Nguyên hàm các hàm số vô tỷ

NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ. Bài toán 1: Xác định nguyên hàm các hàm số vô tỉ dựa trên tam thức bậc hai. Một số công thức thường được dùng trong phần này: 1/ 2 2 xdx x a C xa      2/ 2 2 ln | | dx x x a C xa       3/ 2 2 2 ln | | 22 xa x adx x a x x a C        4/ 2 1 arcsin 1 dx x C x    5/ 2 1 arccos 1 dx x C x     Mở rộng công thức 4 và 5: 6/   22 1 arcsin 0 x Ca a ax      7/   22 arccos 0 dx x Ca a ax       . Chú ý: Dạng 11 2 a x b dx ax bx c    ta có thể làm như sau: B1: Biến đổi:   11 2a x b ax b      . 2a x b       . Đồng nhất hệ số ta có: 1 1 2aa bb        ( trong đó 11 ; ; ;a b a b đã biết.) B2: Giải hệ phương trình trên tìm ;  B3: Ta có:   11 22 2ax b a x b I dx dx ax bx c ax bx c          22 2ax b dx dx ax bx c ax bx c         Đặt 1 2 2 2 2ax b I dx ax bx c dx I ax bx c        B4: + Tính 1 2 2ax b I dx ax bx c     . Đặt   2 2t ax bx c dt ax b dx      . Từ đó suy ra: 1 2 dt I t C t     2 2 ax bx c C    + Tính 2 2 dx I ax bx c    Biến đổi: 2 2 2 4 b ax bx c a x a a          . Tuỳ thuôc vào dấu của a và  mà ta có tích phân 2 I thuộc dạng cơ bản 2;4;5;6;7 Bài tập áp dụng: Tính các tích phân bất định sau: 1/ 2 22 dx xx  2/ 2 21 1 x dx xx    3/ 2 2 22 2 xx dx xx    4/ 2 1 dx xx  5/ 2 2 34 1 xx dx xx    6/ 2 4 1 1 x dx xx    7/ 2 22x x dx  8/ 2 21 1 x dx xx    9/ 2 32 32 x dx xx    10/ 2 2 21 2 xx dx xx    11/ 2 12 dx xx  12/ 2 34 dx xx  13/   2 23 22 x dx xx    14/ 2 14 dx xx    15/   2 1 23 x dx xx    16/   2 2 23 1 xx dx x    17/   2 2 22 4 x x dx x    18/   2 2 2 3 1 4 x x dx x    19/   2 2 1 1 x x dx x    20/   2 2 1 1 x x dx x    Bài toán 2: Xác định nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến. Dạng 1: Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và n ax b cx d   có dạng: , n ax b I R x dx cx d        với 0ad bc . Phương pháp giải: B1: Thực hiện phép đổi biến: n ax b t cx d    n n n ax b b dt tx cx d ct a       . Từ đó suy ra: ?dx dt . B2: Thay biến x bởi t. Đưa về tích tích phân bất định đối với hàm hữu tỉ. Mà tích phân này đã được học từ tiết trước. Bài tập áp dụng: Tính các tích phân bất định sau: 1/   3 11 dx xx    2/ 3 23 x dx xx    3/ 3 1 xdx x   4/ 12 xdx x  5/ 3 dx xx  6/ 3 1 dx x  7/ 11 dx xx    8/ 1 x dx x  9/ 11 xdx x  10/ 9 dx xx  11/ 1 xdx x  12/ 2 2 1 x dx x  13/ 1x xdx  14/ 4 1 dx x  . 15/ 2 1 dx x   16/ 2 3x x dx  Dạng 2: Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và 2 ax bx c có dạng:   2 ,I R x ax bx c dx    Phương pháp ( Sử dụng phương pháp Euler): Ta xét các trường hợp sau: 1/ Nếu a>0 đặt 2 ax bx c t x a    hoặc t x a 2/ Nếu c>0 đặt 2 ax bx c tx c    hoặc tx c 3/ Nếu tam thức 2 ax bx c có biệt số 0 thì    2 12 ax bx c a x x x x     . Khi đó đặt:   2 1 ax bx c t x x    . Bài tập áp dụng: Tính các tích phân bất định sau: 1/ 22 4x x dx  2/ 2 2x x dx  3/   2x x dx  4/ 2 1 dx x x x    5/ 2 1 1 2 dt xx    6/     2 2 1 4 3 x dx x x x       7/ 2 1 4 3 dx xx    8/ 2 2 2 4 dx x x x    9/ 2 1 dx x x x  10/ 2 2 32 32 x x x dx x x x        Dạng 3: Tính tích phân bất định:   2 11 dx I a x b ax bx c      . Phương pháp giải. Bước 1: Thực hiện phép đổi biến: 1 1 t a x b   2 1 dt ax b pdx tt       ; 11 xb at     . Khi đó:   2 11 dx I a x b ax bx c      2 2 1 1 1 2 11 11 dt ab a t b b c a t a t                    Sau khi rút gọn ta được: 22 2 ;0 ;0 dt t a t b t c dt t a t bt c               B2: Tính các tích phân vừa tìm được. Bài tập áp dụng: Tính các tích phân bất định sau: 1/   2 1 2 2 dx x x x    2/   2 1 2 2 dx x x x    3/   2 1 4 5 dx x x x    4/   2 2 3 3 1 dx x x x    5/   2 2 4 3 dx x x x    6/   2 1 3 2 dx x x x    7/   2 2 1 2 2 dx x x x    8/ 42 21 dx x x x  Dạng 4: Tính tích phân bất định sau:   11 2 22 a x b I dx a x b ax bx c       Phương pháp giải: B1: Biến đổi:   1 1 2 2 a x b a x b      22 a x b       Đồng nhất hệ số: 21 21 aa bb        ( trong đó: 1 2 1 2 ; ; ;a a b b là các hằng số ). Giải hệ phương trình trên tìm ,  B2:     11 2 11 a x b I dx a x b ax bx c          22 11 dx dx ax bx c a x b ax bx c          B3: Tính 1 2 dx I ax bx c      2 2 11 dx I a x b ax bx c      Dễ thấy 12 ;II là hai dạng tích phân đã được nói đến ở phần trên. Bài tập áp dụng: Tính các tích phân bất định sau: 1/     2 23 1 2 2 x dx x x x      2/     2 21 1 3 2 x dx x x x      3/     2 2 1 2 3 x dx x x x      4/     2 23 2 1 2 x dx xx    5/     2 35 12 x dx x x x    6/     2 2 11 x dx xx    7/     2 34 21 x dx xx    8/     2 21 14 x dx xx    BÀI TẬP PHẦN TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1.   32 5 2 4xx dx 2.   2 3 2 2 1xx dx 3.    2 1 2 1 2 5124)32( xxx dx 4.   2 1 3 1xx dx 5.   2 1 2 2008dxx 6.   2 1 2 2008x dx 7.   1 0 22 1 dxxx 8.   1 0 32 )1( dxx 9.    3 1 22 2 1 1 dx xx x 10.    2 2 0 1 1 dx x x 11.   1 0 32 )1( x dx 12.   2 2 0 32 )1( x dx 13.   1 0 2 1 dxx 14.   2 2 0 2 2 1 x dxx 15.   2 0 2cos7 cos  x xdx 16.   2 0 2 coscossin  dxxxx 17.   2 0 2 cos2 cos  x xdx 18.    2 0 cos31 sin2sin  dx x xx 19.   7 0 3 2 3 1 x dxx 20.   3 0 23 10 dxxx 21.   1 0 12x xdx 22.   1 0 2 3 1xx dxx 23.   7 2 112x dx 24. dxxx   1 0 815 31 25.   3ln 0 1 x e dx 27.    1 1 2 11 xx dx 28.   2ln 0 2 1 x x e dxe 29.   1 4 5 2 8412 dxxx 30.   e dx x xx 1 lnln31 31.    3 0 2 35 1 dx x xx 32. dxxxx   4 0 23 2 33.    0 1 3 2 )1( dxxex x 34.   3ln 2ln 2 1ln ln dx xx x 35.   3 0 2 2 cos 32 cos 2cos  dx x tgx x x 36.   2ln 0 3 )1( x x e dxe 37.   3 0 2cos2 cos  x xdx 38.   2 0 2 cos1 cos  x xdx 39. dx x x    7 0 3 3 2 40.   a dxax 2 0 22 . NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ. Bài toán 1: Xác định nguyên hàm các hàm số vô tỉ dựa trên tam thức bậc hai. Một số công thức thường được dùng trong phần. 20/   2 2 1 1 x x dx x    Bài toán 2: Xác định nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến. Dạng 1: Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và n ax b cx d   có dạng: , n ax. 2: Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và 2 ax bx c có dạng:   2 ,I R x ax bx c dx    Phương pháp ( Sử dụng phương pháp Euler): Ta xét các trường hợp sau: 1/ Nếu