NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC Phần 1. Nguyên hàm Tìm nguyên hàm của các hàm số 1. A = x(1 − e x x )dx = xdx − e x dx = x 2 2 − e x + C 2. B = x 2 − x + 3 x + 1 dx = (x − 2)dx + 5 x + 1 dx = (x − 2) 2 2 + 5 ln |x + 1| + C 3. C = x 4 + 1 x + 1 dx = x 3 − x 2 + x − 1 + 2 x + 1 dx = x 4 4 − x 3 3 + x 2 2 + 2 ln|x + 1| + C 4. D = dx (x 2 + 1) 3 = 1 √ x 2 + 1 x 2 + 1 dx = √ x 2 + 1 − x 2 √ x 2 + 1 x 2 + 1 dx = d x √ x 2 + 1 = x √ x 2 + 1 + C 5. E = 4 x 3 √ xdx = x 1 3 dx = 3 4 x 3 √ x + C 6. F = 2 x 3 x + 2 −x √ x + 1 dx = 6 x + 1 √ x + 1 x = 6 x dx + d(x + 1) (x + 1) 1 2 = 6 x ln 6 + 2 √ x + 1 + C 7. G = 1 sin x.cos 3 x dx = 1 cos 2 x sin x cos x dx = (tan x + cot x)d(tan x) = tan 2 x + 1 tan x d(tan x) = tan 2 x 2 +ln |tan x|+ C 8. H = x 2 + x + 1 x 3 − 3x + 2 dx = 1 3 1 x + 2 dx + 2 3 1 x − 1 dx + 1 (x − 1) 2 dx = 1 3 ln |x + 2| + 2 3 ln |x − 1| − 1 x − 1 + C 9. K = xdx 3 √ x + 1 − √ x + 1 6 √ x + 1 = t ⇒ x = t 6 − 1 ⇒ dx = 6t 5 dt 10. I = 1 1 + cosx e x dx + sinx 1 + cosx e x dx = 1 2cos 2 x 2 e x dx + tan x 2 e x dx = e x .tan x 2 + C Chú ý: 1 2cos 2 x 2 e x dx = e x d(tan x 2 ) = e x .tan x 2 − tan x 2 e x dx 11. J = sin x − cos x 3 √ sin x + cos x dx = − d(sin x + cos x) 3 √ sin x + cos x = − 3 2 3 (sin x + cos x) 2 + C 12. M = x(1 − x) 20 dx 13. N = x 8 (x 4 − 1) 3 dx = x 3 .x 5 (x 4 − 1) 3 dx Đặt x 5 = u dv = x 3 dx (x 4 − 1) 3 ⇒ du = 5x 4 dx v = −1 8(x 4 − 1) 2 Vậy: N = −x 5 8(x 4 − 1) 2 + 5 8 x 4 dx (x 4 − 1) 2 = −x 5 8(x 4 − 1) 2 + 5 8 .J Tiếp tục đặt x = u dv = x 3 dx (x 4 − 1) 2 ⇒ du = dx v = −1 4(x 4 − 1) Ta có: P = −x 4(x 4 − 1) + 1 4 1 x 4 − 1 dx Cuối c ùng ta đi tính: K = 1 x 4 − 1 dx = 1 2 (x 2 + 1) − (x 2 − 1) (x 2 + 1)(x 2 − 1) dx = 1 2 dx x 2 + 1 + dx x 2 − 1 Q = π 0 x sin x 1 + cos 2 x dx (Đề thi thử số 2-VMF) Đặt t = π −x, ta c ó dt = −dx. Với x = 0, ta có t = π. Với x = π, ta có t = 0. Do đó: I = − 0 π (π − t) sin(π − t) 1 + cos 2 (π − t) dt = π 0 (π − t) sin t 1 + cos 2 t dt = π 0 (π − x) sin x 1 + cos 2 x dx = π π 0 sin x 1 + cos 2 x dx − I = −π π 0 d(cos x) 1 + cos 2 x − I = −π −1 1 dt 1 + t 2 − I = π 1 −1 dt 1 + t 2 − I. Và ta thu được I = π 2 1 −1 dt 1 + t 2 = π 2 I 1 . Bây giờ, ta sẽ tính I 1 : Đặt t = tan u với u ∈ − π 2 , π 2 , ta có dt = (1 + tan 2 u)du. Với phép đặt này, các cận thay đổi như sau: Với t = −1, ta có u = − π 4 . Với t = 1, ta có u = π 4 . Như vậy, I 1 = π 4 − π 4 (1 + tan 2 u)du 1 + tan 2 u = π 4 − π 4 du = u| π 4 − π 4 = π 2 . Cuối cùng, ta được I = π 2 4 . 14. R = 3 3x − x 3 dx Đặt: t = 3 √ 3x − x 3 x ⇒ x 3 = 3 t 3 + 1 ⇒ 2xdx = −9t 2 dt (t 3 + 1) 2 I = 1 2 3 √ 3x − x 3 2xdx x = −9 2 t 3 dt (t 3 + 1) 2 = 3 2 td( 1 t 3 + 1 ) = 3t 2(t 3 + 1) − 3 2 dt t 3 + 1 Tính I = dt t 3 + 1 = d(t + 1) (t + 1)[(t + 1) 2 − 3(t + 1) + 3] = 1 2 (ln3(1 − t) − 2ln 3t + ln(1 + t)) + C 15. I = x 2 − 1 x 4 + 1 dx Chia cả tử và mẫu cho x 2 khi đó ta được: I = x 2 − 1 x 4 + 1 dx = 1 − 1 x 2 (x + 1 x ) 2 − 2 dx Đặt t = x + 1 x ,suy ra dt = (1 − 1 x 2 )dx Từ đó ta sẽ có: I = dx t 2 − 2 = 1 2 √ 2 ln | t − √ 2 t + √ 2 | + C = 1 2 √ 2 ln | x 2 − x √ 2 + 1 x 2 + x √ 2 + 1 | + C 16. √ x 3 + x 2 x dx I = √ x 3 + x 2 x dx = |x| √ x + 1 x dx Với x ∈ (0; +∞) ta được I = √ x + 1dx = 2 3 (x + 1) √ x + 1 + C Với x ∈ (−∞; 0) ta được I = − √ x + 1dx = − 2 3 (x + 1) √ x + 1 + C 17. I = cos 2x cos x − √ 3. sin x dx cos x − √ 3 sin x = 2. 1 2 . cos x − √ 3 2 . sin x = 2. cos x + π 3 I = cos 2x cos x − √ 3 sin x dx = cos 2x 2. cos x + π 3 dx x + π 3 = t ⇔ dx = dt. Suy ra: I = 1 2 . cos 2t − 2π 3 cos t dt I = 1 2 cos 2t. − 1 2 + sin 2t. √ 3 2 cos t dt 18. I = 1 0 1 (x 2 + 1) √ x 2 + 3 dx Trước tiên, ta đổi biến số t = x 2 + 1 x 2 + 3 ⇒ x = 1 − 3t 2 t 2 − 1 dx = 2t 1−3t 2 t 2 −1 · (t 2 − 1) 2 dt Do hàm dưới dấu tích phân liên tục trên [0, 1], ta chuyển thành tích phân bất định để dễ trình bày. Thế kết quả trên vào tích phân đầu bài: I = 2t 1−3t 2 t 2 −1 · (t 2 − 1) 2 · t 2t 2 1−t 2 3/2 dt = 1 √ 2 dt t √ 3t 2 − 1 Nếu đặt u = √ 3t 2 − 1, ta dễ dàng thấy được tích phân này chính bằng 1 √ 2 tan −1 √ 3t 2 − 1 . Thay biến t bởi biến x, ta rút ra kết quả I = 1 √ 2 tan −1 x √ 2 √ x 2 + 3 + C 19. I = 2 1 x 1 − 1 x 4 ln(x 2 + 1) − ln x dx (đề thi thử số 1 của Boxmath.vn) 1 − 1 x 4 = 1 − 1 x 2 1 + 1 x 2 ⇒ x 1 − 1 x 4 = 1 − 1 x 2 x + 1 x ln(1 + x 2 ) − ln x = ln 1 + x 2 x = ln x + 1 x Tới đây chú ý cái đạo hàm x + 1 x ′ = 1 − 1 x 2 Xét : I = 2 1 x 1 − 1 x 4 ln(x 2 + 1) − ln x dx = 2 1 x + 1 x ln x + 1 x 1 − 1 x 2 dx Đặt : t = x + 1 x ⇒ dt = 1 − 1 x 2 dx Đổi cận : x = 1 ⇒ t = 2 ; x = 2 ⇒ t = 5 2 Lúc này ta có : I = 5 2 2 t ln tdt Đặt : u = ln t dv = tdt ⇒ du = 1 t v = t 2 2 Lúc này ta có : I = t 2 2 ln t 5 2 2 − 5 2 2 t 2 dt = ( 5 2 ) 2 2 ln 5 2 − 2 2 2 ln 2 5 2 2 t 2 dt = 25 8 ln 5 2 − t 2 4 5 2 2 = 25 8 ln 5 2 − 2 ln 2 − ( 5 2 ) 2 4 − 2 2 4 = 25 8 ln 5 − 25 8 ln 2 − 2 ln 2 − 9 16 = 25 8 ln 5 − 9 8 ln 2 − 9 16 . Phần 2: Tích phân Tính các tích phân sau 1. A = 3 1 x 4 − x dx = 8 √ 3 1 √ 3 t 2 (t 2 + 1) 2 dt = −4 √ 3 1 √ 3 td( 1 t 2 + 1 ) = − 4t t 2 + 1 | 1 √ 3 √ 3 + 4 √ 3 1 √ 3 1 t 2 + 1 dt t = x 4 − x ⇒ x = 4t 2 t 2 + 1 ⇒ dx = 8t (t 2 + 1) 2 2. A = 2 1 x 4 + 1 x 6 + 1 dx I = 2 1 (x 2 + 1) 2 − 2x 2 x 6 + 1 dx = 2 1 (x 2 + 1) 2 (x 2 + 1)(x 4 − x 2 + 1) dx− 2 1 2x 2 (x 3 ) 2 + 1 dx = 2 1 x 2 + 1 x 4 − x 2 + 1 dx− 2 1 2x 2 (x 3 ) 2 + 1 dx I = 2 1 1 + 1 x 2 x 2 + 1 x 2 − 1 dx − 2 1 2x 2 (x 3 ) 2 + 1 dx Đặt x − 1 x = t ⇔ 1 + 1 x 2 dx = dt và x 3 = u ⇔ 3x 2 dx = du Ta có: I = 3 2 0 1 t 2 + 1 − 2 3 8 1 1 u 2 + 1 du 3. Biến đổi : 3e 2x − 5e x + 4 e x + 1 = 4 + 3e x − 12e x e x + 1 = (4x + 3e x ) ′ − 12 (ln (e x + 1)) ′ Nên: J = 1 0 3e 2x − 5e x + 4 e x + 1 dx = 1 0 d (4 + 3e x − 12 ln (e x + 1)) = (4 + 3e x − 12 ln (e x + 1)) 1 0 4. I = 1 0 x − e 2x x.e x + e 2x dx Ta có I = 1 0 (x + e x ) − e x (1 + e x ) e x (x + e x ) dx = 1 0 1 e x − 1 + e x x + e x dx = − 1 e x − ln |x + e x | 1 0 = 1 − 1 e − ln(1 + e). 5. I = π 4 0 x. tan 2 xdx Chú ý rằng tan 2 xdx = (tan 2 x + 1) − 1 dx = tan x − x + C Đặt u = x v = tan 2 xdx ⇒ du = d x v = tan x − x Từ đó ta có :I = x (tan x − x)| π 4 0 − π 4 0 tan xdx + π 4 0 xdx = x (tan x − x)| π 4 0 + ln(cos x)| π 4 0 + x 2 2 π 4 0 6. I = 2 1 x 3 √ x 3 + 8 + (3x 3 + 5x 2 ) ln x x dx I = 2 1 x 3 √ x 3 + 8 + (3x 3 + 5x 2 ) ln x x dx I = 2 1 x 2 x 3 + 8 dx + 2 1 (3x 2 + 5x) ln x dx I = 1 3 2 1 x 3 + 8 d(x 3 + 8) + 2 1 ln x d x 3 + 5 2 x 2 T = 2 1 x 2 − 1 (x 2 − x + 1)(x 2 + 3x + 1) dx T = 2 1 1 − 1 x 2 (x + 1 x − 1)(x + 1 x + 3) dx Đặt t = x + 1 x ⇒ dt = (1 − 1 x 2 )dx. Khi x = 1 thì t = 2, khi x = 2 thì t = 5 2 Ta có: T = 5 2 2 dt (t − 1)(t + 3) dt = 1 4 5 2 2 1 t − 1 − 1 t + 3 dt = 1 4 .ln t − 1 t + 3 5 2 2 7. I = 2 0 xdx √ 2 + x + √ 2 − x Đặt t = √ 2 − x + √ 2 + x ⇒ t 2 − 4 = 2 √ 4 − x 2 ⇒ (t 2 − 4) 2 = 16 −4x 2 ⇒ t(t 2 − 4)dt = −2xdx Đổi cận : x = 0 ⇒ t = 2 √ 2; x = 2 ⇒ t = 2 Từ đó ta có tích phân : I = 1 2 2 √ 2 2 t t 2 − 4 t dt = 1 2 2 √ 2 2 t 2 − 4 dt = 1 2 t 3 3 − 4t 2 √ 2 2 = 8 − 4 √ 2 3 . NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC Phần 1. Nguyên hàm Tìm nguyên hàm của các hàm số 1. A = x(1 − e x x )dx = xdx − e x dx = x 2 2 −. = 2t 1−3t 2 t 2 −1 · (t 2 − 1) 2 dt Do hàm dưới dấu tích phân liên tục trên [0, 1], ta chuyển thành tích phân bất định để dễ trình bày. Thế kết quả trên vào tích phân đầu bài: I = 2t 1−3t 2 t 2 −1 ·. − ( 5 2 ) 2 4 − 2 2 4 = 25 8 ln 5 − 25 8 ln 2 − 2 ln 2 − 9 16 = 25 8 ln 5 − 9 8 ln 2 − 9 16 . Phần 2: Tích phân Tính các tích phân sau 1. A = 3 1 x 4 − x dx = 8 √ 3 1 √ 3 t 2 (t 2 + 1) 2 dt = −4 √ 3 1 √ 3 td( 1 t 2 +