NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ. Bài toán 1: Xác định nguyên hàm các hàm số vô tỉ dựa trên tam thức bậc hai. Một số công thức thường được dùng trong phần này: 1/ 2 2 xdx x a C xa 2/ 2 2 ln | | dx x x a C xa 3/ 2 2 2 ln | | 22 xa x adx x a x x a C 4/ 2 1 arcsin 1 dx x C x 5/ 2 1 arccos 1 dx x C x Mở rộng công thức 4 và 5: 6/ 22 1 arcsin 0 x Ca a ax 7/ 22 arccos 0 dx x Ca a ax . Chú ý: Dạng 11 2 a x b dx ax bx c ta có thể làm như sau: B1: Biến đổi: 11 2a x b ax b . 2a x b . Đồng nhất hệ số ta có: 1 1 2aa bb ( trong đó 11 ; ; ;a b a b đã biết.) B2: Giải hệ phương trình trên tìm ; B3: Ta có: 11 22 2ax b a x b I dx dx ax bx c ax bx c 22 2ax b dx dx ax bx c ax bx c Đặt 1 2 2 2 2ax b I dx ax bx c dx I ax bx c B4: + Tính 1 2 2ax b I dx ax bx c . Đặt 2 2t ax bx c dt ax b dx . Từ đó suy ra: 1 2 dt I t C t 2 2 ax bx c C + Tính 2 2 dx I ax bx c Biến đổi: 2 2 2 4 b ax bx c a x a a . Tuỳ thuôc vào dấu của a và mà ta có tích phân 2 I thuộc dạng cơ bản 2;4;5;6;7 Bài tập áp dụng: Tính các tích phân bất định sau: 1/ 2 22 dx xx 2/ 2 21 1 x dx xx 3/ 2 2 22 2 xx dx xx 4/ 2 1 dx xx 5/ 2 2 34 1 xx dx xx 6/ 2 4 1 1 x dx xx 7/ 2 22x x dx 8/ 2 21 1 x dx xx 9/ 2 32 32 x dx xx 10/ 2 2 21 2 xx dx xx 11/ 2 12 dx xx 12/ 2 34 dx xx 13/ 2 23 22 x dx xx 14/ 2 14 dx xx 15/ 2 1 23 x dx xx 16/ 2 2 23 1 xx dx x 17/ 2 2 22 4 x x dx x 18/ 2 2 2 3 1 4 x x dx x 19/ 2 2 1 1 x x dx x 20/ 2 2 1 1 x x dx x Bài toán 2: Xác định nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến. Dạng 1: Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và n ax b cx d có dạng: , n ax b I R x dx cx d với 0ad bc . Phương pháp giải: B1: Thực hiện phép đổi biến: n ax b t cx d n n n ax b b dt tx cx d ct a . Từ đó suy ra: ?dx dt . B2: Thay biến x bởi t. Đưa về tích tích phân bất định đối với hàm hữu tỉ. Mà tích phân này đã được học từ tiết trước. Bài tập áp dụng: Tính các tích phân bất định sau: 1/ 3 11 dx xx 2/ 3 23 x dx xx 3/ 3 1 xdx x 4/ 12 xdx x 5/ 3 dx xx 6/ 3 1 dx x 7/ 11 dx xx 8/ 1 x dx x 9/ 11 xdx x 10/ 9 dx xx 11/ 1 xdx x 12/ 2 2 1 x dx x 13/ 1x xdx 14/ 4 1 dx x . 15/ 2 1 dx x 16/ 2 3x x dx Dạng 2: Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và 2 ax bx c có dạng: 2 ,I R x ax bx c dx Phương pháp ( Sử dụng phương pháp Euler): Ta xét các trường hợp sau: 1/ Nếu a>0 đặt 2 ax bx c t x a hoặc t x a 2/ Nếu c>0 đặt 2 ax bx c tx c hoặc tx c 3/ Nếu tam thức 2 ax bx c có biệt số 0 thì 2 12 ax bx c a x x x x . Khi đó đặt: 2 1 ax bx c t x x . Bài tập áp dụng: Tính các tích phân bất định sau: 1/ 22 4x x dx 2/ 2 2x x dx 3/ 2x x dx 4/ 2 1 dx x x x 5/ 2 1 1 2 dt xx 6/ 2 2 1 4 3 x dx x x x 7/ 2 1 4 3 dx xx 8/ 2 2 2 4 dx x x x 9/ 2 1 dx x x x 10/ 2 2 32 32 x x x dx x x x Dạng 3: Tính tích phân bất định: 2 11 dx I a x b ax bx c . Phương pháp giải. Bước 1: Thực hiện phép đổi biến: 1 1 t a x b 2 1 dt ax b pdx tt ; 11 xb at . Khi đó: 2 11 dx I a x b ax bx c 2 2 1 1 1 2 11 11 dt ab a t b b c a t a t Sau khi rút gọn ta được: 22 2 ;0 ;0 dt t a t b t c dt t a t bt c B2: Tính các tích phân vừa tìm được. Bài tập áp dụng: Tính các tích phân bất định sau: 1/ 2 1 2 2 dx x x x 2/ 2 1 2 2 dx x x x 3/ 2 1 4 5 dx x x x 4/ 2 2 3 3 1 dx x x x 5/ 2 2 4 3 dx x x x 6/ 2 1 3 2 dx x x x 7/ 2 2 1 2 2 dx x x x 8/ 42 21 dx x x x Dạng 4: Tính tích phân bất định sau: 11 2 22 a x b I dx a x b ax bx c Phương pháp giải: B1: Biến đổi: 1 1 2 2 a x b a x b 22 a x b Đồng nhất hệ số: 21 21 aa bb ( trong đó: 1 2 1 2 ; ; ;a a b b là các hằng số ). Giải hệ phương trình trên tìm , B2: 11 2 11 a x b I dx a x b ax bx c 22 11 dx dx ax bx c a x b ax bx c B3: Tính 1 2 dx I ax bx c 2 2 11 dx I a x b ax bx c Dễ thấy 12 ;II là hai dạng tích phân đã được nói đến ở phần trên. Bài tập áp dụng: Tính các tích phân bất định sau: 1/ 2 23 1 2 2 x dx x x x 2/ 2 21 1 3 2 x dx x x x 3/ 2 2 1 2 3 x dx x x x 4/ 2 23 2 1 2 x dx xx 5/ 2 35 12 x dx x x x 6/ 2 2 11 x dx xx 7/ 2 34 21 x dx xx 8/ 2 21 14 x dx xx BÀI TẬP PHẦN TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1. 32 5 2 4xx dx 2. 2 3 2 2 1xx dx 3. 2 1 2 1 2 5124)32( xxx dx 4. 2 1 3 1xx dx 5. 2 1 2 2008dxx 6. 2 1 2 2008x dx 7. 1 0 22 1 dxxx 8. 1 0 32 )1( dxx 9. 3 1 22 2 1 1 dx xx x 10. 2 2 0 1 1 dx x x 11. 1 0 32 )1( x dx 12. 2 2 0 32 )1( x dx 13. 1 0 2 1 dxx 14. 2 2 0 2 2 1 x dxx 15. 2 0 2cos7 cos x xdx 16. 2 0 2 coscossin dxxxx 17. 2 0 2 cos2 cos x xdx 18. 2 0 cos31 sin2sin dx x xx 19. 7 0 3 2 3 1 x dxx 20. 3 0 23 10 dxxx 21. 1 0 12x xdx 22. 1 0 2 3 1xx dxx 23. 7 2 112x dx 24. dxxx 1 0 815 31 25. 3ln 0 1 x e dx 27. 1 1 2 11 xx dx 28. 2ln 0 2 1 x x e dxe 29. 1 4 5 2 8412 dxxx 30. e dx x xx 1 lnln31 31. 3 0 2 35 1 dx x xx 32. dxxxx 4 0 23 2 33. 0 1 3 2 )1( dxxex x 34. 3ln 2ln 2 1ln ln dx xx x 35. 3 0 2 2 cos 32 cos 2cos dx x tgx x x 36. 2ln 0 3 )1( x x e dxe 37. 3 0 2cos2 cos x xdx 38. 2 0 2 cos1 cos x xdx 39. dx x x 7 0 3 3 2 40. a dxax 2 0 22 . NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ. Bài toán 1: Xác định nguyên hàm các hàm số vô tỉ dựa trên tam thức bậc hai. Một số công thức thường được dùng trong phần. 20/ 2 2 1 1 x x dx x Bài toán 2: Xác định nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến. Dạng 1: Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và n ax b cx d có dạng: , n ax. 2: Tính tích phân bất định các hàm hữu tỉ đối với x và 2 ax bx c có dạng: 2 ,I R x ax bx c dx Phương pháp ( Sử dụng phương pháp Euler): Ta xét các trường hợp sau: 1/ Nếu