NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

1 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Bảng các nguyên hàm :   = + ;     =  + +1 + ( 1) ;    =     +  ;     =   +      =     +  ;   = +  ;   = +  ;    2  = +  ;    2  = +  ;    +    = 1    +   + ; (+ )   = (+ ) + ( +1) + ( 1) ; cos(+ ) = 1  sin(+ ) +  2 2 2 2 2 1/ ;2/ 22 dx x k ln x x k C x kdx x k ln x x k C xk              I.Nguyên hàm của hàm số lượng giác: 1/ 56 4 3 4 2 (1 ) 57 sin x sin x sin xcos xdx sin x sin x dsinx C      . 2/ 9 7 11 5 6 2 2 6 2 (1 ) cos 9 7 11 cos x cos x cos x sin xcos xdx cos x cos xd x C        3/ 2 4 2 2 1 2 1 2 1 . (1 2 )(1 2 ) 2 2 8 cos x cos x sin xcos xdx dx cos x cos x dx             3 1 1 4 1 2 6 1 2 4 6 1 2 2 1 4 2 8 2 16 2 2 32 2 2 6 cos x cos x cos x sin x sin x sin x cos x cos x dx cos x dx x                                4/   3 11 8 8 (3cos 3 ) 3( 9 7 ) 11 5 48 cos xsin xdx sin x x cos x dx sin x sin x sin x sin x dx         1 9 3 7 11 5 8 3 7 11 5 cos x cos x cos x cos x C          . 5/ 2 cos 1 1 1 1 1 ln ln tan( /2) sin 1 2 cos 1 cos 1 2 1 dx d x cosx dx C x C x cos x x x cosx                    6/ 2sin 3 (3 4 ) (3 4 ) 6 17 (3 4 ) 3 4 3 4 25 25 3 4 x cosx a sinx cosx b cosx sinx d sinx cosx dx dx dx sinx cosx sinx cosx sinx cosx                 6 ln 3 4 25 x sinx cosx C    . 2 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN 7/   cos 1 ( ) ( ) 1 ln 1 2 2 dx xdx sinx cosx sinx cosx dx x sinx cosx C tanx sinx cosx sinx cosx                . 8/ 3 3 3 2 4 ( ) ( ) ( /4) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( /4) sinx sinx cosx sinx cosx d x dx dx sinx cosx d sinx cosx sinx cosx sinx cosx cos x                    2 ( /4) ( )tan x sinx cosx C        . 9/ 22 ( /2) 3 5 3 6 ( / 2) 10 ( /2) ( /2) ( /2)(3 5 ( /2)) dx dx d x sinx cosx cos x sin x cos x cos x tan x         ( /2) 1 ln 3 5 ( /2) 3 5 ( /2) 5 dtan x tan x C tan x      . 10/ 2 2 2 ( /2) 7 6 9 16 ( /2) 12 ( /2) 2 ( /2) ( /2) 6 ( /2) 8 dx dx dtan x cosx sinx cos x sin x cos sin x tan x tan x           1 1 1 1 ( /2) 4 ( /2) ln 2 ( /2) 4 ( /2) 2 2 ( /2) 2 tan x dtan x C tan x tan x tan x             . 11/ 2 2 3 2 4 2 2 3 sin x sin x dx tan x dx tan xdtanx C cos x cos x cos x        . 12/ 3 3 2 2 ( ) ( 1) / ( )/2 lntan xdx tan x tanx tanx dx tanx tan x dx sinxdx cosx tan x cosx C             . 13/ 4 4 2 2 2 2 2 ( 1 1) ( 1) ( 1)cot xdx cot x cot x cot x dx cot x cot x dx cot x dx dx               3 ( ) /3cotx cotx x C     . 14/ 2 ( /2 /8) 2 2 2 ( /4) 2 2 ( /2 /8) 2 dx dx dx cot x C sinx cosx cos x sin x                 . 15/ 33 3 2 5/3 8/3 3 3 3 3 2 3 8 sin x sinx sin x sinx cotx cotxdx dx cot xcotxdcotx cot xdcotx cot x C sin x sin x sin x             . 16/ 4 3/ 4 4 2 35 4 4 dx tanxdx tan xdtanx tanx C tanxcos x sin xcos x         . 17/ 1/3 2/3 3 3 ( ) ( ) ( ) 2 sinx cosx dx sinx cosx d sinx cosx sinx cosx C sinx cosx           . 18/ 2 3 3 3 ( 2) 1 2 1 2 1 ( 2) ( 2) 2 ( 2) 2 dt cos xdx dsin x t sinx cosx sinx cosx sinx cosx t               32 2 1 1t dt C t t t      . 19/ 22 1 2 3 () 42 2 4 2 2 2 6 8 3/4 cosxdx dsinx dsinx u C sinx sinu cos x sin x sin x           . 20/ 2 2 2 1 2 2 2ln sin x dx sinxcosx dx dx tanx cosx C cos x cos x cos x          . 21/ 2 3 4 2 3 1 3 3 5 8 3 3 2 (1 ) 3 1 ( 3 3 ) 3ln 4 2 2 dx dx tan x dtanx t t t t t t dt t C sin xcos x cos xtan x tan x t                  . 3 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN 22/ 2 2 2 2 2 3 4 3 4 3 ( 3 ) 1 1 3 4 3 4 3 3 2 2 sinx cosx dcosx dsinx d tant dx dsinx sin x cos x cos x sin x tan t sinx sinx                       2 ln 3 ( 3 ) 2 sinx t C cosx tant sinx       . 23/   3 3/ 2 ( 0; /2 ) 2 /3cosx cos xdx x cosxdcosx cos x C          . 24/ 2 2 2 1 1 ( /3) 1 1 2 3 2 2 ( /3) 2 8 3 cos xdx cos xdx cos t dt cost sint dt sin x sint sint sinx cosx                   1 ln 2 3 2 ( /3) 82 t tan sint cost C t x          . 25/ 2 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 sin cos /( ) () x xdx tdt b a a cos x b sin x a b C t b a a cos x b sin x         . 26/ 22 () ln ( ) ( ) 42 22 1 ( ) 1 cosx sinx d sinx cosx dtant dt t dx tan C tant sinx cosx cost sin x sinx cosx tan t                    . 27/ 22 22 2 ( (0; /4)) ( ) ln 2 2 cos x tan x cot x dx x cotx tanx dx dx sin x C sin x             . 28/ 22 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 33 4 1 3 sin xdx sinxdsinx d sin x sin x C cos x sin x sin x           . 29/   ( ) ( ) 1 () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin x a x b dx dx a b k cos x a cos x b sin a b cos x a cos x b               1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin x a sin x b cos x b d x a d x b C sin a b cos x a cos x b sin a b cos x a                  . 30/   ( ) ( ) 1 () ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) cos x a x b dx dx a b k sin x a cos x b cos a b sin x a cos x b                 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos x a sin x b sin x a d x a d x b C cos a b sin x a cos x b cos a b cos x b                  . BÀI TẬP : Tìm các nguyên hàm sau: 33 22 cos 4 3 4 1/ ;2/ ;3/ ;4/ ;5/ ;6/ ;7/ ; 3 7 1 1 2 4 1 dx xdx sin xdx dx sin xsin x cos xdx sin xdx dx cosx cosx sinx cos x cosx tanx cot x cos x cosx cosx             33 2 4 6 1 2 2 8/ ;9/ ;10/ ;11/ ;12/ ;13/ ; 2 1 2 cos xdx sinx sin x sinxdx dx dx sin x cos x dx dx sin x sinx cos x sin x sin x cos x sinx cosx             44 2 2 3 4 14/ ;15/ ;16/ ;17/ ;18/ ;19/ ; 1 2 2 2 2 dx sin x dx tan x dx dx dx dx sin xcos x cosx sinxcos x cos x sin x sinx cosx         35 6 2 20/ ;21/ ;22/ ;23/ 1 sin ( ) ( ) 1 3 3 2 sin x sinx sinx cosx dx dx dx cos x xcos x cos x a cos x b cosx sin x         . 4 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN 24/ ;25/ ( ) ;26/ ;27/ 22 dx sinxdx sinxcosxdx tanxtan a x dx sinx cosx sinx cosx sin x        . II.Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ: 1/ 1 ln ( 1)(2 1) 1 2 1 1 2 1 21 xdx a b dx dx x dx C x x x x x x x                      .    21  (3+ 4) ;    2 +  2 ;    2  2+ 3  ;    2  2 ;    23  (3+ 2) 2/ 22 2 2 2 2 1 1 1 1 ln ( 2) 2 ( 2) 4 2 4 2 dx dx x dt C x x x x t t x                . 3/ 10 10 2 10 10 2 2 2 2 1 1 ( 1) 1 1 1 ( 1) 10 ( 1) 10 ( 1) 10 ( 1) 10 ( 1) dx dx dt t t dt dt x x x x t t t t t t t                     10 2 10 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln ln 10 1 10 10 1 1 tx dt C C t t t t t x x                       . 4/ 22 4 2 2 2 1 1 1/ ( 1/ ) 1 1 1 1 2 ln 1 1/ ( 1/ ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x x d x x t dx dx dt C x x x x x t t t                         . 4)   2 + 1   + 1  ; 4")     + 1 5/ 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 3 3 ( ) / 1 1 2 1 2 ( 0) ( ) ( ) / 2 2 2 dx d atant adt cos t cos t sin t a dt t C x a a tan t a a cos t a a                 . 6/ 22 10 10 8 7 9 1 4 4 1 1 1 4 ( 2 3 ) (2 3 ) 27 27 2 7 9 x dx t t dt C t x x t t t t              . 7/ 4 4 2 2 3 3 6 6 2 6 1 1 1 ( )/3 1 1 1 3 1 x x x x dx dx dx dx arctanx arctanx C x x x x                   . 8/ 3 2 2 6 4 2 3 3 3 2 2 ( ) (1 1/ ) ( 1/ ) 1 ln 4 4 1 1/ 4( 1/ ) ( 1/ ) ( 1/ ) ( 1) 2 1 x x dx x dx d x x dt t C x x x x x x x x x x x t t t                        . BÀI TẬP: Tìm các nguyên hàm sau: 3 2 2 2 2001 9 5 2 2 4 2 5 2 2 2 1002 1 ( 1) 1/ ;2/ ;3/ ;4/ ;5/ ;6/ 3 ( ) 1 ( 1) ( 5 1)( 3 1) (1 ) dx x dx x x dx x dx x dx dx x x x k x x x x x x x x                  . 5 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN III. Nguyên hàm của các hàm số có chứa ẩn dưới dấu căn thức: 1/ 35 2 4 2 3 3 1 ( 1)/3 1 1 1 ( 2 ) ( 3 1) 3 3 5 31 x t t dx t dt t t dt t C t x t x                   . 2/ 2 3 2 ( 1) 1 1 ( 1) ( 2 1) 2(1 ) 2 2 3 2 1 2 1 xdx t tdt t t t tdt C t x t x                  . 3/ 3 2 3 2 2 ( 2) 2 ( 2) 3 2 x dx t tdt t t C t x t x          . 4/ 3 2 2 2 4 3 4 3 (3 )/4 3 1 1 3 1 3 1 ln 1 ( 1) 1 4 1 4 1 4 2 11 x dx t dt t t dt t dt t t C t x t t t x                            . 5/ 3/ 2 3/ 2 1 1 1 ( 1) ( 1) 23 11 dx x x dx x x C xx                . 6/ 6 3 3 2 2 6 32 3 1 6 6 1 6 ln 1 ( ) 1 1 3 2 dx dt t dt t t t t dt t t C t x t t t t xx                            . 7/ 2 2 22 1 1 1 1 1 1 1 1 ln ln ( 1) 2 1 1 2 1 2 1 1 1 dx tdt t x dt C C t t t t t x x x                        . 8/ 2 2 2 2 ( 1) 1 1 1 1 1 ln ( 1) 2 1 1 2 1 ( 1) 2 2 ( 1) 2 2 dx x dx tdt t dt C t t t t t x x x x x x                         . 9/ 2 1 dx dsinx cosxdx sinx cosx sinx cosx xx       10/ 22 2 2 3 2 2 2 3 ( ) ( ) dx datant costdt sint C aa a x a a tan t         . 11/ 2 3 5 22 66 1 (1 ) 35 x costdsint cot t cot t dx cot t cot t dcott C x sin t               . 12/ 2 2 (1/ ) 2 1 2/ 1 1 2 1 2 1 2 dx d t dt t C x C t x x x t t t                  . 13/ 2 2 4/( 1) 1 (1/ 1) 4 1 22 1 2 1 2 4 1 ( 1) 3 2 3 2 1 x dx d t dt t CC t x x x t t t t                        . 14/ 22 1 1 2 2 .4 2 . 2 8 2 2 ( 4 2 2 1) 12 1 x cos t dx dcos t tant cos t sin tdt sin tcos tdt cos t cos t dt cos t x                  0,5 4 2 2 2sin t sin t t C     . BÀI TẬP: Tìm các nguyên hàm sau: 6 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN 22 22 2 3/ 2 22 1 1/ 4 ;2/ ;3/ ;4/ ;5/ ;5'/ (1 ) 2 1 4 1 2 2 1 1 1 dx dx xdx x dx x x x x dx dx x x x x x x x x                    33 23 2 2 2 2 2 2 3 6/ ;7/ ;8/ ;9/ (1 ) ;10/ ;11/ 1 (2 1) 1 ( 1) 1 (1 ) 1 nn n x dx dx dx x dx dx x dx x x x x x x x x x                 . IV. Nguyên hàm của các hàm số mũ và hàm số Lôgarít: 1/ 1 1 1 1 ln 2 ( 2) 2 2 2 2 xx x x x x x x x dx de e de C e e e e e e                . 2/ 3/ 2 1/ 2 3 ( 3) ( 3) 2( 3) 2/ 3 ( 3) x x x x x x e dx e d e e C e C e               . 3/ 2 1 1 ln( 1) 1 1 1 x x x x x x x x x e dx e de de e e C e e e                           . 4/ 22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ln 3 2 ( 3) 6 3 6 3 xx x x x x x x x dx de e de C e e e e e e                . 5/ 22 2 2 2 2 2 ( 1 2 ) ( 2) 2 2 ( 1) 1 x x xx e dx tdt d tanu du u C e tanu t t tan u ee              . 6/ 2 3 1 3 1 1 2 2 2 ( 1) ( 3 1 1) 3 3 3 3 x t t t x t e dx e d te dt e t C e x C               . 7/ 22 ln ( /4 /2) ( ) 11 xx x x x x e dx e dx dtant dt tan t C t arctane cost e e e tan t                  . 8/ 22 1 .2 1 1 2 1 2( ) ( 1 ) 11 xx xx x e e dx t tdt e dx dt t u C t e tanu e t t                     . 9/ 2 22 (1 ) () 11 xx x xx e e dx dx dx x t C t arctane ee            . 10/ 2 5 3 42 ln 3ln 1 1 2 2 2 . . ( ) ( 3ln 1) 3 3 9 9 5 3 x x t t t dx t tdt t t dt C t x x                . 11/ (2ln ) 1 1 2 2 2ln 2ln 1 ( 1) 1 1 11 x xx dx d t dt t e dt C C t t t t t t ee                     . V. Tìm nguyên hàm theo phương pháp tính từng phần: 1/ Các nguyên hàm dạng: ()xdf x  , ví dụ: 22 22 ; ; ; xdx xsinx xsin dx xtan xdx dx sin x cos x     . 2/ Các nguyên hàm dạng: ()f x dx  , ví dụ: 2 2 2 2 ln ; ln( ) ; ln ( ) ;xdx x x k dx x x k dx       7 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN 3/   ln(1 ) ln(1 ) (1 ) (1 ) 1 ln(1 )sinx cosx dx cosx d cosx cosx cosx C           . 4/ ln(1 ) ln(1 ) ln(1 )cosx cosx dx cosx dsinx sinx cosx x sinx C         . 5/ (ln ) (ln ) (ln ) (ln ) (ln )F sin x dx xsin x cos x dx xsin x xcos x F         (ln ) (ln ) /2F x sin x cos x C    . 6/ 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ln ln ln ln 1 2 1 1 2 1 2 1 x x x x x x x x dx dx x C x x x x x                 . 7/ 2 1/ ln( ) ln( ) ln( ) ln ( /2) cos x sinx tanx dx cosx tanx cosx dx cosx tanx tan x C tanx         . 8/ ( )/2 ; ( )/2 x x x x e cosxdx e sinx cosx C e sinxdx e sinx cosx C       . 9/ 1 2 ( 1) ( 1) 1 1 x x x xx xe xe e dx xe d x e dx C x x x                . 10/ 2 2 2 2 2 2 ln( ) ln( ) ln( ) x x x k dx x x k d x k x k x x k x C xk              . 11/ 2 2 2 2 11 ln ln ln ln ln ln ln ln dx dx dx x dx x dx C x x x x x x x x                           . 12/ 2 1 ( /2) ( /2) ( / 2) ( / 2) 1 2 ( /2) x x x x x x sinx e dx e dx e tan x dx e dtan x tan x de e tan x C cosx cos x              . BÀI TẬP: Tìm các nguyên hàm sau: 2 2 3 2 2 2 2 2 ln( ) 1/ ;2/ (ln ) ;3/ ;4/ ;5/ ;6/ ;7/ (1 ) 1 ( 2) x xx xcosxdx sinx x sinx x e dx cos x dx x e dx e sin xdx dx dx sinx sin x cosx x             . VI. Một số tích phân đặc biệt: 1/ Nếu f(x) là một hàm liên tục trên đoạn   0;  thì: 00 ( ) ( ) 2 xf sinx dx f sinx dx     . VD: 1 1 2 2 2 2 1 0 0 1 1 2 1 2 1 2 2 4 4 4 xsinxdx dcosx dt arctant cos x cos x t                               . 2/ Nếu f(x) là một hàm liên tục trên đoạn   0;1 thì: / 2 /2 00 ( ) ( )f sinx dx f cosx dx    . 8 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN Áp dụng: / 2 / 2 / 2 /2 0 0 0 0 1 ( ) ; 24 n n n n n n n n n n n nn sin xdx cos xdx sin x cos x dx sinxdx sin x cos x sin x cos x sin x cos x sinx cosx                   / 2 / 2 / 2 0 0 0 ; ( ) ( ) 0 4 n nn nn nn cosxdx sinx cosx dx sin x cos x dx sinx cosx              . 3/ Nếu f(x) là một hàm liên tục và lẻ trên đoạn   ;aa thì: ( ) 0 a a f x dx    . Áp dụng: /3 2 1 2 2 2 1 2 2 1 /3 ln ( 1). 0; . 0; 0; aa n m n m n m aa x x x dx tan x x dx x cos xdx                 1/ 2 1 /4 /4 7 5 3 1 22 1/ 2 1 /4 /4 1 3 7 5 1 ln . 0; 0; 2 1 xx n m m xx x e e x x x x dx cos xdx cos xdx dx x e e cos x cos x                         . 4/ Nếu f(x) là một hàm liên tục và chẵn trên đoạn   ;aa thì: 0 () () 1 aa x a f x dx f x dx b     Áp dụng: a/ / 2 /2 /2 3 32 / 2 0 0 (1 ) 2/3 12 x cos xdx cos xdx sin x dsinx              . b/ 11 1 10 ( ) ( ) 1/ 13 xx x x x x x o ee dx e e dx e e e e             . c/ / 2 / 2 1 45 4 5 4 2 2 / 2 0 0 (1 ) 1/9 2/7 1/5 8/315 1 x sin xcos x dx sin xcos xdx t t dt e               . 5/ Nếu f(x) là một hàm liên tục và tuần hoàn với chu kì T > 0 thì: 0 ( ) ( ) a T T a f x dx f x dx    . Áp dụng: 200 2 2 0 0 0 0 1 100 1 100 2 ( /2) 200 2cosxdx cosxdx cos x dx costdt               /2 0 / 2 200 2 200 2(1 1) 400 2costdt costdt            . VII.Một số bài toán lẻ: 2 /2 1 /2 22 0 0 0 (1 ) 1/ ;2/ ;3/ ( ) ;4/ ;5/ 1 4 1 1 p p x dx x ln x x sinx dx ln tanx dx dx dx x x x cosx             . 9 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN . 1 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Bảng các nguyên hàm :   = + ;     =  + +1 + ( 1) ;    =     +. V. Tìm nguyên hàm theo phương pháp tính từng phần: 1/ Các nguyên hàm dạng: ()xdf x  , ví dụ: 22 22 ; ; ; xdx xsinx xsin dx xtan xdx dx sin x cos x     . 2/ Các nguyên hàm dạng:. dx dx dx x dx dx x dx x x x x x x x x x                 . IV. Nguyên hàm của các hàm số mũ và hàm số Lôgarít: 1/ 1 1 1 1 ln 2 ( 2) 2 2 2 2 xx x x x x x x x dx de e de C e