Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ_SKKN Toán THPT

A. ĐẶT VẤN ĐỀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình, bất phương trình vô tỉ là phương trình, bất phương trình có ẩn dưới dấu căn thức là các bài toán về phương trình bất phương trình siêu việt, cũng như phương trình, bất phương trình lượng giác thường đưa về phương trình, bất phương trình vô tỉ để giải. Chính vì thế việc khảo sát phương trình , bất phương trình vô tỉ là rất cần thiết. Trong những năm gần đây, phương trình, bất phương trình vô tỉ thường xuất hiện trong các đề thi Đại học- Cao đẳng và đề thi Học sinh giỏi. Do đó, việc biên soạn một hệ thống các bài tập và phương giải cho dạng toán này sẽ giúp ích cho học sinh khi ôn luyện để thi học sinh giỏi và thi vào các trường đại học –Cao đẳng B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. CƠ SỞ LÍ LUẬN Một trong những trọng tâm của đổi mới chương trình và sách giáo khoa giáo dục phổ thông là tập trung vào đổi mới phương pháp dạy học, thực hiện việc dạy học dựa vào hoạt động tích cực, chủ động của học sinh với sự tổ chức và hướng dẫn của giáo viên nhằm phát triển tư duy độc lập, sáng tạo, góp phần hình thành phương pháp và nhu cầu tự học, bồi dưỡng hứng thú học tập, tạo niềm tin và niềm vui trong học tập cho học sinh.Tiếp tục tận dụng các ưu điểm của phương pháp truyền thống và dần dần làm quen với những phương pháp dạy học mới. Khi giải một bài toán, học sinh thường cố gắng tìm ra một phương pháp tối ưu, đẹp nhất, chặt chẽ, chính xác nhất trong nhiều cách giải bài toán đó. Với cách học đó giúp các em tích lũy được nhiều kinh nghiệm giải toán và giải toán sáng tạo. Để bổ sung cho học sinh phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ tôi giới thiệu đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ” - - 1 II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 1. Thuận lợi: Đa số học sinh đều thích học môn Toán, các em học Toán để chuẩn bị cho các kì thi Tốt nghiệp phổ thông, Đại học, Cao đẳng và thi học sinh giỏi. Ngoài ra, được sự động viên, quan tâm và giúp đỡ của Ban Giám Hiệu cũng như của đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện đề tài này. 2. Khó khăn: Học sinh chủ yếu là con em nông thôn, gia đình ở xa trường, điều kiện kinh tế khó khăn, ngoài thời gian học ở trường các em còn phải làm giúp gia đình. Đa số điểm đầu vào của học sinh còn thấp, vì thế cũng có phần khó khăn cho việc lĩnh hội kiến thức. III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN Một số phương trình, bất phương trình vô tỉ khi giải bằng phương pháp thông thường sẽ gặp rất nhiều khó khăn, vì có nhiều phương trình, bất phương trình chứa nhiều dấu căn khá phức tạp. Ở đây tôi nêu ra ba phương pháp để giải phương trình , bất phương vô tỉ là phương pháp biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ và phương pháp vectơ. 1) Phương pháp biến đổi tương đương Khi giải các phương trình, bất phương trình vô tỉ ,đầu tiên ta phải đặt điều kiện cho bài toán có nghĩa sau đó tìm cách tách căn thức và khử nó, có một số phép biến đổi tương đương quan trọng sau : Giả sử k là một số nguyên dương 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 k k f x g x f x g x g x  = = ⇔  ≥  g - - 2 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k k f x g x f x g x + + = ⇔ =g 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 k k f x g x f x g x f x =  = ⇔  ≥  g 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k k f x g x f x g x + + = ⇔ =g Ví dụ 1: Giải phương trình x - 2x 3 0+ = (1) Giải : ta có x - 2x 3+ = 0 2 2 0 0 0 3 1 2x 3 2x 3 3 x x x x x x x x ≥  ≥ ≥    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = = −     = + − −     =   Ví dụ 2: Giải phương trình 1 8 3x 1x + = − + (2) - - 3 Giải: (2) 2 2 2 2 1 0 1 3 1 3x 1 8 3x 1 0 3x 4x 1 31 2x 4x 2 2 ( 1)(3x 1) 64 1 31 3 2 3x 4x 1 961 124x 4x 1 31 8 3 2 128x 960 0 x x x x x x x x  + ≥  ≥ −   ⇔ + + + = ⇔ + ≥ ⇔     + + = − + + + + =    − ≤ ≤  ⇔ ⇔   + + = − +   − ≤ ≤  ⇔ =   − + =  Ví dụ 3: Giải phương trình 2 2 2 1 1 4x x x+ + + − + = (3) KD -2005 Giải: Điều kiện : x ≥ -1 , (3) ⇔ 2 2 ( 1 1) 1 4 2( 1 1) 1 4 1 2 3 x x x x x x + + − + = ⇔ + + − − = ⇔ + = ⇔ = Ví dụ 4: Giải bất phương trình 2 2 2 3x 2 4x 3 2 5x 4x x x− + + − + ≥ − + (4) Giải : Điều kiện 2 2 2 3x 2 0 4 4x 3 0 1 5x 4 0 x x x x x  − + ≥ ≥   − + ≥ ⇔   ≤   − + ≥  ∗ Nếu x 4≥ Ta viết (4) dưới dạng - - 4 ( 1)( 2) ( 1)( 3) 2 ( 1)( 4) ( 1)( 2 3) 2 1 4 2 3 2 4 2 4 4 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x − − + − − ≥ − − ⇔ − − + − ≥ − − ⇔ − + − ≥ − ⇔ − − − ≥ − − − Vì x 4≥ nên vế trái dương còn vế phải âm bất phương trình nghiệm đúng Vậy x ≥ 4 ∗ Nếu x 1≤ Ta viết (4) dưới dạng (1 )(2 ) (1 )(3 ) 2 (1 )(4 ) 1 ( 2 3 ) 2 1 4 x x x x x x x x x x x − − + − − ≥ − − ⇔ − − + − ≥ − − Khả năng 1: x=1 là nghiệm Khả năng 2 : x<1 thì (4) 2 3 2 4 2 4 4 3 x x x x x x x ⇔ − + − ≥ − ⇔ − − ≥ − − − Vế trái âm, vế phải dương , (4) vô nghiệm Vậy x=1 hoặc x 4≥ Bài tập: 1/ Giải các phương trình 3 3 3 2 3 2 2 / 34 3 1 / (1 ) 2(1 ) 3 / 2 1 2 1 2 / 5 5 a x x b x x x x x c x x x x d x x + − − = + − = − + + − + − − = + + = 2/ Giải bất phương trình 2 2 4 2 2 / ( 3) 4 9 / 2 1 / 2x 1 1 / 2x 6x 1 2 a x x x b x x x c x x d x − + ≤ − + − + ≤ − + ≥ − − + ≥ − - - 5 2) Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình. Đối với phương pháp này ta có thể đưa về hệ hai ẩn khác ẩn của phương trình hoặc có thể chỉ đặt một ẩn và ẩn còn lại của hệ là ẩn của phương trình ban đầu. a) Đặt một ẩn phụ. Ta tìm phương pháp chung để giải các phương trình dạng + = + + 2 ax b cx dx e và + = + + + 3 3 2 ax b cx dx ex f Dạng 1 : + = + + ≠ ≠ = 2 1 ( 0, 0, )ax b mx cx d a m m a . Xét hàm số = + + 2 1 ( )f x x cx d a . Ta có = + 2 '( )f x x c a , = ⇔ = − '( ) 0 2 ac f x x . Đặt + = + 2 ac ax b y , ta đưa phương trình dạng 1 về hệ đối xứng quen thuộc. Ví dụ 1: Giải phương trình + = − 2 5 5x x . Làm nháp: Xét hàm số = − 2 ( ) 5f x x . Ta có = = ⇔ ='( ) 2 , '( ) 0 0f x x f x x . Giải Đặt + = ≥5 ( 0)x y y , ta được hệ phương trình  − =   − =   2 2 5 5 x y y x Hệ này là hệ đối xứng loại 2. Giải hệ ta được  − =    −  =   1 21 2 1 21 2 x y (loại) hoặc  + =    +  =   1 21 2 1 21 2 x y hoặc - - 6  − − =    − +  =   1 17 2 1 21 2 x y hoặc  − + =    − −  =   1 17 2 1 21 2 x y (loại) Vậy phương trình có hai nghiệm + − + = = 1 21 1 17 , 2 2 x x . Ví dụ 2: Giải phương trình + = + − 2 1 61 29 3 3 36 6 x x x . Làm nháp: Xét hàm số = + − 2 29 ( ) 3 6 f x x x . Ta có = + = ⇔ = − 1 '( ) 6 1, '( ) 0 6 f x x f x x . Giải Đặt + = + ≥ − 1 61 1 1 ( ) 3 36 6 6 x y y , ta được hệ phương trình  + = +   + = +   2 2 3 5 3 5 y y x x x y Suy ra − + − = − ⇔ − + + = ⇔ = 2 2 3( ) ( ) ( )(3 3 2) 0y x y x x y x y y x y x hoặc + = − 3 2 3 x y . *Với =y x , ta có = ⇒ = = 2 5 3 5 3 y y x . - - 7 *Với + = − 3 2 3 x y , ta có + − ± + = − + ⇔ + − = ⇔ = 2 2 3 2 3 126 3 5 9 6 13 0 3 9 x x x x x x .Từ đây ta tìm được y và kết luận nghiệm của phương trình. Dạng 2 : + = + + ≠ ≠ ≠ 2 1 ( 0, 0, )ax b cx dx e a c a c . Xét hàm số = + + 2 ( )f x cx dx e . Ta có = +'( ) 2f x cx d , = ⇔ = −'( ) 0 2 d f x x c . Đặt + = +2ax b cy d , ta đưa phương trình dạng 2 về hệ đối xứng quen thuộc. Ví dụ 3: Giải phương trình − = + + 2 9 5 3 2 3x x x . Làm nháp: Xét hàm số = + + 2 ( ) 3 2 3f x x x . Ta có = + = ⇔ = − 1 '( ) 6 2, '( ) 0 3 f x x f x x . Giải Đặt − = + ≥ − 1 9 5 3 1( ) 3 x y y , ta được hệ phương trình  + = −   + = −   2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 y y x x x y Từ đây ta có thể dễ dàng giải tiếp . Dạng 3 : + = + + + ≠ ≠ = 3 3 2 1 ( 0, 0, )ax b cx dx ex f a c a c . Xét hàm số = + + + ⇒ = + + ⇒ = + 3 2 2 ( ) '( ) 3 2 ''( ) 6 2f x cx dx ex  x cx dx e f x cx d . = ⇔ = −''( ) 0 3 d f x x c . Đặt + = + 3 3 d ax b y c , ta đưa pt dạng 3 về hệ đối xứng quen thuộc. - - 8 Ví dụ 4: Giải phương trình + = − 3 3 1 2 2 1x x . Làm nháp: Xét hàm số = + 3 1 1 ( ) 2 2 f x x . Ta có = = = ⇔ = 2 3 '( ) , ''( ) 3 , ''( ) 0 0 2 f x x f x x f x x . Giải Đặt = − 3 2 1y x , ta được hệ phương trình  + =   + =   3 3 1 2 1 2 x y y x Trừ hai phương trình của hệ vế theo vế, ta được : − = − 3 3 2 2x y y x  =  ⇔ − + + + = ⇔ + + + =   2 2 2 2 ( )( 2) 0 2 0( ) y x y x y xy x y xy x VN Thay = x y vào phương trình ban đầu ta được : − + = 3 2 1 0x x ± ⇔ = = 1 5 1, 2 x x . Dạng 4 : + = + + + ≠ ≠ ≠ 3 3 2 1 ( 0, 0, )ax b cx dx ex f a c a c . Xét hàm số = + + + ⇒ = + + ⇒ = + 3 2 2 ( ) '( ) 3 2 ''( ) 6 2f x cx dx ex  x cx dx e f x cx d . = ⇔ = − ''( ) 0 3 d f x x c . Đặt + = + 3 3ax b cy d , ta đưa pt dạng 4 về hệ đối xứng quen thuộc. - - 9 Ví dụ 5: Giải phương trình − = − + − 3 3 2 4 81 8 2 2 3 x x x x . Làm nháp: Xét hàm số = − + − 3 2 4 ( ) 2 2 3 f x x x x . Ta có = − = = − = ⇔ = 2 4 2 '( ) 3 4 , ''( ) 6 4, ''( ) 0 3 3 f x x x f x x f x x . Giải Đặt − = − 3 81 8 3 2x y , ta được hệ phương trình  = − +     = − +   3 2 3 2 4 3 2 3 4 3 2 3 y x x x x y y y Đáp số : ± = = 3 2 6 0; 3 x x . BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải các phương trình sau : 1) = − + 2 2 2x x 2) − − = + 2 4 3 5x x x 3) + = − 3 3 2 3 3 2x x ; 4) + = − + − 2 3 1 4 13 5x x x 5) + = + + 2 1 4 5x x x 6) + = + 2 1 9 7 7 7 28 x x x . b) Đặt hai ẩn phụ. Khi biểu thức dưới dấu căn có mối liên hệ với nhau, ta đặt hai ẩn phụ để đưa về hệ phương trình. - - 10 [...]... thuyết cơ bản về hình học và đại số- nhận dạng được các loại bài tập phương pháp giải từng loại bài tập có hệ thống như trên thì sẽ giúp cho các em giải quyết đươc bài toán giải phương trình, bất phương trình vô tỉ trong các đề thi Đại học-Cao đẳng một cách nhanh chóng - Kết quả cho thấy: đa số HS biết ứng dụng và giải được các bài toán về giải phương trình, bất phương trình vô tỉ C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT... TẬP TƯƠNG TỰ Giải các phương trình 1/ 7x2 + 7x = 2/ 4 4x + 9 5 2−6 (x > 0) ĐS: x = 28 4 47 − 2x + 4 35 + 2x = 4 ĐS: x = −17;x = 23 3/ x + 3 − 3 x = 1.ĐS: x = 1 x = 2 2 ; 4/ x + 6 = x2 + 4x ĐS: x = −3 + 17 ;x = −5 + 13 2 2 ; 5/ 3 2 − x + x − 1 = 1.ĐS: x = 1 x = 2;x = 10 6/ 5 x3 + 1 = 2(x2 + 2) ĐS: x = 5 ± 37 2 3) Vận dụng kiến thức vectơ để giải phương trình, bất phương trình vô tỉ Một số kiến thức...Ví dụ 6: Giải phương trình 3 − x + x2 − 2 + x − x2 = 1 Giải Đặt u = 3 − x + x2 và v = 2 + x − x2(u, v ≥ 0) , ta được hệ phương trình : u − v = 1  ⇔  2 u + v2 = 5   u = 1 + v  ⇔  2 v +v−2= 0    u = 2 hoặc  v=1   u = −1  (loại)  v = −2   Đáp số : x = 1 ± 5 2 3 Ví dụ 7: Giải phương trình x + 34 − 3 x − 3 = 1 Giải Đặt u = 3 x + 34 và v = 3 x − 3 , ta được hệ phương trình : u −... ● Ví dụ 9: Giải phương trình x2 − 2x + 5 − x2 − 6x + 10 = 5 - - 12 Giải Phương trình ⇔ (x − 1)2 + 4 − (x − 3)2 + 1 = 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,chọn các vectơ có tọa độ như sau : r u = (x − 1 ;2) r v = (x − 3 ) ;1 r r Ta có : u − v = (2;1) r r u−v = 5 r r u − v = (x − 1 2 + 4 − (x − 3)2 + 1 ) r r r r r r x −1 = 2 ⇔ x = 5 Vì u − v = u − v ⇔ u = kv(k > 0) nên x−3 Vậy nghiệm của phương trình là x =... dụ 10: Giải phương trình x2 + 2x + 10 + x2 − 6x + 13 = 41 Giải Phương trình đã cho ⇔ (x + 1)2 + 9 + (3 − x)2 + 4 = 41 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,chọn các vectơ có tọa độ như sau : r u = (x + 1 ;3) r v = (3 − x;2) r r Ta có : u + v = (4;5) r r u + v = 41 r r u + v = (x + 1 2 + 9 + (3 − x)2 + 4 ) r r r r r r x+1 3 7 u + v = u + v ⇔ u = kv(k > 0) nên = ⇔x= Vì 3− x 2 5 7 5 Vậy nghiệm của phương trình. .. ) 2 (v + 1 + v(v + 1 + v = 37  u = −3   v = −4   3 x + 34 = 3  3  x−3=4  , Giải ra được x = 30 x = −61 Ví dụ 8 :Giải phương trình 23 3x − 2 + 3 6x − 5 − 8 = 0(ĐH Khối A- 2009) Giải Đặt u = 3 3x − 2 và v = 6x − 5(v ≥ 0) , ta được hệ phương trình : - - 11 2u + 3v = 8  ⇔  3 5u + 3v2 = 8   u = −2  Giải hệ  v = 4   8 − 2u v = ⇔ 3  3 2 15u + 4u − 32u + 40 = 0   8 − 2u v = 3 ... 2x r r u v = (3 − x)2 + 1 4 − x = 40 − 34x + 10x2 − x3 rr r r r r Vì uv = u v ⇔ u = kv(k > 0) nên 3− x x−1 = 1 5 − 2x ⇔ 2x3 − 17x2 + 49x − 46 = 0 ⇔ x = 2 Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải các phương trình 1/ x + 3 − 4 − x + x − 8 − 6 x − 1 = 1 ĐS: 5 ≤ x ≤ 10 2/ x2 − 8x + 816 + x2 + 10x + 267 = 2003 ĐS: x = − 3/ 56 31 x − 2 + 4 − x = x2 − 6x + 11 - - ĐS: x = 3 14 4/ x2... u + v = (x + 1 2 + 9 + (3 − x)2 + 4 ) r r r r r r x+1 3 7 u + v = u + v ⇔ u = kv(k > 0) nên = ⇔x= Vì 3− x 2 5 7 5 Vậy nghiệm của phương trình là x = - - 13 Ví dụ 11: Giải phương trình (3 − x) x − 1 + 5 − 2x = 40 − 34x + 10x2 − x3 Giải 5 2 Điều kiện: 1 ≤ x ≤ PT ⇔ (3 − x) x − 1 + 5 − 2x = 40 − 34x + 10x2 − x3 ⇔ (3 − x) x − 1 + 5 − 2x = [(3 − x)2 + 1](4 − x) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,chọn các vectơ... việc ôn thi đại học của học sinh Nó giúp học sinh thấy được cách giải quyết vấn đề nhanh chóng và hiệu quả khi nắm vững phương pháp Tôi rất mong được hội đồng chuyên môn nhà trường góp ý, bổ sung để đề tài được hoàn thiện hơn và có thể triển khai áp dung rộng rãi để giảng dạy cho học sinh lớp 12 chuẩn bị thi Đại học-Cao đẳng Trong quá trình biên soạn đề tài tôi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũng không . nghiệm giải toán và giải toán sáng tạo. Để bổ sung cho học sinh phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ tôi giới thiệu đề tài: Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình. TÀI Phương trình, bất phương trình vô tỉ là phương trình, bất phương trình có ẩn dưới dấu căn thức là các bài toán về phương trình bất phương trình siêu việt, cũng như phương trình, bất phương. phương trình lượng giác thường đưa về phương trình, bất phương trình vô tỉ để giải. Chính vì thế việc khảo sát phương trình , bất phương trình vô tỉ là rất cần thiết. Trong những năm gần đây, phương