ng cách phân tích nh trên chúng ta có th xây d ng nên cácằ ư ở ể ự
phương trình này m t cách đ n gi n:ộ ơ ả
2(x2 − + −x 1) (x2 + + =x 1) (x2 − +x 1)(x2 + +x 1) ta được phương trình:
2 3 1 4 2 1
x − + =x x + +x Chú ý các đ ng th c sau đ có th sáng t o ra các bàiẳ ứ ể ể ạ toán d ng này:ạ
Trang 10− − +
D th y ễ ấ x= − 4 không ph i là nghi m c a (4)ả ệ ủ
Trang 111. Gi i các phả ương trình:
Trang 122. 2 1235
11
x x
Ví d 1ụ : Gi i ph ng trình: ả ươ 4x2 + − 5 13x+ 3x+ = 1 0
Phân tích : N u chúng ta nhóm nh nh ng ph ng trình tr c:ế ư ữ ươ ướ
ta ch n đọ ược ngay α = − 2;β = 3
Ta có l i gi i nh sau ờ ả ư
L i gi i:ờ ả Đi u ki nề ệ : 1
Trang 132 2
Ta vi t l i phế ạ ương trình nh sau: ư (2x− 3) 2 = − 3x+ + + 1 x 4
Khi đó đ t ặ 3x+ = − + 1 2y 3 , n u đ t ế ặ 2y− = 3 3x+ 1 thì chúng ta không thu được h nh mong mu n, ta th y d u c a ệ ư ố ấ ấ ủ α cùng d u v i d uấ ớ ấ
trước căn
M t cách t ng quát ta có cách đ t n ph sau đây:ộ ổ ặ ẩ ụ
Đ t ặ n a x b' + = ' ay b+ n u ế pa' 0 >
Đ t ặ n a x b' + = − ' (ay b+ ) n u ế pa' 0 <
M t s phộ ố ương trình được xây d ng t h ự ừ ệ
Gi i các phả ương trình sau
Ví d 1 ụ :
a. Gi i phả ương trình x 1 3 x 2 (x 1 )( 3 x) 2 (1)
Trang 142 )
3 )(
) 3 )(
1 (
x
x x
Khai tri n ra ta s để ẽ ượ phc ương trình sau
Bài 3. Gi i ph ng trình sau : ả ươ 4 x+ − = 1 1 3x+ 2 1 − +x 1 −x2
Trang 16Khi đó phương trình chuy n v h phể ề ệ ương trình sau
Trang 17d u b ng khi và ch khi ấ ằ ỉ x=0 V y ta có phậ ương trình:
* N u ta đoán trế ước được nghi m thì vi c dùng b t đ ng th c d dàngệ ệ ấ ẳ ứ ễ
h n, nh ng có nhi u bài nghi m là vô t vi c đoán nghi m không đơ ư ề ệ ỉ ệ ệ ược, ta
Trang 182 2
x
x
= +
3. Gi i phả ương trình: x− +1 3x− =2 5x−1
HD: Đ t đk sau đó bình phặ ương hai vế
ĐS: x = 2
Trang 192.4. Hi u qu c a sáng ki n kinh nghi m đ i v i ho t đ ng giáoệ ả ủ ế ệ ố ớ ạ ộ
d c, v i b n thân, đ ng nghi p và nhà trụ ớ ả ồ ệ ường:
Đ tài c a tôi đã đề ủ ược ki m nghi m trong các năm h c gi ng d y l pể ệ ọ ả ạ ớ
10, được h c sinh đ ng tình và đ t đọ ồ ạ ược k t qu , nâng cao kh năng gi iế ả ả ả
phương trình vô t Các em h ng thú h c t p h n, nh ng l p có hỉ ứ ọ ậ ơ ở ữ ớ ướng d nẫ
k các em h c sinh v i m c h c trung bình c ng tr lên đã có k năng gi iỹ ọ ớ ứ ọ ứ ở ỹ ả các bài t p. H c sinh bi t áp d ng tăng rõ r t. C th các l p kh i 10 sauậ ọ ế ụ ệ ụ ể ở ớ ố khi áp d ng sáng ki n này vào gi ng d y thì s HS hi u và có k năng gi iụ ế ả ạ ố ể ỹ ả
được c b n các d ng toán nói trên, k t qu qua các bài ki m tra th nhơ ả ạ ế ả ể ử ư sau:năm h c 20152016,ọ l p th c hi n d y áp d ng theo sáng ki n kinhớ ự ệ ạ ụ ế nghi m là l p 10C2,ệ ớ l p h c tớ ọ ương đương không áp d ng sáng ki n kinhụ ế nghi m là l p 10C6, sau khi làm bài ki m tra thu đệ ớ ể ược k t qu nh sauế ả ư :
Năm h cọ L pớ T ngổ
số
Đi m 8 trể ở lên Đi m t 5
ể ừ
đ n 8ế Đi m dể ưới 5
Số
lượng
Tỷ lệ
Tỷ lệ
Trên đây là nh ng gi i pháp mà tôi đúc rút đữ ả ược trong su t quá trìnhố
gi ng d y t i trả ạ ạ ường THPT Th ch Thành 2. Phạ ương trình vô t là m t n iỉ ộ ộ dung quan tr ng trong chọ ương trình môn Toán l p 10 nói riêng và b c THPTớ ậ nói chung. Nh ng đ i v i h c sinh l i là m t m ng tư ố ớ ọ ạ ộ ả ương đ i khó, đây cũngố
là ph n nhi u th y cô giáo quan tâm. Qua th c t gi ng d y, tôi th y r ng cácầ ề ầ ự ế ả ạ ấ ằ
phương pháp gi i nêu trên có th áp d ng t t vào vi c d y và h c trong nhàả ể ụ ố ệ ạ ọ
trường hi n nay.ệ
M c dù c g ng tìm tòi, nghiên c u song ch c ch n còn có nhi u thi uặ ố ắ ứ ắ ắ ề ế sót và h n ch Tôi r t mong đạ ế ấ ượ ực s quan tâm c a t t c các đ ng nghi pủ ấ ả ồ ệ
b sung và góp ý cho tôi. Tôi xin chân thành c m n.ổ ả ơ