vận dụng nguyên lý về mối liên hệ phổ biến trong dạy học giải bài tập toán 10

Các dạng hoạt động chú yếu trong dạy học giái bài tập với dự tính vận dụng nguyên lý về mối liên hệ phố biến...-- 44 2.2.1 Hoạt động phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa nh

j0 0013 5

1 Lý do chọn đề tài -2- + 5s x2 2112121121121 cce 5

2 Mục đích nghiên cứu 5 + + + + seseeesrrerrererrrs 6

3 Đối tượng nghiên eứu 2- 2 +2z++EE++E+£E++EEzxrerxesrxerxee 6

4 Giá thuyết khoa học - 2-22 2222SES2EE92EE2E12221271211 22121 6

5 Nhiệm vụ nghiên €ỨUu - + + + +++*+>+xeExeeeksrrererrerrrs 7

6 Phạm vi nghiên CỨU ¿+ + 2s + * SE £vevExetseeereererevre 7

7 Phương pháp nghiên cứu - ¿5 + +5 s++s*+x se +exsexseereers 7

8 Dự kiến đóng góp cúa luận văn -2-2¿©2+2z+2zx+zzerrxerrx 7

9 Cấu trúc của luận văn - ¿22+ +2 £+Et+Et2EE+EEeE2EErrxerkerxee 8

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn 2- 2 ++5++5+zxec+cse2 9

1.1 Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến thể hiện trong dạy học Toán nói chung và dạy học giải bài tập Toán nói riêng - 9

1.1.1 Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến - §

1.12 Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến thể hiện trong đạy học Toán ở trường phổ thông nói chung và dạy học giải bài tập nói riêng

10 1.2 Phương pháp dạy học giải bài tập Toán 14 1.2.1 Dạy học giải bài tập - Ăn 14

1.2.1.1 Vi tri và chức năng của bài tập toán học 14

1.2.1.2 Những yêu cầu chủ yếu của lời giải bài tập 14 1.2.1.3 Dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán 15 1.3 Các hoạt động của học sinh trong dạy học giải bài tập Toán 18

1.3.1 Những hoạt động toán học phức hợp .- -««+ 18

1.3.2 Những hoạt động trí tuệ phố biến trong toán học 18 1.3.3 Những hoạt động trí tuệ chung - + «++s+++++++ 20 1.3.4 Những hoạt động ngôn ngữ - 5c c + sssvseeseesrrs 22

1.4 Tri thức trong hoạt động giải bài tập Toán - 33 1.5 Khảo sát thực tiễn dạy học giải bài tập Toán 10 ở trường phố CMOS 37 90.07 42 2.1 Phân tích nội dung chương trình Toán 10 - 42 2.2 Các dạng hoạt động chú yếu trong dạy học giái bài tập với dự tính vận dụng nguyên lý về mối liên hệ phố biến 44 2.2.1 Hoạt động phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa nhằm tìm đoán phương pháp giải 5c + x+sevssesersrersee 45

2.2.2 Hoạt động biến đồi bài toán - ¿22 z+cz+ze+zxsrxsrx 50 2.2.3 Hoạt động chuyên đổi ngôn ngữ -2- 2-55 xxx 33

2.3 Phương thức rèn luyện hoạt động phân tích, tống hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa nhằm tìm đoán lời giái bài toán 61

2.3.1 Truyền thụ tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp

2.3.2 Phát triển khả năng dự đoán cho học sinh

2.4 Phương thức rèn luyện hoạt động biến đối bai toan 70

2.4.1 Luyện tập cho học sinh biến đối nội dung và hình thức của bài

SƠ 0 70 2.4.2 Luyện tập cho học sinh phát hiện, thiết lập sự tương ứng giữa các đối tượng trong bài toán -2- ¿+52 +x+2E+E22E2EE2EEEE2ExExerxrrr 72 2.5 Phương thức rèn luyện hoạt động chuyến đỗi ngôn ngữ 75

2.5.1 Luyện tập cho học sinh cách nhận dạng bài toán có thé chuyén đôi NON NYT oo 1äaẰ“Ằạ 75

2.5.2 Luyện tập thông qua hệ thống bài tập có thể giải bằng cách chuyên đối ngôn ngữ ¿- 2-52 St22E22121121221121121211211211211 221.2 71

2.6 Kết luận chương 2 - 2-2 + SEt2E+EE2E2EE2E1E22221 E1 crkrrr §0

3.2 Tổ chức và nội dung thử nghiệm .- 2-2 22 s22 s2 81

3.2.2 Nội dung thử nghiệm 5 55+ + +x+vvseeseeeeeerrs 81 3.2.3 Đánh giá két qua thir nghi@m 00 0 0 0.cccccceccesceeseeseeeeeeee 82

KET LUAN oi cccccscsssesssesssessesssessesssesssesssssvssssessecsuessessessnessessesssesssesaes 85 TÀI LIỆU THAM KHẢO 22 s+SE£EE+2EE+EEEEEEEEEEEEesrkerxee §6

SU DUNG TRONG LUAN VAN

Viết tắt Viết đầy đủ

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII khắng định: “ Phải đổi mới

phương pháp Giáo dục Đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo cho người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, hiện đại vào quá trình day hoc .”

Đại hội đại biểu toàn quốc lần thir IX cua Dang khang định lại: “ Tiếp

tục nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đổi mới nội dung, phương pháp

day va học ”

Luật Giáo dục nước Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam (năm 1998)

quy định: “ Phương pháp giáo dục phô thông phải phát huy tính tích cực, tự

giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,

môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến

thức vào thực tiễn .”

1.2 Phương pháp luận duy vật biện chứng là cơ sở, là nền tảng của quá

trình tư duy, quá trình nhận thức thế giới Dạy học là một quá trình nhận thức

Do đó việc trang bị kiến thức, rèn luyện kĩ năng cho học sinh cũng tuân theo những quy luật của phép biện chứng duy vật Ở trường phổ thông, hoạt động giải bài tập Toán có thể coi là một hoạt động chủ yếu của học sinh Bài tập

toán ở trường phố thông rất phong phú và đa dạng Một số đạng bài tập có sẵn thuật giải, nhưng phần lớn là những bài tập chưa có thuật giải Trong quá

trình giải bài tập, học sinh phải biết khai thác các mối liên hệ: mối liên hệ bên trong, mối liên hệ bên ngoài, mối liên hệ nhân quả đề từ đó tìm ra phương pháp giải Do đó việc nghiên cứu và vận dụng nguyên lý về mối liên hệ phổ

biến là rất cần thiết Việc vận dụng nguyên lý về mối liên hệ phố biến vào tìm

lời giải các bài toán có tác dụng lớn trong các khâu định hướng, lựa chọn

1.3 Hiện nay, đề tài vận dụng các quan điểm của triết học duy vật biện chứng là một đề tài đã và đang được nhiều người nghiên cứu tiêu biểu như

GS Nguyễn Cảnh Toàn, GS Đào Tam, TS Nguyễn Thanh Hưng Một số trung tâm đào tạo lớn trong nước cũng đã đưa vào môn học này áp dụng cho các học viên cao học chuyên ngành phương pháp dạy học bộ môn Toán Tuy

nhiên chưa có công trình nào nghiên cứu một cách có hệ thống về việc vận dụng nguyên lý về mối liên hệ phổ biến vào dạy học giải bài tập Toán

Vì những lí do trên, chúng tôi quyết định chọn dé tài luận văn là:

“Vận dụng nguyên lý về mỗi liên hệ phổ biến trong dạy học giải bài tập Toán ở lớp 10”

2 Mục đích nghiên cứu

Khai thác vai trò của nguyên lý về mối liên hệ phô biến trong dạy học

toán, từ đó đề xuất các hoạt động giải bài tập toán và luyện tập dạng hoạt động đó trong dạy học giải bài tập Toán 10 theo định hướng hoạt động hóa

người học

3 Đối tượng nghiên cứu

- Vai trò của nguyên lý về mối liên hệ phố biến trong dạy học giải bài tập Toán

- Các dạng hoạt động giải bài tập toán

- Phương thức luyện tập các dạng hoạt động giải bài tập

4 Giá thuyết khoa học

Trên cơ sở khai thác vai trò của nguyên lý về mối liên hệ phổ biến,

chúng tôi cho rằng cần và có thể xác định một số dạng hoạt động giải bài tập

Toán 10 và đề xuất các phương thức luyện tập các dạng hoạt động đó nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học giải bài tập Toán 10 theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học

bài tập Toán

- Sự cần thiết vận dụng nguyên lý về mối liên hệ phổ biến trong đạy học giải bài tập Toán

- Đề xuất một số hoạt động giải bài tập Toán 10 dựa trên vai trò của

nguyên lý về mối liên hệ phô biến

- Đề xuất các phương thức luyện tập các đạng hoạt động trên

- Tiến hành thử nghiệm sư phạm nhằm đánh giá mục đích, giả thuyết

khoa học của đề tài

- Nghiên cứu về đổi mới dạy học giải bài tập Toán ở trường THPT

- Nghiên cứu về các dạng hoạt động giải bài tập Toán dựa trên nguyên

lý về mối liên hệ phổ biến

7 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu các vấn đề liên quan tới PPDH giải bài tập Toán, dạy học giải bài tập Toán theo tư tưởng Polya

- Khảo sát thực tiễn: thực tiễn đổi mới phương pháp dạy học, thực tiễn dạy học giải bài tập Toán ở trường phố thông

- Thử nghiệm sư phạm

- Phương pháp thông kê, đánh giá kết quả thử nghiệm

8 Dự kiến đóng góp của luận văn

quả sau:

- Đề xuất được các dạng hoạt động dạy học giải bài tập Toán 10 nhằm

vận dụng nguyên lý về mối liên hệ phổ biến trong dạy học giải bài tập Toán

- Dé xuất các phương thức luyện tập các dạng hoạt động nêu trên

9 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn có 3

chương

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến thể hiện trong dạy học Toán nói

chung và dạy học giải bài tập Toán nói riêng

1.2 Phương pháp dạy học giải bài tập Toán

1.3 Các hoạt động của học sinh trong dạy học giải bài tập Toán

1.4 Tri thức trong hoạt động giải bài tập Toán

1.5 Khảo sát các hoạt động trong dạy học giải bài tập Toán ở trường THPT

Chương 2 Xác định các dạng hoạt động chủ yếu trong dạy học giải bài tập Toán 10 với dự tính vận dụng nguyên lý về mối liên hệ phố biến 2.1 Phân tích nội dung chương trình Toán 10

2.2 Các dạng hoạt động chủ yếu trong dạy học giải bài tập với dự tính vận dụng nguyên lý về mối liên hệ phổ biến

2.3 Các phương thức luyện tập các dạng hoạt động đó

Chương 3 Thử nghiệm sư phạm

1.1 Nguyên lý về mối liên hệ phố biến thế hiện trong dạy học Toán nói chung và dạy học giải bài tập Toán nói riêng

1.1.1 Nguyên lý về mối liên hệ phố biến

1.1.1.1 Khái niệm:

- Liên hệ: Là sự quy định lẫn nhau, tác động lẫn nhau giữa các yếu tô

trong cùng một sự vật hoặc giữa các sự vật hiện tượng của nhau

- Liên hệ phổ biến: Là những mối liên hệ tồn tại một cách phô biến cả

trong tự nhiên xã hội và tư duy Mối liên hệ phổ biến mang tính chất bao quát,

nó tồn tại thông qua những mối liên hệ đặc thù của sự vật, nó phản ánh tính

đa dạng và tính thống nhất của thế giới

1.1.1.2 Nội dung nguyên lý:

Triết học duy vật biện chứng khắng định mọi sự vật hiện tượng trong thé giới đều nằm trong mối liên hệ phổ biến, không có sự vật hiện tượng nào tồn tại một cách biệt lập mà chúng tác động đến nhau ràng buộc quyết định và

chuyển hoá lẫn nhau Các mối liên hệ trong tính tổng thể của nó quy định sự

ton tại vận động, biến đổi của sự vật Khi các mối liên hệ thay đổi tất yếu sẽ dẫn đến sự thay đồi sự vật

1.1.1.3 Ý nghĩa của nguyên lý

a) Cơ sở khoa học của quan điểm toàn diện:

- Trong nhận thức và hoạt động phải xem xét sự vật trong tính toàn vẹn của nhiều mối liên hệ, nhiều mặt, nhiều yếu tố vốn có của nó kế cả các quá trình, các giai đoạn phát triển của sự vật cả trong quá khứ hiện tại và tương lai Có như vậy mới nắm được thực chất của sự vật Khi tuân thủ nguyên tắc này chủ thể tránh được sai lầm cực đoan phiến điện một chiêu

- Không được đồng nhất và san bằng vai trò của các mối liên hệ của các mặt sự vật, phải phản ánh đúng vai trò của từng mặt, từng mối liên hệ, phải

rút ra được những mối liên hệ bản chất nhất chủ yếu của sự vật Khi tuân thủ

nguyên tắc này con người sẽ tránh được sai lầm ngụy biện

b) Cơ sở khoa học của quan điểm lịch sử cụ thể

- Mọi sự vật hiện tượng trong thế giới vật chất tồn tại vận động phát

triển bao giờ cũng diễn ra trong những hoàn cảnh cụ thé, trong không gian và thời gian xác định

- Điều kiện: Không gian và thời gian có ảnh hưởng tới đặc điểm tính chất sự vật Cùng là một sự vật nhưng ở trong những điều kiện hoàn cảnh

khác nhau sẽ có những tính chất khác nhau

- Yêu cầu:

Khi nghiên cứu xem xét sự vật hiện tượng phải đặt nó trong hoàn cảnh

cụ thể, trong không gian thời gian xác định mà nó đang tồn tại vận động và

phát triển đồng thời phải phân tích vạch ra ảnh hưởng của điều kiện hoàn cảnh của môi trường đối với sự tồn tại của sự vật, đối với tính chất của sự vật

và đối với xu hướng vận động và phát triển của nó

- Khi vận dụng một lý luận nào đó vào trong thực tiễn cần phải tính đến điều kiện cụ thể của nơi vận dụng tránh bệnh giáo điều dập khuôn, máy móc, chung chung

1.1.2 Nguyên lý về mối liên hệ phố biến thể hiện trong dạy học Toán ớ trường phố thông nói chung và dạy học giải bài tập nói riêng

1.1.2.1 Thế hiện trong định hướng xây dựng chương trình môn Toán ở

nhà trường phỗ thông

Khi xây dựng chương trình môn toán học ở trường THPT Bộ Giáo dục

đã quán triệt một số quan điểm mang tính chủ đạo sau:

- Chương trình không chỉ nêu nội dung và thời lượng dạy học mà thực

sự là một kế hoạch hành động sư phạm (thế hiện mối liên hệ nội tại của quá

trình giáo dục, cùng với mối liên hệ giữa quá trình giáo đục với những yếu tô bên ngoài), kết nỗi mục tiêu giáo dục với các lĩnh vực nội dung và phương

pháp giáo dục, phương tiện dạy học (PTDH), tổ chức các hoạt động đạy học

và cách thức đánh giá kết quả học tập của HS

- Chương trình đảm bảo sự phát triển giữa các cấp học, bậc học, đảm

bảo tính liên thông giữa giáo dục phố thông với giáo dục chuyên nghiệp, giáo dục đại học Chương trình phải đảm bảo được tính phù hợp chung cho nhiều đối tượng là HS trong cả nước

- Giữa các vấn đề về mục đích- nội dung - mục tiêu - phương pháp -

phương tiện -môi trường giáo dục dạy học luôn được đổi mới, đối mới một

cách đồng bộ, hợp quy luật trên cơ sở quán triệt ““g„an điểm toàn điện về các vấn đề giáo dục Cần đảm bảo đầy đủ, cụ thể và cân đối các chức năng lí

luận dạy học từ tiếp nhận kiến thức mới, luyện tập, thực hành ứng dụng, củng

cố ôn tập, kiểm tra đánh giá

- Nội dung chương trình cần bảo đảm tính liên môn, sao cho các môn

học hỗ trợ được cho nhau, tránh trùng lặp, mâu thuẫn Đặc biệt cần tích hợp

các kiến thức chứa đựng những vấn đề đang được quan tâm như: các dang toán ứng dụng đang phô biến hiện nay (thống kê, xác suất, giải tích tổ hợp, hình giải tích )

- Sách giáo khoa nói chung và sách giáo khoa môn toán nói riêng không đơn giản là tài liệu thông báo các kiến thức có sẵn mà là tài liệu giúp

HS tự học, tự phát hiện và giải quyết các vấn đề để chiếm lĩnh và vận dụng kiến thức mới một cách linh hoạt, chủ động và sáng tạo Sách giáo khoa phải

lấy HS làm trung tâm cho mọi hoạt động giáo dục

- Chương trình cần đảm bảo “2n kế thừa ” Phát huy các ưu điểm của sách giáo khoa cũ, sách giáo khoa thí điểm, sách giáo khoa của các nước phát

triển, sách giáo khoa của các môn học các cấp học, đặc biệt là SGK của các môn học cùng cấp học, bậc học, để đảm bảo sự phát triển liên tục các mảng kiến thức, đảm bảo tính thời đại của nội dung

Môn Toán ở trường phổ thông đề cập chủ yếu đến những mối quan hệ

giữa những số và những đối tượng hình học Nội dung môn Toán trong nhà trường phô thông chủ yếu bao gồm các lĩnh vực sau, được tập hợp thành hai

(5) Những yếu tố của phép tính vi tích phân

(6) Những yếu tố tô hợp và xác suất

Hình học bao gồm các nội dung:

1.1.2.2 Thế hiện trong dạy học Toán ở trường phổ thông

a) Thể hiện trong đạy học nội dung mới

Các nội dung mới trong chương trình đều được xây dựng xuất phát từ

nội bộ toán học hoặc là do yêu cầu từ thực tiễn đòi hỏi tức là dựa trên quá trình khai thác mối liên hệ giữa kiến thức mới và kiến thức cũ, giữa các chương, bộ môn và giữa mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn

Ví dụ:

- Khi xây đựng khái niệm tổng hai vectơ ở chương 1 hình học 10, sách

giáo khoa xuất phát từ vấn dé làm thế nào để tìm hợp lực của hai lực không cùng giá cùng đặt vào một vật Vấn đề này cũng được đề cập trong sách vật lý

106 phan động lực học Giáo viên cần tổ chức các hoạt động để khai thác các

vắ dụ thực tế, yêu cầu từ bộ môn vật lý để gợi động cơ học tập

- Trong đạy học giải quyết vấn đề, để tạo ra tình huống có vấn đề, người giáo viên dựa trên mối quan hệ giữa tri thức cũ, kĩ năng cũ và kinh nghiệm cũ

đối với yêu cầu giải thắch sự kiện mới hoặc đôi mới tình thế

Trong tam giác vuông ABC ta có zỢ =đồ +cỢ(Định lắ Pitago) và hệ

thức trên chỉ đúng cho tam giác vuông, không thể áp dụng cho một tam giác bất kì Nhưng mặt khác tam giác vuông là trường hợp riêng của tam giác bất

kì Vậy ta có thể Ộkhẳng định rằngỢ có một hệ thức tổng quát hơn đúng cho

cả hai trường hợp

Xuất phát từ một số trường hợp đặc biệt khác (tam giác đều, tam giác cân )

để chúng ta có thể đưa đến hệ thức tổng quát (dinh lắ cosi):

a =bỖ +cỖ Ở2bc.cosA

b) Thé hién trong day học giải bài tập Toán

Các bài tập Toán được tạo ra từ các mối liên hệ: liên hệ giữa các phần kiến thức, liên hệ giữa giả thiết và kết luận, liên hệ giữa các bộ phận, các yếu

tố với nhau Trong dạy học giải bài tập, mặc dù chúng ta ắt khi nói đến

nguyên lý về mối liên hệ phổ biến nhưng các bài tập Toán, quá trình đạy học

giải bài tập đều chịu sự quy định của nguyên lý này Vắ dụ như khi chúng ta thực hiện các hoạt động phân tắch và tổng hợp, đối tượng mà chúng ta đang

làm việc là mối liên hệ giữa các yếu tố, các mặt tạo nên bài toán Hay như khi

chúng ta nói rằng cần phải rèn luyện cho học sinh khả năng chuyển đổi ngôn

ngữ tức là chúng ta đang rèn luyện cho các em biến đồi các mối quan hệ giữa

nội dung và hình thức bài toán

1.2 Phương pháp dạy học giải bài tập Toán

1.2.1 Dạy học giải bài tập

1.2.1.1 VỊ trí và chức năng của bài tập toán học

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh trong đó giải toán là hình thức chủ yếu Do vậy dạy bài tập toán có vị trí quan trọng trong dạy học toán nhằm đạt nhiều mục đích khác nhau thể hiện ở các

chức năng:

a) Chức năng dạy học:

- Bài tập nhằm củng có, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo những vấn đề lý thuyết

đã học Qua đó học sinh hiểu sâu hơn và biết vận dụng những kiến thức đã

học vào việc giải quyết các tình huống cụ thé

- Có khi bài tập lại là một định lí, mà vì lý đo nào đó không đưa vào lý thuyết

Cho nên qua việc giải bài tập học sinh mở rộng được tầm hiểu biết của mình b) Chức năng giáo dục:

Qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật

biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới

c) Chức năng phát triển:

Bài tập nhằm phát triển năng lực tư đuy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện

những thao tác trí tụê, hình thành những phẩm chất của tư đuy khoa học

d) Chức năng kiểm tra:

Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát trên của học sinh

1.2.1.2 Những yêu cầu chủ yếu của lời giải bài tập

Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần nắm vững các yêu cầu của lời giải Một lời giải đúng và tốt cần đạt được các yêu cầu sau:

- Lời giải có kết quả đúng, kế cả ở bước trung gian

Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số,

một hình vẽ thỏa mãn yêu cầu của đề ra Lời giải không thể chứa những sai

lầm tính toán, vẽ hình, biến đổi biểu thức

- Lời giải phải có lập luận chặt chẽ

Lời giải bài tập toán cần tuân thủ các yêu cầu: luận đề nhất quán, luận

cứ đúng, luận chứng phải hợp loogic

- Lời giải phải đây đủ

Yêu cầu này nghĩa là lời giải không được bỏ sót một trường hợp, một chỉ tiết cần thiết nào Ví dụ như giải phương trình không được thiếu nghiệm, phân chia trường hợp phải đầy đủ

- Ngôn ngữ trong lời giải phải chính xác

- Trình bày lời giải rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật

Trên đây là các yêu cầu cơ bản của một lời giải bài tập toán, ngoài các

yêu cầu trên, người giáo viên cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho cùng một bài toán, phân tích so sánh những cách giải khác nhau để tìm ra lời giải ngắn gọn, hợp lí nhất trong số các lời giải đã tìm được đồng thời nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề 1.2.1.3 Dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán

Bài tập toán học rất đa đạng và phong phú Việc giải bài tập là một yêu cầu

quan trọng đối với mọi học sinh Có thé chia bai tap toán học ra làm hai loại: a) Loại có sẵn thuật toán

Để giải loại này học sinh phải nắm vững các quy tắc giải đã học, rèn luyện

kỹ năng, kỹ xảo Đây là cơ sở quan trọng để giải các bài toán phức tạp hơn

Yéu cau cho hoc sinh là:

- Nắm vững quy tắc giải đã học

- _ Nhận dạng đúng bài toán

- Giải theo quy tắc đã học một cách thành thạo

b) Loại chưa có sẵn thuật toán

Loại bài tập này chiếm số lượng khá lớn trong sách giáo khoa và gây cho

học sinh không ít khó khăn dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả

năng của mình Đây là một trở ngại lớn trong học tập của học sinh Do vậy khi dạy học sinh giải bài tập, không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan

trọng hơn là: Dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm ra con đường hợp lý đề

giải bài toán

Trong dạy học giải toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹ năng quan trọng nhất, mà việc rèn luyện các thao tác tư duy là một thành phần không thể thiếu trong dạy học giải toán Trong tác phẩm Giải bài toán như thế

nào của G Pôlya ông đã đưa ra 4 bước đề đi đến lời giải bài toán

Bước I: Hiểu rõ bài toán:

Để giải một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán và hơn nữa còn phải có hứng thú giải bài toán đó Vì vậy điều đầu tiên người giáo viên cần chú ý

hướng dẫn học sinh giải toán là khêu gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải toán của các em, giúp các em hiểu bài toán phải giải muốn vậy cần phải phân tích

giá thiết và kết luận của bài toán: Đâu là ẩn, đâu là đữ kiện? Đâu là điều kiện?

Điều kiện, đữ kiện này liên quan tới điều gì? Có thể biểu diễn bài toán dưới một hình thức khác được không? Như vậy, ngay ở bước “Hiểu rõ đề Toán” ta

đã thấy được vai trò của các thao tác tư duy trong việc định hướng lời giải Bước 2: Xây dựng chương trình giải:

Trong bước thứ 2 này, ta lại thấy vai trò của các thao tác tư duy thể hiện

rõ nét hơn qua việc phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn, biến đổi bài toán đã cho, mò mẫm và dự đoán thông qua xét các trường hợp đặc biệt, xét các bài toán tương tự hay khái quát hoá hơn vv thông qua các kỹ năng sau bằng cách đặt các câu hỏi:

- Huy động kiến thức có liên quan:

* Em đã gặp bài toán này hay bài này ở dạng hơi khác lần nào chưa? Em

có biết một bài nào liên quan không? Một định lý có thể dùng được không?

* Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tương tự?

* Có thể sử dụng một bài toán nào đó mà em đã có lần giải rồi hoặc sử

dụng kết quả của nó không?

- Dự đoán kết quả phải tìm:

* Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Em

có thể giải một phân của bài toán?

* Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết điều kiện chưa? Đã

để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

* Hãy giữ lại một phân điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xác định đến chừng mực nào và biến đổi thế nào?

- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm hướng giải quyết vấn đề

Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để được những gợi

ý trên thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng tìm lời giải cho các bài toán Tuy nhiên để đạt được điều này thì giáo viên phải thực hiện kiên trì tất cả các giờ dạy Toán đồng thời học sinh phải được tự mình áp dụng vào hoạt động giải toán của mình

Bước 3: Thực hiện chương trình giải:

Khi thực hiện chương trình giải hãy kiểm tra lại từng bước Em đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Em có thể chứng mình là nó đúng không?

Bước 4: Kiếm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm được:

Học sinh phố thông thường có thói quen khi đã tìm được lời giải của bài

toán thì thoả mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu sót gì

không, ít quan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải Vì

vậy trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh thường xuyên

thực hiện các yêu cầu sau:

- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận

- Xem xét đầy đủ các trường hợp có thê xảy ra của bài toán

- Tìm cách giải khác của bài toán: Một bài toán thường có nhiều cách giải, học sinh thường có những suy nghĩ khác nhau trước một bài toán nhiều khi độc đáo và sáng tạo Vì vậy, giáo viên cần lưu ý đề phát huy tính sáng tạo của học

sinh trong việc tìm lời giải gọn, hay của một bài toán Tuy nhiên cũng không

nên quá thiên về lời giải hay, làm cho học sinh trung bình và kém chán nản Tìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp giải bài toán này cho một bài toán khác, đề xuất bài toán mới: Có thể yêu cầu này là quá cao đối với học sinh yếu kém, nhưng có thể coi là một phương hướng bồi dưỡng học sinh

giỏi Tuy nhiên, trong một số trường hợp đơn giản, dễ hiểu, giáo viên có thể

cho học sinh toàn lớp thấy được việc phân tích lời giải của bài tập toán để áp

dụng vào bài toán khác hoặc đề xuất ra bài toán mới

1.3 Các hoạt động của học sinh trong dạy học giải bài tập Toán

Bài tập toán có vai trò quan trọng trong môn Toán Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận đạng

và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phố biến trong Toán học, những

hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ

1.3.1 Những hoạt động toán học phức hợp

Bao gồm các hoạt động như chứng minh, định nghĩa, giải toán bằng cách lập phương trình, giải toán dựng hình, giải toán quỹ tích thường xuyên

lặp đi, lặp lại nhiều lần trong SGK toán phổ thông

1.3.2 Những hoạt động trí tuệ phố biến trong toán học

Bao gồm các hoạt động như lật ngược vấn đề, xét tính giải được, phân

chia trường hợp

a) Lật ngược vấn đề

Trong dạy học định lí, lật ngược vấn đề là khi ta chứng minh xong được một định lí thì sẽ kiểm tra xem liệu mệnh đề đảo có đúng không Trong dạy

học giải bài tập toán, hoạt động này thường diễn ra trong giai đoạn mở đầu

của hoạt động giải bài tập của học sinh Các bài toán thường cho trước giả

thiết và sau đó yêu cầu chứng minh kết luận Lật ngược vấn đề là xuất phát từ

kết luận đề có thể hiểu được sự liên quan giữa giả thiết và kết luận

b) Xét tính giải được

Nếu là một bài toán chứng minh, xét tính giải được nghĩa là kiểm tra tính đúng sai của kết luận, kiểm tra giả thiết đã đủ để suy ra kết luận hay chưa Đối

với cá bài toán phương trình, dung hinh, xét tính giải được là kiểm tra xem

phương trình có nghiệm hay không, có bao nhiêu nghiệm

c) Phân chia trường hợp

Phân chia trường hợp là chia bài toán thành nhiều trường hợp mà trong đó

giữa các trường hợp thì cách giải là khác nhau

Các hoạt động trên được minh họa trong bài toán giải phương trình sau đây

Ví dụ: Giải phương trình:

Xầx'~6x+1=2x—I

Xét tính giải được: Các biêu thức trong hai về của phương trình đã cho có

nghĩa khi 3x°—6x+1 >0 Nghĩa là với điều kiện đó thì phương trình mới có

thể có nghiệm

Lật ngược vấn đề: Nếu có số xạ thỏa mãn phương trình thì ta có

; ae 1

3x, — 6x, +1 =2x, —1 Tu do ta suy ra 2x, -12 Ohay X3:

Phân chia trường hợp: Khi giải phương trình ta có thể phân chia thành

các trường hợp sau: x = 5 Và x< 3

Với trường hợp x< 1 ta có thể kết luận ngay phương trình vô nghiệm

Còn với trường hợp x25 do ca hai về đêu không âm nên ta có thê bình

phương hai vế và thu được phương trình: 3x,’ —6x,+1=(2x,-1)’ Hiển

nhiên lúc này ta đã có điều kiện 3x” —6x+l >0

1.3.3 Những hoạt động trí tuệ chung

Những hoạt động này được gọi là hoạt động trí tuệ chung vì chúng được thực hiện ở các môn học khác Hoạt động trí tuệ chung bao gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa e_ Hoạt động phân tích: Tách sự vật thành từng chi tiết bộ phận để nghiên

cứu

e_ Hoạt động tổng hợp: hợp nhất các chỉ tiết, các bộ phận dé tạo thành tái

tổng thể

Trong dạy học giải bài tập toán các hoạt động phân tích tổng hợp diễn ra

xen kẽ nhau Phân tích tạo tiền đề cho tong hợp, tổng hợp lại định hướng phân tích

e Hoạt động khái quát hóa: là hoạt động trí tuệ chuyển từ việc nghiên cứu một tính chất nào đó từ một tập các đối tượng A sang tập B chứa A

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 đường thăng:

(di):x—y=0

(d):2x+y—1=0

Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biét rang 4ed,; Ced,cac dinh B,

D thuộc trục hoành

Học sinh khi đứng trước bài toán này có thé sẽ thực hiện các hoạt động

Học sinh có thể sẽ suy nghĩ theo 2 hướng:

+) Dựa vào điều kiện hình vuông của tứ giác ABCD:

AB=AC _ [AB=AC _ [\b'+a =je+0=2e-a}

+) Dựa vào tinh chat 2 đường chéo của hình vuông:

Suy nghĩ theo hướng này, học sinh phải phân tích tiếp ngoài tính chất

AC LOx còn có những tính chất khác hay không ?

Câu trả lời mong muốn: trung điểm I của AC và BD thuộc Ox và

IA=IB=IC=ID và AC 1 Ox nén xạ = xc

Từ đó suy ra cách giải và ta dễ dàng nhận thấy cách thứ hai ngắn gọn

va dé tinh hon cach thứ nhất

Sau khi phân tích và tổng hợp đề tìm ra các phương án tính toán, học

sinh so sánh giữa các phương án đó để chọn cách giải khả thi và ngắn gọn nhất

1.3.4 Hoạt động ngôn ngữ

Hoạt động này được thực hiện như khi học sinh được yêu cầu phát biếu, giải thích một vấn đề bằng lời lẽ của mình hoặc bằng cách biến đổi chúng từ

dạng này sang dạng khác (theo [7], tr 100) .chắng hạn từ đạng kí hiệu toán

học sang dạng ngôn ngữ tự nhiên hay biến đôi một bài toán hình học về bài toán tọa độ

Ví dụ: Cho đoạn thắng AB cố định và đường thắng d cố định song song với AB Điểm C di động trên d Tìm quỹ tích trực tâm tam giác ABC

Nhận xét về bài toán:

Học sinh sẽ thấy rằng bài toán này có giả thiết thật đơn giản, chỉ có đoạn thẳng cố định, một điểm di động trên đường thắng song song rồi tìm trực tâm; thêm nữa, bài toán này có vẻ quen thuộc nên chỉ vẽ hình ra và cố gắng kẻ đường phụ để giải Thế nhưng, chắc chắn các bạn này sẽ khó mà tìm được

một lời giải hình học thuần túy cho bài toán này khi mà trên thực tế quỹ tích

đường cong thông thường

mà mò mẫm đi tìm không đúng cách sẽ không đi đến kết quả muốn có Bài

toán này không khó nhưng nếu không lựa chọn đúng công cụ thì không thé

nhanh chóng thành công trong việc giải nó được Ở đây, chúng ta sẽ khai thác

các mối liên hệ giữa các điểm A, B, C, H để giải quyết Kết hợp với những dự

đoán quỹ tích ban đầu, ta có thể thấy bài này cần sử dụng phương pháp tọa độ

để tìm ra quỹ tích điểm H

Việc chuyên đổi bài toán hình học thông thường sang bài toán hình học tọa

độ là một trong những hoạt động chuyên đổi ngôn ngữ thường được sử dụng trong giải toán ở trường phố thông Lời giải của bài toán này như sau:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét A (-1; 0), B (1; 0) và đường thắng đ

có phương trình: y=a, z0, do C di động trên đó nên có tọa độ là C (m; a),

mej

Ta sẽ tìm tọa độ trực tâm của tam giác ABC

Phương trình đường cao của tam giác ứng với đỉnh C là: x = m Phương

trình đường cao ứng với đỉnh A là: (m—1)(x+1)+ay=0<©(m—1)x+ay+m—I=0 Tọa độ trực tâm của tam giác ABC là nghiệm của hệ:

1.3.5 Hoạt động huy động kiến thức

Đối với các bài toán chưa có sẵn thuật giải, học sinh phải tự tìm ra phương pháp dựa trên những kiến thức đã có Việc nhớ có chọn lọc các kiến thức đó được gọi là sự huy động kiến thức Đứng trước một bài toán, bao giờ

người học cũng phải huy động được một số lượng kiến thức liên quan đủ cho

quá trình giải Mỗi người có một khả năng huy động kiến thức khác nhau Việc huy động kiến thức tốt hay không tốt chủ yếu phụ thuộc vào lượng kiến

thức, kinh nghiệm đã thu nhận được và đặc biệt là phụ thuộc vào năng lực

huy động kiến thức Sau đây ta xét đến một số biểu hiện của năng lực huy động kiến thức khi giải toán bao gồm: năng lực dự đoán vấn đề, năng lực chuyền đồi ngôn ngữ, năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tương tự,

năng lực nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau

đó

Dự đoán là khâu quan trọng giúp ta định hướng được lời giải của bài toán Việc dự đoán chính xác đến đâu tùy thuộc vào kinh nghiệm, kiến thức vốn có của mỗi người Một dự đoán đúng hướng giúp ta giảm bớt công việc mày mò, tính toán Trước mỗi bài toán chưa có thuật giải, học sinh không nên

vội vàng đi vào tính toán, chứng minh ngay mà cần căn cứ vào những giả

thiết và kết luận và các thao tác phân tích, tống hợp để có những phán đoán

như: bài toán này thuộc vào chương kiến thức nào mà mình đã học? Nên bắt

đầu từ đâu? Bài toán này có giống với bài toán nào đó đã biết hay không?

Ta có thể minh họa bằng ví dụ sau đây:

Ví dụ: Cho V48C cân ở A Đường cao AH, từ H kẻ ⁄D L 4C M là trung điểm của HD Chứng minh rằng 4M L BD

Phân tích: Từ kết luận bài toán, ta sẽ đặt ra câu hỏi:

Để chứng minh 2 đường thắng vuông góc với nhau ta đã có những cách

nào?

Các câu trả lời có thê cho câu hỏi này:

- Su dung tinh chất của trực tâm

-_ Sử dụng tính chất một tam giác có hai góc tông bằng 90)

- _ Sử dụng phương pháp vectơ

- Sw dung phuong pháp tọa độ

Sau khi chọn một phương pháp thì học sinh lại cần tiếp tục dự đoán,

mò mẫm bởi vì cách giải bài toán chưa được tìm thấy

Ví dụ như khi chọn cách thứ nhất: sử dụng tính chất của trực tâm

Người học cần huy động được các kiến thức liên quan đến điểm trực tâm của

tam giác và cách sử dụng trực tâm trong bài toán chứng minh vuông góc Cụ thể ở đây ta lợi dụng tính chất là nếu kẻ một

đường thằng đi qua một đỉnh của tam giác và

trực tâm của nó thì ta được đường cao của tam

giác Vấn đề xuất hiện ở đây: trực tâm trong

bài toán này là điểm nào? Điểm H hay điểm E

hay M hay là D?

Cứ tiếp tục như vậy kết hợp với phương

pháp loại trừ thì ta có thể tìm thấy chìa khóa

Qua vi du trén, ta thay rang dé dự đoán tốt học sinh cần có một vốn kiến thức và kinh nghiệm tương đối vì “nguyên liệu” cho quá trình dự đoán

chính là các kiến thức được huy động

b) Năng lực chuyền đổi ngôn ngữ

Không phải mọi bài toán đặt ra đều giải một cách trực tiếp mà có rất

nhiều bài toán ta phải dựa vào những quan hệ trong toán học đề chứng minh

chúng theo một quan hệ khác Ví dụ như trong hình học, để chứng minh quan

hệ song song ta lại đi chứng minh thông qua quan hệ vuông góc và ngược lại Hành động chuyền đổi này thường được gọi là chuyền đổi trong nội tại trong

một ngôn ngữ

Ngoài ra, ta còn có chuyển đổi từ ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác

Ví dụ như chuyển “ngôn ngữ đại số” sang “ngôn ngữ hình học” và ngược lại

ta chuyên đối bài toán hình học về bài toán đại số đơn thuần Trong chương trình hình học lớp 10, hình học được nghiên cứu bằng hai phương pháp: phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ Dù bằng phương pháp nào thì chúng vẫn có chung một đối tượng nghiên cứu, chỉ có điều chúng thê hiện ở

ngôn ngữ khác nhau Một đối tượng, một quan hệ hình học sẽ được thế hiện

khác nhau tùy theo phương pháp nghiên cứu nó Do đó giữa các ngôn ngữ này

có thể chuyền đổi với nhau Một đối tượng hay quan hệ hình học nếu được thể

hiện qua ngôn ngữ khác

Ví dụ: Cho V4ABC cân ở A Đường cao AH, từ H kẻ #Ð.L 4C M là

trung điểm của HD Chứng minh rằng 4A L BD

Bài toán này chính là bài toán ở ví dụ vừa nêu trên Nó có thể giải bằng phương pháp hình học thuần túy, nhưng ở đây ta xem xét nó dưới đạng vận

dụng hoạt động chuyên đổi ngôn ngữ đề giải quyết bài toán:

Trước hết ta chuyển bài toán này về dạng sử dụng phương pháp vectơ Đầu

tiên là kết luận của bài toán: 4M L 8D có thể chuyền đổi thành AM LBD hay

Câu trả lời thông thường nhất cho câu hỏi trên là ta sẽ phân tích hoặc

nói cách khác là biểu thị hai vectơ AM và BD theo các vectơ cùng gốc

Tiếp tục, người giải lại phải tìm ra được các vectơ cùng gốc đó là

những vectơ nào Đến bước này học sinh cần phải dự đoán và thử sai dé chon

được hai vectơ phù hợp Ở khâu dự đoán này rất cần kinh nghiệm và khả năng suy luận logic của người học đề giảm thời gian mày mò, tìm đoán

Quá trình chuyền đổi cứ lần lượt các van dé doi hỏi phải giải quyết, cứ

như thế cho đến khi lời giải hoàn chỉnh được trình bày Một trong những lời

giải cho bài toán trên theo phương pháp vectơ là:

Giải

Ta có

uuu UUIT ] Ur ul ur UUT

AM.BD= 24H + 4D)(BH +HD)=

UIT Ue UW UIF UUT UIT UUƯ UUT

= AH.BH + AH.HD+ AD.BH + AD.HD =

kinh nghiệm đã có Bài toán trên con thé được giải quyết nhờ việc chuyên đổi

bài toán sang sử dụng phương pháp tọa độ Nhưng để có thể làm được điều

đó, người học cũng cần phải nhớ lại được cách chuyển đổi các quan hệ sang tọa độ, các quy tắc tính toán, trong phương pháp tọa độ

c) Năng lực quy lạ về quen

Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó, trong toán học hai bài toán

được gọi là tương tự nhau nếu hoặc chúng có cùng phương pháp giải; hoặc cùng giá thiết, hoặc cùng kết luận; hoặc được đề cập đến những vấn đề giống

nhau, những đối tượng có tính chất giống nhau Khai thác chức năng của bài tập tương tự là một trong những việc làm quan trọng trong dạy học bởi nó có

vai trò khắc sâu kiến thức đã học, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo

Biến đổi về dạng tương tự là một hoạt động biến đổi đối tượng, hoạt động này thể hiện trong tiến trình người giải toán phải làm bộc lộ đối tượng của hoạt động (các khái niệm toán học, các qui luật về mối liên hệ giữa các

đối tượng toán học, các quan hệ giữa chúng) Những hoạt động đó là để biến

đổi cấu trúc, nội dung và hình thức của đối tượng, sao cho các tri thức mới tương thích với các tri thức đã có; từ chủ thể xâm nhập vào đối tượng, hiểu và

giải thích chúng, vận dụng chúng với tư cách là sản phâm của hoạt động nhận

thức Đề sự tìm tòi được thuận lợi, nhiều khi cũng cần có những thủ thuật để biến cái khó thành cái dễ, biến ý đồ thành những việc cụ thẻ

Việc biến đổi đối tượng sẽ dẫn đến những bài toán tương tự Có rất nhiều dạng tương tự, ví dụ sau đây thể hiện một sự biến đổi để đưa về đạng

tương tự đã biết:

Ví dụ: Giải phương trình:

x —3x4+1=2Vx° -3x+4

Phuong trinh nay néu cir dé nguyén va binh phuong hai vé ta sé thu

được một phương trình bậc 4 Học sinh sẽ rất khó khăn trong việc giải

phương trình đó Vậy tức là phải tìm một hướng đi khác? Thông thường ta sẽ

nghĩ đến việc khử căn thức Ở bài toán này, khi nhìn vào đề ra, ta thấy ngay hai về này có một sự tương tự Cụ thể ở về phải ta có x”-3x, về trái ta có

Vi? —3x+ , điều này làm ta liên tưởng đến điều gì? Phải chăng là nó giống

như 4 và 4⁄4 hoặc là giống như A? và 4 Từ đó ta sẽ nghĩ đến việc đưa về

phương trình bậc hai quen thuộc bằng cách dat an phu

Loi giai:

Điều kiện: x?-3x+4>0<©>xe#

Đặt 4=vx°-3x+4, 4>0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x= 3+x29 >

Như vậy khi xác định năng lực huy động kiến thức thì khả năng biến đổi

van dé, biến đối các bài toán đóng vai trò rất quan trọng Nhờ quá trình biến đổi vấn đề, biến đối các bài toán học sinh có thể quy các vấn đề trong tình

huống mới, các bài toán lạ về các vấn đề quen thuộc, về các bài toán tương tự

đã giải

đd) Năng lực nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau

Căn cứ vào bản chất của kiến thức toán học vào mối quan hệ duy vật biện chứng ta thấy mỗi nội dung, mỗi một vấn đề có thể nhìn nhận dưới nhiều góc độ, có nhiều hình thức biểu đạt khác nhau Một bài toán có thể ta phải

chuyển đổi ngôn ngữ bằng cách: đại số hoá, lượng giác hoá, hình học hoá; hoặc chuyên đổi trong nội tại của một ngôn ngữ như: chuyên đổi ngôn ngữ

hình học tổng hợp sang ngôn ngữ véc tơ, toạ độ, biến hình Hoặc có thể nhìn nhận nó dưới nhiều “cái riêng” khác nhau, chắng hạn nhìn tam giác là một tứ

giác có một cạnh bằng không, một tứ giác có một góc bằng 180)

Nếu đứng trước một vấn đề mỗi người làm toán có thói quen nhìn nhận theo nhiều góc độ khác nhau dựa trên những tri thức, những kinh nghiệm đã

có thì sẽ hình thành dần nên trong họ một tư duy nhạy bén, sắc xảo một niềm

tin sẽ giải quyết được vấn đề bởi lẻ bài toán đang giải đó nó còn ân tàng những cách giải ở những góc độ nào đó mà chúng ta phải khám phá ra

Vi du: Cho a,b,c >0 Chimg minh rang:

Jela=o) + feb =0) <Vab

Ta có thé giải quyết bài toán trên theo nhiều cách, sau đây là 3 cách mà chúng ta có thể nghĩ ra một cách tự nhiên nhất Đầu tiên, ta phải nhớ lại phương pháp chứng minh bất đẳng thức một chút Có thể nghĩ ngay đến

phương pháp biến đồi tương đương, phương pháp sử dụng bất đắng thức cỗ điển, phương pháp hàm số, phương pháp hình học

Cách 1: Ta thử chứng minh bằng phương pháp biến đổi tương đương

Cách 2: Nhìn vào đề ra ta thấy vế trái có 4 thành phần

ve vb—c Ve, Va—c va dé thay c+b-c=b,c+a-c=c diéu nay sẽ gợi ý cho ta

dp dung bat dang thtre Bunhia-cépxki Loi gidi nhu sau:

(Je(a-c) + Je(b- OF = (/e(a—c) + J(b-e)cy’ < (c+ b-c)(a—c+0e)=ab

< e(a-e) + Je(b—c) < Vab

Cách 3: Từ về trái của bất đắng thức, nếu ta nhìn hai biểu thức là diện

tích của hai tam giác vuông có chung 1 cạnh là Ve thi ta c6 thé biêu diễn về trái thành diện tích của hai tam giác vuông tại A như sau:

Ta tinh ngay duge canh BC =Va,CD=~Vb.

Ta c6 2Sanc=Je(a—c)

2Spcp=2Sasct2Sacp

Jabsink@@ = [eas + Jeab-o

= ela-e) + fe(b-c) < Vab s i

Do sinB@D <1

Nhận xét: Qua lời giải trên cho

thấy nếu biết nhìn nhận vấn đề theo

nhiều hướng, người giải toán biết liên _ dD,

tưởng, huy động kiến thức phù hợp sẽ mang lại một cách giải quyết vấn đề tốt đẹp nhất

Như vậy biết nhìn bài toán dưới nhiều góc độ, khía cạnh khác nhau

không những củng có được kiến thức mà còn rèn luyện, bồi dưỡng thêm khả năng huy động kiến thức ở học sinh

Việc tăng cường mối liên hệ giữa các chương, mục trong một môn học cũng hình thành nên các cách giải quyết khác nhau cho một vấn đề

Ngoài ra năng lực huy động kiến thức còn được thể hiện qua năng lực khái

quát hóa, đặc biệt hóa Người thầy giáo luôn phải đưa ra những gợi ý kịp

thời và có ích để khuyến khích học sinh tìm tòi, phát hiện Có thể bắt đầu từ

những câu hỏi của G.Polya như “Ta đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay là

ta đã gặp nó dưới một dạng hơi khác” Còn học sinh khi giải toán phải biết

sắp xếp, lưu trữ kiến thức trong đầu sao cho hợp lý để khi cần huy động được chính xác, đầy đủ và phải biết giữ trong trí nhớ cái bản chất của những kiến thức toán học đưới đạng định lý đã chứng minh Ta có thê khắng định không

huy động kiến thức thì không thể giải được bài tập toán và cao hơn nữa là không thể kiến tạo tri thức cho bản thân.

1.3.6 Hoạt động biến đỗi bài toán

a) Bài toán: Thuật ngữ "bài toán" được hiểu theo nghĩa rộng thông qua một số định nghĩa sau:

G Pôlya cho rằng: " Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một

cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích rõ ràng nhưng

không thê đạt được ngay"

Bách khoa tri thức phố thông định nghĩa : "Khái niệm bài toán hiểu là

một công việc hoàn thành được nhờ những phương pháp đã biết trong những điều kiện cho trước"

Fanghaenel, Stoliar định nghĩa thuật ngữ bài toán như sau: "Bài toán là một sự đòi hỏi hành động, trong đó đã quy định:

- Đối tượng của hành động (cái đã có trong bài toán)

- Mục đích của hành động (cái phải tìm trong bài toán)

- Các điều kiện của hành động (mối quan hệ giữa cái đã có và cái phải

tìm)

Như vậy, khái niệm bài toán được gắn liền với hành động của chủ thể,

không thê nghiên cứu bài toán tách rời với hành động của chủ thẻ

b) Sự cần thiết biến đổi bài toán:

Theo G.Pôlia sự biến đổi bài toán là cốt yếu Sự kiện này có thể giải thích bằng nhiều cách Chắng hạn muốn đi tới cách giải một bài toán ta phải động viên và tổ chức những kiến thức đã có từ trước Chúng ta cần phải nhớ lại và vận dụng hàng loạt những yếu tố cần thiết cho việc giải bài toán Việc biến đổi bai toán giúp ta nhớ lại những yếu tố đó

Nhờ khả năng huy động kiến thức sẵn có cộng với khả năng liên tưởng

của mỗi người, vấn đề mà chúng ta đang suy nghĩ tới có khuynh hướng gợi lại trong trí nhớ của ta, cái liên quan với nó trước kia Nhờ hoạt động biến đổi bài

toán, ta thu được các chỉ tiết mới, và như vậy đã tạo ra những liên hệ mới,

những khả năng mới quen thuộc hơn nhằm giải quyết vấn đề từ đó từng bước định hướng rõ ràng lời giải của bài toán

c) Hoạt động biến đối bài toán là hoạt động trí tuệ của chủ thể nhận

thức nhằm biến đổi cấu đổi cấu trúc bên trong, nội dung và hình thức của bài toán, sao cho các tri thức mới ân chứa trong bài toán tương thích với các tri thức đã có Trong triết học nội dung là tổng hợp tất cả những mặt, những yếu

tố, những quá trình tạo nên sự vật còn hình thức là phương thức tỒn tại và phát triển của sự vật, là hệ thống các mối liên hệ tương đối bền vững giữa các yếu tố của sự vật đó Thí dụ, nội dung một tác phẩm văn học là toàn bộ những

sự kiện của cuộc sống hiện thực mà tác phẩm phản ánh, còn hình thức bên trong của tác phẩm đó là thể loại, những phép thể hiện được tác giả sử dụng

trong tác phẩm như phương pháp kết cầu bố cục, nghệ thuật xây dựng hình

tượng, các thủ pháp miêu tả, tu từ Ngoài ra, một tác phẩm văn học còn có hình thức bề ngoài như màu sắc trình bày, khổ chữ, kiểu chữ

Trong toán học ta có thể hiểu khái niệm nội dung và hình thức như sau:

Nội dung của một bài toán là tất cả các yếu tố trong giả thiết, kết luận và yếu

tố ngôn ngữ trong phương thức diễn đạt nên bài toán đó Còn hình thức là hệ

thống các mối liên hệ bền vững giữa các yếu tố đã cho trong bài toán Hệ thống các mối liên hệ này bao gồm các liên hệ chặt chẽ giữa các giải thiết và

kết luận, sự quy định và ràng buộc lẫn nhau giữa các yếu tố trong giả thiết bài toán

1.4 Tri thức trong hoạt động giải bài tập Toán

Tri thức trong hoạt động là một trong bốn thành tố cơ sở của phương

pháp dạy học Nó là một trong những tư tưởng chủ đạo thế hiện quan điểm

hoạt động trong phương pháp dạy học (theo Nguyễn Bá Kim) Nội dung của

tư tưởng chủ đạo này là: “ dẫn dắt học sinh kiến tạo thức, đặc biệt là tri thức

phương pháp như là phương tiện và kết quả của hoạt động”

Các dạng trì thức thường gặp:

Tri thức sự vật: Những hiểu biết về hiện thực khách quan mà con người

đã tích lũy được Trong môn toán đó là: khái niệm, định lí, phương pháp giải

Toán, có khi là một yếu tố lịch sử

Tri thức phương pháp: Gồm có hai loại, phương pháp có tính chất thuật toán và phương pháp có tính chất tìm đoán

Tri thức chuẩn: Những kiến thức có liên quan đến chuẩn mực đạo đức (ít

gặp ở môn Toán)

Tri thức giá trị: Có nội dung là những mệnh đề đánh giá Ví dụ như:

"Khái quát hóa là một thao tác trí tuệ cần thiết cho mọi khoa học" hay "phép

tương tự có lẽ là có mặt trong mọi phát minh và trong một số phát minh nó chiếm vai trò quan trọng hơn cả" (theo G.Polya)

Trong những dạng tri thức kê trên thì tri thức phương pháp đóng một vai trò quan trọng trong việc tổ chức hoạt động vì đó là cơ sở định hướng cho

hoạt động

Những trì thức phương pháp thường gặp trong dạy học toán:

- Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoại động toán học cụ

thé như cộng hai số hữu tỉ, giải phương trình bậc hai

- Những tri thức về phương pháp tiến hành những Joạ¿ động toán học phức tạp như định nghĩa, chứng minh

- Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoạ động rrí tuệ phổ biến như tư duy hàm, phân chia các trường hợp

- Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoại động tri tué

chung như phân tích, tông hợp, so sánh, khái quát hóa, tương tự

- Những tri thức về phương pháp tiến hành nhữn hoạ động ngôn ngữ logic

như lập mệnh đề đảo, liên kết các mệnh đề nhờ các phép nối logic, điều kiện cần

và đủ

Vi vay trong day hoc giải bài tập, ta cần quan tâm đến cả những tri thức cần thiết lẫn những tri thức đạt được trong quá trình hoạt động

Vi dụ: Khi học đến phần bất đắng thức, học sinh phải chứng minh bất

đắng thức sau đây:

Bài toán 1 Cho a,b>0 chứng minh: a+b>2Vab

Tri thức phương pháp mà hầu hết học sinh sẽ sử dụng là phương pháp chứng minh bắt đẳng thức đã học ở trường THCS, cụ thể là phương pháp biến đổi tương đương Bài toán dễ dàng được chứng minh Trong hoạt động đó tri thức phương pháp đóng vai trò là phương tiện, và nó thể hiện là kết quả của hoạt động trong bài toán sau:

Trong dạy học giải bài tập toán, tri thức phương pháp đóng vai trò định hướng trực tiếp cho các hoạt động và ảnh hưởng quan trọng đến việc rèn

trình trùng phương Việc nắm vững cách giải và rèn luyện kĩ năng giải toán

này đóng một vai trò cơ bản trong dạy học toán ở trường phổ thông Tuy

nhiên, việc phát triển ở học sinh năng lực tư duy sáng tạo đòi hỏi học sinh phải thoát ra kiểu học tập trong đó họ chỉ biết áp dụng một cách máy móc các thuật toán đã biết Nói cách khác hoạt động tìm tòi chính thuật toán giải phải đóng vai trò trung tâm trong hoạt động giải toán Đối với các bài toán còn lại, thuộc dạng gần với thuật toán hoặc không có thuật toán, học sinh phải tìm

đoán ra phương pháp giải bằng cách phân tích, tống hợp, khái quát hóa, đặc

biệt hóa Trong tất cả các trường hợp nói trên, tri thức phương pháp đóng vai trò là phương tiện của hoạt động

Bài toán ï Cho a,b>0 chứng minh: a+b> 2\ab

Tri thức phương pháp mà hầu hết học sinh sẽ sử dụng là phương pháp

chứng minh bắt đẳng thức đã học ở trường THCS, cụ thể là phương pháp biến

đối tương đương Bài toán đễ dàng được chứng minh

b) Tri thức là kết quả của hoạt động

Sau khi giải các bài tập toán, đặc biệt là các bài toán chứng minh, học

sinh thu nhận được tri thức phương pháp mới, đó chính là kết quả trong phần

kết luận của bài toán Tri thức phương pháp dưới dạng này được đúc kết thành kinh nghiệm và có thể được xem là “bài toán quen thuộc” mà sau này cần sử dụng đến, học sinh dễ dàng huy động, tái tạo lại Việc vận dụng bài tập

nay dé giải bài tập khác có vai trò quan trọng trong việc phát triển khả năng giải toán của học sinh Người giáo viên cần tạo cho các em vận dụng ngay

những tri thức vừa thu nhận được vào giải quyết các vấn đề khác chắng hạn

như dạy học giải bài tập theo chuỗi bài toán

Với bài toán này, ta có thể áp dụng bài toán 1 cho hai cum (a+b) va

C+ ta có ngay điều phải chứng minh Như vậy tri thức thu được ở bài toán

a

1 là phương tiện dé thực hiện hoạt động chứng minh trong bài toán 2

Sau khi giải được bài toán 2, ta có thể hướng dẫn học sinh tổng quát

hóa bài toán Bắt đầu từ việc mở rộng bài toán thành bài toán mới với 3 ân a,b,c chang han Ta co bài toán như sau:

Bài toán 3 Cho a,b,c>0 chứng minh: (4+b+e(C+ 2+ )>?1, Dấu hỏi

a c

này ta có thé dé cho hoc sinh ty tìm ra

Từ bài toán 3 này học sinh đã có thể nhận ra được bài toán mở rộng với

n số dương

1.5 Khảo sát thực tiễn dạy học giải bài tập Toán 10 ở trường phố thông

Để tìm hiểu kỹ hơn về cách thức dạy học giải bài tập Toán 10 và các hoạt động của học sinh trong giải bài tập Toán, tôi tiến hành khảo sát điều tra

tại một trường phố thông trên huyện nhà

1.5.1 Mục tiêu của việc khảo sát :

- Tìm hiểu về các hoạt động của học sinh thường diễn ra trong dạy học

giải bài tập lớp 10

- Tìm hiểu về việc tổ chức các hoạt động dạy học giải bài tập Toán của học sinh

- Sự cần thiết của việc vận dụng nguyên lý về mối liên hệ phổ biến

trong dạy học giải bài tập Toán 10

- Dựa vào đó đề đề xuất ra các dạng hoạt động chủ yếu cần rèn luyện

và phương thức rèn luyện các hoạt động đó

1.5.2 Đối tượng kháo sát:

Đối tượng khảo sát là giáo viên dạy toán ở bậc học THPT và học sinh

lớp 10 ở trường THPT Thanh Chương 3

1.5.3 Nội dung khảo sát:

- Khảo sát cách thức tô chức hoạt động, tiến trình đạy học giải bài tập,

cụ thể là các tiết chữa bài tập, tự chọn và các tiết dạy thêm của các giáo viên

- Khảo sát các hoạt động phổ biến của học sinh khi học giải bài tập

Toán 10

1.5.4 Phương pháp khảo sát:

Để có được những thông tin khách quan, tôi tiến hành phỏng vấn, dự

giờ, sử dụng phiếu hỏi đối với GV và HS; đồng thời tổng kết kinh nghiệm và nghiên cứu những tài liệu liên quan đến thực trạng dạy học ở trường phố thông

1.5.5 Xây dựng hệ thống câu hỏi dành cho GV:

1.5.5.1 Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm (Sau mỗi câu hỏi, đáp án nào

thây (cô) chọn hãy đánh dấu (x) vào ô vuông L])

Câu hỏi 1: Trong dạy học giải bài tập Toán, anh (chị) thường xây dựng

tiến trình dạy học như thế nào?

a Chita bai tap, làm các ví dụ rồi ra các bài tập mới tương tự L]

b Nhắc lại lý thuyết, nêu cdc dang bài tập và phương pháp giải rồi làm bài

c Chỉ nêu một số phương pháp, dạng bài tập cơ bản rồi xây dựng các tình huống cho học sinh hoạt động tìm đoán phương pháp các bài tập, đạng bài tập

d Phối hợp linh hoạt các phương thức trên L]

Câu hỏi 2: Trong dạy học giải bài tập Hình học 10 thầy (cô) đã cho học

sinh tiến hành hoạt động nào sau đây?

b Đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa Oo

d Quy lạ về quen, xét tính giải được, phân chia trường hợp L]

Câu hỏi 3: Đối với một bài tập chứng minh 3 điểm thắng hàng trong chương I hình học lớp 10, anh (chị) thường làm gì để hướng dẫn học sinh ?

b Hướng dẫn phân tích — tổng hợp giá thiết, kết luận dé từ đó tìm ra cách

c Biến đồi bài toán đề đưa về một bài toán mới Oo

d Tìm kiếm các dấu hiệu đề sử dụng phương pháp vectơ, phương pháp tọa

1.5.5.2 Hệ thống câu hỏi phóng vấn, đàm thoại:

Câu I: Anh (chị) có thể nêu ra một số ví dụ về việc vận dụng các tính

chất của hình học vectơ đề giải bài tập giải phương trình hoặc chứng minh bắt đăng thức?

Câu 2: Nếu được yêu cầu ra một bài toán giải bằng nhiều phương pháp

cho học sinh lớp 10, anh (chi) sé ra đề dựa trên những phần kiến thức nào? Câu 3: Anh (chị) có thê kế tên những hoạt động của học sinh trong một tiết bài tập của anh chị được không?

Câu 4: Anh (chị) đạy học giải bài tập phần Phương trình - hệ phương

trình như thế nao? Lam thé nao dé day cho hoc sinh biết cách giải các bài toán

phương trình, hệ phương trình trong đề thi đại học?

Cau 5: Anh (chi) day cho học sinh các phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ như thế nào?

2.5.3 Khảo sát hoạt động học tập của học sinh:

Để tiến hành khảo sát hoạt động của học sinh, do điều kiện học sinh

chưa hiểu hết một số thuật ngữ phương pháp nên tôi chọn phương pháp quan

sát, dự giờ các tiết bài tập Từ đó rút ra được kết luận

1.5.6 Kết luận quá trình khảo sát

Qua quá trình điều tra, khảo sát thực trạng việc dạy học giải bài tập

toán ở số trường THPT tôi nhận thấy: Trong quá trình đạy học khi dạy xong

mỗi tiết lý thuyết là đến tiết bài tập, giáo viên chỉ giảng dạy bằng cách chữa các bài tập một cách thuần tuý, chưa làm nổi bật được mối quan hệ biện

chứng giữa các bài tập này với các bài tập khác, giữa những kiến thức đang

học với những kiến thức cũ Khi đạy xong một chương nào đó giáo viên không hệ thống lại các dấu hiệu để nhận biết một đối tượng toán học nằm ở trong các chương thậm chí chỉ trong một chương Hay khi hướng dẫn học

sinh giải một số bài tập, giáo viên không khuyến khích học sinh tìm tòi nhiều lời giải khác nhau cho bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau Mà giáo viên

chỉ làm được nhiệm vụ giải các bài tập mà sách giáo khoa đã nêu, hoặc là cho

học sinh lên bảng trình bày lời giải bài toán là xong Vì vậy mà không khuyến khích HS tìm tòi nhiều lời giải khác khi nhìn nó đưới nhiều góc độ khác nhau Quá trình dạy học giải bài tập nói chung là còn ít các hoạt động của học sinh Giáo viên không hướng dẫn cho học sinh khai thác, mở rộng các bài tập sách

giáo khoa Học sinh học tập còn rất thụ động, đứng trước một bài tập cần có bài tập ví dụ trước đó để làm theo Điều này ảnh hưởng phần nào đó đến phương pháp giảng dạy của giáo viên Các giáo viên dạy học giải bài tập theo