Đề tài “Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong chương trình Toán phổ thông”, sẽ giúp cho học sinh khi gặp một số phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ở dạng chưa quen, đã dùng các phép biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, lượng giác hóa, hình học… mà vẫn chưa giải được thì có một hướng suy nghĩ tiếp theo là sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải quyết bài toán đó.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG Người thực hiện: Mai Sỹ Thủy Chức vụ: Hiệu trưởng SKKN thuộc mơn: Tốn MỤC LỤC Nội dung Trang Mục lục 1. Mở đầu 2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1. Cơ sở lý luận kiến 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng 2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4 2.4. Hiệu quả của sáng kiến đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 17 3. Kết luận 18 3.1. Kết luận 18 3.2. Kiến nghị 18 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài: Trong tốn học phổ thơng, các bài tốn về phương trình và bất phương trình, hệ phương trình chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng, nó xuất hiện hầu hết trong các kỳ thi tuyển sinh các cấp, kỳ thi chọn học sinh giỏi tốn cấp tỉnh, cấp Quốc Gia…. Điều tất nhiên khi gặp những bài tốn về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình khơng dạng cơ bản học sinh phải mất rất nhiều thời gian, cơng sức để giải quyết nó. Đối với những bài tốn đó đề bài tuy được phát biểu hết sức ngắn gọn, sáng sủa và đẹp đẽ nhưng học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn khi đi tìm lời giải. Đứng trước vấn đề trên trong q trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, tơi đã ln trăn trở và đi tìm những thuật giải, những hướng đi cụ thể để giúp học sinh tìm tịi có hướng phán đốn, có phương pháp giải quyết vấn đề tốt nhất. Nhưng chúng ta đã biết khơng có một chìa khố vạn năng nào có thể “mở khố” được mọi bài tốn. Trong khi đó việc giảng dạy tốn học nói chung và trong bồi dưỡng học sinh giỏi tốn nói riêng, việc làm cho học sinh giải quyết được vấn đề đặt ra của bài tốn một cách sáng tạo, hồn chỉnh là rất cần thiết. Trong bài viết này, dựa trên kinh nghiệm một số năm giảng dạy, luyện thi Đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi tốn, tơi xin nêu lên một vài hướng giải quyết bài tốn về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình với đề tài “Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài tốn về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong chương trình Tốn phổ thơng” 1.2. Mục đích nghiên cứu: Như chúng ta đã biết khi đứng trước một bài tốn thơng thường phải nghiên cứu, chuyển về bài tốn quen thuộc, đã biết nếu có thể. Tuy nhiên việc chuyển về những bài tốn quen thuộc khơng phải lúc nào cũng làm được. Chính vì vậy, việc nghiên cứu đề tài “Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài tốn về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong chương trình Tốn phổ thơng”, sẽ giúp cho học sinh khi gặp một số phương trình, bất phương trình, hệ phương trình dạng chưa quen, đã dùng các phép biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, lượng giác hóa, hình học… mà vẫn chưa giải được thì có một hướng suy nghĩ tiếp theo là sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải quyết bài tốn đó 1.3. Đối tượng nghiên cứu: Đề tài sẽ nghiên cứu về sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số vào việc giải một số phương trình, bất phương trình và hệ phương trình 1.4. Phương pháp nghiên cứu: Trong đề tài tác giả đã xây dựng phương pháp trên cơ sở lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số. 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến Sáng kiến này dựa trên cơ sở lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số. Cụ thể: Ta xét D là một trong các tập con dưới đây của R : (a; b), [a; b), (a; b], (− ; a), (− ; a], (a; + ), [a; + ), R 2.1.1. Định nghĩa: Hàm số f ( x) xác định trên D được gọi là: i) Đồng biến trên D nếu ∀x1 ; x2 �D; x1 < x2 thì f ( x1 ) < f ( x2 ) ii) Nghịch biến trên D nếu ∀x1 ; x2 �D; x1 < x2 thì f ( x1 ) > f ( x2 ) Hàm số f ( x) đồng biến hoặc nghich biến trên D được gọi chung là đơn điệu trên D 2.1.2. Định lý: Hàm số f ( x) xác định trên D có đạo hàm trên D : i) Nếu f '( x) 0; ∀x D thì hàm số f ( x) đồng biến trên D ii) Nếu f '( x) 0; ∀x D thì hàm số f ( x) đồng biến trên D (Dấu " = " chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên D ) 2.1.3. Một số tính chất được sử dụng trong chuyên đề này Tính chất 1: Giả sử hàm số f ( x) đơn điệu tập D thì phương trình f ( x) = có nhiều nhất một nghiệm thuộc D Tính chất 2: Nếu phương trình f '( x) = có một nghiệm trên tập (a; b) thì phương trình f ( x) = có nhiều nhất hai nghiệm trên (a; b) Tính chất 3: Nếu hàm số f ( x) = đơn điệu trên D thì với u; v D ta có: f (u ) = f (v) � u = v Tính chất 4: i) f ( x) đồng biến trên D thì với u; v D , ta có f (u ) < f (v) � u < v ii) f ( x) nghịch biến trên D thì với u; v D , ta có f (u ) < f (v) � u > v Tính chất 5. Số nghiệm của phương trình u ( x) = v( x) trên D là số giao điểm của của đồ thị các hàm số y = u ( x); y = v( x) (Trên D ) Từ tính chất này và định lý: “Nếu hàm số y = f ( x) liên tục trên [a; b] thì hàm số y = f ( x) đạt được giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất trên D ”, ta có: “Nếu hàm số y = f ( x) liên tục trên [a; b] thì phương trình f ( x) = m có nghiệm khi và chỉ f ( x); m ax f ( x)] khi m [ [a ;b ] [a ;b ] Tính chất 6. Tập nghiệm của bất phương trình u ( x) > v( x) là tập hợp các hồnh độ tương ứng với phần đồ thị hàm số y = u ( x) nằm ở phía trên so với phần đồ thị hàm số y = v( x) Hệ quả: f ( x) thì: i) Nếu tồn tại D D +) bất phương trình f ( x) m được nghiệm đúng ∀x �� f ( x) m D f ( x) m +) bất phương trình f ( x) m có nghiệm x �D � D ii) Nếu tồn tại mDax f ( x) thì: D +) bất phương trình f ( x) m được nghiệm đúng ∀x �� max f ( x) m D +) bất phương trình f ( x) m có nghiệm x �D � mDax f ( x) m 2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến Trong những năm gần đây các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, đề thi học sinh giỏi các cấp có nhiều bài tốn giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mà học sinh đã sử dụng các phương pháp quen thuộc như: Biến đổi tương đương; phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp lượng giác hóa; phương pháp hình học…. nhưng vẫn cịn lúng túng, chưa tìm ra được lời giải hoặc xác định được đường lối nhưng chưa đưa ra được kết quả cuối cùng. Tuy nhiên nếu học sinh nắm chắc tính đơn điệu của hàm số, có kỹ năng vận dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình thì các bài tốn đó sẽ có được lời gải một cách ngắn gọn, chính xác Trong phạm vi sáng kiến này, tơi trình bày một phương pháp giải quyết các bài tốn dạng đó, khi mà các phương pháp thơng thường chưa thể giải được, đó là phương pháp "Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số" 2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề Ở mỗi vấn đề tác giả đưa ra ví dụ, phân tích và trên cơ sở đó sẽ rút ra được phương pháp thực hiện 2.3.1. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: a) x − + x − = b) 3x − − x = − x3 Nhận định: Đối với câu 1, có thể học sinh nghĩ đến việc biến đổi tương đương hoặc bình phương hai vế của phương trình , tuy nhiên sẽ gặp khó khăn trong các phép biến đổi. Câu 2, các phương pháp "truyền thống" khơng khả thi Nếu chịu khó quan sát và chuyển vế đơn giản thì vế trái đều là những hàm số đồng biến (trên một tập nào đó). Lúc này, sử dụng tính đơn điệu để giải quyết bài tốn đã nảy ra trong đầu. Vấn đề cịn lại là đốn nghiệm! Cơng việc này khơng khó, nhưng nếu học sinh cứ thử từng số thì sẽ mất thời gian. Hãy ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương!. Ngày nay, cơng việc này càng dễ dàng hơn nhờ sự trợ giúp của máy tính cầm tay Đáp án: 2 a) Điều kiện x �[ ; +�) Dễ thấy x = là một nghiệm của phương trình Xét hàm số f ( x) = x − + x − trên ( ; + ) , 4x + > 0, ∀x �( ; +�) 4x −1 x2 −1 Do đó, hàm số f ( x) đồng biến trên ( ; + ) Ta có f '( x) = Mặt khác, ta có: f ( x) = x − + x − > 0; ∀x > Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = b) 3x − − x = − x3 (1) Điều kiện x �[ − �; ) (1) � x + x − − x = khơng phải là nghiệm của phương trình Xét hàm số f ( x) = 3x + x3 − − x trên (− ; ) > 0, ∀x �(−�; ) Ta có f '( x) = 21x + 3x + − 4x Suy ra, hàm số f ( x) đồng biến trên (− ; ) Ta có phương trình trở thành: f ( x) = f (1) � x = x= Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: a) x − = 27 x3 − 27 x + 13x − 2 b) 24 x − 60 x + 36 − 1 + =0 5x − x −1 Nhận định: Ý a có thể giải quyết được bằng cách đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại 2 Ta sẽ giải bài tốn trên cũng bằng tư duy như trong Ví dụ 1 nhưng sẽ khó khẳng định được hàm số f ( x) đơn điệu trên tập xác định của nó. Để khắc phục khó khăn này, ta sẽ giải các phương trình trên bằng cách xét hàm số đặ trưng của các phương trình đó Đáp án: a) Điều kiện: x R x − = 27 x − 27 x + 13x − � x − = [(3 x)3 − 3(3 x) + 3.(3 x) − 1] + x − � x − = (3x − 1)3 + x − � x − + x − = (3 x − 1)3 + 2(3x − 1) (*) Xét hàm số f (t ) = t + 2t Ta có f '(t ) = 3t + > 0; ∀t R Từ đó ta có hàm số f (t ) đồng biến trên R Phương trình (*) trở thành: f ( x − 1) = f (3 x − 1) � x − = x − � x − = 27 x − 27 x + x − � 27 x − 27 x + x = � x(27 x − 27 x + 7) = � x = Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = b) 24 x − 60 x + 36 − Điều kiện: x > 1 + =0 5x − x −1 1 1 + = � 25 x − 60 x + 36 − − x2 + =0 5x − x −1 5x − x −1 1 � (5 x − 6) − = x2 − (*) (5 x − 6) − x −1 24 x − 60 x + 36 − Do x > x >1 5x − > Xét hàm số f (t ) = t − 1 > 0; ∀t > ; t > Ta có: f '(t ) = 2t + (t − 1)3 t −1 Vậy, hàm số f (t ) đồng biến trên (1; + ) Phương trình (*) trở thành f (5 x − 6) = f ( x) � x − = x � x = (Thỏa mãn đk) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = Một số bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau: a) 15 − x + − x = b) 3x − + x + = + 12 − x c) x + 23 = x − + x + d) x + 15 = 3x − + x + e) x5 + x3 − − 3x + = x2 + x + h) log3 ( ) = x + 3x + 2x + 4x + x k) + 2( x − 2).3x + x − = g) x3 − ( x + 1)3 = x + − x i) 3x + x = 5x 2.3.2. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau: a) x + + x + < b) 3 − x + − 2x 2x −1 c) x − x + − x − x + 11 > − x − x − Nhận định: Câu a: Học sinh hồn tồn có thể sử dụng phương pháp bình phương hoặc biến đổi tương đương để giải. Tuy nhiên, tơi muốn hướng đến việc sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải quyết, tuy nhiên đốn được một nghiệm của phương trình này mất khá nhiều thời gian (chú ý chọn những số sao cho biểu thức dưới dấu căn là số chính phương) Câu b: Có thể đặt ẩn phụ, nhưng biến đổi khá rối. Bài tốn đơn giản nếu sử dụng tính đơn điệu của hàm số Câu c: khá phức tạp và cũng có thể đặt ẩn phụ. Song nếu quan sát kỹ thì thấy có mối quan hệ tương ứng giưa các vế để có thể sử dụng tính đơn điệu của hàm số Đáp án: a) x + + x + < Điều kiện: x − 3 +) x = − là một nghiệm của bất phương trình +) Với x �(− ; +�) Xét hàm số f ( x) = x + + x + 3; f '( x) = 1 + > 0; ∀x �(− ; +�) 2 x+5 2x + 3 Suy ra, hàm số f ( x) đồng biến trên (− ; + ) x>− Bất phương trình trở thành: f ( x) < f (11) �� x < 11 − < x < 11 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [ − ;11) − 2x 2x −1 Điều kiện: x ( ; ] 2 +) x = là một nghiệm của bất phương trình − 2x Xét hàm số f ( x) = 3 − x + 2x −1 b) 3 − x + − < 0; ∀x ( ; ) Ta có f '( x) = − − x − 2 (2 x − 1) 2 Suy ra hàm số f ( x) nghịch biến trên ( ; ) Bất phương trình trở thành: x f ( x) �f (1) � x �� x �[1; ) x ( ; ) 2 Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là: S=[1; ] c) x − x + − x − x + 11 > − x − x − Điều kiện: x , x − x + − x − x + 11 > − x − x − � ( x − 1) + + x − > (3 − x) + + − x Xét hàm số: f (t ) = t + + t ; t Ta có f '(t ) = 2t t4 + + > 0; ∀t Suy ra hàm số f (t ) đồng biến trên [0; + ) Bất phương trình đã cho trở thành: f ( x − 1) > f ( − x ) � x − > − x � x − > − x � x > Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là S = (2;3] Bài tập vận dụng: Giải các bất phương trình sau: a) x + + x + > b) x3 + 3x + x + 16 < − x + c) x + + x − + x − + 13 x − < d) log x > log3 ( x + 2) 2.3.3. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình 2.3.3.1. Hệ có dạng: f (u ( x)) = f (v ( y )) (1) g ( x; y ) = (2) Phương pháp giải chung: +) Tìm điều kiện của hệ (Ngoài điều kiện để biểu thức trong hệ phương trình có nghĩa, trong nhiều trường hợp, ta cần căn cứ vào nội tại của các biểu thức trong hệ, ta đánh giá để thu hẹp hơn miền chứa nghiệm của hệ). +) Với điều kiện trên, ta suy ra u ( x); v( y ) cùng nhận giá trị trên miền D +) Chứng minh f (t ) đơn điệu trên D (Cần lưu ý rằng, rất ít khi Bài tốn cho trước hàm số f (t ) (Gọi là hàm đặc trưng của hệ phương trình). Do đó phải đi tìm f (t ) Thơng thường, ta tìm f (t ) bằng cách phân li biến số) 10 +) Từ suy ra u ( x) = v( y ) Do đó, ta có hệ mới (Đơn giản hơn): Ví dụ 1. Giải hệ phương trình: u ( x ) = v( y ) g ( x; y ) = x − x = y − y (1) x8 + y = 1 (2) Đáp án: (2) � −1 �x �1; −1 �y �1 Xét hàm số f (t ) = t − 5t ; t �[ − 1;1] Ta có: f '(t ) = 3t − < 0; ∀t [1;1] Suy ra hàm số f (t ) = t − 5t nghịch biến trên [1;1] Phương trình (1) trở thành: f ( x) = f ( y ) � x = y , thế vào (2) ta có: x8 + x − = � x = −1 + −1 + � x = �4 2 Vậy hệ có hai nghiệm: x = y = −1 + và x = y = − −1 + 2 Nhận xét: Thoạt nhìn hệ phương trình, ta thấy điều kiện hệ là x �R; y �R Tuy nhiên, nếu chỉ như thế thì hàm đặc trưng f (t ) = t − 5t khơng phải là hàm đơn điệu. do đó để áp dụng phương pháp này, ta phải “thu gọn” miền chứa nghiệm, để trong miền đó, hàm đặc trưng của phương trình thu được là hàm số đơn điệu Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: x + x − x + = y −1 + y + y − y + = 3x −1 + Đáp án: y −1 �x + x − x + = + � �y + y − y + = 3x −1 + y −1 �x − + ( x − 1) + = (1) � �y − + ( y − 1) + = 3x −1 (2) Từ (1) và (2) ta có: ( x − 1) − ( y − 1) + ( x − 1) + − ( y − 1) + = y −1 − 3x −1 � ( x − 1) + ( x − 1) + + 3x −1 = ( y − 1) + ( y − 1) + + y −1 (3) Xét hàm số f (t ) = t + t + + 3t � f '(t ) = + t t +1 + 3t ln = t2 +1 + t t +1 + 3t ln nhận xét: ∀t � t + > t �−t � t + + t �� f '(t ) > 0; ∀t Do đó hàm số f (t ) đồng biến trên ﾡ 11 (3) trở thành: f ( x − 1) = f ( y − 1) � x − = y − � x = y Thế vào (1) ta có: x − + ( x − 1) + = 3x −1 (4) Theo nhận xét trên ta có: x − + ( x − 1)2 + > Do đó (4) � ln( x − + ( x − 1) + 1) = ( x − 1) ln � ln( x − + ( x − 1) + 1) − ( x − 1) ln = 0(5) Lại xét hàm số g ( x) = ln( x − + ( x − 1) + 1) − ( x − 1) ln 1+ g '( x) = x −1 ( x − 1) + x − + ( x − 1) + − ln = ( x − 1) + − ln < − ln < , Suy ra hàm số g ( x) nghịch biến trên ﾡ (5) trở thành: g ( x) = g (1) � x = � y = Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = 1; y = Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: (4 x + 1) x + ( y − 3) − y = 0(1) x + y + − x = 7(2) (Đề thi tuyển sinh vào đại học khối A năm 2010) Đáp án: ;y Điều kiện x (4 x + 1) x + ( y − 3) − y = 0(1) � (4 x + 1)2 x = (3 − x) − y � (4 x + 1)2 x = [(5 − y) + 1] − y (*) Xét hàm số f (t ) = t (1 + t ) ; f '(t ) = + 3t > 0; ∀t R , hàm số đồng biến trên R Phương trình (*) trở thành: x f (2 x) = f ( − y ) � x = − y �� � 4x = − y Thế vào phương trình (2) ta được: x + ( x � − 4x2 y= − 4x2 ) + − x = 7(**) +) x = khơng phải là nghiệm của phương trình này +) Với x [0; ) − 4x2 Xét hàm số g ( x) = x + ( ) + − x liên tục trên D = [0; ) Ta có: 4 = x(4 x − 3) − < 0; ∀x [0; ) g '( x) = x − x(5 − x ) − − 4x − 4x 12 − x2 ) + − x nghịch biến trên D = [0; ) 1 D y=2 Phương trình (**) trở thành g ( x) = g ( ) � x = �� 2 x= Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất y=2 Vậy hàm số g ( x) = x + ( x − 3x − x + 22 = y + y − y Ví dụ 4. Giải hệ phương trình: 2 x + y −x+ y = (Đề thi tuyển sinh vào đại học khối A năm 2012) Đáp án: x − 3x − x + 22 = y + y − y ( x − 1)3 − 12( x − 1) = ( y + 1)3 − 12( y + 1) (1) 1 x2 + y − x + y = ( x − ) + ( y + ) = (2) 2 1 � � − x �−1 x − � � � 2 Từ (2) suy ra � � �−1 y + � − y � �2 2 Xét hàm số f (t ) = t − 12t; t [1;1] Ta có: f (t ) = 3t − 12 < 0; ∀t [1;1] Suy ra hàm số f (t ) nghịch biến trên [1;1] (1) trở thành f ( x − 1) = f ( y + 1) � x − = y + � x = y + , thế vào (2) ta có: 3 ( y + )2 + ( y + )2 = � y + y + = � 2 y=− �x= y=− �x= � �x = � ; Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là � �y = − � Ví dụ 5. Giải hệ phương trình: � �x = � � �y = − � 2(2 x + 1)3 + x + = (2 y − 3) y − (1) 4x + + y + = (2) Đáp án: Điều kiện: x − y 2 13 (1) � 2(2 x + 1)3 + x + = (2 y − 3) y − � 2(2 x + 1)3 + x + = [2( y − 2) + 1] y − � 2(2 x + 1)3 + x + = 2( y − 2)3 + y − (*) Xét hàm số f (t ) = 2t + t; t Υ [0;+ ) Ta có f '(t ) = 6t + > 0; ∀t Υ [0;+ ) Suy ra hàm số f (t ) đồng biến trên [0;+ ) (*) � f (2 x + 1) = f ( y − 2) � x + = y − , thế vào (2) , ta có: 4 y − + y + = 6(**) +) x = không phải là nghiệm của (**) +) Với x �(2; +�) , Xét hàm số: g ( y ) = 4 y − + y + 4; y �(2; +�) g '( y ) = (4 y − 8)3 + > 0; ∀y �(2; +�) 2y + Vậy hàm số g ( y ) đồng biến trên (2; + ) (**) � g ( y ) = g (6) � y = Với y = � x = 2 Vậy hệ có nghiệm duy nhất y=6 x= Một số bài tập vận dụng: Giải hệ phương trình sau: a) c) x (4 y + 1) + 2( x + 1) x = x y (2 + y + 1) = x + x + y3 + 2x − x = − x − y y = x − + xy + x 2.3.3.2. Hệ có dạng b) d) x +1 + x −1 − y4 + = y x + x( y − 1) + y − y + = y + y = x3 + 3x + x + − x2 − y = − y −1 x = f ( y) y = f ( x) Đây là hệ đối xứng loại 2. Ta có thể giải được bằng cách trừ từng vế hai phương trình của hệ, ta có: ( x − y ) F ( x; y ) = x= y F ( x; y ) = Tuy nhiên bài tốn phát sinh là phương trình F ( x; y ) = Độ khó của hệ phụ thuộc vào độ khó của phương trình này. Tuy nhiên nếu f ( x) là hàm số đơn điệu thì ta có một cách giải khác: Ta xét trường hợp hàm đồng biến. Trường hợp cịn lại làm tương tự y f ( x) f ( y) y x Giả sử x � 14 Vậy, ta có: x y y � x = y . Thế vào 1 trong 2 phương trình ta được: x = f ( x) x Đây là phương trình một ẩn Ví dụ: Giải hệ phương trình x2 + x = y y2 + y = 2x Đáp án: Điều kiện: x 0; y x2 + x y= � � y + y x= 2 �x + x = y �2 y + y = 2x x=0 là một nghiệm của hệ y=0 +) Nếu x = � y = Do đó: +) Nếu x > � y > Xét hàm số f (t ) = Ta có f '(t ) = t + t2 + t ;t > > 0; ∀t > Vậy f (t ) đồng biến trên (0; + ) t x = f ( y) Hệ trở thành: y = f ( x) y Giả sử x � Vậy, ta có: x= f ( x) x y f ( y) y x y � x = y . Thế vào 1 trong 2 phương trình ta được: x x2 + x � x2 − x + x = � x x − x + = x =1 � x x − x − x + = � ( x − 1)( x + x − 1) = x= 3− 3− x=0 x =1 Vậy, hệ đã cho có 3 nghiệm: ; ; y=0 y =1 3− y= f ( x) = g ( y) Nhận xét: Với hệ , trong đó f (t ); g (t ) là các hàm số cùng đồng f ( y ) = g ( x) x= biến, hoặc cùng nghịch biến trên D , ta cũng có cách giải tương tự. 15 2.3.4. Ứng dụng tính đơn điệu để biện luận số nghiệm của phương trình; bất phương trình, hệ phương trình Bài tốn về biện luận số nghiệm, có nghiệm trên một tập hợp cho trước là bài tốn rất thường gặp trong q trình học tập và trong các kỳ thi. Ngồi việc u cầu học sinh nắm vững các kiến thức cơ sở, bài tốn cịn địi hỏi óc tư duy, sáng tạo. Đối với dạng tốn này cũng có nhiều phương án giải quyết, trong đó phương án sử dụng tính đơn điệu của hàm số sẽ cho ta lời giải ngắn gọn, độc đáo và được đánh giá rất cao! Ví dụ 1. Tìm m để phương trình 3x 2x 2x mx có nghiệm duy nhất Đáp án: Điều kiện x > 3x − 3x − 2x −1 3x − x = x − + mx � − =m�m= x 2x −1 x 2x −1 2x −1 Xét hàm số f ( x) = 3x − x x2 − 8x + ; f '( x) = > 0; ∀x �( ; +�) 2x −1 (2 x − 1)3 Ta có bảng biến thiên: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x) và đường thẳng y = m (Cùng phương với trục Ox ) Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m R Ví dụ 2. Tìm m sao cho phương trình: − x + + x − (2 − x)(2 + x) = m (1) có nghiệm Đáp án: Điều kiện: −2 x Đặt t = − x + + x ; t > � )t − + 4= +2 x t + )t = − (4 − − x ) = − ( − x + + x ) �� < t �2 Vậy t 2 Ta có (2 − x)(2 + x) = t2 − 16 t2 − = m � −t + 2t + = 2m (2) 2 Xét hàm số f (t ) = −t + 2t + 4; f '(t ) = −2t + Phương trình trở thành: t − Ta có bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm thuộc [2; 2] � − �2m �4 � 2 − �m �2 Ghi chú: Đối với ẩn phụ ở trên, (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm t và bắt buộc nghiệm t đó phải thuộc [2; 2] Điều này, học sinh thường bỏ sót trong các phép đặt ẩn phụ đối với phương trình, bất phương trình chứa tham số Ví dụ 3. Tìm m sao cho bất phương trình: m x x m được nghiệm đúng với x R Đáp án: Điều kiện: x R m x + < x + m � m( x + − 1) < x � m < x 2x2 + −1 (Vì x + − > 0; ∀x R ) Xét hàm số: f ( x) = x x2 + −1 ; f '( x) = − x2 + x + 9( x + − 1) +) f '( x) = � − x + = � x + = � x = �6 +) f '( x) > � − x + > � x + < � x − 36 < �� x (−6;6) x (−�; −6) U (6; +�) +) f '( x) < �� Ta có bảng biến thiên: 17 Từ bảng biến thiên, ta thấy bất phương trình: m x x m được R m