Giáo án tích phân ôn thi đại học

Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN A LÝ THUYẾT CẦN NẮM I - NGUYÊN HÀM - Tính chất nguyên hàm: 1) (  f(x)dx )’ = f(x) 2)  af(x)dx = a  f(x)dx (a  0) 3)  [f(x)  g(x)]dx   f(x)dx   g(x)dx 4)  f(t)dt  F(t)  C   f(u)du  F(u)  C - Bảng nguyên hàm thường gặp Nguyên hàm hàm số sơ cấp  du  u  C  dx  x  C x  1  x dx     C  x dx  ln x  C  Hàm số hợp tương ứng (dưới u = u(x)) (  -1) (x  0) u  1  u du     C  u du  ln u  C  x x e dx  e C  u u e du  e C  ax x  a dx  ln a  C au  a du  ln a  C (0 < a  1)  cos xdx  sin x  C  sin xdx   cos x  C  cos x dx  tan x  C  sin x dx   cot x  C KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN (   -1) u (u  0) (0 < a  1)  cos udu  sin u  C  sin udu   cos u  C  cos u du  tan u  C  sin u du   cot u  C Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội Hệ quả: Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số sơ cấp ( ax  b ) 1  ( ax  b ) dx  a    C (  -1) 1 dx  ln ax  b  C  ax  b a  axb e  dx  a mx  n axb e C a a mx  n dx  C m ln a  cos( ax  b )dx  sin( ax  b )  C a sin( ax  b ) dx   cos( ax  b )  C  a 1  cos (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C 1 dx   cot(ax  b)  C  sin (ax  b) a II – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH – Định nghĩa: b b  f(x)dx = F(x) a = F(b) – F(a) a (Trong F(x) nguyên hàm f(x)) – Tính chất tích phân xác định a (1)  f ( x)dx  a (2) b a a b b b a a  f ( x)dx   f ( x)dx (3)  kf ( x)dx  k  f ( x)dx b b b a a a (4)  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội (5) c b c a a b  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx b (6) f(x)  0, x  [a; b]   f ( x)dx  a b b a a (7) f(x)  g(x), x  [a; b]   f ( x)dx   g ( x) b (8) m  f(x)  M , x  [a; b]  m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a) a B CÁC DẠNG TOÁN Chủ điểm PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Vấn đề 1: Dùng phép biến đổi sơ cấp công thức vi phân Bài 1: Tính tích phân bất định sau: x  2x  x  2x  1)  dx x 2010 ln x dx 3)  x 3x  dx 5)  x x   7)   x   dx  x 9)   x   dx  x KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN   2)   x   dx x  cos x 4)  dx  sin x dx 6)  (x  3x  2)2 8)  4 x  3x  x4 dx 10)   x  23 x  dx Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội 11)  3 x  1x - x  dx x   x 14)  x  4x dx x 13)   x   dx  12)   x   dx  x x 15)  ax  b dx 16)  17)  xx  a x  bdx 18)  x e x dx  2 x 4 2 dx 19)  x  e x dx 20)  e x  e - x  2dx 21)  e  e  2dx 22)  23)  dx x 1 24)  - cos2xdx x -x x-1 4sin x 25)  dx  cosx e 2-5x e 26) 1 x e dx 2009 x dx  2010 Bài 2: Tìm nguyên hàm hàm số sau: f(x) = x2 – 3x + x x 3x   ln x  C ĐS F(x) = 2x  f(x) = x2 2x 3  C ĐS F(x) = x f(x) = ĐS F(x) = lnx + x 1 x2 ( x  1) f(x) = x2 f(x) = x 3 x 4 x KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN +C x x3  x  C ĐS F(x) = x ĐS F(x) = 2x 3x 4x   C Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội f(x) = 3 x x ( x  1) f(x) = x x 1 f(x) = x ĐS F(x) = x  33 x  C ĐS F(x) = x  x  ln x  C ĐS F(x) = 3 x  x C x ĐS F(x) = x – sinx + C 10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C 11 f(x) = cos2x ĐS F(x) = 12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C 13 f(x) = sin x cos x ĐS F(x) = tanx - cotx + C f(x) = sin 14 f(x) = cos x sin x cos x 1 x  sin x  C ĐS F(x) = - cotx – tanx + C 15 f(x) = sin3x  cos 3x  C ĐS F(x) = 16 f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) =  cos x  cos x  C 2x e  ex  C 17 f(x) = ex(ex – 1) ĐS F(x) = ex ) 18 f(x) = e (2 + cos x ĐS F(x) = 2ex + tanx + C 19 f(x) = 2ax + 3x 2a x x  C ĐS F(x) = ln a ln 20 f(x) = e3x+1 x 1 C ĐS F(x) = e x Bài 3: Tìm hàm số f(x) biết f’(x) = 2x + f(1) = KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN ĐS f(x) = x2 + x + Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội x3 1 ĐS f(x) = x  f’(x) = – x2 f(2) = 7/3 x x x 40   ĐS f(x) = 3 x   2x  ĐS f(x) = x f’(x) = x  x f(4) = f’(x) = x -  f(1) = x2 f’(x) = 4x3 – 3x2 + f(-1) = ĐS f(x) = x4 – x3 + 2x + b x2   f’(x) = ax + , f ' (1)  0, f (1)  4, f (1)  ĐS f(x) = x x Bài 4: Tính tích phân bất định sau:  e x  x  e 1   2x.3x 1dx dx  x2   e x dx dx   2x e 1 x.ln x Bài 5: Tính tích phân sau: x cos 2x x  x dx   sin  cos  dx  sin dx  2 2 cos x.sin x   cos 2x   cot x dx  tan x dx dx sin x  cos x cot x   cos3 x dx  sin x dx dx  sin x ln(ex) dx dx 10  tan x dx 11  12   x ln x sin x cos x π dx 13 I =  π sin x π dx 14  cos x π sin x  sin x 15  cotx dx sin x π 16  dx π cos x.cos(x  ) π 17  KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN π dx π sin x.sin(x  ) (ds:2.ln ) Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội 13 ( ) ĐS (TPXĐ): 14 ( ) 15 (  83 Bài 6: Tính tích phân bất định sau:     x   dx x  x  2x  x  2  dx x2  x   dx x3  x5 dx  x x x3  dx x 2  (3x  1) dx (x  1)3 2x dx x   x 1  10  (2x  3) 2x  dx 11  dx  2x 12  3x  dx 2x  2x  7x  dx 13  x2 14  4x  dx 2x  7x  15  x2 dx x  3x  dx 16  x(x n  a) m  ex 17  dx  ex 18  dx dx e2x   x  x2 1  (4x  4x  1)5 dx dx Vấn đề 2: Phương pháp đổi biến số A Phương pháp: Bài giảng lớp B Bài tập tự luyện: Bài 1: Tính tích phân sau: 1)  (5 x  1)dx 4)  dx 2x 1 dx 2)  (3  x) 5) ( x  ) xdx  KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN 3)  6)  (x  x dx  5) x dx Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội  7) 10) x  1.xdx 8) x (1  x )2 13)  sin x cos xdx tan xdx 16)  cos x e x dx 20)  x 24)  dx 9) ln x dx 11)  x sin x dx 14)  cos x dx   x dx x2  dx 17)  sin x e x dx 21)  25) x e 3 x  x dx 3x  12)  2x  x.e x 1 dx dx  ex dx  x  e ln 15) dx 18)  cos x 19)  tan xdx e tan x dx 22)  cos x 23)  dx 26)  1 x2 27)  x dx  x dx 1 x2 dx dx 28)  29)  cos x sin xdx 30)  x x  1.dx 31)  x e 1 x  x 1 xdx 2 25 3 32)  x x  1.dx 33)  2x x  1dx 34)  x  x dx 35)  x x  2dx 36) x 1 37)   x2 xdx x2  41)  sin3 x cos xdx 45)  e sin(e )dx x x 38)  42) x dx x5  cosxdx 3 46)  sin x (2x-3)dx x  3x  KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN 39) 3 43)  x3dx 40) x4  ln x dx x 47) 44) xdx 1 x  (6x-5)dx 3x2  5x   cos2 x 48) dx  tan x x2 dx  x3  Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội 49) e x dx  ex  50) 53)  tan 3xdx 57)  x 62)  2x  x  4x    70)  x7 dx 66)  e x  dx 65)  x x  1dx x3 x  2x  dx x  1 55)  52)  cot xdx sin2x  cos2 x dx 60)  e x x 2dx 59)  e x xdx dx 64)  63)  xlnx 67)  x 1 x 68)  dx 71)  dx dx  x ln x 56) 2x dx x  x 1 x4 x  2x  dx 72) xdx x  13 x  1dx 73)  cos xdx  51)  tan xdx 58)  esin x cos xdx 61)  3x  14 dx x  e2x  a 54)  cot( 2x  1)dx  lnx m dx 69)  e2x dx 74)   tan 77) x dx x  42 dx 2 sin xcos x 75)  x 2x - 1dx  76) 3 78)  2x  x 2dx 79)  sin x cos xdx xdx 80)  e x dx x 81)  e tgx 82)  dx cos x dx  x ln x lnln x  1 x ln 1 x dx 83) 1 x x 33  x dx 84) Bài 2: Tính tích phân sau: 1) I =  (2x  3) x  3x  dx dx 2) J =  x ln x KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN 3) T =  dx  x2 Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội x2 1 x3  x x4 4) K =  dx dx 5) L =  dx 6)  dx 7)  X  8X x  4x  4x  x 1 1  HD ĐS: 3) Đặt x = tant  T = ln( + 1) 4) Giả sử x  0, chia tử mẫu cho x2 x  2x  1 Sau đặt u = x +  ĐS: K = ln | | C x 2 x  2x  5) Giả sử x  0, chia tử mẫu cho x3, Sau đặt u = x + x x  2x   ĐS: K = ln C x  2x  1 8x Câu 6; 7: Đặt t = -x ; câu 7: ĐS: 1/5 ; câu 6: ĐS:  ln C ln  8x Vấn đề 3: Phương pháp tích phân phần A Phương pháp: Bài giảng lớp B Bài tập tự luyện: Tính tích phân sau: Bài 1: 1)  (x  2x).e dx x 2)  (1  x).ln x dx HD-ĐS: 1) e e e2  2) 4 e 3)  ln x dx 3) Đặt u = ln2x, dv = dx: ĐS: e-2 Bài 2: 1)  (1  x) e2x dx (Đặt u = (1  x)2 , dv = e2xdx) KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN e 2)  x.ln x dx Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý 10 Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội Bài 38 (ĐH D2014) : Tính tích phân I = π  (x  1) sin 2xdx ĐS : I  MỘT SỐ ĐỀ CĐ, ĐH KHÁC Bài Tham khảo 2005 x2 I3 dx x 1 Bài Tham khảo 2005 KQ: 141 10  I   sin xtgxdx KQ: ln  Bài Tham khảo 2005   I   tgx  e sin x  cos x dx KQ: ln  e  Bài Tham khảo 2005 e I   x ln xdx KQ: e  9 KQ: 8 Bài CĐ Khối A, B – 2005 I   x x  3dx Bài CĐ Xây Dựng Số – 2005 x3 I dx 1 x   x  Bài CĐ GTVT – 2005 KQ: ln3  I   x  x dx KQ: 105 Bài CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005  3 3.e  I   e 3x sin 5xdx KQ: 34 Bài CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005 I  x  1.x dx KQ: 848 105 Bài 10 CĐ Truyền Hình Khối A – 2005 KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý 26 Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội  I  sin x 0  sin 2x dx KQ: ln 2 Bài 11 CĐSP Tp.HCM – 2005 dx 3 KQ: I 18 1 x  2x  Bài 12 CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005 e ln x KQ:  I   dx e x Bài 13 CĐSP Vĩnh Long – 2005 I3 x 1 dx KQ: 3x  Bài 14 CĐ Bến Tre – 2005 46 15  cos 3x dx KQ:  3ln sin x  Bài 15 CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005 I   I sin xdx  x sin xdx KQ: I  ln , J   sin x cos x , J  x Bài 16 CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long – 2005 sin x  cos x.cos e I   x ln xdx KQ: e2  Bài 17 CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 2005 2 I  x sin xdx KQ: 2 Bài 18 CĐSP Hà Nội – 2005 x  2x  4x  I dx x2  KQ:  Bài 19 CĐ Tài Chính – 2005 xdx I x  1 Bài 20 CĐSP Vĩnh Phúc – 2005 KQ: KQ:  I e x dx  ln x Bài 21 CĐSP Hà Nội – 2005 4  KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý 27 Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội  sin 2004 x  I   2004 dx KQ: 2004 x  cos x sin Bài 22 CĐSP KonTum – 2005  sin x dx  cos x I KQ: Bài 23 Tham khảo 2006 dx I 2x   4x  Bài 24 Tham khảo 2006 KQ: ln  12  I    x  1 sin 2x dx KQ:  1 Bài 25 Tham khảo 2006 I    x   ln x dx KQ: Bài 26 Tham khảo 2006 10 dx I x  x 1 Bài 27 Tham khảo 2006 I e x  ln x KQ: ln  dx KQ:  ln x Bài 28 CĐ KTKT Công Nghiệp II – 2006 1   I   x ln  x dx  ln 4 10 11 2 3 KQ: ln  (Đổi biến t   x2 , phần) Bài 29 CĐ Cơ Khí – Luyện Kim – 2006 ln 1  x  KQ: 3ln  ln I dx 2 x Bài 30 CĐ Nông Lâm – 2006 2 1 I   x x2  1dx KQ: Bài 31 ĐH Hải Phòng – 2006 x I dx  x Bài 32 CĐ Y Tế – 2006  I  sin x  cos x  sin 2x dx KQ: ln 2 KQ: ln KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý 28 Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội Bài 33 CĐ Tài Chính Kế Toán – 2006 I   x ln  x  5 dx KQ: 14 ln14  5ln   Bài 34 CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006  I cos2x  sin x  cos x  3 dx KQ: 32 Bài 35 Hệ CĐ – ĐH Hùng Vương – 2006  I    x  1 cos x dx KQ:  1 Bài 36 CĐ KTKT Đông Du – 2006  cos2x KQ: ln dx  2sin 2x Bài 37 CĐ Sư Phạm Quảng Bình – 2006 ln e2x KQ:  I  dx ex  Bài 38 CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 I  4sin3 x dx KQ:  cos x Bài 39 CĐ Sư Phạm Trà Vinh – 2006 I  x  dx KQ:  ln cos x Bài 40 CĐ Bán Công – Công Nghệ - Tp.HCM – 2006 x 3 KQ: ln3  I  dx 1 x   x  Bài 41 CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006 468 KQ:  I   x  x dx I Bài 42 CĐ Bến Tre – 2006 e  x3   I    ln x dx x   KQ: 2e3 11  18 KQ: 3 2 Bài 43 I   x2  x3 dx  KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN  Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý 29 Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội  Bài 44 I   2x  1 cos xdx   12   KQ:    1 2  e2  14 Bài 46 CĐ KT-KT Công Nghiệp I – 2006 Bài 45 I   x e x  x  dx KQ:  sin3x dx cos3x  I Bài 47 KQ: Không tồn CĐ KT-KT Công Nghiệp II – 2006   I   x ln  x2 dx Bài 48 CĐ Xây dựng số – 2006 x x 1 I dx x5 Bài 49 CĐ Xây dựng số – 2006   I   x  cos3 x sin x dx KQ: ln  KQ: 32  10 ln 3 KQ: KQ: ln Bài 50 CĐ GTVT III – 2006  cos x dx  2sin x I J    2x   ln  x  1 dx KQ: 24 ln3  14 Bài 51 CĐ Kinh tế đối ngoại – 2006    I    tg8x dx KQ: 76 105 Bài 52 CĐSP Hưng Yên - Khối A– 2006 4x  dx x  3x  I KQ: 18ln2  7ln3 Bài 53 CĐSP Hưng Yên - Khối B– 2006  sin3x  sin3 3x dx  cos3x 1 KQ:   ln Bài 54 CĐSP Hưng Yên - Khối D1 , M– 2006 I e ln x  ln2 x I dx KQ: 3  2 x Bài 55 CĐ Bán công Hoa Sen – Khối A – 2006  KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN  Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý 30 Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội  Bài 56 CĐ Bán công Hoa Sen – Khối D – 2006   I   cos4 x  sin x dx KQ:  cos2x dx  2sin 2x I KQ: ln KQ: Bài 57 CĐSP Trung Ương – 2006  I   sin x sin 2xdx Bài 58 CĐSP Hà Nam – Khối A – 2006 I x  x  3 KQ : ln  dx Bài 59 CĐSP Hà Nam – Khối M – 2006  I   x cos xdx 2 2 Bài 60 CĐSP Hà Nam – Khối A (DB) – 2006 KQ: e dx x  ln x I   KQ:  Bài 61 CĐKT Y Tế I – 2006  I  sin x  cos x  sin 2x dx KQ: ln Bài 62 CĐ Tài Chính Hải Quan – 2006  I  ln  tgx  sin 2x dx KQ: ln 16 Bài 63 CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006    I   sin 2x  sin x dx KQ: 15 Bài 64 CĐKT Tp.HCM Khóa II - 2006 e I ln x x dx KQ:  e Bài 65 CĐCN Thực phẩm Tp.HCM – 2006  KQ: I dx x  2x  Bài 66 CĐ Điện lực Tp.HCM – 2006 KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý 31 Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội 46 15 3x  Bài 67 CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối A– 2006 x2 I dx KQ:  Bài 68 CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối D1 – 2006 I x dx cos2 x KQ:   ln I    4x  1 ln x dx KQ: ln  Bài 69 CĐSP Hà Nội Khối D1 – 2006  dx KQ: ln    sin x.sin  x   3  Bài 70 Tham khảo khối A – 2007 I 1 2x  2x  KQ:  ln2 dx Bài 71 Tham khảo khối B – 2007 x 1  x  KQ:   ln2  Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x2 y   x2 KQ:   Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  y  x 1 Bài 72 Tham khảo khối B – 2007 Bài 73 Tham khảo khối D – 2007  x  x  1 x 4 dx KQ:  ln2  ln3 Bài 74 Tham khảo khối D – 2007  2 2 Bài 75 CĐSPTW – 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường có phương trình y  x2  ; KQ: y  x; x  1; x  Bài 76 CĐ GTVT – 2007  cos3 x KQ: 0  sin x dx Bài 77 CĐDL Công nghệ thông tin Tp.HCM – 2007 x2 231 KQ: 0 x  dx 10 2  x cos x dx KQ: Bài 78 CĐ Khối A – 2007 KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý 32 Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội 1 1 1 x2   x  2007 32008  22008 KQ: 2008 dx Bài 79 CĐ Cơ khí luyện kim – 2007 e   x ln x  dx KQ: 5e3  27 KQ: 3 2   384 32   Bài 80 CĐSP Vĩnh Phúc – 2007    x sin x  dx Bài 81 CĐ Khối B – 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x , y  x  cos2 x , x  , x    KQ: Bài 82 CĐ Khối D – 2007  x  dx KQ: 2 Bài 83 CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007 dx  x x 2 KQ:   1   12 Bài 84 CĐ Hàng hải – 2007 14 Bài 85 CĐ Kinh tế kĩ thuật Thái Bình – 2007 31 2x KQ: e2  1 x e  x  dx 60 x x2  1dx  KQ:  Bài 86 CĐ Công nghiệp Phúc Yên – 2007  xe x dx KQ: Bài 87 CĐ Khối A, B, D – 2008 Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol  P  : y   x  x đường thẳng d : y  x KQ: (đvdt) 100 BÀI TẬP TÍCH PHÂN THAM KHẢO A   dx x 1  x 1 KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN đs: ( 27   1) Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý 33 Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội  /2   B   cos x dx đs: 2   /4 x2  2x  dx 2 x C   đs :   3ln 2  /2 D   cos x.cos x dx đs :  /6  /2  cos x(sin  E  x  cos x)dx 32  đs: /6 2  F   sin x dx đs: 4sin xdx  cos x đs:  /2  G  H   | x  x  | dx đs: I   (| x  |  | x  |) dx đs: 3 10 K   (| x  1|  | x |) dx đs: 5/2 1 11 Cho hai hàm số f(x) = 4cosx + 3sinx , g(x) = cosx + 2sinx a) Tìm số A , B cho g(x) = A.f(x) + B.f ’(x)  /4 g ( x)  dx đs:A =2/5,B = –1/5 , b) Tính   ln f ( x) 10 12 Tìm số A,B để hàm số f(x) = Asinx + B thỏa mãn đồng thời điều kiện f ’(1) = 2  f ( x)dx  đs: A = –2/ , B =   2 x  x2 /2  1/2  13 M  e 14 N  dx x  ln x 2 /2 x2  15 O   x2 16 P   17 Q     dx  dx đs: đs : đs:   2    x dx x 1 đs:  16 x4 1 dx x2  đs: 20  18 3 KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý 34 Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội x2  dx x3 4/  18 R  2/ dx  19 R  x x2  dx 20 S   24 đs:  21 T    x dx x2 22 U   4 x 23 V   1 x dx 1 x đs : x dx 4 x 25 Y   ( x  2) 0 x 1 dx  2x  1  x  27 B   dx 1 x dx 3 x 28 C    /2  29 D  sin x dx  sin x  10  30 E  1 31 F   x2  dx x4    34 C   4 36 2 3 18 đs : đs: đs: 3 16  đs: đs:  32   2  đs:  đs: 32  15 x2  dx x 1 đs: 106 15 3x  dx 4 x đs:  x 1 dx x6  32 A   x x  dx 33 B    1  đs:    đs :  12  đs: dx x  x2  /2 24 X  26 A  dx   ln(  1) 2 đs: 16  đs:  ln(  1)  x2  đs: KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN 99 Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý 35 Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội x3  35 D   x2 dx đs: 141/20 dx x 1 36 E   đs: 2(1 – ln2) dx x x 37 F   1 x dx ( x  1)3 38 G   x 1 dx 3x  7/3  39 H  x 3 dx x 1  x  3 3 40 I  1  /2  41 K  đs: đs: 46/15 đs: 6ln – cos x dx (sin x  cos x  3)3 đs: dx đs : ln x dx đs:  ln 2 x dx đs: xdx đs:  /2 42 I  đs: ln   sin x 32 /3  /3  tan 43 L   /4  tan 44 M    /4  tan 45 N   /2 46 O   sin x  sin x dx  3cos x 48 Q    ex dx  ex đs: (  1) 15 đs: ln x dx x 1 1 49 R   e 50 S  x 51 T    ln x dx  ln x dx x  x3 KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN 13   15 34 27 ln 2 đs: 47 P   x3  x dx  đs: 11  ln đs: 10  11 đs: ln Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý 36 Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội dx x x3  52 U    ln  53 V   e 55 Y   56 A   57 B    ex dx (e x  1)2  /4 54 X  đs: đs : dx cos x đs :  3ln x ln x dx x đs: 116 135 dx x  x 1  đs: ln  dx x  x 1  đs: ln  3  /2  (cos 58 C  x  sin x) dx đs: 59 R   64 60 D  x2 dx x  x  12 dx x3 x  đs: 11  ln ln x  ln x dx x 61 E   ln e2 x  ex   /2 63 G    /6  /2  64 H  0 đs:  ln sin x dx x  cos6 x sin 3x   cos x dx 66 K  e 67 L   đs  cos x  sin x cos x dx  sin x ln  ex   x ln x dx đs: 3 ( 16  1) đs:  sin  /2 dx đs: cos3 x dx sin x  /4 65 I  đs 25ln 16ln  e 62 F  16 ln 8 19  10 2 ln đs: 3ln2 – đs: e+3 ln  68 M   sin x sin x  sin x dx đs: 4/5 KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý 37 Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội  /2 cos x.dx  13  10sin x  cos x 69 N  ln đs: 0 dx   /4 cos x.cos  x    4   /2 sin x dx 71 S   sin x  cos x   70 O  2ln  /2  73 Q   /6  75 S  2 x.dx đs:  3 đs: 10 ln(2  3)  27 tan x dx cos x đs : ln(  2) x2  x  1  77 U  (A–2008) dx 76 T    đs: x  x2  1 dx  cos x 74 R     ln đs: ex 1 ln 2 ln đs: dx  72 P  đs: 1/2 x2 2x  x đs: dx 5x2  dx x  1 78 V   đs :  cos  2 4  3ln  /2  /2 79 Cho hai tích phân: I   x.cos x dx ; J   sin x.cos 2 x dx a) Tính I + J I – J b) Tính I , J đs: /4 ; ;  /8 80 Giả sử f(x) hàm số liên tục [0;] Chứng minh rằng:   x f (sin x)dx    0 f (sin x)dx    /2  f (sin x)dx  x.sin x dx  cos x Áp dụng : J   đs: 2/4 81 Cho hàm số f(x) liên tục R với x thuộc R ta có : f(x) + f(–x) =  2cos 2x Tính 3 /2  đs: f ( x)dx 3 /2 82 X   e 1 x dx  x2    KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN đs: – ln Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý 38 Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội  /2  83 Y  sin x dx sin x  cos6 x đs: 84 A   x.ln( x  x  1)dx đs:  1 85 B   x ln 1   dx  x   ln  12 đs: 3ln   86 C   x.sin x.cos x dx đs:  e 87 D   cos(ln x) dx  (e  1) đs: 88 E   ln( x  x)dx 10 ln  đs: 3ln3 – 2  /2 e 89 F  sin x đs: sin x cos xdx 1/2  /4  90 G  x tan xdx đs: e x cos xdx đs:  /2  91 H  e2   92 I      dx ln x ln x  e  đs:   2  ln 32   2  2e   5  e   e   sin x x 93 K   e dx  cos x 94 L   95 M  x 2e x  x  2     2  dx đs: e  3e đs: cos x dx đs:  – x sin x dx đs 22  2 96 N   e (e  1) 97 O   x.ln x dx đs: 98 P   ( x  x).e x dx đs: e 1 KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý 39 Timgiasuhanoi.com – Trung tâm Gia sư Hà Nội 99 Q   ln( x   x )dx đs: ln(1  2)   ln( x  1)  e x  dx 1 100 R  KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN đs: ln    Biên soạn: Thạc sĩ Trương Nhật Lý 40 ...   f ( x)dx  M (b  a) a B CÁC DẠNG TOÁN Chủ điểm PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Vấn đề 1: Dùng phép biến đổi sơ cấp công thức vi phân Bài 1: Tính tích phân bất định sau: x  2x  x  2x  1) ... f(x) y = g(x) cho công thức sau: b S =  | f(x) - g(x) | dx (2) a Chú ý:  Công thức (2) trở thành công thức (1) g(x) =  Tính tích phân (1), (2): Dùng pp vấn đề tính tích phân hàm chứa giá trị... y = x2 Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo D quay quanh Ox 2.35 π (ĐS: đvtt) 35 a) Quanh trục Ox (ĐS: TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2013 Bài (ĐH A2002) : Tính diện tích hình phẳng