Sử dụng phương pháp lượng giác hoá để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình vô tỉ

Việc giảng dạy và ôn luyện giúp học sinh giải các bài toán liên quan đến lượng giác hoá, đòi hỏi người giáo viên có phương pháp định hướng cơ bản dạng toán, sử dụng phương pháp nào là logic, biết phân biệt phương pháp nào ngộ nhận là logic. Vấn đề ở chỗ những bài toán nào thích hợp cho việc lượng giác hoá. Nghiên cứu này sẽ đề xuất một số hướng dẫn giúp học sinh giải một số phương trình, bất phương trình và hệ phương trình vô tỉ bằng “con mắt” của lượng giác.

Tên đề tài: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HỐ ĐỂ GIẢI  PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ A. ĐẶT VẤN ĐỀ: Trong hoạt động dạy và học của nhà trường, q trình tìm tịi đúc kết nâng tầm  giải tốn theo hướng tổng qt, từ đó làm rõ nội dung những bài tốn ở dạng đặc biệt,  giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, lơgic, người học sẽ tiếp thu và có nhiều cơ  hội sáng tạo, đó cũng là đổi mới phương pháp dạy học Là giáo viên dạy nhiều năm   bộ  mơn tốn THPT, tơi đã gặp khơng ít những   trắc trở trong việc giảng dạy ở nhiều bài tốn giải phương trình, bất phương trình và   hệ phương trình vơ tỉ. Vì mỗi bài tốn có thể có nhiều cách giải khác nhau, mỗi cách   giải thể hiện được khái niệm tốn học của nó. Trong các cách giải khác nhau đó, có   cách giải thể hiện tính hợp lí trong dạy học, có cách giải thể  hiện tính sáng tạo của   tốn học. Trong đề  tài này tơi muốn hướng dẫn học sinh giải một số phương trình,   bất phương trình và hệ phương trình vơ tỉ bằng “ con mắt” của lượng giác Từ những bài tốn khơng chứa những yếu tố lượng giác, bằng phép đổi biến ta   chuyển bài tốn về lượng giác, cách giải như vậy gọi là phương pháp lượng giác hố   Do đó, qua cơng tác giảng dạy, đúc kết những kinh nghiệm nhiều năm của bản thân  và việc học tập nghiên cứu khoa học, thử nghiệm trực tiếp nhiều năm của giảng dạy,   tơi mạnh dạn trao đổi cùng đồng nghiệp kinh nghiệm của bản thân B. CƠ SỞ LÍ LUẬN: Việc giảng dạy và ơn luyện giúp học sinh giải các bài tốn liên quan đến lượng  giác hố, địi hỏi người giáo viên có phương pháp định hướng  cơ  bản dạng tốn, sử  dụng phương pháp nào là logic, biết phân biệt phương pháp nào ngộ  nhận là logic.  Vấn đề ở chỗ những bài tốn nào thích hợp cho việc lượng giác hố Những kiến thức liên quan: 1) Các hàm số cơ bản: *) Hàm số:  y sin x ,  y cos x Miền xác định:  R Miền giá trị:  1;1 Chu kì:  *) Hàm số:  y tan x Miền xác định:  x R : x Miền giá trị:  R Chu kì:  *) Hàm số:  y cot x Miền xác định:  x R : x Miền giá trị:  R k ,k k ,k Z Z Chu kì:  2) Một số biểu thức lượng giác cơ bản về miền giái trị: *) Nếu  A sin x cos x cos( x *) Nếu  B cos x sin x cos( x 4 ) sin( x ) sin( x 2 sin x cos x  thì ta có  *) Nếu  C *) Nếu  D cos n x sin n x  thì ta có  D 3) Phép đổi biến số: *) Nếu  x k , (k 0)  thì ta đặt  x *) Nếu  x R  thì ta đặt  x k cos , tan , 0; 4 )  thì ta có  ) thì ta có  C 2 A B  hoặc  x k sin , ; 2 ; 2 *)   Nếu   x, y   thoả   mãn   điều   kiện   a x b y c , (a, b, c c cos , 0;2 b *) Nếu  x, y, z  thoả mãn  x yz 0)     ta   đặt   x c sin ,  a y y z xyz  hoặc  xy zx  thì ta có thể đặt  x tan ,  0; y tan , z tan  với  , , ; 2 ; 2 *)  Một số biểu thức (dấu hiệu) thường gặp: Biểu thức Cách đặt x ��t phương trình đã cho trở thành:  tan t tan t tan t 2 sin t sin t sin t x tan t Vậy BPT có nghiệm đúng  x R , giải bất phương trình  x Ví dụ 11: Với  a 32 a2  ln đúng 2a x x2 a2 Nhận xét: Có dạng của ví dụ 10 Giải: ĐK:  x R Đặt  x a tan t , với  t ; 2 2 Bất phương trình đã cho trở thành:  a tan t a 2 sin t sin t sin t a Vậy BPT có nghiệm đứng   x BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: 1) Giải phương trình:  x ĐS:  x x 11 2) Giải bất phương trình:  2( x x2 tan t 2a a tan t a tan t a x 3 a2   31 a2 ) 5a x2 a2 DẠNG 4: Dạng khác Ví dụ 12: Cho phương trình  x x m  (với  m  là tham số)   (1)   a) Tìm điều kiện của  m  để phương trình (1) có nghiệm b) Giải phương trình khi  m Giải: ĐK:  x x 0 Ta thấy rằng  ( x ) x ( x)2 , nên ta đặt  Khi đó phương trình trở thành:  cos t sin t a) Điện để (1) có nghiệm  m x cos t x sin t cos(t  (1’) có nghiệm  b) Khi  m , phương trình đã cho trot thành:  cos(t m ) , với  t m ) 0;      (1’) m 2 cos(t ) cos t t  (do  t 0; ) *) Với  t x x *) Với  t x x Vậy khi  m  phương trình (1) có 2 nghiệm  x ,  x Lưu ý: Bài tốn trên ta có thể giải bằng phương pháp khác Ví dụ : Giải bất phương trình  x x x ĐK:  x x 0 x      (*) Với điều kiện (*) ta đặt  x cos t , với  t 0; Khi đó bất phương trình được chuyển về dạng: cos t cos t t cos t cos t x cos t cos t x x a a x a t ) 0 Vậy bất phương trình có nghiệm  x Ví dụ 13 : Tìm  a  để bất phương trình sau có nghiệm:  a x Giải: a ĐK:  a a cos( a x a .     (*) Với điều kiện (*) ta đặt  x a cos t , với  t 0;      (**) Khi đó bất phương trình được chuyển về dạng: t sin ) a t t Từ (**) ta được:  cos( ) 4 2 a Vậy để bất phương trình có nghiệm thì điều kiện là:  a a cos t a a cos t a cos t 2a (cos t cos( t a 4 ) a    BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: 1) Giải bất phương trình:  x x x ĐS:  x 2) Tìm  a  để BPT sau có nghiệm:  a x a x a ĐS:  a E. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: Qua q trình giảng dạy tơi thấy học sinh đã giải quyết các bài tốn thuộc các dạng   trên một cách nhanh hơn, linh hoạt hơn bằng phương pháp lượng giác hóa. Thực tế,   trong nhiều năm liền tơi may mắn được giảng dạy   các lớp nâng cao có nhiều đối  10 tượng học sinh khá, giỏi. Vào các tiết luyện tập tơi đã có việc lồng ghép phương pháp  lượng giác háo để học sinh giải được các bài tập nâng cao nhằm các em thu thập thên  kiến thức và kinh nghiệm để áp dụng trong các kì thi đại học, cao đẳng Kết quả khảo sát sau khi triển khai đề tài Giỏi Khá Trung bình Yếu Sĩ  Nhóm số SL TL% SL TL% SL TL% SL TL% Nhóm 1 20 40,0% 10 50,0% 10,0% 0,0% Nhóm 2 16 25,0% 10 62,5,0% 12,5% 0,0% F.KẾT LUẬN: Với kết quả nghiên cứu đã đạt được, tơi đã rất thành cơng trong việc hướng dẫn, bồi   dưỡng đối tượng hoc sinh khá, giỏi. Tuy nhiên , để  giải quyết các bài tốn bằng   phương pháp lượng giác hóa thì các en học sinh cần phải nắm vững cơng thức LG  cũng như giải phương trình, BPT lượng giác G. ĐỀ NGHỊ: Trong thời gian tới, nếu có điều kiện tơi sẽ mở rộng nghiên cứ đề tài này Trên đây là một phương giải phương trình, BPT, hệ phương trình vơ tỉ bằng phương  pháp lượng giác hóa trong việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi. Tuy nhiên, đề  tài trên   khơng tránh khỏi những thiếu sót cần bổ sung. Tơi rất mong được sự góp ý q đồng  nghiệp để SKKN của tơi hàn thiệ hơn Xin trân thành cảm ơn! H.TÀI LỆU THAM KHẢO: 1. Phương pháp giải tốn – Lê Hồng Đức (chủ biên) 2. Phương trình và bất phương trình – Phan Huy Khải 3. Giải tích hiện đại – Vũ Tuấn (3 tập) 4. Một số số báo “ Tốn học và tuổi trẻ” XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ                               Triệu sơn, ngày 10 tháng 4 năm 2013                                                                     Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình   viết,                                                                     khơng sao chép nội dung của người khác                                                                                             Ng ười vi ết                                                                                                    LÊ VĂN THẮNG 11 ...Ị: Trong thời gian tới, nếu có điều kiện tơi sẽ mở rộng nghiên cứ đề tài này Trên đây là một? ?phương? ?giải? ?phương? ?trình, ? ?BPT,? ?hệ? ?phương? ?trình? ?vơ? ?tỉ? ?bằng? ?phương? ? pháp? ?lượng? ?giác? ?hóa trong việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi. Tuy nhiên, ...   dưỡng đối tượng hoc sinh khá, giỏi. Tuy nhiên ,? ?để ? ?giải? ?quyết các bài tốn bằng   phương? ?pháp? ?lượng? ?giác? ?hóa thì các en học sinh cần phải nắm vững cơng thức LG  cũng như? ?giải? ?phương? ?trình, ? ?BPT? ?lượng? ?giác G. ĐỀ NGHỊ: Trong thời gian tới, nếu có điều kiện tơi sẽ mở rộng nghiên cứ đề tài n...10 tượng học sinh khá, giỏi. Vào các tiết luyện tập tơi đã có việc lồng ghép? ?phương? ?pháp? ? lượng? ?giác? ?háo? ?để? ?học sinh? ?giải? ?được các bài tập nâng cao nhằm các em thu thập thên  kiến? ?thức? ?và? ?kinh? ?nghiệm? ?để? ?áp? ?dụng? ?trong các kì thi đại học, cao đẳ