Nguyên hàm các hàm số vô tỉ

Trần Só Tùng Tích phân Trang 67 Vấn đề 9: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ Để xác đònh nguyên hàm của các hàm số vô tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản sau: 1. Phương pháp đổi biến. 2. Phương pháp tích phân từng phần. 3. Sử dụng các phép biến đổi. Hai công thức thường sử dụng: 1. 2 2 xdx xaC xa =±+ ± ò 2. 2 2 dx lnxxaC. xa =+±+ ± ò 1. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Bài toán 1: Xác đònh nguyên hàm các hàm số vô tỉ bằng phương pháp đổi biến Dạng 1: Tính tích phân bất đònh các hàm hữu tỉ đối với x và n axb cxd + + có dạng: n axxb IRx,dxvớiadbc0. cxd ỉư + =-¹ ç÷ + èø ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: · Bước 1: Thực hiện phép đổi biến: Đặt: n n n n axbaxbbdt ttx cxdcxd cta ++- =Þ=Û= ++- · Bước 2: Bài toán được chuyển về: IS(t)dt.= ò Chú ý: Với hai dạng đặc biệt: axax IRx,dxhoặcIRx,dx axax ỉưỉư +- == ç÷ç÷ -+ èøèø òò chúng ta đã biết với phép đổi biến: x = acos2t. Trường hợp đặc biệt, với ax Idx ax + = - ò , ta có thể xác đònh bằng cách: Vì ax ax + - có nghóa khi 2 axanênxa0,dó(ax)ax.-£<+>+=+ Khi đó: 22 2222 xxaxdxxdx Idxdxa ax ax axax ++ ===+ - - -- òòòò Tích phân Trần Só Tùng Trang 68 Trong đó: 22 dx ab+ ò được xác đònh bằng phép đổi biến x = asint. 22 22 xdx aaxC. ax =--+ - ò Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh: 2 3 3 dx I x1[x1)1] = +++ ò Giải: Đặt: 3 3 tx1tx1=+Þ=+. Suy ra: 2 2 22 2 3 3 dx3tdt3tdt 3tdtdx& t(t1)t1 x1[(x1)1] === ++ +++ Khi đó: 2 22 3 22 3tdt3d(t) Iln(t1)Cln[(x1)1]C. 2t1t1 ===++=+++ ++ òò Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh: dx I 2x2x1 = + ò Giải: Đặt: 2 t2x1t2x1=+Þ=+. Suy ra: 22 dxtdtdt 2tdt2dx& (t1)tt1 2x2x1 === -- + Khi đó: 2 dt1t112x11 IlnClnC. 2t12t1 2x11 -+- ==+=+ +- ++ ò Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh: 3 2 4 xdx I xx = - ò Giải: Ta nhận xét: 211 3 2 4 3 24 xx,xxvàxx===, từ đó 12 là bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số, do đó đặt x = t 12 Suy ra: 17144 1194 8355 3 2 4 xdx12tdt12tdtt dx12tdt&12ttdt ttt1t1 xx ỉư ====++ ç÷ --- èø - Khi đó: 4105 945 5 ttt1 I12ttdt12ln|t1|C. 1055t1 ỉưỉư =++=++-+ ç÷ç÷ - èøèø ò Dạng 2: Tính tích phân bất đònh dx I (xa)(xb) = ++ ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta xét hai trường hợp: · Trường hợp 1: Với xa0 xb0 +> ì í +> ỵ Trần Só Tùng Tích phân Trang 69 Đặt: txaxb=+++ · Trường hợp 2: Với xa0 xb0 +< ì í +< ỵ Đặt: t(xa)(xb)=-++-+ Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh: 2 dx I x5x6 = -+ ò Giải: Biến đổi I về dạng: dx I (x2)(x3) = -- ò Ta xét hai trường hợp: · Với x20 x3 x30 -> ì Û> í -> ỵ . Đặt: tx2x3=-+- suy ra : 11(x2x3)dxdx2dt dtdx t 2x22x32(x2)(x3)(x2)(x3) -+- ỉư =+=Û= ç÷ ---+-- èø Khi đó: dt I22ln|t|C2ln|x2x3|C t ==+=-+++ ò · Với x20 x2 x30 -< ì Û< í -< ỵ . Đặt: tx23x=-+- suy ra : 11[2x3x]dxdx2dt dtdx t 22x23x2(x2)(x3)(x2)(x3) -+- éù =+=Û=- êú ------ ëû Khi đó: dt I22ln|t|C2ln|2x3x|C t =-=-+=--+-+ ò Dạng 3: Tính tích phân bất đònh các hàm hữu tỉ đối với x và 22 ax- có dạng: 22 IR(x,ax)dx,vớiadbc0.=--¹ ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: · Bước 1: Thực hiện phép đổi biến: 22 x|a|sintvớit (hoặccóthểtxax) 22 x|a|costvới0t pp é =-££ ê =+- ê =££p ë · Bước 2: Bài toán được chuyển về: IS(sint,cost)dt.= ò Tích phân Trần Só Tùng Trang 70 Ví dụ 5: Tính tích phân bất đònh: 3 2 xdx I. 1x = - ò Giải: · Cách 1: Đặt: xsint,t 22 pp =-<< Suy ra: 33 3 2 xdxsint.cosdt1 dxcostdt&sintdt(3sintsin3t)dt cost4 1x ====- - Khi đó: 131 I(3sintsin3t)dttgtCcostcos3tC 4412 =-=+=-++ ò 332 3111 cost(4cost3cosxt)CcostcostCcost1costC 41233 ỉư =-+-+=-+=-+ ç÷ èø 22222 111 (1sint)1C(1x)11xC(x2)1xC 333 éùéù =--+=---+=-+-+ êúêú ëûëû Chú ý: Trong cách giải trên sở dó ta có: 2 22 costcost tcost0 22 cost1sint1x ì = pp ï -<<Þ>Þ í ï =-=- ỵ · Cách 2: Đặt 222 t1xx1t=-Þ=- Suy ra: 3222 2 222 xdxx.xdxx.xdx(1t)(tdt) 2xdx2tdt&(t1)dt t 1x1x1x -- =====- --- Khi đó: 23222 111 I(t1)dtttC(t3)tC(x2)1xC 333 =-=-+=-+=-+-+ ò Dạng 4: Xác đònh nguyên hàm các hàm số hữu tỉ đối với x và 22 ax+ có dạng: 22 IR(x,ax)dx,vớiadbc0.=+-¹ ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: · Bước 1: Thực hiện phép đổi biến: 22 x|a|tgtvớit (hoặccóthểtxax) 22 x|a|cotgtvới0t pp é =-<< ê =++ ê =<<p ë · Bước 2: Bài toán được chuyển về: IS(sint,cost)dt.= ò Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh: 2 I1xdx.=+ ò Giải: Trần Só Tùng Tích phân Trang 71 · Cách 1: Đặt: xtgt,t. 22 pp =-<< Suy ra: 2 23 dtdt dx&1xdx. costcost =+= Khi đó: 3422 dtcostdtcostdt I costcost(1sint) === - òòò Đặt: u = sint. Suy ra: 2222 costdtdu ducostdt& (1sint)(u1)(u1) == -+- Khi đó: 22 du1u12u IlnC 4u1(u1)(u1) (u1)(u1) éù+ ==-+ êú -+- +- ëû ò 22 2 22 2 2 2 2222 1sint12sint lnC 4sint1(sint1)(sint1) xx 12 1 1x1x lnC x xx 4 1 11 1x 1x1x 1x1x ln2x1xC 4 x1x 11 (2ln|x1x|2x1x)C(ln|x1x|x1x)C. 42 éù+ =-+ êú -+- ëû éù + êú ++ êú =-+ ỉưỉư êú - +- ç÷ç÷ êú + ++ èøèø ëû ỉư ++ ç÷ =+++ ç÷ -+ èø =+++++=+++++ · Cách 2: Đặt: 2 2222 t1 tx1xtx1x(tx)1xx 2t - =++Þ-=+Þ-=+Þ= 22 2 t1t1 1xt 2t2t -+ Þ+=-= Suy ra: 222 222 2 xx1x2tt1 dt1dxdxdxdxdt 1xt12t 1x +++ ỉư =+==Û= ç÷ ++ + èø 2222 2 233 t1t11(t1)121 1xdx.dtdttdt 2t44t2ttt +++ ỉư +===++ ç÷ èø Khi đó: 2 32 121111 Itdtt2ln|t|C 4t42t2t ỉưỉư =++=+-+ ç÷ç÷ èøèø ò 222 2 22 111 t4ln|t|C4x1x4lnx1xC 88t 1 (lnx1xx1x)C. 2 éù ỉư éù =-++=+++++ ëû ç÷ êú èø ëû =+++++ · Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần Đặt : 2 2 xdx du ux1 x1 dvdx vx ì ì= ïï =+ Þ + íí = ï ï ỵ = ỵ Tích phân Trần Só Tùng Trang 72 Khi đó: 2 2 2 xdx Ixx1 x1 =+- + ò Với 22 2 2 22 xdx[(x1)1]dxdx Jx1dx x1 x1x1 +- ===+- + ++ òòòò 2 Ilnxx1C(2)=-+++ Thay (2) vào (1) ta được: 2222 Ixx1(Ialn)xx1C2Ixx1lnxx1C=+--+++Û=+++++ 22 x1 Ix1lnxx1C. 22 Û=+++++ Chú ý: 1. Trong cách giải thứ nhất sở dó ta có: 2 2 1x 1xcostvàsint cost 1x +== + là bởi: 2 2 costcost tcost0 x 22 sinttgt.cost 1x ì = pp ï -<<Þ>Þ í == ï + ỵ 2. Cả ba phương pháp trên (tốt nhất là phương pháp 2) được áp dụng để giải bài toán tổng quát: 2222 2 axdx xadxlnxxaxaC;lnxxaC. 22 xa +=+++++=+++ + òò 3. Với tích phân bất đònh sau tốt nhất là sử dụng phương pháp 1: 222k1 dx ,vớikZ. (ax) + Ỵ + ò 4. Với tích phân bất đònh: (xa)(xb)dx++ ò ta có thể thực hiện như sau: Đặt: 2 ab(ba) tx&A 24 +- =+=- suy ra: 2 dtdx&(xa)(xb)dxtAdt=++=+ Khi đó: 222 At ItAdtlnttAtAC 22 =+=+++++ ò 2 (ba)ab2xab lnx(xa)(xb)(xa)(xb)C. 824 -+++ =+++-++++ Dạng 5: Tính tích phân bất đònh các hàm hữu tỉ đối với x và 22 xa- có dạng: 22 IR(x,xa)dx,vớiadbc0.=--¹ ò Trần Só Tùng Tích phân Trang 73 PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: · Bước 1: Thực hiện phép đổi biến: 22 |a| xvớit;\{0} sint22 (hoặccóthểtxa) |a| xvớit[0;]\{}. cost2 é pp éù =Ỵ- ê êú ëû =-ê p ê =Ỵp ê ë · Bước 2: Bài toán được chuyển về: IS(sint,cost)dt.= ò Ví dụ 7: Tính tích phân bất đònh: 22 xdx I 2x13x1 = -+- ò Giải: · Cách 1: Đặt: 222 tx1tx1=-Þ=- Suy ra: 2 2222 xdxxdxtdt 2tdt2xdx& 2t3t1 2x13x12(x1)3(x11 === ++ -+--+-+ Khi đó: 2 tdt I 2t3t1 = ++ ò Ta có: 2 ttab(a2b)tab (2t1)(t1)2t1t1(2t1)(t1) 2t3t1 +++ ==+= ++++++ ++ Đồng nhất đẳng thức, ta được: a2b1a1 ab0b1 +==- ìì Û íí +== ỵỵ Khi đó: 2 t11 . 2t1t12t3t1 =-+ ++++ Do dó: 2 1111(t1) Idtln|2t1|ln|t1|ClnC 2t1)t122|2t1| + ỉư =-+=-++++=+ ç÷ +++ èø ò 22 2 1(x11) ln 2 2x11 -+ = -+ · Cách 2: Vì điều kiện |x| > 1, ta xét hai trường hợp: – Với x > 1: Đặt: 1 x,t[0;) cost2 p =Ỵ. Suy ra: 2 sintdt dx, cost = 22 2 22 22 2 1sint .dt xdx(1tgt)tgt.dt(1tgt)tgt.dt costcost 2 2(1tgt)13tgt2tgt3tgt1 2x13x1 13tgt cost ++ === +-+++ -+- -+ Tích phân Trần Só Tùng Trang 74 Khi đó: 2 2 (1tgt)tgt.dt I. 2tgt3tgt1 + = ++ ò Đặt: u = tgt. Suy ra: 2 2 222 dt(1tgt)tgt.dtu.du du(1tgt)dt& cost2tgt3tgt12u3u1 + ==+= ++++ Khi đó: 2 1111(u1) Idtln2u1lnu1ClnC 2u1u122|2u1| + ỉư =-+=-++++=+ ç÷ +++ èø ò 222 2 1(tgt1)1(x11) lnClnC. 22tgt12 2x11 +-+ =+=+ + -+ – Với x < –1 (tự làm) Dạng 6: Tính tích phân bất đònh các hàm hữu tỉ đối với x và 2 axbxc++ có dạng: 2 IR(x,axbxc)dx,vớiadbc0=++-¹ ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: · Cách 1: Đưa I về các dạng nguyên hàm cơ bản đã biết. Ta xét các trường hợp sau: Ÿ Trường hợp 1: Nếu a > 0 và D < 0. – Bước 1: Ta có: 2 2 2axb axbxc1 4a éù D+ ỉư ++=-+ êú ç÷ -D èø ëû – Bước 2: Thực hiện phép đổi biến: 2axb t + = -D – Bước 3: Bài toán được chuyển về: 2 IS(t,1t)dt=+ ò Ÿ Trường hợp 2: Nếu a < 0 và D > 0. – Bước 1: Ta có: 2 2 2axb axbxc1 4a éù D+ ỉư ++=-- êú ç÷ D èø ëû – Bước 2: Thực hiện phép đổi biến: 2axb t + = D – Bước 3: Bài toán được chuyển về: 2 IS(t,1t)dt=- ò Ÿ Trường hợp 3: Nếu a > 0 và D > 0. – Bước 1: Ta có: 2 2 2axb axbxc1 4a éù D+ ỉư ++=- êú ç÷ D èø ëû – Bước 2: Thực hiện phép đổi biến: 2axb t + = D Trần Só Tùng Tích phân Trang 75 – Bước 3: Bài toán được chuyển về: 2 IS(t,t1)dt=- ò · Cách 2: Sử dụng phép thế Euler: Ta xét các trường hợp sau: 1. Nếu a > 0, đặt 2 axbxctxahoặctxa.++=-+ 2. Nếu c > 0, đặt 2 axbxctxchoặctxc.++=+- 3. Nếu tam thức 2 axbxc++ có biệt số D > 0 thì 2 12 axbxca(xx)(xx).++=-- Khi đó đặt: 2 1 axbxct(xx).++=- Ví dụ 8: Tính tích phân bất đònh: 2 Ix2x2dx.=++ ò Giải: · Cách 1: Sử dụng phép đổi biến: tx1dtdx.=+Þ= Khi đó: 2 It1dt.=+ ò Tích phân trên chúng ta đã biết cách xác đònh trong ví dụ 6. · Cách 2: Sử dụng phép đổi biến: 22 222 2 t2(t2t2)dt x2x2txx2x2(tx)xdx 2(t1) 2(t1) -++ ++=-Þ++=-Û=Þ= + + Khi đó: 224 2 23 t2(t2t2)dt1(t4)dt Ix2x2dxt 2(t1)42(t1)(t1) éù -+++ =++=-= êú +++ ëû òòò Sử dụng đồng nhất thức: 44432 t4[(t1)1]4(t1)4(t1)6(t1)4(t1)5.+=+-+=+-+++-++ Do đó: 2 2 1641t4 I[t14]dt[3t6ln|t1|]C 4t142t1(t1) =+-+-=-++++ +++ ò 22 2 2 2 1(x2x2x) [3(x2x2x) 42 4 6lnx2x2x1]C. x2x2x1 +++ =-++++ +++++++ ++++ Dạng 7: Tính tích phân bất đònh 2 dx I (x)axbxc = l+m++ ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: – Bước 1: Thực hiện phép đổi biến: 1 t x = l+m – Bước 2: Bài toán được chuyển về: 2 dt I tt = a+b+g ò Chú ý: Phương pháp trên có thể được áp dụng cho dạng tổng quát hơn là: Tích phân Trần Só Tùng Trang 76 n2 (AxB)dx I (x)axbxc + = l+m++ ò Ví dụ 9: Tính tích phân bất đònh: 2 dx I (x1)x2x2 = +++ ò Giải: Đặt: 11 tx1 x1t =Þ=- + suy ra: 2 1 dxdt, t =- 2 2 2 22 2 dt 1 khit0 t()dt dxdt 1t t dt 11 (x1)x2x2 khit0 1t.1 tt 1t ì -> ï - + ï ==-= í +++ ï < ++ ï + ỵ Khi đó: Ÿ Với t > 0, ta được: 2 2 2 dt11 Ilnt1tCln1C x1 (x1) 1t =-=-+++=-+++ + + + ò 22 2 1x2x2x11x2x2 lnClnClnC. x1x1 1x2x2 ++++-++ =-+=+=+ ++ +++ Ÿ Với t < 0, ta được: 2 2 2 dt11 Ilnt1tCln1C x1 (x1) 1t ==+++=+++ + + + ò 2 1x2x2 lnC. x1 -++ =+ + Tóm lại với t0x1¹Û¹- ta luôn có: 2 1x2x2 IlnC. x1 -++ =+ + 3. SỬ DỤNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Bài toán 3: Tính tích phân các hàm vô tỉ bằng phương pháp tích phân từng phần PHƯƠNG PHÁP CHUNG Với các hàm vô tỉ, trong phạm vi phổ thông phương pháp tích phân từng phần ít được sử dụng, tuy nhiên chúng ta cũng cần xem xét. Ví dụ 10: Tính tích phân bất đònh: 2 Ixadx=+ ò Giải: Đặt: 2 2 xdx du uxa xa dvdx vx ì = ì ïï =+ Þ + íí = ï ï ỵ = ỵ [...]... phân Vấn đề 10: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ SIÊU VIỆT Để xác đònh nguyên hàm của các hàm số siêu việt ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản sau: 1 Sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản 2 Phương pháp phân tích 3 Phương pháp đổi biến 4 Phương pháp tích phân từng phần 1 SỬ DỤNG CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Bài toán 1: Xác đònh nguyên hàm các hàm siêu việt dựa trên các dạng nguyên hàm cơ bản PHƯƠNG... 2 + C = ln(x + x 2 + 3) + C Tìm nguyên hàm của F(x) = b/ 2 2 2 x (x 2 - 1)3 + C; 3 3 ò x 2 + 3dx x 2 - 4x + 8dx 1 3 x x 2 + 3 + ln(x + x 2 + 3) + C 2 2 1 b/ (x - 2) x 2 - 4x + 8 + 2 ln x - 2 + x 2 - 4x + 8 + C 2 Bài 33 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 1 1 ; b/ a/ (x 2 + 16)3 (1 - x 2 )3 ĐS: a/ x ĐS: a/ x + C 16 x + 16 1 - x2 Bài 34 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 1 x -1 1 a/ ; b/ ; c/ ;... đònh nguyên hàm hàm siêu việt bằng phương pháp đổi biến PHƯƠNG PHÁP CHUNG Phương pháp đổi biến được sử dụng cho các hàm số siêu việt với mục đích chủ đạo để chuyển biểu thức dưới dấu tích phân về các dạng hữu tỉ hoặc vô tỉ, tuy nhiên trong nhiều trường hợp cần tiếp thu những kinh nghiệm nhỏ đã được minh hoạ bằng các chú ý trong vấn đề 4 dx Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh : I = ò 2x 1+ e Giải: · Cách... -1 1 = (t - 1)2 + 1 + ln t - 1 + (t - 1)2 + 1 + C 2 2 ex - 1 2 x 1 = e - 2ex + 2 + ln ex - 1 + e2 x - ex + 2 + C 2 2 ex Ví dụ 8: Tìm nguyên hàm hàm số : f(x) = x e + e- x Giải: -x e Chọn hàm số phụ: g(x) = x e + e- x Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x) Ta có: ex - e- x f(x) - g(x) = x e + e -x ex - e -x d(ex + e- x ) Þ F(x) - G(x) = ò x dx = ò x = ln ex + e - x + C1 -x... TẬP Bài 35 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 1 1+ x a/ 2 x.e x ; b/ ; c/ ; x 1+ e x(1 + x.ex ) x x e/ e sin(e ); e2 x f/ 2x ; e +2 g/ 1 ; x ln x Trang 84 d/ ln x ; x 2 h/ x.ex Trần Só Tùng Tích phân 2 x.ex a/ + C; 1 + ln 2 ĐS: xe x c/ ln + C; 1 + xex ex b/ ln + C; 1 + ex 2 ln x ln x + C; e/ - cos(e x ) + C; 3 1 2 g/ ln ln x + C; h/ e x + C 2 Bài 36 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: d/ a/ f/... 3ex + C 3ex + 1 Bài 37 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 2 3x a/ x e ; ĐS: a/ 2x 3 x b/ e cos3x; c/ e sin x; e/ x n ln x, n ¹ -1 1 3x 1 2x e (9x 2 - 6x + 2) + C; b/ e (2 cos3x + 3sin 3x) + C; 27 13 1 1 ỉ 3 3 3ư c/ e x (sin x - cos x) + C; d/ - 2 ç ln 3 x + ln 2 x + ln x + ÷ + C; 2 2x è 2 2 4ø x n +1 x n +1 e/ ln x + C; n +1 (n + 1)2 Bài 38 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: (1 + sin x)ex x 2 ex... phổ biến đối với các hàm số vô tỉ là phương pháp phân tích, chúng ta sẽ đi xem xét các dạng cơ bản sau: Dạng 3: Tính tích phân bất đònh I = ò v(x)dx u2 (x) ± a PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: · Bước 1: Phân tích: v(x) u2 (x) + a = a[u2 (x) + a] u2 (x) + a + bu(x) + u2 (x) + a c u2 (x) + a Sử dụng phương pháp hằng số bất đònh ta xác đònh được a, b, c · Bước 2: Áp dụng các công thức:... toán 4: Tìm nguyên hàm các hàm siêu việt bằng phương pháp tích phân từng phần Trang 82 Trần Só Tùng Tích phân PHƯƠNG PHÁP CHUNG Bài toán 1: Tính: ò eax cos(bx) (hoặc ò eax sin(bx) với a, b ¹ 0 ì u = cos(bx) ì u = sin(bx) Khi đó ta đặt: í hoặc í ax ax ỵdv = e dx ỵdv = e dx Bài toán 2: Tính: ò P(x)eax dx với a Ỵ R * ì u = P(x) Khi đó ta đặt: í ax ỵdv = e dx Ví dụ 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =... Trang 77 Tích phân Trần Só Tùng PHƯƠNG PHÁP CHUNG Khử tính vô tỉ ở mẫu số bằng cách trục căn thức, ta được: I= = 1 1 1/ 2 1/ 2 ò ( ax + b + ax + c)dx = a(b - c) [ò (ax + b) d(ax + b) + ò (ax + c) d(ax + c)] b-c 2 [ (ax + b)3 + (ax + c)3 ] + C 2a(b - c) Ví dụ 12: Tính tích phân bất đònh: I = ò dx + x -1 x +1 Giải: Khử tính vô tỉ ở mẫu số bằng cách trục căn thức, ta được: 1 1 I = ò ( x + 1 + x - 1)dx... việt dựa trên các dạng nguyên hàm cơ bản PHƯƠNG PHÁP CHUNG Bằng các phép biến đổi đại số, ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân về các dạng nguyên hàm cơ bản đã biết Ví dụ 1: Tính các tích phân bất đònh sau: a/ I = ò dx x e - e- x b/ J= 2 x.ex dx 16 x - 9 x Giải: d(ex ) 1 ex - 1 a/ Ta có: I = ò 2x = ln +C e - 1 2 ex + 1 b/ Chia tử và mẫu số của biểu thức dưới dấu tích phân cho 4x, ta được: x éỉ 4 ư . phân Trang 67 Vấn đề 9: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ Để xác đònh nguyên hàm của các hàm số vô tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản. Trang 81 Vấn đề 10: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ SIÊU VIỆT Để xác đònh nguyên hàm của các hàm số siêu việt ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ