SKKN Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình

Mục lục I Đặt vấn đề Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục đề tài II Giải vấn đề Cơ sở lí thuyêt Thực trạng vấn đề Ứng dụng Thực nghiệm sư phạm III Kết luận Bài học kinh nghiệm Đề xuất kiến nghi Trang 1 2 2 18 19 19 19 SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH I ĐẶT VẤN ĐỀ 1 Lí chọn đề tài Giải phương trình, bất phương trình mảng kiến thức lớn quen thuộc học sinh vấn đề giải thế nhanh, gọn hợp logic? Đó câu hỏi mà biết giáo viên học sinh ngày đêm tìm câu trả Ở lớp 12 có phần ứng dụng đạo hàm với tính ưu việt giải rất nhiều dạng tốn đặc biệt dùng để giải phương trình, bất phương trình Tuy nhiên qúa trình dạy học tơi nhận thấy đa số học sinh thiếu tư duy, sáng tạo, nói học sinh rất lúng túng vận dụng kiến thức hàm số, tính đơn điệu hàm số trình giải phương trình, bất phương trình Nguyên nhân em chưa hiểu chất vấn đề, chưa có kỹ kinh nghiệm việc vận dụng hàm số vào giải toán Muốn bồi dưỡng cho học sinh lực tư hàm số người thầy kiến thức chuyên sâu cần có lịng say mê nghề nghiệp lực truyền thụ tốt để giúp học sinh tìm hiểu cách logic chất tốn học, thơng qua giải tốn lên lớp Từ giúp em có sự say mê việc học mơn toán, để toán học trở nên gần gũi sự yêu mến, hứng thú học hỏi, niềm say mê em học sinh Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư mơn tốn tơi tập trung khai thác cách giải phương trình, bất phương trình phương pháp dụng tính đơn điệu hàm số Khi sử dụng phương pháp này, tốn phương trình, bất phương trình giải quyết cách rất tự nhiên, túy, ngắn gọn đơn giản Đó lí để tơi chọn đề tài : “ Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình- bất phương trình” Mục đích đề tài: - Chỉ cho học sinh thấy tính ưu việt phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số vào giải số phương trình, bất phương trình - Các vấn đề tơi trình bày viết hỗ trợ cho em học sinh lớp 12 có cách nhìn tồn diện cách tiếp cận hàm số để giải tốn phương trình, bất phương trình, đặc biệt phương trình, bất phương trình có tham số Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành viết với đề tài nói tơi phải nghiên cứu dạng tốn phương trình, bất phương trình đặc biệt tốn phương trình, bất phương trình chứa tham số -Phạm vi nghiờn cứu: Phạm vi nghiên cứu đề tài toàn chương trình đại số giải tích thuộc mơn tốn Trung học phổ thơng đặc biệt phần: phương trình, bất phương trình, phương trình, bất phương trình vơ tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình mũ logarit Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu lý luận - Nghiên cứu thực tiễn - Tổng kết kinh nghiệm - Thực nghiệm sư phạm Bố cục đề tài: Đề tài chia làm ba phần chính: Đặt vấn đề Giải quyết vấn đề Kết luận II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lý thuyết: 1.1 SGK Đại số 10 định nghĩa phương trình bất phương trình ẩn sau: Cho hai hàm số: f(x) với tập xác đinh Df , g(x) với tập xác đinh Dy Đặt D = D f ∩ D y Ta đặt vấn đề tìm gía tri a ∈ D cho: f ( a) = g (a ), ( f(a) > g(a) ) Khi ta nói đẳng thức f(x) = g(x) phương trình (bất đẳng thức f(x) > g(x) bất phương trình) ẩn Số thực a gọi nghiệm phương trình (bất phương trình), D tập xác đinh phương trình (bất phương trình) Giải phương trình (bất phương trình) tìm tất nghiệm Đinh nghĩa nêu lên mối quan hệ hữu khái niệm hàm số, phương trình bất phương trình 1.2.Tính đơn điệu hàm số: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm D Nếu f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ D hàm số f ( x) đồng biến (tăng) D Nếu f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ D hàm số f ( x) nghich biến (giảm) D (Dấu “=” xảy số điểm hữu hạn D) Nếu hàm f ( x ) tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) phương trình f ( x ) = k , k ∈ R có khơng q nghiệm khoảng (a;b) Nếu hàm f ( x ) tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) ∀u, v ∈(a,b) ta có f (u ) = f ( v ) ⇔ u = v Nếu hàm f ( x ) tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) ∀u, v ∈(a,b) ta có f (u ) < f ( v ) ⇔ u < v ( f (u ) < f ( v ) ⇔ u > v ) Nếu hàm f ( x ) tăng g ( x ) hàm giảm khoảng (a;b) phương trình f ( x ) = g ( x ) có nhiều nhất nghiệm thuộc khoảng (a;b) Định lý Bolzano–Cauchy : Nếu hàm số f ( x) liên tục [ a; b ] f ( a ) f ( b ) < tồn nhất điểm x0 ∈ ( a; b ) để f ( x0 ) = Nếu hàm số f ( x ) đơn điệu liên tục [ a; b ] f ( a ) f ( b ) < tồn nhất điểm x0 ∈ ( a; b ) để f ( x0 ) = Nếu f ( x ) hàm số đồng biến (nghich biến) y = n f ( x), n ∈ N , n ≥ đồng biến (nghich biến), với f ( x) f ( x ) > nghich biến (đồng biến), y = − f ( x ) nghich biến (đồng biến) Tổng hàm đồng biến (nghich biến) D đồng biến (nghich biến) D Tích hai hàm số dương đồng biến (nghich biến) D hàm đồng biến (nghich biến) D 1.3 Các dạng toán liên quan: Từ tính chất ta có phương án biến đổi sau: Phương án 1: Biến đổi phương trình dạng: f(x) = k, nhẩm nghiệm chứng minh f(x) đồng biến (nghich biến) để suy phương trình có nghiệm nhất Phương án 2: Biến đổi phương trình dạng: f(x) = g(x), nhẩm nghiệm dùng lập luận khẳng đinh f(x) đồng biến g(x) nghich biến hàm suy phương trình có nghiệm nhất Phương án 3: Biến đổi phương trình dạng: f(u) = f(v) chứng minh f đơn điệu ta có: u = v Đối với bất phương trình biến đổi dạng f (u ) < f ( v ) chứng minh f đơn điệu để kết luận Thực trạng vấn đề: 2.1 Về giáo viên học sinh: Sử dụng tính đơn điệu hàm số vào giải phương trình, bất phương trình tốn thường xun gặp kỳ thi tốt nghiệp, cao đẳng đại học thực tế giáo viên học sinh, đặc biệt Trung tâm GDTX đề cập đến, đơi cịn né tránh 2.2 Về tài liệu học tập nghiên cứu: SGK sở ban đầu để nghiên vấn đề này, chưa có nhiều tập, ví dụ đề cập đến vấn đề Trên thi trường tài liệu phần chưa có dành riêng cho mà muốn học tốt phần GV HS phải nghiên cứu, tổng hợp từ nhiều tài liệu khác Chính ly từ đầu năm học 2012 – 2013 lên kế hoạch dự giờ, thăm lớp, dạy thực nghiệm dạy đối chứng khối 12, trao đổi với đồng nghiệp sau tiết dự giờ, tiết giảng dạy để có học kinh nghiệm rút Ứng dụng 3.1 Giải phương trình, bất phương trình khơng chứa tham số Ví dụ 1: Giải phương trình: x + x − + x + + x + 16 = 14 Nhận xét: Khi gặp dạng toán chứa căn, thường ta phải khử thức cách bình phương, lập phương nhân lượng liên hợp Trong ta nhân liên hợp Giải Cách 1: Dùng lượng liên hợp Điều kiện: x ≥ Khi x + x − + x + + x + 16 = 14 ⇔ x − + x − − + x + − + x + 16 − = 1   ⇔ ( x − 9)  + + + ÷= ⇔ x = x−5 +2 x+7 +4 x + 16 +   x +3 Do 1 1 + + + > 0, ∀x ≥ x +3 x−5 +2 x+7 +4 x + 16 + Vậy x = nghiệm phương trình Cách 2: Ngồi cách giải thơng thường ta dùng hàm số: Điều kiện: x ≥ Đặt f ( x) = x + x − + x + + x + 16 Ta có f ′( x) = x + 1 + + > 0, ∀x ∈ ( 5; +∞ ) x − x + x + 16 Do hàm số f ( x) = x + x − + x + + x + 16 đồng biến [ 5; +∞ ) Mà f (9) = 14 nên x = nghiệm nhất phương trình Nhận xét: Ở cách 2: Sử dụng tính đơn điệu hàm số ta giải quết toán ngắn gọn dễ hiểu nhiều Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 2x + + 2x + + 2x + = (1) Giải Cách 1: 2x + + 2x + + 2x + = ⇔ 2x + + 2x + = − 2x + ⇔ ( 2x +1 + 2x + ) =(− 3 ) 2x + ⇒ ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) = 2x + ⇔ ( x + 1) ( x + ) ( x + ) = ( x + ) ⇔ x + = ⇔ x = −1 Ngược lại với x = −1 thay vào (1) thỏa mãn Vậy nghiệm phương trình cho x = −1 Cách 2: Đặt f ( x ) = x + + x + + x + Ta có: f ' ( x) = (2 x + 1) + ( x + 2) + 3 > 0; ∀x ≠ − ,−1,− 2 (2 x + 3) Do hàm số f ( x ) đồng biến     Mà f  − ÷ = −1 + −2; f ( −1) = 0; f  − ÷ = + 2; xlim f ( x) = ±∞ nên suy x = −1 →±∞  2  2 nghiệm nhất phương trình cho Ví dụ 3: Giải phương trình: 4x − + 4x2 − = (1) Nhận xét: Quan sát vế trái phương trình (1), ta thấy x tăng giá trị biểu thức tăng Từ suy vế trái hàm đồng biến ,vế phải hàm hằng, điều kiện thích hợp để sử dụng tính đơn điệu hàm số Giải Điều kiện: x≥ Đặt f ( x ) = 4x − + 4x2 − Do hàm số f ( x) = Ta có f ' ( x) = f ( x ) = 4x − + 4x2 − 4x 1  + > 0, ∀x ∈  ; +∞ ÷ 4x −1 2  4x −1 1  đồng biến  ; +∞ ÷, nên phương trình 2  nếu có nghiệm nghiệm nhất Hơn nữa, 1 f  ÷= 2 nên x= nghiệm phương trình cho x2 + x + Ví dụ 4: Giải phương trình : log = x − 3x + 2x − 2x + Giải ( u > 0; v > ) ⇒ v − u = x − 3x + 2 Đặt u = x + x + 1; v = x − x + phương trình cho trở thành log3 u = v − u ⇔ u + log u = v + log3 v (1) v Xét hàm số f ( t ) = t + log t ta có f ′ ( t ) = + f ( t ) = t + log t đồng biến Khi t > > 0, ∀t > nên hàm số t ln Do từ (1) ta có x = f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v ⇔ v − u = ⇔ x − 3x + = ⇔  x = Vậy nghiệm phương trình cho x = 1; x = Ví dụ 5: Giải phương trình x + − 2x2 + = 2x2 − x + Giải Ta có x + − x2 + = x2 − x + ⇔ x + + x + = x2 + + x2 (*) Xét hàm số f ( t ) = t + + t R Ta có f ' (t ) = 33 (t + 1) + t2 > 0, ∀t ∈ R \ { 0;1} Suy hàm số đồng biến Từ (*) ⇔ f ( x + 1) = f ( x ) x =1 ⇔ 2x = x + ⇔ 2x − x − = ⇔  x = −  2 Vậy phương trình có nghiệm x = − ; x = Ví dụ 6: Giải bất phương trình x + ln x ≤ Giải Điều kiện: x > x Xét hàm số f ( x ) = x + ln x ( 0; +∞ ) Ta có f ′ ( x ) = + > 0, ∀x > nên hàm số f ( x ) = x + ln x đồng biến ( 0; +∞ ) Mặt khác f ( 1) = Do bất phương trình x + ln x ≤ ⇔ f ( x ) ≤ f ( 1) ⇔ x ≤ Kết hợp với điều kiện x > ta nghiệm bất phương trình cho < x ≤ Ví dụ 7: Giải bất phương trình sau: 15 + x − − x > (*) Nhân xét: Đối với bất phương trình này, ta đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình để giải, cịn giải trực tiếp khó khăn Giải Giải bất phương trình 15 + x − − x > Cách 1: Đặt ẩn phụ Điều kiện: −15 ≤ x ≤ Với điều kiện ta đặt u = 15 + x ≥ 0; v = − x ≥ 0; u > v u = 17 − v  u + v = 17 u = 17 − v  u = 17 − v ⇔ ⇔ ⇔ Khi ta có  4 17 − v > + v u − v > u > + v u > ( + v )   u = 17 − v u = 17 − v  ⇔ ⇔  −2 < v < ( v − 1) ( v + ) v + v + <  ( ) Do v ≥ nên ta ≤ v < Suy − x < ⇔ x > Kết hợp với điều kiện −15 ≤ x ≤ ta nghiệm bất phương trình cho < x ≤ Cách 2: Dùng tính đơn điệu hàm số Điều kiện: −15 ≤ x ≤ Xét hàm số f ( x ) = 15 + x − − x [ −15; 2] Ta có f ′( x) = 4 ( 15 + x ) + 44 ( − x) > 0, ∀x ∈ ( −15; ) Suy hàm số f ( x ) = 15 + x − − x đồng biến [ −15; 2] Mà f ( 1) = nên bất phương trình 15 + x − − x > ⇔ f ( x ) > f ( 1) ⇔ x > Kết hợp với điều kiện −15 ≤ x ≤ ta nghiệm bất phương trình cho < x ≤ Ví dụ 8: Giải bất phương trình: log x < log ( + x ) Giải Điều kiện: x > Đặt t = log x ⇔ x = 4t Khi đó, bất phương trình: log x < log ( + x ) ( ) t t 1 2 ⇔ t < log + ⇔ < + ⇔ <  ÷ +  ÷ (*) 5  5 t t t t t     Xét hàm số f ( t ) =  ÷ +  ÷ Hàm số tổng hai hàm đơn điệu giảm 5 5 nên hàm đơn điệu giảm Hơn f ( 1) = nên từ (*) ⇔ f ( t ) > f ( 1) ⇔ t < Với t < ta có log x < ⇔ < x < Vậy nghiệm bất phương trình cho < x < Ví dụ 9: Giải bất phương trình Giải : Điều kiện: x ≥ x + + x − + 49 x + x − 42 < 181 − 14 x (*) Bất phương trình (*) viết lại dạng ( 7x + + 7x − ) +( ) x + + x − − 182 < ⇔ x + + x − − 13 < 6  Xét hàm số f ( x ) = x + + x − − 13  ; +∞ ÷ 7  Do f ′( x) = 7 + >0 7x + 7x − 6   ; +∞ ÷ 7  nên hàm số 6  f ( x ) = x + + x − − 13 đồng biến  ; +∞ ÷ 7  Mà f ( ) = nên x + + x − − 13 < ⇔ f ( x ) < f ( ) ⇔ x < Kết hợp với điều kiện x ≥ ta nghiệm bất phương trình cho ≤ x < Qua ví dụ giải phương trình bất phương trình trên, ví dụ có hai cách giải ta thấy cách giải dùng tính đơn điệu hàm 10 số hay tự nhiên nhiều so với cách giải đầu Cách giải đầu thường biến đổi phức tạp có thấy thiếu tự nhiên, khó tìm lời giải Đây dạng tốn khó học sinh lần đầu tiếp xúc, em chưa quen việc sử dụng phương pháp hàm số để giải Vì việc bồi dưỡng cho học sinh lực tư duy, sáng tạo, vận dụng kiến thức tính đơn điệu hàm số việc làm cần thiết Từ hình thành học sinh Tư linh hoạt giải tốn Bài tập rèn luyện Giải phương trình, bất phương trình sau: 1/ x3 − x + x − 3x + = 3x + + x + 9/ x + + x + ≤ 10/ 2 2/ 3x(2 + x + 3) + (4 x + 2)(1 + + x + x ) = x − x + − x − x + 11 > − x − x − 11/ x3 + 3x + x + 16 − − x > 3/ x + x + − x − x + = − 12/ x( x + x + 16) > 6(4 − x ) 4/ x + x − x + − x + + x + x + = 13/ 5x + 12 x > 13x 5/ log sin x = log tan x x + 3x + < x2 − x − 14/ log 2 2x + 2x + 6/ x − + 4− x = 7/ x3 − x − x + = x + x − ( ) x x 8/ log5 + + = log ( + 1) 3.2 Giải phương trình, bất phương trình chứa tham số Các ví dụ Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: x + x + − x − x + = m có nghiệm Giải Xét hàm số: f ( x ) = Ta có f ′( x) = x2 + x + − x2 − x + 2x + x + x +1 − R 2x −1 x2 − x + ( x − 1) ( x + 1) >  f ′ ( x ) = ⇔ ( x − 1) x + x + = ( x + 1) x − x + ⇔  2 2 ( x − 1) ( x + x + 1) = ( x + 1) ( x − x + 1)  (Vô nghiệm) Mặt khác: f ′ ( ) = > Suy f ′ ( x ) > nên hàm số đồng biến 11 Hơn nữa, lim f ( x ) = lim x →+∞ 2x lim f ( x ) = lim x →−∞ x →+∞ = −1 ; x + x + + x2 − x + x →−∞ 2x x + x + + x2 − x + =1 Bảng biến thiên: x f ′( x) -∞ +∞ + f ( x) -1 Vậy phương trình có nghiệm −1 < m < Nhận xét: Trong tốn khơng thực việc xác định giới hạn hàm số, ngộ nhận tập giá trị hàm số R dẫn đến việc kết luận sai lầm phương trình có nghiệm với m Do việc tìm giới hạn tốn khảo sát cần thiết để tìm tập giá trị Ví dụ Tìm tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt : x + mx + = x + Giải Nhận xét: x = khơng nghiệm phương trình nên với x ≠ , ta có :   x ≥ − x ≥ − x + mx + = x + ⇔  ⇔ 2  x + mx + = ( x + 1) mx = 3x + x −    x ≥ −  ⇔ m = 3x + −  x  Ta có Xét hàm số f ( x) = 3x + − f ' ( x) = +    − ;0 ÷∪ ( 0; +∞ ) x     > 0, ∀x ∈  − ;0 ÷∪ ( 0; +∞ ) x   lim f ( x) = +∞ ; lim f ( x) = −∞ ; lim f ( x) = +∞ + x →0 − x →0 x →+∞ 12 Bảng biến thiên: x f ' ( x) + f ( x) + + +∞ −∞ Từ bảng biến thiên suy phương trình có hai nghiệm thực phân biệt m ≥ Chú ý : Cách 2: Đặt t = x + , phương trình trở thành t ≥  t + ( m − 1) t + − 2m = 2t ⇔  3t − ( m − 1) t + 2m − =  ( 1) Để phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt pt (1) có hai nghiệm lớn ∆ >  Tức  S > ⇔ m ≥ P ≥  Ví dụ 3: Tìm giá tri m để phương trình sau có nghiệm: (9) x2 + 2x + − x + = m Lời giải: Đặt t = x + ≥ , phương trình trở thành: t + − t = m ( *) Nhận xét ứng với nghiệm không âm phương trình (*) có nghiệm phương trình cho, phương trình cho có nghiệm phương trình (*) có nghiệm khơng âm Xét hàm số f ( t ) = t + − t với t ≥ ⇒ f '( t ) = t3 (t + 3)3 − < 13 Mà f ( ) = xlim f ( t ) = nên có bảng biến thiên: →+∞ t f’(t) - f(t) Từ bảng biến thiên suy giá tri cần tìm m là: < m ≤ Ví dụ 4: Chứng minh ∀m > , phương trình sau ln có hai nghiệm thực x + x − = m( x − 2) phân biệt: Giải Do m > nên x ≥ 2 (1) ⇔ ( x − 2)( x + 4) = m( x − 2) ⇔ [ ( x − 2)( x + 4) ] = m( x − 2) x = ⇔ ( x − 2) ( x − 2)( x + 4) − m  = ⇔     x + x − 32 − m = 0(*) u cầu tốn quy chứng minh phương trình (*) có nghiệm (2; +∞) Biến đổi (*) ⇔ m = x3 + x − 32 Xét hàm số f ( x) = x + x − 32 với x > Ta có f ' ( x) = x + 12 x ≥ 0, ∀x > lim f ( x) = +∞ x →+∞ Bảng biến thiên: x f ' ( x) + f ( x) Từ bảng biến thiên suy ∀m > phương trình (*) có nghiệm x > Vậy phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt ∀m > Nhận xét: 14 Sau tìm điều kiện x ≥ việc khảo sát hàm số f ( x) dễ dàng chủ yếu dùng đạo hàm nhiên dùng định nghĩa suy tính đồng biến hàm số f ( x) Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt + x + − x + (1 + x )(8 − x) = m Nhận xét: Bài tốn giải phương pháp thơng thường đặt ẩn phụ t = + x + − x sau chuyển tốn tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước Tuy nhiên cách đặt ẩn phụ thường phải quy giải định lý đảo dấu tam thức bậc hai Định lý chương trình sách giáo khoa giảm tải Vì phương pháp hàm số lựa chọn thích hợp cho dạng tốn Giải Điều kiện: −1 ≤ x ≤ Xét hàm số f ( x ) = + x + − x + ( + x ) ( − x ) [ −1;8]  1 + Ta có f ′ ( x ) = ( − x )   ( 1+ x) − x 1+ x + − x ( 1+ x) ( − x)  ( Mà ( + x ) − x + x + − x ( ) + ) (1+ x) ( − x)     > 0, ∀x ∈ ( −1;8 ) Do dấu f ′ ( x ) phụ thuộc vào dấu − 2x Ta có bảng biến thiên : x -1 f ′( x) + f ( x) - +3 2 3 Từ bảng biến thiên suy giá tri cần tìm m là: ≤ m < + 2 Ví dụ 6: Tìm giá tri m để phương trình sau có nghiệm thực x2 + 2x + − x + = m Giải : Điều kiện: x ≥ −1 15 Đặt t = x + ≥ , Phương trình trở thành t + − t = m (*) Nhận thấy với nghiệm khơng âm phương trình (*) có nghiệm phương trình cho Do phương trình cho có nghiệm phương trình (*) có nghiệm Xét hàm số f (t ) = t + − t [ 0; +∞ ) ' Ta có f (t ) = t3 (t + 3)3 Bảng biến thiên − < 0, ∀t ∈ [ 0; +∞ ) lim f (t ) = x →+∞ t +∞ f ′( t ) f ( t) Dựa vào bảng biến thiên ta có giá tri cần tìm m là: < m ≤ Ví dụ 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm [ 32;+∞ ) log x − 2log x − = m ( log x − ) (1) Giải: Đặt t = log x với x ∈ [ 32; +∞ ) ⇒ t ≥ Khi đó, phương trình (t − 3)(t + 1) t − 2t − t +1 (1) ⇔ =m⇔ =m⇔ =m t −3 t −3 t −3 Với m ≤ phương trình vơ nghiệm Với m > phương trình Xét hàm số f ( t ) = t +1 t +1 =m⇔ = m2 t −3 t −3 −4 t +1 < 0, ∀t ∈ [ 5; +∞ ) ⇔1< m ≤  < m2 ≤  Nhận xét : Ta xét cách tiếp cận khác toán việc sử dụng tam thức bậc hai (1) ⇔ t − 2t − = m ( t − 3) (2) Với m ≤ phương trình vơ nghiệm Với m > phương trình (2) ⇔ t − 2t − = m ( t − 3) ⇔ ( − m ) t + ( 3m − 1) t − ( + 3m ) = 0(3) −3m − (3) có hai nghiệm t = 3; t = Yêu cầu toán thoả t ≥ − m2 −3m − Tức ≥ ⇔1< m ≤ − m2 Ví dụ 8: Cho f ( x) = 2.25 x − (2m + 1)10 x + (m + 2)4 x Tìm m để f ( x) ≥ 0, với ∀x ≥ (8) Lời giải: Ta có: f ( x) ≥ với ∀x ≥ x   x  5 ⇔  ÷  − (2m + 1)  ÷ + m + ≥ 0, ∀x ≥ 2      x ⇔ 2t − (2m + 1)t + m + ≥ 0, ∀t =   ≥ 2÷   2t − t + ⇔ ≥ m, ∀t ≥ ⇔ f (t ) ≥ m 2t −1 [1; +∞) Đặt f (t ) = 2t − t + , ∀t ≥ 2t −1  t = 4t − 4t − ⇒ f '(t ) = =0⇔  t = − ( 2t −1)   2 17 Bảng biến thiên: −∞ t f’(t) − + 2 - - +∞ + +∞ f(t) Vậy m ≤ kết cần tìm Bài tập rèn luyện Xác đinh m để phương trình sau có nghiệm: m( + x − − x + 2) = − x + + x − − x (Đại học, cao đẳng khối B – 2004) Tìm m để phương trình: − x + − x = m có nghiệm nhất Tìm m để phương trình sau có nghiệm nhất: ( log ( mx + 28 ) = − log 12 − x − x 25 ) Tìm m để bất phương trình: (x ) + + m = x x + + với ∀x ∈ [ 0;1] Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x x + x + 12 = m ( 5− x + 4− x ) Tìm m để phương trình có nghiệm nhất: x + − x + 2m x ( − x ) − x ( − x ) = m Tìm m để bất phương trình có nghiệm: ( x x + x + < m log 2 + − x ) Tìm m để với ∀x ∈ [ 0; 2] thoả mãn: 18 ( ) log x − x + m + log x − x + m = Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với ∀x ∈ [ 0; 4] : ( ( x + 1) = ( x + m ) − x + ) 10 Tìm m để bất phương trình có nghiệm x ∈ [ 0;1] : (x ) + + m = x x + + 13 11 Tìm tham số a để bất phương trình nghiệm ∀x : 3cos x − 5cos3 x − 36sin x + 36 + 24a − 12a > 12 Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm với ∀x : ( log ) ( ) x + + log x + ax +6 ≤ Thực nghiệm sư phạm: Để kiểm tra tính khả thi đề tài , tiến hành dạy thử nghiệm nhiều tiết dạy, sau tiết dạy tơi có kiểm tra để khảo sát chất lượng học sinh Vì thời lượng khơng cho phép nên tơi giới thiệu cách làm kết tiết dạy đối chứng tiết dạy thực nghiệm lớp 12A lớp 12B Ở lớp thực nghiệm, giải phương trình, bất phương trình tơi sử dụng tính đơn điệu hàm số Ở lớp đối chứng, tiến hành dạy phương pháp bình thường khác Sau dạy, kiểm tra mức độ hiểu bài, nắm kiến thức học sinh cách làm tập 15 phút cuối buổi học Kiểm tra:( 15 phút) Đề bài: Câu 1: Giải phương trình x + 15 = x − + x + Câu 2: Giải phương trình : −2 x − x + x −1 = ( x − 1) 2 Kết quả: Lớp 12A Số HS 40 Giỏi SL % 10 25 Khá SL % 15 Trung bình SL % Yếu SL % 0 19 Lớp thực 37,5 15 37,5 11,9 21 50 nghiệm 12B Lớp đối chứng 42 0 16 38,1 Từ bảng kết nêu ta thấy lớp dạy thực nghiệm có kết học tập đạt cao Như cách sử dụng tính đơn điệu hàm số phương trình giả nhanh hơn, gọn hơn, hiệu Vì thế kết học tập học sinh nâng lên rõ rệt Mặt khác qua tiết dạy thực nghiệm em rèn khả nhanh nhẹn, khéo léo tạo cho em mạnh dạn, tự tin , yêu thích, ham mê với mơn tốn III KẾT LUẬN Bài học kinh nghiệm: Sách giáo khoa THPT giảm tải nhiều đề thi tuyển sinh vào đại học có nhiều rất khó phát triển từ tập sách giáo khoa, nên để giải qút tốn cần phải sử dụng linh hoạt tính đơn điệu hàm số.Trong năm qua đọc nghiên cứu rất nhiều tài liệu để vận dụng phương pháp bồi dưỡng học sinh ôn thi TN luyện thi đại học, cao đẳng thấy học sinh tiếp thu tương đối chủ động, đa số học sinh hiểu vận dụng tốt trình giải dạng tập Đề xuất kiến nghị: 2.1 Đối với giáo viên: Cần tiếp cận nhanh chóng, tìm hiểu kỹ nội dung chương trình phương pháp dạy học Phải lên kế hoạch học chu đáo, tích cực tham khảo tài liệu, học hỏi bạn bè đồng nghiệp, nâng cao trình độ chun mơn Cần có lịng nhiệt tình, u nghề, có tinh thần trách nhiệm cao cơng việc Mạnh dạn việc đổi phương pháp phát huy tốt tác dụng việc tổ chức trò chơi toán học nhằm nâng cao chất lượng dạy 2.2 Đối với Phòng Giáo dục - Sở Giáo dục: Thường xuyên tổ chức, bồi dưỡng, tập huấn cán giáo viên để giáo viên hiểu rõ vai trò tổ chức thực 20 hiện tốt nội dung nội dung kiến thức khác chương trình nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy, học tập học sinh Mặc dù tham khảo số lượng lớn tài liệu hiện để vừa viết, vừa giảng dạy lớp để kiểm nghiệm thực tế, song lực thời gian có hạn, q trình biên soạn đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót.Tơi rất mong nhận sự đóng góp bạn đồng nghiệp người yêu thích mơn tốn để đề tài có ý nghĩa thiết thực nhà trường Góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao chất lượng Giáo dục phổ thơng Giúp em học sinh có phương pháp - kỹ giải toán liên quan đến hàm số kỳ thi cuối cấp Tôi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG NHÀ TRƯỜNG Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2013 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người thực hiện Lê Bích Hảo 21 Tài liệu tham khảo Sách giáo khoa Đại số 10 – NXB giáo dục Sách giáo khoa Giải tích 12– NXB giáo dục Căn số tốn vơ tỉ - Nxb GD Hoàng Kỳ Sách bồi dưỡng học sinh giỏi tốn Đại số Giải tích 12 – NXB ĐHQG Hà Nội Khảo sát nghiệm phương trình – Nxb GD Lê Hồnh Phị Hàm số - Nxb GD Phan Huy Khải Sách giải đề thi Đại Học – Cao Đẳng 22 23 ... “ Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình- bất phương trình? ?? Mục đích đề tài: - Chỉ cho học sinh thấy tính ưu việt phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số vào giải số phương trình, . .. bất phương trình phương pháp dụng tính đơn điệu hàm số Khi sử dụng phương pháp này, toán phương trình, bất phương trình giải quyết cách rất tự nhiên, túy, ngắn gọn đơn giản Đó lí để tơi chọn... túng vận dụng kiến thức hàm số, tính đơn điệu hàm số trình giải phương trình, bất phương trình Nguyên nhân em chưa hiểu chất vấn đề, chưa có kỹ kinh nghiệm việc vận dụng hàm số vào giải toán