CHUYÊN đề NGUYÊN hàm TÍCH PHÂN ôn THI đại học

TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0986.035.246 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC A NGUYÊN HÀM ( Tích phân bất định ) Khái niệm Định nghĩa Cho hàm số f ( x) xác định K (K đoạn, khoảng, nửa khoảng) Hàm số F ( x) gọi nguyên hàm hàm số f ( x) K, F '( x) = f ( x) , với x ∈ K Định lý Giả sử F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) khoảng K Khi a Với số C, hàm số G ( x) = F ( x) + C nguyên hàm f ( x) b Ngược lại, G(x) nguyên hàm f ( x) tồn số C cho G(x) = F(x) + C c Họ tất nguyên hàm f ( x) ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , F ( x) nguyên hàm f ( x) , C số Công thức Bảng nguyên hàm Nguyên hàm hàm số thường gặp Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp ∫ dx = x + C ∫ x α dx = x α +1 + C ( α ≠ 1) α +1 dx ∫ x = ln x + C ( x ≠ 0) ∫ e dx = e + C x x ax + C ( < a ≠ 1) ln a cos xdx = sin x + C ∫ ∫ ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos x dx = tan x + C a x dx = ∫ sin x dx = − cot x + C Nguyên hàm hàm số hợp ∫ d ( ax + b) = a ( ax + b) + C ∫ du = u + C ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ α +1 ( ax + b ) dx = ( ax + b ) + C (α ≠ 1) a α +1 dx = ln ax + b + C ( x ≠ ) ax + b a e ax + b dx = e ax +b + C a cos( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C a sin ( ax + b ) dx = − cos( ax + b ) + C a 1 dx = tan ( ax + b ) + C a cos ( ax + b ) 1 dx = − cot ( ax + b ) + C a sin ( ax + b ) α B TÍCH PHÂN ( Tích phân xác định) Trang u α du = u α +1 + C ( α ≠ 1) α +1 du ∫ u = ln u + C ( u ≠ 0) ∫ e du = e + C u u au + C ( < a ≠ 1) ln a cos udu = sin u + C ∫ ∫ ∫ sin udu = − cos u + C ∫ cos u du = tan u + C a u dx = ∫ sin u du = − cot u + C TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0986.035.246 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn Định nghĩa Cho hàm f ( x) liên tục khoảng K a, b hai số thuộc K Nếu F ( x) nguyên hàm f ( x) hiệu số F (b) − F (a ) gọi tích phân b ∫ f ( x)dx Trong trường hợp f ( x) từ a đến b ký hiệu b ∫ f ( x)dx a < b a tích phân f [ a; b ] a Tính chất tích phân Cho hàm số f ( x), g ( x) liên tục K a, b, c ba số thuộc K a • ∫ f ( x) dx = • a b c a a b • ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x) dx b a a b ∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx b b a a • ∫ k f ( x )dx = k ∫ f ( x)dx c b b b a a a • ∫ [ f ( x ) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x)dx Một số phương pháp tính tích phân u (b ) b • Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số ∫ a f [u ( x)]u '( x)dx = ∫ f (u ) du u (a ) Trong f ( x) hàm số liên tục u ( x) có đạo hàm liên tục khoảng J cho hàm hợp f [u ( x)] xác định J; a, b ∈ J Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách Cách Đặt ẩn phụ u = u ( x) ( u hàm x) Cách Đặt ẩn phụ x = x(t ) ( x hàm số t) • Phương pháp tích phân phần Định lý Nếu u ( x), v( x) hai hàm số có đạo hàm liên tục khoảng K a, b hai số b b a a b thuộc K ∫ u ( x)v '( x)dx = u ( x)v ( x ) a − ∫ v( x)u '( x)dx Ứng dụng tích phân 4.1 Tính diện tích hình phẳng Nếu hàm số y = f ( x) liên tục [ a; b ] diện tích S hình phẳng giới hạn b đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b S = ∫ f ( x) dx a Trang TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0986.035.246 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , y = g ( x) hai đường thẳng x = a, x = b b S = ∫ f ( x) − g ( x ) dx a 4.1 Tính thể tích vật thể Thể tích vật thể B giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm a, b b V = ∫ S ( x)dx Trong S(x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng a vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x ∈ [ a; b ] S(x) hàm liên tục 4.2 Tính thể tích khối tròn xoay Hàm số y = f ( x) liên tục không âm [ a; b ] Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục hoành tạo nên b khối tròn xoay Thể tích V tính công thức V = π ∫ f ( x)dx a Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x = g ( y ) , trục tung hai đường thẳng y = c, y = d quay quanh trục tung tạo nên khối tròn xoay Thể tích V tính công d thức V = π ∫ g ( y )dy c TÍCH PHÂN HỮU TỶ Trang TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0986.035.246 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn Bước : Xác định bậc tử thức mẫu thức : Tử ≥ mẫu  Ta thực phép chia đa thức Tử < mẫu  Ta thực phép phân tích mẫu thức Bước Gọi hệ số α , β ( cần ) quy đồng mẫu thức thực phép Đồng hệ số tìm α , β Bước Tách biểu thức thành dạng có nguyên hàm sử dụng phép đổi biến số để thực tiếp yêu cầu Ví dụ minh họa Câu Dạng 1: Tách phân thức x2 I =∫ dx x − x + 12  16  − • I = ∫  1+ ÷dx = ( x + 16ln x − − 9ln x − ) = 1+ 25ln2 − 16ln3 x − x − 3  Câu dx I =∫ 1x • Ta có: + x3 x (x + 1) =− 1 x + + x x x +1  2 1 3 ⇒I =  − ln x − + ln(x2 + 1) = − ln2 + ln5+ 2 2x  1 Câu I =∫ 3x2 + 4x I =∫ − 2x − 5x + dx • 13 14 I = − ln + ln + ln2 3 15 xdx (x + 1)3 x x + 1− = = (x + 1)−2 − (x + 1)−3 ⇒ I = ∫1(x + 1)−2 − (x + 1)−3dx = • Ta có: 3 (x + 1) (x + 1) Câu Trang TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0986.035.246 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn Ví dụ minh họa Dạng 2: Đổi biến số Câu (x − 1)2 I =∫ (2x + 1)4 ( 7x − 1) 99 Câu dx I =∫ 101 ( 2x + 1) • Ta có:  x −   x − ′ ⇒  x −  f (x) =  ÷  ÷ I=  ÷ +C  2x + 1  2x + 1  2x + 1 dx 99 99  7x − 1  7x − 1 dx 1 7x − 1 • I = ∫ = d ÷  ÷ ÷ ∫  2x + 1 ( 2x + 1) 0 2x + 1  2x + 1 100 1  7x − 1 = ×  ÷ 100  2x + 1 Câu 5x I =∫ (x + 4) x7 dx • Đặt dx • Đặt Câu I =∫ Câu I = ∫ x5(1− x3)6dx (1+ x2)5  100  = 2 − 1 900 t = x2 + ⇒ I= ⇒I = (t − 1) dt = t = 1+ x ⇒ dt = 2xdx 1∫ t5 25 11 1 t7 t8  • Đặt t = 1− x ⇒ dt = −3x dx ⇒ dx = ⇒ I = ∫ t (1− t)dt =  − ÷ = 30 3  168 3x ∫ Câu 10 I= Câu 11 I =∫ Câu 12 I =∫ dx x(x4 + 1) dx 10 x.(x + 1) I= Câu 13 1− x7 dx x (1 + x ) ∫ −dt • Đặt t= x •I= ∫ ⇒ I= x4.dx 10 x (x + 1) 1 t  ∫  t − t2 + 1÷dt = ln  Đặt  32 dt ⇒I = t= x ∫ t(t2 + 1)2 1128 1− t • I = (1− x ).x dx Đặt ⇒I = t= x ∫ x7.(1+ x7) ∫ t(1+ t)dt 1 dx x6(1+ x2) Trang TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0986.035.246 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn 3 • Đặt : x = ⇒ I = − t ∫ t6 dt = t +1   117 − 41 π +  t − t + 1− ÷dt = t + 135 12   ∫ Câu 14 2001 x I =∫ 1002 (1+ x ) • I =∫ x2004 1002 (1+ x ) 1x dx dx = ∫ 1 3 1002  x  + 1÷ x  dx Đặt t = x + ⇒ dt = − x3 dx 11 x2000.2xdx Cách 2: Ta có: I = ∫ Đặt t = 1+ x2 ⇒ dt = 2xdx (1+ x2)2000(1+ x2)2 1000 ⇒I = (t − 1)1000 2 1 dt = ∫  1− ÷ 1∫ t1000t2 1 t  Câu 15 I =∫ 1+ x2 1+ • Ta có: x4 1+ x 1+ x4  1 d  1− ÷ =  t  2002.21001 dx 1+ = x2 Đặt t = x − ⇒ dt =  1+  dx  ÷ x x2   x2 + x 2  − 1 t−  = ln = ln  ÷ ⇒I = ∫ t2 − = 2 ∫  t − − t + ÷dt 2 t + 2  + 1÷  1 dt Câu 16 I =∫ 1− x2 1+ x4 1 dx −1  1 = x • Ta có: Đặt t = x + ⇒ dt =  1− ÷dx ⇒I = − dt x ∫ 1+ x x   x2 + 2t +2 x du 5 Đặt t = 2tanu ⇒ dt = ; tanu = ⇒ u1 = arctan2; tanu = ⇒ u2 = arctan 2 cos u 1− x u  2 2 du = (u2 − u1) = ⇒I =  arctan − arctan2÷ ∫ u 2   Câu 17 I =∫ 1− x dx x + x 1 −1 • Ta có: I = x2 dx Đặt t = x + ⇒I = ln ∫1 x +x x Trang TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0986.035.246 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn Câu 18 x +1 dx x + I =∫ x4 + (x4 − x2 + 1) + x2 x4 − x2 + x2 x2 = = + = + x6 + x6 + (x2 + 1)(x4 − x2 + 1) x6 + x2 + x6 + • Ta có: 1 d(x3) π 1π π dx + ∫ dx = + = (x3)2 + 4 x +1 ⇒I = ∫ 3 ∫ I= Câu 19 • I= dx x4 − 3 ∫ x (x2 − 1)(x2 + 1) Câu 20 xdx I =∫ Câu 21 I = x2 0x 1+ ∫ • Ta có: dx = 3  ∫ 1  π  + ÷dx = ln(2 − 3) + 12  x − x + 1 1 dt 11 dt π I= ∫ = ∫ = • Đặt 2 ⇒ 20t + t+1 20 t= x  1   ÷ t+ ÷ +   2   + x +1 x2 + dx x4 − x2 + 1+ x2 + x4 − x2 + = x2 Đặt t = x − ⇒ dt =  1+  dx  ÷ x x2   x2 + − x ⇒I = ∫ dt 0t +1 Đặt t = tanu ⇒ dt = du cos2 u π ⇒I = du = π ∫ TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ Chú ý Ta thường đặt t căn, mũ, mẫu Trang TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0986.035.246 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn Dấu hiệu Có thể chọn a − x2 π π   x =| a | sin t , − ≤ t ≤   x =| a | cost , ≤ t ≤ π x2 − a2 |a| π π   x = sin t , − ≤ t ≤ ; t ≠  x = | a | , ≤ t ≤ π ;t ≠ π  cost x2 + a2 π π   x =| a | tan t , − < t <   x =| a | cott , < t < π a+x a−x Đặt x = a cos 2t a−x a+x Đặt x = a + (b − a )sin t ( x − a)(b − x) Ví dụ minh họa Câu 22 I =∫ x Dạng 1: Đổi biến số dạng dx 3x + 9x − x dx = ∫ x(3x − 9x2 − 1)dx = ∫ 3x2dx − ∫ x 9x2 − 1dx • I =∫ 3x + 9x2 − + I = ∫ 3x2dx = x3 + C1 + I = ∫ x 9x2 − 1dx = 9x2 − 1d(9x2 − 1) = (9x2 − 1)2 + C 18 ∫ 27 ⇒I = (9x2 − 1)2 + x3 + C 27 Trang TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0986.035.246 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn Câu 23 • ∫ x2 + x I =∫ dx 1+ x x x + x 1+ x x x2 dx = ∫ 1+ x x dx + ∫ x 1+ x x dx x2 dx Đặt t= 1+ x x ⇔ t2 − 1= x x ⇔ x3 = (t2 − 1)2 ⇔ x2dx = t(t2 − 1)dt 1+ x x + I1 = ∫ ( ) 4 ⇒∫ (t2 − 1)dt = t3 − t + C = 1+ x x − 1+ x x + C 9 x d(1+ x x) dx = ∫ 1+ x x + C2 + I2 = ∫ = 3 1+ x x 1+ x x Vậy: I = ( 1+ x x 2x + ) Câu 24 I =∫ Câu 25 I =∫ Câu 26 I = ∫ x3 1− x2dx Câu 27 I =∫ 1+ 2x + +C dx dx 2x + 1+ • Đặt t = 2x + 1+ x 1+ x t2 ∫ 1+ t dt =2 + ln2 t = 4x + I = ln − 12 • Đặt: ⇒ I = ( t2 − t4 ) dt = t = 1− x ∫ 15 0 • Đặt 4x + 1 I= dx  t +t  11 dt = 2∫  t2 − t + − − 4ln2 ÷dt = t + 1 + t   0 • Đặt t = x ⇒ dx = 2t.dt I = 2∫ Câu 28 x− I =∫ dx x + + x + 2 2t3 − 8t dt = ∫ (2t − 6)dt + 6∫ dt = −3+ 6ln t+1 t + 3t + 1 • Đặt t = x + ⇒ 2tdu = dx ⇒I = ∫ Câu 29 I= ∫ x x + 1dx −1  4 • Đặt t = x + ⇒ t = x + 1⇒ dx = 3t dt ⇒ I = 3(t − 1)dt = 3 t − t ÷ = − ∫ 28  40 3 Câu 30 I =∫ 1x x2 + 3x + dx Trang TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0986.035.246 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn  t2 − 1  ÷ +1 4 ÷ 2tdt 2tdt  • Đặt t = 3x + ⇒ dx = ⇒I =  ∫ 3 t2 − t 4 2  t −1 100 =  t − t ÷ + ln = + ln 9 t + 27 2 = 24 dt ( t − ) dt + ∫ ∫ 92 2t −1 2x2 + x − I =∫ dx Câu 31 x+ • Đặt x + = t ⇔ x = t2 − ⇒dx = 2tdt 2 2   ⇒I = 2(t − 1) + (t − 1) − 12tdt = (2t4 − 3t2)dt =  4t − 2t3 ÷ = 54 ∫ ∫ t  1 1 Câu 32 x2dx I = 2∫ (x + 1) x+ • Đặt t = x + ⇒ t2 = x + 1⇒ 2tdt = dx (t2 − 1)2 ∫ ⇒I = t3 Câu 33 I =∫ x+ ( 1+ 2  t3  1 1 16 − 11 2tdt =2 ∫  t − ÷ dt = 2 − 2t − ÷ = t1  t 3 1+ 2x ) dx • Đặt t = 1+ 1+ 2x ⇒ dt = dx ⇒ dx = (t − 1)dt x = t − 2t 1+ 2x (t2 − 2t + 2)(t − 1) t3 − 3t2 + 4t − 4 2 dt = ∫ dt = ∫  t − 3+ − ÷dt Ta có: I = ∫ 2 22 22 2 t t2  t t  t2 2 =  − 3t + 4ln t + ÷ = 2ln2 − ÷ 2 t Câu 34 I= ∫ •I=  ∫  x−1 dx x2 + x 3 x + −   dx =  2 ÷ ÷  x + − ln x + x +  x2 +  ( ) ( = 1+ ln + 2) − ln( + 3) Câu 35 I = ∫ (x − 1)3 2x − x2dx • I = ∫ (x − 1) 2x − x dx = ∫ (x2 − 2x + 1) 2x − x2 (x − 1)dx Đặt t = 2x − x2 ⇒I = − Trang 10 15 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0986.035.246 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn π u = sin x du = cos xdx ⇒ • I = esinx.sin x cosxdx Đặt  sin x sin x ∫ dv = e cosxdx v = e ⇒I π sin x = 2sin xe π sin x − ∫e π sin x cos xdx = 2e− 2e =2 Câu 32 I = ∫ x ln(x2 + x + 1)dx  2x + du = dx  u = ln(x + x + 1)  x + x + ⇒ • Đặt  dv = xdx v = x  2 x2 1 2x3 + x2 I= ln(x + x + 1) − ∫ dx 2 20 x + x+ = 11 1 2x + 31 dx 3π ln3− ∫ (2x − 1)dx + ∫ dx − ∫ = ln3− 2 20 40 x + x+1 40 x + x+1 12 Câu 33 I =∫ ln x x+ dx u = ln x  dx 8 x+   du = ( ) ⇒ I = x + 1.ln x − • Đặt dv = dx ⇒  x ∫ x dx = 6ln8− 4ln3− 2J  x + v = x +  + Tính J = ∫ 3 3  x+ t t 1  dx Đặt t = x + ⇒ J = ∫ 2tdt = 2∫ dt = ∫  + − ÷dt 2 x t − t + 1 2t −1 2t −1 2  t−1  =  2t + ln ÷ = + ln3 − ln2 t+1  Từ I = 20ln2 − 6ln3− e Câu 34 x + xln x + x e dx x I =∫ e e e x e • I = ∫ xe dx + ∫ ln xe dx + ∫ dx x 1 x x e e e 1 e x e x e e dx = ee − ∫ dx x x 1 e x e dx = ee+1 x Vậy: I = I + I + ∫ e Câu 35 x + Tính I1 = ∫ xe dx = xe x x +Tính I = ∫ e ln xdx = e ln x − ∫ x  ln x  I = ∫ + ln2 x÷dx   x 1+ ln x Trang 39 e e x e − e dx = e (e− 1) ∫ TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0986.035.246 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn e ln x dx Đặt t = 1+ ln x ⇒I = − 2 3 x 1+ ln x • Tính I = ∫ e + Tính I = ∫ ln xdx Lấy tích phân phần lần I = e− 2 2 − 3 ln( x + 1) I =∫ dx Câu 36 x Vậy I = e−  2x u = ln(x2 + 1)  du = 2 dx   x2 + Do I = − ln(x + 1) + ⇒ • Đặt  dx ∫ 2x2 1 x(x2 + 1) dv = v = − x   2x ln2 ln5 2 x  ln2 ln5 dx d(x2 + 1) = − +  − − + − ÷dx = 1∫  x x2 + 1 1∫ x 1∫ x2 + = 2 ln2 ln5  − +  ln| x | − ln| x2 + 1|÷ = 2ln2 − ln5  1 Câu 37 I =∫ ln(x + 1) x2 dx u = ln(x + 1) du = dx dx  x + dx ⇔ ⇒ I = − ln(x + 1) + ∫ = 3ln2 − ln3 • Đặt  dv = (x + 1)x x  v = − 1 x2 x   1+ x  ÷dx  1− x  Câu 38 I = ∫ xln    dx  1+ x du =   2  1+ x  u = ln  2  (1− x)  ⇒ I = x ln − x dx • Đặt  ⇒   ÷ ÷  1− x ∫  2  1− x  0  1− x2   dv = xdx v = x    = 2 2  ln3 x ln3 ln3 1 +∫ dx = + ∫ 1+ dx = + + ln  x −1  (x − 1)(x + 1)  2  1 I = ∫ x ln x + ÷dx Câu 39 x    1 10 • Đặt u = ln x + ÷ ⇒ x  I = 3ln3− ln2 +   dv = x2dx  I = ∫ x2.ln(1+ x2)dx Câu 40 π • Đặt u = ln(1+ x2) ⇒ I = ln2 + +  dv = x dx 2 Trang 40 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0986.035.246 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn Câu 41 I =∫ Câu 42 I =∫ ln x (x + 1) e u = ln x • Đặt  ⇒ dv = dx  (x + 1)2  dx ln x + e x (e x + ln x) dx + ex e e • Ta có: I = ∫ ln2 x.dx + ∫ e2x dx = H + K x e + 1 e I = − ln3+ ln e u = ln2 x + H = ∫ ln x.dx Đặt:  ⇒H = e− ∫ 2ln x.dx = e−  dv = dx 1 e e2x + K =∫ dx Đặt t = ex + ⇒⇒ I = x e + 1 e Vậy: I = e – + ln ee +1 t−1 e+ dt = ee − e+ ln t ee + e+1 ∫ e+ ee + x+ I = ∫ ( x + − )e x dx x Câu 43 2 • Ta có: I = ∫ e x+ x 1  x+  dx + ∫  x − ÷e x dx = H + K x 1 + Tính H theo phương pháp phần I1 = H = xe ⇒I= x+ x 2  x+  − ∫  x − ÷e x dx = e − K x 1 e Câu 44 I = ∫ ln( x + − x )dx ( ) (   • Đặt u = ln x + − x ⇒I = xln  dv = dx BÀI ĐỌC THÊM x + − x) 4 +∫ x dx = x2 + TÍCH PHÂN TỔ HỢP NHIỀU HÀM SỐ Trang 41 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0986.035.246 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn 1 x  I = ∫  x2ex + ÷ ÷dx Câu 45 + x   1 • I = ∫ x2ex dx + ∫ x 1+ x dx + Tính I = ∫ x2ex dx Đặt t = x3 ⇒I = + Tính I = ∫ x 1+ 11 t t1 1 e dt = e = e− ∫0 3 x t4  π dt = 4 − + ÷  4 1+ t dx Đặt t = x ⇒ I = 4∫ Vậy: I = e+ π − 3  − x2 ÷ I = ∫ x ex − dx Câu 46  ÷ x   2 • I = ∫ xexdx + 4− x2 ∫ x2 dx 2 x + Tính I = ∫ xe dx = e + Tính I = ∫ ⇒I = π π dt = (− cott − t) π2 sin t cos2 t ∫ π Vậy: I = e2 + − Câu 47 I =∫ 1 x 4− x ( e2x • I = ∫ xe dx − ∫ 0 1 x  π dx Đặt x = 2sint , t ∈  0;   2 π ) − x2 − x2 dx x3 − x2 2x + Tính I = ∫ xe dx = + Tính I = ∫ π 2x 3− = 4− x2 dx = I + I e2 + x3 16 dx Đặt t = − x2 ⇒I = −3 + − x2 ⇒I = e + 3 − 61 12 Trang 42 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0986.035.246 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn Câu 48 x2 + I =∫ (x + 1) exdx 2 • Đặt t = x + 1⇒ dx = dt I = ∫ t − 2t + t2 Câu 49 I= x2 +1 3 x e ∫   e2  2  t−1 e dt = ∫  1+ − ÷e dt = e− 1+  − + e÷ = ÷ e  t2 t  1  t−1 dx 1+ x2 2 1 • Đặt t = 1+ x2 ⇒ dx = tdt ⇒I = ∫ (t2 − 1)etdt = ∫ t2etdt − et = J − (e2 − e) 2  2  2 t t2 t t t ÷  J = t e dt = t e − te dt = e − e − te − e dt = 4e2 − e− 2(tet − et ) + ∫ ∫ ∫  1 ÷ 1 1   Vậy: I = e2 Câu 50 I =∫ xln(x2 + 1) + x3 x2 + • Ta có: f (x) = dx xln(x2 + 1) + x(x2 + 1) − x = xln(x2 + 1) + x− x x2 + x2 + x2 + x2 + 1 ⇒ F (x) = ∫ f (x)dx = ∫ ln(x2 + 1)d(x2 + 1) + ∫ xdx − ∫ d ln(x2 + 1) 2 1 = ln2(x2 + 1) + x2 − ln(x2 + 1) + C 2 ( ) ln x + x2 + − 3x3 I =∫ dx Câu 51 x2 + ( ) ( ) 4 ln x + x2 + − 3x3 ln x + x2 + x3 dx = ∫ dx − 3∫ dx = I − 3I 2 x2 + x2 + x +9 • I =∫ + Tính I = ∫ ( ln x + x2 + x +9 ) dx Đặt ( ln x + x + 9) = u ⇒du = x +9 dx ln9 u2 ln9 ln2 − ln2 = ⇒I1 = ∫ udu = ln3 ln3 + Tính I = ∫ x3 x2 + dx Đặt x2 + = v ⇒dv = x x2 + dx, x2 = v2−9 u3 44 ⇒I = ∫ (u − 9)du = ( − 9u) = 3 3 ( ) ln x + x2 + − 3x3 ln2 − ln2 dx = I − 3I = − 44 2 x +9 Vậy I = ∫ Trang 43 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0986.035.246 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn e Câu 52 (x3 + 1)ln x + 2x2 + dx + x ln x I =∫ e e 1+ ln x dx • I = ∫ x dx + ∫ + x ln x 1 e e 3 + ∫ x2dx = x = e − 31 e + e e 1+ ln x d(2 + x ln x) e+ dx = ∫ + xln x ∫ + xln x = ln + xln x = ln 1 Câu 53 I= e3 ∫x dx 1+ ln x • Đặt t = 1+ ln x ⇒ 1+ ln x = t2 ⇒ (t2 − 1)3 dt = t ⇒I = ∫ Câu 54 I = dx = 2tdt ln3 x = (t2 − 1)3 x t − 3t4 + 3t2 − 1 15 dt = (t5 − 3t3 + 3t − )dt = − ln2 ∫ ∫ t t 1 x sin x dx x ∫ cos  u= x  ⇒ • Đặt  sin x dx dv = cos2 x  π + I = e3 − e+ + ln ln3 x π Vậy: I = dx π π π  du = dx π  dx π dx  ⇒I = x − = −∫ ∫ v = cos x cos x 0 cos x cos x  cos xdx Đặt t = sin x ⇒ I1 = ∫ cos x = ∫ 1− sin2 x 0 2 ∫ π 2+ − ln 2− ln(5 − x ) + x − x I =∫ dx Câu 55 x2 Vậy: = 4 ln(5 − x) dx + ∫ x − x dx = K + H • Ta có: I = ∫ x2 1 u = ln(5− x) ln(5− x)  dx dx Đặt  ⇒K = ln4 dv = x  x2 + K =∫ + H= ∫ x 5− x.dx Đặt t = 5− x ⇒H = 164 15 164 Vậy: I = ln4 + 15 I = ∫  x(2 − x) + ln(4 + x2) dx Câu 56 Trang 44 dt 1− t2 = 2+ ln 2− TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0986.035.246 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn 2 • Ta có: I = ∫ x(2 − x)dx + ∫ ln(4 + x2)dx = I1 + I 0 2 0 + I = ∫ x(2 − x)dx = ∫ 1− (x − 1) dx = 2 2 + I = ∫ ln(4 + x )dx = x ln(4 + x ) − 2∫ π (sử dụng đổi biến: x = 1+ sint ) x2 dx (sử dụng tích phân phần) + x = 6ln2 + π − (đổi biến x = 2tant ) Vậy: I = I + I = 3π − + 6ln2 ln x I=∫ dx Câu 57 x +1 u = ln x  dx 8 x+  du = ⇒ I = x + 1ln x − dx • Đặt dv = dx ⇒  x ∫ x  x + v = x + 3  x+ 2t dt  dx Đặt t = x + ⇒J = ∫ = 2∫  1+ ÷dt = + ln3− ln2 2 x t − t −   2 ⇒ I = 6ln8− 4ln3− 2(2+ ln3− ln2) = 20ln2 − 6ln3− + Tính J = ∫ Câu 58 + x2 ∫1 x3 ln xdx I=  • Ta có: I = ∫  + 1 x u = ln x 1  ÷ln xdx Đặt dv = ( + 1)dx x  x3 x 2  −1   −1  63 ⇒I =  + ln x÷ln x − ∫  + ln x÷dx = − ln2 + + ln2 x 64  4x    4x e Câu 59 x + xln x + x e dx x I =∫ e e x e x e dx = H + K + J x x • Ta có: I = ∫ xe dx + ∫ e ln xdx + ∫ 1 e e 1 x x e x e + H = ∫ xe dx = xe − ∫ e dx = e (e− 1) e e e x e x e e dx = ee − ∫ dx = ee − J x x 1 x x + K = ∫ e ln xdx = e ln x − ∫ 1 Vậy: I = H + K + J = ee+1 − ee + ee − J + J = ee+1 Câu 60 I= π ∫ π xcos x sin3 x dx Trang 45 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0986.035.246 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn ′ • Ta có  ÷ = − 2cos x Đặt sin3 x  sin2 x  π π 12 4 u = x du = dx   cos x ⇒ dv = dx v = −   sin3 x 2sin2 x π dx π π 1 1 = − ( − ) − cot x π = ⇒I = − x + ∫ 2 π sin x 2 2 sin x π Câu 61 I = π 4 xsin x ∫ cos3 xdx π u = x  du = dx π π   4 x dx π π sin x ⇒ • Đặt:  ⇒I = − ∫ = − tan x = − dv = dx  v = 2   2cos x cos x cos x 2.cos x  π ( x + sin x) dx + sin x Câu 62 I = ∫ • Ta có: I = π π x sin2 x dx + ∫ 1+ sin2x ∫ 1+ sin2x dx = H + K 0 π π x dx = ∫ + H=∫ + sin2 x 0 ⇒H= u = x  du = dx  dx x  dx Đặt: dv =  π ⇒ v = tan x − ÷   π π 2  2cos  x − ÷  2cos  x − ÷  4 4 4    π 2 π 2 1   x π π π tan x − ÷ +  ln cos x − ÷ ÷ =    4 ÷  0 π π π cos2 x sin x t = − x + K= Đặt ⇒ K=∫ dx ∫ 1+ sin2x dx 1+ sin2x 0 π π 2 dx  π = tan x − ÷ = ⇒ K =    4 2cos2 x − π  ÷  4 π Vậy, I = H + K = + ⇒ 2K = Câu 63 I= ∫ π x(cos3 x + cos x + sin x) 1+ cos2 x ∫ dx π  π π cos x(1+ cos2 x) + sin x  x.sin x I = x dx = x cos x dx + dx = J + K ÷ • Ta có: ∫  ∫ ∫ 2 ÷ + cos x + cos x  0  Trang 46 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0986.035.246 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn π π π π u = x + Tính J = ∫ x.cos x.dx Đặt  ⇒J = (x.sin x) − ∫ sin x.dx = + cosx = −2 dv = cos xdx 0 π x.sin x + Tính K = ∫ 1+ cos x π ⇒K =∫ dx Đặt x = π − t ⇒ dx = − dt (π − t).sin(π − t) 1+ cos2(π − t) π 1+ cos2 x (π − t).sint 1+ cos2 t (x + π − x).sin x ⇒ 2K = ∫ π dt = ∫ π dx = π ∫ π (π − x).sin x dx + cos x dt = ∫ sin x.dx 1+ cos x ⇒K= π π sin x.dx 0∫ 1+ cos2 x π dt Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin x.dx ⇒ K = ∫ , đặt t = tanu ⇒ dt = (1+ tan2 u)du −11+ t2 π ⇒K = ∫ π − (1+ tan u)du π = 1+ tan2 u 2π π I =∫ x + (x + sin x)sin x (1+ sin x)sin2 x 2π π • Ta có: I = ∫ 2π π + H=∫ + 2π π π π π2 du = u = ∫ −π π − 4 x sin2 x (1+ sin x)sin x dx Đặt 2π π dx x(1+ sin x) + sin2 x dx = 1+ sin x ∫π K =∫ Vậy I = π π −2 Vậy I = Câu 64 π 2π π dx = ∫ x sin x 2π π dx + ∫ dx =H+K 1+ sin x u = x π  du = dx dv = dx ⇒  v = − cot x ⇒H =   sin2 x 2π dx dx = ∫π3 = 3− π  x 2 π 1+ cos − x÷ 2cos  − ÷ 2   2 + 3− π x + sin x dx 1+ cos2x Câu 65 I = ∫ π π π 2 • Ta có: I = ∫ x + sin x dx = ∫ x dx + ∫ sin x dx = H + K 1+ cos2x 0 2cos2 x 2cos2 x u = x π π  du = dx x x + H = ∫3 dx = ∫ dx Đặt dv = dx ⇒ v = tan x  cos2 x  2cos2 x cos2 x Trang 47 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0986.035.246 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn π π   π 1 π π ⇒H= xtan x − ∫ tan xdx = + ln cos x = − ln2 0  2 π + K =∫ π sin2 x π 1 π dx = ∫ tan2 xdx = [ tan x − x] =  − ÷ 2 3 2cos2 x Vậy: I = H + K = 1 π  π ( − 1) − ln2 +  − ÷ = + ( − ln2) 2 3 2 π Câu 66 I = ∫ x + 1sin x + 1.dx 2 1 • Đặt t = x + ⇒I = ∫ t.sint.2tdt = ∫ 2t2 sintdt = ∫ 2x2 sin xdx 2  du = 4xdx ⇒ Đặt u = 2x ⇒I = −2x2 cos x + ∫ 4xcos xdx dv = sin xdx v = − cos x u = 4x du = 4dx ⇒ Đặt  Từ suy kết dv = cos xdx  v = sin x Câu 67 I = •I= π 1+ sin x x ∫ 1+ cosx.e dx π exdx 2∫ cos2 x + π sin x x ∫ 1+ cos x e dx π sin x x e dx = + Tính I = ∫ + cos x π x x 2sin cos ∫ π 2exdx x = ∫ tan exdx 2x 2cos  u = ex π du = exdx  π exdx   + Tính I = ∫ Đặt dv = dx ⇒  ⇒I = e2 − tan x exdx x x ∫ 20   v = tan 2x cos2 2cos   2 π 12 π Do đó: I = I + I = e2 π x Câu 68 I = ∫ cos x e (1+ sin2x) dx  cos x  −(sin x + cosx)dx du = u = x   cos x e ex ⇒ dx Đặt  dx sin x dv = v = e (sin x + cos x)2   (sin x + cos x) sin x + cos x π x • I =∫ Trang 48 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0986.035.246 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn ⇒I = cos x ex π sin xdx π sin x + sin x + cos x ∫ ex = π sin xdx ∫ ex π u1 = sin x  du1 = cos xdx   − dx ⇒  −1 Đặt  ⇒I = sin x + dv = v = x 1   x x e e e   π cos xdx ∫ ex = −1 π e2 + π cos xdx ∫ ex u2 = cos x du2 = − sin xdx   dx ⇒  −1 Đặt  dv = v = 1   ex ex   ⇒I = Câu 69 −1 π e2 + cos x π ∫ I= − π π −1 x e − π sin xdx ∫ x e ⇒2I = − ⇒I = Câu 70 (6x + 1) ∫ π π ∫ − +1 ⇒ I = + π ∫ 6t π − 6 sin t + cos t dt = 6t + sin x + cos x dx = 6x + π ∫ − π ∫ − 6x π sin6 x + cos6 x dx 6x + (sin6 x + cos6 x)dx = π π 5  5π  + cos4x÷dx = 16  π 8 ∫ − sin4 xdx 2− x + π π ∫ • Ta có: I = x I1 = π x ∫ π − x 2x + +1 2x + + = ∫ − sin4 xdx π sin4 xdx ∫ sin xdx − ⇒I = + 1− I ⇒ 2I = −π −e 5π 32 I= + Tính π e2 −π −e sin6 x + cos6 x dx 6x + • Đặt t = − x ⇒dt = − dx ⇒I = π = −1 x sin xdx π 2x + + π ∫ 2x sin4 xdx 2x + = I1 + I −t 0 sin4(−t) sin4 t sin4 x ⇒ I1 = − ∫ dt = ∫ dt = ∫ dx t x Đặt x = −t 2− t + π π +1 π +1 π x sin4 xdx ∫ x +1 π = ∫ sin4 xdx = π (1− cos2x)2dx ∫ 40 Trang 49 6 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0986.035.246 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn = Câu 71 π 16 ∫ (3− 4cos2x + cos4x)dx = 80 I= 4π − 64 eπ ∫ cos(ln x)dx • Đặt t = ln x ⇒ x = et ⇒ dx = etdt π ⇒I = ∫ et costdt = − (eπ + 1) (dùng pp tích phân phần) π sin2 x sin x.cos3 xdx Câu 72 I = ∫ e 11 t • Đặt t = sin x ⇒I = ∫ e (1− t)dt = e (dùng tích phân phần) 20 2 Câu 73 I = π ∫ ln(1+ tan x)dx π π • Đặt t = − x ⇒I = ln 1+ tan π − t  dt =  ÷÷ ∫    = π π 0 π  1− tant  = π ∫ ln1+ 1+ tant ÷dt ∫ ln1+ tant dt 0 π = ∫ ln2dt − ∫ ln(1+ tant)dt t.ln2 04 − I ⇒ 2I = Câu 74 I = π π ln2 ⇒I = ln2 π ∫ sin xln(1+ sin x)dx  1+ cos x u = ln(1+ sin x) du = dx ⇒ • Đặt   1+ sin x dv = sin xdx  v = − cos x π π π π 2 2 ⇒I = − cosx.ln(1+ sin x) + ∫ cos x cos x dx = + ∫ 1− sin x dx = ∫ (1− sin x)dx = π − 1+ sin x 1+ sin x 0 0 Câu 75 I = π tan x.ln(cos x) ∫ cos x dx Trang 50 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0986.035.246 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn • Đặt t = cosx ⇒dt = − sin xdx ⇒I = − ∫ lnt t dt = ∫ lnt t2 dt  u = lnt du = t dt  Đặt  ⇒ ⇒I = − 1− ln2 dv = dt   v = − t2 t  TÍCH PHÂN HÀM SỐ ĐẶC BIỆT Cho hàm số f(x) liên tục R Câu 76 Tính: I= π ∫ f (x) + f (− x) = cos4 x với x ∈ R f (x)dx −π π − ∫ • Đặt x = –t ⇒ f (x)dx = −π π π ⇒ ∫ f (x)dx = −π ∫ − π π ∫ f (−t)(−dt) = π π ∫ f (−t)dt = π −  f (x) + f (− x) dx = π ∫ −π π ∫ f (− x)dx π − cos4 xdx ⇒ I = 3π 16 1 + cos2x + cos4x 8 Cho hàm số f(x) liên tục R , với x ∈ R f (x) + f (− x) = + 2cos2x Câu 77 Chú ý: cos4 x = Tính: I= 3π ∫ f (x)dx −3π Trang 51 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0986.035.246 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn π • Ta có : I = ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx ∫ π −3 + Tính : I1 = f (x)dx + π −3 π −3 π ∫ f (x)dx (1) Đặt x = −t ⇒ dx = − dt ⇒I = π Thay vào (1) ta được: I = ∫  f (− x) + f (x) dx = π ∫ π ∫ f (−t)dt = π ∫ f (− x)dx π 2( 1+ cos2x) = ∫ cos x dx π π   3π  π 2    = 2 ∫ cos xdx − ∫ cos xdx = 2sin x 02 − sin x  = π  0   π     Câu 78 π − •I= π π 1+ x + x dx 1+ x2 sin xdx − ∫ − sin x ∫ I= π π ∫ − + Tính I = π 1+ x2 sin xdx Sử dụng cách tính tích phân hàm số lẻ, ta tính I = ∫ π π π xsin xdx = I − I − + Tính I = ∫ − π xsin xdx Dùng pp tích phân phần, ta tính được: I = − π + 2 π − x e ( 3x − ) + x − Suy ra: I = Câu 79 I =∫ • I =∫ e x ( x − 1) + x − e x ( 3x − ) + x − e x ( x − 1) + x − dx dx = ∫ e x ( x − 1) + x − + e x ( x − 1) e x ( x − 1) + x − 5 e x ( x − 1) e x ( x − 1) = x +∫ dx = + ∫2 x − 1(e x x − + 1)dx 2 x − 1(e x x − + 1) e x ( x − 1) x dx Đặt t = e x − + ⇒ dt = x −1 Trang 52 5 2 dx = ∫ dx + ∫ e x ( x − 1) e x ( x − 1) + x − dx TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0986.035.246 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn ⇒ I = 3+ e5 +1 ∫ e2 +1 Câu 80 I = π 2e + 2e + dt ⇒ I = + ln t = + 2ln t e +1 e +1 x2 ∫ (xsin x + cosx)2 dx  x  cos x + xsin x dx u = cos x du = cos x x x cos x •I= Đặt  ⇒ x cos x −1 ∫ cos x (xsin x + cos x)2dx dx v = dv = (xsin x + cos x)  xsin x + cos x  π ⇒I = − π x + cos x(xsin x + cos x) π 4− π = dx ∫ cos2 x 4+ π dx Chân thành cảm ơn các em học sinh đọc tập tài liệu Trang 53 ... ( x) nguyên hàm f ( x) hiệu số F (b) − F (a ) gọi tích phân b ∫ f ( x)dx Trong trường hợp f ( x) từ a đến b ký hiệu b ∫ f ( x)dx a < b a tích phân f [ a; b ] a Tính chất tích phân Cho hàm số... tính tích phân u (b ) b • Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số ∫ a f [u ( x)]u '( x)dx = ∫ f (u ) du u (a ) Trong f ( x) hàm số liên tục u ( x) có đạo hàm liên tục khoảng J cho hàm. .. cách Cách Đặt ẩn phụ u = u ( x) ( u hàm x) Cách Đặt ẩn phụ x = x(t ) ( x hàm số t) • Phương pháp tích phân phần Định lý Nếu u ( x), v( x) hai hàm số có đạo hàm liên tục khoảng K a, b hai số b