Dé tai:
MOT SO BIEN PHAP KHAI THAC CAC CHUC NANG CUA BAI TAP TOAN vA VAN DUNG VAO DAY HOC CHU DE PHUONG TRINH 6 TRUONG THCS
MUC LUC: Trang
Mo dau: 3
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn 5
1.1 Mục đích dạy học mơn tốn trong nhà trường phổ thông 5 1.1.1 Những căn cứ xác định mục đích dạy học mơn tốn 5
trong nhà trường phổ thông
1.1.2 Mục đích dạy học mơn tốn trong nhà trường phổ thông 8 1.2 Vai trò và các chức năng của bài tập toán trong quá trình 18 dạy học mơn tốn ở trường phổ thông
Chương 2: Một số biện pháp khai thác các chức năng của bài 24 tập trong dạy học mơn tốn vận dụng vào dạy học chủ đề chương
trình ở trường THCS
2.1 Các nguyên tắc chỉ đạo việc xây dựng các biện pháp 24 2.2 Một số biện pháp khai thác các chức năng của bài tập toán 24 và vận dụng vào dạy học chủ đề phương trình ở trường THCS
2.2.1 Biện pháp I Xây dựng và sử dụng bài tập nhằm tạo 25 tình huống gợi vấn đề
2.2.2 Biện pháp 2 Xây dựng và sử dụng bài tập nhằm định 30 hướng gợi ý giải quyết vấn đề
2.2.3.Biện pháp 3 Xây dựng và sử dụng bài tập rèn luyện kỹ 36 năng, phát triển năng lực giải toán, năng lực vận dụng kiến thức
2.2.4 Biện pháp 4 Xây dựng và sử dụng hệ thống các bài tập 38 rèn luyện các thao tác tư duy, phát triển phẩm chất năng lực trí
tuệ
2.2.5 Biện pháp 5 Xây dựng và sử dụng bài tập nhằm kiểm 46 tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh
2.2.6 Biện pháp 6 Xây dựng và đề xuất và sử dụng một số 48 dạng bài tập nhằm phát hiện và bồi dưỡng học sinh có năng
khiếu toán
Chương 3 Thực nghiệm sư phạm 59
Trang 23.2 Nội dung thực nghiệm 3.3 Quá trình thực nghiệm
3.3.1 Chọn lớp thực nghiệm 3.3.2 Tiến trình thực nghiệm 3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm
3.4.1 Về nội dung tài liệu
3.4.2 Về phương pháp giảng dạy
3.4.3 Về khả năng lĩnh hội của học sinh 3.4.4 Về kết quả kiểm tra
Trang 3MO DAU
1 Ly do chon dé tai
Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh, có thể xem giải toán là hoạt động đóng vai trò chủ yếu của hoạt động Toán học Các bài tập là phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học Tốn ở trường phổ thơng Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải bài tập toán có vai trò quyết định đối với việc nâng cao chất lượng dạy học Toán đồng thời góp phần rèn luyện và
phát triển trí tuệ cho học sinh
Các nhà lý luận dạy học ngày nay đã tổng kết các thành phần của nội dung học vấn phổ thông và các chức năng của các thành phần đối với hoạt động tương lai của thế hệ trẻ Đó là:
- Hệ thống tri thức về tự nhiên, xã hội, tư duy, kỹ thuật và phương pháp nhận thức giúp học sinh nhận thức thế giới;
- Hệ thống kỹ năng, kỹ xảo giúp học sinh tái tạo thế giới;
- Hệ thống kinh nghiệm hoạt động sáng tạo giúp học sinh phát triển thế giới; - Thái độ chuẩn mực đối với thế giới và con người giúp học sinh xây dựng và phát triển quan hệ lành mạnh với thế giới xung quanh
Cả bốn thành phần này đều không thể thiếu trong nội dung học vấn phổ thông mà nhà trường cần quan tâm giáo dục cho học sinh Thông qua dạy học Toán, đặc biệt là tổ chức hoạt động giải bài tập toán, các thành phần đó được hình thành và phát triển vững chắc
Vấn đề khai thác các chức năng của bài tập toán trong dạy học đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu Tuy nhiên việc chọn một giải pháp tối ưu cho một chủ đề nội dung hay cho một đối tượng học sinh cụ thể chưa được đề cập đầy đủ Vì các lý do trên chúng tôi chọn đề tài:“Một số biện pháp khai thác các chức năng của bài tập Toán và vận dụng vào dạy học chủ đề phương trình ở trường THCS”
Trang 4Nghiên cứu các biện pháp khai thác các chức năng của bài tập toán vận dụng vào dạy học chủ đề phương trình ở trường THCS, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn ở trường THCS
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống hoá cơ sở lý luận, phân tích bản chất vai trò và các chức năng của bài tập toán
- Xây dựng các biện pháp nhằm khai thác các chức năng của bài tập trong dạy học Toán
- Tuyển chọn hệ thống bài tập chủ đề phương trình phục vụ mục đích bồi dưỡng học sinh khá, giỏi ở trường THCS
4 Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở chương trình và SGK hiện hành nếu khai thác hợp lí các chức năng của bài tập toán, tuyển chọn, bổ sung bài tập phù hợp với mục
đích sư phạm xác định và có biện pháp sử dụng thích hợp đối với các bài tập đó trong quá trình dạy học thì có thể chủ động góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán ở trường phổ thông
5 Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các sách, báo, tạp chí và các tài liệu chuyên môn - Quan sát: Chủ yếu là dự giờ thăm lớp, theo dõi kết quả học tập của học sinh - Tổng kết kinh nghiệm - Thực nghiệm sư phạm 6 Đóng góp của luận văn
- Lầm rõ một số khía cạnh cơ bản vai trò và các chức năng của bài tập toán - Xây dựng một số biện pháp nhằm khai thác các chức năng của bài tập trong dạy học Toán
- Cung cấp tài liệu tham khảo chuyên môn 7 Cấu trúc của luận văn
MỞ ĐẦU
Chuong1: Co sở lí luận và thực tiễn
Chương2: Các biện pháp khai thác các chức năng của bài tập trong dạy học Toán vận dụng vào dạy học chủ đề phương trình ở trường THCS
Trang 5Kết luận
Tài liệu tham khảo
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIẾN 1.1 Mục đích dạy học Toán trong nhà trường phổ thông
1.1.1 Những căn cứ xác định mục đích dạy học mơn Tốn trong nhà trường
phổ thông
Việc xác định mục đích dạy học mơn Tốn trong nhà trường phổ thông phải xuất phát từ mục tiêu giáo dục, từ đặc điểm và vị trí mơn Tốn a) Căn cứ vào mục tiêu giáo dục
Mục tiêu đào tạo là mẫu người thể hiện dưới dạng mô hình ý thức, nêu lên những thuộc tính cơ bản, những yêu cầu cụ thể về một kiểu người - Sản phẩm của quá trình giáo dục trong một giai đoạn lịch sử nhất định
Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới phát triển toàn điện phù hợp với yêu cầu và điều kiện, hoàn cảnh của đất nước Việt Nam
Luật giáo dục nước ta qui định:”mục tiêu giáo dục là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mĩ và nghề nghiệp, trung thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu xảy dựng và bảo vệ tổ quốc".(Luật giáo dục1998, chương 1 điều 2)
"Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản nhằm hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ tổ quốc ”.(Luật giáo dục, chương 2, mục 2, điều 23)
Mơn Tốn, cũng như mọi môn học, xuất phát từ đặc điểm vị trí của mình, phối hợp cùng các môn học khác và các hoạt động khác nhau trong nhà trường phổ thông, góp phần thực hiện mục tiêu trên
b) Căn cứ vào đặc điểm môn Toán
Trang 6- Đối tượng của mơn Tốn ở trường phổ thông là những quan hệ hình dạng, quan hệ số lượng, quan hệ lô gic quan trọng nhất, cần thiết nhất của thế giới khách quan
- Mơn Tốn so với các môn học khác được đặc trưng bởi tính trừu tượng cao độ của nó Đương nhiên, tính trừu tượng không phải chỉ có trong Toán học mà là đặc điểm của mọi khoa học Nhưng trong Toán học cái trừu tượng tách ra khỏi mọi chất liệu của đối tượng, chỉ giữ lại quan hệ số lượng và hình dạng không gian, tức là chỉ giữ lại những quan hệ về cấu trúc mà thôi
Sự trừu tượng hoá trong Toán học diễn ra trên những bình diện khác nhau Có những khái niệm Toán học là kết quả của sự trừu tượng hoá những đối tượng vật chất cụ thể, chẳng hạn khái niệm số tự nhiên, hình bình hành Nhưng cũng có nhiều khái niệm là kết quả của những sự trừu tượng hoá những cái trừu tượng hoá đã đạt được trước đó, chẳng hạn cái khái niệm nhóm, vành, trường,
Tính trừu tượng cao độ chỉ che lấp chứ không hề làm mất tính thực tiễn của Toán học
Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiên Tính trừu tượng cao độ
làm cho Toán học có tính phổ dụng, có thể ứng dụng được trong nhiều lĩnh vực rất khác nhau của đời sống thực tế
- Môn Toán được đặc trưng bởi tính lôgic chặt chế của nó Vì lí do sư phạm, người ta không sử dụng triệt để phương pháp tiên đề xây dựng giáo trình Toán học: Có nhiều vấn để còn được thừa nhận, có những chứng minh chưa thật chặt chẽ Tuy nhiên nhìn chung, các kiến thức trong mơn Tốn từ lớp 1 đến lớp 12 có tính hệ thống, lôgic của nó: Kiến thức học trước là cơ sở cho kiến thức học sau; khái niệm học sau được minh hoạ, định nghĩa thông qua các khái niệm học trước; từ các mệnh đề này suy ra các mệnh đề khác một cách tuần tự
Trang 7- Vé mặt phương pháp, môn Toán được đặc trưng bởi sự kết hợp chặt chế giữa cái cụ thể và cái trừu tượng, giữa phương pháp g„y nạp và phương pháp suy điễn và điều này được thể hiện ở tất cả các bậc học với yêu cầu tăng dần c) Can cứ vào vị trí môn Toán :
Trong nhà trường phổ thơng, mơn Tốn giữ một vị trí hết sức quan trọng bởi vì :
Thứ nhất, mơn Tốn là mơn học công cụ cung cấp kiến thức, kỹ năng, phương pháp, góp phân xây dựng nên tảng văn hố phổ thơng của con người lao động mới làm chủ tập thể
Do tính trừu tượng cao độ, Toán học có fính thực tiễn phổ dụng, những tri thức và kỹ năng Toán học cùng với những phương pháp làm việc trong Toán học trở thành công cụ để học tập những môn học khác trong nhà trường, là công cụ của nhiều ngành khác nhau, là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế và vì vậy nó là một thành phần không thể thiếu của trình độ văn hố phổ thơng của con người mới
Những kiến thức Tốn học phổ thơng cơ bản sẽ giúp cho học sinh có cơ sở để học các môn khoa học kỹ thuật khác và từ đó nắm được quy luật của thế giới khách quan, “giúp cho họ giải thích được sự vật đúng với chân lý, đông thời xác định ngay thái độ của họ đối với sự vật, hiện tượng đang học, và tuỳ theo yêu cầu chương trình mà rèn luyện cho họ biết cách tác động đến sự vật, hiện tượng ấy"
Chẳng hạn, tri thức về tương quan tỷ lệ thuận y = ax là công cụ để nghiên cứu rất nhiều hiện tượng trong tự nhiên và xã hội :
- Chu vi C của đường tròn tỷ lệ thuận với bán kính R : (C = 2IIR)
- Diện tích S của một tam giác với một cạnh a cho trước tỷ lệ thuận với đường cao h tương ứng với cạnh đó : ( S= !/;ah )
- Quảng đường s đi được trong một chuyển động đều với vận tốc cho trước v tỷ lệ thuận với thời gian đi t : ( s = v.t)
- Công suất điện P tỷ lệ thuận với cường độ dòng điện I khi hiệu điện thế Ú không đổi : (P= U.I)
Tương ứng như vậy, những kết quả nghiên cứu về nhóm có thể đem ứng dụng cho những đối tượng có bản chất khác nhau : Số, véctơ, ma trận, phép dời hình
Trang 8- Kỹ năng tính Toán ( tính viết, tính nhẩm, tính gần đúng, tính bằng bàn tính, bảng số, thước tính )
- Kỹ năng sử dụng các dụng cụ toán học, kỹ năng đọc, vẽ hình - Kỹ năng đọc, vẽ biểu đồ, đồ thị
- Kỹ năng đo đạc, ước lượng
Môn Toán còn giúp học sinh hình thành và phát triển những phương pháp, phương thức tư duy và các hoạt động như toán học hoá tình huống thực tiễn, thực hiện và xây dựng thuật giải, phát hiện và giải quyết vấn đề những kỹ năng này rất cần cho người lao động trong thời đại mới
Thứ hai, mơn Tốn góp phần phát triển nhân cách, đào tạo nhiều mặt
con người lao động mới phát triển toàn diện
Ngoài việc tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức và rèn luyện những kỹ năng Toán học cần thiết, mơn Tốn cịn có tác dụng góp phần phát triển các năng lực trí tuệ (tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian, tư duy lôgic và tư duy biện chứng), rèn luyện các thao tác tư duy (phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự .) các phẩm chất tư duy (tính linh hoạt, độc lập, sáng tạo .); rèn luyện những đức tính, phẩm chất của người lao động mới như : tính cẩn thận, chính xác, tính kỹ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ Từ đó góp phần hình thành nhân cách người học, giúp họ trở thành người làm việc có mục đích, có kế hoạch và có phương pháp
1.1.2 Mục đích dạy học mơn Tốn trong nhà trường phổ thông
Xuất phát từ đặc điểm và vị trí của môn Toán trong việc thực hiện mục tiêu đào tạo có chất lượng người lao động mới, việc dạy học môn Toán có các mục đích sau :
1) Truyền thụ tri thức, kỹ năng Toán học và kỹ năng vận dụng Toán học vào thực tiễn
Trang 9Việc thực hiện mục đích này được cụ thể hoá như sau :
Thứ nhất, cần tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những dang tri thức khác nhau Cụ thể : Tri thức sự vật, tri thức phương pháp, tri thức chuẩn va tri thức giá trị
- Trì thức sự vật trong môn Toán thường là một khái niệm, một định lý, cũng có khi là một yếu tố lịch sử, một ứng dụng Toán học
- Trị thức phương pháp liên hệ với hai loại phương pháp khác nhau về bản chất và đều có ý nghĩa to lớn trong giáo dục Toán học đó là những phương pháp có tính chất thuật giải (ví dụ : Phương pháp giải phương tình bậc hai) và những phương pháp có tính chất tìm đoán (ví dụ: Phương pháp tổng quát của G.Pôlia để giải bài tập Toán học) Những tri thức phương pháp thường gặp trong mơn Tốn là:
+ Những tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động tương ứng với những nội dung Toán học cụ thể như: cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ, giải phương trình trùng phương, dựng tam giác biết 3 cạnh,
+ Những tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động Toán học phức hợp hơn như định nghĩa, chứng minh,
+ Những tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động trí tuệ phổ biến trong mơn Tốn như hoạt động tư duy hàm, phân chia trường hợp
+ Những tri thức về phương pháp những hoạt động trí tuệ chung như so sánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá
+ Những tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động ngôn ngữ lôgic như thiết lập mệnh đề đảo của một mệnh đề cho trước, liên hệ hai mệnh đề thành hội hay tuyến của chúng
- Trỉ thức chuẩn thường liên quan với những chuẩn mực nhất định Chẳng hạn qui định về những đơn vị đo lường, quy ước về làm tròn những giá trị gần đúng
- Tri thức giá trị có những nội dung là những mệnh đề đánh giá, chẳng hạn: “Toán học có vai trò quan trọng trong khoa học và công nghệ cũng như trong đời sống", "Khái quát hoá là một hoạt động trí tuệ cân thiết cho mọi khoa học”
Trang 10Thứ hai, do sự trừu tượng hoá trong Toán học diễn ra trên nhiều cấp độ, cần rèn cho học sinh những kỹ năng trên những bình diện khác nhau:
- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ Toán: Đây là sự thể hiện mức
độ thông hiểu tri thức Toán học
- Kỹ năng vận dụng tri thức Toán học vào những môn học khác: Đây là sự thể hiện vai trò công cụ của Toán học đối với những môn học khác, điều này cũng thể hiện mối liên hệ liên môn giữa các môn học trong nhà trường phổ thông và đòi hỏi người giáo viên Toán cần có quan điểm /ích hợp trong việc dạy học bộ môn
- Kỹ năng vận dụng Toán học vào đời sống: Đây là mục tiêu quan trọng của mơn Tốn Nó cũng cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và đời sống
Thứ ba, cần có ý thức để học sinh phối hợp giữa chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kỹ năng thể hiện ở 6 chức năng trí tuệ từ thấp đến cao:
- Biết: Ghi nhớ và tái hiện thông tin;
- Thông hiểu: Giao tiếp sử dụng các thông tin đã có;
- Vận dụng: Áp dụng các thông tin (guy tắc, phương pháp, khái niệm .) vào tình huống mới mà không cần sự gợi ý;
- Phân tích: Chia thông tin thành các bộ phận và thiết lập sự phụ thuộc lẫn nhau giữa chúng:
- Tổng hợp: Cải tổ các thông tin từ những nguồn khác nhau, trên cơ sở đó tạo nên mẫu mới;
- Đánh giá: Phán đoán về giá trị một tư tưởng, một phương pháp, một tài liệu nào đó
Thứ tư, cần làm nổi bật những mạch tri thức, kỹ năng xuyên suốt chương trình
Trang 11Cách làm này cho học sinh thấy được cái bộ phận nằm trong cái toàn thể, tránh tình trạng thấy cây mà khơng thấy rừng
Ngồi ra cần chú trọng írang bị cho học sinh những kiến thức Toán học hiện đại Vì những kiến thức này phản ánh thực tế khách quan ở một trình độ trừu tượng, khái quát cao, do đó có khả năng bao gồm thực tiễn ngày càng rộng lớn và tác dụng phục vụ thực tiễn ngày càng lớn Nắm được ngôn ngữ, kí hiệu, quan điểm, tư tưởng, phương pháp của Toán học hiện đại là điều kiện tối cần thiết để đi vào khoa học và kỹ thuật hiện đại
2) Phát triển năng lực trí tuệ chung
Mơn Tốn cần được khai thác để góp phần phát triển những năng lực
trí tuệ chung như tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian, tư duy logic va tu duy biện chứng: rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích tổng hợp, so sánh, tương tự, đặc biệt hoá, khái quát hoá; các phẩm chất tư duy như tính linh hoạt, độc lập, sáng tạo,
Mơn Tốn có khả năng to lớn góp phần phát triển các năng lực trí tuệ cho học sinh, mục đích này cần được khai thác một cách có ý thức, có hệ thống, có kế hoạch chứ không phải là tự phát Muốn vậy, người thây giáo cần có ý thức đầy đủ về các mặt sau:
+) Rèn luyện tr duy lôgic và ngôn ngữ chính xác Do đặc điểm của khoa học Toán hoc, mơn Tốn có tiềm năng quan trọng có thể khai thác để rèn luyện cho học sinh tư duy lôgic Nhưng tư duy không thể tách rời với ngôn ngữ, nó phải diễn ra với hình thức ngôn ngữ, được hoàn thiện trong sự trao đổi bằng ngôn ngữ của con người và ngược lại, ngôn ngữ được hình thành nhờ có tư duy Vì vậy, việc phát triển tư duy lôgic gắn liền với việc rèn luyện ngôn ngữ chính xác
Việc phát triển tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác ở học sinh qua mơn Tốn ở trường phổ thông có thể thực hiện theo ba hướng liên quan chặt
chẽ với nhau:
- Lầm cho học sinh nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết logic va, hodc, néu thi, phủ định, những lượng từ tôn tại và khái quát
- Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với định nghĩa
- Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc lập tiến hành chứng minh
Trang 12sự phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng Muốn khai thác khả năng này, người thầy giáo cần lưu ý:
- Làm cho học sinh quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán (có căn cứ, dựa trên những nguyên tắc, kinh nghiệm nhất định) như xét tương tự, khái quát hoá, quy lạ về quen
-Tập luyện cho học sinh khả năng hình dung được những đối tượng quan hệ không gian và làm việc với chúng dựa trên những dữ liệu bằng lời hay những hình phẳng, từ những biểu tượng của những đối tượng đã biết có thể hình thành, sáng tạo ra hình ảnh của những đối tượng chưa biết hoặc không có trong đời sống
+ Rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản Mơn Tốn đồi hỏi học sinh phải thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quá hoá, đặc biệt hoá, tương tự do đó có tác dụng rèn luyện cho học sinh những hoạt động này
- Phan tích là dùng trí óc chia cái toàn thể ra thành từng phần hoặc từng thuộc tính hay từng khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể đó
- Tổng hợp là dùng trí óc hợp lại các phần của toàn thể hoặc kết hợp lại
những thuộc tính hay khía cạnh khác nhau đã được tách ra, nằm trong cái
toàn thể Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất Chúng là hai hoạt động trí tuệ cơ bản của quá trình tư duy Những hoạt động trí tuệ khác diễn ra trên nền tảng phân tích và tổng hợp
- So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện tượng Muốn vậy ta phải phân tích các dấu hiệu thuộc tính của chúng, đối chiếu chúng với nhau rồi tổng hợp lại để xem chỗ giống nhau và khác nhau
- Trừu tượng hoá là tách ( tương đối) những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất
- Khái quát hoá là dùng trí óc tách ra cái chung trong các đối tượng, hiện tượng, sự kiện Muốn khái quát hoá phải so sánh nhiều đối tượng, hiện tượng và sự kiện với nhau để rút ra cái chung, nhưng cũng có khi chỉ từ một đối tượng, một hiện tượng hay một sự kiện ta cũng có thể khái quát hoá một tính chất, một phương pháp
- Đặc biệt hoá là xét một trường hợp cụ thể nằm trong cái chung
Trang 13+) Rèn luyện và phát triển những phẩm chất trí tuệ Việc rèn luyện cho học sinh những phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa to lớn đối với việc học tập, công tác
và trong cuộc sống Theo các nhà tâm lý học, phẩm chất trí tuệ thể hiện chủ
yếu ở tính linh hoạt và tính độc lập Cả hai đặc tính này tạo nên tính sáng tạo
Tính linh hoạt của tư duy thể hiện ở khả năng chuyển hướng quá trình tư
duy Vì vậy cần chú ý rèn luyện các kỹ năng sau:
- Kỹ năng thay đổi phương hướng giải quyết vấn đề phù hợp với sự thay đổi các điều kiện, biết tìm ra phương pháp mới để giải quyết vấn đề, dễ dàng
chuyển từ dạng hoạt động trí tuệ này sang dạng hoạt động trí tuệ khác, không rập khuôn theo mẫu có sẵn
- Kỹ năng nhìn một vấn đề, một hiện tượng theo nhiều quan điểm khác nhau
- Kỹ năng xác lập sự phụ thuộc giữa các kiến thức theo thứ tự ngược lại ( tính thuận nghịch của quá trình tư duy )
Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng :
- Tự mình phát hiện và tìm ra phương pháp giải quyết vấn đề, không đi tìm lời giải sắn, khơng hồn tồn dựa dẫm vào ý nghĩa và lập luận của người khác
- Nghiêm túc đánh giá những lập luận và cách giải quyết của người khác và ngay cả của mình
- Có tỉnh than hoài nghi khoa học, luôn tự dat cho mình các câu hỏi tại sao? do đâu? như thế nào? khi lĩnh hội kiến thức
- Tính độc lập liên hệ mật thiết với tính phê phán của tư duy
Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo Tính sáng tạo dẫn tới những suy nghĩ rất táo bạo nhưng có căn cứ, có cân nhắc cẩn thận chứ không phải nghĩ liều, làm liều
Cùng với việc nắm vững hệ thống kiến thức, rèn luyện và phát triển
Trang 14Trong điều kiện hiện nay “Sự hiểu biết của con người luôn luôn đổi mới cho nên dù học được trong nhà trường bao nhiêu đi nữa thì cũng chỉ là rất có hạn Cái quan trọng là rèn luyện bộ óc, rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập " [7]
3) Giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và thẩm mĩ
Mơn Tốn cần được khai thác góp phần bồi dưỡng cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, rèn luyện cho họ những phẩm chất của người lao động mới trong học tập và trong sản xuất như làm việc có ý thức, có mục đích, có kế hoạch, có phương pháp, có kỷ luật, có kiểm tra, có ý thức tiết
kiệm, trung thực, cẩn thận, chính xác, sáng tạo, dám nghĩ, dám làm, có óc
thẩm mĩ, có sức khoẻ, dũng cảm bảo vệ chân lí, xây dựng và bảo vệ tổ quốc Cũng như ở các bộ môn khác, quá trình dạy học mơn Tốn phải là một q trình thống nhất giữa dạy chữ và dạy người Để làm được việc này người thầy giáo mơn Tốn một mặt phải thực hiện nhiệm vụ chung giống như các thầy giáo bộ môn khác: Phát huy tác dụng gương mẫu, tận dụng ảnh hưởng của tập thể học sinh, phối hợp với giáo viên chủ nhiệm Nhưng mặt khác còn cần phải khai thác tiểm năng của nội dung mơn Tốn để góp phần riêng của bộ môn vào việc thực hiện mục đích này
+) Thông qua dạy học Toán cần giáo dục /òng yêu nước, yêu chủ nghĩa xấ hội cho học sinh Trong phạm vi mơn Tốn, có thể thực hiện mục đích này theo các cách sau:
- Đưa những số liệu về công cuộc xây dựng và bảo vệ tổ quốc vào những đề toán trong những trường hợp có thể được, chẳng hạn những bài toán có nội dung thực tế giải bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
- Khai thác một số dữ kiện về lịch sử Toán liên quan đến truyền thống dân tộc
- Giáo dục lòng tự hào về tiềm năng Toán học của dân tộc ta Tiềm năng này bộ lộ rõ ràng đến mức thế giới đã thừa nhận rằng có một nên Toán học ở Việt Nam Việc dùng tiếng mẹ đẻ trong dạy học và nghiên cứu Toán cũng là một niềm tự hào dân tộc
+) Thông qua dạy học Toán cần bồi dưỡng /hế giới quan duy vật biện chứng cho học sinh Mơn Tốn có nhiều tiềm năng có thể khai thác để thực hiện
mục đích này được cụ thể hoá như sau:
Trang 15gốc, đối tượng và cơng cụ của Tốn học, qua đó hiểu được bản chất của những sự trừu tượng Toán học
- Làm cho học sinh ý thức được những yếu tố của phép biến chứng, chẳng hạn sự tương quan và vận động của các vật và hiện tượng, sự thống nhất và đấu tranh của các mặt đối lập, sự chuyển hoá từ số lượng sang chất lượng, sự biện chứng của cái chung và cái riêng, của cái trừu tượng và cái cụ thể, của tất nhiên và ngẫu nhiên
+) Cần rèn luyện phẩm chất đạo đức cho học sinh Mơn Tốn có tiêm năng rất lớn đối với việc bồi dưỡng cho học sinh những phẩm chất đạo đức của con người mới, bởi vì bản thân lao động Toán học cũng đòi hỏi phẩm chất như thế Trong số những phẩm chất này có thể kể tới: Tính cẩn thận, chính
xác, tính kế hoạch, kỹ luật, tính kiên trì, vượt khó, ý chí tiến công, tỉnh thần trách nhiệm, thái độ phê phán, thói quen tự kiểm tra đây là việc diễn ra hàng ngày hàng giờ trong quá trình dạy học mơn Tốn Tuy nhiên để đạt được hiệu quả giáo dục như mong muốn đòi hỏi người thầy giáo phải căn cứ vào đặc thù của từng nội dung, vào tình hình cụ thể của học sinh về mặt đạo đức mà lúc nhấn mạnh phẩm chất này, khi thì tập trung vào phẩm chất kia
một cách có trọng tâm, trọng điểm
+) Giáo duc thdm mĩ qua mơn Tốn Để giáo dục văn hoá thẩm mĩ cho học sinh, cấn chú ý phát triển đồng thời các thành tố: tri thức và tầm nhìn thẩm mĩ, quan niệm và thị hiếu thẩm mí, tình cảm và năng lực thẩm mĩ Môn Toán
cũng có thể đóng góp phần mình vào giáo dục thẩm mĩ cho học sinh trong một số phương diện sau:
- Mơn Tốn có những cơ hội để học sinh cảm nhận và thể hiện cái đẹp theo nghĩa thông thường trong đời sống Những hình vẽ đẹp trong sách giáo khoa, cách trình bày sáng sủa của giáo viên Có tác dụng bồi dưỡng óc thẩm mĩ, làm cho học sinh biết thưởng thức cái đẹp Việc yêu cầu học sinh giữ vở sạch viết chữ đẹp, vẽ hình rõ ràng, trình bày ngắn gọn chính xác sẽ góp phần giáo dục họ biết thể hiện và sáng tạo cái đẹp
Trang 16thức Toán học quy định trong chương trình, mơn Tốn cịn tiềm tàng những khả năng không nhỏ để giáo dục thẩm mĩ Giáo viên có thể dạy cho học sinh thưởng thức và thể hiện cái đẹp trong lập luận lôgic chặt chẽ, trong cách trình bày rõ ràng, mạch lạc trong ngôn ngữ kí hiệu ngắn gọn, chính xác trong những lời giải bất ngờ độc đáo, trong những ứng dụng phong phú đa dạng của Toán học vào đời sống
- Toán học có tác dụng phát triển ở người học nhiều phẩm chất, giúp họ biết thưởng thức và sáng tạo cái đẹp, con người phải có sáng tạo mới tạo ra cái đẹp Như vậy thẩm mĩ gắn liền với sáng tạo Việc thưởng thức cái đẹp
còn liên hệ với tư duy hình tượng vì vậy cần khai thác các khía cạnh này có
tác dụng giáo dục thẩm mi cho hoc sinh
4) Bảo đảm cho mọi học sinh đạt yêu cầu chất lượng phổ cập học vấn Toán học phổ thông, đông thời chú trọng phát hiện và bôi dưỡng học sinh có năng khiếu về Toán
Việc đảm bảo chất lượng phổ cập xuất phát từ yêu cầu khách quan của xã hội và từ khả năng thực tế của học sinh Một mặt, xã hội đòi hỏi mỗi học sinh ra trường phải đảm nhiệm công việc lao động xây dựng và bảo vệ tổ quốc, nếu cơ sở Toán học phổ thông không vững thì sẽ ảnh hưởng tới năng suất lao động, tới hiệu suất công tác Mặt khác, những nghiên cứu của nhiều nhà tâm lý học khẳng định rằng mọi học sinh có sức khoẻ bình thường đều có thể tiếp thu một nên văn hoá phổ thông trong đó có học vấn Tốn học phổ
thơng Hiện tượng có không ít học sinh kém Toán ở trường phổ thông hiện nay là do nhiều nguyên nhân về cách dạy của thầy, cách học của trò, về hoàn cảnh kinh tế, điều kiện vật chất chứ không phải do việc dạy học Toán đòi hỏi ở học sinh một năng khiếu đặc biệt, một trí thông minh khác thường Người giáo viên Toán có thể và cần phải làm cho mọi học sinh kiến tạo được tri thức và kỹ năng Toán học cơ bản quy định trong chương trình Đó là
nhiệm vụ đảm bảo chất lượng phổ cập
Trang 17dục Toán học trong nhà trường phổ thông phải góp phần thực hiện nhiệm vụ này
Việc kết hợp giữa phổ cập với đề cao, giữa đại trà và mũi nhọn có thể
được thực hiện bằng dạy học phân hoá theo hai con đường:
- Phân hoá nội tại bao gồm những biện pháp chỉ đạo cá biệt hoặc tiến hành những pha phân hoá trong dạy học đồng loạt
- Phân hoá về tổ chức được thực hiện bằng cách giúp đỡ tách riêng những nhóm học sinh yếu kém, bồi dưỡng tách riêng những nhóm học sinh khá giỏi, mở những chuyên đề tự chọn, những lớp chuyên ở trình độ thích hợp, phân ban
Tuy nhiên, trong thực tiễn dạy học Toán, các mục đích không tách rời nhau mà trái lại, chúng quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau nhằm hình thành ở người học sinh /hế giới quan và nhân sinh quan cách mạng, năng lực nhận thức và hành động, động cơ đúng đắn và lòng say mê
học tập, lao động, xây dựng và bảo vệ tổ quốc Điều đó thể hiện sự thống
nhất giữa dạy chữ và dạy người, giữa dạy học và phát triển Sự liên quan giữa
các mục đích được thể hiện :
Thứ nhất là tính toàn điện của các mục đích Các mục đích thành phần là những phương diện khác nhau của một thể thống nhất, thể hiện tính toàn diện của mục đích dạy học Toán Trong điều kiện kinh tế xã hội nước ta hiện nay, tính tồn diện khơng nên hiểu là yêu cầu quá cao về tất cả các mặt một cách thoát l¡ thực tế Tuy nhiên nói tới tính toàn diện là đối với toàn bộ chương trình Còn ở từng bài cụ thể không nên yêu cầu một sự toàn diện rải mành mành mà trái lại, cần tập trung vào một số trọng tâm, trọng điểm
Thứ hai là vai trò cơ sở của tri thức Tri thức là cơ sở để rèn luyện kỹ năng và thực hiện các nhiệm vụ khác "Cơ sở" ở đây được hiểu là nếu không dạy tri thức thì không thể thực hiện các mục đích khác Từ đó, phải tránh tình trạng học sinh làm bài tập khi chưa học lí thuyết Tuy nhiên, cũng không nên gia tăng khối lượng tri thức quá nhiều, nhồi nhét tri thức cho học sinh Trong tình hình hiện nay, sự tính giảm tri thức một cách cân nhắc còn có thể
làm thuận lợi cho việc giáo dục toàn diện
Trang 18học sinh trong nhà trường phổ thông, vì vậy cần hướng mạnh vào việc vận dụng tri thức và rèn luyện kỹ năng tất yếu dẫn tới nhấn mạnh vai trò hoạt động của học sinh bởi vì kỹ năng chỉ có thể được hình thành và phát triển
trong hoạt động
Thứ tư là sự thống nhất của các mục đích trong hoạt động Cần hướng vào hoạt động của học sinh trong khi thực hiện các mục đích dạy học Việc dạy một tri thức, rèn luyện một kỹ năng, kỹ xảo, phát triển một năng lực, hình thành một phẩm chất cũng là nhằm giúp học sinh thực hiện một hoạt động nào đó trong học tập cũng như trong đời sống Nhờ đó, các mục đích được thống nhất trong hoạt động
Thứ năm là các yếu tố nhân cách nêu trong các mục đích dạy học Toán được hình thành và củng cố để tạo ra bốn năng lực chủ yếu đáp ứng mục tiêu giáo dục và phát triển con người trong thời kỳ công nghiệp hoá, hiện đại hoá ở nước ta hiện nay đó là:
- Năng lực hành động có hiệu quả trên cơ sở những kiến thức, kỹ năng và phẩm chất đã hình thành trong dạy học và trong giáo dục, trong học tập, giao tiếp, dám nghĩ, dám làm và biết chịu trách nhiệm
- Năng lực thích ứng với sự thay đổi trong thực tiễn để có thể chủ động,
linh hoạt và sáng tạo trong học tập, lao động, sinh sống cũng như hoà nhập với môi trường tự nhiên, cộng đồng xã hội
- Năng lực giao tiếp, ứng xử với lòng nhân ái, có văn hoá và thể hiện tỉnh thần trách nhiệm với gia đình, với cộng đồng và xã hội
- Năng lực tự khẳng định, biểu hiện ở tinh thân phấn đấu học tập và lao động, không ngừng rèn luyện bản thân, có khả năng tự đánh giá và phê phán trong phạm vi môi trường hoạt động và trải nghiệm của bản thân
Trang 19+) Học sinh biết nhận dạng một khái niệm tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có các đặc trưng của một khái niệm nào đó hay không: biết thể hiện khái niệm tức là biết tạo ra một đối tượng có đặc trưng của khái niệm đó
- Để giúp học sinh nắm vững nội dung và phạm vi của khái niệm, ta sử dụng các bài tập để học sinh tập luyện các hoạt động “nhận dang” va "thé hiện” khái niệm, qua đó học sinh cũng được tập luyện những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ và những hoạt động ngôn ngữ
Ví dụ: Sau khi giới thiệu khái niệm phương trình bậc nhất một ẩn : (lớp 8)
Phương trình bậc nhất một ẩn S phương trình có dạng ax + b= 0
a, b là hai số đã cho và a # 0
Giáo viên có thể sử dụng các bài tập:
Bai 1: Hay chi ra các phương trình bậc nhất một ẩn trong các phương trình sau:
a)l+x=0; b)x+x?=0; €)1-2t=0; d)3y=0; e)0x-3=0
Với mỗi phương trình bậc nhất một ẩn ở trên hãy xác định các hệ số a, b Trả lời được bài tập này, học sinh đã thực hiện hoạt động nhận dạng khái niệm phương trình bậc nhất một ẩn Bài 2: Đưa các phương trình sau về dạng ax + b = 0 a) 5x+12=4x- 1; b) 15 - 2x =5x-7 c) HS; d) (x + 5)(x +2) = 3(4x -3) + (x - 5)?
Đây là bài tập đòi hỏi học sinh phải biết thể hiện khái niệm phương trình bậc nhất một ẩn đồng thời rèn luyện các hoạt động trí tuệ của học sinh như
phân tích, tổng hợp, khái quát hoá phát triển các phẩm chất tư duy như tính độc lập, tính nhuần nhuyễn, tính thuận nghịch của tư duy
Rõ ràng nếu trả lời được các bài tập trên, học sinh đã nhận dạng và thể hiện được khái niệm phương trình bậc nhất một ẩn, có thể vận dụng được khái niệm đó để nghiên cứu phần tiếp theo của bài học
Việc sử dụng các bài tập nhằm củng cố khái niệm như trên có thể thực hiện ngay sau khi giới thiệu khái niệm mới hoặc tiến hành vào bước củng cố cuối tiết học
Trang 20Để giúp học sinh hiểu sâu sắc nội dung định lý và có thể vận dụng
định lý vào việc giải toán, ta cần tập luyện cho học sinh hoạt động “nhận
dạng" và "thể hiện" thông qua giải bài tập toán
Ví dụ: Sau khi dạy định lý Vi-ét thuận và đảo, ta có thể sử dụng cho học sinh sinh giải các bài tập sau:
Bài 1: Dùng hệ thức Vi-ét để nhẩm các nghiệm của phương trình sau:
a) X? - 7x + 12=0;
b)x”+7x+ 12=0
Bài 2: Tìm hai số u, v biết u - v = 5 và u.v = 24
Để giải bài 1, học sinh có thể nhận dạng định lý Vi-ét thuận sau khi đã xem xét các tình huống đã ăn khớp với định lý thuận Chẳng hạn ở bài 1a, học sinh phải xác định các hệ số a, b, c và tính A Với A = I >0 dẫn đến phương trình có hai nghiệm x;, x; sao cho: Xi +X; =7; Xị X; = 12 Từ đó suy ra x¡ = 3, x; = 4 Để giải bài Toán 2, học sinh cần tạo ra tình huống phù hợp với định lý Vi-ét đảo Cụ thể : Đặt t = -v khi đó u +t = 5 và u.t = -24 Từ đó tìm được u = 8 và t= -3 =>u=8,v=3vàu=-3,t=8=>u=-3,v=-8
Cùng với nhận dạng và thể hiện các định lý, thông qua giải bài tập học
sinh cũng được rèn luyện các hoạt động trí tuệ như phân tích, tổng hợp rèn luyện và phát triển các năng lực tư duy như tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo và các hoạt động ngôn ngữ
Việc sử dụng bài tập nhằm cũng cố định lý như trên có thể tiến hành ngay sau khi học sinh nắm được nội dung và chứng minh của định lý, tiến hành vào cuối tiết học hoặc trong các tiết luyện tập
+) Nhận dạng một phương pháp là phát hiện xem một dãy tình huống có phù hợp với các bước thực hiện phương pháp đó hay không, còn /hể hiện một phương pháp là tạo một dãy tình huống phù hợp với các bước của phương pháp đã biết
Để giúp học sinh nắm vững các quy tắc, phương pháp đã biết và vận
dụng thành thạo các quy tác, phương pháp đó trong giải toán, ta cần cho học sinh tập luyện thường xuyên các hoạt động “nhận dạng” và “thể hiện” các quy tắc, phương pháp đó thông qua các hoạt động giải toán
Ví dụ 1 : Giải phương trình xŸ - 2x - 5 = 0 bằng công thức nghiệm (thể hiện
Trang 21Ví dụ 2 : Kiểm tra các bước giải phương trình ở ví dụ 1 (Nhận dạng phương pháp giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm)
Trong dạy học Toán, hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục đích, nội dung và phương pháp dạy học Vì vậy vai trò của bài tập toán được
thể hiện cả trên ba bình điện này:
- Trên bình diện mục đích dạy học, bài tập toán ở trường phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục đích Mặt khác, những bài tập toán cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục đích dạy học mơn Tốn Cụ
thể:
* Với chức năng dạy học, bài tập nhằm hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn;
* Với chức năng phát triển, bài tập nhằm phát triển năng lực trí tuệ, đặc
biệt là rèn luyện những thao tác tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ; * Với chức năng giáo dục, bài tập nhằm bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành và củng cố niềm tin, phẩm chất và đạo đức của người lao động mới
* Với chức năng kiểm tra, bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập và trình độ phát triển năng lực Toán học của học sinh
Tuy nhiên, trong thực tiễn dạy học Toán các chức năng của bài tập không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời nhau Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức là hàm ý nói việc thực hiện chức năng ấy một cách tường minh công khai Hiệu quả của việc dạy học Toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện đầy đủ các chức năng có thể có của mỗi bài tập mà ngời viết sách giáo khoa đã có dụng ý chuẩn bị
- Trên bình diện nội dung dạy học, bài tập Toán học là giá mang những hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, làm cho những bài tập đó trở thành một phương tiện để cài đặt nội dung dưới dạng những tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết
Trang 22sở đó thực hiện các mục đích dạy học khác Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu
Trong thực tiễn dạy học Toán, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau về phương pháp dạy học, cụ thể :
+) Đảm bảo trình độ xuất phát, bài tập được sử dụng nhằm :
- Kiểm tra những tri thức, kỹ năng cần thiết đã có sẵn ở học sinh tới mức độ nào
- Tái hiện những tri thức và tái tạo những kỹ năng cần thiết theo hai cách: Tái hiện hoặc tái tạo tường minh (tức là giáo viên cho học sinh ôn tập những tri thức, kỹ năng cần thiết một cách tường minh thông qua giải bài tập trước khi dạy nội dung mới); tái hiện hoặc tái tạo ẩn tàng (tức là những tri thức, kỹ năng cần thiết được tái hiện hoặc tái tạo ở những lúc thích hợp trong mối liên quan với từng nội dung mới thông qua giải bài tập chứ không thành một pha tách biệt) +) Gợi động cơ nhằm làm cho những mục đích sư phạm biến thành những mục đích cá nhân học sinh
+) Làm việc với nội dung mới, bài tập được sử dụng nhằm giúp học sinh kiến tạo tri thức, hình thành kỹ năng kỹ xảo Bài tập ở đây được xem như là phương tiện giúp giáo viên tạo ra những tình huống gợi ra những hoạt động tương thích với nội dung và mục đích dạy học nhằm kích thích học sinh hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo, có sự giao lưu giữa những thành viên trong tập thể, giữa thầy và trò
+) Củng cố: Trong quá trình dạy học Toán việc củng cố tri thức và kỹ năng cần được tiến hành thường xuyên trong các tiết lên lớp Có nhiều hình thức củng cố: Luyện tập, đào sâu, ứng dụng, hệ thống hố và ơn lại Trong các hình thức ấy ta đều sử dụng bài tập làm công cụ để củng cố tri thức và kỹ năng, rèn luyện các năng lực trí tuệ và phẩm chất tư duy cho học sinh Ngồi ra thơng qua việc sử dụng bài tập củng cố còn giúp học sinh:
- Phát hiện và giải quyết những vấn đề liên quan đến những phương diện khác nhau, những khía cạnh khác nhau của tri thức, bổ sung, mở rộng và hoàn chỉnh tri thức;
- Vận dụng những tri thức và kỹ năng đã lĩnh hội vào việc giải quyết những vấn đề mới trong nội bộ Toán cũng như trong thực tiễn;
Trang 23chúng Nhờ đó, giúp họ đạt được không phải chỉ là những tri thức riêng lẻ mà là một hệ thống tri thức
+) Kiểm tra và đánh giá Đây là công việc giáo viên phải làm thường xuyên trong quá trình dạy học Bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh
giáo viên có thể sử dụng bài tập để kiểm tra và đánh giá học sinh về các mặt tri thức, kỹ năng, năng lực trí tuệ và phẩm chất tư duy Tuỳ theo yêu cầu và hình thức kiểm tra (kiểm tra miệng, kiểm tra viết ngắn khoảng 10 đến 20
phút, kiểm tra viết dài từ 1 tiết trở lên)
+) Hướng dẫn công việc ở nhà bao gồm: Hướng dẫn học lý thuyết, ra bài tập và hướng dẫn bài tập ở nhà nội dung chủ yếu là hướng dẫn bài tập ở nhà Việc giải bài tập ở nhà là một dạng hoạt động độc lập của học sinh nhưng ở đây cần lưu ý tới hai đặc điểm: học sinh làm bài tập ở nhà không có sự giúp đỡ trực tiếp và tại chổ của thây giáo; Thời gian làm bài có thể không bị hạn chế như ở trên lớp Cũng như toàn bộ việc dạy học, việc giải bài tập ở nhà cũng là một bộ phận của quá trình dạy học và do đó cũng nhằm vào những mục đích nhất định, đó là:
- Cũng cố tri thức;
- Rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo và phát triển năng lực; - Tạo tiền đề xuất phát cho giờ học sau;
- Làm tư liệu và phương tiện để dạy nội dung của tiết học sau
Tuy nhiên, việc giải một bài tập cụ thể không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó mà thường bao hàm những ý đồ nhiều mặt và đều hướng đến việc thực hiện các mục đích dạy học Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải bài tập có vai trò quyết định đối với việc nâng cao chất lượng dạy học Toán trong nhà trường phổ thông, đồng thời góp phần rèn luyện và phát triển các năng lực trí tuệ cho các em
Trang 24Chuong 2
MOT SO BIEN PHAP KHAI THAC CAC CHUC NANG CUA BAI TAP TOAN VÀ VẬN DUNG VAO DAY HOC CHU DE PHUONG TRINH 6 TRUONG THCS 2.1 Các nguyên tắc xây dựng các biện pháp
Bảy nguyên tắc sau là những luận điểm cơ bản có tác dụng chỉ đạo toàn bộ tiến trình xây dựng các biện pháp khai thác các chức năng của bài tập Toán trong dạy học mơn Tốn, nhằm giúp học sinh phát hiện và giải quyết những nhiệm vụ nhận thức nảy sinh trong quá trình học tập mơn Tốn
1 Đảm bảo tương thích và khả thi với chương trình và sách giáo khoa Toán bậc THCS
2 Đảm bảo phù hợp với cấu trúc lôgic của nội dung dạy học, phù hợp với việc dạy học các tình huống Toán học điển hình
3 Đảm bảo phù hợp với đặc điểm nhận thức của học sinh (tập thể nói chung
và từng học sinh nói riêng), tức là đảm bảo tính vừa sức giữa chung và riêng trong dạy học Toán
4 Phải xuất phát từ cách tiếp cận hiện đại về quá trình dạy học giải Toán, đề cao vai trò chủ thể của học sinh, hướng tới hình thành và phát triển năng lực sáng tạo trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề nhận thức
5 Đảm bảo sự thống nhất giữa vai trò chỉ đạo của thầy với vai trò tự giác, tích cực, độc lập và sáng tạo của học sinh
6 Coi trọng cả hai hình thức: Tổ chức (được căn cứ vào hình thức tổ chức day học); hướng dẫn và gợi ý suy luận (được căn cứ vào việc sử dụng các phép suy luận để tìm kiếm cấu trúc lôgic của nội dung)
7 Khai thác các chức năng của bài tập tốn thơng qua việc tuyển chọn và sử dụng hệ thống bài tập thích hợp
2.2 Một số biện pháp khai thác các chức năng của bài tập Toán và vận dụng vào dạy học chủ đề phương trình ở trường THCS
Trong thực tiễn dạy học, bài tập Toán học được sử dụng với những
Trang 25có Các chức năng này không những không tách rời nhau ma trái lại chúng đan xen, hỗ trợ và bổ sung lẫn nhau và đều hướng đến việc thực hiện các mục đích dạy học Vì vậy, trong đề tài này chúng tôi chú trọng đề cập đến việc khai thác chức năng phát triển của bài tập toán trong dạy học Sau đây là một số biện pháp cụ thể đáp ứng yêu cầu đó
2.2.1 Biện pháp 1 Xáy dung và sử dụng bài tập nhằm tạo tình huống gợi vấn đề
Việc sử dụng bài tập gợi vấn đề nhằm tích cực hoá hoạt động tư duy học sinh trong quá trình phát hiện vấn đề nhận thức và được thực hiện theo các giải pháp sau:
1) Giải bài tập vào lúc mở đầu
Với mục đích làm cho vấn đề trở nên hấp dẫn hơn và việc xây dựng nó trở nên để hiểu và hợp với tự nhiên hơn, có thể cho học sinh giải bài tập Từ kết quả thu được chuyển sang vấn đề cần nghiên cứu Đây là giải pháp được sử dụng phổ biến trong dạy học môn Tốn ở trường phổ thơng
Chẳng hạn:
Ví dụ 1: Để hình thành công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn
(Toán 9), có thể yêu cầu học sinh giải bài tập sau:
Giải phương trình ax? + bx + c = 0 (a # 0) theo cách biến đổi vế trái là một bình phương và vế phải là một hằng số
Ví dụ 2: Để hình thành và thậm chí khẳng định được nếu phương trình bậc
hai một ẩn ax” + bx + c = 0 (a # 0) có nghiệm (dù hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép), thì tổng hai nghiệm bằng | va tich hai nghiém bing ° có thé
yêu cầu học sinh giải bài toán sau:
Cho phương trình ax? + bx + c = 0 (a # 0) Trong trường hợp A>0 Hãy tính
a) X, +X, b) X,.x>
Vi du 3: Dé hình thành phương pháp giải toán bằng cách lập phương trình (Toán 8), có thể yêu cầu học sinh giải bài toán sau:
Trang 26Việc cho học sinh giải bài tập mở đầu nhằm củng cố kiến thức đã có, rồi vận dụng vào tình huống mới sẽ giúp học sinh thấy được ý nghĩa to lớn của sự thông hiểu kiến thức và mối quan hệ giữa kiến thức cũ và mới
Ngoài ra sử dụng bài tập ở giải pháp này còn có tác dụng rèn luyện kỹ năng tính toán, chứng minh, Trong nhiều trường hợp còn giúp học sinh thấy rõ mối quan hệ giữa Toán học và thực tiễn, giữa Tốn học với các mơn học khác Với chức năng phát triển bài tập có tác dụng rèn luyện tư duy độc lập của học sinh Tuy nhiên để khai thác có hiệu quả chức năng phát triển ở
biện pháp này cần khai thác bài tập theo nhiều hướng khác nhau Sau đây là một số giải pháp đáp ứng yêu cầu đó
2) Sử dụng bài tập tương tự
Đây là phép suy luận mà từ chỗ hai đối tượng có một số tính chất giống nhau, ta có thể dự đoán một số tính chất giống nhau khác của chúng:
Nếu đối tượng M có tính chất a, b, c, d còn đối tượng N có các tính chat a, b, c thi NÑ cũng có thể có tính chất d
Ví dụ 4 : Để hình thành khái niệm phương trình và giải phương trình(ớp §),
có thể bắt đầu từ bài toán tìm x Chẳng hạn :
Từ bài toán tìm x biết 2x - 1 = 5 ( lớp 7) có thể yêu cầu học sinh (lớp 8) giải phương trình 2x - 1= 5
Ví dụ 5 : Để hình thành phương pháp tìm nghiệm nguyên của phương trình
bậc nhất hai ẩn, có thể bắt đầu từ bài toán tìm hai số tự nhiên Chẳng hạn : Từ bài Toán : Tìm hai số x,y eN biết 2x+5y = 19, có thể yêu cầu học sinh giải bài toán tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x + 5y = 19 Từ đó khái quát cho việc tìm nghiệm nguyên các phương trình có dạng ax + by = c với a,b,c là các số nguyên cho trước
ở giải pháp này bài tập được sử dụng nhằm mục đích rèn luyện và phát triển tư duy độc lập của học sinh Ngoài ra còn giúp học sinh có tầm nhìn
khái quát hơn khi chuyển đổi kiến thức từ lĩnh vực này sang lĩnh vực khác Sử dụng bài tập tương tự trong nhiều trường hợp, để hình thành kiến thức mới ta có thể giữ nguyên dữ kiện, giữ nguyên giả thiết của bài toán đã giải quyết, chỉ thay đổi kết luận của bài toán đó Chẳng hạn :
Ví dụ 6 : Từ bài toán đã được giải quyết:
Cho phương trình : x” - 2(m + 1) + 2m + 3 =0 (1)
Trang 27Bài toán mới: Cho phương trình: x” - 2(m + 1) + 2m +3 =0 a) Tìm m để phương trình (1) vô nghiệm
b) Tìm hệ thức độc lập với m giữa những nghiệm số của phương trình (1) Khai thác các bài toán tương tự để tạo tình huống có vấn đề trong nhiều trường hợp ngoài việc hình thành kiến thức mới còn có tác dụng giúp học sinh biết xem xét một vấn đề Toán học dưới những góc độ khác nhau Nhằm rèn luyện tính linh hoạt của tư duy, khắc phục được cách suy nghĩ rập khuôn, máy móc
3) Sử dụng bài toán đảo của bài toán ban đầu (lật ngược vấn đề)
Trong thực tế dạy học, có không ít trường hợp từ bài toán giải quyết, để hình thành kiên thức mới có thể gợi ý thay đổi vị trí của giả thiết và kết luận của bài toán Chẳng hạn :
Ví dụ 7 : Từ kiến thức về định lý Vi-ét thuận :
Nếu phương trình ax” + bx + c =0 ( a #0) có nghiệm thì: X,+x,= > X,.X,= 5
a a
Có thể yêu cầu học sinh giải bài toán :
Cho hai số xạ, x, sao cho x, + x; = s và x, x; = p Chứng tỏ rằng X;, X; là hai nghiệm của phương trình X” - SX + P= 0
Sử dụng bài tập trong trường hợp này ngoài việc tạo ra kiến thức mới còn giúp học sinh rèn luyện tính thuận nghịch của tư duy, tập cho học sinh có thói quen chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch và ngược lại
4) Luyện tập cho học sinh cách tự đặt bài toán
Đây là cách làm mà giáo viên thường không mấy quan tâm Nguyễn Cảnh Toàn [24] khẳng định, sẽ rất có tác dụng nếu các em biết được: “ Các bài toán ấy ở đâu ra, ai nghĩ ra chúng và quan trọng hơn cả là nghĩa như thế nào.”
Cách thông dụng để luyện tập cách đặt đề toán là cho học sinh lập đề toán trên cơ sở cho trước sơ đồ, hình vẽ, dãy tính, phương trình
Ví dụ 8 : Từ kiến thức đã biết về khái niệm phương trình (lớp 8) để hình
thành khái niệm phương trình bậc nhất một ẩn, có thể yêu cầu học sinh lập
các đề toán từ các biểu thức đại số sau: Cho ba biểu thức : x + I, 2x, 3x - 2
Hãy lập ba phương trình sao cho mỗi phương trình có hai vế là hai
Trang 28Việc cho học sinh tự đặt bài toán có tác dụng rèn luyện khả năng trừu tượng hoá, khái quát hoá, tạo điều kiện cho học sinh tiến hành các hoạt động ngôn ngữ khi phát triển các đề toán dưới những hình thức khác nhau đặc biệt là phát triển tư duy độc lập cho các em
5) Yêu cầu khái quát hoá, đặc biệt hoá, trừu tượng hoá những bài toán đã giải quyết
Trong thực tiễn dạy học, trong nhiều trường hợp để hình thành kiến thức mới có thể xuất phát từ những bài toán đã giải quyết, yêu cầu học sinh xem xét các trường hợp riêng hoặc khái quát cho những bài toán tổng quát Chẳng hạn:
Ví dụ 9 Từ bài toán đã giải quyết (lớp 9):
Tìm các giá trị x sao cho 2 < x < 5 và nghiệm đúng phương trình
Ix-2] +4 |x-5] =9
Bài Toán mới ( bài Toán khái quát): Bỏ điều kiện ràng buộc 2 < x < 5
Giải phương trình: |x -2 | +4 |x-5| =9
Bài toán mới phức tạp hơn vì phải xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối ở ba khoảng x<;2<x<5; x>5, ngoài nghiệm x = 3 còn có thêm nghiệm x = 6,2 Ví dụ 10 Từ bài toán giải phương trình: 3x-ll x 3x-Š5 5x-3 l3 7 9 Học sinh (lớp 8) có thể giải bài toán này theo các bước: - Quy đồng và khử mẫu - Biến đổi đưa về dạng ax = b
Có thể đặc biệt hoá các bài toán có dạng trên thành những phương trình có tính đặc thù, chẳng hạn:
Giải phương trình: *~!_*=#_x~Š_x=7 10 9 6 4
Trang 291 11.1 <=> (x— 11) (—+-— —+-)=0 ( Go 9 6 3 ~ > 1 1161 Rõ ràng Goto 6*a*? Vay x-11=0=>x=11
Ngoài việc hình thành kiến thức mới, việc cho học sinh khái quát hoá, đặc biệt hoá, trừu tượng hoá những bài toán đã giải quyết có tác dụng rèn luyện tính nhuần nhuyễn của tư duy, khắc phục tính ỳ của tư duy, chống suy nghĩ rập khuôn, máy móc
6) Gợi ý thay đổi một số bộ phận của bài toán đã giải quyết
Đằng sau mỗi vấn đề, dù cho đã được giải quyết ổn thoả, thì vẫn còn có nhiều vấn đề khác liên quan, ẩn tàng một cách lý thú
Khi thay đổi một số yếu tố của một bài Toán đã giải quyết, ta có thể thay đổi một vài dữ kiện giã thiết; cũng có thể thay đỗi một vài điều phải tìm, phải chứng minh; hoặc cũng có thể thay đổi một vài điều nằm trong giả thiết và kết luận của bài toán Việc thay đổi này làm cho bài toán đã giải quyết trở thành một bài toán khác, có thể dễ hơn hay khó hơn, có thể chuyển sang một thể loại khác, phải dùng phương pháp giải khác so với cách giải của bài toán đã cho
Trong nhiều trường hợp, việc nghiên cứu sâu sắc cách giải của một bài toán có thể khai thác được kết quả mới, do đó chỉ cần thay đổi một số yếu tố của bài toán đã giải quyết ta có thể tạo ra bài toán mới
Ví dụ 11: Từ bài toán giải phương trình (x7- 2x + 1)-4=0_ (1)
Học sinh lớp 8 có thể giải bài toán này băng cách đưa về phương trình
tích như sau: (1) <=> (x-1)’- (2)7=0 (x-3)(x+1) = 0
x-3=0 hoacx+1=0_ tuong ting x = 3 hoac x = -1
Từ đó có thể đề xuất bài toán tương tự như sau: Bài 1: Giải phưong trình (x”+ 2x + 1)- 4= 0
Bài 2: Giải phương trình (x7- 4x + 4) - 16 =0 Bài 3: Giải phưong trình x”- 2x - 3 = 0
Từ (1)ta có x”- 2x + 1 = (x-1)?>0 với mọi giá tri x, ti đó ta có bài toán mới: Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) nếu có của các biểu thức:
a) P=x”-2x-3 b) Q=x?+ 2x -3
Trang 30Tim m để (1) có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m
Học sinh lớp 9 có thể giải bài toán này dựa vào công thức nghiệm và hệ thức Vi- ét như sau:
Để (1) có nghiệm điều kiện A” > 0
A" =(m- I)”- m= -2m + I>0=>m <5 ti đó ta đề xuất bài toán mới
như sau:
Bài 1: Cho phương trình x”+ 2(m - 1)x + m”=0 (1)
Chứng tỏ phương trình (1) vô nghiệm khi m >› Bài 2: Cho phương trình x”+ 2(m - 1)x + m*=0 (1)
Tìm m để phương trình nhận giá trị x = 5 làm nghiệm, từ đó tìm nghiệm còn lại
Bài 3: Cho phương trình x”+ 2(m-1)x+m=0_ (1)
Tim mối liên hệ giữa các nghiệm của (1) không phụ thuộc vào m
Ví dụ 13 Từ bài toán: Tìm giá trị của m sao cho phương trình sau nhận giá tri x = -2 làm nghiệm: (m +2)x=x-l (lớp8)
Có thể yêu cầu học sinh giải bài toán sau
Tìm giá trị của m để phương trình (m + 2)x + m =x - 1 có nghiệm
Ví dụ 14 Từ bài toán: Giải phương trình x”- 5x + 4 = 0 bằng công thức nghiệm có thể yêu cầu học sinh giải bài toán sau
Giải phương trình x”- 5x + 4 = 0O bằng phương pháp đồ thị (Hình thành phương pháp giải phương trình bậc hai một ẩn bằng đồ thị)
Việc thay đổi một số yếu tố của bài toán đã giải quyết nhằm tạo ra bài toán mới ngoài việc hình thành kiến thức còn có tác dụng rèn luyện và phát
triển các hoạt động trí tuệ của học sinh đặc biệt là rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho các em
2.2.2 Biện pháp 2 Xây dung và sử dụng bài tập nhằm định hướng gợi ý giải quyết vấn đề
Day là biện pháp được đề cập chưa đúng mức và đúng hướng trong thực tiễn dạy học giải toán ở bậc THCS
Trang 311) Sử dụng bài toán tương tự
Ở đây giáo viên dựa vào kinh nghiệm hoặc kiến thức đã có của học sinh, nó khác với bài toán tương tự trong phát hiện vấn đề ở chổ: Bài toán tương tự lúc này được hiểu là tương tự ở hướng đi, tương tự về phương pháp giải và tương tự về cách suy nghĩ trong quá trình tìm tòi lời giải Dấu hiệu nhận biết là có sự tương tự về yếu tố, dữ kiện, hiện tượng của các đối tượng nhận thức
G.Pôlia [13, 14] cho rằng, một bài toán là dễ hay khó đối với học sinh thường ở chổ: Chúng giải bài toán tương tự như thế này chưa? nếu trong quá trình giải, học sinh biết dẫn về một bài toán quen thuộc hoặc biết so sánh, hoặc đối chiếu thấy có những yếu tố như dạngtoán đã biết thì có thể các em sẽ có một ý niệm về lời giải
Ví dụ 1 Học sinh (lớp 8) đã biết cách giải bài toán tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức Chẳng hạn: Tìm x biết 2x + 5 = 3(x - 1) + 2
Bài toán này được giải theo hai bước:
- Khai triển và chuyển vế đưa về dạng A(x) = B Với A, B là các hệ số
- Sử dụng quy tắc nhân (chia) để tìm x
Khi gặp bài toán: Giải phương trình: 2x + 5 = 3(x - 1) + 2 Trước hết giáo viên đưa ra lời khuyên:
- Ta đã gặp và giải bài toán nào tương tự như bài toán này chưa? - So sánh sự giống và khác nhau giữa hai bài toán đó?
Học sinh có thể nhận thấy sự giống nhau về cách giải của bài toán đó Từ đó có thể giải được bài toán đã cho
Ví dụ 2 Từ bài toán đã biết cách giải (lớp 6) Tìm 2 số tự nhiên x, y biếf 2x + 5y= 19 (1) Cách giải bài toán này như sau:
Từ (1) => x= 10—3y + 2
Để xeN= € Nhay y =2n+ 1 với neN
Do d6 x =7—5n2>0=>n=0hodcn=1
Tương ứng ta được x = 7; y = l hoặc x =2; y = 3 Khi gặp bài toán: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
Trang 32Giáo viên có thể gợi ý giúp học sinh so sánh đối chiếu sự giống nhau và khác nhau giữa hai bài toán từ đó học sinh có thể giải được bài toán đã cho
Bài tập ở giải pháp này trong nhiều trường hợp ngoài việc hình thành và rèn luyện kỹ năng, phương pháp giải toán còn có những tác dụng:
- Rèn luyện các phẩm chất tư duy như: Tính linh hoạt, tính độc lập của tư duy
- Rèn luyện các thao tác phân tích, tổng hợp đặc biệt là rèn luyện năng lực khái quát hoá cho học sinh
- Rèn luyện các năng lực trí tuệ như tư duy lôgIc, tư duy biện chứng đặc biệt là tư duy thuật giải
2) Sử dụng bài toán phụ
Bài tốn phụ, theo G.Pơlia [14] là một bài toán mà ta buộc lòng phải lưu ý đến, hay ta bắt buộc phải xem xét đến không phải vì bản thân nó, mà vì nó có thể giúp ta giải một bài toán khác, bài toán cơ bản của ta Bài oán phụ là một phương tiện để đạt mục đích, nó mở đường cho ta đi tới mục đích, bài toán ban đầu là mục đích, là điểm cuối của con đường
Việc tìm một bài toán phụ là một quá trình suy luận quan trọng Khả năng đặt bài toán phụ một cách rõ ràng, hiểu thấu được mục đích của nó chỉ là một phương tiện để đạt tới mục đích chính, là thành công tinh tế của trí tuệ Vì vậy việc học (hay dạy) cách vận dụng những bài toán phụ một cách thông minh là rất quan trọng Sau đây là một số cách sử dụng bài toán phụ +) Sử dụng chuối bài toán tương đương
Ví dụ 3 Giải phương trình x'- 13x” + 36 =0 (1)
Có thể đưa bài toán (1) về bài toán tương đương sau:
Trang 33Việc sử dụng chuỗi các bài toán tương đương trong nhiều trường hợp ngoài việc hình thành kỹ năng, phương pháp giải toán còn có tác dụng rèn
luyện và phát triển tư duy của học sinh đặc biệt là phát triển tư duy lôgic và tư duy thuật giải
+) Sử dụng bài toán phụ trực tiếp
Trong thực tiễn dạy học, việc sử dụng bài toán phụ trực tiếp gần giống với sử dụng bài toán tương đương Mục đích của việc sử dụng là có thể từ kết quả của bài toán phụ suy ra kết quả của bài toán ban đầu
Ví dụ 4 Giải phương trình:
(x? + 2x + 3) - 9(x? + 2x +3) +18 =0 (1) (lop 9)
Có thể sử dụng bài toán phụ trực tiếp bằng cách đặt y = x” + 2x + 3
ta được bài toán:
Giải phương trình yŸ - 9y + 18 =0 (2)
Từ kết quả của (2) suy ra để giải (1) ta cần giải các bài toán sau
a)x +2x+3=3
b) x?+2x+3=6
Ví dụ 5: Từ ví dụ 3 có thể sử dụng bài toán phụ trực tiếp bằng cách đạt y = x”
ta được yŸ - 13y + 36 =0 (1’)
Từ kết quả của (1”) thay vào (1) ta tìm được các giá trị của x Ví dụ 6 Giải phương trình: (x -1)(x + 1)(x +3)&x+5)=9 (1)
Để hướng dẫn học sinh giải bài toán (1) có thể sử dụng các bài toán Sau:
Đưa (1) về bài toán: (x? + 4x - 5)(x + 4x + 3) =9 (2) Sử dụng bài toán phụ trực tiếp bằng cách đặt y = x” + 4x - l Ta được bài toán: Giải phương trình (y - 4)(y + 4) =9 (3)
hay y?- 16 =9 =>y=+5
Thay kết quả bài toán (3) ta được hai bài toán: x +4x-1=5 vax?+4x-1=-5
Sử dụng bài toán phụ trực tiếp ngoài việc hình thành kỹ năng giải toán còn có có tác dụng:
- Rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp
- Phát triển khả năng sáng tạo của học sinh (rèn luyện và phát triển tư
Trang 34Trong nhiều trường hợp khi giải toán bài toán phụ chỉ có thể giúp đỡ một phần trong việc giải bài toán ban đầu Một phần trong lời giải (hay thậm chí toàn bộ lời giải bài toán phụ) Có thể trở thành một phần lời giải bài toán ban đầu, ngay dù không có sự giúp đỡ một phần thì bài toán phụ cũng có thể đem một sự giúp đỡ về phương pháp, chẳng hạn:
Ví dụ 7: Giải phương trình :
x/w—I+2yx—I -2 (1)
Có thể hướng dẫn học sinh sử dụng bài toán phụ gián tiếp để giải bài
toán này như sau:
Bài toán phụ: Cho hai số a, b >0; chứng minh rằng = > Jab (bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm) áp dụng: Từ (1) ta có ly-p-I<?—®” - =>X ys (2) Tuong tu 2yVx-1 <x (3) Kết hợp (1), (2) và (3) => xw~1+2yx/x~1 > Dấu bằng xẩy ra khi: x-l=1 x=2 y- 1=1 y= 2 Vi du 8: Cho hai s6 x va y thoa man diéu kién: x J1-y? + yvl-x° =1 Chứng minh rằng : x” + y” = 1
Để giải bài toán này có thể gợi ý học sinh sử dụng bài toán phụ gián tiếp sau : Chứng minh rằng (ax + by)” <(a” + b”)( x? + y”)
(bất đẳng thức Bunhiacôpxki) Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi ay = bx áp dụng kết quả bài toán phụ ta có :
Pa(xyl-y? +yvi-x 2 < 41-1 -y?+y)=1 Dấu bằng xẩy ra <=> xy = J1-x”)4J1- yŸ
Trang 35Vi du 9 : Gidi phuong trinh : | x? - 11+1x?-41=3 (1) Sử dụng bài toán phụ gián tiếp :
Chứng minh rằng : lai + Ibl =la+ bl <=> ab 20 (2) áp dụng (2) ta c6 Ix? - 11 + Ix? - 4 = lx? - 1l + l4 - x”l= lx? - 1 +4- x”l =3 Do 3 > 0 => (x? - 1)(0, 4 - x’ )20 <=> x”-1>0,4-x?>0 <1 <x <4 { x?-I<0,4-x? <0 Sử dụng bài tốn phụ gián tiếp ngồi việc định hướng gợi ý giải quyết vấn đề có tác dụng :
- Rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp
- Rèn luyện các phẩm chất tư duy như : Tính linh hoạt, nhuần nhuyễn, tính độc lập của tư duy nhằm giúp học sinh rèn luyện khả năng tìm ra nhiều giải pháp khác nhau khi giải các bài toán
+) Sử dụng bài toán cá biệt:
Đó là đi từ sự khảo sát một tập hợp đối tượng sang một tập hợp nhỏ hơn (hay chỉ một đối tượng) chứa trong tập hợp đầu Điều này rất có ích trong giải Toán
Ví dụ 10 Để hình thành phương pháp giải phương trình bậc nhất một ẩn
dạng ax + b = 0 (a # 0) (lớp 8) Có thể sử dụng các bài toán sau:
Bài 1 Giải các phương trình sau:
a)x-1=0; b+x=0; c) t-x=0
4 2
Bài 2 Giải các phương trình sau:
a) 2x =4; b)- 58 =5: c) O,1x = 1,2
Bài 3 Giải phương trình 3x—9=0
Bài 4 Giải phương trình 1- ox =0
Từ các kết quả trên có thể yêu cầu học sinh khái quát cách giải các phương trình có dạng ax + b = 0 (a 0)
Ví dụ 11 Để hình thành phương pháp giải phương trình bậc hai một ẩn ax? + bx + c =0 (a # 0) (lớp 9) Có thể sử dụng các bài toán sau: Bài 1 Giải phương trình: x” = 4
Trang 36Bài 4 Giải phương trình: (x -1)” =4
Bài 5 Đưa phương trình ở bài 4 về dạng ax? + bx + c = 0 và xác định các hệ số a, b, c
Bài 6 Giải phương trình 2x”- 5x + 1 = 0 theo cách biến đổi đưa về dạng bài 4 Từ kết quả của bài 6 có thể yêu cầu học sinh khái quát cách giải các phương trình có dạng ax” + bx + e = 0 (a #0)
Ví dụ 12 Giải phương trình: 2|2x-5| - |x-7[ =1
Để hướng dẫn học sinh giải bài tập này có thể sử dụng các bài toán sau: Bài I Giải phương trình: - 2(2x - 5) + (x - 7) = 1 với điều kiện x < Bài 2 Giải phương trình: x (2x - 5) + (x - 7) =1 với điều kiện - ; <x <7
Bai 3 Giai phuong trinh: 2(2x - 5) - (x - 7) = 1 véi diéu kién x >7
Sử dụng các bài toán cá biệt trong nhiều trường hợp ngoài việc hình thành kỹ năng, phương pháp giải toán, còn có tác dụng:
- Rèn luyện và phát triển các năng lực trí tuệ như khái quát hoá, tương tự, đặc biệt hoá
- Rèn luyện các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp
- Rèn luyện và phát triển tư duy logic, tu duy bién chứng và tư duy sáng tạo cho học sinh
- Ngoài ra trong nhiều trường hợp có thể yêu cầu học sinh giải theo các bước có tác dụng rèn luyện tư duy hàm và tư duy thuật giải cho các em
- Sử dụng bài toán cá biệt còn giúp học sinh dự đoán và tự kiểm tra kết quả dự đoán từ đó giúp các em tìm được nhiều cách giải một bài toán
2.2.3 Biện pháp 3 Xáy dung và sử dụng bài tập rèn luyện kỹ năng, phát triển năng lực giải toán, năng lực vận dụng kiến thức
Để rèn luyện kỹ năng, phát triển năng giải toán, năng lực vận dụng
kiến thức giáo viên có thể xây dựng ba loại bài tập theo các giai đoạn ứng với những mức độ khác nhau trong hoạt động tư duy của học sinh:
- Loại 1: Từ quy luật và công thức tổng quát, phân tích và nghiên cứu những trường hợp riêng lẻ;
- Loại 2: Nêu điều kiện để xẩy ra từng trường hợp cụ thể; - Loại 3: Luận giải hoặc phủ định một mệnh đề nào đó Vi du 1: Bai tập về cách giải phương trình bậc nhất một ẩn (lớp 8)
Trang 37Bài 1 Bằng quy tắc chuyển vế, giải các phương trình sau:
a)x-2,25=0,75; b) 19,3 =12-x
c)4,2=x+2,1; d) 3,7-x=4
Bài 2 Bằng quy tắc nhân, tìm giá trị gần đúng nghiệm của các phương trình sau, làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba (dùng máy tính bỏ túi để tính Toán) a) 2x = 3; b) -5x=14+ V5; c) xv2=2v3 Bài 3 Giải các phương trình sau: a)7x+21=0; b)5x-2=0 c) 12-6x=0; d)-2x+14=0 Bài 4 Giải các phương trình sau, viết số gần đúng của mỗi nghiệm ở dạng số thập phân bằng cách làm tròn đến hàng phần trăm a) 3x-11=0; b) 12+ 7x =0; c) 10-4x =2x-3 Bài 5 Giải các phương trình: a)3x-2=2x- 3; b) 3 - 4t+ 24+ 6t=t+27+4+3t c) Sx-2 _5-3x d) Tx-I_„ _lố-x 3 2 6 5 4 51 5 2 e) 37°62 Ð-gx+1=x-10 Bài tập loại 2: Bài 1: Số nào trong ba số - 1; 2 và 3 nghiệm đúng mỗi phương trình sau: a) |x| =x; b)x°+5x+6=0; c) =x+4
Bai 2 Cho phuong trinh: (m? - 4)x +2=m
Giải phương trình trong các trường hợp sau:
a)m= 2; b) m = -2; c)m=2,2
Bai 3 Tim gia tri k sao cho:
a) Phương trình (2x + 1)(9x + 2k) - 5(x + 2) =40 có nghiệm x = 2 b) Phương trình 2(2x + 1) + 18 = 3(x + 2)(2x +k) cé nghiém x = 1 Bài 4 Cho phuong trinh: (m - 2)x +2 =m
Trang 38Bài 1 Chứng tỏ rằng các phương trình sau vô nghiệm:
a) 2(x + 1)=342x; b) 2(1 - 1,5x)+3x=0; ce) |x[=-I
Bài 2 Chứng tỏ phương trình 2mx - 5 = -x + 6m - 2 luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m ?
Bài 3 Tìm giá trị của x sao cho hai biểu thức A và B sau đây có giá trị bằng nhau: a) A= (x - 3)(x + 4) - 2(3x- 2) ; B=(x- 4) b) A= (x + 2)(x - 2) + 3x’; B= (2x + 1)? + 2x c) A=(x -1)0Q?+x4+1)-2x; B= 3x(x - 1)(x + 1) Bai 4 Giai phuong trinh sau: a) 2% 42x=1_4_% b) 2-xz_ lex x 3 6 3 2001 2002 2003
Bài 5 Hai rổ trứng có cả thảy 80 quả Nếu chuyển ở số thứ nhất sang rổ thứ hai 5 quả thì số trứng ở rổ thứ nhất bằng : số trứng ở rổ thứ hai Lập hệ thức liên hệ giữa số trứng ở hai rổ sau khi đã chuyển trứng? Từ đó tính số trứng ở hai rổ trước khi chuyển trứng
Sử dụng bài tập ở biện pháp này ngoài việc rèn luyện kỹ năng giải toán, hình thành và phát triển năng lực giải toán, năng lực vận dụng kiến thức còn có các tác dụng sau:
- Rèn luyện tư duy lôgic và tư duy biện chứng
- Việc sử dụng các bài tập khác kiểu ở bài tập loại 1 có tác dụng rèn luyện tính nhuần nhuyễn của tư duy, khắc phục tính ỳ, chống máy móc rập khuôn của tư duy
- Việc yêu cầu học sinh giải bài tập theo các bước có tác dụng rèn luyện và phát triển tư duy thuật giải cho các em
- Rèn luyện các năng lực khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự
2.2.4 Biện pháp 4 Xáy dựng và sử dụng hệ thống các bài tập rèn luyện các thao tác tư duy, phát triển phẩm chất năng lực trí tuệ
Trang 39Day là những phương pháp suy nghĩ cơ bản thường dùng trong tư duy Toán học, ý nghĩa của sự kết hợp ở chổ: Từ bài toán tổng quát khó giải, suy ra bài toán đặc biệt đơn giản hơn và giải nó, từ đó suy ra trường hợp khác tương tự, có thể kết luận hoặc định ra phương pháp giải bài toán tổng quát
ban đầu Ngược lại, từ bài toán đơn giản, suy ra bài toán tương tự, cho phép
chúng ta dự đoán bài tốn tổng qt
G.Pơlia [15] đã viết: “Có thể sẽ không có một phát mìỉnh nào trong Toán học, thậm chí trong bất kỳ lĩnh vực nào nếu ta không dùng tới những thao tác từ duy khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự`
Ví dụ 1 Giải và biện luận phương trình: ax? -2(a +2)x+a+5=0 (1)
Có thể hướng dẫn học sinh đường lối giải bài toán theo các bước sau: - Xét trường hợp đặc biệt a = Ö
Khi đó (1) trở thành - 4x - 5 = 0 - Xét trường hợp a #0 Tinh A’ =4-a
Từ đó có thể dự đoán kết quả:
Nếu a = 0 phương trình (1) có 1 nghiệm Nếu a > 4 phương trình (1) có vô nghiệm Nếu a = 4 Phương trình (1) có nghiệm kép
Nếu 0 z a < 4 Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Đây là dự đoán đúng Từ đó học sinh có thể giải bài toán để tìm các nghiệm của phương trình
Ví dụ 2.Cho phương trình: xŸ - 2(m + I)x - 3m - 2m - 1=0 (1)
a) Chứng minh rằng với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu
b) Tìm các giá trị của m để có (1) có nghiệm x = -1
c) Tìm các giá trị của m để (1) có hai nghiệm x,, x; thoả mãn: 2x+3x;=5
d) Tìm các giá trị của m để (1) có hai nghiệm x,, x; thoả mãn x+x¿? =mˆ-2m+3
Có thể hướng dẫn học sinh tìm đường lối giải toán này như sau: a) Ta chứng minh bài toán tổng quát:
Phương trình bậc hai ax” + bx + c =0 (2) (a # 0) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi a.c < 0
Trang 40Cc
Xi.X¿=—<0
a
Hay a.c <0
Ngược lại : a.c < 0 nên b - 4ac > O suy ra phuong trinh (2) c6 hai nghiệm phân biệt x;, X›
Theo Vi-ét x,.x, = “<0 (vì a< 0) Vậy xị, x; trái dấu
a
áp dung tương tự đối với phương trình (1) ta có :
a.c =-(3m? + 2m + 1) = - [3(m + ĐÌ +]<0
Vậy (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu b) Thay x = -1 vao (1) dé tim m c) Theo định lý Vi-ét : x, + x, = -* Và X¡.X; = ta CÓ : X, +x, = 2(m + 1), x).x) = -(3m? + 2m + 1) Kết hợp với điều kiện 2x, + 3x; = 5, ta có : Xx¡ =6m + [;x; = l - 4m Từ đó (6m + 1)( 1 - 4m) = -(3m? + 2m + 1) hay 2m” - 4m - 2=0 (3) Giải phương trình (3) theo m ta được kết quả cần tìm d) Cách giải tương tự (3) : X, +x, = 2(m+l) XX) = -(3m*+2m+1) XP +x,= m-2m+3 Do x’, + x*, = (x, + X))? - 2x;.x, Thay vào ta được m° - 2m + 3 = 4(m” + 1)” + 2(3m” + 2m + 1) hay 9m” + 14m + 3=0 (4)
Giải (4) tìm được giá trị của m
2) Chọn một số bài tập có cách giải quyết đơn giản hơn là áp dụng các quy tác đã học, nhằm khắc phục sức ỳ của tư duy Chống áp dụng các quy tắc
thuật toán một cách máy móc, rập khuôn Ví dụ 3 : Giải hệ phương trình :
Ix -3l+2y=4 () (ớp 9)
Ix + 3l + ly - 1= 3y - 5