Mời các bạn cùng tham khảo Phương pháp giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ được biên soạn bởi thầy giáo Trần Mạnh Tường. Phần 1 có nội dung trình bày cách giải phương trình vô tỉ giải bằng phương pháp biến đổi tương đương; giải phương trình vô tỉ thêm bớt thành hằng đẳng thức; phương trình vô tỉ sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ; phương trình vô tỉ nhân liên hợp. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tại đây.
Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE Contents I PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG II PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ THÊM BỚT THÀNH HẰNG ĐẲNG THỨC III.PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 11 ĐẶT ẨN PHỤ HOÀN TOÀN 11 ĐẶT ẨN PHỤ KHƠNG HỒN TỒN 14 ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 14 ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ 15 IV PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ NHÂN LIÊN HỢP 19 PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ NHÂN LIÊN HỢP TRỰC TIẾP CÁC BIỂU THỨC CĨ SẴN TRONG PHƯƠNG TRÌNH 19 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ NHÂN LIÊN HỢP THÊM BỚT HẰNG SỐ 22 PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ NHÂN LIÊN HỢP THÊM BỚT BIỂU THỨC BẬC NHẤT 25 V PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ 26 VI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ ĐƯA VỀ DẠNG f u f v 32 VII PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG BĐT ĐỂ ĐÁNH GIÁ 38 VIII PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG BĐT BUNHIACOPXKI 42 IX PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ SỬ DỤNG BĐT COSI 46 X PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 50 XI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG TRỊN ĐƯỜNG THẲNG 65 XII PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 70 XI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ CĨ THAM SỐ 71 XIV TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ 78 I PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Phƣơng pháp chung B AB A B B A B A B A B A B B A B Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ B A B A A B2 B A B A B L Đố TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE , ứ ẩ , ệ B B B Đ C B ề ệ ể ế ứ ế ề ế ể x x 3x Bài 1: Gi ứ 1 ( Khối D – 2006) Lời giải A B x 3x (1) x x 3x 2 2 x ( x 3x 1) x 3x x x x 2 ( x 1) ( x x 2) x x x 11x x X Kết luậ P ng ã Nhận xét: P ệm x 1, x ng tổng quát: mx n ax2 bx c, (m, a 0) ều gi ợc theo d ng lũ ợc nghiệm h u tỷ tiế H ể phân tích thành tích A B Nế số ( ầ i, nhân tới, cộng chéo) Cịn nghiệm vơ tỷ ta tiến hành sử dụng l máy tính bỏ ú ể l ợng nhân tử chung bậ , ứ ể ề d ng tích số bậc hai nhân bậc hai mà dễ ợc nghiệm trình: x3 x x x x Bài 2: Gi Lời giải Đ ều kiệ x ịnh: x 2 Ta có: x3 x x x x x3 x2 x 5 x 4 x 2 x x x x x 22 x Vậy: x2 3x 1 x x3 3x x Vì x4 x3 3x x x x x 1 x x 0x (*) x x 13 Với x 3x x 13 Thử l i nghiệ ợc x nghiệm nh t thỏa mãn 13 Kết luận: P ệm nh t x D Nhận xét: ể phân tích ta dùng máy tính casio Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ Chuyên đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE Sử dụng máy tính Casio ta thu được: x1 3.302775638, x2 0.3027756377 Tư Viet đảo: x1 x2 3, x1 x2 1 Nhân tử thu được: x x x x5 x x3 x 22 x Nhập máy tính: Calc 100 x 3x x2 x x x x2 Bài 3: Gi Lời giải 3 x x () 2 7 x x x x x 3 x ) x (do x không nghiệm củ x x 3 x 3 x 2 x x2 0 2 x x 1 x 1 x x3 x 16 x 16 x 4 2 x ( x 5) ( x 2) P Kết luậ P ệm nh t x 1 A hay B n: A B , A B ã Nhận xét: P A hay B D B 2x x2 Bài 4: Gi ọn ểm toán, ta nên chọ n nh t, tức chọn x x x Lời giải P ã x 1 x ới: x 3 x 1 x 2 x 1 x x 3 x 1 x x 3 x x Thử l i ta th y giá trị x 1; x 2; x Đ ều kiện x P Trần Mạnh Tường ều thỏ ã - Kết luận Tập nghiệm củ Bài Gi ã ã 3 T 1; 2; 2 x3 x x - x x 2x 1 Lời giải ã ới: https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ Chuyên đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE x 8 x x2 x x 2x 1 x3 x3 x 1 x x x x x x 2x 1 x x Thử l i ta th y nghiệm củ ã ỉ có giá trị x x3 x x x x x3 C 2 D Bài Tổng nghiệm củ B A x3 x x Lời giải Đáp án: B Đ ều kiện x 1 P ã ới: x3 x x2 x x x3 x 1 x3 x 3 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x3 x3 x x x x x x3 - Tập nghiệm củ ã T 3;1 „ Vậy tổng nghiệm là: 27 x3 18x x 27 x x 1 x 125 Gi sử nghiệm củ Bài 7: C a b với a, b, c số c trình có d ng x S a bc A S 46 B S 47 a tối gi n Tính c C S 48 D S 49 Lời giải Đáp án: B Ta có: 27 x3 18x x 27 x x 1 x 125 x 3x 125 x 3x 16 22 Suy ra: a 16, b 22, c x Vậy S 47 x3 x 4 x x2 x 2020 1009 3x có nghiệ Bài 8: Biết rằ nh t d ng x a bằng: Trần Mạnh Tường b c d e a , b, d , c, e số nguyên tố K a bc d e https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ Chuyên đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ A 901 B 902 TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE C 903 D 904 Lời giải Đáp án: C x3 x 4 x x x 2020 1009 3x x 1 x 1 x 1 x 1 2019 2019 x 1 2019 1 1 2 x 1 x 1 2019 2 2 1 2 x 1 x 1 2019 2 x 1 x 1 2018 x 1 x 1 2019 1 897 1 897 x 1 x 1 1 897 Vậy a 1, b 1, c 3, d 897, e a b c d e 904 Bài 9: Gi sử a, b, c * K x x 3x có nghiêm có d ng x a b c a b c có kết qu B A C D Lời giải Đ ều kiện x P ã ới: x 3x x 3x 1 x 2 x 3x 1 x x 3x x 3x 2 x x 11x x x x 1 x x 3 3 x x x 1 x x Vậy a 2, b 1, c a b c Bài 10: C x2 1 1 x 16 16 x2 1 1 x x x x x (1) 16 2 16 2018 can Tổ Trần Mạnh Tường ệm củ ằng https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ 25 25 A B 16 16 TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 49 C D 16 Lời giải Chọn B x x x x 1 x x 1 x ( ) Từ Ta có (1) x 1 1 x 16 16 x2 1 1 x 16 4 x3 x x 2018 can x2 1 1 x 16 16 x2 1 x x3 x x 16 2017 can 1 x x 1 x x 1 4 1 x2 x x3 x x 16 x x 1 x x 1 1 x D ổ 25 16 ệm II PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ THÊM BỚT THÀNH HẰNG ĐẲNG THỨC x 14 x x 10 Lời gi i Bài 1: Gi x 14 x x 10 x 20 x 25 x 10 x 10 x 5 x 10 x x 10 Bài 3x x x7 Lời giải Cách 1: Đ t t Đ t y x hệ Trần Mạnh Tường x7 t ta có: 3x x t t x 3 y t thành 3t y https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ Chuyên đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE 3x 21 x2 x Cách 2: P ã 49 x 18 x 3x 21 x 21x x 21 x 21 4 7 1 3x 3x 21 2 2 : 1) x x Bài tậ Bài 4x 28 2) x x x3 3) 27 x 18 x x [phƣơng pháp nhóm thành đẳng thức] G x y z y z 11 y z x z x 11 z x y x y 11 ệ Lời giải ĐK x ới cộng với vế theo vé, ta có Cách 1: Nhân vế mỗ 2x y 2z x y z x y z x y z 10 x 10 y 10 z 66 [Dạng toán dạng phƣơng pháp ghi mực đỏ] x 3 y 3 z x 1 y 1 x 1 y 1 z 1 z 1 x y z Cách 2: Đánh giá bất đẳng thức x x y y z z x x 11 y y 11 z z 11* Ta có: x2 4 x 2 x x x x Suy VT * , d u " " x y x y z M t khác, VP * , d “=” x y x y z Vậy x y z x x x x 3x có nghiệm x1 , x2 , x3 ( x1 x2 x3 ) Tính Bài 4: Biế T x1 ( 1) x2 x3 ? A T 5 B T C T D T Lời giải Đáp án: C Đ ều kiện : x 3x Pt x x x x x 4( x x x 1) (2 x 1) Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ 3 x 2 x 3x 2 x x x 1 x 3 1 Vậy T 1 3 4 ( x 3) x x 48 x 24 có d ng x m n p (với Bài 5: Nghiệm nhỏ nh t m, n TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE p số nguyên tố) Tính giá trị T m n p A T 25 B T 27 C T D T Lời giải Đáp án: A Đ ều kiện: 12 x P ới x 3 x x 48 x 24 ã x2 x 9 x 3 x2 8x 48 x 8x 48 x 3 x x 48 x 3 x x 48 1 x 3 x x 48 3 x x x 2 1 2 x x 48 x 2 x 6 x x 5 2 2 x 20 x 12 x 5 Nghiệm nhỏ nh t x 5 31 D x 2 (thỏa mãn) 31 x 5 31 (thỏa mãn) 31 m n p 5 31 25 [Các Bài phân tích đẳng thức] Bài x x2 x Bài x 9x 20 3x 10 HD: PT 3x 10 3x 10 x x Bài Bài x x 3x HD: PT x x x x 9x2 HD: PT x 1 x x x x x 10 80 x 10 HD: PT x x 40 80 x 40 x 2.2 x.19 192 80 x 40 80 x 400 x 19 Bài 10 x2 x 80 x 20 4x 28 HD: PT 196 x 196 x 28 x 196 x 196 x 28 x 63 Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 196 x 224 x 64 28 x 63 28 x 63 14 x 8 28 x 63 10 3x x Bài 11 x HD: PT 4 10 x x * + * 3 10 x x x 12 10 x x 16 x 10 x 12 10 x x 28 x 49 10 3x x Bài 12 x 1 2 x2 2x2 2x HD: PT x 1 x 16 x 16 x x 1 x 1 x2 16 x 1 16 x 24 x 4x 1 x2 Bài 13 x 3 Giải phƣơng trình x x x 3x x x 1 Lời giải 1 x x x 3x x x x x x x x x 3x 3x x x2 x 3x x x x 1 x x 3x x 3x ã Vậy ệm Hệ thống tập tƣơng tự: 2 x x x x x2 4x x x x x 12 x 36 x x x 3x 4 x 21x 22 x x x x Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ x x x 10 x x TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE x3 11 x x x x 12 x 3 x 12 x 28 x 13 x 3x x 3 x 14 x 1 x 3x x x 15 x x x x x 16 x 1 x x x 17 1 x x x x x 18 x x x 11 19 x2 x x2 x x 20 2 x x x 16 21 x 3x x x 2 x 22 x x 4 x x x x2 Bài 14: G 27 2 x 1 x Lời giải Ý tƣởng: Sử dụng phương pháp phân tích đẳng thức + đặt ẩn phụ Đ ều kiện: x Nhân vế với ợc 2, x 1 x 1 x x 1 Chia c hai vế cho x 1 x 1 x 1 x 27 x 1 x 27 x 1 x 27 x 1 x (1) x 1 , ợc x 1 27 x 1 (2) x 1 x 1 x 1 t t 0 t x 1 x 1 t 1 Đ t Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 10 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ x3 36 x 53x 25 3x TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE x 3 x x 3 x Đ t u 2x ; v 3x u u v v u v u uv v u v x x 3x x 36 x 51x 22 x 3 Bài 10 [Dạng toán đƣa u3 ku v kv ] Gi x3 x x x Lời giải x3 x x x x 1 x 1 x x Đ t u 2x , v x u 2u v 2v u v u uv v u v x x x x 12 x x x 1 x Bài 11 [Dạng toán đƣa u3 ku v kv ] Gi x3 x 20 x 1 1 2x Lời giải x3 x 20 x x 3x 1 3x 1 x 3 x Đ t u 3x , v x u 3u v 3v u v u uv v u v 3x x 27 x3 27 x 11x x Bài 12 [Dạng toán đƣa u3 ku v kv ] Gi x3 18 x 30 x 17 x Lời giải x3 18 x 30 x 17 x x x x x Đ t u 2x , v x u 2u v 2v u v u uv v u v x x -1 x3 36 x 56 x 28 x Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 35 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ Bài 13 [Đặt ẩn phụ đƣa dạng tốn TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE ax bx c k dx e dạng u au v av ] x 3x x Lời giải Đ ều kiện: x 1 Đ t y x 1, y P x 3x y thành hệ x y ã , Cộng hai vế củ ợc y x x2 x y y x y x y y x 2 Thay lầ l ợt giá trị y vừ x ợ ầu, ta nhận hai nghiệm 13 1 x 2 Bài 14 [Đặt ẩn phụ đƣa dạng toán ax bx c k dx e dạng u au v av ] x x x Lời giải Đ ều kiện: x Đ t y 8x 1, y P 2 x x y 4 x x y thành hệ 2 8 x y 8 x y ã , Cộng hai vế củ ợc y 2x 1 2 x x y y x 1 y y 2 x Thay lầ l ợt giá trị y vừ Bài 15 [Đặt ẩn 27 x 18 x x phụ đƣa dạng ợ ầu, ta nhận nghiệm x ax bx c k dx e toán dạng u au v av ] Lời giải Đ ều kiện: x Đ t y x ,y 0 P ã Cộng hai vế củ Trần Mạnh Tường 27 x 18 x y 81x 54 x y thành hệ 2 x y y 12 y , ợc https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 36 Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE 2 2 81x 63x 12 y y x 3 x y y y 3x x y x y y 3x Thay lầ l ợt giá trị y vừ x ợ ầu, ta nhận hai nghiệm 7 33 5 37 x 18 Bài 16 [Đặt ẩn phụ đƣa x3 36 x 53x 25 3x dạng ax bx c k dx e toán dạng u au v av ] Lời giải Đ t y 3x P 8 x3 36 x 53x 25 y thành hệ 3x y ã , Cộng hai vế củ ợc x3 36 x 56 x 30 y y x 3 x y y x y x 3 y x 3 y 1 y 2x 2 x 3 y x 3 y Dễ th y x 3 y x 3 y ầu, ta nhận hai nghiệm x x Thay y x Bài 17: 5 8 x3 x y x3 x x , ta có 6 x y Lời giải Cộng vế : x3 x y y x y x xy y y 2x D x x x x x x cos x cos , x cos 5 7 , x cos 9 BTLT : Giải phƣơng trình : 1) x 2 x 2) x 2x 5 3) x x x 4) 49 x 65x 17 x 5) 75 x 79 x 28 3x Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 37 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ 6) x3 x 10 x 13 x TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 7) x3 12 x x 3x 8) 128 x3 288 x 218 x 61 x VII PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG BĐT ĐỂ ĐÁNH GIÁ x x x 22 x 28 13x 43x 37 3 x 3 Bài 1: Lời giải 75 x2 x x 2 Ta có x 22 x 28 x 1 x 3 x 3 x 3 2 2 2 1 7 7 7 13x 43x 37 x x x x 2 2 2 2 x 2 x x ợc VT VP x 2 x Cộng vế x 1 x x2 Bài 2: Gi x 1 x x2 2 Dễ th y x không nghiệm củ N ã x 1 x x x x x 1 x x x x x 3 x 2 x2 x2 x2 x2 Nhận xét: x 2 x x 3 x 1 x2 2 x x 1 x2 x Vậ Bài 3: Gi ã x 1 ệm x xy y x3 y x2 y x 2 x xy y Nhận xét: x 0, y không ph i nghiệm Nếu x 0, y vế trái củ ( ) ỏa mãn x, y Vì xy x y nên 1 x xy y x x y y x y x y Trần Mạnh Tường 3 https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 38 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 2 x y x3 y x y x2 y 2 M t khác xy x xy y 4 x y xy x2 y 2 Ta chứng minh x3 y x2 y x2 y 5 Ta có 5 x3 y3 x2 y x y x3 y 3x y 3x y Dễ th y x x y x y 3x y y x y x y 3x y Kết hợp với 3 x x3 y x xy y 2 5 x y x y ta có x2 y x x2 y x x y 2x y 6 x Từ 3 x y x y y 1 Bài G 2 2 x xy y x xy y x y 1 x 12 y xy y x y ệ Lời giải x xy y x xy y Ta có: 2x y x y 2 x 2y x y 2 x y x y 3x y x y x y 1 2 x y x y x y Thế vào (2) ta có: 3x 19 x x x x2 x x 1 3x x 2 19 x 2x 4 x2 x x2 x 2 x x 2 x 1 3x x 2 x 19 x 19 x x y x2 x TM Vậy hệ x y Bài [Đặt ẩn phụ, đánh giá khó] Gi i hệ Trần Mạnh Tường ệm 1 x y 4 1 y z 16 16 9 z x 16 16 https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 39 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ Lời giải Đ ều kiện: x, y, z 16 13 Đ t: a x ; b y ; c z Ta có: 12 12 12 a b 3 25 49 c b 48 48 25 49 a c 48 48 TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 25 49 3; nên: 3 48 48 Do Nếu a 0, b a b Vô nghiệm 3 Nếu a 0, b a b Vô nghiệm 3 b.c 0; a.c Suy a b c abc Vậy a.b T ằng a b c Dễ th y số hai số cịn l ũ 19 13 Suy x; y; z ; ; 12 12 12 1 2 x x y y Bài Giải hệ 3 x y y x Lời giải Đ ều kiện x 0, x xy y ế 1 , ta có y 0 B x3 xy xy y Thay 3 vào 3 ợc xy xy y y y 2x y xy xy x y y y x x y y x y2 Từ 1 suy y y x x x y y y x y y x x y x x x x Ta có y y y y x y x y y x y y x x y x x y (4) D 1 x 1 y x 2y x y y x y y x y y x y y x x y (4) x x y y Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 40 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ x x y y x Đẳng thức x y x y y2 4 x x x y y Bài x y x y TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 1 2 Lời giải Từ 2 x2 y x y y 1 2 x2 y x 1, y Nếu x x x ta có y hệ có nghiệm y 1 Nếu x x , nhân vế 1 với 1 4 x2 x2 x2 x2 y3 y 2 x ta có x2 x2 y3 y 3 x2 x2 y3 y x2 1 x y y 1 Với x ; x 1; y ; ta có nghiệm Bài 4 x2 1 , x2 , y 1 y 1 nên vô [Đánh giá] G x3 y x xy y 1 13 2 4 x y x y x y xy 4 ệ Lời giải Nhận xét: x y không ph i nghiệm hệ nên x2 xy y 2 x y 2 x y x xy y (1) x y 3 3 2 x xy y x xy y 3 x xy y 2 Từ (3) x y * L i có x y x y x y x y xy Từ (2) (4) Trần Mạnh Tường 13 x y 2xy xy 5 4 https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 41 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ Nếu xy từ (5) ta có : TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE 13 3 x y xy 2 xy x y (mâu thuẫn) 4 13 xy Từ (5) ta có: 13 x y 13 2 xy x y x y x y x y xy xy 4 1 x y 3 x y 4 xy ẳng thức x y x y x y x y 1 Do x y x y Đối chiếu với (*) ta th VIII PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG BĐT BUNHIACOPXKI x x x 10 x 27 Bài 1: G Đề Lời giải x ệ f x VT x x T g x VP x 10 x 27 Đ f x x 10 x 27 x 5 2 g x x 1 x D "" x N ệ B C S 1 1 D 12 x4 "" x x 6 x 2 x4 6 x x 1 ủ ỏ x x , ã x 10 x 27 " " 1 , x x Kế ợ Nhận x t ằ ế ổ ề D ệ , ế x ệ ậ lớ ế 2 x 10 x 27 x 5 x x ế ề ế ụ ệ x2 x 1 x2 x x2 x Bài 2: G ụ ẳ ẳ ứ ể ứ B.C.S N ậ ế 1 Lời giải Đề ệ x x x x 0, x Trần Mạnh Tường x 1 1 x 2 https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 42 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ Á ụ BĐT B.C.S x x 1; 1; ố 1; 1 VT x x x x TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 2 x2 x 1 x2 x x T VT x x x x x 1 , 3 S ề " " x2 x 1 x2 x x 1 ệ , x 1 ệ ằ x 1 2 x x 1 x x x Từ 1 , , 3 D x x x 3 x Nhận x t Để lớ Rồ ợ 12 x x 1 x x 1 x Hay Hay x x x x2 x VT , ẽ A B VP lớ ứ Bài Gi i hệ x4 1 2 y4 2 ế ằ ệ ụ ị ẳ ứ B.C.S ể ị y x Lời giải 4 x y 3 24 1 y 1 x y x mâu thuẫn 3 2 với x y ta có x y Nếu x y T x4 x4 3 1 x x x 3 2 Theo b ẳng thức Bunhiacosky, ta có: Ta có: 2 x4 62 x2 x4 x 3 3 3 Từ ; 3 x Vậy hệ có hai nghiệm: x; y là: Bài 4: G ; 3 x x x 2 6; x x 6; ; 6; ; 6; 13 x x x x x x x x 1 Lời giải Ý tƣởng: Đánh giá dùng B.C.S 2 1 1 Nhận xét x x x x x3 x 2 2 Nên b Trần Mạnh Tường ã 13 x x x x https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 43 Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE x x x x 13 1 Nên a c b d a b2 c2 d Dễ th y 2 2 1 3 2x 2x 2x 4x x 2 2 1 x 2 12 1 5 13 2 2 1 x x x Vậy (1) x y x x x 3 x 1 Bài 5: G Lời giải x 3 x 1 x x x 3 T x 3 x 1 x D x "" B.C S x 1 1 x 3 12 12 x 1 h n x 1 ể x ệ ab ứ ế ệ ab x2 6x ẳ ứ ệ ứ C ể x x C ụ ệ é ẳ ể ụ ằ ợ ế ố) Cụ https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 44 x3 ể ế ( ứ x 3x ể ể ứ ú ợ A B x2 4 x ứ B.C.S C 1 x x ụ 3 x x x 4 x x 3x x 30 t D ẳ x x 1 x 1 x 1 x 6x ỉ Từ 1 , , 3 2 x x x5 x x x x 10 Bài 6: G ụ ụ ổ x 3x 27.x3 Lời giải Đề Á Trần Mạnh Tường ệ ụ 2 x4 ẳ ứ C ợ Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE x x x2 x x 3x 27.x3 27 x3 Á ụ ẳ x x 2 3 ứ B.C.S x 4 x x ợ 4 x 1 B.C S 2 x2 4 x 2 4 2 3 x x x 4 x x L Từ 1 , 5 Đẳ 1 x x x 4 x x x x2 4 x 2 ứ x "" 3x x 30 5 , 3 , x 4 x x 27 x3 x x2 4 x 1 Kế ợ ề ệ , ệ ủ x 13 x x x x 32 Bài 7: Gi Lời giải Cách 1: Áp dụng b ẳng thức AM-GM Ta có: 13 x x x2 x4 13 13 x 39 x x (8 x ) 26 (1) 2 3 13 x 39 x x (8 x ) 6 (2) 2 Từ (1) (2) ta có 13 x x x x 32 x x 2 10 5x2 x Vậy 13 x x x x 32 2 9 x x Cách 2: Áp dụng b ẳng thức Bunhiacopxki Ta có 322 13 x x x x x2 13 26 13x 3 3x 2 x 13 27 26 13x 3x 16.5x 16 x Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 45 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ 5x 16 16 x TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 2 322 IX PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ SỬ DỤNG BĐT COSI 13 x x x x 32 Bài 1: Gi Lời giải ẳng thức AM-GM Cách 1: Áp dụng b Ta có: 13 13 x 39 x 2 13 x x x (8 x ) 26 (1) 2 4 x2 x4 3 13 x 39 x x (8 x ) 6 (2) 2 Từ (1) (2) ta có 13 x x x x 32 2 10 x x x x Vậy 13 x x x x 32 2 9 x x ẳng thức Bunhiacopxki Cách 2: Áp dụng b Ta có 322 13 x x x x x2 13 26 13x 3 3x 2 x 13 27 26 13x 3x 16.5x 16 x 5x 16 16 x 322 Bài x3 x2 5x 4 16 x 1 Gi Lời giải Đ ều kiện: x 1 Ta có : 4 16 x 4 2.2.2 x 1 x 1 x Đẳng thức x y x x Từ (1) x3 x 5x x x x 1 x x x Bài 3: Nghiệm củ 1 ab c 1 có d ng với a, b, c x x K 2a 3b 4c có kết qu Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 46 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ A 25 B TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE C 10 D 20 Lời giải Chọn A x Đề ệ T 1 1 x Cauchy 1 x x x x x x 1 Cauchy 1 x x x x Từ 1 , D x 1 1 x x x 2 " " x 1 x 1 1 x x2 x x x 2 x 1 x Kế ợ ề ệ , ệ x ủ 1 a Vậy b 2a 3b 4c 25 c Bài G x y 7( x y ) xy xy 2( x y ) (1) (2) y x x ệ Lời giải Đ ều kiện x , y Từ (1) ( x y)( x y xy) xy xy( x y ) T xy x y ( x y ) xy ( x y ) 2 BĐT C 2 x2 y xy xy ( x y)2 xy( x y)2 4( x y) xy (x y) 2 ( x y xy ) xy ( x y ) 4( x y ) xy ( x y)( x y xy) xy xy( x y ) Đẳng thức x y x y vào (2) x x x ( x 3) 2 2x x Do x 3 x 2 2 2x x Trần Mạnh Tường 2 2x x https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 47 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ x3 x 3 y Bài G TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE x y xy 2( x y ) 4 x x 9( y 1) x ệ Lời giải Đ ều kiện: x Từ xy (1) (2) (2) y Ta có x y xy x y ;0 xy x y x y x y xy 2 2 xy x y x y x y xy 1 x y x y xy xy D x2 y2 x y Ta có x x x x 1 x x x 11 Bài G 11 x x 1 x 81x3 279 x 315 x 125 1 2 xy 1 y 1 2x x y 1 2x 1 y ệ 1 1 2 Lời giải 1 Đ ều kiện x, y 0; 2 * 1 Ta có x , y suy 4 1 2 xy xy x2 1 y2 , a, b 0; a.b ** ta có M C ứ 1 a 1 b ( ): 3 1 a Theo B.C.S ta có Từ (4) (5) ụ 3 ab Ta có 1 0 2 2 1 a 1 b b ab a b ab 1 a 1 b ab 2 1 a 1 b 2 a b ab 1 1 2 a b ab 1 ab 1 a 1 b L 2 Á ( ) ú , ẳ ứ x ỉ 4 ab 5 a b ( ) a x, b y ta có : Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 48 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ 1 2 xy 1 2x 1 y TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE ẳ ứ x x y Thay vào (2) ta có ỉ u x ợc hệ v x 2 1 94 u u x x 2u 2v 36 ho c ho c suy 2 2u v v v 24 y y 36 2 x y 1 Bài Gi i hệ 3 3 x y x y x ĐK y xy 3 3 Ta chứng minh b ẳng thức x y x y x y B ẳng thức x y x y x 1 2x 1 x x Đ t Áp dụ BĐT ế trái củ 1 L i có x 2 Từ (*) (**) ta có : y 1 ( ) ợc 8x3 y 2x y 2 x3 y 8x3 y 2x y x y 1 (*) * * x y 1 x y 1 Suy (2) vô nghiệm Vậy hệ ệm 2x y 2x (1) Bài Gi i hệ 3 2 (2) x y x y xy xy x y x Đ ều kiện: y Áp dụ BĐT C , x3 y x y xy x y x y xy 4x y x y x y xy xy xy x y xy xy Đẳng thức x y x y xy D (2) x y 2 xy xy x y Thay vào (1) ta có x 3 x 3 2 x 2x x 2x x 1 2 20) (Vì x nên 2x x 2x x Tập nghiệm hệ S 3 2x x 2x Trần Mạnh Tường x3 https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 49 ... ớng dẫn th y Đ y2 2 011 y 2 011 2 011 ? Ta có: x x2 2 011 y2 2 011 y y y2 2 011 x2 2 011 x Cộng vế với vế ta có x Luyện tập : Gi 1) x 2x 2) x 3)2 3 6x x2 5 )1 3x 4x x x x 10 ) 11 ) 12 ) 1 x x2 x2 3x x x2... x 1? ?? x x x 11 Bài G 11 x x ? ?1 x 81x3 279 x 315 x 12 5 1 2 xy 1? ?? y 1? ?? 2x x y 1? ?? 2x 1? ?? y ệ ? ?1? ?? ? ?1 2 Lời giải 1? ?? Đ ều... 2 2 1 2 x 1? ?? x 1? ?? 2 019 2 x 1? ?? x 1? ?? 2 018 x 1? ?? x 1? ?? 2 019 ? ?1 897 ? ?1 897 x ? ?1 x ? ?1 ? ?1 897 Vậy a 1, b 1, c 3,