Algorit và tham số trong dạy học chủ đề phương trình ở trường thpt

www.VNMATH.com LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu độc lập, trích dẫn nêu luận văn xác trung thực www.VNMATH.com LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Lê Thị Hồi Châu Cơ người bước dẫn dắt bước vào đường nghiên cứu khoa học người tận tình dẫn, động viên tơi, giúp tơi có đủ niềm tin nghị lực để hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn : PGS TS Lê Thị Hoài Châu, TS Lê Văn Tiến, TS Đoàn Hữu Hải, PGS TS Claude Comiti, PGS TS Annie Bessot, TS Alain Birebent nhiệt tình giảng dạy, giải đáp thắc mắc giúp chúng tơi tiếp thu cách tốt chuyên ngành nghiên cứu thú vị - Didactic Tốn Tơi xin trân trọng cảm ơn PGS TS Nguyễn Xn Tú Hun nhiệt tình giúp tơi dịch luận văn sang tiếng Pháp Tôi xin chân thành cảm ơn : • Ban lãnh đạo chuyên viên phịng Khoa học cơng nghệ - Sau đại học, ban chủ nhiệm giảng viên khoa Toán – Tin trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh tạo thuận lợi cho chúng tơi suốt khố học • Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Trãi (Đồng Nai) hỗ trợ giúp tơi tổ chức thực nghiệm • Ban giám hiệu đồng nghiệp tổ Toán trường THPT Thị xã Cao Lãnh (Đồng Tháp) sẵn sàng giúp đỡ tạo điều kiện để tơi hoàn thành luận văn Lời cảm ơn chân thành đến bạn khóa ln chia sẻ tơi buồn vui khó khăn q trình học tập Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thân yêu gia đình, đặc biệt mẹ tơi, người ln nâng đỡ bảo ban mặt Nguyễn Thùy Trang www.VNMATH.com NHỮNG TỪ VIẾT TẮT CCGD : cải cách giáo dục CLHN : chỉnh lý hợp THPT : trung học phổ thông THCS : trung học sở KHTN : khoa học tự nhiên SGK : sách giáo khoa M0 : SGK toán – tập hành M1 : SGK Đại số 10 thí điểm 2003 – 1, ban KHTN M2 : SGK Đại số 10 thí điểm 2003 – 2, ban KHTN 10 G0 : sách giáo viên toán – tập hành 11 G1 : sách giáo viên Đại số 10 thí điểm 2003 – 1, ban KHTN 12 G2 : sách giáo viên Đại số 10 thí điểm 2003 – 2, ban KHTN 13 E1 : sách tập Đại số 10 thí điểm 2003 – 1, ban KHTN 14 E2 : sách tập Đại số 10 thí điểm 2003 – 2, ban KHTN 15 TCTH : tổ chức tốn học 16 OM : kí hiệu tắt tiếng Pháp TCTH 17 MTBT : máy tính bỏ túi 18 Hệ (2, 2) : hệ hai phương trình bậc hai ẩn 19 Hệ (3, 3) : hệ ba phương trình bậc ba ẩn www.VNMATH.com MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh mục từ viết tắt MỞ ĐẦU .1 Lý chọn đề tài Câu hỏi xuất phát Khung lý thuyết tham chiếu Mục đích nghiên cứu 5 Phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn Chương NGHIÊN CỨU VỀ KHÁI NIỆM ALGORIT, THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ 1.1 Khái niệm algorit 1.1.1 Một số mô tả algorit 1.1.2 Các đặc trưng khái niệm algorit 1.2 Khái niệm tham số phương trình chứa tham số 10 1.2.1 Một số mô tả tham số 10 1.2.2 Một số mô tả phương trình chứa tham số 11 1.3 Mối quan hệ algorit phương trình chứa tham số 13 1.4 Kết luận chương 14 Chương TỔ CHỨC TOÁN HỌC GẮN LIỀN VỚI CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 15 2.1 Vài nét tiến triển phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 15 2.2 Các tổ chức toán học .18 2.2.1 TCTH gắn với kiểu nhiệm vụ “Giải hệ phương trình khơng chứa tham số” 18 2.2.1.1 TCTH gắn liền với kỹ thuật giải hệ Cramer kỹ thuật đưa hệ Cramer 19 2.2.1.2 TCTH gắn với kỹ thuật Gauss kỹ thuật Gauss - Jordan 21 2.2.1.3 Một số nhận xét khác bốn kỹ thuật giải trực tiếp .24 2.2.2 TCTH gắn với kiểu nhiệm vụ “Giải hệ phương trình có chứa tham số” 25 2.2.2.1 Trường hợp hệ có số phương trình số ẩn 26 www.VNMATH.com 2.2.2.2 Trường hợp hệ có số phương trình số ẩn .26 2.2.2.3 Nhận xét kỹ thuật Gauss kỹ thuật Cramer 28 2.3 Kết luận chương 29 Chương NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI CÁC ĐỐI TƯỢNG ALGORIT VÀ THAM SỐ 31 3.1 Algorit tham số chương trình 31 3.1.1.Chương trình CCGD 1990 32 3.1.1.1 Về algorit 32 3.1.1.2 Về tham số 34 3.1.2 Chương trình CLHN 2000 .36 3.1.2.1 Về algorit 36 3.1.2.2 Về tham số 37 3.1.3 Chương trình thí điểm 2003 37 3.1.3.1 Về algorit 37 3.1.3.2 Về tham số 39 3.1.4 Kết luận 40 3.2 Quan hệ thể chế với đối tượng algorit tham số Trường hợp “Hệ phương trình bậc nhiều ẩn” 43 3.2.1 Hệ (2, 2) sách giáo khoa toán hành .44 3.2.1.1 Các TCTH liên quan đến hệ (2, 2) không chứa tham số .44 3.2.1.2 Tham số hệ phương trình (2, 2) 55 3.2.1.3 Kết luận 57 3.2.2 Hệ phương trình bậc nhiều ẩn SGK tốn 10 thí điểm 2003 59 3.2.2.1 TCTH gắn với kiểu nhiệm vụ “Giải hệ phương trình khơng chứa tham số” 60 3.2.2.2 TCTH gắn với kiểu nhiệm vụ “Giải biện luận hệ (2, 2) có chứa tham số”70 3.2.2.3 Nội dung “Ý nghĩa hình học tập nghiệm” 80 3.2.2.4 Kết luận (sau phân tích M1 M2) 83 3.2.3 Kết luận (sau phân tích M0, M1 M2) .85 3.3 Kết luận chương 85 Chương NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 87 4.1 Giả thuyết mục đích nghiên cứu 87 4.2 Phương pháp nghiên cứu 87 4.3 Về phía giáo viên .88 4.3.1 Hình thức thực nghiệm 88 www.VNMATH.com 4.3.3 Phân tích câu hỏi điều tra 90 4.3.4 Phân tích câu trả lời nhận từ giáo viên .91 4.3.5 Kết luận 97 4.4 Về phía học sinh .97 4.4.1 Hình thức thực nghiệm 97 4.4.2 Gíới thiệu hệ thống tốn thực nghiệm .98 4.4.3 Phân tích a priori hệ thống tốn thực nghiệm 99 4.4.3.1.Phân tích a priori tổng quát 99 4.4.3.2 Phân tích a priori chi tiết .103 4.4.4 Phân tích a posteriori tốn thực nghiệm 111 4.4.4.1 Ghi nhận ban đầu 111 4.4.4.2 Phân tích chi tiết 111 4.4.5 Kết luận 115 4.5 Kết luận chương 115 KẾT LUẬN .117 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC www.VNMATH.com MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình chủ đề quan trọng chương trình tốn nhà trường phổ thơng Kiến thức phương trình đưa dần mức độ thích hợp với khối lớp Đặc biệt, lớp 10, hàng loạt chủ đề nhắc lại làm : phương trình bậc ẩn, hệ phương trình bậc hai ẩn, bất phương trình bậc ẩn, phương trình bất phương trình bậc hai Khi đó, việc nghiên cứu cách tổng quát có hệ thống chủ đề gắn liền với xuất lúc hai đối tượng : tham số algorit (hay gọi thuật toán) Sự xuất tham số kéo theo thay đổi chất toán Lúc giờ, đối tượng thao tác khơng cịn phương trình cụ thể với hệ số số mà họ phương trình với hệ số chứa tham số Như thế, bước chuyển từ phương trình số sang phương trình chứa tham số khơng thể tính liên tục mà cịn ngắt quãng việc giảng dạy lớp 10 so với lớp trước Về vấn đề này, Odile Schneider có phân tích hay luận văn “Le passage des équations numériques aux équations paramétriques en classe de seconde” (1) Theo tác giả, ngắt quãng xuất phát từ mâu thuẫn “cái cũ” (phương trình khơng chứa tham số) “cái mới” (phương trình chứa tham số), từ thống trị “cái cũ” “cái mới”,… Do mà giáo viên học sinh gặp phải số khó khăn định thời điểm bắt đầu làm quen với phương trình chứa tham số Đó kết nghiên cứu liên quan đến tác động tham số q trình dạy học phương trình mà cơng trình đạt Thế nhưng, nói, tham số không xuất cách “đơn độc” dạy học chủ đề phương trình mà với cịn có algorit Thật vậy, qua xem xét SGK tốn THPT giai đoạn khác (từ giai đoạn 1990 đánh dấu CCGD quy mơ tồn quốc đến giai đoạn thí điểm phân ban 2003), chúng tơi nhận thấy lần có mặt phương trình chứa tham số lại diện algorit Điều dẫn đến với câu hỏi thú vị sau : Tại algorit lại đồng hành tham số? Phải có mặt làm giảm bớt tính phức tạp q trình giải biện luận, từ giúp cho phương trình chứa tham số trở nên dễ tiếp cận hơn? Ngược lại, có phải chủ đề (1) Luận văn DEA, chuyên ngành didactic toán với nhan đề (được dịch sang tiếng Việt) “Bước chuyển từ phương trình số sang phương trình chứa tham số” www.VNMATH.com “phương trình chứa tham số” mảnh đất thuận lợi để đưa vào algorit hay không? Quả thực, tìm lời giải đáp cho câu hỏi cịn bỏ ngỏ có ý nghĩa việc dạy học “phương trình”, bối cảnh đổi chương trình SGK Nhận thức điều đó, chúng tơi mạnh dạn lựa chọn đề tài : « Algorit tham số dạy - học chủ đề phương trình trường THPT Trường hợp hệ phương trình bậc nhiều ẩn » Như vậy, với luận văn này, song song với việc nghiên cứu algorit tham số chủ đề phương trình cấp THPT, chúng tơi ln ý đến tác động qua lại chúng Và để có phân tích sâu sắc hơn, xem xét hai đối tượng algorit - tham số trường hợp cụ thể “Hệ phương trình bậc nhiều ẩn” dạy học hai lớp 10 CÂU HỎI XUẤT PHÁT Chúng triển khai vấn đề nghiên cứu chọn thành số câu hỏi cụ thể sau : 1) Trong dạy học chủ đề phương trình trường THPT, đối tượng algorit tham số xuất nào, đóng vai trị tiến triển qua lần thay đổi chương trình SGK? Đâu điều kiện ràng buộc cho phép chúng tồn tiến triển? Trong chủ đề phương trình đó, mối liên hệ algorit tham số thể sao? Nó xuất phát từ đặc trưng toán học khái niệm algorit, tham số phương trình chứa tham số? 2) Cũng câu hỏi ấy, đặt trường hợp cụ thể hệ phương trình bậc nhiều ẩn dạy hai lớp 10 3) Nếu nhìn từ góc độ tri thức bậc đại học algorit tham số xuất đâu hệ phương trình tuyến tính? 4) Đâu khác biệt cách trình bày SGK với cách trình bày giáo trình đại học hệ phương trình tuyến tính? Lý khác biệt đó? 5) Cách trình bày SGK ảnh hưởng đến việc dạy giáo viên hệ phương trình bậc nhiều ẩn việc học học sinh chủ đề này? 6) Liên quan đến đối tượng algorit tham số hệ phương trình bậc nhiều ẩn, giáo viên học sinh có quyền lợi nghĩa vụ gì? www.VNMATH.com 3 KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU Để tìm kiếm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi trên, chúng tơi đặt nghiên cứu khn khổ lý thuyết didactic tốn Cụ thể, chúng tơi vận dụng số khái niệm công cụ lý thuyết nhân chủng học (quan hệ thể chế - quan hệ cá nhân, lý thuyết chuyển đổi didactic, tổ chức toán học (TCTH), cách đặt vấn đề sinh thái học) lý thuyết tình (khái niệm hợp đồng didactic) 3.1 Lý thuyết nhân chủng học 3.1.1 Quan hệ thể chế – Quan hệ cá nhân Quan hệ thể chế Trong luận văn này, quan tâm đến hai mối quan hệ thể chế : R(I1,O) R(I2,O’), với I1 thể chế bậc đại học, I2 thể chế trường THPT ; O algorit tham số hệ phương trình tuyến tính, O’ algorit tham số chủ đề phương trình (nói riêng hệ phương trình bậc nhiều ẩn) Việc nghiên cứu quan hệ thể chế R(I1,O) cho phép trả lời phần cho câu hỏi thứ ba Việc nghiên cứu quan hệ thể chế R(I2,O’) cho phép trả lời phần cho câu hỏi thứ thứ hai Quan hệ cá nhân Việc vận dụng khái niệm giúp nhận phần cách mà giáo viên học sinh hiểu O’, thao tác O’, tức giúp chúng tơi phần tìm câu trả lời cho câu hỏi thứ năm Lẽ dĩ nhiên, muốn nghiên cứu mối quan hệ cá nhân này, cần đặt mối quan hệ thể chế R(I2,O’) 3.1.2 Lý thuyết chuyển đổi didactic Khái niệm vận dụng nhằm tìm phần lời giải đáp cho câu hỏi thứ tư, nghĩa để xác định khoảng cách O O’, nghiên cứu tính hợp pháp tri thức cần giảng dạy O’ giải thích số ràng buộc I2 O’ O I1 O’ I2 www.VNMATH.com 3.1.3 Tổ chức toán học Việc xây dựng TCTH gắn với hai đối tượng tri thức O O’ cho phép : – vạch rõ mối quan hệ thể chế R(I1,O) R(I2,O’), từ góp phần trả lời cho câu hỏi thứ nhất, thứ hai thứ ba – hiểu mối quan hệ cá nhân (giáo viên hay học sinh) trì O’ từ mối quan hệ thể chế R(I2,O’), từ bổ sung phần trả lời cho câu hỏi thứ năm – xác định chênh lệch có TCTH I1 TCTH I2, từ góp phần trả lời cho câu hỏi thứ tư 3.1.4 Cách đặt vấn đề sinh thái học Cách đặt vấn đề sinh thái học giúp làm rõ điều kiện ràng buộc cho phép tồn tiến triển đối tượng algorit, tham số mối liên hệ chúng, Chevallard (1989b) nói : “… Một đối tượng tri thức O không tồn độc lập thể chế mà có mối quan hệ tương hỗ thứ bậc với đối tượng khác thể chế Những đối tượng đặt điều kiện ràng buộc cho tồn thể chế Nói cách khác, đối tượng hợp thành điều kiện sinh thái cho sống đối tượng tri thức O thể chế xét.” Nói tóm lại, cách tiếp cận “sinh thái học” góp phần bổ sung ý trả lời cho câu hỏi thứ thứ hai 3.2 Lý thuyết tình (khái niệm hợp đồng didactic) Việc đặt nghiên cứu phạm vi lý thuyết Nhân chủng học cho phép chúng tơi hình dung sống hai đối tượng algorit tham số thể chế dạy học mà quan tâm Vấn đề lựa chọn thể chế ảnh hưởng đến hoạt động dạy giáo viên hoạt động học học sinh Nói cách khác, liên quan đến algorit, tham số hệ phương trình bậc nhiều ẩn, chi phối ứng xử giáo viên học sinh, cho phép hợp thức hóa cách thao tác họ đối tượng này? Để tìm kiếm yếu tố trả lời cho câu hỏi vừa nêu, sử dụng khái niệm hợp đồng didactic Khái niệm Brouseau (1980) đưa để mơ hình hóa mà bên – giáo viên học sinh – có quyền hay khơng có quyền làm tri thức, ứng xử mà học sinh trông đợi giáo viên ngược lại, ứng xử mà giáo viên mong đợi học sinh Ở đây, phải làm rõ quy tắc ngầm ẩn phân chia giới hạn trách nhiệm giáo viên học sinh đối tượng tri thức O’ www.VNMATH.com 13 Hệ phương trình AX = B với A đối xứng thường gặp toán xử lý số liệu phương pháp bình phương tối thiểu Ví dụ : Giải hệ phương trình AX = B nhờ phương pháp phân rã ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 1⎟ , ⎜ 1 3⎟ ⎝ ⎠ Vì ⎛1⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ b11 = a11 = = , b12 = a12 = =2 b11 b13 = a13 = =1, b11 b23 = (a 23 − b12 b13 ) = − = −1 b22 ( b22 = a 22 − b122 = ) b33 = a 33 − b132 + b232 = nên hệ đưa hai hệ sau : y1 = ⎧ ⎪ y1 + y = với nghiệm ⎨ ⎪1 y + (−1) y + y = ⎩ ⎧ y1 = ⎪ ⎨ y = −1 ⎪ y = −1 ⎩ ⎧1.x1 + 2.x + 1.x3 = ⎪ hệ ⎨ 1.x − 1.x = −1 với nghiệm ⎪ 1.x3 = −1 ⎩ ⎧ x1 = ⎪ ⎨ x = −2 ⎪ x = −1 ⎩ 3 PHƯƠNG PHÁP TRỰC GIAO Xét lại hệ phương trình : AX = B với ma trận hệ số A không suy biến Viết lại phương trình (2) dạng : ⎧n ⎪∑ a ij x j − bi = ⎨ j =1 ⎪ ⎩i = 1, n Kí hiệu a i = (a i1 , a i , , a in ,−bi ), i = 1, n , ta có hệ n vectơ {a i }i =1 Nếu thêm vectơ n a i +1 = (0, ,0, 1) có hệ ( n + ) véctơ {ai }i =1 a i ∈ R n +1 , ∀i = 1, n + n +1 Xét trình trực giao hóa Hilbert-Schmidt cho hệ {ai }i =1 , ta thu : n +1 www.VNMATH.com 14 u1 ⎧ ⎪u1 = a1 , v1 = u ⎪ (6) ⎨ k −1 u ⎪u = a − (a , v )v , v = k , k = 2, , (n + 1) ∑ k k i i k ⎪⎩ k uk i =1 Bây xét u n +1 = (t1 , t , , t n +1 ) Giả sử t n +1 = , theo tính chất dãy {u i }i =1 rút u n +1 n +1 trực giao với vectơ , i = 1, n ; ta có : ⎧n ⎪∑ a ij t j = ⎨ j =1 ⎪ ⎩i = 1, n (7) Mặt khác, theo giả thiết A ma trận không suy biến nên từ (7) rút t1 = t = = t n = , có u n +1 = (0,0, ,0) , vơ lý, nghĩa t n +1 ≠ ( ) Vì u n +1 trực giao với a i i = 1, n ; nên có : ⎧(u n +1 , a i ) = ⎨ ⎩i = 1, n ⎧n ⎪∑ a ij t j − bi t n +1 = hay khai triển ta có : ⎨ j =1 ⎪ ⎩i = 1, n Chú ý t n +1 ⎧n ⎛ tj ⎞ ⎟ = bi ⎪∑ a ij ⎜⎜ ≠ , nên : ⎨ j =1 ⎝ t n +1 ⎟⎠ ⎪ ⎩i = 1, n Hệ thức (8) chứng tỏ x = ( x j ) nj =1 với x j = (8) tj t n +1 , j = 1, n , nghiệm hệ phương trình (1) Nhận xét : Phương pháp trực giao hoá tương đối đơn giản, dễ lập trình máy tính, khối lượng tính tốn (cỡ n phép tính) PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN Trong R n , người ta thường xét ba chuẩn quen thuộc sau : x ∞ = max xi 1≤ i ≤ n n x = ∑ xi i =1 www.VNMATH.com 15 ⎞ ⎛ = ⎜ ∑ xi2 ⎟ ⎝ i =1 ⎠ Khi với ma trận A = (a ij )i , j =1,n ∈ R nxn có chuẩn tương ứng : n x n A ∞ = max ∑ a ji 1≤ i ≤ n j =1 n A = max ∑ a ij 1≤ j ≤ n A i =1 = λ1 ( λ1 giá trị riêng lớn ma trận A’.A ) Để giải hệ phương trình AX = B (2) nhờ phương pháp lặp đơn, người ta biến đổi (2) dạng : X = BX + G ( 10) Sau với x ( 0) ∈ R n , ta thiết lập dãy {x ( k ) }k cách đặt : ⎧ X ( k +1) = BX ( k ) + G ⎨ ⎩k ≥ (11) Với số điều kiện ma trận B, dãy {x ( k ) }k hội tụ đến nghiệm x * hệ (2) Phương pháp lặp xác lặp theo hệ thức (11) để giải hệ phương trình (2) gọi phương pháp lặp đơn Các định lí Định lí Nếu B < với x ( 0) ∈ R n , dãy {x ( k ) }k xác định (11) hội tụ đến nghiệm x * hệ phương trình (2), ta có : x (k ) −x ≤ * B k 1− B x (1) − x ( ) Chứng minh Xét toán tử T : R n → R n xác định TX = BX + G Khi TX − TX ' ≤ B X − X ' , ∀X , X '∈ R n , điều chứng tỏ T tốn tử co, áp dụng ngun lí ánh xạ co ta có điều phải chứng minh Chú ý 1) Trong khơng gian R n chuẩn tương đương phép lặp (11) hội tụ với chuẩn hội tụ với chuẩn khác www.VNMATH.com 16 2) Vấn đề đưa hệ phương trình (2) dạng (10) với ma trận B thỏa mãn điều kiện B < không tầm thường Nói chung, với ma trận A cụ thể phải có kĩ thuật tương ứng kèm theo Định lí cho ta vài trường hợp điển hình Định lí Giả sử ma trận A = (a ij )i , j =1, n thỏa mãn hai điều kiện sau : n a) ∑a i ≠ j =1 ij n b) ∑a j ≠ i =1 ij < aii , ∀i = 1, n < a jj , ∀j = 1, n Khi ln đưa hệ phương trình (2) dạng (10) với điều kiện B < Chứng minh a Giả sử điều kiện a) thỏa mãn, ta viết lại (2) dạng : n ⎧ ⎪a ii x i + ∑ a ij x j = bi i ≠ j =1 ⎨ ⎪ ⎩i = 1, n Từ có : n ⎛a ⎧ ij ⎪ xi = − ∑ ⎜⎜ i ≠ j =1⎝ a ii ⎨ ⎪ ⎩i = 1, n ⎞ b ⎟x j + i ⎟ aii ⎠ Vậy ta đưa hệ (2) hệ phương trình tương đương với nó, : a a a ⎞ ⎛ ⎛ b1 ⎞ − 12 − 13 " − 1n ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ a11 a11 a11 ⎟ ⎜ ⎜ a11 ⎟ a a ⎟ ⎜ a 21 ⎜ b2 ⎟ − − 23 " − n ⎟ ⎜a ⎟ , B=⎜ a G = a 22 a 22 ⎟ 22 ⎜ ⎜ 22 ⎟ " " " " " ⎟ ⎜ ⎜ # ⎟ ⎟ ⎜ − a n1 − a n − a n " ⎜ bn ⎟ ⎟ ⎜ a ⎜a ⎟ a nn a nn nn ⎠ ⎝ ⎝ nn ⎠ Từ điều kiện a) rút : ⎛ n a ij ⎞ ⎟